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9.3: Simplificação de Números Denominados - Matemática


objetivos de aprendizado

  • ser capaz de converter uma unidade de medida não simplificada em uma unidade de medida simplificada
  • ser capaz de somar e subtrair números denominados
  • ser capaz de multiplicar e dividir um número denominado por um número inteiro

Conversão para unidades múltiplas

Definição: Números Denominados

Os números que possuem unidades de medida associadas a eles são chamados denominar números. Muitas vezes é conveniente, ou mesmo necessário, simplificar um número denominado.

Definição: Números Denominados Simplificados

Um número denominado é simplificado quando o número de unidades de medida padrão associadas a ele não exceder o próximo tipo de unidade superior.

O número denominado 55 min é simplificado, pois é menor do que o próximo tipo de unidade superior, 1 hora. O número denominado 65 min é não simplificado, pois não é menor do que o próximo tipo de unidade superior, 1 hora. O número denominado 65 min pode ser simplificado para 1 hora e 5 minutos. O número denominado 1 hora e 5 minutos é simplificado, uma vez que o próximo tipo de unidade superior é o dia, e 1 hora não excede 1 dia.

Conjunto de amostra A

Simplifique 19 pol.

Solução

Uma vez que ( text {12 pol. = 1 pé.} ) E (19 = 12 + 7 ).

( begin {array} {rcl} { text {19 pol.}} & = & { text {12 pol. + 7 pol.}} {} & = & { text {1 ft + 7 pol.}} {} & = & { text {1 ft 7 pol.}} end {array} )

Conjunto de amostra A

Simplifique 4 gal 5 qt.

Solução

Desde ( text {4 qt = 1 gal} ), e (5 = 4 + 1 ).

( begin {array} {rcl} { text {4 gal 5 qt}} & = & { text {4 gal + 4 qt + 1 qt}} {} & = & { text {4 gal + 1 gal + 1 qt}} {} & = & { text {5 gal + 1 qt}} {} & = & { text {5 gal 1 qt}} end {array} )

Conjunto de amostra A

Simplifique 2 h 75 min.

Solução

Desde ( text {60 min = 1 h} ), e (75 = 60 + 15 ).

( begin {array} {rcl} { text {2 h 75 min}} & = & { text {2 hr + 60 min + 15 min}} {} & = & { text {2 hr + 1 h + 15 min}} {} & = & { text {3 hr + 15 min}} {} & = & { text {3 h 15 min}} end {array} )

Conjunto de amostra A

Simplifique 43 fl oz.

Solução

Desde ( text {8 fl oz = 1 c} ) (1 xícara), e (43 div 8 = text {5R3} ).

( begin {array} {rcl} { text {43 fl oz}} & = & { text {40 fl oz + 3 fl oz}} {} & = & {5 cdot 8 text { fl oz + 3 fl oz}} {} & = & {5 cdot 1 text {c + 3 fl oz}} {} & = & { text {5 c + 3 fl oz}} fim {array} )

Mas, ( text {2c = 1 pt} ) e (5 div 2 = text {2R1} ). Então,

( begin {array} {rcl} { text {5 c + 3 fl oz}} & = & {2 cdot 2 text {c + 1 c + 3 fl oz}} {} & = & {2 cdot 1 text {pt + 1 c + 3 fl oz}} {} & = & { text {2 pt + 1 c + 3 fl oz}} end {array} )

Mas, ( text {2 pt = 1 qt} ), então

( text {2 pt + 1 c + 3 fl oz = 1 qt 1 c 3 fl oz} )

Conjunto de Prática A

Simplifique cada número denominar. Consulte as tabelas de conversão fornecidas em [link], se necessário.

18 pol.

Responder

1 pé 6 pol.

Conjunto de Prática A

8 gal 9 qt

Responder

10 gal 1 qt

Conjunto de Prática A

5 h 80 min

Responder

6 h 20 min

Conjunto de Prática A

8 semanas 11 da

Responder

9 semanas 4 da

Conjunto de Prática A

86 da

Responder

12 semanas 2 da

Adicionando e subtraindo números denominados

Adicionando e subtraindo números denominados
Os números denominados podem ser adicionados ou subtraídos por:

  1. escrevendo os números verticalmente para que as unidades semelhantes apareçam na mesma coluna.
  2. adicionando ou subtraindo as partes do número, levando ao longo da unidade.
  3. simplificando a soma ou diferença.

Conjunto de amostra B

Adicione 6 pés 8 pol. A 2 pés 9 pol.

Solução

( begin {array} {r} { text {6 pés 8 pol.}} { underline { text {+ 2 pés 9 pol.}}} { text {8 pés 17 pol. }} end {array} ) Simplifique este número denominado.

Desde ( text {12 pol. = 1 pé.} )

( begin {array} {rcl} { text {8 pés + 12 pol. + 5 pol.}} & = & { text {8 pés + 1 pé + 5 pol.}} {} & = & { text {9 pés + 5 pol.}} {} & = & { text {9 pés 5 pol.}} end {array} )

Conjunto de amostra B

Subtraia 5 da 3 h de 8 da 11 h.

Solução

( begin {array} {r} { text {8 da 11 h}} { underline { text {- 5 da 3 h}}} { text {3 da 8 h}} fim {array} )

Conjunto de amostra B

Subtraia 3 libras 14 onças de 5 libras e 3 onças.

Solução

( begin {array} {r} { text {5 lb 3 oz}} { underline { text {- 3 lb 14 oz}}} end {array} )

Não podemos subtrair diretamente 14 onças de 3 onças, portanto, devemos tomar emprestadas 16 onças das libras.

( begin {array} {rcl} { text {5 lb 3 oz}} & = & { text {5 lb + 3 oz}} {} & = & { text {4 lb + 1 lb + 3 onças}} {} & = & { text {4 lb + 16 onças + 3 onças (Uma vez que 1 lb = 16 onças)}} {} & = & { text {4 lb + 19 oz}} {} & = & { text {4 lb 19 oz}} end {array} )

( begin {array} {r} { text {4 lb 19 oz}} { underline { text {- 3 lb 14 oz}}} { text {1 lb 5 oz}} fim {array} )

Conjunto de amostra B

Subtraia 4 da 9 h 21 min de 7 da 10 min.

Solução

( begin {array} {r} { text {7 da 0 h 10 min}} { underline { text {- 4 da 9 h 21 min}}} end {array} ) Empréstimo 1 da a partir dos 7 da.

( begin {array} {r} { text {6 da 24 h 10 min}} { underline { text {- 4 da 9 h 21 min}}} end {array} ) Empréstimo 1 horas a partir das 24 horas.

( begin {array} {r} { text {6 da 23 h 70 min}} { underline { text {- 4 da 9 h 21 min}}} { text {2 da 14 h 49 min}} end {array} )

Conjunto de Prática B

Execute cada operação. Simplifique quando possível.

Adicione 4 galões 3 qt a 1 gal 2 qt.

Responder

6 galões 1 qt

Conjunto de Prática B

Adicionar 9 h 48 min a 4 h 26 min.

Responder

14 h 14 min

Conjunto de Prática B

Subtraia 2 pés 5 pol. De 8 pés 7 pol.

Responder

6 pés 2 pol.

Conjunto de Prática B

Subtraia 15 km 460 m de 27 km 800 m.

Responder

12 km 340 m

Conjunto de Prática B

Subtraia 8 min 35 s de 12 min 10 s.

Responder

3 min 35 seg

Conjunto de Prática B

Adicione 4 jardas 2 pés 7 pol. A 9 jardas 2 pés 8 pol.

Responder

14 jardas 2 pés 3 pol.

Conjunto de Prática B

Subtraia 11 min 55 seg de 25 min 8 seg.

Responder

13 min 13 s

Multiplicando um número denominado por um número inteiro

Vamos examinar a soma repetida

( underbrace { text {4 pés 9 pol. + 4 pés 9 pol. + 4 pés 9 pol.}} _ { text {3 vezes}} = text {12 pés 27 pol.} )

Lembrando que a multiplicação é uma descrição da adição repetida, pela propriedade distributiva que temos

( begin {array} {rcl} { text {3 (4 pés 9 pol.)}} & = & { text {3 (4 pés + 9 pol.)}} {} & = & {3 cdot 4 text {ft} + 3 cdot 9 text {pol.}} {} & = & { text {12 pés + 27 pol. Agora, 27 pol. = 2 pés 3 pol.}} {} & = & { text {12 pés + 2 pés + 3 pol.}} {} & = & { text {14 pés + 3 pol.}} {} & = & { texto {14 pés 3 pol.}} end {array} )

A partir dessas observações, podemos sugerir a seguinte regra.

Multiplicando um número denominado por um número inteiro
Para multiplicar um número denominado por um número inteiro, multiplique a parte do número de cada unidade pelo número inteiro e afixe ​​a unidade a este produto.

Conjunto de amostra C

Faça as seguintes multiplicações. Simplifique se necessário.

( begin {array} {rcl} {6 cdot text {(2 pés 4 pol.)}} & = & {6 cdot 2 text {ft + 6} cdot 4 text {pol.} } {} & = & { text {12 pés + 24 pol.}} end {array} )

Uma vez que ( text {3 pés = 1 jarda} ) e ( text {12 pol. = 1 pé} )

( begin {array} {rcl} { text {12 ft + 24 in.}} & = & { text {4 yd + 2 ft}} {} & = & { text {4 yd 2 ft}} end {array} )

Conjunto de amostra C

( begin {array} {rcl} {8 cdot text {(5 hr 21 min 55 seg)}} & = & {8 cdot 5 text {hr} + 8 cdot 21 text {min} + 8 cdot 55 text {seg}} {} & = & { text {40 hr + 168 min + 440 s}} {} & = & { text {40 hr + 168 min + 7 min + 20 s}} {} & = & { text {40 hr + 175 min + 20 s}} {} & = & { text {40 h + 2 h + 55 min + 20 s} } {} & = & { text {42 hr + 55 min + 20 s}} {} & = & { text {24 hr + 18 h + 55 min + 20 s}} {} & = & { text {1 da + 18 h + 55 min + 20 s}} {} & = & { text {1 da 18 h 55 min 20 s}} end {array} )

Conjunto de prática C

Faça as seguintes multiplicações. Simplificar.

(2 cdot text {(10 min)} )

Responder

20 minutos

Conjunto de prática C

(5 cdot text {(3 qt)} )

Responder

( text {15 qt = 3 gal 3 qt} )

Conjunto de prática C

(4 cdot text {(5 pés 8 pol.)} )

Responder

( text {20 pés 32 pol. = 7 jardas 1 pé 8 pol.} )

Conjunto de prática C

(10 ​​ cdot text {(2h 15min 40s)} )

Responder

( text {20 h 150 min 400 s = 22 h 36 min 40 s} )

Dividindo um número denominado por um número inteiro

Dividindo um número denominado por um número inteiro
Para dividir um número denominado por um número inteiro, divida a parte do número de cada unidade pelo número inteiro começando com a maior unidade. Fixe a unidade neste quociente. Leve qualquer resto para a próxima unidade.

Conjunto de amostra D

Execute as seguintes divisões. Simplifique se necessário.

( text {(12 min 40 seg)} div 4 )

Solução

Assim, ( text {(12 min 40 seg)} div 4 = text {3 min 10 seg} )

Conjunto de amostra D

( text {(5 jardas 2 pés 9 pol.)} div 3 )

Solução

( begin {array} {c} { text {Converter em pés: 2 jardas 2 pés = 8 pés}} { text {Converter em polegadas: 2 pés 9 pol. = 33 pol.}} end {variedade})

Assim, ( text {(5 jardas 2 pés 9 pol.)} Div 3 = text {1 jarda 2 pés 11 pol.} )

Conjunto de Prática D

Execute as seguintes divisões. Simplifique se necessário.

( text {(18 h 36 min)} div 9 )

Responder

2 h 4 min

Conjunto de Prática D

( text {(36 h 8 min)} div 8 )

Responder

4 h 18 min

Conjunto de Prática D

( text {(13 jardas 7 pol.)} div 5 )

Responder

2 jardas 1 pé 11 pol.

Conjunto de Prática D

( text {(47 gal 2 qt 1 pt)} div 3 )

Responder

15 gal 3 qt 1 pt

Exercícios

Para os 15 problemas a seguir, simplifique os números denominados.

Exercício ( PageIndex {1} )

16 pol.

Responder

1 pé 4 polegadas

Exercício ( PageIndex {2} )

19 pés

Exercício ( PageIndex {3} )

85 min

Responder

1 hora 25 minutos

Exercício ( PageIndex {4} )

90 min

Exercício ( PageIndex {5} )

17 da

Responder

2 semanas 3 dias

Exercício ( PageIndex {6} )

25 onças

Exercício ( PageIndex {7} )

240 onças

Responder

15 libras

Exercício ( PageIndex {8} )

3.500 lb

Exercício ( PageIndex {9} )

26 qt

Responder

6 galões 2 quartos

Exercício ( PageIndex {10} )

300 s

Exercício ( PageIndex {11} )

135 onças

Responder

8 libras 7 onças

Exercício ( PageIndex {12} )

14 colheres de chá

Exercício ( PageIndex {13} )

18 pt

Responder

2 galões 1 litro

Exercício ( PageIndex {14} )

3.500 m

Exercício ( PageIndex {15} )

16.300 mL

Responder

16 litros 300 mililitros (ou 1daL 6 L 3dL)

Para os 15 problemas a seguir, execute as operações indicadas e simplifique as respostas, se possível.

Exercício ( PageIndex {16} )

Adicione 6 min 12 seg a 5 min 15 seg.

Exercício ( PageIndex {17} )

Adicione 14 da 6 horas a 1 da 5 horas.

Responder

15 dias 11 horas

Exercício ( PageIndex {18} )

Adicione 9 gal 3 qt a 2 gal 3 qt.

Exercício ( PageIndex {19} )

Adicione 16 lb 10 onças a 42 lb 15 onças.

Responder

59 libras e 9 onças

Exercício ( PageIndex {20} )

Subtraia 3 galões 1 qt de 8 gal 3 qt.

Exercício ( PageIndex {21} )

Subtraia 3 pés 10 pol. De 5 pés 8 pol.

Responder

1 pé e 10 polegadas

Exercício ( PageIndex {22} )

Subtraia 5 libras e 9 onças de 12 libras e 5 onças.

Exercício ( PageIndex {23} )

Subtraia 10 horas e 10 minutos de 11 horas e 28 minutos.

Responder

1 hora 18 minutos

Exercício ( PageIndex {24} )

Adicione 3 fl oz 1 colher de chá 2 colheres de chá a 5 fl oz 1 colher de chá 2 colheres de chá.

Exercício ( PageIndex {25} )

Adicione 4 da 7 h 12 min a 1 da 8 h 53 min.

Responder

5 dias 16 horas 5 minutos

Exercício ( PageIndex {26} )

Subtraia 5 h 21 s de 11 h 2 min 14 s.

Exercício ( PageIndex {27} )

Subtraia 6 T 1.300 lb 10 onças de 8 T 400 lb 10 onças.

Responder

1 tonelada 1.100 libras (ou 1T 1.100 lb)

Exercício ( PageIndex {28} )

Subtraia 15 mi e 10 pol. De 27 mi 800 pés 7 pol.

Exercício ( PageIndex {29} )

Subtraia 3 semanas 5 da 50 min 12 seg de 5 semanas 6 da 20 min 5 seg.

Responder

2 semanas 23 horas 29 minutos 53 segundos

Exercício ( PageIndex {30} )

Subtraia 3 galões 3 qt 1 pt 1 onça de 10 gal 2 qt 2 onças.

Exercícios para revisão

Exercício ( PageIndex {31} )

Encontre o valor: (( dfrac {5} {8}) ^ 2 + dfrac {39} {64} ).

Responder

1

Exercício ( PageIndex {32} )

Encontre a soma: (8 + 6 dfrac {3} {5} ).

Exercício ( PageIndex {33} )

Converta (2.05 dfrac {1} {11} ) em uma fração.

Responder

(2 dfrac {14} {275} )

Exercício ( PageIndex {34} )

Uma solução ácida é composta de 3 partes de ácido para 7 partes de água. Quantas partes de ácido existem em uma solução que contém 126 partes de água?

Exercício ( PageIndex {35} )

Converta 126 kg em gramas.

Responder

126.000 g


Calculadora de frações

Frações - use a barra “/” entre o numerador e o denominador, ou seja, para cinco centésimos, insira 5/100. Se você estiver usando números mistos, certifique-se de deixar um único espaço entre o todo e a parte fracionária.
A barra separa o numerador (número acima de uma linha de fração) e denominador (número abaixo).

Numerais mistos (frações mistas ou números mistos) são escritos como inteiros diferentes de zero separados por um espaço e fração, ou seja, 1 2/3 (tendo o mesmo sinal). Um exemplo de uma fração mista negativa: -5 1/2.
Como a barra é um sinal de linha de fração e divisão, recomendamos o uso de dois pontos (:) como o operador de frações de divisão, ou seja, 1/2 : 3.

Decimais (números decimais) entram com um ponto decimal . e eles são automaticamente convertidos em frações - ou seja, 1.45.

O cólon : e barra / é o símbolo da divisão. Pode ser usado para dividir números mistos 1 2/3 : 4 3/8 ou pode ser usado para escrever frações complexas, ou seja, 1/2 : 1/3.
Um asterisco * ou × é o símbolo de multiplicação.
Mais + é adição, sinal de menos - é subtração e ()[] é parênteses matemáticos.
O símbolo de exponenciação / potência é ^ - por exemplo: (7/8-4/5)^2 = (7/8-4/5) 2

Exemplos:

A calculadora segue regras bem conhecidas para ordem de operações. Os mnemônicos mais comuns para lembrar essa ordem de operações são:
PEMDAS - Parênteses, expoentes, multiplicação, divisão, adição, subtração.
BEDMAS - Parênteses, expoentes, divisão, multiplicação, adição, subtração
BODMAS - Parênteses, de ou ordem, divisão, multiplicação, adição, subtração.
GEMDAS - Símbolos de agrupamento - colchetes () <>, expoentes, multiplicação, divisão, adição, subtração.
Tenha cuidado, sempre faça multiplicação e divisão antes da adição e subtração. Alguns operadores (+ e -) e (* e /) têm a mesma prioridade e devem ser avaliados da esquerda para a direita.


Para resolver isso, usaremos o número inteiro que calculamos na etapa um (3) e o multiplicaremos pelo denominador original (3). O resultado dessa multiplicação é então subtraído do numerador original:

Agora simplificamos 9/3 para um número misto. Para vê-lo, precisamos apenas colocar o número inteiro junto com nosso novo numerador e denominador original:

Você talvez tenha notado aqui que nosso novo numerador é na verdade 0. Como não há resto, podemos remover toda a parte da fração desse número misto, deixando-nos com uma resposta final de:

Esperançosamente, este tutorial o ajudou a entender como converter qualquer fração imprópria em uma fração mista, completa com um número inteiro e uma fração adequada. Você pode usar nossa calculadora abaixo para se exercitar mais, mas tente aprender como fazê-lo sozinho. É mais divertido do que parece, eu prometo!


Existem algumas maneiras diferentes de simplificar ou reduzir uma fração. Veja alguns exemplos abaixo:

Método 1 - continue dividindo por um pequeno número

Comece dividindo os números superior e inferior da fração pelo mesmo número e repita se necessário até que seja impossível dividir. Comece dividindo por um pequeno número como 2, 3, 5, 7. Por exemplo,

Simplifique a fração 12/60

  • Primeiro divida ambos (numerador / denominador) por 2 para obter 6/30.
  • Divida ambos por 2 para obter 15/03, então,
  • Divida ambos por 3 para obter 1/5.

Na fração 1/5, 1 é apenas divisível por si mesmo, e 5 não é divisível por outros números que não ele mesmo e 1, portanto, a fração foi simplificada o máximo possível. Nenhuma redução adicional é possível, então a resposta é 1/5.

Método 2

Para reduzir uma fração aos termos mais baixos (também chamado de sua forma mais simples), basta dividir o numerador e o denominador pelo Maior Fator Comum (GCF ou GCD). Por exemplo, 2/3 está na forma mais baixa, mas 4/6 não está na forma mais baixa (o GCD de 4 e 6 é 2) e 4/6 pode ser expresso como 2/3. Você pode fazer isso porque o valor de uma fração não é alterado se o numerador e o denominador forem multiplicados ou divididos pelo mesmo número (diferente de zero).

Veja também:

Simplificador de frações - Calculadora de frações simplificando

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Coisas misteriosas que Tesla costumava fazer

  • Ande ao redor de um quarteirão três vezes antes de entrar em um prédio
  • Escolheu apenas os quartos do Hotel & # 8217s, que tinham o número do quarto divisível por 3
  • Ele lavava seus pratos com apenas 18 guardanapos

Alguns disseram que ele tinha TOC e alguns acreditavam que ele era supersticioso, mas o que Tesla disse foi & # 8211

Se você conhecesse a magnificência de 3 6 e 9, você teria uma chave para o universo.

Podemos ter encontrado esta citação que afirma ter sido dita por Tesla em toda a internet, mas não há nenhuma referência em qualquer lugar que tenha sido realmente dita por ele. Mesmo que não haja nenhuma prova, os fatos e coisas que Tesla costumava fazer tornam mais crível que ele era obcecado por esses números e pode concluir que a citação é genuína.

Além disso, o significado do número três não é conhecido apenas por Tesla, mas muitas outras pessoas desta era se relacionam com o número três. Poderia fazer mais sentido pegar exemplos da vida real, de um átomo que consiste em três partículas subatômicas (próton, nêutron, e elétron), para a Santíssima Trindade (Deus, Jesus e Espírito Santo) da Bíblia Sagrada. A mitologia egípcia também apresentava três deuses que representavam o céu, a terra e o abismo.

Além disso, a evolução de nossas ideias são do Passado, nossa experiência é sempre o Presente, e todas as nossas imaginações e aspirações são do Futuro formando os três Kaal (Sânscrito para o tempo)


Recursos da Unidade

Modelos de área para a propriedade distributiva

Livro de Referência do Aluno páginas 248, 249

A propriedade distributiva

Livro de Referência do Aluno páginas 248, 249

Chegando a um
(Livro de Referência do Aluno, página 321)

Simplificando expressões: combinando termos semelhantes

Livro de Referência do Aluno página 252

Livro de Referência do Aluno páginas 95, 96

Simplificando Expressões: Removendo Parênteses

Livro de Referência do Aluno páginas 248, 249, 251, 252

Simplificando e resolvendo equações

Livro de Referência do Aluno páginas 251, 252

Usando equações para resolver problemas móveis

Livro de Referência do Aluno páginas 240-241

Livro de Referência do Aluno páginas 140, 213, 218

Fórmulas de área com aplicativos

Livro de Referência do Aluno páginas 215-2177

Fórmulas de volume com aplicativos

Livro de Referência do Aluno páginas 221, 222, 224

Livro de Referência do Aluno página 219

Resolvendo Equações por Tentativa e Erro

Livro de Referência do Aluno páginas 241-243

Livro de Referência do Aluno páginas 245, 246

Livro de Referência do Aluno páginas 167, 285, 286

Livro de Referência do Aluno página 247

Problemas de medição indireta

Livro de Referência do Aluno páginas 251, 252

Chegando a um
(Livro de Referência do Aluno, página 321)

Matemática cotidiana para pais: O que você precisa saber para ajudar seu filho a ter sucesso

Projeto de Matemática da Escola da Universidade de Chicago

University of Chicago Press


O uso de três linhas para denotar o número 3 ocorreu em muitos sistemas de escrita, incluindo alguns (como os numerais romanos e chineses) que ainda estão em uso. Essa também era a representação original de 3 na notação numérica Brahmic (indiana). No entanto, durante o Império Gupta, o sinal foi modificado pela adição de uma curva em cada linha. O Nagari girou as linhas no sentido horário [ esclarecimento necessário ], terminava cada linha com um curto traço descendente à direita. Em escrita cursiva, os três traços foram eventualmente conectados para formar um glifo semelhante a um ⟨3⟩ com um traço adicional na parte inferior: .

Os dígitos indianos se espalharam para o califado no século IX. O traço inferior foi eliminado por volta do século 10 nas partes ocidentais do Califado, como o Maghreb e Al-Andalus, quando uma variante distinta ("árabe ocidental") dos símbolos dos dígitos se desenvolveu, incluindo o moderno ocidental 3. Em contraste, os árabes orientais mantiveram e aumentaram esse traço, girando o dígito mais uma vez para produzir o dígito árabe moderno ("oriental") "٣". [1]

Na maioria das fontes ocidentais modernas, o dígito 3, como os outros dígitos decimais, tem a altura de uma letra maiúscula e fica na linha de base. Em fontes com figuras de texto, por outro lado, o glifo geralmente tem a altura de uma letra minúscula "x" e um descendente: "". Em algumas fontes francesas de figuras de texto, entretanto, ele tem ascendente em vez de descendente.

Uma variante gráfica comum do dígito três tem uma parte superior plana, semelhante à letra Ʒ (ezh). Este formulário é às vezes usado para evitar a falsificação de um 3 como um 8. Ele é encontrado em códigos de barras UPC-A e baralhos de 52 cartas padrão.

  • uma aproximação grosseira de π (3,1415.) e uma aproximação muito grosseira de e (2.71828 ..) ao fazer estimativas rápidas.
  • o número de pontos não colineares necessários para determinar um plano e um círculo.
  • o primeiro número primo ímpar e o segundo menor primo.
  • o primeiro Fermat primo (2 2 n + 1 ).
  • o primeiro primo de Mersenne (2 n − 1 ).
  • o segundo primo de Sophie Germain.
  • o segundo expoente principal de Mersenne.
  • o segundo primo fatorial (2! + 1).
  • o segundo primo de Lucas.
  • o segundo número triangular. É o único número triangular primo.
  • o quarto número de Fibonacci.
  • o menor número de lados que um polígono simples (sem interseção automática) pode ter.

Três é o único primo que é menos um do que um quadrado perfeito. Qualquer outro número que seja n 2 - 1 para algum inteiro n não é primo, pois é (n − 1)(n + 1). Isso também é válido para 3 (com n = 2), mas, neste caso, o menor fator é 1. Se n é maior que 2, ambos n - 1 e n + 1 são maiores que 1, portanto, seu produto não é principal.

Um número natural é divisível por três se a soma de seus dígitos na base 10 for divisível por 3. Por exemplo, o número 21 é divisível por três (3 vezes 7) e a soma de seus dígitos é 2 + 1 = 3. Porque disso, o reverso de qualquer número que seja divisível por três (ou, de fato, qualquer permutação de seus dígitos) também é divisível por três. Por exemplo, 1368 e seu reverso 8631 são divisíveis por três (e assim são 1386, 3168, 3186, 3618, etc.). Consulte também a regra de divisibilidade. Isso funciona na base 10 e em qualquer sistema numeral posicional cuja base dividida por três deixa o resto de um (bases 4, 7, 10, etc.).

Três dos cinco sólidos platônicos têm faces triangulares - o tetraedro, o octaedro e o icosaedro. Além disso, três dos cinco sólidos platônicos têm vértices onde três faces se encontram - o tetraedro, o hexaedro (cubo) e o dodecaedro. Além disso, apenas três tipos diferentes de polígonos compreendem as faces dos cinco sólidos platônicos - o triângulo, o quadrado e o pentágono.

Existem apenas três quadrados panmagic 4 × 4 distintos.

De acordo com Pitágoras e a escola pitagórica, o número 3, que eles chamaram tríade, é o mais nobre de todos os dígitos, pois é o único número igual à soma de todos os termos abaixo dele, e o único número cuja soma com os abaixo é igual ao produto deles e de si mesmo. [2]

A trissecção do ângulo era um dos três problemas famosos da antiguidade.

Gauss provou que todo inteiro é a soma de no máximo 3 números triangulares.

Edição de sistemas numéricos

Há algumas evidências que sugerem que o homem primitivo pode ter usado sistemas de contagem que consistiam em "Um, Dois, Três" e, posteriormente, "Muitos" para descrever os limites de contagem. Os povos primitivos tinham uma palavra para descrever as quantidades de um, dois e três, mas qualquer quantidade além disso era simplesmente indicada como "Muitos". Isso provavelmente se baseia na prevalência desse fenômeno entre pessoas em regiões tão díspares como a profunda Amazônia e as selvas de Bornéu, onde os exploradores da civilização ocidental têm registros históricos de seus primeiros encontros com esses povos indígenas. [3]

Lista de cálculos básicos Editar

Multiplicação 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 50 100 1000 10000
3 × x 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48 51 54 57 60 63 66 69 72 75 150 300 3000 30000
Divisão 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
3 ÷ x 3 1.5 1 0.75 0.6 0.5 0. 428571 0.375 0. 3 0.3 0. 27 0.25 0. 230769 0.2 142857 0.2 0.1875 0.1 7647058823529411 0.1 6 0.1 57894736842105263 0.15
x ÷ 3 0. 3 0. 6 1 1. 3 1. 6 2 2. 3 2. 6 3 3. 3 3. 6 4 4. 3 4. 6 5 5. 3 5. 6 6 6. 3 6. 6
Exponenciação 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
3 x 3 9 27 81 243 729 2187 6561 19683 59049 177147 531441 1594323 4782969 14348907 43046721 129140163 387420489 1162261467 3486784401
x 3 1 8 27 64 125 216 343 512 729 1000 1331 1728 2197 2744 3375 4096 4913 5832 6859 8000
  • O numeral romano III significa estrela gigante no esquema de classificação espectral de Yerkes.
  • Três é o número atômico do lítio.
  • Três é o código ASCII de "Fim do texto".
  • Três é o número de dimensões que os humanos podem perceber. Os humanos percebem que o universo tem três dimensões espaciais, mas algumas teorias, como a teoria das cordas, sugerem que há mais.
  • Três é o número de gerações de férmions elementares de acordo com o Modelo Padrão da física de partículas.
  • O triângulo, um polígono com três arestas e três vértices, é a forma física mais estável. Por esta razão, é amplamente utilizado na construção, engenharia e design. [4]
  • A capacidade do olho humano de distinguir cores é baseada na sensibilidade variável de diferentes células da retina à luz de diferentes comprimentos de onda. Sendo os humanos tricromáticos, a retina contém três tipos de células receptoras coloridas, ou cones.
  • Existem três cores primárias nos modelos aditivo e subtrativo.

Edição de protociência

  • Na alquimia europeia, os três primos (latim: tria prima) eram sal (), enxofre () e mercúrio (). [5] [6]
  • Os três doshas (fraquezas) e seus antídotos são a base da medicina ayurvédica na Índia.

Edição de pseudociência

  • Filósofos como Aquino, Kant, Hegel, C. S. Peirce e Karl Popper fizeram três divisões, ou tricotomias, que têm sido importantes em seu trabalho. A dialética de Tese + Antítese = Síntese cria três-ness a partir de duas-ness.

Muitas religiões mundiais contêm divindades triplas ou conceitos de trindade, incluindo:

Cristianismo Editar

  • O triplo ofício de Cristo é uma doutrina cristã que afirma que Cristo desempenha as funções de profeta, sacerdote e rei.
  • O ministério de Jesus durou aproximadamente três anos. [8]
  • Durante a agonia no jardim, Cristo pediu três vezes que o cálice fosse tirado dele.
  • Jesus ressuscitou dos mortos no terceiro dia após sua morte.
  • O diabo tentou Jesus três vezes. três vezes negou Jesus e três vezes afirmou sua fé em Jesus.
  • Os magos - sábios que eram astrônomos / astrólogos da Pérsia [citação necessária] - deu a Jesus três presentes. [9] [10]
  • Existem três Evangelhos Sinópticos e três epístolas de João. ficou cego por três dias após sua conversão ao cristianismo.

Judaísmo Editar

    teve três filhos: Cão, Sem e Jafé
  • Os Três Patriarcas: Abraão, Isaac e Jacó
  • O profeta Balaão bateu três vezes em sua jumenta.
  • O profeta Jonas passou três dias e três noites na barriga de um grande peixe
  • Três divisões da Torá Escrita: Torá (Cinco Livros de Moisés), Nevi'im (Profetas), Ketuvim (Escritos) [11]
  • Três divisões do povo judeu: Kohen, Levita, Yisrael
  • Três orações diárias: Shacharit, Mincha, Maariv
  • Três refeições de Shabat
  • O Shabat termina quando três estrelas são visíveis no céu noturno [12]: Páscoa, Shavuot, Sucot
  • Três matzos na mesa do Seder da Páscoa [13], um período de luto que une os dias de jejum de 17 de Tamuz e Tisha B'Av
  • Três pecados capitais pelos quais um judeu deve morrer ao invés de transgredir: idolatria, assassinato, imoralidade sexual [14], o primeiro corte de cabelo de um menino judeu aos 3 anos [15]
  • A Beth din é composta por três membros
  • Os conversos em potencial são tradicionalmente rejeitados três vezes para testar sua sinceridade [16]
  • Na tradição mística judaica da Cabala, acredita-se que a alma consiste em três partes, sendo a mais elevada Neshamá ("respiração"), sendo o meio Ruach ("vento" ou "espírito") e o ser inferior nefesh ("repouso"). [17] Às vezes, os dois elementos de Chayah ("vida" ou "animal") e Yechidah ("unidade") são mencionados adicionalmente.
  • Na Cabala, a Árvore da Vida (hebraico: Etz ha-Chayim, עץ החיים) refere-se a uma última representação diagramática de 3 pilares de seu símbolo místico central, conhecido como o 10 Sephirot.

Budismo Editar

  • O Triplo Bodhi (maneiras de entender o fim do nascimento) são Budhu, Pasebudhu e Mahaarahath.
  • As três joias, as três coisas nas quais os budistas se refugiam.

Shinto Edit

Daoism Edit

  • Os Três Tesouros (chinês: 三寶 pinyin: sānbǎo Wade – Giles: san-pao), as virtudes básicas do taoísmo.
  • Os Três Dantianos
  • Três linhas de um trigrama: Céu Fu Xi (Mão - Cabeça - 3º Olho), Humanidade Shen Nong (Unidade 69), Inferno Nüwa (Pé - Abdômen - Umbículo).

Hinduism Edit

  • O Trimurti: Brahma o Criador, Vishnu o Preservador e Shiva o Destruidor.
  • Os três Gunas encontrados na escola Samkhya de filosofia hindu. [18]
  • Os três caminhos para a salvação no Bhagavad Gita chamado Karma Yoga, Bhakti Yoga e Jnana Yoga.

Zoroastrismo Editar

  • As três virtudes de Humata, Hukhta e Huvarshta (Bons pensamentos, boas palavras e boas ações) são um princípio básico no zoroastrismo.

Mitologia nórdica Editar

Três é um número muito significativo na mitologia nórdica, junto com seus poderes 9 e 27.

  • Antes de Ragnarök, haverá três invernos rigorosos sem um verão intermediário, o Fimbulwinter.
  • Odin suportou três sofrimentos na Árvore do Mundo em sua busca pelas runas: ele se enforcou, se feriu com uma lança e passou fome e sede. teve três filhos, Odin, Vili e Vé.

Outras religiões Editar

  • A WiccanRule of Three.
  • A Deusa Tripla: Donzela, Mãe, Anciã os três destinos.
  • Os filhos de Cronos: Zeus, Poseidon e Hades.
  • O deus eslavo Triglav tem três cabeças.

Tradição esotérica Editar

  • A Sociedade Teosófica tem três condições de adesão. Os Três Centros e a Lei dos Três.
  • Liber AL vel Legis, a escritura central da religião de Thelema, consiste em três capítulos, correspondendo a três narradores divinos respectivamente: Nuit, Hadit e Ra-Hoor-Khuit.
  • A Tríplice Grandeza de Hermes Trismegistus é um tema importante no hermetismo.

Como um número de sorte ou azar Editar

Três (三, redação formal: 叁, pinyin sān, Cantonês: saam 1) é considerado um bom número na cultura chinesa porque soa como a palavra "vivo" (生 pinyin shēng, Cantonês: saang 1), em comparação com quatro (四, pinyin: si, Cantonês: sei 1), que soa como a palavra "morte" (死 pinyin , Cantonês: sei 2 ).

Contar até três é comum em situações em que um grupo de pessoas deseja realizar uma ação em sincronia: Agora, na contagem de três, todos puxam! Assumindo que o contador está procedendo a uma taxa uniforme, as duas primeiras contagens são necessárias para estabelecer a taxa, e a contagem de "três" é prevista com base no tempo de "um" e "dois" antes dela. Provavelmente, três é usado em vez de algum outro número porque requer a contagem de quantidade mínima ao definir uma taxa.

Há outra superstição de que é azar acender uma terceira luz, ou seja, ser a terceira pessoa a acender um cigarro do mesmo fósforo ou isqueiro. Às vezes, afirma-se que essa superstição se originou entre os soldados nas trincheiras da Primeira Guerra Mundial, quando um franco-atirador podia ver a primeira luz, mirar na segunda e atirar na terceira. [ citação necessária ]

A frase "O charme da terceira vez" refere-se à superstição de que depois de duas falhas em qualquer empreendimento, uma terceira tentativa tem mais probabilidade de ser bem-sucedida. Isso às vezes também é visto ao contrário, como em "terceiro homem [fazer algo, presumivelmente proibido] é pego". [ citação necessária ]


Isso é chamado de O Símbolo da Iluminação!

Se formos para a Grande Pirâmide de Gizé, não só existem as três pirâmides maiores de Gizé, todas lado a lado, refletindo as posições das estrelas no Cinturão de Órion, mas também vemos um grupo de três pirâmides menores imediatamente longe do três pirâmides maiores.

Encontramos muitas evidências de que a natureza usa simetria tripla e sêxtupla, incluindo a forma hexagonal de ladrilhos do favo de mel comum.

Essas formas estão na natureza, e os antigos imitavam essas formas na construção de sua arquitetura sagrada.

É possível que haja algo especial sobre o misterioso número três? é possível que Tesla descobriu esse segredo profundo e usou esse conhecimento para expandir os limites da ciência e da tecnologia?


9.3: Simplificação de Números Denominados - Matemática

Um problema que atingiu a Internet no início de 2011 é: "Qual é o valor de 48/2 (9 + 3)?"

Dependendo se alguém interpreta a expressão como (48/2) (9 + 3) ou como 48 / (2 (9 + 3)), obtém-se 288 ou 2. Não existe uma convenção padrão sobre qual dessas duas maneiras a expressão deve ser interpretado, então, de fato, 48/2 (9 + 3) é ambíguo. Para torná-lo inequívoco, deve-se escrevê-lo como (48/2) (9 + 3) ou 48 / (2 (9 + 3)). Isso se aplica, em geral, a qualquer expressão do formulário abc : é necessário inserir parênteses para mostrar se significa (a / b)c ou uma/(ac).

Em contraste, sob uma convenção padrão, expressões como ab+c são inequívocos: essa expressão significa apenas (ab)+c e da mesma forma, uma+ac significa apenas uma+(ac) A convenção é que quando os parênteses não são usados ​​para mostrar o contrário, a multiplicação precede a adição (e subtração), ou seja, em ab+c, 1 primeiro multiplica ab, então adiciona c para o resultado, enquanto em uma+ac, um primeiro multiplica ac, em seguida, adiciona o resultado a uma. Para expressões como uma&menosb+c, ou uma+b&menosc, ou uma&menosb&menosc, também há uma convenção fixa, mas em vez de dizer que uma de adição e subtração é sempre feita antes da outra, diz que quando se tem uma sequência dessas duas operações, trabalha-se da esquerda para a direita: Um começa com uma, então adiciona ou subtrai be, finalmente, adiciona ou subtrai c.

Por que não há convenção fixa para interpretar expressões como abc ? Acho que uma das razões é que, historicamente, as frações eram escritas com uma linha horizontal entre o numerador e o denominador. Quando alguém escreve a expressão acima dessa maneira, ou coloca ac sob a linha horizontal, tornando todo o produto o denominador, ou apenas fazendo b o denominador e puts c após a fração. De qualquer forma, o significado é claro pela forma como a expressão é escrita. O uso da inclinação em frações de escrita é conveniente por não criar linhas de texto extra-altas, mas para essa conveniência, pagamos o preço de perder a distinção que veio de como os termos foram dispostos horizontal e verticalmente.

Probably another reason why there is not a fixed convention for order of multiplication and division, as there is for addition and subtraction, is that while people frequently do calculations that involve adding and subtracting lengthy strings of numbers, the numbers of multiplications and divisions that come into everyday calculations tends to be smaller so there is less need for a convention, and none has evolved.

Finally, the convention in algebra of denoting multiplication by juxtaposition (putting symbols side by side), without any multiplication symbol between them, has the effect that one sees something like ab as a single unit, so that it is natural to interpret ab+c ou uma+bc as a sum in which one of the summands is the product ab ou bc. Without that typographic convention, the order-of-operations convention might never have evolved. When one has numbers rather than letters, one can't use juxtaposition, since it would give the appearance of a single decimal number, so one must insert a symbol such as ×, and there is less natural reason for interpreting 2 × 3 + 4 as (2 × 3) + 4 rather than 2 × (3 + 4), but I suppose that we do so by extension of the convention that arose in the algebraic context. Likewise, because addition and subtraction constitute one "family" of operations, and multiplication and division another, and perhaps also because the slant "/" doesn't seem to separate two expressions as much as a + or &minus does, we are ready to read a/b+c etc. as involving division before addition. But when it comes to a/bc, where the operations belong to the same family, the left-to-right order suggests doing the division first, while the "unseparated letters" notation suggests doing the multiplication first so neither choice is obvious.

It is interesting that in the 48/2(9+3) problem, the last element was written 9+3 rather than 12. If the latter had been used, it would have been necessary to insert a multiplication sign, 48/2×12, and I would guess that a large majority of people would have then made the interpretation (48/2)×12. Perhaps we will never know where this puzzle originated perhaps it was cunningly designed so that one interpretation would seem as likely as the other or perhaps it came up as a real expression that someone happened to write down, not thinking of it as ambiguous, but that other people did have trouble with.

From correspondence with people on the the 48/2(9+3) problem, I have learned that in many schools today, students are taught a mnemonic "PEMDAS" for order of operations: Parentheses, Exponents, Multiplication, Division, Addition, Subtraction. If this is taken to mean, say, that addition should be done before subtraction, it will lead to the wrong answer for uma&menosb+c. Presumably, teachers explain that it means "Parentheses &mdash then Exponents &mdash then Multiplication and Division &mdash then Addition and Subtraction", with the proviso that in the "Addition and Subtraction" step, and likewise in the "Multiplication and Division" step, one calculates from left to right. This fits the standard convention for addition and subtraction, and would provide an unambiguous interpretation for a/bc, namely, (a/b)c. But so far as I know, it is a creation of some educator, who has taken conventions in real use, and extended them to cover cases where there is no accepted convention. So it misleads students and moreover, if students are taught PEMDAS by rote without the proviso mentioned above, they will not even get the standard interpretation of uma&menosb+c.


13. Aristotle and the Evidence for the History of Mathematics

As philosophers usually do, Aristotle cites simple or familiar examples from contemporary mathematics, although we should keep in mind that even basic geometry such as we find in Euclid's Elements would have been advanced studies. The average education in mathematics would have been basic arithmetical operations (possibly called logistikê) and metrological geometry (given certain dimensions of a figure, to find other dimensions), such as were also taught in Egypt. Aristotle does allude to this sort of mathematics on occasion, but most of his examples come from the sort of mathematics which we have come to associate with Greece, the constructing of figures from given figures and rules, and the proving that figures have certain properties, and the &lsquodiscovery&rsquo of numbers with certain properties or proving that certain classes of numbers have certain properties. If we attend carefully to his examples, we can even see an emerging picture of elementary geometry as taught in the Academy. In the supplement are provided twenty-five of his favorite propositions (the list is not exhaustive).

Aristotle also makes some mathematical claims that are genuinely problematic. Was he ignorant of contemporary work? Why does he ignore some of the great problems of his time? Is there any reason why Aristotle should be expected, for example to refer to conic sections? Nonetheless, Aristotle does engage in some original and difficult mathematics. Certainly, in this Aristotle was more an active mathematician than his mentor, Plato.

For more information, see the following supplementary document: