Artigos

8: Funções Quadráticas - Matemática


8: Funções Quadráticas - Matemática

8: Funções Quadráticas - Matemática

Agora que você viu como trabalhar com funções quadráticas neste módulo, vamos aplicar nossas habilidades a um problema que envolve o movimento do projétil.

Um trabuco é uma arma medieval usada para arremessar grandes pedras em fortes ou castelos inimigos, a fim de quebrar as grossas paredes. Basicamente, o trabuco funciona colocando a pedra em uma funda na extremidade de uma longa haste que pode girar em torno de um eixo fixo. A extremidade mais curta do mastro é presa a um peso muito pesado para contrabalançar o projétil. Quando o peso é liberado na ponta curta, o mastro gira, arremessando a pedra em alta velocidade para cima e na direção do inimigo.

Suponha que um trabuco específico possa lançar uma pedra de 10 quilogramas com uma velocidade inicial de 24,5 metros por segundo. Além disso, suponha que a pedra esteja 8 metros acima do solo ao sair da funda - ou seja, sua altura inicial é de 8 metros. Podemos usar o que sabemos sobre funções quadráticas para responder a algumas perguntas interessantes sobre a pedra que é lançada do trabuco:

  1. Qual é a altura máxima alcançada pela pedra durante seu vôo para o castelo inimigo?
  2. Quando esse máximo ocorre?
  3. Quanto tempo levaria antes que a pedra caísse na Terra (no caso de ter perdido o castelo por completo)?

Para responder a essas perguntas, precisamos saber sobre uma função quadrática específica da física chamada de equação balística:

Aqui, [latex] h (t) [/ latex] representa a altura no tempo [latex] t [/ latex], [latex] v_0 [/ latex] é a velocidade ascendente inicial (velocidade), [latex] h_0 [ / latex] é a altura inicial do projétil, e [latex] g [/ latex] é uma constante chamada de aceleração da gravidade. Perto da superfície da Terra, [latex] g approx9.8 [/ latex] metros por segundo ao quadrado, então [latex] - < Large frac<2>> approx-4.9 [/ latex]. Agora, colocando os valores fornecidos em seus devidos lugares, temos:

Esta é uma função quadrática com [latex] a = -4,9 [/ latex], [latex] b = 24,5 [/ latex], [latex] c = 8 [/ latex]. O gráfico é uma parábola e terá um máximo porque [latex] a & lt0 [/ latex]. O valor máximo da função neste caso representa a altura máxima da pedra.

Agora podemos responder às duas primeiras perguntas: Qual é a altura máxima alcançada pela pedra durante seu vôo para o castelo inimigo, e em que horas isso ocorre? Para encontrar a altura máxima e o tempo em que ocorre, usamos a fórmula do vértice que dará [latex] (t_ text, h (t_ text))[/látex]. o tempo no ponto máximo e a altura no ponto máximo.

Portanto, a altura máxima será de 38,6 metros, o que ocorre 2,5 segundos após o lançamento. Isso é um projétil que voa alto!

Finalmente, para determinar quando a pedra atinge o solo, temos apenas que encontrar o [latex] x [/ latex] -intercept da função. Em outras palavras, temos que resolver [latex] h (t) = 0 [/ latex]. Esse é um trabalho para a fórmula quadrática.

Como esperado, a fórmula quadrática nos dá duas respostas, mas apenas a positiva faz sentido neste contexto. A pedra cai no solo cerca de 5,3 segundos depois de ser lançada.

Funções quadráticas podem ser usadas para modelar o comportamento de objetos em queda livre, entre outras coisas. Podemos usar a álgebra para analisar esse comportamento em busca de características interessantes.


Função quadrática

Um quadrático é um polinômio em que o termo com a maior potência tem um grau 2.

A função pai das quadráticas é:

As funções quadráticas seguem a forma padrão:

Se o eixo 2 não estiver presente, a função será linear e não quadrática. As funções quadráticas criam uma forma de U parabólica em um gráfico. Se a for negativo, a parábola é invertida.

As funções quadráticas são simétricas em relação a um eixo vertical de simetria. Este eixo de simetria pode ser calculado usando a fórmula:

O vértice é o ponto encontrado no eixo de simetria. Como você conhece a coordenada x do vértice do eixo de simetria, pode inserir esse valor na função para encontrar a coordenada y.

A equação quadrática é uma equação onde você define a função quadrática igual a 0. Resolver a equação quadrática produz os zeros, ou soluções, da quadrática.


Funções Quadráticas

Figura 1. Uma variedade de antenas parabólicas. (crédito: Matthew Colvin de Valle, Flickr)

Antenas curvas, como as mostradas na (Figura), são comumente usadas para focalizar microondas e ondas de rádio para transmitir sinais de televisão e telefone, bem como comunicação de satélite e nave espacial. A seção transversal da antena tem a forma de uma parábola, que pode ser descrita por uma função quadrática.

Nesta seção, investigaremos funções quadráticas, que freqüentemente modelam problemas envolvendo área e movimento de projéteis. Trabalhar com funções quadráticas pode ser menos complexo do que trabalhar com funções de grau superior, portanto, elas fornecem uma boa oportunidade para um estudo detalhado do comportamento da função.

Reconhecendo as características das parábolas

O gráfico de uma função quadrática é uma curva em forma de U chamada parábola. Uma característica importante do gráfico é que ele possui um ponto extremo, chamado vértice. Se a parábola se abrir, o vértice representa o ponto mais baixo do gráfico, ou o valor mínimo da função quadrática. Se a parábola abrir para baixo, o vértice representa o ponto mais alto no gráfico, ou o valor máximo. Em ambos os casos, o vértice é um ponto de inflexão no gráfico. O gráfico também é simétrico com uma linha vertical desenhada através do vértice, chamada de eixo de simetria. Esses recursos são ilustrados na (Figura).

Figura 2.

O y-intercept é o ponto em que a parábola cruza o y-eixo. O x-interceptos são os pontos em que a parábola cruza o x-eixo. Se eles existem, o x-intercepts representam os zeros, ou raízes, da função quadrática, os valores deem qual

Identificando as características de uma parábola

Determine o vértice, eixo de simetria, zeros einterceptação da parábola mostrada na (Figura).

Figura 3.

O vértice é o ponto de inflexão do gráfico. Podemos ver que o vértice está emComo essa parábola se abre para cima, o eixo de simetria é a linha vertical que cruza a parábola no vértice. Portanto, o eixo de simetria éEsta parábola não atravessa oeixo, por isso não tem zeros. Atravessa oeixo ementão este é o y-interceptar.

Compreendendo como os gráficos das parábolas estão relacionados às suas funções quadráticas

A forma geral de uma função quadrática apresenta a função no formulário

Ondeesão números reais eSea parábola se abre para cima. Sea parábola abre para baixo. Podemos usar a forma geral de uma parábola para encontrar a equação do eixo de simetria.

O eixo de simetria é definido porSe usarmos a fórmula quadrática,resolverpara ointercepta, ou zeros, encontramos o valor dea meio caminho entre eles está semprea equação para o eixo de simetria.

(Figura) representa o gráfico da função quadrática escrita de forma geral comoNeste formulário,ePorquea parábola se abre para cima. O eixo de simetria éIsso também faz sentido porque podemos ver no gráfico que a linha verticaldivide o gráfico pela metade. O vértice sempre ocorre ao longo do eixo de simetria. Para uma parábola que se abre para cima, o vértice ocorre no ponto mais baixo do gráfico, neste caso,Ointercepta, aqueles pontos onde a parábola cruza oeixo, ocorrer eme

Figura 4.

O forma padrão de uma função quadrática apresenta a função no formulário

Ondeé o vértice. Como o vértice aparece na forma padrão da função quadrática, essa forma também é conhecida como a forma de vértice de uma função quadrática.

Tal como acontece com a forma geral, sea parábola se abre para cima e o vértice é mínimo. Sea parábola abre para baixo e o vértice é um máximo. (Figura) representa o gráfico da função quadrática escrita na forma padrão comoDesdeneste exemplo,Neste formulário,ePorquea parábola abre para baixo. O vértice está em

Figura 5.

O formulário padrão é útil para determinar como o gráfico é transformado a partir do gráfico de(Figura) é o gráfico desta função básica.

Figura 6.

Seo gráfico muda para cima, enquanto seo gráfico muda para baixo. Na (Figura),então o gráfico é deslocado 4 unidades para cima. Seo gráfico muda para a direita e seo gráfico se desloca para a esquerda. Na (Figura),então o gráfico é deslocado 2 unidades para a esquerda. A magnitude deindica o trecho do gráfico. Se o ponto associado a um determinadoo valor se afasta do x-eixo, então o gráfico parece ficar mais estreito e há um alongamento vertical. Mas seo ponto associado a um determinadoo valor muda para mais perto de x-eixo, então o gráfico parece se tornar mais amplo, mas na verdade há uma compressão vertical. Na (Figura),então o gráfico fica mais estreito.

A forma padrão e a forma geral são métodos equivalentes para descrever a mesma função. Podemos ver isso expandindo a forma geral e configurando-a igual à forma padrão.

Para que os termos lineares sejam iguais, os coeficientes devem ser iguais.

Este é o eixo de simetria que definimos anteriormente. Configurando os termos constantes iguais:

Na prática, porém, geralmente é mais fácil lembrar que k é o valor de saída da função quando a entrada éassim

Formas de funções quadráticas

Uma função quadrática é uma função polinomial de grau dois. O gráfico de uma função quadrática é uma parábola.

A forma geral de uma função quadrática éOndeesão números reais e

A forma padrão de uma função quadrática éOnde

O vérticeestá localizado em

Como

Dado um gráfico de uma função quadrática, escreva a equação da função de forma geral.

  1. Identifique o deslocamento horizontal da parábola, este valor éIdentifique o deslocamento vertical da parábola, este valor é
  2. Substitua os valores do deslocamento horizontal e vertical porena função
  3. Substitua os valores de qualquer ponto, diferente do vértice, no gráfico da parábola pore
  4. Resolva o fator de alongamento,
  5. Expanda e simplifique para escrever de forma geral.

Escrevendo a Equação de uma Função Quadrática do Gráfico

Escreva uma equação para a função quadráticaem (Figura) como uma transformação dee, em seguida, expanda a fórmula e simplifique os termos para escrever a equação na forma geral.

Figura 7.

Podemos ver o gráfico de g é o gráfico dedeslocado para a esquerda 2 e para baixo 3, dando uma fórmula na forma

Substituindo as coordenadas de um ponto na curva, comopodemos resolver o fator de alongamento.

Na forma padrão, o modelo algébrico para este gráfico é

Para escrever isso na forma polinomial geral, podemos expandir a fórmula e simplificar os termos.

Observe que os deslocamentos horizontais e verticais do gráfico básico da função quadrática determinam a localização do vértice da parábola, o vértice não é afetado por alongamentos e compressões. [/ Resposta oculta]

Análise

Podemos verificar nosso trabalho usando o recurso de tabela em um utilitário gráfico. Primeiro entreEm seguida, selecioneentão useee selecioneVeja a figura).

–6 –4 –2 0 2
5 –1 –3 –1 5

Os pares ordenados na tabela correspondem a pontos no gráfico.

Tente

Uma grade de coordenadas foi sobreposta ao caminho quadrático de uma bola de basquete em (Figura). Encontre uma equação para o caminho da bola. O atirador faz a cesta?

Figura 8. (crédito: modificação da obra por Dan Meyer)

O caminho passa pela origem e tem vértice emassimPara fazer o tiro,precisaria ser cerca de 4, masele não consegue.

Como

Dada uma função quadrática na forma geral, encontre o vértice da parábola.

  1. Identificar
  2. Encontrara x-coordenada do vértice, substituindoepara dentro
  3. Encontrara y-coordenada do vértice, avaliando

Encontrando o vértice de uma função quadrática

Encontre o vértice da função quadráticaReescreva o quadrático na forma padrão (forma de vértice).

Reescrevendo na forma padrão, o fator de alongamento será o mesmo que ona quadrática original. Primeiro, encontre a coordenada horizontal do vértice. Em seguida, encontre a coordenada vertical do vértice. Substitua os valores na forma padrão, usando o & # 8220& # 8221 do formulário geral.

A forma padrão de uma função quadrática antes de escrever a função então se torna a seguinte:

[/ resposta oculta]

Análise

Uma razão pela qual podemos querer identificar o vértice da parábola é que este ponto nos informará onde ocorre o valor máximo ou mínimo da saída,e onde ocorre,

Tente

Dada a equação escreva a equação na forma geral e depois na forma padrão.

na forma geralna forma padrão

Encontrando o Domínio e o Alcance de uma Função Quadrática

Qualquer número pode ser o valor de entrada de uma função quadrática. Portanto, o domínio de qualquer função quadrática são todos os números reais. Como as parábolas têm um ponto máximo ou mínimo, o alcance é restrito. Uma vez que o vértice de uma parábola será um máximo ou um mínimo, o intervalo consistirá em todos y-valores maiores ou iguais ao y- coordenar no ponto de viragem ou menor ou igual ao y-coordenar no ponto de viragem, dependendo se a parábola abre para cima ou para baixo.

Domínio e alcance de uma função quadrática

O domínio de qualquer função quadrática são todos os números reais, a menos que o contexto da função apresente algumas restrições.

O intervalo de uma função quadrática escrita na forma geralcom um positivovalor éouo intervalo de uma função quadrática escrita na forma geral com um negativovalor éou

O intervalo de uma função quadrática escrita na forma padrãocom um positivovalor éo intervalo de uma função quadrática escrita na forma padrão com um negativovalor é

Como

Dada uma função quadrática, encontre o domínio e o intervalo.

  1. Identifique o domínio de qualquer função quadrática como todos os números reais.
  2. Determine seé positivo ou negativo. Seé positivo, a parábola tem um mínimo. Seé negativo, a parábola tem um máximo.
  3. Determine o valor máximo ou mínimo da parábola,
  4. Se a parábola tiver um mínimo, o intervalo é dado porouSe a parábola tiver um máximo, o intervalo é dado porou

Encontrando o Domínio e o Alcance de uma Função Quadrática

Encontre o domínio e o intervalo de

Como acontece com qualquer função quadrática, o domínio são todos os números reais.

Porquefor negativo, a parábola abre para baixo e tem um valor máximo. Precisamos determinar o valor máximo. Podemos começar encontrando ovalor do vértice.

O valor máximo é dado por

O alcance éou[/ resposta oculta]

Tente

Encontre o domínio e o intervalo de

O domínio são todos números reais. O alcance éou

Determinando os valores máximo e mínimo das funções quadráticas

A saída da função quadrática no vértice é o valor máximo ou mínimo da função, dependendo da orientação da parábola. Podemos ver os valores máximo e mínimo na (Figura).

Figura 9.

Existem muitos cenários do mundo real que envolvem encontrar o valor máximo ou mínimo de uma função quadrática, como aplicativos que envolvem área e receita.

Encontrando o valor máximo de uma função quadrática

Um fazendeiro de quintal quer incluir um espaço retangular para um novo jardim dentro de seu quintal cercado. Ela comprou cerca de 25 metros de cerca de arame para envolver três lados e usará uma seção da cerca do quintal como o quarto lado.

  1. Encontre uma fórmula para a área cercada pela cerca se os lados da cerca perpendicular à cerca existente tiverem comprimento
  2. Quais dimensões ela deve fazer seu jardim para maximizar a área fechada?

Vamos usar um diagrama como (Figura) para registrar as informações fornecidas. Também é útil introduzir uma variável temporária,para representar a largura do jardim e o comprimento da seção da cerca paralela à cerca do quintal.

Figura 10.
  1. Sabemos que temos apenas 80 pés de cerca disponíveis, eou mais simplesmente,Isso nos permite representar a largura,em termos de

Agora estamos prontos para escrever uma equação para a área que a cerca envolve. Sabemos que a área de um retângulo é o comprimento multiplicado pela largura, então

Esta fórmula representa a área da cerca em termos de comprimento variávelA função, escrita de forma geral, é

O valor máximo da função é uma área de 800 pés quadrados, que ocorre quandopés. Quando os lados mais curtos têm 6 metros, sobram 12 metros de cerca para o lado mais longo. Para maximizar a área, ela deve cercar o jardim de forma que os dois lados mais curtos tenham comprimento de 6 metros e o lado mais longo paralelo à cerca existente tenha comprimento de 12 metros.

Análise

Este problema também pode ser resolvido com a representação gráfica da função quadrática. Podemos ver onde a área máxima ocorre em um gráfico da função quadrática na (Figura).

Figura 11.

Como

Dado um aplicativo que envolve receita, use uma equação quadrática para encontrar o máximo.

  1. Escreva uma equação quadrática para uma função de receita.
  2. Encontre o vértice da equação quadrática.
  3. Determinar o y-valor do vértice.

Encontrando a receita máxima

O preço unitário de um item afeta sua oferta e demanda. Ou seja, se o preço unitário aumentar, a demanda pelo item geralmente diminuirá. Por exemplo, um jornal local tem atualmente 84.000 assinantes a uma tarifa trimestral de $ 30. A pesquisa de mercado sugeriu que se os proprietários aumentassem o preço para US $ 32, eles perderiam 5.000 assinantes. Supondo que as assinaturas estejam linearmente relacionadas ao preço, qual preço o jornal deveria cobrar por uma assinatura trimestral para maximizar sua receita?

A receita é a quantidade de dinheiro que uma empresa traz. Nesse caso, a receita pode ser encontrada multiplicando o preço por assinatura pelo número de assinantes, ou quantidade. Podemos introduzir variáveis,para preço por assinatura epara quantidade, dando-nos a equação

Como o número de assinantes muda com o preço, precisamos encontrar uma relação entre as variáveis. Nós sabemos que atualmenteeTambém sabemos que se o preço subir para US $ 32, o jornal perderá 5.000 assinantes, dando um segundo par de valores,eA partir disso, podemos encontrar uma equação linear relacionando as duas quantidades. A inclinação será

Isso nos diz que o jornal perderá 2.500 assinantes para cada dólar que aumentar o preço. Podemos então resolver para o y-interceptar.

Isso nos dá a equação linearrelacionar custos e assinantes. Agora voltamos à nossa equação de receita.

Agora temos uma função quadrática para receita em função da cobrança de assinatura. Para encontrar o preço que maximizará a receita do jornal, podemos encontrar o vértice.

O modelo nos diz que a receita máxima ocorrerá se o jornal cobrar $ 31,80 pela assinatura. Para descobrir qual é a receita máxima, avaliamos a função de receita.

[/ resposta-oculta]

Análise

Isso também pode ser resolvido com o gráfico da quadrática como na (Figura). Podemos ver a receita máxima em um gráfico da função quadrática.

Figura 12.

Encontrando o x& # 8211 e y-Interceitos de uma função quadrática

Assim como fizemos nos problemas de aplicação acima, também precisamos encontrar interceptos de equações quadráticas para representar gráficos de parábolas. Lembre-se de que encontramos ointerceptar um quadrático avaliando a função em uma entrada de zero, e encontramos ointercepta em locais onde a saída é zero. Observe na (Figura) que o número deas interceptações podem variar dependendo da localização do gráfico.

Figura 13. Número de interceptações x de uma parábola

Como

Dada uma função quadráticaencontre o e x-intercepts.

  1. Avaliepara encontrar o y-interceptar.
  2. Resolva a equação quadráticapara encontrar o x-intercepts.

Encontrando o y& # 8211 e x-Interceptos de uma parábola

Encontre o y& # 8211 e x-interceptos do quadrático

Nós encontramos o y-interceptar avaliando

Então o y-intercept está em

Para o x-intercepta, encontramos todas as soluções de

Nesse caso, o quadrático pode ser fatorado facilmente, fornecendo o método mais simples de solução.

Então o x-interceptações estão eme

Análise

Representando graficamente a função, podemos confirmar que o gráfico cruza o y-eixo emTambém podemos confirmar que o gráfico cruza o x-eixo emeVeja a figura)

Figura 14.

Reescrevendo Quadráticos no Formulário Padrão

Na (Figura), o quadrático foi facilmente resolvido por fatoração. No entanto, existem muitas quadráticas que não podem ser fatoradas. Podemos resolver essas quadráticas reescrevendo-as primeiro na forma padrão.

Como

Dada uma função quadrática, encontre ointercepta reescrevendo no formato padrão.

  1. Substitutoepara dentro
  2. Substitutona forma geral da função quadrática para encontrar
  3. Reescreva o quadrático na forma padrão usandoe
  4. Resolva quando a saída da função será zero para encontrar ointercepta.

Encontrando o x-Interceptos de uma parábola

Encontre ointerceptações da função quadrática

Começamos resolvendo quando a saída será zero.

Como a quadrática não é facilmente fatorável neste caso, resolvemos as interceptações reescrevendo primeiro a quadrática na forma padrão.

Nós sabemos issoEntão resolvemos parae

Portanto, agora podemos reescrever na forma padrão.

Agora podemos resolver para quando a saída será zero.

O gráfico tem x-intercepta eme

Podemos verificar nosso trabalho traçando a função dada em um utilitário gráfico e observando ointercepta. Veja a figura).

Figura 15.

Análise

Poderíamos ter alcançado os mesmos resultados usando a fórmula quadrática. Identificare

Então o x-interceptações ocorrem eme

Tente

Em um teste, encontramos a forma padrão e geral para a funçãoAgora encontre o y& # 8211 e x-intercepts (se houver).

y- interceptar em (0, 13), Nãointercepta

Aplicando o vértice e x-Interceptos de uma parábola

Uma bola é lançada para cima do topo de um edifício de 12 metros de altura a uma velocidade de 24 metros por segundo. A altura da bola acima do solo pode ser modelada pela equação

  1. Quando a bola atinge a altura máxima?
  2. Qual é a altura máxima da bola?
  3. Quando a bola atinge o solo?

[Revelar-resposta q = & # 822185834 & # 8243] Mostrar Solução [/ Revelar-resposta]
[resposta oculta a = & # 822185834 & # 8243]

    A bola atinge a altura máxima no vértice da parábola.

A bola atinge uma altura máxima após 2,5 segundos.

A bola atinge uma altura máxima de 140 pés.

Usamos a fórmula quadrática.

Como a raiz quadrada não simplifica bem, podemos usar uma calculadora para aproximar os valores das soluções.

A segunda resposta está fora do domínio razoável de nosso modelo, então concluímos que a bola atingirá o solo após cerca de 5,458 segundos. Veja a figura).

Figura 16.

Observe que o gráfico não representa o caminho físico da bola para cima e para baixo. Lembre-se das quantidades em cada eixo ao interpretar o gráfico.

Tente

Uma rocha é lançada para cima do topo de um penhasco de 31 metros de altura com vista para o oceano a uma velocidade de 96 metros por segundo. A altura da rocha acima do oceano pode ser modelada pela equação

  1. Quando a rocha atinge a altura máxima?
  2. Qual é a altura máxima da rocha?
  3. Quando a rocha atinge o oceano?

3 segundos 256 pés7 segundos

Acesse esses recursos online para obter instruções adicionais e prática com equações quadráticas.

Equações Chave

forma geral de uma função quadrática
forma padrão de uma função quadrática

Conceitos chave

  • Uma função polinomial de grau dois é chamada de função quadrática.
  • O gráfico de uma função quadrática é uma parábola. Uma parábola é uma curva em forma de U que pode abrir para cima ou para baixo.
  • O eixo de simetria é a linha vertical que passa pelo vértice. Os zeros, ouinterceptos, são os pontos em que a parábola cruza oeixo. Ointerceptar é o ponto em que a parábola cruza oeixo. Consulte (Figura), (Figura) e (Figura).
  • As funções quadráticas são freqüentemente escritas de forma geral. A forma padrão ou de vértice é útil para identificar facilmente o vértice de uma parábola. Qualquer uma das formas pode ser escrita a partir de um gráfico. Veja a figura).
  • O vértice pode ser encontrado em uma equação que representa uma função quadrática. Veja a figura).
  • O domínio de uma função quadrática são todos os números reais. O intervalo varia com a função. Veja a figura).
  • O valor mínimo ou máximo de uma função quadrática é dado pelovalor do vértice.
  • O valor mínimo ou máximo de uma função quadrática pode ser usado para determinar o intervalo da função e para resolver muitos tipos de problemas do mundo real, incluindo problemas envolvendo área e receita. Veja (Figura) e (Figura).
  • O vértice e as interceptações podem ser identificados e interpretados para resolver problemas do mundo real. Veja a figura).

Exercícios de seção

Verbal

Explique a vantagem de escrever uma função quadrática na forma padrão.

Quando escrito dessa forma, o vértice pode ser facilmente identificado.

Como o vértice de uma parábola pode ser usado na solução de problemas do mundo real?

Explique por que a condição deé imposto na definição da função quadrática.

Seentão a função se torna uma função linear.

Qual é outro nome para a forma padrão de uma função quadrática?

Quais são os dois métodos algébricos que podem ser usados ​​para encontrar as interceptações horizontais de uma função quadrática?

Se possível, podemos usar fatoração. Caso contrário, podemos usar a fórmula quadrática.

Algébrico

Para os exercícios a seguir, reescreva as funções quadráticas na forma padrão e forneça o vértice.

Vértice

Vértice

Vértice

Vértice

Para os exercícios a seguir, determine se há um valor mínimo ou máximo para cada função quadrática. Encontre o valor e o eixo de simetria.

Mínimo ée ocorre emO eixo de simetria é

Mínimo ée ocorre emO eixo de simetria é

Mínimo ée ocorre em O eixo de simetria é

Para os exercícios a seguir, determine o domínio e o alcance da função quadrática.

Domínio éAlcance é

Domínio éAlcance é

Domínio éAlcance é

Para os exercícios a seguir, use o vérticee um ponto no gráficopara encontrar a forma geral da equação da função quadrática.

Gráfico

Para os exercícios a seguir, esboce um gráfico da função quadrática e forneça o vértice, o eixo de simetria e os interceptos.

[Revelar-resposta q = & # 8221fs-id1165134148456 & # 8243] Mostrar Solução [/ Revelar-resposta]
[resposta oculta a = & # 8221fs-id1165134148456 & # 8243]

VérticeO eixo de simetria éInterceptações são

[Revelar-resposta q = & # 8221fs-id1165135697888 & # 8243] Mostrar Solução [/ Revelar-resposta]
[resposta oculta a = & # 8221fs-id1165135697888 & # 8243]

VérticeO eixo de simetria é

[Revelar-resposta q = & # 8221fs-id1165135347648 & # 8243] Mostrar Solução [/ Revelar-resposta]
[resposta oculta a = & # 8221fs-id1165135347648 & # 8243]

VérticeO eixo de simetria éInterceptações são

Para os exercícios a seguir, escreva a equação para a função quadrática representada no gráfico.

Numérico

Para os exercícios a seguir, use a tabela de valores que representam pontos no gráfico de uma função quadrática. Ao determinar o vértice e o eixo de simetria, encontre a forma geral da equação da função quadrática.

–2 –1 0 1 2
5 2 1 2 5

–2 –1 0 1 2
1 0 1 4 9
–2 –1 0 1 2
–2 1 2 1 –2

–2 –1 0 1 2
–8 –3 0 1 0
–2 –1 0 1 2
8 2 0 2 8

Tecnologia

Para os exercícios a seguir, use uma calculadora para encontrar a resposta.

Representar graficamente no mesmo conjunto de eixos as funções

Qual parece ser o efeito da alteração do coeficiente?

Gráfico no mesmo conjunto de eixos ee Qual parece ser o efeito de adicionar uma constante?

O gráfico é deslocado para cima ou para baixo (um deslocamento vertical).

Gráfico no mesmo conjunto de eixos

Qual parece ser o efeito de adicionar ou subtrair esses números?

O caminho de um objeto projetado em um ângulo de 45 graus com velocidade inicial de 80 pés por segundo é dado pela funçãoOndeé a distância horizontal percorrida eé a altura em pés. Use o recurso TRACE da calculadora para determinar a altura do objeto quando ele se deslocar a 30 metros horizontalmente.

Uma ponte pênsil pode ser modelada pela função quadráticacomOndeé o número de pés do centro eé a altura em pés. Use o recurso TRACE de sua calculadora para estimar a que distância do centro a ponte tem uma altura de 30 metros.

Extensões

Para os exercícios a seguir, use o vértice do gráfico da função quadrática e a direção em que o gráfico se abre para encontrar o domínio e o intervalo da função.

Vérticeabre.

Domínio éAlcance é

Vérticeabre para baixo.

Vérticeabre para baixo.

Domínio éAlcance é

Vérticeabre.

Para os exercícios a seguir, escreva a equação da função quadrática que contém o ponto dado e tem a mesma forma da função dada.

Contéme tem forma deO vértice está noeixo.

Contéme tem a forma deO vértice está noeixo.

Contéme tem a forma deO vértice está noeixo.

Contéme tem a forma deO vértice está noeixo.

Contéme tem a forma deO vértice está noeixo.

Contémtem a forma deO vértice tem coordenada x de

Aplicativos do mundo real

Encontre as dimensões do curral retangular que produz a maior área fechada com 60 metros de cerca.

50 pés por 50 pés. Maximizar

Encontre as dimensões do curral retangular dividido em 2 currais do mesmo tamanho, produzindo a maior área fechada possível, dados 300 pés de cerca.

Encontre as dimensões do curral retangular que produz a maior área fechada dividida em 3 currais do mesmo tamanho, dados 500 pés de cerca.

125 pés por 62,5 pés. Maximizar

Entre todos os pares de números cuja soma é 6, encontre o par com o maior produto. Qual é o produto?

Entre todos os pares de números cuja diferença é 12, encontre o par com o menor produto. Qual é o produto?

eo produto é –36 maximizar

Suponha que o preço por unidade em dólares da produção de um telefone celular seja modelado porOndeestá em milhares de telefones produzidos, e a receita representada por milhares de dólares éEncontre o nível de produção que maximizará a receita.

Um foguete é lançado no ar. Sua altura, em metros acima do nível do mar, em função do tempo, em segundos, é dada porEncontre a altura máxima que o foguete atinge.

Uma bola é lançada ao ar do alto de um edifício. Sua altura, em metros acima do solo, em função do tempo, em segundos, é dada porQuanto tempo leva para atingir a altura máxima?

Um estádio de futebol acomoda 62.000 espectadores. Com o preço do ingresso de US $ 11, o comparecimento médio foi de 26.000. Quando o preço caiu para US $ 9, a frequência média subiu para 31.000. Supondo que a frequência esteja linearmente relacionada ao preço do ingresso, qual preço do ingresso maximizaria a receita?

Um agricultor descobre que, se plantar 75 árvores por acre, cada árvore renderá 20 alqueires de frutas. Ela estima que para cada árvore adicional plantada por acre, o rendimento de cada árvore diminuirá em 3 alqueires. Quantas árvores ela deve plantar por acre para maximizar sua colheita?

Glossário

eixo de simetria uma linha vertical traçada através do vértice de uma parábola, que se abre para cima ou para baixo, em torno da qual a parábola é simétrica é definida por forma geral de uma função quadrática a função que descreve uma parábola, escrita na forma, Ondeesão números reais e raízes em uma determinada função, os valores deem qual, também chamada de forma padrão de zeros de uma função quadrática a função que descreve uma parábola, escrita na forma, Ondeé o vértice vértice o ponto no qual uma parábola muda de direção, correspondendo ao valor mínimo ou máximo da forma de vértice da função quadrática de uma função quadrática outro nome para a forma padrão de uma função quadrática zeros em uma dada função, os valoresem qual, também chamado de raízes

Os efeitos de (a ) e (q ) em uma parábola.

Complete a tabela e plote os seguintes gráficos no mesmo sistema de eixos:

Use seus resultados para deduzir o efeito de (q ).

Complete a tabela e plote os seguintes gráficos no mesmo sistema de eixos:

Use seus resultados para deduzir o efeito de (a ).

O efeito de (q )

O efeito de (q ) é chamado de deslocamento vertical porque todos os pontos são movidos à mesma distância na mesma direção (desliza todo o gráfico para cima ou para baixo).

Para (q & gt0 ), o gráfico de (f (x) ) é deslocado verticalmente para cima por unidades (q ). O ponto de viragem de (f (x) ) está acima do eixo (y ).

Para (q & lt0 ), o gráfico de (f (x) ) é deslocado verticalmente para baixo por unidades (q ). O ponto de viragem de (f (x) ) está abaixo do eixo (y ).

O efeito de (a )

O sinal de (a ) determina a forma do gráfico.

Para (a & gt0 ), o gráfico de (f (x) ) é um & # 8220smile & # 8221 e tem um ponto de viragem mínimo em ((0q) ). O gráfico de (f (x) ) é alongado verticalmente para cima conforme (a ) fica maior, o gráfico fica mais estreito.

Para (0 & lta & lt1 ), conforme (a ) se aproxima de ( text <0> ), o gráfico de (f (x) ) se torna mais amplo.

Para (a & lt0 ), o gráfico de (f (x) ) é um & # 8220frown & # 8221 e tem um ponto de viragem máximo em ((0q) ). O gráfico de (f (x) ) é alongado verticalmente para baixo conforme (a ) fica menor, o gráfico fica mais estreito.

Para (- 1 & lta & lt0 ), conforme (a ) se aproxima de ( text <0> ), o gráfico de (f (x) ) se torna mais amplo.


Problemas com Soluções

Problema 1
O lucro (em milhares de dólares) de uma empresa é dado por.

    a)
    A função P que dá o lucro é uma função quadrática com o coeficiente líder a = - 5. Esta função (lucro) tem um valor máximo em x = h = - b / (2a)
    x = h = -1000 / (2 (-5)) = 100

Problema 2
Um objeto é lançado verticalmente para cima com uma velocidade inicial de Vo pés / s. Sua distância S (t), em pés, acima do solo é dada por

S (t) = -16 t 2 + vo t.
Encontre v o de modo que o ponto mais alto que o objeto pode alcançar está a 300 pés acima do solo.

  • S (t) é uma função quadrática e o valor máximo de S (t) é dado por
    k = c - b 2 / (4 a) = 0 - (vo) 2 / (4(-16))
  • Este valor máximo de S (t) deve ser de 300 pés para que o objeto alcance uma distância máxima acima do solo de 300 pés.
    - (vo) 2 / (4(-16)) = 300
  • agora resolvemos - (vo) 2 / (4 (-16)) = 300 para vo
    vo = 64 * 300 = 80 & # 87303 pés / seg.
    O gráfico de S (t) para vo = 64 * 300 = 80 & # 87303 pés / seg. É mostrado abaixo.

Problema 3
Encontre a equação da função quadrática f cujo gráfico passa pelo ponto (2, -8) e tem interceptos x em (1, 0) e (-2, 0).
Solução para o problema 3

  • Como o gráfico tem interceptos x em (1, 0) e (-2, 0), a função tem zeros em x = 1 e x = - 2 e pode ser escrita da seguinte maneira.
    f (x) = a (x - 1) (x + 2)
  • O gráfico de f passa pelo ponto (2, -8), segue que
    f (2) = - 8
  • o que leva a
    - 8 = a (2 - 1) (2 + 2)
  • expanda o lado direito da equação acima e agrupe os termos semelhantes
    -8 = 4 a
  • Resolva a equação acima para obter
    a = - 2
  • A equação de f é dada por
    f (x) = - 2 (x - 1) (x + 2)
  • Verifique a resposta
    f (1) = 0
    f (-2) = 0
    f (2) = - 2 (2 - 1) (2 + 2) = -8

Problema 4
Encontre os valores do parâmetro m de modo que o gráfico da função quadrática f dada por

  • Para encontrar os pontos de intersecção, você precisa resolver o sistema de equações
    y = x 2 + x + 1
    y = m x
  • Substitua m x por y na primeira equação para obter
    mx = x 2 + x + 1
  • Escreva a equação quadrática acima na forma padrão.
    x 2 + x (1 - m) + 1 = 0
  • Encontre o discriminante D da equação acima.
    D = (1 - m) 2 - 4 (1) (1)
    D = (1 - m) 2 - 4
    a)
  • Para que o gráfico de f e o da reta tenham 2 pontos de intersecção, D deve ser positivo, o que leva a
    (1 - m) 2 - 4> 0
  • Resolva a desigualdade acima para obter o conjunto de solução para m nos intervalos
    (- & # 8734, -1) U (3, + & # 8734)
    b)
  • Para que o gráfico de f e o da reta tenham 1 ponto de intersecção, D deve ser zero, o que leva a
    (1 - m) 2 - 4 = 0
  • Resolva a equação acima para obter 2 soluções para m.
    m = -1
    m = 3
    c)
  • Para que o gráfico de f e o da reta não tenham pontos de interseção, D deve ser negativo, o que leva a
    (1 - m) 2 - 4 & lt 0
  • Resolva a desigualdade acima para obter o conjunto de solução para m no intervalo
    (-1 , 3)
    Os gráficos de y = 3 x, y = - x e da função quadrática f (x) = x 2 + x + 1 são mostrados na figura abaixo.

Problema 5
A função quadrática C (x) = a x 2 + b x + c representa o custo, em milhares de dólares, de produzir x itens.C (x) tem um valor mínimo de 120 mil para x = 2000 e o custo fixo é igual a 200 mil. Encontre os coeficientes a, be c.
Solução para o problema 5

  • A função C é uma função quadrática. Seu ponto mínimo, que é dado como (2000,120), é o vértice do gráfico de C. Portanto, podemos escrever C (x) na forma de vértice como segue
    C (x) = a (x - 2.000) 2 + 120
  • O custo fixo é o valor de C (x) quando x = 0. Portanto
    C (0) = a (0 - 2.000) 2 + 120 = 200
  • Resolva por um
    a = 80/2000 2 = 0,00002
  • Expandimos C (x) e identificamos os coeficientes a, be c.
    C (x) = 0,00002 (x - 2000) 2 + 120 = 0,00002 x 2 - 0,08 x + 200
    a = 0,00002, b = -0,08 e c = 200.
  • O gráfico de C (x) é mostrado a seguir e podemos verificar que o ponto mínimo está em (2000,120) e o custo fixo C (0) = 200.

Problema 6
Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de f (x) = - x 2 + x - 2 em x = 1.
Solução para o problema 6

  • Existem pelo menos dois métodos para resolver a questão acima.
    Método 1
  • Deixe a equação da linha tangente ter a forma
    y = m x + b
  • e, portanto, precisamos encontrar m e b. A linha tangente passa pelo ponto
    (1, f (1)) = (1, -2)
  • Daí a equação em m e b
    - 2 = m (1) + b ou m + b = -2
  • Para encontrar o ponto de tangência da reta e o gráfico da função quadrática, precisamos resolver o sistema
    y = m x + be y = - x 2 + x - 2
  • Substitua y por m x + b na segunda equação do sistema para obter
    m x + b = - x 2 + x - 2
  • Escreva a equação acima no formato padrão
    - x 2 + x (1 - m) - 2 - b = 0
  • Para que a reta seja tangente ao gráfico da função quadrática, o discriminante D da equação acima deve ser igual a zero. Por isso
    D = b 2 - 4 a c = (1 - m) 2 - 4 (-1) (- 2 - b) = 0
  • que dá
    (1 - (- 2 - b)) 2 + 4 (- 2 - b) = 0
  • Expanda, simplifique e escreva a equação acima no formato padrão
    b 2 2 b + 1 = 0
    (b + 1) 2 = 0
  • Resolva para b
    b = - 1
  • Encontre m
    m = - 2 - b = -1
  • A equação da reta tangente é dada por
    y = - x - 1
    A interpretação gráfica (ou verificação) é mostrada abaixo com o gráfico de y = - x - 1 tangente ao gráfico de f (x) = - x 2 + x - 2 em x = 1.

    Método 2
    O segundo método é baseado no conceito da derivada estudada em cálculo, ver pergunta 4 em Perguntas de Cálculo com Respostas (5)

Raízes complexas

Esperamos que agora você comece a entender por que introduzimos os números complexos no início deste módulo. Considere a seguinte função: [latex] f (x) = x ^ 2 + 2x + 3 [/ latex] e o gráfico abaixo:

Esta função tem raízes? Provavelmente é óbvio que esta função não cruza o eixo [latex] x [/ latex], portanto, não tem nenhum [latex] x [/ latex] -intercepto. Lembre-se de que os [latex] x [/ latex] -intercepts de uma função são encontrados definindo a função igual a zero:

No próximo exemplo, resolveremos essa equação. Você verá que existem raízes, mas não são [latex] x [/ latex] -interceptações porque a função não contém pares [latex] (x, y) [/ latex] que estão no [latex] x [ / latex] -eixo. Chamamos essas raízes complexas.

Definindo a função igual a zero e usando a fórmula quadrática para resolver, você verá que as raízes são números complexos.

Exemplo

Encontre os [latex] x [/ latex] -intercepts da função quadrática. [latex] f (x) = x ^ 2 + 2x + 3 [/ latex]

Os [latex] x [/ latex] -intercepts da função [latex] f (x) = x ^ 2 + 2x + 3 [/ latex] são encontrados configurando-o igual a zero e resolvendo para [latex] x [ / latex] uma vez que os valores [latex] y [/ latex] das interceptações [latex] x [/ latex] são zero.

Primeiro, identifique [latex] a [/ latex], [latex] b [/ latex] e [latex] c [/ latex].

Substitua esses valores na fórmula quadrática.

As soluções para esta equação são complexas, portanto não há [latex] x [/ latex] -interceptações para a função [latex] f (x) = x ^ 2 + 2x + 3 [/ latex] no conjunto de números reais que pode ser plotado no plano de coordenadas cartesianas. O gráfico da função é traçado no plano de Coordenadas Cartesianas abaixo:

Gráfico da função quadrática sem interceptações [latex] x [/ latex] nos números reais.

Observe como o gráfico não cruza o eixo [latex] x [/ latex], portanto, não há interceptações [latex] x [/ latex] reais para esta função.

Tente

O vídeo a seguir dá outro exemplo de como usar a fórmula quadrática para encontrar soluções complexas para uma equação quadrática.


Unidade 6 e # 8211 Funções quadráticas e sua álgebra

POR QUÊ. Somos uma pequena editora independente fundada por um professor de matemática e sua esposa. Acreditamos no valor que agregamos aos professores e escolas e queremos continuar fazendo isso. Mantemos nossos preços baixos para que todos os professores e escolas possam se beneficiar de nossos produtos e serviços. Pedimos que você nos ajude em nossa missão, cumprindo estes Termos e Condições.

POR FAVOR, NÃO COMPARTILHE. Sabemos que é bom compartilhar, mas por favor, não compartilhe o conteúdo da sua assinatura ou seu login ou informações de validação. Sua associação é uma licença de usuário único, o que significa que dá a uma pessoa - você - o direito de acessar o conteúdo da associação (chaves de resposta, arquivos de aula editáveis, PDFs, etc.), mas não deve ser compartilhado.

  • Não copie ou compartilhe as chaves de resposta ou outro conteúdo de associação.
  • Não publique as chaves de resposta ou outro conteúdo de associação em um site para que outras pessoas vejam. Isso inclui sites de escolas e páginas de professores em sites de escolas.
  • Você pode fazer cópias das Chaves de Resposta para distribuir à sua classe, mas por favor, pegue-as quando os alunos terminarem de lê-las.
  • Se você é uma escola, adquira uma licença para cada professor / usuário.

RESPEITE NOSSOS DIREITOS AUTORAIS E SEGREDOS COMERCIAIS. Nós possuímos os direitos autorais de todos os materiais que criamos e licenciamos certos direitos autorais do software que usamos para executar nosso site, gerenciar credenciais e criar nossos materiais. Alguns desses softwares protegidos por direitos autorais podem estar incorporados aos materiais que você baixa. Quando você se inscreve, damos permissão (uma “Licença de usuário único”) para usar nossos direitos autorais e segredos comerciais e aqueles que licenciamos de terceiros, de acordo com nossos Termos e Condições. Portanto, além de concordar em não copiar ou compartilhar, pedimos a você:

  • Não faça engenharia reversa no software e não altere ou exclua qualquer autoria, versão, propriedade ou outros metadados.
  • Não tente hackear nosso sistema de validação, nem peça a ninguém para tentar contorná-lo.
  • Não coloque o software, suas informações de login ou qualquer um de nossos materiais em uma rede onde outras pessoas além de você possam acessá-los
  • Não copie ou modifique o software ou o conteúdo da assinatura de nenhuma forma, a menos que você tenha comprado arquivos editáveis
  • Se você criar uma atribuição modificada usando um arquivo editável adquirido, por favor, credite-nos como segue em todas as páginas de atribuição e chave de resposta:

“Esta tarefa é uma versão modificada pelo professor de [eMath Title] Copyright © 201x eMATHinstruction, LLC, usada com permissão”

FEEDBACK SOLICITADO. Valorizamos seu feedback sobre nossos produtos e serviços. Achamos que os outros vão valorizar isso também. É por isso que podemos fazer o seguinte (e pedimos que você concorde):

  • Use seu feedback para fazer melhorias em nossos produtos e serviços e até mesmo lançar novos produtos e serviços, com o entendimento de que você não será pago ou possuirá qualquer parte dos produtos e serviços novos ou aprimorados (a menos que concordemos de outra forma por escrito com antecedência )
  • Compartilhe seus comentários, incluindo depoimentos, em nosso site ou outros materiais publicitários e promocionais, com o entendimento de que você não será pago ou possuirá qualquer parte dos materiais publicitários ou promocionais (a menos que concordemos de outra forma por escrito com antecedência).

SATISFAÇÃO GARANTIDA. Se você não ficar 100% satisfeito, reembolsaremos o valor de compra que você pagou em 30 dias. Para obter um reembolso:

  • Dentro de 30 dias de sua compra,
  • Exclua o software e todo o conteúdo da assinatura de todos os seus computadores, destrua todas as fotocópias ou impressões de nossos materiais e devolva todas as cópias tangíveis (discos, pastas de trabalho, etc.) e outros materiais que você recebeu para:

Departamento de Devolução de Instrução eMATH
10 Fruit Bud Lane
Red Hook, NY 12571

SUPORTE TÉCNICO: Se você estiver tendo problemas para fazer login ou acessar seus materiais, ou se os materiais baixados não abrirem ou estiverem ilegíveis, notifique-nos imediatamente por e-mail em [email & # 160protected] para que possamos consertá-lo.

SEM GARANTIA. Acreditamos na qualidade e no valor de nossos produtos e serviços e trabalhamos muito para garantir que funcionem bem e estejam livres de bugs. Dito isso, estamos fornecendo nossos produtos e serviços “no estado em que se encontram”, o que significa que não somos responsáveis ​​se algo de ruim acontecer a você ou ao seu sistema de computador como resultado do uso de nossos produtos e serviços. Para a nossa isenção de responsabilidade completa de garantias, consulte nossa versão em juridiquês destes Termos e Condições aqui.

DISPUTAS. Se tivermos uma disputa que não possamos resolver por conta própria, usaremos a Arbitragem Vinculante em vez de entrar com uma ação em um tribunal comum (exceto que você pode usar o tribunal de pequenas causas). Arbitragem Vinculante significa que nosso caso será decidido por um ou mais árbitros que são escolhidos e pagos por todas as partes da disputa. A arbitragem é uma forma mais rápida e menos formal de resolver disputas e, portanto, tende a custar menos.

  • Para iniciar um processo de arbitragem, envie uma carta solicitando a arbitragem e descrevendo sua reclamação para:

Emath Instruction Inc.
10 Fruit Bud Lane
Red Hook, NY 12571

LIMITAÇÃO DE RESPONSABILIDADE. Se você ganhar um caso contra nós, o máximo que você pode recuperar de nós é o valor que você nos pagou.

Para ver a versão em legalês de nossos Termos e Condições, clique AQUI. Fornecemos os destaques acima, em inglês simples, mas é uma boa ideia olhar para o legalês também, porque ao marcar a caixa abaixo e prosseguir com a compra, você concorda com o inglês e o legalês.

Obrigado por usar materiais de instrução eMATH. A fim de continuar a fornecer recursos matemáticos de alta qualidade para você e seus alunos, respeitosamente solicitamos que você não publicar este ou qualquer um dos nossos arquivos em qualquer site. Fazer isso é uma violação de direitos autorais.

O conteúdo que você está tentando acessar requer uma adesão. Se você já tem um plano, faça o login. Se você precisar adquirir uma assinatura, oferecemos assinaturas anuais para tutores e professores e descontos especiais em massa para escolas.

Desculpe, o conteúdo que você está tentando acessar requer verificação que você é um professor de matemática. Clique no link abaixo para enviar sua solicitação de verificação.


Planilhas de função quadrática

Uma vasta compilação de planilhas em PDF de alta qualidade projetadas por especialistas em educação com base em funções quadráticas está disponível nesta página! Essas planilhas de funções quadráticas para impressão exigem que os alunos de álgebra avaliem as funções quadráticas, escrevam a função quadrática de uma forma diferente, completem tabelas de funções, identifiquem o vértice e interceptos com base em fórmulas, identifiquem as várias propriedades da função quadrática e muito mais. Várias planilhas gratuitas para impressão estão à sua disposição.

Concentre-se em completar tabelas de função com função quadrática neste conjunto de prática! Substitua os valores de x na função quadrática para descobrir os valores de y. Para facilitar uma prática fácil, os coeficientes e os valores de x são oferecidos em inteiros.

Nesse nível moderado, ou os coeficientes / constante da função quadrática ou os valores de entrada x, ou ambos são números racionais. Insira os valores de x em f (x), obtenha os valores de y e complete as tabelas de funções.

Escreva uma função quadrática baseada no vértice (h, k) e um ponto (x, y) fornecido. Use a forma de vértice f (x) = a (x - h) 2 + k para encontrar a função quadrática nesta série de planilhas pdf.

Com base nos zeros e em um ponto dado, escreva a função quadrática na forma de interceptação f (x) = a (x - p) (x - q) onde p, q são zeros. Encontre o valor de 'a' substituindo o ponto e, a seguir, forme a função quadrática.

Converta cada função quadrática para a forma geral f (x) = ax 2 + bx + c. Confira essas planilhas para impressão exclusivas que contêm 10 problemas cada, que fornecem uma ampla prática. Use a chave de resposta para verificar suas respostas.

Fatorar cada função quadrática e escrever a função na forma de interceptação. Pratique este conjunto de planilhas para adquirir habilidades na fatoração da função, encontrando zeros e convertendo a função quadrática em forma de interceptação.

Converta cada função quadrática para a forma de vértice, y = a (x - h) 2 + k. Baixe essas planilhas e aplique 'completar o método do quadrado' para escrever a função quadrática na forma de vértice.

Encontre o vértice das funções quadráticas fornecidas usando a técnica de completar o quadrado. Cada planilha de PDF tem dez problemas para identificar o vértice da função quadrática.

Escreva uma função quadrática na forma de interceptação (forma de fator) para encontrar as interceptações x. Defina x = 0 para encontrar a interceptação y. Use essas planilhas de função quadrática para impressão para avaliar os alunos do ensino médio em encontrar a interceptação xey das funções fornecidas.

O valor máximo ou mínimo de uma função quadrática é obtido reescrevendo a função dada na forma de vértice. Se o coeficiente de x 2 for positivo, você deve encontrar o valor mínimo. Se for negativo, encontre o valor máximo. Revise os resultados e registre suas respostas nas planilhas.

Esta coleção de planilhas de função quadrática requer que os alunos encontrem as seguintes propriedades da função quadrática: domínio, intervalo, interceptos x, interceptação y, vértice, valor mínimo ou máximo, eixo de simetria e abertura para cima ou para baixo.

Este conjunto de planilhas de funções quadráticas contém exercícios de avaliação de funções quadráticas para os valores x fornecidos. As planilhas são classificadas em dois níveis. Os valores x são inteiros nas planilhas de nível fácil. No nível moderado, os valores x são decimais ou frações.

Estas planilhas de pdf de função quadrática para o ensino médio abrangem a identificação de zeros, função quadrática de gráfico usando tabelas de função, MCQ, propriedades de função quadrática de gráfico e mais!

Este conjunto de planilhas imprimíveis fornece prática adequada na tradução e reflexão da função quadrática usando gráficos e vice-versa.


Fórmula quadrática

A fórmula quadrática é usada para encontrar, raízes ou zeros, para funções quadráticas quando a equação não é fatorável e resolver para x quando y = 0 é muito difícil. Esta fórmula também fornece o valor x do vértice e o discriminante fornece o número de soluções.

Para qualquer equação quadrática da forma y = ax 2 + bx + c, a fórmula quadrática abaixo

encontrará as raízes, ou zeros, da equação. As raízes de uma função quadrática são iguais aos seus zeros. Eles são onde o gráfico cruza o eixo x, ou simplesmente, onde y = 0. Uma função quadrática pode ter 0, 1 ou 2 raízes.

Este problema não pode ser fatorado e não há maneira fácil de resolver para x quando y = 0. Portanto, devemos usar a fórmula quadrática.

Etapa 1: primeiro encontramos a, be c.

Esta equação já está escrita na forma de y = ax 2 + bx + c, portanto, temos a = 4, b = -6 e c = 7.

Etapa 2: agora substituímos esses valores na fórmula e usamos a ordem das operações para simplificar


Assista o vídeo: Aula 15 Matemática Simples 10º Função Quadrática (Outubro 2021).