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14.3: Conexão com Laplace - Matemática


Afirmação

Para ( text {Re} (z)> 1 ) e ( text {Re} (s)> 0 ), ( mathcal {L} (t ^ {z -1}; s) = dfrac { Gamma (z)} {s ^ z} ).

Prova

Por definição ( mathcal {L} (t ^ {z -1}; s) = int_ {0} ^ { infty} t ^ {z - 1} e ^ {- st} dt ). É claro que se ( text {Re} (z)> 1 ), então a integral converge absolutamente para ( text {Re} (s)> 0 ).

Vamos começar assumindo que (s> 0 ) é real. Use a mudança de variável ( tau = st ). A integral de Laplace torna-se

[ int_ {0} ^ { infty} t ^ {z - 1} e ^ {- st} dt = int_ {0} ^ { infty} ( dfrac { tau} {s}) ^ {z- 1} e ^ {- tau} dfrac {d tau} {s} = dfrac {1} {s ^ z} int_ {0} ^ { infty} tau ^ {z - 1 } e ^ {- tau} = dfrac { Gamma (z)} {s ^ z} d tau. ]

Isso mostra que ( mathcal {L} (t ^ {z -1}; s) = dfrac { Gamma (z)} {s ^ z}) ) para (s ) real e positivo. Uma vez que ambos os lados desta equação são analíticos em ( text {Re} (s)> 0 ), a extensão para o Teorema 14.2.1 garante que eles são os mesmos.

Corolário

( Gamma (z) = mathcal {L} (t ^ {z - 1}; 1) ). (Claro, isso também fica claro diretamente da definição de ( Gamma (z) ) na Equação 14.3.1.


Assista o vídeo: O TEOREMA DE LAPLACE DETERMINANTE (Outubro 2021).