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Divisões sucessivas


Vamos supor que P(x) é divisível por (x - a) e o quociente dessa divisão é divisível por (x - b).

Será que P(x) é divisível por (x - a)(x - b)?

Note que:

, então:

Portanto, P(x) é divisível por (x - a)(x - b).

Exemplo 1

Verifique se é divisível por (x - 1)(x - 2):

Resolução

Dividindo P(x) por (x - 1):

Como , P(x) é divisível por (x - 1).

Dividindo por (x - 2):

Como , é divisível por (x - 2).

Assim, P(x) é divisível por (x - 1) e o quociente dessa divisão é divisível por (x - 2); logo P(x) é divisível pelo produto (x - 1)(x - 2).

Exemplo 2

Verifique se é divisível por e obtenha o quociente final:

Resolução

Note que .

Vamos fazer, num só dispositivo, as divisões de P(x) por (x - 1), do quociente obtido nessa divisão por (x + 1) e do novo quociente por (x - 2) (as divisões sucessivas não precisam ser feitas obrigatoriamente nessa ordem):

Podemos concluir então que P(x) é divisível por e que .

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