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2.6: Aplicações de Razão e Proporção - Matemática


objetivos de aprendizado

  • Entenda a diferença entre uma razão e uma proporção.
  • Resolva proporções usando multiplicação cruzada.
  • Resolva aplicações envolvendo proporções, incluindo triângulos semelhantes.

Definições

Uma razão é uma relação entre dois números ou quantidades geralmente expressa como um quociente. As proporções são normalmente expressas usando a seguinte notação:

( frac {a} {b} qquad a : to : b qquad a: b )

Todos os itens acima são formas equivalentes usadas para expressar uma proporção. No entanto, a maneira mais familiar de expressar uma proporção é na forma de uma fração. Ao escrever proporções, é importante prestar atenção às unidades. Se as unidades forem iguais, a proporção pode ser escrita sem elas.

Exemplo ( PageIndex {1} )

Expresse a proporção de (12 ) pés para (48 ) pés na forma reduzida.

Solução:

( begin {alinhados} 12 text {feet to} 48 text {feet} & = frac {12 text {feet}} {48 text {feet}} & = color {black} { frac {12 color {Cerúleo} { div 12}} {48 color {Cerúleo} { div 12}}} & color {Cerúleo} {Reduzir.} & = frac {1} {4 } end {alinhado} )

Responder:

(1 ) a (4 )

Se as unidades forem diferentes, devemos nos certificar de incluí-las, pois a proporção representa uma taxa.

Exemplo ( PageIndex {2} )

Expresse a proporção (220 ) milhas a (4 ) horas de forma reduzida.

Solução:

( begin {align} 220 text {miles to} 4 text {hours} & = frac {220 text {miles}} {4 text {hours}} & = frac {55 text {milhas}} {1 text {hora}} & = 55 text {milhas hora} end {alinhado} )

Responder:

(55 ) milhas a (1 ) horas (ou (55 ) milhas por hora)

As taxas são úteis para determinar o custo unitário ou o preço de cada unidade. Usamos o custo unitário para comparar valores quando as quantidades não são as mesmas. Para determinar o custo unitário, divida o custo pelo número de unidades.

Exemplo ( PageIndex {3} )

Um supermercado local oferece um pacote de (12 ) refrigerantes por $ (3,48 ) à venda, e o armazém local de descontos oferece o refrigerante em um (36 ) - lata por $ (11,52 ). Qual é o melhor valor?

Solução:

Divida o custo pelo número de latas para obter o preço unitário.

SupermercadoArmazém de descontos
$ (3,4812 ) latas (= ) $ (0,29 ) / lata$ (11.5236 ) cans (= ) $ (0,32 ) / can
Tabela ( PageIndex {1} )

Responder:

O preço de venda no supermercado de $ (3,48 ) para um pacote de (12 ) é um valor melhor de $ (0,29 ) por lata.

Uma proporção é uma declaração de igualdade de duas proporções.

[ frac {a} {b} = frac {c} {d} ]

Esta proporção é frequentemente lida como “ (a ) é para (b ) como (c ) é para (d ).” Aqui está um exemplo de uma proporção simples,

( frac {1} {2} = frac {2} {4} )

Se limparmos as frações multiplicando ambos os lados da proporção pelo produto dos denominadores, (8 ), obteremos a seguinte afirmação verdadeira:

( begin {align} color {Cerulean} {8 cdot} color {black} { frac {1} {2}} & = color {Cerulean} {8 cdot} color {black} { frac {2} {4}} 4 cdot 1 & = 2 cdot 2 4 & = 4 end {alinhado} )

Dados quaisquer números reais diferentes de zero (a, b, c, ) e (d ) que satisfaçam uma proporção, multiplique ambos os lados pelo produto dos denominadores para obter o seguinte:

( begin {alinhados} frac {a} {b} & = frac {c} {d} color {Cerúleo} {bd} color {black} { cdot frac {a} {b }} & = color {Cerúleo} {bd} color {black} { cdot frac {c} {d}} ad & = bc end {alinhado} )

Isso mostra que os produtos cruzados são iguais e é comumente referido como multiplicação cruzada.

[ text {If} frac {a} {b} = frac {c} {d} text {then} ad = bc ]

Resolvendo Proporções

Multiplique cruzado para resolver as proporções em que os termos são desconhecidos.

Exemplo ( PageIndex {4} )

Resolver:

( frac {5} {8} = frac {n} {4} ).

Solução:

Multiplique cruzado e resolva para (n ).

Figura ( PageIndex {1} )

( begin {alinhados} 5 cdot 4 & = 8 cdot n & color {Cerúleo} {Cruz : multiplique.} 20 & = 8n frac {20} { color {Cerúleo} {8} } & = frac {8n} { color {Cerúleo} {8}} & color {Cerúleo} {Divida : por : 8.} color {preto} { frac {20 color {Cerúleo } { div 4}} {8 color {Cerúleo} { div 4}}} & = n & color {Cerúleo} {Reduzir.} frac {5} {2} & = n end { alinhado} )

Responder:

(n = frac {5} {2} )

Exemplo ( PageIndex {5} )

Resolver:

( frac {15} {x} = frac {5} {6} ).

Solução:

Multiplique cruzado e resolva para (x ).

( begin {alinhados} frac {15} {x} & = frac {5} {6} 15 cdot 6 & = x cdot 5 15 cdot 6 & = 5x frac {15 cdot 6} { color {Cerúleo} {5}} & = frac {5x} { color {Cerúleo} {5}} 3 cdot 6 & = 1x 18 & = x end {alinhado} )

Responder:

(x = 18 )

Exemplo ( PageIndex {6} )

Resolver:

( frac {n + 3} {5} = frac {7} {2} ).

Solução:

Ao fazer a multiplicação cruzada, certifique-se de agrupar (n + 3 ). Aplique a propriedade distributiva na próxima etapa.

( begin {alinhado} frac {n + 3} {5} & = frac {7} {2} & color {Cerúleo} {Cruze : multiplique.} (n + 3) cdot 2 & = 5 cdot 7 & color {Cerulean} {Distribuir.} 2n + 6 & = 35 & color {Cerulean} {Resolver.} 2n + 6 color {Cerulean} {- 6} & = 35 color {Cerúleo} {- 6} 2n & = 29 frac {2n} { color {Cerúleo} {2}} & = frac {29} { color {Cerúleo} {2}} n & = frac {29} {2} end {alinhado} )

Responder:

(n = frac {29} {2} )

Exercício ( PageIndex {1} )

Resolver:

( frac {5} {3} = frac {3n − 1} {2} ).

Responder

(n = frac {13} {9} )

Formulários

Ao definir proporções, a consistência com as unidades de cada proporção é crítica. As unidades dos numeradores devem ser as mesmas e as unidades dos denominadores também devem ser as mesmas.

Exemplo ( PageIndex {7} )

Alega-se que (2 ) de (3 ) dentistas preferem uma determinada marca de pasta de dente. Se 600 dentistas forem entrevistados, quantos dirão que preferem essa marca?

Solução:

Primeiro, identifique o desconhecido e atribua a ele uma variável.

Deixe (n ) representar o número de dentistas pesquisados ​​que preferem o nome da marca.

Como você está procurando pelo número de dentistas que preferem a marca de um total de (600 ) pesquisados, construa as relações com o número de dentistas que preferem a marca no numerador e o número total pesquisado no denominador.

( begin {align} underline {2} = underline {n} & quad color {Cerulean} { leftarrow : number : of : dentists : who : prefer : the : brand } 3 : : 600 & quad color {Cerulean} { leftarrow : total : número : de : dentistas : pesquisados} end {alinhados} )

Multiplique cruzado e resolva para (n ),

( begin {alinhados} 2 cdot 600 & = 3 cdot n frac {2 cdot 600} { color {Cerulean} {3}} & = frac {3 cdot n} { color { Cerúleo} {3}} 2 cdot 200 & = 1n 400 & = n end {alinhado} )

Responder:

A afirmação sugere que (400 ) de (600 ) dentistas pesquisados ​​preferem o nome da marca.

Exemplo ( PageIndex {8} )

No condado de Tulare, (3 ) de cada (7 ) eleitores disseram sim à Proposta 40. Se (42.000 ) pessoas votaram, quantas disseram não à Proposta 40?

Solução:

O problema dá a proporção de eleitores que disseram sim, mas pergunta o número que disse não.

Seja (n ) o número de eleitores que disseram não.

Se (3 ) de (7 ) disse sim, então podemos assumir que (4 ) de (7 ) disse não. Configure as razões com o número de eleitores que disseram não no numerador e o número total de eleitores no denominador.

( begin {alinhados} & underline {4} = : : : : underline {n} & color {Cerulean} { leftarrow : voters : who : vote : no} & 7 : : : : : : 42.000 & color {Cerulean} { leftarrow : total : número : de : votantes} end {alinhado} )

Multiplique cruzado e resolva para (n ).

( begin {alinhados} 4 cdot 42.000 & = 7 cdot n frac {4 cdot 42.000} { color {Cerulean} {7}} & = frac {7 cdot n} { color {Cerúleo} {7}} 24.000 & = n fim {alinhado} )

Responder:

(24.000 ) eleitores de (42.000 ) disseram que não.

Exemplo ( PageIndex {9} )

A soma de dois inteiros na proporção de (4 ) para (5 ) é (27 ). Encontre os inteiros.

Solução:

A soma de dois inteiros é (27 ); use essa relação para evitar duas variáveis.

Deixe (n ) representar um dos inteiros.

Deixe (27-n ) representar o outro inteiro.

Os inteiros são fornecidos na proporção de (4 ) a (5 ). Configure a seguinte proporção:

( begin {alinhados} frac {4} {5} & = frac {n} {27-n} 4 cdot (27-n) & = 5 cdot n 108-4n & = 5n 108-4n color {Cerúleo} {+ 4n} & = 5n color {Cerúleo} {+ 4n} 108 & = 9n frac {108} { color {Cerúleo} {9}} & = frac {9n} { color {Cerúleo} {9}} 12 & = n end {alinhado} )

Use (27 - n ) para determinar o outro número inteiro.

(27-n = 27- color {OliveGreen} {12} color {black} {= 15} )

Responder:

Os inteiros são (12 ) e (15 ).

Exercício ( PageIndex {2} )

Uma receita pede (5 ) colheres de sopa de açúcar para cada (8 ) xícaras de farinha. Quantas colheres de sopa de açúcar são necessárias para (32 ) xícaras de farinha?

Responder

(20 ) colheres de sopa de açúcar

Triângulos semelhantes

Freqüentemente encontraremos problemas de proporção em geometria e trigonometria. Uma aplicação envolve triângulos semelhantes, que têm a mesma forma, mas não necessariamente o mesmo tamanho. As medidas dos ângulos correspondentes de triângulos semelhantes são iguais e as medidas dos lados correspondentes são proporcionais. Dados triângulos semelhantes (ABC ) e (RST ),

Figura ( PageIndex {2} )

Podemos escrever (ABC ~ RST ) e concluir que todos os ângulos correspondentes são iguais. A notação indica que o ângulo (A ) corresponde ao ângulo (R ) e que as medidas desses ângulos são iguais: (A = R ).

Figura ( PageIndex {3} )

Além disso, as medidas de outros pares de ângulos correspondentes são iguais: (B = S ) e (C = T ).

Figura ( PageIndex {4} )

Use letras maiúsculas para os ângulos e uma letra minúscula para denotar o lado oposto do ângulo fornecido. Denote a proporcionalidade dos lados da seguinte forma:

( frac {a} {r} = frac {b} {s} = frac {c} {t} )

Exemplo ( PageIndex {10} )

Se o triângulo (ABC ) for semelhante a (RST ), onde (a = 3, b = 4, c = 5, ) e (r = 9 ), encontre os dois lados restantes.

Solução:

Faça um desenho e identifique as variáveis ​​pictoricamente. Represente os lados desconhecidos restantes por (s ) e (t ). Configure as proporções e resolva os lados que faltam.

Figura ( PageIndex {5} )

( begin {array} {c | c} { underline {Find : t}} & { underline {Find : s}} { begin {alinhados} frac {5} {t} & = frac {3} {9} 5 cdot 9 & = t cdot 3 frac {5 cdot 9} { color {Cerulean} {3}} & = frac {t cdot 3} { color {Cerúleo} {3}} 5 cdot 3 & = t 15 & = t end {alinhado}} & { begin {alinhado} frac {4} {s} & = frac {3 } {9} 4 cdot 9 & = s cdot 3 frac {4 cdot 9} { color {Cerúleo} {3}} & = frac {s cdot 3} { color {Cerúleo } {3}} 4 cdot 3 & = s 12 & = s end {alinhado}} end {array} )

Responder:

Os dois lados restantes medem unidades de (12 ) e unidades de (15 ).

A proporção reduzida de quaisquer dois lados correspondentes de triângulos semelhantes é chamada de fator de escala. No exemplo anterior, a proporção dos dois lados dados (a ) e (r ) é

( frac {3} {9} = frac {1} {3} )

Portanto, o triângulo (ABC ) é semelhante ao triângulo (RST ) com um fator de escala de ( frac {1} {3} ). Isso significa que cada perna do triângulo (ABC ) é ( frac {1} {3} ) da medida das pernas correspondentes do triângulo (RST ). Além disso, outro fato interessante é que os perímetros de triângulos semelhantes estão na mesma proporção de seus lados e compartilham o mesmo fator de escala.

Exemplo ( PageIndex {11} )

Se um triângulo (ABC ) tem um perímetro de (12 ) unidades e é semelhante a (RST ) com um fator de escala de ( frac {1} {3} ), encontre o perímetro de triângulo (RST ).

Solução:

Deixe (x ) representar o perímetro do triângulo (RST ).

Fator de escala ( frac {1} {3} ) implica que os perímetros são proporcionais a esta razão. Configure uma proporção da seguinte forma:

( begin {align} & underline {1} = underline {12} & color {Cerulean} { leftarrow : perimeter : of : ABC} & 3 : : : : : : x & color {Cerúleo} { leftarrow : perímetro : de : RST} end {alinhado} )

Multiplique cruzado e resolva para (x ).

( begin {alinhado} 1 cdot x & = 3 cdot 12 x & = 36 end {alinhado} )

Responder:

O perímetro do triângulo (RST ) é (36 ) unidades.

Principais vantagens

  • Resolva as proporções multiplicando ambos os lados da equação pelo produto dos denominadores, ou multiplique em forma cruzada.
  • Ao definir uma proporção, é importante garantir unidades consistentes nos numeradores e denominadores.
  • Os ângulos correspondentes de triângulos semelhantes são iguais e seus lados correspondentes são proporcionais. A proporção de quaisquer dois lados correspondentes determina o fator de escala, que pode ser usado para resolver muitas aplicações envolvendo triângulos semelhantes.

Exercício ( PageIndex {3} ) Índices e taxas

Expresse cada proporção de forma reduzida.

  1. (100 ) polegadas: (250 ) polegadas
  2. (480 ) pixels: (320 ) pixels
  3. (96 ) pés: (72 ) pés
  4. (240 ) milhas (4 ) horas
  5. (96 ) pés (3 ) segundos
  6. (6.000 ) revoluções (4 ) minutos
  7. O preço médio das ações do Google em 2008 e o lucro por ação foram $ (465,66 ) e $ (14,89 ), respectivamente. Qual foi a relação preço / lucro médio do Google em 2008? (Fonte: Wolfram Alpha)
  8. O F-22 Raptor tem dois motores, cada um produzindo (35.000 ) libras de empuxo. Se o peso de decolagem deste caça a jato for (50.000 ) libras, calcule a razão empuxo-peso do avião. (Fonte: USAF)
  9. Um armazém de descontos oferece uma caixa de (55 ) porções individuais de aveia instantânea por $ (11,10 ). O supermercado oferece caixas menores do mesmo produto contendo (12 ) porções individuais por $ (3,60 ). Qual loja oferece o melhor valor?
  10. Joe e Mary desejam fazer uma viagem juntos e precisam decidir de qual carro irão. Joe calculou que seu carro é capaz de viajar (210 ) milhas com (12 ) galões de gasolina. Mary calcula que seu carro viaja (300 ) milhas em (19 ) galões. Qual de seus carros faz mais milhas por galão?
Responder

1. (2:5)

3. (4:3)

5. (32 ) pés por segundo

7. (31.27)

9. O armazém de descontos

Exercício ( PageIndex {4} ) Resolvendo proporções

Resolver.

  1. ( frac {2} {3} = frac {n} {150} )
  2. ( frac {7} {n} = frac {2} {15} )
  3. ( frac {1} {3} = frac {5} {n} )
  4. ( frac {1} {25} = frac {6} {n} )
  5. ( frac {n} {8} = - frac {3} {2} )
  6. ( frac {n} {3} = - frac {5} {7} )
  7. (8 = frac {2n} {3} )
  8. ( frac {5} {n} = - 30 )
  9. (1 = frac {1} {n − 1} )
  10. (- 1 = - frac {1} {n + 1} )
  11. (- frac {40} {n} = - frac {5} {3} )
  12. ( frac {2n + 1} {3} = - frac {3} {5} )
  13. ( frac {5} {3n + 3} = frac {2} {3} )
  14. ( frac {n + 1} {2n − 1} = frac {1} {3} )
  15. ( frac {5n + 7} {5} = frac {n − 1} {2} )
  16. (- frac {2} {n + 3} = frac {n + 7} {6} )
  17. Encontre dois números na proporção de (3 ) para (5 ) cuja soma é (160 ). (Dica: use (n ) e (160 - n ) para representar os dois números.)
  18. Encontre dois números na proporção de (2 ) para (7 ) cuja soma é (90 ).
  19. Encontre dois números na proporção de (- 3 ) para (7 ) cuja soma é (80 ).
  20. Encontre dois números na proporção de (- 1 ) para (3 ) cuja soma é (90 ).
  21. Um inteiro maior é (5 ) mais do que um inteiro menor. Se os dois inteiros tiverem uma proporção de (6 ) para (5 ), encontre os inteiros.
  22. Um inteiro maior é (7 ) menor que duas vezes um inteiro menor. Se os dois inteiros tiverem uma proporção de (2 ) para (3 ), encontre os inteiros.
Responder

1. (n = 100 )

3. (n = 15 )

5. (n = −12 )

7. (n = 12 )

9. (n = 2 )

11. (n = 24 )

13. (n = frac {3} {2} )

15. (n = - frac {19} {5} )

17. (60, 100)

19. (−60, 140)

21. (25, 30)

Exercício ( PageIndex {5} ) Resolvendo proporções

Dadas as seguintes proporções, determine cada proporção, (x: y ).

  1. ( frac {x} {3} = frac {y} {4} )
  2. ( frac {x − 2y} {3} = - frac {3y} {5} )
  3. ( frac {2x + 4y} {2x − 4y} = frac {3} {2} )
  4. ( frac {x + y} {x − y} = frac {3} {5} )
Responder

1. ( frac {3} {4} )

3. (10)

Exercício ( PageIndex {6} ) Aplicativos

Configure uma proporção e resolva.

  1. Se (4 ) em cada (5 ) eleitores apoiam o governador, então quantas das (1.200 ) pessoas pesquisadas apóiam o governador?
  2. Se (1 ) de cada (3 ) eleitores pesquisados ​​disseram que votaram sim na Proposta 23, então, quantas das (600 ) pessoas pesquisadas votaram sim?
  3. De (460 ) alunos entrevistados, a proporção para apoiar o projeto de remodelação do sindicato estudantil foi de (3 ) para (5 ). Quantos alunos foram a favor da reforma?
  4. Estima-se que (5 ) de (7 ) alunos têm dívidas de cartão de crédito. Estime o número de alunos com dívidas de cartão de crédito de um total de (14.000 ) alunos.
  5. Se a proporção de alunos do sexo feminino para masculino na faculdade for (6 ) para (5 ), determine o número de alunos do sexo masculino de um total de (11.000 ) alunos.
  6. No ano de 2009, estimou-se que haveria (838 ) mortes nos Estados Unidos para cada (100.000 ) pessoas. Se a população total dos EUA fosse estimada em (307.212.123 ) pessoas, então quantas mortes nos Estados Unidos eram esperadas em 2009? (Fonte: CIA World Factbook)
  7. No ano de 2009, estimou-se que haveria (1.382 ) nascimentos nos Estados Unidos para cada (100.000 ) pessoas. Se a população total dos EUA fosse estimada em (307.212.123 ) pessoas, então quantos nascimentos nos Estados Unidos eram esperados em 2009? (Fonte: CIA World Factbook)
  8. Se (2 ) em cada (7 ) eleitores aprovarem um aumento no imposto sobre vendas, determine o número de eleitores entre os (588 ) pesquisados ​​que não apóiam o aumento.
  9. Uma receita pede (1 ) xícara de suco de limão para fazer (4 ) xícaras de limonada. Quanto suco de limão é necessário para fazer (2 ) galões de limonada?
  10. O coquetel clássico “Shirley Temple” requer (1 ) parte de xarope de cereja para (4 ) partes de refrigerante de limão e lima. Quanto xarope de cereja é necessário para misturar o coquetel com uma lata de refrigerante de limão e lima de 30 gramas?
  11. Uma impressora imprime (30 ) páginas em (1 ) minuto. Quanto tempo leva para imprimir um livreto de (720 ) páginas?
  12. Um digitador pode digitar (75 ) palavras por minuto. Quanto tempo leva para digitar (72 ) páginas se houver aproximadamente (300 ) palavras por página?
  13. Em um mapa específico, cada ( frac {1} {16} ) polegada representa (1 ) milha. Quantas milhas (3 frac {1} {2} ) polegadas representa?
  14. Em um gráfico, cada (1 ) centímetro representa (100 ) pés. Qual medida no mapa representa uma milha?
  15. Uma loja de doces oferece doces mistos a $ (3,75 ) para cada meio libra. Quanto custarão (2,6 ) libras de doces?
  16. As castanhas misturadas custam $ (6,45 ) por libra. Quantas libras de nozes mistas podem ser compradas com $ (20,00 )?
  17. O milho no mercado dos fazendeiros é empacotado e custa $ (1,33 ) por (6 ) espigas. Quantas orelhas podem ser compradas com $ (15,00 )?
  18. Se (4 ) pizzas custam $ (21,00 ), então quanto custarão (16 ) pizzas?
  19. Um cereal matinal adoçado contém (110 ) calorias em uma porção de ( frac {3} {4} ) xícara. Quantas calorias tem uma porção de (1 frac {7} {8} ) xícara?
  20. O arroz com sabor de frango contém (300 ) calorias em cada porção de (2,5 ) onças. Quantas calorias tem uma colher de (4 ) onça de arroz com sabor de frango?
  21. Um homem de (200 ) libras pesaria cerca de (33,2 ) libras na lua. Quanto um homem de (150 ) libras pesará na lua?
  22. Um homem de (200 ) libras pesaria cerca de (75,4 ) libras em Marte. Quanto pesará um homem de (150 ) libras em Marte?
  23. Há (1 ) de (6 ) chance de rolar (1 ) em um dado de seis lados. Quantas vezes podemos esperar que um (1 ) apareça em (360 ) lançamentos do dado?
  24. Há (1 ) de (6 ) de chance de rolar um (7 ) com dois dados de seis lados. Quantas vezes podemos esperar que apareça (7 ) em (300 ) rolos?
  25. A proporção de amendoins para todas as nozes em uma determinada marca de nozes mistas embaladas é de (3 ) para (5 ). Se o pacote contém (475 ) nozes, então quantos amendoins podemos esperar?
  26. Um saco misto de bolinhas de gude é embalado com uma proporção de (6 ) bolinhas laranjas para cada (5 ) bolinhas vermelhas. Se o pacote contém (216 ) berlindes laranja, então quantos berlindes vermelhos podemos esperar?
  27. Um designer gráfico deseja criar uma captura de tela de (720 ) pixels. Se a proporção entre largura e altura deve ser (3: 2 ), então para quantos pixels ele deve definir a altura?
  28. Se um monitor de vídeo é produzido na proporção largura / altura de (16: 9 ) e a largura do monitor é (40 ) polegadas, então qual é a altura?
Responder

1. (960 ) pessoas

3. (276 ) alunos

5. (5.000 ) alunos do sexo masculino

7. (4.245.672 ) nascimentos

9. (8 ) xícaras de suco de limão

11. (24 ) minutos

13. (56 ) milhas

15. $(19.50)

17. (66 ) orelhas

19. (275 ) calorias

21 (24,9 ) libras

23. (60 ) vezes

25. (285 ) amendoins

27. (480 ) pixels

Exercício ( PageIndex {7} ) Triângulos semelhantes

Se o triângulo (ABC ) for semelhante ao triângulo (RST ), encontre os dois lados restantes com as informações.

  1. (a = 6, b = 8, c = 10, ) e (s = 16 )
  2. (b = 36, c = 48, r = 20, ) e (t = 32 )
  3. (b = 2, c = 4, r = 6, ) e (s = 4 )
  4. (b = 3, c = 2, r = 10, ) e (t = 12 )
  5. (a = 40, c = 50, s = 3, ) e (t = 10 )
  6. (c = 2, r = 7, s = 9, ) e (t = 4 )
  7. Na mesma hora do dia, uma árvore projeta uma sombra de (12 ) pés, enquanto um homem de (6 ) pés projeta uma sombra de (3 ) pés. Faça uma estimativa da altura da árvore.
  8. Na mesma hora do dia, um pai e um filho, parados lado a lado, projetam uma sombra de (4 ) - pés e (2 ) - pés, respectivamente. Se o pai tem (6 ) pés de altura, então qual é a altura de seu filho?
  9. Se o (6-8-10 ) triângulo retângulo (ABC ) for semelhante a (RST ) com um fator de escala de ( frac {2} {3} ), encontre o perímetro do triângulo (RST ).
  10. Se o (3-4-5 ) triângulo retângulo (ABC ) for semelhante a (RST ) com um fator de escala de (5 ), encontre o perímetro do triângulo (RST ).
  11. Um triângulo equilátero com lados medindo (6 ) unidades é semelhante a outro com fator de escala (3: 1 ). Encontre o comprimento de cada lado do triângulo desconhecido.
  12. O perímetro de um triângulo equilátero (ABC ) mede (45 ) unidades. Se triângulo (ABC ~ RST ) e (r = 20 ), então qual é o fator de escala?
  13. O perímetro de um triângulo isósceles (ABC ), onde os dois lados iguais medem cada um o dobro da base, é (60 ) unidades. Se a base de um triângulo semelhante mede (6 ) unidades, encontre seu perímetro.
  14. O perímetro de um triângulo isósceles ABC mede (11 ) unidades e seus dois lados iguais medem (4 ) unidades. Se o triângulo (ABC ) for semelhante ao triângulo (RST ) e o triângulo (RST ) tiver um perímetro de (22 ) unidades, encontre todos os lados do triângulo (RST ).
  15. Um (6-8-10 ) triângulo retângulo (ABC ) é semelhante a um triângulo (RST ) com unidades de perímetro (72 ). Encontre o comprimento de cada perna do triângulo (RST ).
  16. O perímetro do triângulo (ABC ) é (60 ) unidades e (b = 20 ) unidades. Se (ABC ~ RST ) e (s = 10 ) unidades, encontre o perímetro do triângulo (RST ).
Responder

1. (t = 20, r = 12 )

3. (a = 3, t = 8 )

5. (r = 8, b = 15 )

7. (24 ) pés

9. (36 ) unidades

11. (2 ) unidades

13. (30 ) unidades

15. (r = 18 ) unidades, (s = 24 ) unidades, (t = 30 ) unidades

Exercício ( PageIndex {8} ) Tópicos do quadro de discussão

  1. Qual é a proporção áurea e onde ela aparece?
  2. Pesquise e discuta as propriedades de triângulos semelhantes.
  3. Discuta a matemática da perspectiva.
  4. Pesquise e discuta as várias proporções de aspecto disponíveis em dispositivos de mídia modernos.
Responder

1. As respostas podem variar

3. As respostas podem variar


Planilha de Razões e Proporções: Simplificando as Razões (1 de 2)

Os vários recursos listados abaixo estão alinhados ao mesmo padrão, (6RP03) retirado do CCSM (Common Core Standards For Mathematics) conforme a planilha de proporção e proporção mostrada acima.

Use o raciocínio de razão e taxa para resolver problemas matemáticos e do mundo real, por exemplo, raciocinando sobre tabelas de razões equivalentes, diagramas de fita, diagramas de linha de número duplo ou equações.

  • Faça tabelas de proporções equivalentes relacionando quantidades com medições de números inteiros, encontre valores ausentes nas tabelas e plote os pares de valores no plano de coordenadas. Use tabelas para comparar proporções.
  • Resolva problemas de taxa unitária, incluindo aqueles que envolvem preço unitário e velocidade constante. Por exemplo, se levasse 7 horas para cortar 4 gramados, então, a essa taxa, quantos gramados poderiam ser cortados em 35 horas? Com que taxa os gramados estão sendo cortados?
  • Encontrar uma porcentagem de uma quantidade como uma taxa por 100 (por exemplo, 30% de uma quantidade significa 30/100 vezes a quantidade) resolva problemas envolvendo encontrar o todo, dada uma parte e a porcentagem.
  • Use o raciocínio de razão para converter unidades de medida, manipular e transformar unidades apropriadamente ao multiplicar ou dividir quantidades.

Calculadora

Gráfico

Jogo Alvo

Lição

Linha numérica

Planilha

    por exemplo. 62% de 12 = 7,44, por exemplo 225% de 45 = 101,25, por exemplo 0,45 = 45%, por exemplo 7/100 = 7%, por exemplo 72 é 25% de 288, por exemplo identifique e simplifique as proporções & # 8211 ordenando frações, decimais e porcentagens & # 8211 preencha o gráfico de equivalentes & # 8211 preencha o gráfico de equivalentes

Gerador de planilhas

Semelhante à lista acima, os recursos abaixo estão alinhados aos padrões relacionados no Common Core for Mathematics que, juntos, suportam o seguinte resultado de aprendizagem:

Compreenda os conceitos de proporção e use o raciocínio de proporção para resolver problemas


Razões e proporções

UMA Razão é fundamentalmente uma fração, ou dois números expressos como quociente, como 3/4 ou 179 / 2.385. Mas é um tipo especial de fração, usado para comparar quantidades relacionadas. Por exemplo, se houver 11 meninos e 13 meninas em uma sala, a proporção de meninos para meninas é de 11 para 13, que pode ser escrita 11/13 ou 11:13.

Ratio é a palavra latina para "razão". A definição de um número racional é aquele que pode ser expresso como uma fração, alguns números, como o valor de π na geometria, são irracionais e não podem ser expressos dessa forma, em vez de serem expressos como um número decimal sem fim. Talvez os matemáticos da antiguidade considerassem essa situação "irracional".

UMA proporção é apenas uma expressão que define duas proporções iguais entre si, usando diferentes números absolutos nas frações. As proporções são escritas como as razões são, por exemplo, a / b = c / d ou a: b = c: d.


  • Art & # 8211 Veja a página de aplicativos Art e os artigos mais detalhados sobre o uso da Proporção Áurea de Leonardo Da Vinci, Sandro Botticelli e Georges Seurat.
  • Arquitetura & # 8211 Veja a página de aplicativos de Arquitetura e os artigos mais detalhados sobre sua aparência no Edifício do Secretariado da Sede da ONU, Partenon e Grande Pirâmide do Egito. & # 8211 Veja como suas linhas criam a sequência de Fibonacci.
  • Proporções humanas & # 8211 Veja as páginas sobre beleza e rosto, corpo, mãos / pés e dentes. & # 8211 Consulte a página da Natureza para ver as aparências em outros animais e o artigo mais detalhado sobre a concha do Nautilus. & # 8211 Consulte a página Plantas para ver a aparência das plantas.

Depois de revisar dezenas de sites para boas lições e atribuições, recomendamos os seguintes recursos:


Aplicação de funções de gatilho inverso

Os problemas a seguir são problemas do mundo real que podem ser resolvidos usando as funções trigonométricas. Na vida cotidiana, a medição indireta é usada para obter respostas para problemas que são impossíveis de resolver com ferramentas de medição. No entanto, a matemática virá ao resgate na forma de trigonometria para calcular essas medidas desconhecidas.

Em um dia frio de inverno, o sol entra pela janela da sua sala de estar e cria uma atmosfera quente e tostada. Isso se deve ao ângulo de inclinação do sol que afeta diretamente o aquecimento e o resfriamento dos edifícios. O meio-dia é quando o sol está em sua altura máxima no céu e, nessa época, o ângulo é maior no verão do que no inverno. Por causa disso, os edifícios são construídos de forma que a saliência do telhado possa atuar como um toldo para fazer sombra nas janelas para resfriamento no verão e ainda permitir que os raios de sol forneçam calor no inverno. Além da construção do edifício, o ângulo de inclinação do sol varia de acordo com a latitude do edifício e localização.

Se a latitude do local for conhecida, a seguinte fórmula pode ser usada para calcular o ângulo de inclinação do sol em qualquer data do ano:

( exto= 90 ^ < circ> & menos texto+ & minus23.5 ^ < circ> cdotcos [(N + 10) dfrac <360> <365>] ) onde (N ) representa o número do dia do ano que corresponde à data do ano. Observação: esta fórmula é precisa para ( pm dfrac <1 ^ < circ >> <2> )

Determine a medida do ângulo de inclinação do sol e rsquos para um edifício localizado a uma latitude de (42 ^ < circ> ), março (10 ​​^, o (69 ^) dia do ano.

Determine a medida do ângulo de inclinação do sol e rsquos para um edifício localizado a uma latitude de (20 ^ < circ> ), setembro (21 ^).

Usando funções trigonométricas inversas

1. Uma torre de 28,4 pés de altura deve ser fixada com um cabo de sustentação ancorado a 5 pés da base da torre. Que ângulo o fio de cara fará com o solo?

Figura ( PageIndex <2> )

O seguinte problema que envolve funções e suas inversas será resolvido usando a propriedade (f (f ^ <& minus1> (x)) = f ^ <& minus1> (f (x)) ). Além disso, a tecnologia também será usada para completar a solução.

2. No átrio principal da arena local, existem vários ecrãs de visualização que estão disponíveis para assistir para que não perca nada da ação no gelo. A parte inferior de uma tela está 3 pés acima do nível dos olhos e a tela em si tem 2 metros de altura. O ângulo de visão (inclinação) é formado olhando para a parte inferior e superior da tela.

Esboce uma imagem para representar este problema.

Figura ( PageIndex <3> )

Calcule a medida do ângulo de visão resultante da observação da parte inferior e, em seguida, da parte superior da tela. A que distância da tela ocorre o valor máximo do ângulo de visão?

Para determinar esses valores, use uma calculadora gráfica e a função de rastreamento para determinar quando ocorre o máximo real.

Figura ( PageIndex <4> )

No gráfico, pode-se ver que o máximo ocorre quando (x aproximadamente 5,59 text ). e ( theta approx 32,57 ^ < circ> ).

Anteriormente, você foi solicitado a calcular o ângulo necessário para caminhar em relação ao leste.

Você pode configurar um triângulo que corresponda à situação física deste problema. Aqui está como deve ser:

Figura ( PageIndex <5> )

Usando a função tangente, você pode resolver o ângulo que precisa encontrar:

A intensidade de um certo tipo de luz polarizada é dada pela equação (I = I_0 sin 2 theta cos 2 theta ).

O diagrama a seguir representa as extremidades de uma calha d'água. As extremidades são, na verdade, trapézios isósceles, e o comprimento da depressão de uma extremidade a outra é de três metros. Determine o volume máximo da calha e o valor de ( theta ) que maximiza esse volume.

Figura ( PageIndex <6> )

O volume é 10 pés vezes a área final. O final consiste em dois triângulos retângulos congruentes e um retângulo. A área de cada triângulo retângulo é ( dfrac <1> <2> ( sin theta) ( cos theta) ) e a do retângulo é ((1) ( cos theta) ) . Isso significa que o volume pode ser determinado pela função (V ( theta) = 10 ( cos theta + sin theta cos theta) ), e esta função pode ser representada graficamente como segue para encontrar o volume máximo e o ângulo ( theta ) onde ocorre.

Figura ( PageIndex <7> )

Portanto, o volume máximo é de aproximadamente 13 pés cúbicos e ocorre quando ( theta ) é cerca de (30 ^ < circ> ).

Um barco está ancorado no final de um cais de 10 pés. O barco sai do píer e lança âncora a 60 metros de distância, a 3 pés da costa (que é perpendicular ao píer). Qual era a direção do barco a partir de uma linha traçada do final do píer até a base do píer?

Figura ( PageIndex <8> )


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Trecho de: Projetos práticos de matemática com aplicativos da vida real.

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Como funciona esta calculadora de proporção?

Esta ferramenta matemática permite resolver proporções em qualquer uma das seguintes situações:

  • Ao especificar dois números (A e B na primeira área da fração) a partir dos quatro números da proporção (decimais são permitidos), ele exibirá a proporção completa e verdadeira preenchendo os valores corretos para o resto dos dois números (C e D )
  • No caso de você inserir três números dos quatro da proporção (A, B E C ou D) (decimais são permitidos), ele exibirá a proporção, o que significa que retorna o valor para o número ausente (C ou D por caso)
  • Sempre que você insere todos os componentes da proporção, ele verifica se a proporção é verdadeira ou falsa.

As fórmulas usadas por esta calculadora de proporção são:

  • se você inserir apenas A e B para determinar os números C e D, ele multiplicará A e B por 2 para retornar os valores reais de razão para C e D.
  • se você completar A, B e C para encontrar o valor de D, ele resolve a expressão em que D = C * (B / A). O mesmo acontece no caso de você inserir D e tentar descobrir o número C.
  • Quando todos os números são dados (A, B, C, D), a fim de avaliar se a proporção é verdadeira ou falsa, ele irá calcular o valor da divisão de A por B (A / B), e o valor da divisão de C por D então o compara. Se os dois valores resultantes forem iguais, a proporção é TRUE, caso contrário, é FALSE.

Jogos matemáticos da 6ª série: proporções, proporções e taxas de unidades Esses jogos tornam as relações da 6ª série e os padrões de relações proporcionais muito divertidos de praticar! este Pacote de jogos de proporções, taxas e proporções da 6ª série contém 30 jogos de tabuleiro para impressão divertidos e envolventes para ajudar os alunos a praticar o uso de proporções, encontrar proporções equivalentes, calcular taxas, calcular porcentagens e porcentagens de uma quantidade, converter medidas e muito mais! Este pacote inclui 30 jogos ENGAGING que cobrem as seguintes habilidades matemáticas do 6º ano: Noções básicas sobre índices e proporções equivalentes: • Combine as imagens em uma determinada proporção (escrita como 2: 3 ou 2 a 3) • Combine as imagens com uma determinada proporção (escrita como uma fração) • Escreva as proporções em três formas para as informações fornecidas • Preencha os valores ausentes nas tabelas de proporção equivalente • Use proporções equivalentes para resolver problemas básicos • Use proporções equivalentes para resolver problemas avançados • Compare proporções usando tabelas de proporções • Plote pares de razões equivalentes no plano de coordenadas Resolvendo problemas com taxa unitária: • Encontre a taxa unitária de um determinado cenário • Encontre a taxa unitária de uma determinada proporção • Compare dois cenários usando taxas unitárias • Use taxas unitárias para resolver problemas • Resolva problemas com distância, tempo e taxa Calculando as porcentagens: • Combine modelos com porcentagens, frações, decimais e proporções • Escreva as porcentagens como frações e decimais • Escreva frações e decimais como porcentagens • Calcule a porcentagem quando dada a parte e o todo • Calcule a parte quando dado a porcentagem e o todo • Calcule o todo quando dado a porcentagem e uma parte • Calcular desconto percentual Conversão de unidades de medida: • Converter unidades de comprimento (normal) • Converter unidades de comprimento (métrico) • Converter unidades de massa (normal) • Converter unidades de massa (métrica) • Converter unidades de capacidade (normal) • Converter unidades de capacidade (métrica) Esses jogos suportam os seguintes padrões de núcleo comum: 6.RP.A.1, 6.RP.A.2, 6.RP.A.3, 6.RP.A.3.A, 6.RP.A.3 .B, 6.RP.A.3.C e 6.RP.3.D. Esses jogos são tão simples de usar e requer preparação mínima - basta imprimir, pegar alguns materiais básicos e jogar! Eles são perfeitos para usar em centros de matemática ou como atividades de extensão quando os alunos concluem seus trabalhos! Incluído neste pacote de jogos de proporções, taxas e proporções da 6ª série: • Chaves de resposta para todos os jogos Quer saber mais sobre os jogos incluídos? Confira o arquivo de visualização acima. Você também pode gostar desses outros recursos de matemática da 6ª série da Games 4 Gains: Dicas para o cliente: Adoramos ouvir o que você pensa! Deixe seu feedback sobre este recurso para ganhar pontos de crédito e economizar dinheiro em compras futuras! Clique no ★ verde acima para seguir minha loja e receber notificações de novos recursos, vendas e brindes! Conecte-se comigo nas redes sociais! Criado por Brittney Field, © Games 4 Gains, LLC. Esta compra é para uso em uma única sala de aula. Compartilhar este recurso com vários professores, uma escola inteira ou um sistema escolar inteiro é estritamente proibido. Várias licenças estão disponíveis com desconto. Compras na mercearia

O supermercado é uma boa fonte de taxas na vida real. Ao observar os preços de vários mantimentos, você pode ilustrar facilmente as proporções usando duas caixas diferentes de cereais. Por exemplo, se uma caixa de 30 onças de cereal custa $ 3 e uma caixa de 20 onças de cereal custa $ 5, a caixa de 20 onças tem o melhor valor porque cada onça de cereal é mais barata. Ao dividir o número de onças de cereal pelo preço, você demonstra a relação entre a quantidade e o tamanho. Para a caixa menor de cereal, cada onça custa 30 centavos para a caixa maior de cereal, cada onça de cereal custa 25 centavos.


Simplifique as proporções

Podemos simplificar uma proporção dividindo os dois lados pelo maior fator comum. Observe que uma proporção e sua forma simplificada são frações equivalentes.

Simplifique 25: 30 25: 30 2 5: 3 0.

Como o maior fator comum de 25 e 30 é 5, a razão simplificada é 25 5: 30 5 = 5: 6 frac <25> <5>: frac <30> <5> = 5: 6 5 2 5 : 5 3 0 = 5: 6. □ _ square □

4: 6 4: 6 4: 6 e 6: 9 6: 9 6: 9 equivalentes?

Qual das opções a seguir é igual a


Assista o vídeo: Razão e Proporção - Parte I - Professora Angela (Outubro 2021).