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7.3: Permutações e Combinações - Matemática


Vimos na última seção que, ao trabalhar com permutações, a ordem é sempre importante. Se estivéssemos escolhendo 3 pessoas de um grupo de 7 para servir em um comitê sem funções designadas, a natureza do problema mudaria.
Por exemplo, se estivéssemos escolhendo 3 pessoas de um grupo de 7 para servir em um comitê como presidente, vice-presidente e tesoureiro, a resposta seria (_ {7} P_ {3} = 210 ) Mas - se nós quisesse escolher 3 pessoas de um grupo de 7 sem funções atribuídas, então algumas das escolhas na permutação seriam as mesmas.
Em uma permutação:
1º lugar: Alice 1º lugar: Bob 2º lugar: Bob ( quad ) 2º lugar: Charlie 3º lugar: Charlie ( quad ) 3º lugar: Alice
as duas opções listadas acima seriam consideradas diferentes e contadas separadamente. Em uma "combinação" em que a ordem de seleção não é importante e não há funções atribuídas, devemos compensar essas escolhas extras.

Se estivermos escolhendo 3 pessoas de um grupo de 7 para servir em um comitê sem funções designadas, devemos considerar que qualquer seleção de uma permutação que inclua as mesmas três pessoas deve ser contada apenas uma vez.
Portanto, quando selecionamos as três pessoas, devemos considerar quantas maneiras diferentes existem para agrupá-las e, em seguida, remover essas escolhas extras. Neste exemplo, estamos escolhendo três pessoas. Cada grupo de três pode ser organizado de seis maneiras diferentes (3! = 3 * 2 = 6, ) de forma que cada grupo distinto de três seja contado seis vezes.
Para encontrar o número real de escolhas, pegamos o número de permutações possíveis e dividimos por 6 para chegar à resposta real:
[
_ {7} C_ {3} = frac {7 P_ {3}} {3!} = Frac {7!} {4! * 3!}
]
Em uma combinação em que a ordem não é importante e não há funções atribuídas, o número de possibilidades é definido como:
[
_ {n} C_ {r} = frac {n!} {(n-r)! * r!}
]
Uma maneira de lembrar a diferença entre uma permutação e uma combinação é que em uma pizza combinada não faz diferença se a salsicha vem antes do pepperoni ou se as cebolas são colocadas primeiro - então, em uma combinação, a ordem não é importante!

EXERCÍCIOS 7.3
Encontre o valor das seguintes expressões.
1) ( quad _ {10} C_ {4} )
2) ( quad _ {8} C_ {3} )
3) ( quad _ {10} C_ {6} )
4) ( quad _ {8} C_ {5} )
5) ( quad _ {15} C_ {12} )
6) ( quad _ {18} C_ {2} )
7) ( quad _ {n} C_ {4} )
8) ( quad _ {9} C_ {r} )
9) Quantas pizzas com três coberturas podem ser feitas se houver doze coberturas para escolher?
10) Quantas mãos de bridge de 13 cartas são possíveis a partir de um baralho de 52 cartas?
11) Quantas mãos de pôquer de 5 cartas são possíveis em um baralho de 52 cartas?
12) Quantas mãos de bridge diferentes de 13 cartas são possíveis se nenhuma das cartas for maior que 10 (ou seja, nenhuma carta de figura)?
13) Quantas mãos de pôquer diferentes de 5 cartas são possíveis se nenhuma das cartas for maior que (8? )
14) Se uma pessoa tem 10 camisetas diferentes, quantas maneiras existem para escolher 4 para viajar?
15) Se uma banda praticou 15 músicas, quantas maneiras existem para ela selecionar 4 músicas para tocar em uma batalha de bandas? Quantas apresentações diferentes de quatro músicas são possíveis?
16) Quinze meninos e 12 meninas estão em um acampamento. De quantas maneiras um grupo de sete pode ser selecionado para coletar lenha:
( quad ) a) sem condições
( quad ) b) o grupo contém quatro meninas e três meninos
( quad ) c) o grupo contém pelo menos quatro meninas
17) Uma turma de 25 alunos é composta por 15 meninas e 10 meninos. De quantas maneiras um comitê de 8 alunos pode ser selecionado se:
( quad ) a) não há restrições
( quad ) b) nenhum homem está incluído no comitê
( quad ) c) nenhuma mulher está incluída no comitê
( quad ) d) o comitê deve ter 5 meninos e 3 meninas
18) De um grupo de 12 jogadores de tênis masculinos e 12 femininos, dois homens e duas mulheres serão escolhidos para competir em uma partida de duplas entre homens e mulheres. Quantas combinações diferentes são possíveis?
19) Em uma classe de dança da sétima série, há 20 meninas e 17 meninos.
( quad ) a) De quantas maneiras os alunos podem ser agrupados para criar casais de dança consistindo de um menino e uma menina?
( quad ) b) Quantas maneiras existem para criar um grupo de 17 casais de meninos / meninas?
( quad ) c) Quantas maneiras existem para criar um grupo de 18 casais sem restrições?


Soluções NCERT para Matemática da Classe 11, Capítulo 7 Permutação e Combinações

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Permutação e combinação & # 8211 Classe XI & # 8211 Exercício 7.3

Os números de 3 dígitos devem ser formados usando os dígitos de 1 a 9. Aqui, a ordem dos dígitos é importante.

Portanto, haverá tantos números de 3 dígitos quanto há permutações de 9 dígitos diferentes tomados 3 de cada vez.

Portanto, o número necessário de números de 3 dígitos = 9 P3 = 9! /(9-3)! = 9! /6!

2: Quantos números de 4 dígitos existem sem nenhum dígito repetido?

A casa dos milhares do número de 4 dígitos deve ser preenchida com qualquer um dos dígitos de 1 a 9, pois o dígito 0 não pode ser incluído.

Portanto, o número de maneiras pelas quais milhares de lugares podem ser preenchidos é 9.

As casas das centenas, dezenas e unidades podem ser preenchidas por qualquer um dos dígitos de 0 a 9.

No entanto, os dígitos não podem ser repetidos nos números de 4 dígitos e a casa de milhar já está ocupada com um dígito.

A casa das centenas, dezenas e unidades deve ser preenchida pelos 9 dígitos restantes.

Portanto, haverá tantos números de 3 dígitos quanto há permutações de 9 dígitos diferentes tomados 3 de cada vez.

Número de tais números de 3 dígitos = 9 P3 = 9! /(9-3)! = 9! /6!

Assim, pelo princípio de multiplicação, o número necessário de números de 4 dígitos é 9 × 504 = 4536

  1. Quantos números pares de 3 dígitos podem ser feitos usando os dígitos 1, 2, 3, 4, 6, 7, se nenhum dígito for repetido?

Os números pares de 3 dígitos devem ser formados usando os seis dígitos fornecidos, 1, 2, 3, 4, 6 e 7, sem repetir os dígitos.

Em seguida, os dígitos das unidades podem ser preenchidos de 3 maneiras por qualquer um dos dígitos, 2, 4 ou 6. Uma vez que os dígitos não podem ser repetidos nos números de 3 dígitos e o lugar das unidades já está ocupado com um dígito (que é par), a casa das centenas e das dezenas deve ser preenchida pelos 5 dígitos restantes.

Portanto, o número de maneiras pelas quais as casas das centenas e das dezenas podem ser preenchidas com os 5 dígitos restantes é a permutação de 5 dígitos diferentes tomados 2 de cada vez.

Número de maneiras de preencher as casas das centenas e das dezenas = 5 P2 = 5! /(5-2)! = 5! /3!

Assim, princípio de multiplicação bu, o número necessário de números de 3 dígitos 3 x 20 = 60

4. Encontre o número de números de 4 dígitos que podem ser formados usando os dígitos 1, 2, 3, 4, 5 se nenhum dígito for repetido. Quantos deles serão iguais?

Os números de 4 dígitos devem ser formados usando os dígitos 1, 2, 3, 4 e 5.

Haverá tantos números de 4 dígitos quanto permutações de 5 dígitos diferentes tomados 4 de cada vez.

Portanto, o número necessário de números de 4 dígitos = 5 P4 = 5! /(5-4)! = 5! /1!

Entre os números de 4 dígitos formados usando os dígitos, 1, 2, 3, 4, 5, os números pares terminam com 2 ou 4.

O número de maneiras pelas quais as unidades são preenchidas com dígitos é 2. Visto que os dígitos não são repetidos e a posição das unidades já está ocupada com um dígito (que é par), as casas restantes devem ser preenchidas pelos 4 dígitos restantes.

Portanto, o número de maneiras pelas quais as casas restantes podem ser preenchidas é a permutação de 4 dígitos diferentes tomados 3 de cada vez.

Número de formas de preenchimento das vagas restantes = 4 P3 = 4! /(4-3)! = 4! /1!

Assim, pelo princípio de multiplicação, o número necessário de números pares é 24 × 2 = 48

  1. Em um comitê de 8 pessoas, de quantas maneiras podemos escolher um presidente e um vice-presidente, presumindo que uma pessoa não pode ocupar mais de um cargo?

De uma comissão de 8 pessoas, um presidente e um vice-presidente serão escolhidos de forma que uma pessoa não possa ocupar mais de um cargo.

Aqui, o número de maneiras de escolher um presidente e um vice-presidente é a permutação de 8 objetos diferentes tomados 2 de cada vez.

Assim, número necessário de maneiras = 8 P2 = 8! /(8-2)! = 8! /6! = 8x7x6! /6! = 8 x 7 = 56

(i) 5 Pr = 2 6 Pr-1

  1. Quantas palavras, com ou sem significado, podem ser formadas usando todas as letras da palavra EQUAÇÃO, usando cada letra exatamente uma vez?

Temos 8 letras diferentes na palavra EQUAÇÃO.

Portanto, o número de palavras que podem ser formadas usando todas as letras da palavra EQUAÇÃO, usando cada letra apenas uma vez, é o número de permutações de 8 objetos diferentes tomados 8 de cada vez, que é 8 P8 = 8!

Assim, o número necessário de palavras que podem ser formadas = 8! = 40320

9: Quantas palavras, com ou sem significado, podem ser formadas a partir das letras da palavra SEGUNDA-FEIRA, assumindo que nenhuma letra se repete, se

(i) 4 letras são usadas por vez,

(ii) todas as letras são usadas ao mesmo tempo,

(iii) todas as letras são usadas, mas a primeira letra é uma vogal?

Existem 6 letras diferentes na palavra SEGUNDA-FEIRA.

(i) O número de palavras de 4 letras pode ser formado a partir das letras da palavra SEGUNDA-FEIRA sem repetição de letras é igual ao número de permutações de 6 objetos diferentes tomados 4 de cada vez, que é 6 P4.

Assim, o número necessário de palavras que podem ser formadas usando 4 letras por vez é

(ii) O número de palavras que podem ser formadas usando todas as letras da palavra SEGUNDA-FEIRA de cada vez é igual ao número de permutações de 6 objetos diferentes tomados 6 de cada vez é 6 P6 = 6! .

Assim, o número necessário de palavras que podem ser formadas quando todas as letras são usadas ao mesmo tempo = 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720

(iii) Na palavra dada, existem 2 vogais diferentes, que devem ocupar o lugar mais à direita das palavras formadas.

Isso só pode ser feito de 2 maneiras.

Como as letras não podem ser repetidas e o lugar mais à direita já está ocupado por uma letra (que é uma vogal), as cinco casas restantes devem ser preenchidas pelas 5 letras restantes.

Isso pode ser feito em 5! maneiras.

Assim, neste caso, o número necessário de palavras que podem ser formadas é 5! × 2 = 120 × 2 = 240

10: Em quantas das permutações distintas das letras em MISSISSIPPI os quatro I's não vêm juntos?

Na palavra MISSISSIPPI, I aparece 4 vezes, S aparece 4 vezes, P aparece 2 vezes e M aparece apenas uma vez.

Portanto, o número de permutações distintas das letras na palavra dada

11! /4!4!2! = 11x10x9x8x7x6x5x4! /4! X4x3x2x1x2x1

= 11x10x9x8x7x6x5 /4x3x2x1x2x1 = 34650

Existem 4 Is na palavra dada.

Quando eles ocorrem juntos, eles são tratados como um único objeto por enquanto.

Este único objeto junto com os 7 objetos restantes representarão 8 objetos.

Esses 8 objetos nos quais há 4 Ss e 2 Ps podem ser organizados em 8! /4!2! maneiras, ou seja, 840 maneiras.

Número de arranjos onde todos os Is ocorrem juntos = 840

Assim, o número de permutações distintas das letras em MISSISSIPPI em que quatro Is não vêm juntos = 34650 - 840 = 33810

11. De quantas maneiras as letras da palavra PERMUTAÇÕES podem ser arranjadas se o

(i) palavras começam com P e terminam com S,

(ii) as vogais estão todas juntas,

(iii) sempre há 4 letras entre P e S?

Na palavra PERMUTAÇÕES, existem 2 Ts e todas as outras letras aparecem apenas uma vez.

(i) Se P e S são fixados nas extremidades (P na extremidade esquerda e S na extremidade direita), então sobram 10 letras.

Portanto, neste caso, o número necessário de arranjos é 10! /2! = 1814400

(ii) Existem 5 vogais na palavra dada, cada uma aparecendo apenas uma vez. Como eles sempre devem ocorrer juntos, eles são tratados como um único objeto por enquanto.

Este único objeto junto com os 7 objetos restantes representarão 8 objetos.

Esses 8 objetos nos quais há 2 Ts podem ser dispostos em 8! /2!.

Correspondendo a cada um desses arranjos, as 5 vogais diferentes podem ser arranjadas em 5! maneiras.

Portanto, pelo princípio da multiplicação, o número necessário de arranjos, neste caso, 8! /2! x5! = 2419200

(iii) As letras devem ser dispostas de forma que haja sempre 4 letras entre P e S.

Portanto, de certa forma, os lugares de P e S são fixos. As 10 letras restantes em que há 2 T podem ser organizadas em 10! /2! maneiras

Além disso, as letras P e S podem ser colocadas de modo que haja 4 letras entre elas em 2 x 7 = 14 maneiras

portanto, por princípio de multiplicação, o número necessário de arranjos neste caso = 10! /2! x 14 = 25401600


Permutações e a notação fatorial

O produto de todos os inteiros positivos menores ou iguais a um número, digamos, é denotado por e lido como “fatorial”. Isso é,

Então, como exemplos simples, temos,

Por definição, temos que

A função fatorial, possui domínio igual aos inteiros não negativos. (Embora no ensino superior de matemática haja uma maneira de considerar a função fatorial para números inteiros negativos e valores fracionários). Essa notação é particularmente útil ao considerar arranjos em linhas ou círculos. Considere o exemplo abaixo.

Exemplo 3

De quantas maneiras 6 meninas podem sentar-se em fila?

Solução 3

Neste caso, podemos passar por um argumento semelhante ao do exemplo 2 e descobrir que a resposta é igual a

Em geral, ao organizar objetos distintos em uma linha (repetições não permitidas), temos que o número de arranjos ou permutações desses objetos é dado por. Agora, se tivéssemos objetos, nem todos distintos, então este é um assunto diferente, e de fato existe uma fórmula para tal caso. A fórmula é fornecida a seguir.

Se houver objetos, com objetos sendo não distintos e de um certo tipo e objetos sendo não distintos e de outro tipo e objetos sendo não distintos e de outro tipo e assim por diante, temos que o número de arranjos de tais objetos em uma linha é dado por,

Embora isso possa não ser imediatamente óbvio, a razão para a divisão pelos valores de e é simplesmente para eliminar todos os rearranjos dos objetos semelhantes entre si. Considere o exemplo abaixo que ilustra o uso desta fórmula.

Exemplo 4

De quantas maneiras as letras da palavra MAMMAL podem ser reorganizadas?

Solução 4

Neste exemplo, notamos que existem M's e que existem A's, e que no total temos letras. Usando a fórmula acima, temos que o número de arranjos das letras é dado por,

Suponha agora que desejamos organizar os objetos em um círculo. A diferença entre este e o caso anterior é a falta de um ponto inicial definido e um ponto final definido. Por causa disso, devemos atribuir um dos objetos sendo arranjados, para ser nosso ponto de referência e é então que podemos organizar os objetos restantes em torno do objeto escolhido para ser o ponto de referência. Portanto, ao remover um objeto (para colocar como um ponto de referência) do total de objetos a serem arranjados, acabamos com um objeto a menos e, então, esses objetos devem ser arranjados da mesma forma que foi considerado no exemplo 2. Portanto, temos que

Se houver objetos, todos distintos, então o número total de maneiras em que esses objetos podem ser dispostos em torno de um círculo é dado por .

Exemplo 5

De quantas maneiras 5 casais podem estar dispostos em torno de uma mesa circular?

Solução 5

Uma vez que existem 5 casais, segue-se que há pessoas para arranjar. Assim, o número total de arranjos é dado por,

Suponha agora que temos objetos entre aqueles que são semelhantes e outros sendo semelhantes e assim por diante. O número de arranjos em torno de um círculo é agora dado pelo número total de arranjos dividido pelos arranjos dos próprios objetos semelhantes. Portanto, temos isso

Se houver objetos com semelhante e outro semelhante e outro semelhante etc. segue-se que o número total de arranjos desses objetos em um círculo é dado por

Agora consideramos os arranjos de objetos em um colar ou chaveiro. Suponha que desejemos organizar contas distintas em um colar. O número total de arranjos é dado pelo número total de arranjos irrestritos em um círculo dividido por. A divisão por se deve à simetria do colar, pois é possível girar o colar e observar exatamente a mesma permutação. Portanto, temos isso

Dado objetos, cada um distinto, o número de arranjos desses objetos em um colar é dado por,

Até agora consideramos arranjos em linhas e círculos, dada a semelhança entre alguns dos objetos. Devemos agora considerar o número de arranjos de objetos dadas certas condições. Lembre-se de que a permutação de um objeto é simplesmente uma seleção ordenada ou um arranjo. Portanto, temos isso,

O número de permutações de objetos escolhendo de cada vez é dado por

Observe que para a fórmula se torna,

Assim, se alguém está escolhendo todos os objetos no conjunto, então o número total de permutações é simplesmente o mesmo que organizar todos os objetos em uma linha que neste ponto deveria ser bastante óbvia. Além disso, esta fórmula pressupõe que nenhuma repetição é permitida. Vamos considerar um exemplo para ilustrar o uso desta fórmula.

Exemplo 6

Encontre o número de arranjos de letras das letras da palavra COMPLEX.

Solução 6

Uma vez que cada letra é distinta, segue-se que o número total de tais arranjos é dado por

Vamos agora considerar alguns exemplos de questões que envolvem permutações, dadas certas condições. Os alunos tendem a ter dificuldade em compreender as técnicas envolvidas, uma vez que cada questão deve ser abordada por seus próprios méritos. A melhor maneira de dominar essas questões é expor-se a tantos exemplos quanto possível.

Exemplo 7

Nas corridas de cavalos, trifeta é o nome dado à seleção dos três primeiros galgos em uma corrida na ordem correta. De quantas maneiras isso pode ser feito se houver 8 cavalos?

Solução 7

Nesta questão, estamos escolhendo um grupo de com ordem importante de um conjunto de. Usando a fórmula para permutações dá,

Exemplo 8

De quantas maneiras 5 meninas e 3 meninos podem ser organizados em uma fileira se:
a) os meninos devem sentar-se um ao lado do outro?

b) os meninos não devem sentar-se um ao lado do outro?

Solução 8

a) Se os meninos devem sentar-se um ao lado do outro, podemos tratá-los como uma unidade. Assim, usando esta técnica, temos um total de objetos para permutar em uma linha que tem um número total de permutações igual a. Agora, os próprios meninos podem ser organizados sobre si mesmos dentro de sua unidade, e isso pode ser feito de várias maneiras. Assim, pelo princípio fundamental de contagem, o número total de maneiras de organizá-los desta forma é,

b) Agora, se os meninos NÃO devem se sentar um ao lado do outro, podemos simplesmente considerar o evento complementar.

Deixe representar os meninos sentados um ao lado do outro e representar os meninos que não estão sentados um ao lado do outro.
Deixe representar o número de maneiras que podem ocorrer.

Onde está o evento complementar. Portanto, temos que

Observação: Não caia na armadilha comum de listar os casos e depois contar os arranjos possíveis em cada caso. Isso é fútil e tedioso. Se possível, sempre olhe para o evento complementar primeiro.

Exemplo 9

De quantas maneiras as letras da palavra ENCONTRO podem ser arranjadas se vogais e consoantes ocuparem lugares alternados?

Solução 9

Uma vez que existem 3 vogais e 4 consoantes, segue-se que todos os arranjos têm a forma

Onde C representa uma consoante e V representa uma vogal.

Agora, as próprias vogais podem ser arranjadas em suas próprias posições possíveis em um total de maneiras, devido ao fato de que existem dois A's e, portanto, neste caso, precisamos dividir entre os arranjos dos próprios A's. As consoantes podem ser arranjadas entre si em suas posições alocadas em um total de maneiras. Portanto, o número total de arranjos é dado por

O próximo exemplo envolve repetições.

Exemplo 10

Quantas placas de matrícula diferentes existem para carros se cada uma contiver 3 consoantes do alfabeto seguidas de três dígitos?

Solução 10

Existem seis vagas a serem preenchidas. Nos três primeiros lugares, temos que uma consoante pode ocorrer, o que implica que uma das 21 letras possíveis pode ocorrer em cada uma das três primeiras posições. Nas últimas três posições, um 10 números possíveis podem ir para cada uma das posições. Observe que, neste caso, as repetições são permitidas.

Devemos agora considerar uma questão de probabilidade envolvendo permutações. Lembre-se de que a probabilidade de um evento é dada por

onde o espaço amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis.

Exemplo 11

O Sr. e a Sra. Smith e os convidados sentam-se ao redor de uma mesa de jantar circular. Encontre a probabilidade de que os dois hosts estejam juntos.

Solução 11

Então, para resolver esta questão, precisamos encontrar o número total de maneiras como as pessoas podem ser arranjadas, e isso passa a ser o número de elementos no espaço amostral. Em seguida, precisamos encontrar o não. de maneiras como os anfitriões podem estar juntos.

Para descobrir o número de maneiras pelas quais os anfitriões podem estar juntos, simplesmente os consideramos como uma unidade em que temos 7 objetos restantes, e então consideramos os possíveis rearranjos em torno da mesa de jantar circular. Lembre-se de que o casal também pode estar arranjado entre si.

Assim, temos que a probabilidade de os hosts estarem juntos é dada por,


Fórmulas no Trabalho

Para ver as fórmulas em funcionamento, vejamos o exemplo inicial. O número de permutações de um conjunto de três objetos tomados dois por vez é dado por P(3,2) = 3! / (3 - 2)! = 6/1 = 6. Isso corresponde exatamente ao que obtivemos listando todas as permutações.

O número de combinações de um conjunto de três objetos tomados dois de cada vez é dado por:

C(3,2) = 3! / [2! (3-2)!] = 6/2 = 3. Novamente, isso se alinha exatamente com o que vimos antes.

As fórmulas definitivamente economizam tempo quando somos solicitados a encontrar o número de permutações de um conjunto maior. Por exemplo, quantas permutações existem de um conjunto de dez objetos tomados três de cada vez? Demoraria um pouco para listar todas as permutações, mas com as fórmulas, vemos que haveria:

P(10,3) = 10! / (10-3)! = 10! / 7! = 10 x 9 x 8 = 720 permutações.


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Combinação

Conceitos Básicos

Combinação é a seleção de objetos rr de um conjunto de nn objetos distintos. Nesse caso, não há importância atribuída à ordem de seleção. Cada conjunto exclusivo de objetos rr selecionados forma uma combinação.

Como em cada combinação os objetos rr selecionados podem ser ordenados entre si de maneiras r! R! Únicas, se ordenarmos todas as combinações dessa forma, obteríamos a permutação de rr de nn objetos distintos. Assim, o número de combinações multiplicado por r! R! nos dá o número de permutações.
Então,
Número de combinações, nCr = Número de permutaçõesr! NCr = Número de permutaçõesr!
= n! r! (n − r)! = n! r! (n − r)!

Pergunta 1: De quantas maneiras você pode selecionar 3 livros entre 5 livros disponíveis?

Solução:
O número de maneiras pelas quais 3 livros podem ser selecionados de 5 livros é,
5C3 = 5! 3! (5−3)! = 5! 3! 2! = 105C3 = 5! 3! (5−3)! = 5! 3! 2! = 10


Questões 2: De quantas maneiras 4 membros podem ser selecionados entre 8 membros para formar um comitê de forma que 1 membro seja sempre selecionado?

Solução:
Se 1 membro é sempre selecionado no comitê, o problema de escolha da combinação é alterado para selecionar (4−1) = 3 (4−1) = 3 membros de (8−1) = 7 (8−1) = 7 membros . O número necessário de maneiras, então,
7C3 = 7! 3! (7−3)! = 7! 3! 4! = 357C3 = 7! 3! (7−3)! = 7! 3! 4! = 35

Pergunta 3: De quantas maneiras 4 membros podem ser selecionados entre 8 membros para formar um comitê de forma que 2 membros sejam sempre excluídos?

Solução:
Se dois membros são sempre excluídos, o número de membros para escolher reduz para (8−2) = 6 (8−2) = 6 e o ​​número necessário de combinações é,
6C4 = 6! 4! (6−4)! = 6! 4! 2! = 156C4 = 6! 4! (6−4)! = 6! 4! 2! = 15


Combinações, Ho!

As combinações são fáceis de usar. A ordem não importa. Você pode misturar tudo e tem a mesma aparência. Digamos que eu seja um pão-duro e não possa pagar medalhas de ouro, prata e bronze separadas. Na verdade, só posso comprar latas vazias.

De quantas maneiras posso dar 3 latas para 8 pessoas?

Bem, neste caso, a ordem em que escolhemos as pessoas não importa. Se eu der uma lata para Alice, Bob e depois Charlie, é o mesmo que dar a Charlie, Alice e depois Bob. De qualquer forma, eles estão igualmente desapontados.

Isso levanta um ponto interessante - temos algumas redundâncias aqui. Alice Bob Charlie = Charlie Bob Alice. Por um momento, vamos descobrir de quantas maneiras podemos reorganizar 3 pessoas.

Bem, temos 3 opções para a primeira pessoa, 2 para a segunda e apenas 1 para a última. Portanto, temos $ 3 * 2 * 1 $ maneiras de reorganizar 3 pessoas.

Espere um minuto ... isso está parecendo um pouco com uma permutação! Você me enganou!

Na verdade eu fiz. Se você tem N pessoas e deseja saber quantos arranjos existem para tudo deles, é apenas N fatorial ou N!

Então, se tivermos 3 latas para distribuir, serão 3! ou 6 variações para cada escolha que escolhemos. Se quisermos descobrir quantas combinações temos, apenas crie todas as permutações e divida por todas as redundâncias. Em nosso caso, obtemos 336 permutações (de cima) e dividimos pelas 6 redundâncias para cada permutação e obtemos 336/6 = 56.

que significa “Encontre todas as maneiras de escolher k pessoas de n e divida por k! variantes ”. Escrevendo isso, obtemos nosso fórmula de combinação, ou o número de maneiras de combinar k itens de um conjunto de n:

Às vezes, C (n, k) é escrito como:


Ex 7.3 Classe 11 - Questão 1 de Matemática.
Quantos números de 3 dígitos podem ser formados usando os dígitos de 1 a 9 se nenhum dígito for repetido?
Solução.
O total de dígitos é 9. Temos que formar números de 3 dígitos sem repetição.
∴ Os números de 3 dígitos necessários = 9 P3

Ex 7.3 Classe 11, Questão de Matemática 2.
Quantos números de 4 dígitos existem sem nenhum dígito repetido?
Solução.
Os números de 4 dígitos são formados dos dígitos de 0 a 9. Em números de quatro dígitos, 0 não é usado na casa de mil & # 8217s, portanto, a casa de mil & # 8217s pode ser preenchida de 9 maneiras diferentes. Depois de preencher o lugar de mil & # 8217s, restam 9 dígitos. As três vagas restantes podem ser preenchidas de maneiras 9P3.
Portanto, os números de 4 dígitos exigidos
= 9 x 9 P3
= 9 x 504 = 4536.

Ex 7.3 Classe 11, Questão de Matemática 3.
Quantos números pares de 3 dígitos podem ser feitos usando os dígitos 1, 2, 3, 4, 6, 7, se nenhum dígito for repetido?
Solução.
Para números pares de 3 dígitos, o lugar da unidade pode ser preenchido por 2, 4, 6, ou seja, de 3 maneiras. Em seguida, os dois lugares restantes podem ser preenchidos em 5 P2 maneiras.
∴ Os números pares de 3 dígitos necessários
= 3 x 5 P2
= 60

Ex 7.3 Classe 11 Matemática Questão 4.
Encontre o número de números de 4 dígitos que podem ser formados usando os dígitos 1, 2, 3, 4, 5 se nenhum dígito for repetido. Quantos deles serão iguais?
Solução.
Os números de 4 dígitos podem ser formados dos dígitos 1 a 5 em 5 P4maneiras.
∴ Os números de 4 dígitos necessários = 5 P4 = 120 Para números pares de 4 dígitos, a posição da unidade pode ser preenchida por 2,4, ou seja, de 2 maneiras. Em seguida, os três lugares restantes podem ser preenchidos em 4 P3 maneiras.
∴ Os números pares de 4 dígitos necessários
= 2 x 4 P3 = 2 x 24 = 48

Ex 7.3 Classe 11, Questão de Matemática 5.
Em um comitê de 8 pessoas, de quantas maneiras podemos escolher um presidente e um vice-presidente, presumindo que uma pessoa não pode ocupar mais de um cargo?
Solução.
De um comitê de 8 pessoas, podemos escolher um presidente e um vice-presidente

Ex 7.3 Classe 11, Questão de Matemática 6.
Encontre n se n-1 P3: n P4 = 1 : 9.
Solução.

Ex 7.3 Classe 11 Matemática Questão 7.
Encontre r se
(i) 5 Pr = 2 6 Pr-1
(ii) 5 Pr = 6 Pr-1
Solução.

Ex 7.3 Classe 11, Questão de Matemática 8.
Quantas palavras, com ou sem significado, podem ser formadas usando todas as letras da palavra EQUAÇÃO, usando cada letra exatamente uma vez?
Solução.
Nº de letras na palavra EQUATION = 8
∴ Número de palavras que podem ser formadas
= 8 P8 = 8!
=40320

Ex 7.3 Classe 11, Questão de Matemática 9.
Quantas palavras, com ou sem significado, podem ser formadas a partir das letras da palavra SEGUNDA-FEIRA, assumindo que nenhuma letra se repete, se
(i) 4 letras são usadas por vez,
(ii) todas as letras são usadas ao mesmo tempo,
(iii) todas as letras são usadas, mas a primeira letra é uma vogal?
Solução.
Nº de letras na palavra SEGUNDA-FEIRA = 6
(eu) Quando 4 letras são usadas por vez.
Então, o número necessário de palavras
= 6 P4

(ii) Quando todas as letras são usadas ao mesmo tempo. Então, o número necessário de palavras
= 6 P6 = 6!
= 720

(iii) Todas as letras são usadas, mas a primeira letra é uma vogal.
Portanto, a primeira letra pode ser A ou O.
Portanto, existem 2 maneiras de preencher a primeira letra e os lugares restantes podem ser preenchidos em 5 P5 maneiras.
∴ O número necessário de palavras
= 2 x 5 P5
= 2 x 5! = 240.

Ex 7.3 Classe 11, Questão de Matemática 10.
Em quantas das permutações distintas das letras em MISSISSIPPI os quatro I & # 8217s não vêm juntos?
Solução.
Existem 11 letras, das quais I aparece 4 vezes, S aparece 4 vezes, P aparece 2 vezes e o M aparece 1 vez.
∴ O número necessário de arranjos

= 10 x 10 x 9 x 7 x 5 = 34650 & # 8230 (eu)
Quando quatro I & # 8217s se juntam, nós os tratamos como um único objeto. Este único objeto com 7 objetos restantes representará 8 objetos. Estes 8 objetos nos quais existem 4S & # 8217s e amp 2P & # 8217s
pode ser reorganizado de maneiras, ou seja, de 840 maneiras & # 8230 (ii)
Número de arranjos quando quatro I & # 8217s não se juntam = 34650 & # 8211 840 = 33810.

Ex 7.3 Classe 11 Matemática Questão 11.
De quantas maneiras as letras da palavra PERMUTAÇÕES podem ser arranjadas se o
(i) words start with P and end with S,
(ii) vowels are all together,
(iii) there are always 4 letters between P and S?
Solution.
There are 12 letters of which T appears 2 times
(eu) When words start with P and end with S, then there are 10 letters to be arranged of which T appears 2 times.
∴ The required words =

(ii) When vowels are taken together i.e E U A I O we treat them as a single object. This single object with remaining 7 objects will account for 8 objects, in which there w are 2Ts, which can be rearranged in ways. Corresponding to each of these arrangements the 5 vowels E, U, A, I, O can be rearranged in 5! = 120 ways. Therefore, by multiplication principle, the required number of arrangements = 20160 x 120 = 2419200.

(iii) When there are always 4 letters between P & S
∴ P & S can be at
1 st & 6 th place
2 nd & 7 th place
3 rd & 8 th place
4 th & 9 th place
5 th & 10 th place
6 th & 11 th place
7 th & 12 th place.
So, P & S will be placed in 7 ways & can be arranged in 7 x 2! = 14
The remaining 10 letters with 2T’s, can be arranged in ways.
∴ The required number of arrangements = 14 x 1814400= 25401600.

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Permutation and Combination Class XI Chapter 7

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If an event can occur in m different ways, following which another event can occur in n different ways, following which another event can occur in p different ways, and so on. Then the total number of occurrence of the events in the given order is m x n x p…………..

Permutations when r epetition is allowed:

The number of permutations of n different objects taken all at a time, when repetition of objects is allowed is n n

Q ) How many positive numbers greater than 6000 and less than 7000 which are divisible by 5 if no digit is repeated. [Ans 112]


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