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14.7: Valores Máximo e Mínimo


objetivos de aprendizado

  • Use derivadas parciais para localizar pontos críticos para uma função de duas variáveis.
  • Aplique um segundo teste de derivada para identificar um ponto crítico como um máximo local, mínimo local ou ponto de sela para uma função de duas variáveis.
  • Examine os pontos críticos e os limites para encontrar os valores absolutos máximo e mínimo para uma função de duas variáveis.

Uma das aplicações mais úteis para derivadas de uma função de uma variável é a determinação de valores máximos e / ou mínimos. Essa aplicação também é importante para funções de duas ou mais variáveis, mas como vimos nas seções anteriores deste capítulo, a introdução de mais variáveis ​​independentes leva a mais resultados possíveis para os cálculos. As ideias principais de encontrar pontos críticos e usar testes de derivadas ainda são válidas, mas novas rugas aparecem na avaliação dos resultados.

Pontos críticos

Para funções de uma única variável, definimos pontos críticos como os valores da variável em que a derivada da função é igual a zero ou não existe. Para funções de duas ou mais variáveis, o conceito é essencialmente o mesmo, exceto pelo fato de que agora estamos trabalhando com derivadas parciais.

Definição: Pontos Críticos

Seja (z = f (x, y) ) uma função de duas variáveis ​​diferenciáveis ​​em um conjunto aberto contendo o ponto ((x_0, y_0) ). O ponto ((x_0, y_0) ) é chamado de ponto crítico de uma função de duas variáveis ​​ (f ) se uma das duas seguintes condições for mantida:

  1. (f_x (x_0, y_0) = f_y (x_0, y_0) = 0 )
  2. Ou (f_x (x_0, y_0) ; text {ou} ; f_y (x_0, y_0) ) não existe.

Exemplo ( PageIndex {1} ): Encontrando pontos críticos

Encontre os pontos críticos de cada uma das seguintes funções:

  1. (f (x, y) = sqrt {4y ^ 2−9x ^ 2 + 24y + 36x + 36} )
  2. (g (x, y) = x ^ 2 + 2xy − 4y ^ 2 + 4x − 6y + 4 )

Solução

uma. Primeiro, calculamos (f_x (x, y) ; text {e} ; f_y (x, y): )

[ begin {align *} f_x (x, y) & = dfrac {1} {2} (- 18x + 36) (4y ^ 2−9x ^ 2 + 24y + 36x + 36) ^ {- 1 / 2} [4pt] & = dfrac {−9x + 18} { sqrt {4y ^ 2−9x ^ 2 + 24y + 36x + 36}} end {alinhar *} ]

[ begin {align *} f_y (x, y) & = dfrac {1} {2} (8y + 24) (4y ^ 2−9x ^ 2 + 24y + 36x + 36) ^ {- 1/2 } [4pt] & = dfrac {4y + 12} { sqrt {4y ^ 2−9x ^ 2 + 24y + 36x + 36}} end {alinhar *}. ]

Em seguida, definimos cada uma dessas expressões igual a zero:

[ begin {align *} dfrac {−9x + 18} { sqrt {4y ^ 2−9x ^ 2 + 24y + 36x + 36}} & = 0 [4pt] dfrac {4y + 12} { sqrt {4y ^ 2−9x ^ 2 + 24y + 36x + 36}} & = 0. end {align *} ]

Em seguida, multiplique cada equação por seu denominador comum:

[ begin {align *} −9x + 18 & = 0 [4pt] 4y + 12 & = 0. end {align *} ]

Portanto, (x = 2 ) e (y = −3, ) então ((2, −3) ) é um ponto crítico de (f ).

Devemos também verificar se o denominador de cada derivada parcial pode ser igual a zero, fazendo com que a derivada parcial não exista. Como o denominador é o mesmo em cada derivada parcial, precisamos fazer isso apenas uma vez:

[4y ^ 2−9x ^ 2 + 24y + 36x + 36 = 0. label {crítico1} ]

A equação ref {critical1} representa uma hipérbole. Devemos também notar que o domínio de (f ) consiste em pontos que satisfazem a desigualdade

[4y ^ 2−9x ^ 2 + 24y + 36x + 36≥0. ]

Portanto, quaisquer pontos na hipérbole não são apenas pontos críticos, eles também estão na fronteira do domínio. Para colocar a hipérbole na forma padrão, usamos o método de preenchimento do quadrado:

[ begin {align *} 4y ^ 2−9x ^ 2 + 24y + 36x + 36 & = 0 [4pt] 4y ^ 2−9x ^ 2 + 24y + 36x & = - 36 [4pt] 4y ^ 2 + 24y − 9x ^ 2 + 36x & = - 36 [4pt] 4 (y ^ 2 + 6y) −9 (x ^ 2−4x) & = - 36 [4pt] 4 (y ^ 2 + 6y + 9) −9 (x ^ 2−4x + 4) & = - 36−36 + 36 [4pt] 4 (y + 3) ^ 2−9 (x − 2) ^ 2 & = - 36 . end {align *} ]

Dividir ambos os lados por (- 36 ) coloca a equação na forma padrão:

[ begin {align *} dfrac {4 (y + 3) ^ 2} {- 36} - dfrac {9 (x − 2) ^ 2} {- 36} & = 1 [4pt] dfrac {(x − 2) ^ 2} {4} - dfrac {(y + 3) ^ 2} {9} & = 1. end {align *} ]

Observe que o ponto ((2, −3) ) é o centro da hipérbole.

Assim, os pontos críticos da função (f ) são ((2, -3) ) e todos os pontos da hipérbole, ( dfrac {(x − 2) ^ 2} {4} - dfrac {(y + 3) ^ 2} {9} = 1 ).

b. Primeiro, calculamos (g_x (x, y) ) e (g_y (x, y) ):

[ begin {align *} g_x (x, y) & = 2x + 2y + 4 [4pt] g_y (x, y) & = 2x − 8y − 6. end {align *} ]

Em seguida, definimos cada uma dessas expressões igual a zero, o que dá um sistema de equações em (x ) e (y ):

[ begin {align *} 2x + 2y + 4 & = 0 [4pt] 2x − 8y − 6 & = 0. end {align *} ]

Subtraindo a segunda equação da primeira resulta (10y + 10 = 0 ), então (y = −1 ). Substituindo isso na primeira equação dá (2x + 2 (−1) + 4 = 0 ), então (x = −1 ).

Portanto ((- 1, −1) ) é um ponto crítico de (g ). Não há pontos em ( mathbb {R} ^ 2 ) que façam com que qualquer derivada parcial não exista.

A Figura ( PageIndex {1} ) mostra o comportamento da superfície no ponto crítico.

Exercício ( PageIndex {1} )

Encontre o ponto crítico da função (f (x, y) = x ^ 3 + 2xy − 2x − 4y. )

Dica

Calcule (f_x (x, y) ) e (f_y (x, y) ) e, em seguida, defina-os iguais a zero.

Responder

O único ponto crítico de (f ) é ((2, −5) ).

O objetivo principal para determinar pontos críticos é localizar máximos e mínimos relativos, como no cálculo de variável única. Ao trabalhar com a função de uma variável, a definição de um extremo local envolve encontrar um intervalo em torno do ponto crítico de forma que o valor da função seja maior ou menor do que todos os outros valores da função naquele intervalo. Ao trabalhar com uma função de duas ou mais variáveis, trabalhamos com um disco aberto ao redor do ponto.

Definição: Extrema Global e Local

Seja (z = f (x, y) ) uma função de duas variáveis ​​que são definidas e contínuas em um conjunto aberto contendo o ponto ((x_0, y_0). ) Então (f ) tem um máximo local em ((x_0, y_0) ) se

[f (x_0, y_0) ≥f (x, y) ]

para todos os pontos ((x, y) ) dentro de algum disco centrado em ((x_0, y_0) ). O número (f (x_0, y_0) ) é chamado de valor máximo local. Se a desigualdade anterior for válida para cada ponto ((x, y) ) no domínio de (f ), então (f ) tem um máximo global (também chamado de máximo absoluto) em ((x_0, y_0). )

A função (f ) tem um mínimo local em ((x_0, y_0) ) se

[f (x_0, y_0) ≤f (x, y) ]

para todos os pontos ((x, y) ) dentro de algum disco centrado em ((x_0, y_0) ). O número (f (x_0, y_0) ) é chamado de valor mínimo local. Se a desigualdade anterior for válida para cada ponto ((x, y) ) no domínio de (f ), então (f ) tem um mínimo global (também chamado de mínimo absoluto) em ((x_0, y_0) ).

Se (f (x_0, y_0) ) é um valor máximo local ou mínimo local, então é chamado de extremo local (veja a figura a seguir).

No Cálculo 1, mostramos que extremos de funções de uma variável ocorrem em pontos críticos. O mesmo é verdade para funções de mais de uma variável, conforme declarado no teorema a seguir.

Teorema de Fermat para funções de duas variáveis

Seja (z = f (x, y) ) uma função de duas variáveis ​​que são definidas e contínuas em um conjunto aberto contendo o ponto ((x_0, y_0) ). Suponha que (f_x ) e (f_y ) existam cada um em ((x_0, y_0) ). Se f tem um extremo local em ((x_0, y_0) ), então ((x_0, y_0) ) é um ponto crítico de (f ).

Teste de Segunda Derivada

Considere a função (f (x) = x ^ 3. ) Esta função tem um ponto crítico em (x = 0 ), uma vez que (f '(0) = 3 (0) ^ 2 = 0 ) . No entanto, (f ) não tem um valor extremo em (x = 0 ). Portanto, a existência de um valor crítico em (x = x_0 ) não garante um extremo local em (x = x_0 ). O mesmo é verdadeiro para uma função de duas ou mais variáveis. Uma maneira de isso acontecer é em um ponta de sela. Um exemplo de ponto de sela aparece na figura a seguir.

Figura ( PageIndex {3} ): Gráfico da função (z = x ^ 2 − y ^ 2 ). Este gráfico possui um ponto de sela na origem.

Neste gráfico, a origem é um ponto de sela. Isso ocorre porque as primeiras derivadas parciais de f ((x, y) = x ^ 2 − y ^ 2 ) são ambas iguais a zero neste ponto, mas não é nem máximo nem mínimo para a função. Além disso, o traço vertical correspondente a (y = 0 ) é (z = x ^ 2 ) (uma parábola se abrindo para cima), mas o traço vertical correspondente a (x = 0 ) é (z = −y ^ 2 ) (uma parábola abrindo para baixo). Portanto, é um máximo global para um traço e um mínimo global para outro.

Definição: Ponto de Sela

Dada a função (z = f (x, y), ) o ponto ( big (x_0, y_0, f (x_0, y_0) big) ) é um ponto de sela se ambos (f_x (x_0, y_0) = 0 ) e (f_y (x_0, y_0) = 0 ), mas (f ) não tem um extremo local em ((x_0, y_0). )

O teste da segunda derivada para uma função de uma variável fornece um método para determinar se um extremo ocorre em um ponto crítico de uma função. Ao estender esse resultado a uma função de duas variáveis, surge uma questão relacionada ao fato de que existem, de fato, quatro diferentes derivadas parciais de segunda ordem, embora a igualdade de parciais mistas reduza isso a três. O segundo teste derivado para uma função de duas variáveis, declarado no teorema a seguir, usa um discriminante (D ) que substitui (f '' (x_0) ) no teste de segunda derivada para uma função de uma variável.

Teste de Segunda Derivada

Seja (z = f (x, y) ) uma função de duas variáveis ​​para as quais as derivadas parciais de primeira e segunda ordem são contínuas em algum disco que contém o ponto ((x_0, y_0) ). Suponha que (f_x (x_0, y_0) = 0 ) e (f_y (x_0, y_0) = 0. ) Defina a quantidade

[D = f_ {xx} (x_0, y_0) f_ {yy} (x_0, y_0) - big (f_ {xy} (x_0, y_0) big) ^ 2. ]

Então:

  1. Se (D> 0 ) e (f_ {xx} (x_0, y_0)> 0 ), então f tem um mínimo local em ((x_0, y_0) ).
  2. Se (D> 0 ) e (f_ {xx} (x_0, y_0) <0 ), então f tem um máximo local em ((x_0, y_0) ).
  3. Se (D <0 ), então (f ) tem um ponto de sela em ((x_0, y_0) ).
  4. Se (D = 0 ), então o teste é inconclusivo.

Veja a Figura ( PageIndex {4} ).

Para aplicar o teste da segunda derivada, é necessário que primeiro encontremos os pontos críticos da função. Existem várias etapas envolvidas em todo o procedimento, que são descritas em uma estratégia de resolução de problemas.

Estratégia de resolução de problemas: usando o segundo teste derivado para funções de duas variáveis

Seja (z = f (x, y) ) uma função de duas variáveis ​​para as quais as derivadas parciais de primeira e segunda ordem são contínuas em algum disco contendo o ponto ((x_0, y_0). ) Para aplicar o segundo teste de derivada para encontrar extremos locais, use as seguintes etapas:

  1. Determine os pontos críticos ((x_0, y_0) ) da função (f ) onde (f_x (x_0, y_0) = f_y (x_0, y_0) = 0. ) Descarte quaisquer pontos onde pelo menos um dos as derivadas parciais não existem.
  2. Calcule o discriminante (D = f_ {xx} (x_0, y_0) f_ {yy} (x_0, y_0) - big (f_ {xy} (x_0, y_0) big) ^ 2 ) para cada ponto crítico de (f ).
  3. Aplique os quatro casos do teste para determinar se cada ponto crítico é um ponto máximo local, mínimo local ou ponto de sela, ou se o teorema é inconclusivo.

Exemplo ( PageIndex {2} ): Usando o segundo teste derivado

Encontre os pontos críticos para cada uma das seguintes funções e use o teste da segunda derivada para encontrar os extremos locais:

  1. (f (x, y) = 4x ^ 2 + 9y ^ 2 + 8x − 36y + 24 )
  2. (g (x, y) = dfrac {1} {3} x ^ 3 + y ^ 2 + 2xy − 6x − 3y + 4 )

Solução

uma. Passo 1 da estratégia de resolução de problemas envolve encontrar os pontos críticos de (f ). Para fazer isso, primeiro calculamos (f_x (x, y) ) e (f_y (x, y) ) e, em seguida, definimos cada um deles igual a zero:

[ begin {align *} f_x (x, y) & = 8x + 8 [4pt] f_y (x, y) & = 18y − 36. end {align *} ]

Defini-los iguais a zero resulta no sistema de equações

[ begin {align *} 8x + 8 & = 0 [4pt] 18y − 36 & = 0. end {align *} ]

A solução para este sistema é (x = −1 ) e (y = 2 ). Portanto ((- 1,2) ) é um ponto crítico de (f ).

Passo 2 da estratégia de resolução de problemas envolve o cálculo de (D. ) Para fazer isso, primeiro calculamos as derivadas parciais de (f: )

[ begin {align *} f_ {xx} (x, y) & = 8 [4pt] f_ {xy} (x, y) & = 0 [4pt] f_ {yy} (x, y ) & = 18. end {align *} ]

Portanto, (D = f_ {xx} (- 1,2) f_ {yy} (- 1,2) - big (f_ {xy} (- 1,2) big) ^ 2 = (8) ( 18) - (0) ^ 2 = 144. )

etapa 3 estados para aplicar os quatro casos do teste para classificar o comportamento da função neste ponto crítico.

Uma vez que (D> 0 ) e (f_ {xx} (- 1,2)> 0, ) isso corresponde ao caso 1. Portanto, (f ) tem um mínimo local em ((- 1, 2) ) conforme mostrado na figura a seguir.

Figura ( PageIndex {5} ): A função (f (x, y) ) tem um mínimo local em ((- 1,2, −16). ) Observe que a escala no eixo (y ) - neste gráfico está em milhares.

b. Para passo 1, primeiro calculamos (g_x (x, y) ) e (g_y (x, y) ) e, em seguida, definimos cada um deles igual a zero:

[ begin {align *} g_x (x, y) & = x ^ 2 + 2y − 6 [4pt] g_y (x, y) & = 2y + 2x − 3. end {align *} ]

Defini-los iguais a zero resulta no sistema de equações

[ begin {align *} x ^ 2 + 2y − 6 & = 0 [4pt] 2y + 2x − 3 & = 0. end {align *} ]

Para resolver este sistema, primeiro resolva a segunda equação para (y ). Isso dá (y = dfrac {3−2x} {2} ). Substituir isso na primeira equação dá

[ begin {align *} x ^ 2 + 3−2x − 6 & = 0 [4pt] x ^ 2−2x − 3 & = 0 [4pt] (x − 3) (x + 1) & = 0. end {align *} ]

Portanto, (x = −1 ) ou (x = 3 ). Substituir esses valores na equação (y = dfrac {3−2x} {2} ) produz os pontos críticos ( left (−1, frac {5} {2} right) ) e ( left (3, - frac {3} {2} right) ).

Passo 2 envolve o cálculo da segunda derivada parcial de (g ):

[ begin {align *} g_ {xx} (x, y) & = 2x [4pt] g_ {xy} (x, y) & = 2 [4pt] g_ {yy} (x, y ) & = 2. end {align *} ]

Então, encontramos uma fórmula geral para (D ):

[ begin {align *} D (x_0, y_0) & = g_ {xx} (x_0, y_0) g_ {yy} (x_0, y_0) - big (g_ {xy} (x_0, y_0) big) ^ 2 [4pt] & = (2x_0) (2) −2 ^ 2 [4pt] & = 4x_0−4. End {alinhar *} ]

Em seguida, substituímos cada ponto crítico nesta fórmula:

[ begin {align *} D left (−1, tfrac {5} {2} right) & = (2 (−1)) (2) - (2) ^ 2 = −4−4 = −8 [4pt] D left (3, - tfrac {3} {2} right) & = (2 (3)) (2) - (2) ^ 2 = 12−4 = 8. end {align *} ]

Na etapa 3, notamos que, aplicando Nota ao ponto ( left (−1, frac {5} {2} right) ) leva ao caso (3 ), o que significa que ( left ( -1, frac {5} {2} right) ) é um ponto de sela. Aplicando o teorema ao ponto ( left (3, - frac {3} {2} right) ) leva ao caso (1 ), o que significa que ( left (3, - frac {3 } {2} right) ) corresponde a um mínimo local conforme mostrado na figura a seguir.

Exercício ( PageIndex {2} )

Use o teste da segunda derivada para encontrar os extremos locais da função

[f (x, y) = x ^ 3 + 2xy − 6x − 4y ^ 2. enhum número]

Dica

Siga a estratégia de solução de problemas para aplicar o teste da segunda derivada.

Responder

( left ( frac {4} {3}, frac {1} {3} right) ) é um ponto de sela, ( left (- frac {3} {2}, - frac {3} {8} right) ) é um máximo local.

Máximos e mínimos absolutos

Ao encontrar extremos globais de funções de uma variável em um intervalo fechado, começamos verificando os valores críticos ao longo desse intervalo e, em seguida, avaliamos a função nos pontos finais do intervalo. Ao trabalhar com uma função de duas variáveis, o intervalo fechado é substituído por um conjunto fechado e limitado. Um conjunto é limitado se todos os pontos desse conjunto puderem estar contidos em uma bola (ou disco) de raio finito. Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos dentro do conjunto e calcular os valores críticos correspondentes. Em seguida, é necessário encontrar o valor máximo e mínimo da função na fronteira do conjunto. Quando temos todos esses valores, o maior valor da função corresponde ao máximo global e o menor valor da função corresponde ao mínimo absoluto. Primeiro, no entanto, precisamos ter certeza de que tais valores existem. O seguinte teorema faz isso.

Teorema de valor extremo

Uma função contínua (f (x, y) ) em um conjunto fechado e limitado (D ) no plano atinge um valor máximo absoluto em algum ponto de (D ) e um valor mínimo absoluto em algum ponto de (D ).

Agora que sabemos que qualquer função contínua (f ) definida em um conjunto fechado e limitado atinge seus valores extremos, precisamos saber como encontrá-los.

Encontrando Valores Extremos de uma Função de Duas Variáveis

Suponha que (z = f (x, y) ) seja uma função diferenciável de duas variáveis ​​definidas em um conjunto fechado e limitado (D ). Então (f ) atingirá o valor máximo absoluto e o valor mínimo absoluto, que são, respectivamente, o maior e o menor valores encontrados entre os seguintes:

  1. Os valores de (f ) nos pontos críticos de (f ) em (D ).
  2. Os valores de (f ) no limite de (D ).

A prova deste teorema é uma consequência direta do teorema do valor extremo e do teorema de Fermat. Em particular, se qualquer um dos extremos não estiver localizado no limite de (D ), então ele está localizado em um ponto interno de (D ). Mas um ponto interior ((x_0, y_0) ) de (D ) que é um extremo absoluto também é um extremo local; portanto, ((x_0, y_0) ) é um ponto crítico de (f ) pelo teorema de Fermat. Portanto, os únicos valores possíveis para os extremos globais de (f ) em (D ) são os valores extremos de (f ) no interior ou no limite de (D ).

Estratégia de resolução de problemas: Encontrando valores mínimos e máximos absolutos

Seja (z = f (x, y) ) uma função contínua de duas variáveis ​​definidas em um conjunto fechado e limitado (D ), e suponha que (f ) seja diferenciável em (D ). Para encontrar os valores absolutos máximo e mínimo de (f ) em (D ), faça o seguinte:

  1. Determine os pontos críticos de (f ) em (D ).
  2. Calcule (f ) em cada um desses pontos críticos.
  3. Determine os valores máximo e mínimo de (f ) no limite de seu domínio.
  4. Os valores máximo e mínimo de (f ) ocorrerão em um dos valores obtidos nas etapas (2 ) e (3 ).

Encontrar os valores máximo e mínimo de (f ) no limite de (D ) pode ser desafiador. Se a fronteira for um retângulo ou conjunto de retas, então é possível parametrizar os segmentos de reta e determinar os máximos em cada um desses segmentos, como visto no Exemplo ( PageIndex {3} ). A mesma abordagem pode ser usada para outras formas, como círculos e elipses.

Se o limite do conjunto (D ) é uma curva mais complicada definida por uma função (g (x, y) = c ) para alguma constante (c ), e as derivadas parciais de primeira ordem de (g ) existir, então o método dos multiplicadores de Lagrange pode ser útil para determinar os extremos de (f ) na fronteira que é introduzida nos Multiplicadores de Lagrange.

Exemplo ( PageIndex {3} ): Encontrando Extrema Absoluto

Use a estratégia de resolução de problemas para encontrar extremos absolutos de uma função para determinar os extremos absolutos de cada uma das seguintes funções:

  1. (f (x, y) = x ^ 2−2xy + 4y ^ 2−4x − 2y + 24 ) no domínio definido por (0≤x≤4 ) e (0≤y≤2 )
  2. (g (x, y) = x ^ 2 + y ^ 2 + 4x − 6y ) no domínio definido por (x ^ 2 + y ^ 2≤16 )

Solução

uma. Usando a estratégia de solução de problemas, a etapa (1 ) envolve encontrar os pontos críticos de (f ) em seu domínio. Portanto, primeiro calculamos (f_x (x, y) ) e (f_y (x, y) ) e, em seguida, definimos cada um deles igual a zero:

[ begin {align *} f_x (x, y) & = 2x − 2y − 4 [4pt] f_y (x, y) & = - 2x + 8y − 2. end {align *} ]

Defini-los iguais a zero resulta no sistema de equações

[ begin {align *} 2x − 2y − 4 & = 0 [4pt] −2x + 8y − 2 & = 0. end {align *} ]

A solução para este sistema é (x = 3 ) e (y = 1 ). Portanto ((3,1) ) é um ponto crítico de (f ). Calculando (f (3,1) ) resulta (f (3,1) = 17. )

A próxima etapa envolve encontrar os extremos de (f ) na fronteira de seu domínio. O limite de seu domínio consiste em quatro segmentos de linha, conforme mostrado no gráfico a seguir:

(L_1 ) é o segmento de reta conectando ((0,0) ) e ((4,0) ), e pode ser parametrizado pelas equações (x (t) = t, y (t ) = 0 ) para (0≤t≤4 ). Defina (g (t) = f big (x (t), y (t) big) ). Isso resulta em (g (t) = t ^ 2−4t + 24 ). Diferenciar (g ) leva a (g ′ (t) = 2t − 4. ) Portanto, (g ) tem um valor crítico em (t = 2 ), que corresponde ao ponto (( 2,0) ). Calculando (f (2,0) ) dá o valor (z ) (20 ).

(L_2 ) é o segmento de linha que conecta ((4,0) ) e ((4,2) ), e pode ser parametrizado pelas equações (x (t) = 4, y (t ) = t ) para (0≤t≤2. ) Novamente, defina (g (t) = f grande (x (t), y (t) grande). ) Isso dá (g (t) = 4t ^ 2−10t + 24. ) Então, (g ′ (t) = 8t − 10 ). g tem um valor crítico em (t = frac {5} {4} ), que corresponde ao ponto ( left (0, frac {5} {4} right). ) Calculando ( f left (0, frac {5} {4} right) ) dá o valor (z ) - (27,75 ).

(L_3 ) é o segmento de linha que conecta ((0,2) ) e ((4,2) ), e pode ser parametrizado pelas equações (x (t) = t, y (t ) = 2 ) para (0≤t≤4. ) Novamente, defina (g (t) = f grande (x (t), y (t) grande). ) Isso dá (g (t) = t ^ 2−8t + 36. ) O valor crítico corresponde ao ponto ((4,2). ) Portanto, calcular (f (4,2) ) dá o (z ) -valor (20 ).

(L_4 ) é o segmento de reta conectando ((0,0) ) e (0,2) ), e pode ser parametrizado pelas equações (x (t) = 0, y (t ) = t ) para (0≤t≤2. ) Desta vez, (g (t) = 4t ^ 2−2t + 24 ) e o valor crítico (t = frac {1} {4 } ) correspondem ao ponto ( left (0, frac {1} {4} right) ). Calculando (f left (0, frac {1} {4} right) ) dá o (z ) - valor (23,75. )

Também precisamos encontrar os valores de (f (x, y) ) nos cantos de seu domínio. Esses cantos estão localizados em ((0,0), (4,0), (4,2) ) e (0,2) ):

[ begin {align *} f (0,0) & = (0) ^ 2−2 (0) (0) +4 (0) ^ 2−4 (0) −2 (0) + 24 = 24 [4pt] f (4,0) & = (4) ^ 2−2 (4) (0) +4 (0) ^ 2−4 (4) −2 (0) + 24 = 24 [ 4pt] f (4,2) & = (4) ^ 2−2 (4) (2) +4 (2) ^ 2−4 (4) −2 (2) + 24 = 20 [4pt] f (0,2) & = (0) ^ 2−2 (0) (2) +4 (2) ^ 2−4 (0) −2 (2) + 24 = 36. end {align *} ]

O valor máximo absoluto é (36 ), que ocorre em (0,2) ), e o valor mínimo global é (20 ), que ocorre em ((4,2) ) e ((2,0) ) conforme mostrado na figura a seguir.

b. Usando a estratégia de solução de problemas, a etapa (1 ) envolve encontrar os pontos críticos de (g ) em seu domínio. Portanto, primeiro calculamos (g_x (x, y) ) e (g_y (x, y) ) e, em seguida, definimos cada um deles igual a zero:

[ begin {align *} g_x (x, y) & = 2x + 4 [4pt] g_y (x, y) & = 2y − 6. end {align *} ]

Defini-los iguais a zero resulta no sistema de equações

[ begin {align *} 2x + 4 & = 0 [4pt] 2y − 6 & = 0. end {align *} ]

A solução para este sistema é (x = −2 ) e (y = 3 ). Portanto, ((- 2,3) ) é um ponto crítico de (g ). Calculando (g (−2,3), ) obtemos

[g (−2,3) = (- 2) ^ 2 + 3 ^ 2 + 4 (−2) −6 (3) = 4 + 9−8−18 = −13. ]

A próxima etapa envolve encontrar os extremos de g na fronteira de seu domínio. O limite de seu domínio consiste em um círculo de raio (4 ) centrado na origem, conforme mostrado no gráfico a seguir.

O limite do domínio de (g ) pode ser parametrizado usando as funções (x (t) = 4 cos t, , y (t) = 4 sin t ) para (0≤t≤2π ). Defina (h (t) = g big (x (t), y (t) big): )

[ begin {align *} h (t) & = g big (x (t), y (t) big) [4pt] & = (4 cos t) ^ 2 + (4 sin t) ^ 2 + 4 (4 cos t) −6 (4 sin t) [4pt] & = 16 cos ^ 2t + 16 sin ^ 2t + 16 cos t − 24 sin t [4pt] & = 16 + 16 cos t − 24 sin t. end {align *} ]

Definir (h ′ (t) = 0 ) leva a

[ begin {align *} −16 sin t − 24 cos t & = 0 [4pt] −16 sin t & = 24 cos t [4pt] dfrac {−16 sin t } {- 16 cos t} & = dfrac {24 cos t} {- 16 cos t} [4pt] tan t & = - dfrac {3} {2}. end {align *} ]

Esta equação tem duas soluções no intervalo (0≤t≤2π ). Um é (t = π− arctan ( frac {3} {2}) ) e o outro é (t = 2π− arctan ( frac {3} {2}) ). Para o primeiro ângulo,

[ begin {align *} sin t & = sin (π− arctan ( tfrac {3} {2})) = sin ( arctan ( tfrac {3} {2})) = dfrac {3 sqrt {13}} {13} [4pt] cos t & = cos (π− arctan ( tfrac {3} {2})) = - cos ( arctan ( tfrac {3} {2})) = - dfrac {2 sqrt {13}} {13}. end {align *} ]

Portanto, (x (t) = 4 cos t = - frac {8 sqrt {13}} {13} ) e (y (t) = 4 sin t = frac {12 sqrt { 13}} {13} ), então ( left (- frac {8 sqrt {13}} {13}, frac {12 sqrt {13}} {13} right) ) é um ponto crítico na fronteira e

[ begin {align *} g left (- tfrac {8 sqrt {13}} {13}, tfrac {12 sqrt {13}} {13} right) & = left (- tfrac {8 sqrt {13}} {13} right) ^ 2 + left ( tfrac {12 sqrt {13}} {13} right) ^ 2 + 4 left (- tfrac {8 sqrt {13}} {13} right) −6 left ( tfrac {12 sqrt {13}} {13} right) [4pt] & = frac {144} {13} + frac {64} {13} - frac {32 sqrt {13}} {13} - frac {72 sqrt {13}} {13} [4pt] & = frac {208−104 sqrt { 13}} {13} ≈ − 12,844. end {align *} ]

Para o segundo ângulo,

[ begin {align *} sin t & = sin (2π− arctan ( tfrac {3} {2})) = - sin ( arctan ( tfrac {3} {2})) = - dfrac {3 sqrt {13}} {13} [4pt] cos t & = cos (2π− arctan ( tfrac {3} {2})) = cos ( arctan ( tfrac {3} {2})) = dfrac {2 sqrt {13}} {13}. end {align *} ]

Portanto, (x (t) = 4 cos t = frac {8 sqrt {13}} {13} ) e (y (t) = 4 sin t = - frac {12 sqrt { 13}} {13} ), então ( left ( frac {8 sqrt {13}} {13}, - frac {12 sqrt {13}} {13} right) ) é um ponto crítico na fronteira e

[ begin {align *} g left ( tfrac {8 sqrt {13}} {13}, - tfrac {12 sqrt {13}} {13} right) & = left ( tfrac {8 sqrt {13}} {13} right) ^ 2 + left (- tfrac {12 sqrt {13}} {13} right) ^ 2 + 4 left ( tfrac {8 sqrt {13}} {13} right) −6 left (- tfrac {12 sqrt {13}} {13} right) [4pt] & = dfrac {144} {13} + dfrac {64} {13} + dfrac {32 sqrt {13}} {13} + dfrac {72 sqrt {13}} {13} [4pt] & = dfrac {208 + 104 sqrt { 13}} {13} ≈44,844. end {align *} ]

O mínimo absoluto de (g ) é (- 13, ) que é atingido no ponto ((- 2,3) ), que é um ponto interno de (D ). O máximo absoluto de (g ) é aproximadamente igual a 44,844, que é atingido no ponto limite ( left ( frac {8 sqrt {13}} {13}, - frac {12 sqrt {13 }} {13} right) ). Esses são os extremos absolutos de (g ) em (D ) conforme mostrado na figura a seguir.

Exercício ( PageIndex {3} ):

Use a estratégia de resolução de problemas para encontrar extremos absolutos de uma função para encontrar os extremos absolutos da função

[f (x, y) = 4x ^ 2−2xy + 6y ^ 2−8x + 2y + 3 nonumber ]

no domínio definido por (0≤x≤2 ) e (- 1≤y≤3. )

Dica

Calcule (f_x (x, y) ) e (f_y (x, y) ) e defina-os iguais a zero. Em seguida, calcule (f ) para cada ponto crítico e encontre os extremos de (f ) na fronteira de (D ).

Responder

O mínimo absoluto ocorre em ((1,0): f (1,0) = - 1. )

O máximo absoluto ocorre em ((0,3): f (0,3) = 63. )

Exemplo ( PageIndex {4} ): Bolas de golfe lucrativas

A empresa Pro - (T ) desenvolveu um modelo de lucro que depende do número (x ) de bolas de golfe vendidas por mês (medido em milhares) e do número de horas por mês de publicidade (y ), de acordo com a função

[z = f (x, y) = 48x + 96y − x ^ 2−2xy − 9y ^ 2, ]

onde (z ) é medido em milhares de dólares. O número máximo de bolas de golfe que podem ser produzidas e vendidas é (50.000 ), e o número máximo de horas de publicidade que podem ser adquiridas é (25 ). Encontre os valores de (x ) e (y ) que maximizam o lucro e encontre o lucro máximo.

Solução

Usando a estratégia de resolução de problemas, a etapa (1 ) envolve encontrar os pontos críticos de (f ) em seu domínio. Portanto, primeiro calculamos (f_x (x, y) ) e (f_y (x, y), ) e, em seguida, definimos cada um deles igual a zero:

[ begin {align *} f_x (x, y) & = 48−2x − 2y [4pt] f_y (x, y) & = 96−2x − 18y. end {align *} ]

Defini-los iguais a zero resulta no sistema de equações

[ begin {align *} 48−2x − 2y & = 0 [4pt] 96−2x − 18y & = 0. end {align *} ]

A solução para este sistema é (x = 21 ) e (y = 3 ). Portanto ((21,3) ) é um ponto crítico de (f ). Calculando (f (21,3) ) resulta (f (21,3) = 48 (21) +96 (3) −21 ^ 2−2 (21) (3) −9 (3) ^ 2 = 648. )

O domínio desta função é (0≤x≤50 ) e (0≤y≤25 ) conforme mostrado no gráfico a seguir.

(L_1 ) é o segmento de reta conectando ((0,0) ) e ((50,0), ) e pode ser parametrizado pelas equações (x (t) = t, y (t ) = 0 ) para (0≤t≤50. ) Em seguida, definimos (g (t) = f (x (t), y (t)): )

[ begin {align *} g (t) & = f (x (t), y (t)) [4pt] & = f (t, 0) [4pt] & = 48t + 96 ( 0) −y ^ 2−2 (t) (0) −9 (0) ^ 2 [4pt] & = 48t − t ^ 2. end {align *} ]

Definindo (g ′ (t) = 0 ) produz o ponto crítico (t = 24, ) que corresponde ao ponto ((24,0) ) no domínio de (f ). Calculando (f (24,0) ) resulta (576. )

(L_2 ) é o segmento de linha que conecta ((50,0) ) e ((50,25) ), e pode ser parametrizado pelas equações (x (t) = 50, y (t ) = t ) para (0≤t≤25 ). Mais uma vez, definimos (g (t) = f big (x (t), y (t) big): )

[ begin {align *} g (t) & = f big (x (t), y (t) big) [4pt] & = f (50, t) [4pt] & = 48 (50) + 96t − 50 ^ 2−2 (50) t − 9t ^ 2 [4pt] & = - 9t ^ 2−4t − 100. end {align *} ]

Esta função possui um ponto crítico em (t = - frac {2} {9} ), que corresponde ao ponto ((50, −29) ). Este ponto não está no domínio de (f ).

(L_3 ) é o segmento de linha que conecta ((0,25) ) e ((50,25) ), e pode ser parametrizado pelas equações (x (t) = t, y (t ) = 25 ) para (0≤t≤50 ). Definimos (g (t) = f big (x (t), y (t) big) ):

[ begin {align *} g (t) & = f big (x (t), y (t) big) [4pt] & = f (t, 25) [4pt] & = 48t + 96 (25) −t ^ 2−2t (25) −9 (25 ^ 2) [4pt] & = - t ^ 2−2t − 3225. end {align *} ]

Esta função possui um ponto crítico em (t = −1 ), que corresponde ao ponto ((- 1,25), ) que não está no domínio.

(L_4 ) é o segmento de reta conectando ((0,0) ) a (0,25) ), e pode ser parametrizado pelas equações (x (t) = 0, y (t ) = t ) para (0≤t≤25 ). Definimos (g (t) = f big (x (t), y (t) big) ):

[ begin {align *} g (t) & = f big (x (t), y (t) big) [4pt] & = f (0, t) [4pt] & = 48 (0) + 96t− (0) ^ 2−2 (0) t − 9t ^ 2 [4pt] & = 96t − 9t ^ 2. end {align *} ]

Esta função possui um ponto crítico em (t = frac {16} {3} ), que corresponde ao ponto ( left (0, frac {16} {3} right) ), que é na fronteira do domínio. Calculando (f left (0, frac {16} {3} right) ) dá (256 ).

Também precisamos encontrar os valores de (f (x, y) ) nos cantos de seu domínio. Esses cantos estão localizados em ((0,0), (50,0), (50,25) ) e ((0,25) ):

[ begin {align *} f (0,0) & = 48 (0) +96 (0) - (0) ^ 2−2 (0) (0) −9 (0) ^ 2 = 0 [4pt] f (50,0) & = 48 (50) +96 (0) - (50) ^ 2−2 (50) (0) −9 (0) ^ 2 = −100 [4pt] f (50,25) & = 48 (50) +96 (25) - (50) ^ 2−2 (50) (25) −9 (25) ^ 2 = −5825 [4pt] f (0,25 ) & = 48 (0) +96 (25) - (0) ^ 2−2 (0) (25) −9 (25) ^ 2 = −3225. end {align *} ]

O valor máximo é (648 ), que ocorre em ((21,3) ). Portanto, um lucro máximo de ($ 648.000 ) é realizado quando (21.000 ) bolas de golfe são vendidas e (3 ) horas de publicidade são compradas por mês, conforme mostrado na figura a seguir.

Conceitos chave

  • Um ponto crítico da função (f (x, y) ) é qualquer ponto ((x_0, y_0) ) onde seja (f_x (x_0, y_0) = f_y (x_0, y_0) = 0 ), ou pelo menos um de (f_x (x_0, y_0) ) e (f_y (x_0, y_0) ) não existe.
  • Um ponto de sela é um ponto ((x_0, y_0) ) onde (f_x (x_0, y_0) = f_y (x_0, y_0) = 0 ), mas (f (x_0, y_0) ) não é nem um máximo nem mínimo nesse ponto.
  • Para encontrar extremos de funções de duas variáveis, primeiro encontre os pontos críticos, depois calcule o discriminante e aplique o teste da segunda derivada.

Equações Chave

  • Discriminante

(D = f_ {xx} (x_0, y_0) f_ {yy} (x_0, y_0) - (f_ {xy} (x_0, y_0)) ^ 2 )

Glossário

ponto crítico de uma função de duas variáveis

o ponto ((x_0, y_0) ) é chamado de ponto crítico de (f (x, y) ) se uma das seguintes condições for válida:

1. (f_x (x_0, y_0) = f_y (x_0, y_0) = 0 )

2. Pelo menos um de (f_x (x_0, y_0) ) e (f_y (x_0, y_0) ) não existe

discriminante
o discriminante da função (f (x, y) ) é dado pela fórmula (D = f_ {xx} (x_0, y_0) f_ {yy} (x_0, y_0) - (f_ {xy} (x_0 , y_0)) ^ 2 )
ponta de sela
dada a função (z = f (x, y), ) o ponto ((x_0, y_0, f (x_0, y_0)) ) é um ponto de sela se ambos (f_x (x_0, y_0) = 0 ) e (f_y (x_0, y_0) = 0 ), mas (f ) não tem um extremo local em ((x_0, y_0) )

Contribuintes e atribuições

  • Gilbert Strang (MIT) e Edwin “Jed” Herman (Harvey Mudd) com muitos autores contribuintes. Este conteúdo da OpenStax é licenciado com uma licença CC-BY-SA-NC 4.0. Baixe gratuitamente em http://cnx.org.