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9.5: Área e Volume de Figuras e Objetos Geométricos - Matemática


objetivos de aprendizado

  • conheça o significado e a notação da área
  • conheça as fórmulas de área para algumas figuras geométricas comuns
  • ser capaz de encontrar as áreas de algumas figuras geométricas comuns
  • conheça o significado e a notação do volume
  • conheça as fórmulas de volume para alguns objetos geométricos comuns
  • ser capaz de encontrar o volume de alguns objetos geométricos comuns

Muitas vezes é necessário multiplicar um número denominado por outro. Para fazer isso, multiplicamos as partes do número e as partes da unidade juntas. Por exemplo,

( begin {array} {rcl} { text {8 pol.} cdot text {8 pol.}} & = & {8 cdot 8 cdot text {in.} cdot text {in .}} {} & = & {64 text {in.} ^ 2} end {array} )

( begin {array} {rcl} { text {4 mm} cdot text {4 mm} cdot text {4 mm}} & = & {4 cdot 4 cdot 4 cdot text { mm} cdot text {mm} cdot text {mm}} {} & = & {64 text {mm} ^ 3} end {array} )

Às vezes, o produto das unidades tem um significado físico. Nesta seção, examinaremos o significado dos produtos ( text {(unidade de comprimento)} ^ 2 ) e ( text {(unidade de comprimento)} ^ 3 )

O significado e notação da área

O produto ( text {(unidade de comprimento)} cdot text {(unidade de comprimento)} = text {(unidade de comprimento)} ^ 2 ), ou, unidade de comprimento quadrado (unidade de comprimento quadrado), pode ser interpretado fisicamente como o área de uma superfície.

Área
O área de uma superfície é a quantidade de unidades de comprimento quadrado contidas na superfície.

Por exemplo, 3 polegadas quadradas significa que 3 quadrados, 1 polegada de cada lado, podem ser colocados precisamente em alguma superfície. (Os quadrados podem ter que ser cortados e reorganizados para que correspondam ao formato da superfície.)

Vamos examinar a área das seguintes figuras geométricas.

Fórmulas de área

Podemos determinar as áreas dessas figuras geométricas usando as seguintes fórmulas.

FiguraFórmula de ÁreaDemonstração
Triângulo (A_T = dfrac {1} {2} cdot b cdot h )A área de um triângulo é metade da base vezes a altura.
Retângulo (A_R = l cdot w )A área de um retângulo é o comprimento vezes a largura.
Paralelogramo (A_P = b cdot h )A área de um paralelogramo é a base vezes a altura.
Trapézio (A_ {Trap} = dfrac {1} {2} cdot (b_1 + b_2) cdot h )A área de um trapézio é a metade da soma das duas bases vezes a altura.
Círculo (A_c = pi r ^ 2 )A área de um círculo é ( pi ) vezes o quadrado do raio.

Encontrando Áreas de Algumas Figuras Geométricas Comuns

Conjunto de amostra A

Encontre a área do triângulo.

Solução

( begin {array} {rcl} {A_T} & = & { dfrac {1} {2} cdot b cdot h} {} & = & { dfrac {1} {2} cdot 20 cdot 5 text {sq ft}} {} & = & {10 cdot 6 text {sq ft}} {} & = & {60 text {sq ft}} {} & = & {60 text {ft} ^ 2} end {array} )

A área deste triângulo é de 60 pés quadrados, que geralmente é escrito como 60 ( text {ft} ^ 2 ).

Conjunto de amostra A

Encontre a área do retângulo.

Solução

Vamos primeiro converter 4 pés e 2 pol. Em polegadas. Como desejamos converter para polegadas, usaremos a fração unitária ( dfrac { text {12 in.}} { Text {1 ft}} ), pois tem polegadas no numerador. Então,

( begin {array} {rcl} { text {4 ft}} & = & { dfrac { text {4 ft}} {1} cdot dfrac { text {12 in.}} { texto {1 ft}}} {} & = & { dfrac {4 cancel { text {ft}}} {1} cdot dfrac { text {12 in.}} {1 cancel { text {ft}}}} {} & = & { text {48 pol.}} end {array} )

Assim, ( text {4 pés 2 pol. = 48 pol. + 2 pol. = 50 pol.} )

( begin {array} {rcl} {A_R} & = & {l cdot w} {} & = & { text {50 in.} cdot text {8 in.}} { } & = & {400 text {sq in.}} End {array} )

A área desse retângulo é de 400 pol².

Conjunto de amostra A

Encontre a área do paralelogramo.

Solução

( begin {array} {rcl} {A_P} & = & {b cdot h} {} & = & { text {10.3 cm} cdot text {6.2 cm}} {} & = & {63,86 text {sq cm}} end {array} )

A área deste paralelogramo é de 63,86 cm2.

Conjunto de amostra A

Encontre a área do trapézio.

Solução

( begin {array} {rcl} {A_ {Trap}} & = & { dfrac {1} {2} cdot (b_1 + b_2) cdot h} {} & = & { dfrac { 1} {2} cdot ( text {14,5 mm + 20,4 mm}) cdot (4.1 text {mm})} {} & = & { dfrac {1} {2} cdot ( text {34,9 mm}) cdot (4.1 text {mm})} {} & = & { dfrac {1} {2} cdot text {(143,09 sq mm)}} {} & = & {71.545 text {sq mm}} end {array} )

A área deste trapézio é 71.545 mm2.

Conjunto de amostra A

Encontre a área aproximada do círculo.

Solução

( begin {array} {rcl} {A_c} & = & { pi cdot r ^ 2} {} & approx & {(3,14) cdot (16,8 text {ft}) ^ 2} {} & approx & {(3.14) cdot ( text {282,24 sq ft})} {} & approx & {888,23 text {sq ft}} end {array} )

A área deste círculo é de aproximadamente 886,23 pés quadrados.

Conjunto de Prática A

Encontre a área de cada uma das seguintes figuras geométricas.

Responder

36 cm quadrados

Conjunto de Prática A

Responder

37,503 mm²

Conjunto de Prática A

Responder

13,26 pol²

Conjunto de Prática A

Responder

367,5 sq mi

Conjunto de Prática A

Responder

452,16 pés quadrados

Conjunto de Prática A

Responder

44,28 cm quadrados

O significado e notação para volume

O produto ( text {(unidade de comprimento)} text {(unidade de comprimento)} text {(unidade de comprimento)} = text {(unidade de comprimento)} ^ 3 ), ou unidade de comprimento cúbico (unidade de comprimento cu ), pode ser interpretado fisicamente como o volume de um objeto tridimensional.

Volume
O volume de um objeto é a quantidade de unidades de comprimento cúbico contidas no objeto.

Por exemplo, 4 mm cúbicos significa que 4 cubos, 1 mm de cada lado, preencheriam com precisão algum objeto tridimensional. (Os cubos podem ter que ser cortados e reorganizados para que correspondam à forma do objeto.)

FiguraFórmula de VolumeDemonstração
Sólido retangular ( begin {array} {rcl} {V_R} & = & {l cdot w cdot h} {} & = & { text {(área da base)} cdot text {(altura) }} end {array} )O volume de um sólido retangular é o comprimento vezes a largura vezes a altura.
Esfera (V_s = dfrac {4} {3} cdot pi cdot r ^ 3 )O volume de uma esfera é ( dfrac {4} {3} ) vezes ( pi ) vezes o cubo do raio.
Cilindro ( begin {array} {rcl} {V_ {Cyl}} & = & { pi cdot r ^ 2 cdot h} {} & = & { text {(área da base)} cdot text {(altura)}} end {array} )
O volume de um cilindro é ( pi ) vezes o quadrado do raio vezes a altura.
Cone ( begin {array} {rcl} {V_c} & = & { dfrac {1} {3} cdot pi cdot r ^ 2 cdot h} {} & = & { text {( área da base)} cdot text {(altura)}} end {array} )O volume de um cone é ( dfrac {1} {3} ) vezes ( pi ) vezes o quadrado do raio vezes a altura.

Encontrando volumes de alguns objetos geométricos comuns

Conjunto de amostra B

Encontre o volume do sólido retangular.

Solução

( begin {array} {rcl} {V_R} & = & {l cdot w cdot h} {} & = & { text {9 pol.} cdot text {10 pol.} cdot text {3 in.}} {} & = & { text {270 cu in.}} {} & = & { text {270 in.} ^ 3} end {array} )

O volume deste sólido retangular é 270 cu pol.

Conjunto de amostra B

Encontre o volume aproximado da esfera.

Solução

( begin {array} {rcl} {V_S} & = & { dfrac {4} {3} cdot pi cdot r ^ 3} {} & approx & {( dfrac {4} {3}) cdot (3.14) cdot text {(6 cm)} ^ 3} {} & approx & {( dfrac {4} {3}) cdot (3.14) cdot text {(216 cu cm)}} {} & approx & { text {904.32 cu cm}} end {array} )

O volume aproximado dessa esfera é 904,32 cm cúbicos, que geralmente é escrito como 904,32 cm (^ 3 ).

Conjunto de amostra B

Encontre o volume aproximado do cilindro.

Solução

( begin {array} {rcl} {V_ {Cyl}} & = & { pi cdot r ^ 2 cdot h} {} & approx & {(3.14) cdot ( text {4.9 ft}) ^ 2 cdot text {(7,8 ft)}} {} & approx & {(3,14) cdot ( text {24,01 sq ft}) cdot text {(7,8 ft)}} {} & approx & {(3.14) cdot text {(187,278 cu ft)}} {} & approx & { text {588.05292 cu ft}} end {array} )

O volume deste cilindro é de aproximadamente 588,05292 pés cúbicos. O volume é aproximado porque aproximamos de ( pi ) com 3,14.

Conjunto de amostra B

Encontre o volume aproximado do cone. Arredonde para duas casas decimais.

Solução

( begin {array} {rcl} {V_ {c}} & = & { dfrac {1} {3} cdot pi cdot r ^ 2 cdot h} {} & approx & { ( dfrac {1} {3}) cdot (3.14) cdot ( text {2 mm}) ^ 2 cdot text {(5 mm)}} {} & aprox & {( dfrac {1} {3}) cdot (3.14) cdot ( text {4 sq mm}) cdot text {(5 mm)}} {} & approx & {( dfrac {1} { 3}) cdot (3.14) cdot text {(20 cu mm)}} {} & approx & {20.9 overline {3} text {cu mm}} {} & approx & { text {20.93 cu mm}} end {array} )

O volume desse cone é de aproximadamente 20,93 mm cúbicos. O volume é aproximado porque aproximamos ( pi ) com 3.14.

Conjunto de Prática B

Encontre o volume de cada objeto geométrico. Se ( pi ) for necessário, aproxime-o com 3,14 e encontre o volume aproximado.

Responder

21 cu pol.

Conjunto de Prática B

Esfera

Responder

904,32 pés cúbicos

Conjunto de Prática B

Responder

157 cu m

Conjunto de Prática B

Responder

0,00942 cu pol.

Exercícios

Encontre cada medida indicada.

Exercício ( PageIndex {1} )

Área

Responder

16 m²

Exercício ( PageIndex {2} )

Área

Exercício ( PageIndex {3} )

Área

Responder

1,21 mm²

Exercício ( PageIndex {4} )

Área

Exercício ( PageIndex {5} )

Área

Responder

18 pol. Quadrada

Exercício ( PageIndex {6} )

Área

Exercício ( PageIndex {7} )

Área exata

Responder

((60,5 pi + 132) text {sq ft} )

Exercício ( PageIndex {8} )

Área aproximada

Exercício ( PageIndex {9} )

Área

Responder

40,8 pol²

Exercício ( PageIndex {10} )

Área

Exercício ( PageIndex {11} )

Área aproximada

Responder

31,0132 pol²²

Exercício ( PageIndex {12} )

Área exata

Exercício ( PageIndex {13} )

Área aproximada

Responder

158,2874 mm²

Exercício ( PageIndex {14} )

Área exata

Exercício ( PageIndex {15} )

Área aproximada

Responder

64,2668 pol².

Exercício ( PageIndex {16} )

Área

Exercício ( PageIndex {17} )

Área aproximada

Responder

43,96 pés quadrados

Exercício ( PageIndex {18} )

Volume

Exercício ( PageIndex {19} )

Volume

Responder

512 cu cm

Exercício ( PageIndex {20} )

Volume exato

Exercício ( PageIndex {21} )

Volume aproximado

Responder

11,49 cu cm

Exercício ( PageIndex {22} )

Volume aproximado

Exercício ( PageIndex {23} )

Volume exato

Responder

( dfrac {1024} {3} pi text {cu ft} )

Exercício ( PageIndex {24} )

Volume aproximado

Exercício ( PageIndex {25} )

Volume aproximado

Responder

22,08 cu pol.

Exercício ( PageIndex {26} )

Volume aproximado

Exercícios para revisão

Exercício ( PageIndex {27} )

No número 23.426, quantas centenas existem?

Responder

4

Exercício ( PageIndex {28} )

Liste todos os fatores de 32.

Exercício ( PageIndex {29} )

Encontre o valor de (4 dfrac {3} {4} - 3 dfrac {5} {6} + 1 dfrac {2} {3} ).

Responder

( dfrac {31} {12} = 2 dfrac {7} {12} = 2,58 )

Exercício ( PageIndex {30} )

Encontre o valor de ( dfrac {5 + dfrac {1} {3}} {2 + dfrac {2} {15}} ).

Exercício ( PageIndex {31} )

Encontre o perímetro.

Responder

27,9m


Geometria

A geometria é um ramo da matemática que inclui o estudo da forma, do tamanho e de outras propriedades das figuras. É um dos ramos mais antigos da matemática e pode ter sido usado até mesmo em tempos pré-históricos. Podemos produzir figuras geométricas a partir de situações da vida real. Abaixo está uma imagem onde pontos, linhas e planos representam as paredes e os componentes estruturais dos edifícios.


A geometria é freqüentemente dividida em geometria plana e geometria sólida.


Volume de uma pirâmide

Uma pirâmide é um sólido tridimensional com uma base poligonal. Cada canto de um polígono está ligado a um vértice singular, o que dá à pirâmide sua forma distinta. Cada aresta da base e o vértice formam um triângulo. As pirâmides são nomeadas por sua forma básica.

Para encontrar o volume de uma pirâmide, encontre o volume do prisma com a mesma base e divida por três.

Figura ( PageIndex <4> )


Comprimento

Conversor de Unidade de Comprimento

É uma quantidade escalar unidimensional usada para medir um segmento de linha. A unidade básica de comprimento de medição no sistema internacional de unidades é & quotMETER & quot . Além disso, de acordo com o comprimento dos espécimes, unidades como milímetro, centímetro, decímetro, decâmetro, hectômetro e quilômetro são usados, respectivamente.

Unidades maiores

Unidades menores

Multiplique por 10 ( Rightarrow )

( Leftarrow ) Divida por 10

A tabela acima fornece as informações sobre a unidade básica & # 39METER & # 39 e seus prefixos e como eles são convertidos em unidades menores e maiores, dependendo da medição do espécime a ser medido

A regra de conversão é & quot a multiplicação é feita para converter unidades mais altas em unidades menores, da mesma forma quando a conversão de unidades menores em unidades mais altas é realizada a divisão & quot

Tabela de conversão para medição de comprimento

Converta o seguinte:

1 metro = 1000 milímetro

70 hecta metros = ___ metros

1 km = 0,621 milhas

1 milha = 1,609 km


Dia de Prova

Espera-se que você chegue 15 a 30 minutos antes de seu compromisso agendado para preencher a papelada do pré-teste e a identificação. Itens pessoais não são permitidos no centro de testes. Todos os materiais necessários para o exame são fornecidos, incluindo papel de rascunho, utensílios de escrita e uma calculadora científica.

Antes do início do exame, você tem a oportunidade de fazer um tutorial de familiarização. Depois de concluir o tutorial, o exame começa. Esteja atento ao seu tempo para ter a chance de revisar seu trabalho. Quando estiver satisfeito com seu teste, envie-o para pontuação. Um relatório não oficial de aprovação / não aprovação é fornecido antes de você deixar o centro.


Aplicação do mundo real: comprando madeira

A madeira é comumente vendida em cordões. Um cordão de madeira é uma pilha de madeira bem compactada que mede 1,2 m por 1,2 x 2,5 m. Aproximadamente, quantos cabos de madeira a árvore cortada do primeiro problema produzirá?

Um cordão de madeira é melhor modelado por um prisma retangular. (V = A_ cdot h ), então (V = (4 cdot 4) cdot 8 = 128 pés ^ <3> ). Cada cabo de madeira tem aproximadamente 128 pés cúbicos de madeira. Como a árvore do primeiro problema produziu 257 pés cúbicos de madeira, isso é ( dfrac <257> <128> aproximadamente 2 ) cordões de madeira.

Agora, vamos criar uma equação que relacione o comprimento ao redor de uma árvore em pés, a altura de uma árvore em pés e o número aproximado de cordas de madeira que uma árvore produzirá.

Você quer criar uma equação que tome a entrada da circunferência e da altura e produza uma saída de cordas de madeira. Pense nas etapas executadas nos Exemplos A e B e repita essas etapas com variáveis ​​para circunferência e altura em vez de valores específicos.

Use a distância ao redor da árvore para encontrar o raio:

O volume da madeira da árvore é:

Depois de obter o volume da madeira de uma determinada árvore, para encontrar o número de cordas de madeira, divida o volume por 128 pés3, que é o número de pés cúbicos em uma corda de madeira.

Teste esta fórmula usando as informações originais do primeiro problema sobre o corte de árvores para ver se obteve a resposta correta para o segundo problema. Neste primeiro problema, C = 9 pés eh = 40 pés.

Isso corresponde à resposta para, portanto, você pode ter certeza de que sua equação está correta.

Anteriormente, você foi questionado sobre como o volume da caixa de Mark se relaciona com o tamanho dos quadrados que ele cortou.

Deixe que o comprimento do lado do quadrado que Mark corta de cada canto seja x. A parte do papel que se tornará a base da caixa, uma vez feita, está sombreada em vermelho abaixo.

Figura ( PageIndex <2> )

A caixa é um prisma retangular. O volume da caixa é, portanto, (V = A_ cdot h.

Portanto, o volume da caixa em termos do tamanho do quadrado é:

Mark pode usar esta fórmula para determinar o volume da caixa dado o comprimento do lado dos quadrados que ele corta. Por exemplo, se ele cortar quadrados de 2 x 2 polegadas, então x = 2. O volume da caixa seria:

Represente graficamente a equação (y = 4x ^ <3> & menos39x ^ <2> + 93,5x ) com uma calculadora gráfica. O que os pontos deste gráfico representam? Que parte deste gráfico é relevante para este problema?

Os pontos no gráfico representam o volume da caixa dado o comprimento do lado de cada quadrado recortado.

Figura ( PageIndex <3> )

Porque Mark não pode cortar um quadrado com um comprimento do lado negativo ou um quadrado com um comprimento do lado maior que 4,25 em (porque o papel tem apenas 8,5 polegadas de largura), a parte do gráfico que é relevante é a parte com valores de (x ) entre 0 e 4,25.

Figura ( PageIndex <4> )

Aproximadamente que tamanho de quadrados maximizará o volume da caixa (fazer com que a caixa tenha o maior volume possível)? Como o gráfico do nº 1 o ajuda a responder a essa pergunta?

O volume máximo parece ocorrer com quadrados de aproximadamente 1,6 polegadas por 1,6 polegadas. O volume naquele ponto parece estar em torno de (66 in ^ <3> ). O gráfico ajuda a responder a essa pergunta porque o pico no gráfico é onde ocorre o volume máximo.

Figura ( PageIndex <5> )

O tamanho do quadrado que maximiza o volume também maximiza a área de superfície da caixa? Explique.

A área da superfície da caixa aberta será a área da caixa desdobrada (a rede). Quanto mais você cortar o papel, menor será a área de superfície. Portanto, o tamanho do quadrado que maximiza o volume não maximiza também a área de superfície da caixa.


África do Sul

Em 2000, o Departamento Nacional de Educação divulgou a Declaração do Currículo Nacional Revisada das séries R a 9, para simplificar e fortalecer o currículo de 2005. 6 A Declaração de Currículo Nacional Revisada das séries R a 9 foi aprovada em 2002 e implementada em 2004. Em 2011, este currículo foi revisado como Declaração de Política de Currículo e Avaliação, e foi subsequentemente implementado em 2012. A Declaração de Política de Currículo e Avaliação Nacional é uma documento de política único, abrangente e conciso que substituiu as Declarações de Matéria e Área de Aprendizagem, Diretrizes do Programa de Aprendizagem e Diretrizes de Avaliação de Matéria para todas as disciplinas listadas na Declaração de Currículo Nacional das séries R a 12. 7 Alunos da 9ª série durante o 2014– O ano letivo de 2015 foi ministrado de acordo com este currículo.

O currículo de matemática para a Fase de Educação e Treinamento Geral (Graus R a 9) consiste em cinco conjuntos de resultados de aprendizagem: Números, Operações e Padrões de Relações, Funções e Álgebra, Espaço e Forma (Geometria), Medição e Manuseio de Dados. 8 níveis de série determinam o foco de cada resultado de aprendizagem. A seguir está um resumo dos resultados de aprendizagem e padrões de avaliação que se espera que os alunos tenham alcançado em matemática nas séries R a 9.


9.5: Área e Volume de Figuras e Objetos Geométricos - Matemática

TI-83/84 PLUS PLUS BÁSICOS DE MATEMÁTICA (GEOMETRIA)

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Superfície

Para encontrar o área de superfície de um prisma, encontre a soma das áreas de suas faces. O área lateral é a soma das áreas das faces laterais. A unidade básica de área é a unidade quadrada.

Figura ( PageIndex <3> )


Principais diferenças entre área e volume

Os pontos dados abaixo são significativos, no que diz respeito à diferença entre área e volume:

  1. A região ou espaço da figura plana ou objeto é chamada de área. A quantidade de espaço contida por um objeto é chamada de volume.
  2. As figuras planas têm área, enquanto as formas sólidas têm volume.
  3. A área descreve a quantidade de espaço fechado, enquanto o volume determina a capacidade dos sólidos.
  4. A medição da área é feita em unidades quadradas, que podem ser centímetros, jardas e assim por diante. Pelo contrário, o volume é medido em unidades cúbicas.
  5. As formas com duas dimensões, ou seja, comprimento e largura, têm área. Em oposição a isso, as formas com três dimensões, ou seja, comprimento, largura e altura, têm volume.

Conclusão

Portanto, com a discussão acima, você pode ter entendido claramente que os dois conceitos matemáticos variam muito em seu uso e medição. Enquanto a área é usada para determinar o espaço coberto pelo objeto plano, o volume é usado para descobrir o espaço dentro do objeto.