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3: Expoentes e Logaritmos - Matemática


Neste capítulo, examinaremos conceitos relacionados a relacionamentos exponenciais, logarítmicos e logísticos. Na primeira seção, veremos como abordar esses problemas de uma perspectiva gráfica. Nas seções subsequentes, examinaremos os métodos necessários para trabalhar com esses problemas algebricamente.


3: Expoentes e Logaritmos - Matemática

Anteriormente, descobrimos que como Olympia, WA tinha uma população de 245 mil em 2008 e vinha crescendo 3% ao ano, a população poderia ser modelada pela equação

Usando essa equação, fomos capazes de prever a população no futuro.

Suponha que quiséssemos saber quando a população de Olímpia chegaria a 400 mil. Já que estamos procurando o ano n quando a população for de 400 mil, teríamos que resolver a equação

Dividindo ambos os lados por 245.000 dá

Uma abordagem para esse problema seria criar uma tabela de valores ou usar a tecnologia para desenhar um gráfico para estimar a solução.

A partir do gráfico, podemos estimar que a solução ficará em torno de 16 a 17 anos após 2008 (2024 a 2025). Isso é muito bom, mas realmente gostaríamos de ter uma ferramenta algébrica para responder a esta pergunta. Para fazer isso, precisamos introduzir uma nova função que desfará exponenciais, semelhante a como uma raiz quadrada desfaz um quadrado. Para exponenciais, a função de que precisamos é chamada de logaritmo. É o inverso do exponencial, o que significa que desfaz o exponencial. Embora exista toda uma família de logaritmos com diferentes bases, vamos nos concentrar no log comum, que é baseado no exponencial 10 x .

Estratégia de Estudo

Trabalhe nos exemplos a seguir, mostrando como usar um logaritmo para & # 8220undo & # 8221 um expoente usando lápis e papel várias vezes até começar a ser capaz de ver o padrão dele com bastante clareza. A repetição de escrever propositalmente enquanto declara em voz alta a operação que você está realizando pode ajudá-lo a obter e, então, reter a ideia.

Logaritmo Comum

O logaritmo comum, log escrito (x), desfaz o exponencial 10 x

Isso significa que o log (10 x ) = x, e da mesma forma 10 log (x) = x

Isso também significa que a declaração 10 uma = b é equivalente ao log de declaração (b) = uma

registro(x) é lido como "log de x”, E significa“ o logaritmo do valor x”. É importante notar que este é não multiplicação - o log não significa nada por si só, assim como √ não significa nada por si só, ele deve ser aplicado a um número.

Expoentes e logaritmos: uma ajudinha

Você viu que o logaritmo comum, o log escrito (x), desfaz o exponencial 10 x .

Isso funciona porque o logaritmo comum tem uma base 10, assim como a expressão exponencial 10 x. Ou seja, log (x) desfaz 10 x porque log (x) é o número ao qual elevamos 10 para obter o número x.

No EXEMPLO abaixo, a parte (a) pede que você avalie o log (100).

log (100) = log (10 2), o que nos dá a afirmação x = 2 porque 2 é o número para o qual aumentamos 10 para obter 100.

A parte (d) pede que você avalie o log (1/100). Primeiro, tente reescrever 1/100 conforme a base 10 elevada a um número.


Introdução às funções logarítmicas



Nesta lição, veremos o que são logaritmos e a relação entre expoentes e logaritmos.

Os logaritmos podem ser considerados como o inverso dos expoentes (ou índices).

Lembre-se: o logaritmo é o expoente.

O diagrama a seguir mostra a relação entre logaritmo e expoente. Role a página para baixo para obter mais exemplos e soluções para logaritmos e expoentes.

Converta a seguinte forma exponencial para a forma logarítmica:

a) 4 2 = 16
2 = log4 16 (o log é o expoente)

Converta a seguinte forma logarítmica para a forma exponencial


Observe o seguinte:

  • Desde uma 1 = uma, registroumauma = 1
  • Desde uma 0 = 1, loguma1 = 0
  • Registrouma 0 é indefinido
  • Logaritmos de números negativos são indefinidos.
  • A base dos logaritmos pode ser qualquer número positivo, exceto 1.
  • Os logaritmos na base 10 são conhecidos como logaritmos comuns e são representados por log10 ou log.
  • Os logaritmos para a base e são conhecidos como logaritmos naturais e são representados por loge ou ln.

Experimente a calculadora Mathway gratuita e o solucionador de problemas abaixo para praticar vários tópicos de matemática. Experimente os exemplos fornecidos ou digite seu próprio problema e verifique sua resposta com as explicações passo a passo.

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3. As Leis do Logaritmo

Desde um logaritmo é simplesmente um expoente que está sendo escrito na linha, esperamos que as leis do logaritmo funcionem da mesma forma que as regras para expoentes e, felizmente, funcionam.

ExpoentesLogaritmos
`b ^ m & times b ^ n =` `b ^ (m + n)` `log_b xy =` `log_b x + log_b y`
`b ^ m & divide b ^ n =` `b ^ (m-n)` `log_b (x / y) =` `log_b x & menos log_b y`
`(b ^ m) ^ n = b ^ (mn)` `log_b (x ^ n) =` `n log_b x`
`b ^ 1 = b` `log_b (b) = 1`
`b ^ 0 = 1` `log_b (1) = 0`

Observação: Em nossas calculadoras, "log" (sem qualquer base) significa "log base 10". Assim, por exemplo, & quot log 7 & quot significa & quot log107 & quot.

Exemplos

como a soma de 2 logaritmos.

Usando a primeira lei dada acima, nossa resposta é

Nota 1: Isso tem o mesmo significado que `10 ^ 7 xx 10 ^ x = 10 ^ (7 + x)`

Nota 2: Esta questão é não o mesmo que `log_7 x`, que significa & quotlog de x para a base `7` & quot, que é bem diferente.

2. Usando sua calculadora, mostre que

Estou usando números desta vez para que você possa se convencer de que a lei do registro funciona.

Mostramos que a segunda lei do logaritmo acima funciona para nosso exemplo numérico.

3. Expresse como um múltiplo de logaritmos: log x 5 .

Usando a terceira lei do logaritmo, temos

Nós o expressamos como um múltiplo de um logaritmo e não envolve mais um expoente.

Nota 1: Cada um dos seguintes é igual a 1:

As declarações equivalentes, usando expoentes comuns, são as seguintes:

Nota 2: Todos os seguintes são equivalentes a `0`:

As declarações equivalentes na forma exponencial são:

Exercícios

1. Expresse como uma soma, diferença ou múltiplo de logaritmos:

como o logaritmo de uma única quantidade.

Aplicando as leis do logaritmo, temos:

Observação: O logaritmo para basear e é um logaritmo muito importante. Você o encontrará primeiro em Logs Naturais (Base e) e o verá em todos os capítulos de cálculo posteriormente.


Exemplos resolvidos na matemática das finanças

Você pode verificar suas respostas conforme aplicável com: Calculadoras de Matemática de Finanças
Para alunos ACT
O ACT é um exame cronometrado. $ 60 $ perguntas por $ 60 $ minutos
Isso significa que você deve resolver cada questão em um minuto.
Algumas perguntas normalmente levam menos de um minuto para serem resolvidas.
Algumas questões normalmente levam mais de um minuto para serem resolvidas.
O objetivo é maximizar seu tempo. Você usa o tempo economizado nessas questões que você resolveu em menos de um minuto, para resolver as questões que levarão mais de um minuto.
Então, você deve tentar resolver cada questão corretamente e oportuno.
Então, não é apenas resolver uma questão corretamente, mas resolvê-la corretamente na hora certa.
Certifique-se de tentar todas as questões ACT.
Não há penalidade "negativa" para qualquer resposta errada.

Para alunos JAMB, NZQA e CMAT
Calculadoras não são permitidas. Assim, as questões são resolvidas de uma forma que não requer calculadora.

Para alunos WASSCE
Qualquer questão rotulada WASCCE é uma questão para o WASCCE General Mathematics
Qualquer pergunta rotulada como WASSCE: FM é uma pergunta para o WASSCE Further Mathematics / Elective Mathematics

Para alunos GCSE
Todo o trabalho é mostrado para satisfazer (e realmente exceder) o mínimo para atribuição de notas de método.
Calculadoras são permitidas para algumas perguntas. Calculadoras não são permitidas para algumas perguntas.

Para alunos do NSC
Para as perguntas:
Qualquer espaço incluído em um número indica uma vírgula usada para separar os dígitos. separando múltiplos de três dígitos por trás.
Qualquer vírgula incluída em um número indica um ponto decimal.
Para as Soluções:
Decimais são usados ​​apropriadamente em vez de vírgulas
As vírgulas são usadas para separar os dígitos de forma adequada.

Resolva todos os problemas de palavras.
Use pelo menos dois métodos conforme aplicável.
Verifique suas soluções conforme aplicável.
Mostrar todo o trabalho.
Arredonde todas as respostas para duas casas decimais.

(1.) Os pais de Esther depositaram uma quantia de $ $ 750 $ em uma conta pré-paga da faculdade.
Qual é o valor desse dinheiro após um período de dezesseis anos se ele for investido a $ 3 \% $ compostos anualmente?

(2.) Nahum investiu $ $ 10.000 $ em um banco que paga $ 13,7 \% $ compostos continuamente.
(a.) Quanto dinheiro ele terá depois de $ 2 $ anos?
(b.) Se outro banco pagasse a Nahum $ 14 \% $ compostos trimestralmente, quanto ele teria após $ 2 $ anos?

(3.) Matthew tem $ $ 1000 $ para investir a $ 6 \% $ por ano compostos trimestralmente.
(a.) Quanto tempo vai demorar até que ele tenha $ $ 1450 $?
(b.) Se a composição for contínua, quanto tempo durará?

(4.) Uma empresa de empréstimos deseja oferecer um CD (certificado de depósito) com uma taxa mensal da empresa que tem um APY de $ 7,5 \% $.
Qual taxa nominal anual composta mensalmente eles deveriam usar?

(5) Esdras investiu $ $ 2.000 $ a uma taxa de juros, $ k $ compostos continuamente.
O fundo totalizou $ $ 2504,65 $ em $ 5 $ anos.
(a.) Calcule a taxa de juros.
(b.) Calcule o saldo após $ 10 $ anos.
(c.) Depois de quanto tempo o fundo será duplicado?
Arredonde para o centésimo mais próximo, conforme necessário.

(6) Malaquias investiu uma soma de $ $ 800 $ em uma conta que paga juros à taxa de $ 2,9 \% $ ao ano, compostos continuamente.
Quanto dinheiro haverá na conta após $ 8 $ anos?
Calcule o tempo de duplicação.
Arredonde para o centésimo mais próximo, conforme necessário.

$ underline [3ex] P = $ 800 [3ex] t = 8 : anos [3ex] r = 2,9 \% = dfrac <2,9> <100> = 0,029 [5ex] A = Pe ^ [5ex] A = 800 * e ^ <0,029 * 8> [5ex] = 800 * e ^ <0,232> [5ex] = 800 * 1,261119729 [2ex] = 1008,895783 [3ex] A approx $ 1008,90 [3ex] $ Calculando o tempo de duplicação significa "quando" o fundo será duplicado?
"Quanto tempo" levará para o dinheiro dobrar?


E quanto à parte fracionária de um logaritmo binário?

Deixar n ser a parte inteira do logaritmo binário de x, então a parte fracionária do logaritmo pode ser calculada assim:

Assim, calcular a parte fracionária de um logaritmo binário poderia ser deduzido para calcular o logaritmo binário de um número entre 1 (inclusivo) e 2 (exclusivo). Para fazer esse cálculo, usaremos as duas regras a seguir:

Aqui está o código escrito como se o Solidity fosse originalmente compatível com números fracionários:

A cada iteração, aplicamos a regra anterior: elevar ao quadrado o valor de xe dividir o valor de delta pela metade. Se em algum ponto o valor de x se tornar maior ou igual a 2, então aplicamos a última regra: adicione delta ao resultado e divida o valor de x pela metade. Repetimos o loop até que o delta caia abaixo da precisão desejada, pois continuar com o cálculo não adicionaria nada significativo ao resultado.

Infelizmente, o Solidity não suporta frações nativamente, então o código real será parecido com este:

onde UM, DOIS, add, mul, div e gte são constantes e funções emulando algum tipo de números fracionários e aritmética neles para Solidity.

Felizmente, as Bibliotecas ABDK estão prontas para usar implementações de logaritmo binário para números de ponto flutuante binário de precisão quádrupla de ponto fixo binário de 64,64 bits.

Agora, quando sabemos como calcular o logaritmo binário,


Expoentes no mundo real

Expoentes, números de índice, poderes e índices são usados ​​em muitas partes de nosso mundo tecnológico moderno.

Os expoentes são usados ​​em Física de Jogos de Computador, escalas de medição de pH e Richter, Ciências, Engenharia, Economia, Contabilidade, Finanças e muitas outras disciplinas.

O crescimento exponencial é um aspecto extremamente importante de finanças, demografia, biologia, economia, recursos, eletrônica e muitas outras áreas.

A deterioração exponencial está associada a luz, som, luminárias esportivas, produtos químicos perigosos e resíduos radioativos.

As pessoas que usam expoentes são economistas, banqueiros, consultores financeiros, avaliadores de risco de seguros, biólogos, engenheiros, programadores de computador, químicos, físicos, geógrafos, engenheiros de som, estatísticos, matemáticos, geólogos e muitas outras profissões.

Nesta lição, mostramos vários usos de expoentes na vida real, bem como seu impacto em nossa compreensão do mundo moderno ao nosso redor.

Os expoentes são fundamentais, principalmente na Base 2 e na Base 16, assim como nas fórmulas de Física e Eletrônica envolvidas na Computação.

Nos últimos anos, houve um aumento exponencial na velocidade e no poder dos computadores e, por volta de 2030, prevê-se que o poder da computação seja igual ao do cérebro humano.

Os expositores são extremamente importantes em vendas e marketing modernos baseados na Internet,

Os expoentes são importantes em investimentos e finanças.

Juros compostos também funcionam contra pessoas com dívidas de cartão de crédito que não pagam, porque a dívida aumenta cada vez mais rapidamente a cada período de faturamento e pode rapidamente ficar fora de controle.

Os expoentes são a base da & # 8220Demografia & # 8221 (crescimento populacional)

A população mundial está aumentando a uma taxa extraordinária, especialmente nas regiões em desenvolvimento da África, Índia e China.


Com o enorme crescimento populacional, vem o uso massivo de combustíveis fósseis para a indústria, aquecimento, eletricidade e transporte.

Nos últimos anos, houve aumentos exponenciais massivos no uso de telefones celulares e na penetração no mercado.

A dívida de crédito ao consumidor aumentou nos últimos anos para níveis recordes.

Os expoentes também fazem parte da Food Technology and Microbiology.

As doenças causadas por vírus (assim como muitos vírus de e-mail e computador) podem se espalhar a taxas cada vez maiores, causando grandes áreas infectadas.

Isso acontece da mesma forma que o Marketing Viral se ramifica em ramos cada vez mais amplos, com mais e mais pessoas passando algo para mais e mais outras pessoas.

Em explosões, obtemos uma produção descontrolada e massivamente crescente de energia e força em um período de tempo muito curto.

Imagine isso como um gráfico exponencial muito íngreme, comparado a um fósforo aceso distribuindo energia em um gráfico de linha reta razoavelmente plano.

As situações que temos considerado até agora envolvem & # 8220Exponential Growth & # 8221.

As equações para gráficos dessas situações contêm expoentes, e isso faz com que o gráfico comece devagar, mas depois aumente muito rapidamente.

Por exemplo. Pense nos números quadrados e como eles ficam cada vez maiores rapidamente:

1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 132 etc

Só precisamos de nove números quadrados para chegar a 100.

As situações de crescimento exponencial quando representadas graficamente se parecem com o diagrama abaixo.

O oposto de & # 8220 Crescimento exponencial & # 8221 é quando aplicamos expoentes às frações que resultam em & # 8220 Decaimento exponencial & # 8221.

Usar valores negativos de potência resulta em frações e, quando essas frações têm expoentes aplicados a elas, obtemos & # 8220Decay & # 8221.

Em um processo de & # 8220Decay & # 8221, a quantidade envolvida diminui muito rapidamente no início, mas depois a queda torna-se cada vez mais lenta.

Um gráfico típico de Decaimento Exponencial se parece com este:

Fazendo um Gráfico de Decaimento Exponencial


Fonte da imagem: http://teachers.egfi-k12.org

Uma maneira divertida de fazer um gráfico de decaimento exponencial é pegar um pacote de M & # 038M & # 8217s ou Skittles e continuar servindo-os de um copo, mas a cada vez removendo quaisquer doces que caiam com o lado da letra à mostra.

Isso deve produzir o gráfico necessário.

Há um grande conjunto de instruções sobre como fazer isso no seguinte link:

Decaimento exponencial e # 8211 Exemplos da vida real

Alguns exemplos de decaimento exponencial no mundo real são os seguintes.

Decadência exponencial e meia-vida

Muitos materiais nocivos, especialmente lixo radioativo, levam muito tempo para se decomporem em níveis seguros no meio ambiente.

Isso ocorre porque esses materiais sofrem decomposição exponencial e mesmo uma pequena quantidade do material restante pode ser prejudicial.

A escala Richter é usada para medir o quão poderosos são os terremotos.

A energia real de cada terremoto é uma potência de 10, mas na escala nós simplesmente pegamos o valor do índice de 1, 2, 3, 4, etc, em vez da quantidade expoente total.

Isso significa que um terremoto de escala Richter 6 é, na verdade, 10 vezes mais forte do que um terremoto de escala Richter 5. (Por exemplo, 1000000 vs 100000).

Da mesma forma, um terremoto de escala Richter 7 é na verdade 100 vezes mais forte do que um terremoto de escala Richter 5. (Por exemplo, 10000000 vs 100000).

A escala de pH para medir a acidez de materiais também é criada tomando os valores de potência de potências medidas de 10 valores de concentração de ácido.

Expoentes e notação científica

Números muito grandes, como a distância entre planetas ou a população de países, são expressos usando potências de 10 em um formato chamado & # 8220Scientific Notation & # 8221.

A notação científica também é usada para expressar valores decimais muito pequenos, como o tamanho das moléculas do vírus da gripe ou a distância entre os átomos em uma estrutura cristalina.

Apresentação online sobre expoentes no mundo real

Uma apresentação online desta lição está disponível no SlideShare no seguinte Link:

Vídeo musical sobre expoentes

O videoclipe a seguir, tudo sobre Exponents, é possivelmente o vídeo de matemática de maior sucesso já enviado ao YouTube.

Atualmente, tem mais de 850.000 visualizações no YouTube e é uma produção incrível!

Bem digno de ser visto por qualquer pessoa que esteja aprendendo Índices e Expoentes.

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Propriedades dos logaritmos

Às vezes, são chamadas de identidades logarítmicas ou leis logarítmicas.

A regra do produto:

O log de um produto é igual à soma dos logs.

A regra do quociente:

O log de um quociente (ou seja, uma razão) é a diferença entre o log do numerador e o log do denominador.

A regra do poder:

O log de um número elevado a uma potência é o produto da potência e do número.

Mudança de base:

Esta identidade é útil se você precisar calcular um log para uma base diferente de 10. Muitas calculadoras têm apenas as chaves & quotlog & quot e & quotln & quot para log na base 10 e log natural na base e respectivamente.


O número $ 9 $ é uma quantidade e pode ser expresso de forma exponencial pela exponenciação.

$ 9 , = , 3 vezes 3 $
$ implica 9 , = , 3 ^ 2 $

Nesse caso, $ 3 $ é uma quantidade e $ 2 $ é o número de seus fatores de multiplicação. A operação inversa de $ 9 , = , 3 ^ 2 $ é escrita na forma logarítmica.

O sistema logarítmico representa que o número de fatores de multiplicação é $ 2 $ quando a quantidade $ 9 $ é escrita como fatores de multiplicação com base no número $ 3 $.

A relação matemática inversa mútua entre os sistemas exponencial e logarítmico é escrita em matemática da seguinte maneira.

Forma algébrica

$ y $ é uma quantidade. Ele é escrito em termos de $ b $ e o número total de fatores de multiplicação é $ x $. A relação entre três deles é escrita na forma matemática por exponenciação.

É escrito na forma logarítmica da seguinte maneira para encontrar o número total de fatores de multiplicação, expressando y como fatores de multiplicação de b ..

A relação entre os sistemas logarítmico e exponencial é escrita na forma algébrica da seguinte maneira.


3: Expoentes e Logaritmos - Matemática

Dois tipos de logaritmos são freqüentemente usados ​​em química: logaritmos comuns (ou briggianos) e logaritmos naturais (ou napierianos). A potência à qual uma base de 10 deve ser elevada para obter um número é chamada de logaritmo comum (log) do número. A potência à qual a base e (e = 2,718281828.) Deve ser elevada para obter um número é chamada de logaritmo natural (ln) do número.

Em termos mais simples, meu professor de matemática da 8ª série sempre me disse: LOGS SÃO EXPONENTES !! O que ela quis dizer com isso?

    Usando log10 ("logar na base 10"):
    registro10100 = 2 é equivalente a 10 2 = 100
    onde 10 é a base, 2 é o logaritmo (ou seja, o expoente ou potência) e 100 é o número.

O restante desta mini-apresentação se concentrará nos logaritmos da base 10 (ou logs). Um uso de logs em química envolve pH, onde pH = -log10 da concentração de íons de hidrogênio.

Aqui estão alguns exemplos simples de registros.

NúmeroExpressão ExponencialLogaritmo
100010 3 3
10010 2 2
1010 1 1
110 0 0
1/10 = 0.110 - 1 -1
1/100 = 0.0110 - 2 -2
1/1000 = 0.00110 - 3 -3

    Exemplo 1: log 5,43 x 10 10 = 10,73479983. (muitos algarismos significativos)

Portanto, vamos examinar o logaritmo mais de perto e descobrir como determinar o número correto de algarismos significativos que ele deve ter.

    Exemplo 1: log 5,43 x 10 10 = 10,735
    O número possui 3 algarismos significativos, mas seu log termina com 5 algarismos significativos, já que a mantissa possui 3 e a característica possui 2.

    Exemplo 4: Qual é o pH de uma solução aquosa quando a concentração de íon hidrogênio é 5,0 x 10 - 4 M?

ENCONTRANDO ANTILOGARITMOS (também chamado de Logaritmo Inverso)

  1. digite o número,
  2. pressione o botão inverso (inv) ou shift e, em seguida,
  3. pressione o botão log (ou ln). Ele também pode ser identificado como o botão 10 x (ou e x).

    Exemplo 5: log x = 4,203 então, x = log inverso de 4,203 = 15958,79147. (muitos algarismos significativos)
    Existem três algarismos significativos na mantissa do log, portanto, o número tem 3 algarismos significativos. A resposta para o número correto de algarismos significativos é 1,60 x 10 4.

    Exemplo 8: Qual é a concentração da concentração do íon hidrogênio em uma solução aquosa com pH = 13,22?

CÁLCULOS ENVOLVENDO LOGARITMOS

Como os logaritmos são expoentes, as operações matemáticas que os envolvem seguem as mesmas regras que as dos expoentes.