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16.5: Ondulação e Divergência


Nesta seção final, estabeleceremos algumas relações entre o gradiente, a divergência e a curvatura, e também apresentaremos uma nova quantidade chamada de Laplaciano. Em seguida, mostraremos como escrever essas quantidades em coordenadas cilíndricas e esféricas.

Gradiente

Para uma função de valor real (f (x, y, z) ) em ( mathbb {R} ^ 3 ), o gradiente (∇f (x, y, z) ) é um vetor- função avaliada em ( mathbb {R} ^ 3 ), ou seja, seu valor em um ponto ((x, y, z) ) é o vetor

[ nonumber ∇f (x, y, z) = left ( dfrac {∂f} {∂x}, dfrac {∂f} {∂y}, dfrac {∂f} {∂z} direita) = dfrac {∂f} {∂x} textbf {i} + dfrac {∂f} {∂y} textbf {j} + dfrac {∂f} {∂z} textbf {k} ]

in ( mathbb {R} ^ 3 ), onde cada uma das derivadas parciais é avaliada no ponto ((x, y, z) ). Então, desta forma, você pode pensar no símbolo (∇ ) como sendo “aplicado” a uma função de valor real (f ) para produzir um vetor (∇f ).

Acontece que a divergência e a curvatura também podem ser expressas em termos do símbolo (∇ ). Isso é feito pensando em (∇ ) como um vetor em ( mathbb {R} ^ 3 ), a saber

[∇ = dfrac {∂} {∂x} textbf {i} + dfrac {∂} {∂y} textbf {j} + dfrac {∂} {∂z} textbf {k}. rótulo {Eq4.51} ]

Aqui, os símbolos ( dfrac {∂} {∂x}, , dfrac {∂} {∂y} text {e} dfrac {∂} {∂z} ) devem ser considerados como “ operadores de derivadas parciais ”que serão“ aplicados ”a uma função de valor real, digamos (f (x, y, z) ), para produzir as derivadas parciais ( dfrac {∂f} {∂x}, , dfrac {∂f} {∂y} text {e} dfrac {∂f} {∂z} ). Por exemplo, ( dfrac {∂} {∂x} ) “aplicado” a (f (x, y, z) text {produz} dfrac {∂f} {∂x} ).

É (∇ ) mesmo um vetor? Estritamente falando, não, já que ( dfrac {∂} {∂x}, , dfrac {∂} {∂y} text {e} dfrac {∂} {∂z} ) não são números reais. Mas ajuda a pensar de (∇ ) como um vetor, especialmente com a divergência e a ondulação, como veremos em breve. O processo de “aplicar” ( dfrac {∂} {∂x}, , dfrac {∂} {∂y}, , dfrac {∂} {∂z} ) a uma função de valor real (f (x, y, z) ) é normalmente considerado como multiplicando as quantidades:

[ nonumber left ( dfrac {∂} {∂x} right) (f) = dfrac {∂f} {∂x}, , left ( dfrac {∂} {∂y} right ) (f) = dfrac {∂f} {∂y}, , left ( dfrac {∂} {∂z} right) (f) = dfrac {∂f} {∂z} ]

Por esta razão, (∇ ) é frequentemente referido como o “operador del”, uma vez que “opera” em funções.

Divergência

Por exemplo, muitas vezes é conveniente escrever a divergência div f como (∇ cdot textbf {f} ), uma vez que para um campo vetorial ( textbf {f} (x, y, z) = f_1 (x, y, z) textbf {i} + f_2 ( x, y, z) textbf {j} + f_3 (x, y, z) textbf {k} ), o produto escalar de f com (∇ ) (pensado como um vetor) faz sentido:

[ nonumber begin {align} ∇ · textbf {f} & = left ( dfrac {∂} {∂x} textbf {i} + dfrac {∂} {∂y} textbf {j} + dfrac {∂} {∂z} textbf {k} direita) · (f_1 (x, y, z) textbf {i} + f_2 (x, y, z) textbf {j} + f_3 ( x, y, z) textbf {k}) [4pt] nonumber & = left ( dfrac {∂} {∂x} right) (f_1) + left ( dfrac {∂} {∂ y} right) (f_2) + left ( dfrac {∂} {∂z} right) (f_3) [4pt] nonumber & = dfrac {∂f_1} {∂x} + dfrac { ∂f_2} {∂y} + dfrac {∂f_3} {∂z} [4pt] nonumber & = text {div} textbf {f} [4pt] end {align} ]

Também podemos escrever curl f em termos de (∇ ), nomeadamente como (∇ × textbf {f} ), uma vez que para um campo vetorial ( textbf {f} (x, y, z) = P (x, y, z ) textbf {i} + Q (x, y, z) textbf {j} + R (x, y, z) textbf {k} ), temos:

[ nonumber begin {align} ∇ × textbf {f} & = begin {vmatrix} textbf {i} & textbf {j} & textbf {k} [4pt] dfrac {∂} {∂x} & dfrac {∂} {∂y} & dfrac {∂} {∂z} [4pt] nonumber P (x, y, z) & Q (x, y, z) & R (x, y, z) [4pt] end {vmatrix} [4pt] nonumber & = left ( dfrac {∂R} {∂y} - dfrac {∂Q} {∂z} right) textbf {i} - left ( dfrac {∂R} {∂x} - dfrac {∂P} {∂z} right) textbf {j} + left ( dfrac {∂Q } {∂x} - dfrac {∂P} {∂y} right) textbf {k} [4pt] nonumber & = left ( dfrac {∂R} {∂y} - dfrac { ∂Q} {∂z} right) textbf {i} + left ( dfrac {∂P} {∂z} - dfrac {∂R} {∂x} right) textbf {j} + esquerda ( dfrac {∂Q} {∂x} - dfrac {∂P} {∂y} direita) textbf {k} [4pt] nonumber & = text {curl} textbf {f} [4pt] end {align} ]

Para uma função de valor real (f (x, y, z) ), o gradiente (∇f (x, y, z) = dfrac {∂f} {∂x} textbf {i} + dfrac {∂f} {∂y} textbf {j} + dfrac {∂f} {∂z} textbf {k} ) é um campo vetorial, então podemos tomar sua divergência:

[ nonumber begin {align} text {div} ∇f & = ∇ · ∇f [4pt] nonumber & = left ( dfrac {∂} {∂x} textbf {i} + dfrac {∂} {∂y} textbf {j} + dfrac {∂} {∂z} textbf {k} right) · left ( dfrac {∂f} {∂x} textbf {i} + dfrac {∂f} {∂y} textbf {j} + dfrac {∂f} {∂z} textbf {k} right) [4pt] nonumber & = dfrac {∂} { ∂x} left ( dfrac {∂f} {∂x} right) + dfrac {∂} {∂y} left ( dfrac {∂f} {∂y} right) + dfrac {∂ } {∂z} left ( dfrac {∂f} {∂z} right) [4pt] nonumber & = dfrac {∂ ^ 2 f} {∂x ^ 2} + dfrac {∂ ^ 2 f} {∂y ^ 2} + dfrac {∂ ^ 2 f} {∂z ^ 2} [4pt] end {alinhar} ]

Observe que esta é uma função com valor real, à qual daremos um nome especial:

Definição 4.7: Laplaciano

Para uma função de valor real (f (x, y, z) ), o Laplaciano de (f ), denotado por (∆f ), é dado por

[∆f (x, y, z) = ∇ · ∇f = dfrac {∂ ^ 2 f} {∂x ^ 2} + dfrac {∂ ^ 2 f} {∂y ^ 2} + dfrac { ∂ ^ 2 f} {∂z ^ 2}. Label {Eq4.52} ]

Freqüentemente, a notação (∇ ^ 2 f ) é usada para o Laplaciano em vez de (∆f ), usando a convenção (∇ ^ 2 = ∇ · ∇ ).

Exemplo 4.17

Seja ( textbf {r} (x, y, z) = x textbf {i} + y textbf {j} + z textbf {k} ) o campo de vetor de posição em ( mathbb {R } ^ 3 ). Então ( lVert textbf {r} (x, y, z) rVert ^ 2 = textbf {r} · textbf {r} = x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 ) é um real -função avaliada. Encontrar

  1. o gradiente de ( lVert textbf {r} rVert ^ 2 )
  2. a divergência de ( textbf {r} )
  3. a ondulação de ( textbf {r} )
  4. o Laplaciano de ( lVert textbf {r} rVert ^ 2 )

Solução:

(a) (∇ rVert textbf {r} rVert ^ 2 = 2x textbf {i} + 2y textbf {j} + 2z textbf {k} = 2 textbf {r} )

(b) (∇ · textbf {r} = dfrac {∂} {∂x} (x) + dfrac {∂} {∂y} (y) + dfrac {∂} {∂z} (z ) = 1 + 1 + 1 = 3 )

(c)

[ nonumber ∇ × textbf {r} = begin {vmatrix} textbf {i} & textbf {j} & textbf {k} [4pt] dfrac {∂} {∂x} & dfrac {∂} {∂y} & dfrac {∂} {∂z} [4pt] x & y & z [4pt] end {vmatrix} = (0−0) textbf {i} - (0−0) textbf {j} + (0−0) textbf {k} = textbf {0} ]

(d) (∆ lVert textbf {r} rVert ^ 2 = dfrac {∂ ^ 2} {∂x ^ 2} (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2) + dfrac {∂ ^ 2} {∂y ^ 2} (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2) + dfrac {∂ ^ 2} {∂z ^ 2} (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2) = 2 + 2 + 2 = 6 )

Observe que poderíamos ter calculado (∆ lVert textbf {r} rVert ^ 2 ) de outra maneira, usando a notação (∇ ) junto com as partes (a) e (b):

[ nonumber ∆ lVert textbf {r} rVert ^ 2 = ∇ · ∇ lVert textbf {r} rVert ^ 2 = ∇ · 2 textbf {r} = 2∇ · textbf {r} = 2 (3) = 6 ]

Observe que no Exemplo 4.17 se pegarmos a curvatura do gradiente de ( lVert textbf {r} rVert ^ 2 ), obtemos

[ nonumber ∇ × (∇ rVert textbf {r} rVert ^ 2) = ∇ × 2 textbf {r} = 2∇ × textbf {r} = 2 textbf {0} = textbf {0 }. ]

O seguinte teorema mostra que este será o caso em geral:

Teorema 4.15.

Para qualquer função de valor real suave (f (x, y, z), ∇ × (∇f) = textbf {0} ).

Prova

Vemos pela suavidade de f que

[ begin {align} ∇ × (∇f) & = begin {vmatrix} textbf {i} & textbf {j} & textbf {k} [4pt] dfrac {∂} {∂x } & dfrac {∂} {∂y} & dfrac {∂} {∂z} [4pt] dfrac {∂f} {∂x} & dfrac {∂f} {∂y} & dfrac {∂f} {∂z} [4pt] end {vmatrix} [4pt] & = left ( dfrac {∂ ^ 2 f} {∂y∂z} - dfrac {∂ ^ 2 f } {∂z∂y} right) textbf {i} - left ( dfrac {∂ ^ 2 f} {∂x∂z} - dfrac {∂ ^ 2 f} {∂z∂x} right ) textbf {j} + left ( dfrac {∂ ^ 2 f} {∂x∂y} - dfrac {∂ ^ 2 f} {∂y∂x} right) textbf {k} = textbf {0}, [4pt] end {align} ]

uma vez que as derivadas parciais misturadas em cada componente são iguais.

(quadrado)

Corolário 4.16

Se um campo vetorial (f (x, y, z) ) tem um potencial, então curl ( textbf {f} = textbf {0} ).

Outra maneira de afirmar o Teorema 4.15 é que os gradientes são irrotacionais. Além disso, observe que no Exemplo 4.17 se tomarmos a divergência da onda de r nós obtemos trivialmente

[∇ · (∇ × textbf {r}) = ∇ · textbf {0} = 0. ]

O seguinte teorema mostra que este será o caso em geral:

Teorema 4.17.

Para qualquer campo de vetor suave ( textbf {f} (x, y, z), ∇ · (∇ × textbf {f}) = 0. )

A prova é direta e deixada como um exercício para o leitor.

Corolário 4.18

O fluxo da onda de um campo vetorial suave (f (x, y, z) ) através de qualquer superfície fechada é zero.

Prova: Seja (Σ ) uma superfície fechada que delimita um sólido (S ). O fluxo de (∇ × textbf {f} ) através de (Σ ) é

[ begin {align} iint limits_Σ (∇ × textbf {f}) · dσ & = iiint limits_S ∇ · (∇ × textbf {f}) , dV text {(pelo Teorema da Divergência )} [4pt] & = iiint limits_S 0 , dV text {(pelo Teorema 4.17)} [4pt] & = 0 [4pt] end {align} ]

( tag { ( textbf {QED} )} )

Existe outro método para provar o Teorema 4.15 que pode ser útil e é freqüentemente usado em física. Ou seja, se a integral de superfície ( iint limits_Σ f (x, y, z) , dσ = 0 ) para tudo superfícies (Σ ) em alguma região sólida (geralmente toda ( mathbb {R} ^ 3 )), então devemos ter (f (x, y, z) = 0 ) em toda essa região. A prova não é trivial e os físicos geralmente não se preocupam em prová-la. Mas o resultado é verdadeiro e também pode ser aplicado a integrais duplos e triplos.

Por exemplo, para provar o Teorema 4.15, assuma que (f (x, y, z) ) é uma função de valor real suave em ( mathbb {R} ^ 3 ). Seja (C ) uma curva fechada simples em ( mathbb {R} ^ 3 ) e seja (Σ ) qualquer superfície de cobertura para (C ) (ou seja, (Σ ) é orientável e seu limite é (C )). Uma vez que (∇f ) é um campo vetorial, então

[ nonumber begin {align} iint limits_Σ (∇ × (∇f)) · textbf {n} , dσ & = oint_C ∇f · d textbf {r} text {pelo Teorema de Stokes , então} [4pt] nonumber & = 0 text {pelo Corolário 4.13.} [4pt] end {align} ]

Uma vez que a escolha de (Σ ) foi arbitrária, então devemos ter ((∇ × (∇f)) · textbf {n} = 0 ) em ( mathbb {R} ^ 3 ), onde n é qualquer vetor unitário. Usando eu, j e k no lugar de n, vemos que devemos ter (∇ × (∇f) = textbf {0} ) em ( mathbb {R} ^ 3 ), que completa a prova.

Exemplo 4.18

Um sistema de cargas elétricas tem um densidade de carga (ρ (x, y, z) ) e produz um campo eletrostático ( textbf {E} (x, y, z) ) em pontos ((x, y, z) ) no espaço. Lei de Gauss afirma que

[ nonumber iint limits_Σ textbf {E} · dσ = 4π iiint limits_S ρ , dV ]

para qualquer superfície fechada (Σ ) que encerra as cargas, com (S ) sendo a região sólida encerrada por (Σ ). Mostre que (∇ · textbf {E} = 4πρ ). Este é um dos Equações de Maxwell.

Solução

Pelo Teorema da Divergência, temos

[ nonumber begin {align} iiint limits_S ∇ · textbf {E} dV & = iint limits_Σ textbf {E} · dσ [4pt] nonumber & = 4π iiint limits_S ρ , dV text {pela Lei de Gauss, então combinar as integrais dá} [4pt] nonumber iiint limits_S (∇ · textbf {E} −4πρ) , dV & = 0 text {, então} [4pt] nonumber ∇ · textbf {E} −4πρ & = 0 text {visto que} Σ text {e, portanto,} S text {era arbitrário, então} [4pt] nonumber ∇ · textbf {E} & = 4πρ. [4pt] end {align} ]

Freqüentemente (especialmente em física) é conveniente usar outros sistemas de coordenadas ao lidar com quantidades como gradiente, divergência, curvatura e Laplaciano. Apresentaremos as fórmulas para estes em coordenadas cilíndricas e esféricas.

Lembre-se da Seção 1.7 que um ponto ((x, y, z) ) pode ser representado em coordenadas cilíndricas ((r, θ, z), text {onde} x = r cos θ, y = r sin θ, z = z. ) Em cada ponto ((r, θ, z), text {let} textbf {e} _r, textbf {e} _θ, textbf {e} _z text { ser vetores unitários na direção de aumentar} r, θ, z, ) respectivamente (ver Figura 4.6.1). Então ( textbf {e} _r, textbf {e} _θ, textbf {e} _z ) formam um conjunto ortonormal de vetores. Observe, pela regra da mão direita, que ( textbf {e} _z × textbf {e} _r = textbf {e} _θ. )

Da mesma forma, um ponto ((x, y, z) ) pode ser representado em coordenadas esféricas ((ρ, θ, φ) ), onde (x = ρ sin φ cos θ, y = ρ sin φ sin θ, z = ρ cos φ. ) Em cada ponto ((ρ, θ, φ) ), deixe ( textbf {e} _ρ, textbf {e} _θ, textbf { e} _φ ) ser vetores unitários na direção de aumento (ρ, θ, φ ), respectivamente (ver Figura 4.6.2). Então os vetores ( textbf {e} _ρ, textbf {e} _θ, textbf {e} _φ ) são ortonormais. Pela regra da mão direita, vemos que ( textbf {e} _θ × textbf {e} _ρ = textbf {e} _φ ).

Podemos agora resumir as expressões para o gradiente, divergência, curvatura e Laplaciana em coordenadas cartesianas, cilíndricas e esféricas nas seguintes tabelas:

cartesiano

((x, y, z) ): Função escalar (F ); Campo vetorial ( textbf {f} = f_1 textbf {i} + f_2 textbf {j} + f_3 textbf {k} )

  • gradiente: (∇F = dfrac {∂F} {∂x} textbf {i} + dfrac {∂F} {∂y} textbf {j} + dfrac {∂F} {∂z} textbf {k} )
  • divergência: (∇ · textbf {f} = dfrac {∂f_1} {∂x} + dfrac {∂f_2} {∂y} + dfrac {∂f_3} {∂z} )
  • curl: (∇ × textbf {f} = left ( dfrac {∂f_3} {∂y} - dfrac {∂f_2} {∂z} right) textbf {i} + left ( dfrac {∂f_1} {∂z} - dfrac {∂f_3} {∂x} right) textbf {j} + left ( dfrac {∂f_2} {∂x} - dfrac {∂f_1} {∂ y} right) textbf {k} )
  • Laplaciano: (∆F = dfrac {∂ ^ 2F} {∂x ^ 2} + dfrac {∂ ^ 2F} {∂y ^ 2} + dfrac {∂ ^ 2F} {∂z ^ 2} )

Cilíndrico

((r, θ, z) ): Função escalar (F ); Campo vetorial ( textbf {f} = f_r textbf {e} _r + f_θ textbf {e} _θ + f_z textbf {e} _z )

  • gradiente: (∇F = dfrac {∂F} {∂r} textbf {e} _r + dfrac {1} {r} dfrac {∂F} {∂θ} textbf {e} _θ + dfrac {∂F} {∂z} textbf {e} _z )
  • divergência: (∇ · textbf {f} = dfrac {1} {r} dfrac {∂} {∂r} (r f_r) + dfrac {1} {r} dfrac {∂f_θ} {∂ θ} + dfrac {∂f_z} {∂z} )
  • curl: (∇ × textbf {f} = left ( dfrac {1} {r} dfrac {∂f_z} {∂θ} - dfrac {∂f_θ} {∂z} right) textbf { e} _r + left ( dfrac {∂f_r} {∂z} - dfrac {∂f_z} {∂r} right) textbf {e} _θ + dfrac {1} {r} left ( dfrac {∂} {∂r} (r f_θ) - dfrac {∂f_r} {∂θ} right) textbf {e} _z )
  • Laplaciano: (∆F = dfrac {1} {r} dfrac {∂} {∂r} left (r dfrac {∂F} {∂r} right) + dfrac {1} {r ^ 2} dfrac {∂ ^ 2F} {∂θ ^ 2} + dfrac {∂ ^ 2F} {∂z ^ 2} )

Esférico

((ρ, θ, φ) ): Função escalar (F ); Campo vetorial ( textbf {f} = f_ρ textbf {e} _ρ + f_θ textbf {e} _θ + f_φ textbf {e} _φ )

  • gradiente: (∇F = dfrac {∂F} {∂ρ} textbf {e} _ρ + dfrac {1} {ρ sin φ} dfrac {∂F} {∂θ} textbf {e} _θ + dfrac {1} {ρ} dfrac {∂F} {∂φ} textbf {e} _φ )
  • divergência: (∇ · textbf {f} = dfrac {1} {ρ ^ 2} dfrac {∂} {∂ρ} (ρ ^ 2 f_ρ) + dfrac {1} {ρ} sin φ dfrac {∂f_θ} {∂θ} + dfrac {1} {ρ sin φ} dfrac {∂} {∂φ} ( sin φ f_θ) )
  • curl: (∇ × textbf {f} = dfrac {1} {ρ sin φ} left ( dfrac {∂} {∂φ} ( sin φ f_θ) - dfrac {∂f_φ} {∂ θ} right) textbf {e} _ρ + dfrac {1} {ρ} left ( dfrac {∂} {∂ρ} (ρ f_φ) - dfrac {∂f_ρ} {∂φ} right) textbf {e} _θ + left ( dfrac {1} {ρ sin φ} dfrac {∂f_ρ} {∂θ} - dfrac {1} {ρ} dfrac {∂} {∂ρ} ( ρ f_θ) right) textbf {e} _φ )
  • Laplaciano: (∆F = dfrac {1} {ρ ^ 2} dfrac {∂} {∂ρ} left (ρ ^ 2 dfrac {∂F} {∂ρ} right) + dfrac {1 } {ρ ^ 2 sin ^ 2 φ} dfrac {∂ ^ 2F} {∂θ ^ 2} + dfrac {1} {ρ ^ 2 sin φ} dfrac {∂} {∂φ} left ( sin φ dfrac {∂F} {∂φ} right) )

A derivação das fórmulas acima para coordenadas cilíndricas e esféricas é direta, mas extremamente tediosa. A ideia básica é pegar o equivalente cartesiano da quantidade em questão e substituí-la nessa fórmula usando a transformação de coordenadas apropriada. Como exemplo, derivaremos a fórmula do gradiente em coordenadas esféricas.

Meta: Mostre que o gradiente de uma função de valor real (F (ρ, θ, φ) ) em coordenadas esféricas é:

[ nonumber ∇F = dfrac {∂F} {∂ρ} textbf {e} _ρ + dfrac {1} {ρ sin φ} dfrac {∂F} {∂θ} textbf {e} _θ + dfrac {1} {ρ} dfrac {∂F} {∂φ} textbf {e} _φ ]

Idéia: Na fórmula do gradiente cartesiano (∇F (x, y, z) = dfrac {∂F} {∂x} textbf {i} + dfrac {∂F} {∂y} textbf {j} + dfrac {∂F} {∂z} textbf {k} ), coloque os vetores de base cartesiana eu, j, k em termos de vetores de base de coordenadas esféricas ( textbf {e} _ρ, textbf {e} _θ, textbf {e} _φ ) e funções de (ρ, θ text {e} φ ). Em seguida, coloque as derivadas parciais ( dfrac {∂F} {}x}, dfrac {∂F} {}y}, dfrac {∂F} {∂z} ) em termos de ( dfrac {∂ F} {∂ρ}, dfrac {∂F} {∂θ}, dfrac {∂F} {∂φ} ) e funções de (ρ, θ text {e} φ ).

Passo 1: Obtenha fórmulas para ( textbf {e} _ρ, textbf {e} _θ, textbf {e} _φ ) em termos de eu, j, k.

Podemos ver na Figura 4.6.2 que o vetor unitário ( textbf {e} _ρ ) na direção (ρ ) em um ponto geral ((ρ, θ, φ) ) é ( textbf {e} _ρ = dfrac { textbf {r}} { lVert textbf {r} rVert}, text {onde} textbf {r} = x textbf {i} + y textbf {j} + z textbf {k} ) é o vetor de posição do ponto em coordenadas cartesianas. Desse modo,

[ nonumber textbf {e} _ρ = dfrac { textbf {r}} { lVert textbf {r} rVert} = dfrac {x textbf {i} + y textbf {j} + z textbf {k}} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2}}, ]

então, usando (x = ρ sin φ cos θ, y = ρ sin φ sin θ, z = ρ cos φ, text {e} ρ = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2} ), obtemos:

[ nonumber fbox { ( textbf {e} _ρ = sin φ cos θ textbf {i} + sin φ sin θ textbf {j} + cos φ textbf {k} ) } ]

Agora, uma vez que o ângulo (θ ) é medido no plano (xy ), então o vetor unitário ( textbf {e} _θ text {na} θ ) direção deve ser paralelo ao (xy ) - plano. Ou seja, ( textbf {e} _θ text {tem a forma} a textbf {i} + b textbf {j} + 0 textbf {k} ). Para descobrir o que são (a text {e} b ), observe que, uma vez que ( textbf {e} _θ perp textbf {e} _ρ ), em particular ( textbf {e} _θ perp textbf {e} _ρ ) quando ( textbf {e} _ρ text {está no plano} xy ). Isso ocorre quando o ângulo (φ text {é} π / 2 ). Colocando (φ = π / 2 ) na fórmula para ( textbf {e} _ρ text {dá} textbf {e} _ρ = cos θ textbf {i} + sin θ textbf {j } +0 textbf {k} ), e vemos que um vetor perpendicular a isso é (- sin θ textbf {i} + cos θ textbf {j} +0 textbf {k} ) . Como este vetor também é um vetor unitário e aponta na direção (positiva) (θ ), ele deve ser ( textbf {e} _θ ):

[ nonumber fbox { ( textbf {e} _θ = - sin θ textbf {i} + cos θ textbf {j} + 0 textbf {k} )} ]

Por último, como ( textbf {e} _φ = textbf {e} _θ × textbf {e} _ρ, ) obtemos:

[ nonumber fbox { ( textbf {e} _φ = cos φ cos θ textbf {i} + cos φ sin θ textbf {j} - sin φ textbf {k} ) } ]

Passo 2: Use as três fórmulas da Etapa 1 para resolver eu, j, k em termos de ( textbf {e} _ρ, textbf {e} _θ, textbf {e} _φ ).

Isso se resume a resolver um sistema de três equações em três incógnitas. Existem muitas maneiras de fazer isso, mas o faremos combinando as fórmulas para ( textbf {e} _ρ text {e} textbf {e} _φ text {para eliminar} k ), o que dará nos uma equação envolvendo apenas eu e j. Isso, com a fórmula para ( textbf {e} _θ ), nos deixará com um sistema de duas equações em duas incógnitas (eu e j), que usaremos para resolver primeiro para j então para eu. Por fim, vamos resolver para k.

Primeiro, observe que

[ nonumber sin φ textbf {e} _ρ + cos φ textbf {e} _φ = cos θ textbf {i} + sin θ textbf {j} ]

de modo a

[ nonumber sin θ ( sin φ textbf {e} _ρ + cos φ textbf {e} _φ) + cos θ textbf {e} _θ = ( sin ^ 2 θ + cos ^ 2 θ) textbf {j} = textbf {j}, ]

e entao:

[ nonumber fbox { ( textbf {j} = sin φ sin θ textbf {e} _ρ + cos θ textbf {e} _θ + cos φ sin θ textbf {e} _φ )} ]

Da mesma forma, vemos que

[ nonumber cos θ ( sin φ textbf {e} _ρ + cos φ textbf {e} _φ) - sin θ textbf {e} _θ = ( cos ^ 2 θ + sin ^ 2 θ) textbf {i} = textbf {i}, ]

e entao:

[ nonumber fbox { ( textbf {i} = sin φ cos θ textbf {e} _ρ - sin θ textbf {e} _θ + cos φ cos θ textbf {e} _φ )} ]

Por último, vemos que:

[ nonumber fbox { ( textbf {k} = cos φ textbf {e} _ρ - sin φ textbf {e} _φ )} ]

Etapa 3: Obtenha fórmulas para ( dfrac {∂F} {∂ρ}, dfrac {∂F} {∂θ}, dfrac {∂F} {∂φ} text {em termos de} dfrac {∂F} {∂x}, dfrac {∂F} {∂y}, dfrac {∂F} {∂z} ).

Pela regra da cadeia, temos

[ nonumber begin {align} dfrac {∂F} {∂ρ} & = dfrac {∂F} {∂x} dfrac {∂x} {∂ρ} + dfrac {∂F} {∂ y} dfrac {∂y} {∂ρ} + dfrac {∂F} {∂z} dfrac {∂z} {∂ρ}, [4pt] nonumber dfrac {∂F} {∂θ } & = dfrac {∂F} {∂x} dfrac {∂x} {∂θ} + dfrac {∂F} {∂y} dfrac {∂y} {∂θ} + dfrac {∂F } {∂z} dfrac {∂z} {∂θ}, [4pt] nonumber dfrac {∂F} {∂φ} & = dfrac {∂F} {∂x} dfrac {∂x } {∂φ} + dfrac {∂F} {∂y} dfrac {∂y} {∂φ} + dfrac {∂F} {∂z} dfrac {∂z} {∂φ}, [4pt] end {align} ]

que produz:

[ fbox { ( nonumber begin {align} dfrac {∂F} {∂ρ} & = sin φ cos θ dfrac {∂F} {∂x} + sin φ sin θ dfrac {∂F} {∂y} + cos φ dfrac {∂F} {∂z} [4pt] nonumber dfrac {∂F} {∂θ} & = −ρ sin φ sin θ dfrac {∂F} {∂x} + ρ sin φ cos θ dfrac {∂F} {∂y} [4pt] nonumber dfrac {∂F} {∂φ} & = ρ cos φ cos θ dfrac {∂F} {∂x} + ρ cos φ sin θ dfrac {∂F} {∂y} - ρ sin φ dfrac {∂F} {∂z} [ 4pt] end {align} )} ]

Passo 4: Use as três fórmulas da Etapa 3 para resolver para ( dfrac {∂F} {∂x}, dfrac {∂F} {∂y}, dfrac {∂F} {∂z} ) em termos de ( dfrac {∂F} {∂ρ}, dfrac {∂F} {∂θ}, dfrac {∂F} {∂φ} ).

Novamente, isso envolve a resolução de um sistema de três equações em três incógnitas. Usando um processo de eliminação semelhante ao da Etapa 2, obtemos:

[ fbox { ( nonumber begin {align} dfrac {∂F} {∂x} & = dfrac {1} {ρ sin φ} left (ρ sin ^ 2 φ cos θ dfrac {∂F} {∂ρ} - sin θ dfrac {∂F} {∂θ} + sin φ cos φ cos θ dfrac {∂F} {∂φ} right) [4pt ] nonumber dfrac {∂F} {∂y} & = dfrac {1} {ρ sin φ} left (ρ sin ^ 2 φ sin θ dfrac {∂F} {∂ρ} + cos θ dfrac {∂F} {∂θ} + sin φ cos φ sin θ dfrac {∂F} {∂φ} right) [4pt] nonumber dfrac {∂F} {∂ z} & = dfrac {1} {ρ} left (ρ cos φ dfrac {∂F} {∂ρ} - sin φ dfrac {∂F} {∂φ} right) [4pt ] end {align} )} ]

Etapa 5: Substitua as fórmulas por eu, j, k da Etapa 2 e as fórmulas para ( dfrac {∂F} {∂x}, dfrac {∂F} {∂y}, dfrac {∂F} {∂z} ) da Etapa 4 para o gradiente cartesiano fórmula (∇F (x, y, z) = dfrac {∂F} {∂x} textbf {i} + dfrac {∂F} {∂y} textbf {j} + dfrac {∂F } {∂z} textbf {k} ).

Fazer esta última etapa talvez seja a mais tediosa, pois envolve a simplificação dos termos (3 × 3 + 3 × 3 + 2 × 2 = 22 )! Nomeadamente,

[ nonumber begin {align} ∇F & = dfrac {1} {ρ sin φ} left (ρ sin ^ 2 φ cos θ dfrac {∂F} {∂ρ} - sin θ dfrac {∂F} {∂θ} + sin φ cos φ cos θ dfrac {∂F} {∂φ} right) ( sin φ cos θ textbf {e} _ρ - sin θ textbf {e} _θ + cos φ cos θ textbf {e} _φ) [4pt] não numérico & + dfrac {1} {ρ sin φ} left (ρ sin ^ 2 φ sin θ dfrac {∂F} {∂ρ} + cos θ dfrac {∂F} {∂θ} + sin φ cos φ sin θ dfrac {∂F} {∂φ} right) ( sin φ sin θ textbf {e} _ρ + cos θ textbf {e} _θ + cos φ sin θ textbf {e} _φ) [4pt] nonumber & + dfrac {1} {ρ} left (ρ cos φ dfrac {∂F} {∂ρ} - sin φ dfrac {∂F} {∂φ} right) ( cos φ textbf {e} _ρ - sin φ textbf {e} _φ), [4pt] end {alinhar} ]

que vemos tem 8 termos envolvendo ( textbf {e} _ρ ), 6 termos envolvendo ( textbf {e} _θ ), e 8 termos envolvendo ( textbf {e} _φ ). Mas a álgebra é direta e produz o resultado desejado:

[∇F = dfrac {∂F} {∂ρ} textbf {e} _ρ + dfrac {1} {ρ sin φ} dfrac {∂F} {∂θ} textbf {e} _θ + dfrac {1} {ρ} dfrac {∂F} {∂φ} textbf {e} _φ quad checkmark ]

Exemplo 4.19

No Exemplo 4.17, mostramos que (∇ lVert textbf {r} rVert ^ 2 = 2 textbf {r} text {e} ∆ lVert textbf {r} rVert ^ 2 = 6, text { onde} textbf {r} (x, y, z) = x textbf {i} + y textbf {j} + z textbf {k} ) em coordenadas cartesianas. Verifique se obtemos as mesmas respostas se mudarmos para coordenadas esféricas.

Solução

Como ( lVert textbf {r} rVert ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = ρ ^ 2 text {em coordenadas esféricas, deixe} F (ρ, θ, φ) = ρ ^ 2 ) (de modo que (F (ρ, θ, φ) = lVert textbf {r} rVert ^ 2 )). O gradiente de (F ) em coordenadas esféricas é

[ nonumber begin {align} ∇F & = dfrac {∂F} {∂ρ} textbf {e} _ρ + dfrac {1} {ρ sin φ} dfrac {∂F} {∂θ } textbf {e} _θ + dfrac {1} {ρ} dfrac {∂F} {∂φ} textbf {e} _φ [4pt] nonumber & = 2ρ textbf {e} _ρ + dfrac {1} {ρ sin φ} (0) textbf {e} _θ + dfrac {1} {ρ} (0) textbf {e} _φ [4pt] nonumber & = 2ρ textbf { e} _ρ = 2ρ dfrac { textbf {r}} { lVert textbf {r} rVert}, text {como mostramos anteriormente, então} [4pt] nonumber & = 2ρ dfrac { textbf {r}} {ρ} = 2 textbf {r}, text {como esperado. E o Laplaciano é} [4pt] nonumber ∆F & = dfrac {1} {ρ ^ 2} dfrac {∂} {∂ρ} left (ρ ^ 2 dfrac {∂F} {∂ρ } right) + dfrac {1} {ρ ^ 2 sin ^ 2 φ} dfrac {∂ ^ 2F} {∂θ ^ 2} + dfrac {1} {ρ ^ 2 sin φ} dfrac { ∂} {∂φ} left ( sin φ dfrac {∂F} {∂φ} right) [4pt] nonumber & = dfrac {1} {ρ ^ 2} dfrac {∂} { ∂ρ} (ρ ^ 2 2ρ) + dfrac {1} {ρ ^ 2 sin φ} (0) + dfrac {1} {ρ ^ 2 sin φ} dfrac {∂} {∂φ} left ( sin φ (0) right) [4pt] nonumber & = dfrac {1} {ρ ^ 2} dfrac {∂} {∂ρ} (2ρ ^ 3) + 0 + 0 [4pt] nonumber & = dfrac {1} {ρ ^ 2} (6ρ ^ 2) = 6, text {conforme esperado.} [4pt] end {align} ]


Cálculo multivariável

Clique nos botões abaixo para pesquisar informações específicas:

Home Page para cálculo multivariável

Você também pode voltar à minha página principal, http://pages.jh.edu/

Programa de Estudos

Os tópicos abordados variaram de curso para curso, mas geralmente incluídos:

  • Vetores e a geometria do espaço
  • Funções de vetor
  • Derivados Parciais
  • Múltiplos Integrais
  • Cálculo Vectorial

O curso utilizou vários textos, incluindo, mais recentemente:

Cálculo multivariável (7ª ou 8ª edição) por James Stewart. ISBN-13 para a 7ª edição: 978-0538497879 ISBN-13 para a 8ª edição: 978-1285741550

Conjunto de aula 1

Atualmente, existem dois conjuntos de slides de aula disponíveis. Primeiro, são do meu curso MVC oferecido no México (download como um arquivo zip único) em 2006. Ele usou um livro diferente e você encontrará espanhol aqui e ali, mas fora isso, as notas estão em inglês.

Conjunto de aula 2

O segundo conjunto é do livro didático iteslf. Eu não os usei em um ambiente de sala de aula real e os alunos online têm acesso a outro conjunto de vídeos e palestras escritas. (Todas as apresentações são propriedade do editor).

Capítulo 12: Vetores e a geometria do espaço

Capítulo 13: Funções de vetor

Capítulo 14: Derivados Parciais

Capítulo 15: Integrais Múltiplos

Capítulo 16: Cálculo Vetorial

A Khan Academy tem um conjunto de mais de 175 palestras sobre cálculo multivariável. O conjunto cobre os seguintes tópicos, mas você precisa ir ao site para encontrar links diretos:

  1. Funções multivariáveis
  2. Representando pontos em 3d
  3. Introdução aos gráficos 3D
  4. Interpretando gráficos com fatias
  5. Plotagens de contorno
  6. Curvas paramétricas
  7. Superfícies paramétricas
  8. Campos vetoriais, introdução
  9. Fluxo de fluido e campos vetoriais
  10. Campos de vetor 3D, introdução
  11. Exemplo de campo vetorial 3D
  12. Transformações, parte 1
  13. Transformações, parte 2
  14. Transformações, parte 3
  15. Derivadas parciais, introdução
  16. Derivadas parciais e gráficos
  17. Definição formal de derivadas parciais
  18. Simetria de derivadas parciais secundárias
  19. Gradiente
  20. Gradiente e gráficos
  21. Derivada direcional
  22. Derivada direcional, definição formal
  23. Derivadas direcionais e inclinação
  24. Por que o gradiente é a direção da subida mais íngreme
  25. Mapas de gradiente e contorno
  26. Funções com valor de vetor de posição
  27. Derivada de uma função com valor de vetor de posição
  28. Diferencial de uma função com valor vetorial
  29. Exemplo de derivada de função com valor vetorial
  30. Regra de cadeia multivariável
  31. Intuição de regra de cadeia multivariável
  32. Forma vetorial da regra da cadeia multivariável
  33. Regra de cadeia multivariável e derivados direcionais
  34. Tratamento mais formal da regra da cadeia multivariável
  35. Curvatura intuição
  36. Fórmula de curvatura, parte 1
  37. Fórmula de curvatura, parte 2
  38. Fórmula de curvatura, parte 3
  39. Fórmula de curvatura, parte 4
  40. Fórmula de curvatura, parte 5
  41. Curvatura de uma hélice, parte 1
  42. Curvatura de uma hélice, parte 2
  43. Curvatura de um ciclóide
  44. Calculando a derivada parcial de uma função com valor vetorial
  45. Derivada parcial de uma superfície paramétrica, parte 1
  46. Derivada parcial de uma superfície paramétrica, parte 2
  47. Derivadas parciais de campos vetoriais
  48. Derivadas parciais de campos vetoriais, componente por componente
  49. Intuição de divergência, parte 1
  50. Intuição de divergência, parte 2
  51. Fórmula de divergência, parte 1
  52. Fórmula de divergência, parte 2
  53. Exemplo de divergência
  54. Notação de divergência
  55. 2d curl intuição
  56. Fórmula 2d curl
  57. Exemplo 2d curl
  58. Nuance de cachos 2d
  59. Descrevendo a rotação em 3d com um vetor
  60. Intuição curl 3D, parte 1
  61. Intuição curl 3D, parte 2
  62. Fórmula curl 3D, parte 1
  63. Fórmula de onda 3D, parte 2
  64. Exemplo de computação curl 3d
  65. Intuição laplaciana
  66. Exemplo de computação laplaciana
  67. Fórmula Laplaciana explícita
  68. Funções Harmônicas
  69. Conhecimento pré-requisito Jacobiano
  70. Linearidade local para uma função multivariável
  71. A matriz Jacobiana
  72. Calculando uma matriz Jacobiana
  73. O Determinante Jacobiano
  74. O que é um plano tangente
  75. Controlando um avião no espaço
  76. Calculando um plano tangente
  77. Linearização local
  78. Como são as aproximações quadráticas
  79. Fórmula de aproximação quadrática, parte 1
  80. Fórmula de aproximação quadrática, parte 2
  81. Exemplo de aproximação quadrática
  82. A matriz Hessiana
  83. Expressando uma forma quadrática com uma matriz
  84. Forma vetorial de aproximação quadrática multivariável
  85. Máximos e mínimos multivariáveis
  86. Pontos de sela
  87. Aqueça para o teste da segunda derivada parcial
  88. Teste de segunda derivada parcial
  89. Intuição de teste de segunda derivada parcial
  90. Segundo exemplo de teste de derivada parcial, parte 1
  91. Segundo exemplo de teste de derivada parcial, parte 2
  92. Introdução à otimização restrita
  93. Multiplicadores de Lagrange, usando tangência para resolver a otimização restrita
  94. Concluindo o exemplo do multiplicador de lagrange de introdução
  95. Exemplo de multiplicador de Lagrange, parte 1
  96. Exemplo de multiplicador de Lagrange, parte 2
  97. O Lagrangiano
  98. Significado do multiplicador de Lagrange
  99. Prova do significado dos multiplicadores de Lagrange
  100. Introdução à linha integral
  101. Linha integral exemplo 1
  102. Exemplo 2 de integral de linha (parte 1)
  103. Exemplo 2 de integral de linha (parte 2)
  104. Integrais de linha e campos vetoriais
  105. Usando uma integral de linha para encontrar o trabalho feito por um exemplo de campo vetorial
  106. Parametrização de um caminho reverso
  107. Integral de linha de campo escalar independente da direção do caminho
  108. Integrais de linha de campo vetorial dependentes da direção do caminho
  109. Independência de caminho para integrais de linha
  110. Integrais de linha de curva fechada de campos vetoriais conservadores
  111. Exemplo de integral de linha fechada de campo conservador
  112. Segundo exemplo de integral de linha de campo vetorial conservador
  113. Integral duplo 1
  114. Integrais duplos 2
  115. Integrais duplos 3
  116. Integrais duplos 4
  117. Integrais duplos 5
  118. Integrais duplos 6
  119. Integrais triplos 1
  120. Integrais triplos 2
  121. Integrais triplos 3
  122. Introdução à parametrização de uma superfície com dois parâmetros
  123. Determinar uma função com valor de vetor de posição para uma parametrização de dois parâmetros
  124. Derivadas parciais de funções com valor vetorial
  125. Introdução à integral de superfície
  126. Exemplo de cálculo de uma parte integral de superfície 1
  127. Exemplo de cálculo de uma parte integral de superfície 2
  128. Exemplo de cálculo de uma parte integral de superfície 3
  129. Exemplo de superfície integral parte 1: Parametrizando a esfera unitária
  130. Surface integral example part 2: Calculating the surface differential
  131. Surface integral example part 3: The home stretch
  132. Surface integral ex2 part 1: Parameterizing the surface
  133. Surface integral ex2 part 2: Evaluating integral
  134. Surface integral ex3 part 1: Parameterizing the outside surface
  135. Surface integral ex3 part 2: Evaluating the outside surface
  136. Surface integral ex3 part 3: Top surface
  137. Surface integral ex3 part 4: Home stretch
  138. Conceptual understanding of flux in three dimensions
  139. Constructing a unit normal vector to a surface
  140. Vector representation of a surface integral
  141. Green's theorem proof part 1
  142. Green's theorem proof (part 2)
  143. Green's theorem example 1
  144. Green's theorem example 2
  145. Constructing a unit normal vector to a curve
  146. 2D divergence theorem
  147. Conceptual clarification for 2D divergence theorem
  148. Stokes' theorem intuition
  149. Green's and Stokes' theorem relationship
  150. Orienting boundary with surface
  151. Orientation and stokes
  152. Conditions for stokes theorem
  153. Stokes example part 1
  154. Stokes example part 2: Parameterizing the surface
  155. Stokes example part 3: Surface to double integral
  156. Stokes example part 4: Curl and final answer
  157. Evaluating line integral directly - part 1
  158. Evaluating line integral directly - part 2
  159. 3D divergence theorem intuition
  160. Divergence theorem example 1
  161. Stokes' theorem proof part 1
  162. Stokes' theorem proof part 2
  163. Stokes' theorem proof part 3
  164. Stokes' theorem proof part 4
  165. Stokes' theorem proof part 5
  166. Stokes' theorem proof part 6
  167. Stokes' theorem proof part 7
  168. Type I regions in three dimensions
  169. Type II regions in three dimensions
  170. Type III regions in three dimensions
  171. Divergence theorem proof (part 1)
  172. Divergence theorem proof (part 2)
  173. Divergence theorem proof (part 3)
  174. Divergence theorem proof (part 4)
  175. Divergence theorem proof (part 5)

Other Good MVC Courses and their Websites

Free online books and notes

  • Free books at Community Calculus.
  • Another textbook for a course in Multivariable Calculus.
  • Animated Demonstrations for Multivariable Calculus.

Technical Help

The objective of this section is to provide resources on online graphing and computational tools:


Find the curl and divergence of the vector field. F(x,y,z)=x^2yz i -x x^3y k

Q: Find the centroid of the region bounded by the curve y=x³ and y=4x in the first quadrant.

A: Formula to find the centroid helps to find the required centroid bounded by the given curves. Bound.

Q: Write each product as a sum or difference with positive arguments. 5 sin 50 cos 20 5 cos 70 – 5 sin .

A: Here we have to write the given product as a sum or difference with positive arguments. 5 sin5θ co.

Q: A 39 m chain weighing 3 kg/m hangs over the side of a bridge. How much work is done by a winch that .

A: The concept Used is when the wind blows the top part of the chain will not move but the bottom part .

Q: A tree diagram has two stages. Stage 1 has two nodes and stage 2 has four nodes. In stage 1, the br.

A: we make a tree of 2 stage as per question

R: Clique para ver a resposta

Q: . A 450 ft tall tower is built on the side of a hill that has a slope of 6◦ from horizontal. There a.

R: Clique para ver a resposta

Q: Compute the indicated quantity. P(A | B) = 0.1, P(B) = 0.6. Find P(A ∩ B).

R: Clique para ver a resposta

Q: Find the average value of the function over the given interval. f(x) = 81 – x² over [0, 9]


Find the curl and divergence of the vector field. F(x,y,z)=x^2yz i -x x^3y k

Q: Find the centroid of the region bounded by the curve y=x³ and y=4x in the first quadrant.

A: Formula to find the centroid helps to find the required centroid bounded by the given curves. Bound.

Q: Write each product as a sum or difference with positive arguments. 5 sin 50 cos 20 5 cos 70 – 5 sin .

A: Here we have to write the given product as a sum or difference with positive arguments. 5 sin5θ co.

Q: A 39 m chain weighing 3 kg/m hangs over the side of a bridge. How much work is done by a winch that .

A: The concept Used is when the wind blows the top part of the chain will not move but the bottom part .

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Q: . A 450 ft tall tower is built on the side of a hill that has a slope of 6◦ from horizontal. There a.

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Q: Compute the indicated quantity. P(A | B) = 0.1, P(B) = 0.6. Find P(A ∩ B).

R: Clique para ver a resposta

Q: Find the average value of the function over the given interval. f(x) = 81 – x² over [0, 9]


THE GEOMETRY OF STATIC FIELDS

so that the (orthogonal component of the) curl measures how much a vector field “goes around” a loop.

Can we use these ideas to investigate graphically the divergence and curl of a given vector field? Consider the two vector fields in Figure 13.6.1. In each case, can you find the divergegence? The ((kk)-component of the) curl?

A natural place to start is at the origin. So draw a small box around the origin, as shown in Figure 13.6.2. 1 Is there circulation around the loop? Is there flux across the loop?

The figures above help us determine the divergence and curl at the origin, but not elsewhere. The divergence is a function, and the curl is a vector field, so both can vary from point to point. We therefore need to examine loops which are não at the origin. It is useful to adapt the shape of our loop to the vector field under consideration. Both of our vector fields are better adapted to polar coordinates than to rectangular, so we use polar boxes. Can you determine the divergence and ((kk)-component of the) curl using the loops in Figure 13.6.3? Imagine trying to do the same thing with a rectangular loop, or even a circular loop.

Finally, it is important to realize that not all vector fields which point away from the origin have divergence, and not all vector fields which go around the origin have curl. The two examples in Figure 13.6.4 demonstrate this important principle they have no divergence or curl away from the origin. These examples represent solutions of Maxwell's equations for electromagnetism. The figure on the left describes the electric field of an infinite charged wire the figure on the right describes the magnetic field due to an infinite current-carrying wire (with current coming out of the page at the origin).


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Divergence and curl of (vect(c) dot vect(r))vect(r)

Introduction : In the solution of the question below, we will learn how to find divergence and curl of product of a scalar function with a vector function.

Question : Find divergence and curl of the following

for some constant vectors c, d and r is position vector.

Since dot product of two vectors is a scalar and product of a scalar with a vector is a vector.

Now divergence of product of a scalar function with a vector function is given as

Substituting (f =vec c.vec r, f=vec d)
[ abla .left( ight)vec d> ight)> ight. = abla left( ight).vec d + left( ight)left( abla .vec d ight)]

Now we use following properties of divergence

  • Gradient of dot product of a constant vector and position vector equals constant vector.
  • Divergence of a constant vector is zero vector.

We obtained divergence of (left( ight)vec d =vec c.vec d )

Since curl of product of a scalar with a vector function is obtained as follows

[ abla imes (f<f>) = abla f imes <f> + f abla imes <f>]

Substituting (f =vec c.vec r, f=vec d)

  • Gradient of dot product of a constant vector and position vector equals constant vector.
  • Curl of a constant vector is zero vector.

[= vec c imes vec d + left( ight)vec 0 = vec c imes vec d]

We obtained curl of (left( ight)vec d =vec c imes vec d )


Math 215 Examples

Let (vec r(x,y,z) = langle f(x,y,z), g(x,y,z), h(x,y,z) angle) be a vector field. Then the curl of the vector field is the vector field [ operatorname vec r = langle h_y - g_z, f_z - h_x, g_x - f_y angle. ]

The curl is sometimes denoted ( abla imes vec r), which is sometimes useful for remembering the definition of the curl, as [egin abla imesvec r &= left langle frac, frac, frac ight angle imes langle f, g, h angle &= left langle frac - frac, frac - frac, frac - frac ight angle. fim]

Intuitively, the curl measures the infinitesimal rotation around a point. This is difficult to visualize in three dimensions, but we will soon see this very concretely in two dimensions.

Curl in Two Dimensions

Suppose we have a two-dimensional vector field (vec r(x,y) = langle f(x,y), g(x,y) angle). We can imagine this as a three-dimensional vector field by adding a (z)-coordinate of (0): (vec r(x,y,z) = langle f(x,y), g(x,y), 0 angle ). Then we have [ abla imes vec r = langle 0, 0, g_x - f_y angle. ] Since the (x)- and (y)-coordinates are both (0), the curl of a two-dimensional vector field always points in the (z)-direction. We can think of it as a scalar, then, measuring how much the vector field rotates around a point.

Suppose we have a two-dimensional vector field representing the flow of water on the surface of a lake. If we place paddle wheels at various points on the lake, then the flow of water will cause the wheels to rotate:

Notice that there are two wheels rotating quite quickly. Around one of them, the water flows consistently clockwise, causing the paddle to rotate clockwise. Around the other, the water flows consistently counter-clockwise, causing the paddle to rotate accordingly. In contrast, the wheel on the left is rotating very slowly. Looking at the vectors near it, we see that some of them are trying to push the wheel clockwise, and some are trying to push counter-clockwise. The net result is that the wheel rotates very little.

Let's now look at the curl of this vector field. Shown below is the same animation, but with the curl drawn as a surface over the vector field. Additionally, green arrows at each paddle show the curl at those points.

Notice that we can tell how quickly a paddle wheel rotates by the magnitude of the curl, and we can tell whether each wheel rotates clockwise or counter-clockwise by the direction of the curl. This direction follows a "right-hand rule": if you curl your right hand so that your index finger through pinkie follows the flow of water around a point, then your thumb will point in the direction of the curl vector. (This also works in three dimensions, though it is harder to see the rotation.)

Illustrated Example

Let (vec r(x,y) = langle cos(x+y), sin(x-y) angle). Find the maximum magnitude of the curl in the region (0 le x le 2), (0 le y le 2).

Worked Solution

We compute [egin abla imes vec r &= leftlangle 0, 0, frac(sin(x-y)) - frac ight angle &= langle 0, 0, cos(x-y) + sin(x+y) angle. fim] Since the curl points entirely in the (z)-direction, the magnitude is just the absolute value of [ f(x,y) = cos(x-y) + sin(x+y), ] so we look for local extrema of this function on the given region.

To find local extrema, we take the gradient [ abla f(x,y) = langle -sin(x-y)+cos(x+y), sin(x-y)+cos(x+y) angle. ] To be a local extremum, we need both components to be zero i.e., we need ( -sin(x-y) + cos(x+y) = 0) and (sin(x-y) + cos(x+y) = 0). This is only possible if (sin(x-y) = cos(x+y) = 0), and so we see that (x-y = 0 + kpi) for some integer (k) and (x+y = pi/2 + jpi) for some integer (j). The only possible solution in our domain is (x = y = pi/4), at which point the curl is (cos(0) + sin(pi/2) = 2). Since this is the maximum possible value of (cos(x-y)+sin(x+y)) (since cosine and sine can be at most (1) each), this must be a local (and in fact global) maximum for the curl.

We conclude, then, that the maximum magnitude of the curl is (2) at the point ((pi/4, pi/4)).

Visualizing the Example

The image below shows the vector field with the magnitude of the curl drawn as a surface above it:

The green arrow is the curl at ((pi/4, pi/4)). Notice that the vector field looks very much like a whirlpool centered at the green arrow. Intuitively, then, we would guess that the rotation of the flow is greatest at the center of this whirlpool, and indeed, that is precisely what we just computed.

Further Questions

  1. In the example, why must both (sin(x-y)) and (cos(x+y)) be zero to have a critical point of (f(x,y))?
  2. What is the value of (vec r(x,y)) at the point found in the example? Can you modify (vec r(x,y)) so that the maximum curl still occurs at ((pi/4, pi/4)), but so that (vec r(x,y)) has a different value at this point?
  3. Can you come up with a formula for a two-dimensional vector field (vec r(xy)) with constant nonzero curl at every point?
  4. Let (f(x,y,z)) be a (scalar-valued) function, and assume that (f(x,y,z)) is infinitely differentiable. Its gradient ( abla f(x,y,z)) is a vector field. What is the curl of the gradient? Can you come to the same conclusion with an assumption weaker than infinite differentiability?

Using the Mathematica Demo

All graphics on this page were generated by the Mathematica notebook 16_5_Curl.nb.

This notebook generates images and animations like those on this page for any two-dimensional vector field.

As an exercise, use the notebook to animate a paddle wheel at the point ((pi/4, pi/4)) in the example, and provide a graphical demonstration of your answers to Questions 2 and 3.

Think about what sorts of two-dimensional vector fields might have large curls, and try to guess some formulas for them. Then use the notebook to see graphically whether your intuition about the curl was correct.


16.5: Curl and Divergence

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gcd.zip
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Title Gradient, Curl and Divergence
Descrição Important tools for vector calculus. 3 utilities to calculate Gradient, Curl and Divergence at the command line. It allows the user to specify the coordinate system (rectangular, cylindrical, or spherical) as well as the variables being used. Very flexable functions, especially if used programamatically.
Autor Tip DS ( [email protected] )
Category TI-89 BASIC Math Programs (Calculus)
File Size 4,968 bytes
File Date and Time Thu Mar 16 02:38:36 2000
Documentation Included? sim

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