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8.2: Área de uma Superfície de Revolução - Matemática


Os conceitos que usamos para encontrar o comprimento do arco de uma curva podem ser estendidos para encontrar a área de superfície de uma superfície de revolução. Superfície é a área total da camada externa de um objeto. Queremos encontrar a área de superfície da superfície de revolução criada ao girar o gráfico de (y = f (x) ) em torno do eixo (x ) como mostrado na figura a seguir.

Como já fizemos muitas vezes antes, vamos particionar o intervalo ([a, b] ) e aproximar a área da superfície calculando a área da superfície de formas mais simples. Começamos usando segmentos de linha para aproximar a curva, como fizemos anteriormente nesta seção. Para (i = 0,1,2,…, n ), seja (P = {x_i} ) uma partição regular de ([a, b] ). Então, para (i = 1,2,…, n, ) construa um segmento de reta do ponto ((x_ {i − 1}, f (x_ {i − 1})) ) ao ponto ((x_i, f (x_i)) ). Agora, gire esses segmentos de linha em torno do eixo (x ) para gerar uma aproximação da superfície de revolução, conforme mostrado na figura a seguir.

Observe que quando cada segmento de linha é girado em torno do eixo, ele produz uma faixa. Essas faixas são, na verdade, pedaços de cones (pense em uma casquinha de sorvete com a extremidade pontiaguda cortada). Um pedaço de um cone como este é chamado de tronco de um cone.

Para encontrar a área da superfície da banda, precisamos encontrar a área da superfície lateral, (S ), do tronco (a área de apenas a superfície externa inclinada do tronco, não incluindo as áreas das faces superior ou inferior ) Sejam (r_1 ) e (r_2 ) os raios da extremidade larga e estreita do tronco, respectivamente, e seja (l ) a altura inclinada do tronco, conforme mostrado na figura a seguir.

Sabemos que a área da superfície lateral de um cone é dada por

[ text {Área da superfície lateral} = πrs, ]

onde (r ) é o raio da base do cone e (s ) é o altura de inclinação (Figura ( PageIndex {7} )).

Uma vez que um tronco pode ser pensado como um pedaço de um cone, a área da superfície lateral do tronco é dada pela área da superfície lateral de todo o cone menos a área da superfície lateral do cone menor (a ponta pontiaguda) que foi cortada (Figura ( PageIndex {8} )).

As seções transversais do cone pequeno e do cone grande são triângulos semelhantes, então vemos que

[ dfrac {r_2} {r_1} = dfrac {s − l} {s} ]

Resolvendo para (s ), obtemos = s − ls

[ begin {align *} dfrac {r_2} {r_1} & = dfrac {s − l} {s} r_2s & = r_1 (s − l) r_2s & = r_1s − r_1l r_1l & = r_1s-r_2s r_1l & = (r_1-r_2) s dfrac {r_1l} {r_1-r_2} = s end {alinhar *} ]

Então, a área de superfície lateral (SA) do tronco é

[ begin {align *} S & = text {(Lateral SA do cone grande)} - text {(Lateral SA do cone pequeno)} [4pt] & = πr_1s − πr_2 (s − l) [4pt] & = πr_1 ( dfrac {r_1l} {r_1 − r_2}) - πr_2 ( dfrac {r_1l} {r_1 − r_2 − l}) [4pt] & = dfrac {πr ^ 2_1l} { r ^ 1 − r ^ 2} - dfrac {πr_1r_2l} {r_1 − r_2} + πr_2l [4pt] & = dfrac {πr ^ 2_1l} {r_1 − r_2} - dfrac {πr_1r2_l} {r_1 − r_2 } + dfrac {πr_2l (r_1 − r_2)} {r_1 − r_2} [4pt] & = dfrac {πr ^ 2_1} {lr_1 − r_2} - dfrac {πr_1r_2l} {r_1 − r_2} + dfrac {πr_1r_2l} {r_1 − r_2} - dfrac {πr ^ 2_2l} {r_1 − r_3} [4pt] & = dfrac {π (r ^ 2_1 − r ^ 2_2) l} {r_1 − r_2} = dfrac {π (r_1 − r + 2) (r1 + r2) l} {r_1 − r_2} [4pt] & = π (r_1 + r_2) l. label {eq20} end {align *} ]

Vamos agora usar esta fórmula para calcular a área de superfície de cada uma das bandas formadas girando os segmentos de linha em torno do (eixo x ). Uma banda representativa é mostrada na figura a seguir.

Observe que a altura inclinada desse tronco é apenas o comprimento do segmento de linha usado para gerá-lo. Então, aplicando a fórmula da área de superfície, temos

[ begin {align *} S & = π (r_1 + r_2) l & = π (f (x_ {i − 1}) + f (x_i)) sqrt {Δx ^ 2 + (Δyi) ^ 2} & = π (f (x_ {i − 1}) + f (x_i)) Δx sqrt {1 + ( dfrac {Δy_i} {Δx}) ^ 2} end {alinhar *} ]

Agora, como fizemos no desenvolvimento da fórmula do comprimento do arco, aplicamos o Teorema do Valor Médio para selecionar (x ^ ∗ _ i∈ [x_ {i − 1}, x_i] ) tal que (f ′ (x ^ ∗ _i) = (Δy_i) / Δx. ) Isso nos dá

[S = π (f (x_ {i − 1}) + f (x_i)) Δx sqrt {1+ (f ′ (x ^ ∗ _ i)) ^ 2} não numérico ]

Além disso, uma vez que (f (x) ) é contínuo, pelo Teorema do valor intermediário, há um ponto (x ^ {**} _ i∈ [x_ {i − 1}, x [i] ) tal que (f (x ^ {**} _ i) = (1/2) [ f (xi − 1) + f (xi)],

então nós temos

[S = 2πf (x ^ {**} _ i) Δx sqrt {1+ (f ′ (x ^ ∗ _ i)) ^ 2}. Nonumber ]

Então, a área aproximada da superfície de toda a superfície de revolução é dada por

[ text {Área da superfície} ≈ sum_ {i = 1} ^ n2πf (x ^ {**} _ i) Δx sqrt {1+ (f ′ (x ^ ∗ _ i)) ^ 2}. não numérico ]

Isso quase se parece com uma soma de Riemann, exceto que temos funções avaliadas em dois pontos diferentes, (x ^ ∗ _ i ) e (x ^ {**} _ {i} ), ao longo do intervalo ([x_ { i − 1}, x_i] ). Embora não examinemos os detalhes aqui, verifica-se que porque (f (x) ) é suave, se deixarmos n (→ ∞ ), o limite funciona da mesma forma que uma soma de Riemann, mesmo com os dois pontos de avaliação. Isso faz sentido intuitivamente. Ambos (x ^ ∗ _ i ) e x ^ {**} _ i ) estão no intervalo ([x_ {i − 1}, x_i] ), então faz sentido que como (n → ∞ ), ambas as abordagens (x ^ ∗ _ i ) e (x ^ {**} _ i ) (x ) Aqueles de vocês que estão interessados ​​nos detalhes devem consultar um texto de cálculo avançado.

Tomando o limite como (n → ∞, ) obtemos

[ begin {align *} text {Surface Area} & = lim_ {n → ∞} sum_ {i = 1} n ^ 2πf (x ^ {**} _ i) Δx sqrt {1+ (f ′ (X ^ ∗ _ i)) ^ 2} [4pt] & = ∫ ^ b_a (2πf (x) sqrt {1+ (f ′ (x)) ^ 2}) end {alinhar *} ]

Tal como acontece com o comprimento do arco, podemos conduzir um desenvolvimento semelhante para as funções de (y ) para obter uma fórmula para a área de superfície das superfícies de revolução em torno do (eixo y ). Essas descobertas são resumidas no teorema a seguir.

Área de superfície de uma superfície de revolução

Seja (f (x) ) uma função suave não negativa no intervalo ([a, b] ). Então, a área de superfície da superfície de revolução formada girando o gráfico de (f (x) ) em torno do eixo x é dada por

[ text {Área da superfície} = ∫ ^ b_a (2πf (x) sqrt {1+ (f ′ (x)) ^ 2}) dx ]

Da mesma forma, seja (g (y) ) uma função suave não negativa no intervalo ([c, d] ). Então, a área de superfície da superfície de revolução formada girando o gráfico de (g (y) ) em torno do (eixo y ) é dada por

[ text {Área da superfície} = ∫ ^ d_c (2πg (y) sqrt {1+ (g ′ (y)) ^ 2} dy ]

Exemplo ( PageIndex {4} ): Calculando a área da superfície de uma superfície de revolução 1.

Seja (f (x) = sqrt {x} ) no intervalo ([1,4] ). Encontre a área de superfície da superfície gerada girando o gráfico de (f (x) ) em torno do eixo (x ). Arredonde a resposta para três casas decimais.

Solução

O gráfico de (f (x) ) e a superfície de rotação são mostrados na Figura ( PageIndex {10} ).

Temos (f (x) = sqrt {x} ). Então, (f ′ (x) = 1 / (2 sqrt {x}) ) e ((f ′ (x)) ^ 2 = 1 / (4x). ) Então,

[ begin {align *} text {Surface Area} & = ∫ ^ b_a (2πf (x) sqrt {1+ (f ′ (x)) ^ 2} dx [4pt] & = ∫ ^ 4_1 ( sqrt {2π sqrt {x} 1+ dfrac {1} {4x}}) dx [4pt] & = ∫ ^ 4_1 (2π sqrt {x + 14} dx. end {alinhar *} ]

Seja (u = x + 1/4. ) Então, (du = dx ). Quando (x = 1, u = 5/4 ) e quando (x = 4, u = 17/4. ) Isso nos dá

[ begin {align *} ∫ ^ 1_0 (2π sqrt {x + dfrac {1} {4}}) dx & = ∫ ^ {17/4} _ {5/4} 2π sqrt {u} du [4pt] & = 2π left [ dfrac {2} {3} u ^ {3/2} right] ∣ ^ {17/4} _ {5/4} [4pt] & = dfrac {π} {6} [17 sqrt {17} −5 sqrt {5}] ≈30,846 end {alinhar *} ]

Exercício ( PageIndex {4} )

Seja (f (x) = sqrt {1 − x} ) sobre o intervalo ([0,1 / 2] ). Encontre a área de superfície da superfície gerada girando o gráfico de (f (x) ) em torno do eixo (x ). Arredonde a resposta para três casas decimais.

Dica

Use o processo do exemplo anterior.

Responder

[ dfrac {π} {6} (5 sqrt {5} −3 sqrt {3}) ≈3,133 ]

Exemplo ( PageIndex {5} ): Calculando a área da superfície de uma superfície de revolução 2

Seja (f (x) = y = dfrac [3] {3x} ). Considere a parte da curva onde (0≤y≤2 ). Encontre a área da superfície gerada girando o gráfico de (f (x) ) em torno do eixo (y ).

Solução

Observe que estamos girando a curva em torno do eixo (y ) e o intervalo é em termos de (y ), portanto, queremos reescrever a função como uma função de (y ). Obtemos (x = g (y) = (1/3) y ^ 3 ). O gráfico de (g (y) ) e a superfície de rotação são mostrados na figura a seguir.

Temos (g (y) = (1/3) y ^ 3 ), então (g ′ (y) = y ^ 2 ) e ((g ′ (y)) ^ 2 = y ^ 4 ). Então

[ begin {align *} text {Surface Area} & = ∫ ^ d_c (2πg (y) sqrt {1+ (g ′ (y)) ^ 2}) dy [4pt] & = ∫ ^ 2_0 (2π ( dfrac {1} {3} y ^ 3) sqrt {1 + y ^ 4}) dy [4pt] & = dfrac {2π} {3} ∫ ^ 2_0 (y ^ 3 sqrt {1 + y ^ 4}) dy. end {align *} ]

Seja (u = y ^ 4 + 1. ) Então (du = 4y ^ 3dy ). Quando (y = 0, u = 1 ) e quando (y = 2, u = 17. ) Então

[ begin {align *} dfrac {2π} {3} ∫ ^ 2_0 (y ^ 3 sqrt {1 + y ^ 4}) dy & = dfrac {2π} {3} ∫ ^ {17} _1 dfrac {1} {4} sqrt {u} du [4pt] & = dfrac {π} {6} [ dfrac {2} {3} u ^ {3/2}] ∣ ^ {17 } _1 = dfrac {π} {9} [(17) ^ {3/2} −1] ≈24,118. end {align *} ]

Exercício ( PageIndex {5} )

Seja (g (y) = sqrt {9 − y ^ 2} ) sobre o intervalo (y∈ [0,2] ). Encontre a área de superfície da superfície gerada girando o gráfico de (g (y) ) em torno do eixo (y ).

Dica

Use o processo do exemplo anterior.

Responder

(12π )


Superfície de revolução

Exemplos de superfícies de revolução geradas por uma linha reta são superfícies cilíndricas e cônicas, dependendo se a linha é ou não paralela ao eixo. Um círculo que é girado em torno de qualquer diâmetro gera uma esfera da qual é, então, um grande círculo, e se o círculo é girado em torno de um eixo que não intercepta o interior de um círculo, então ele gera um toro que não se intercepta ( um toro em anel).


8.2: Área de uma Superfície de Revolução - Matemática

Nesta seção, veremos mais uma vez os sólidos de revolução. Nós os examinamos pela primeira vez em Cálculo I, quando encontramos o volume do sólido de revolução. Nesta seção, queremos encontrar a área de superfície desta região.

Assim, para efeitos de derivação da fórmula, vamos olhar para a rotação da função contínua (y = f left (x right) ) no intervalo ( left [ right] ) sobre o eixo (x ). Também precisamos assumir que a derivada é contínua em ( left [ certo]). Abaixo está um esboço de uma função e do sólido de revolução que obtemos ao girar a função em torno do eixo (x ).

Podemos derivar uma fórmula para a área da superfície da mesma forma que derivamos a fórmula para o comprimento do arco. Começaremos dividindo o intervalo em (n ) subintervalos iguais de largura ( Delta x ). Em cada subintervalo, iremos aproximar a função com uma linha reta que concorda com a função nos pontos finais de cada intervalo. Aqui está um esboço disso para nossa função representativa usando (n = 4 ).

Agora, gire as aproximações sobre o eixo (x ) e obteremos o seguinte sólido.

A aproximação em cada intervalo dá uma porção distinta do sólido e para deixar isso claro, cada porção é colorida de forma diferente. Cada uma dessas porções é chamada de troncos e sabemos como encontrar a área de superfície dos troncos.

A área de superfície de um tronco é dada por,

e (l ) é o comprimento da inclinação do tronco.

Para o tronco no intervalo ( left [<<>>,> right] ) nós temos,

e sabemos da seção anterior que,

Antes de escrever a fórmula para a área da superfície, vamos supor que ( Delta x ) é "pequeno" e, uma vez que (f left (x right) ) é contínuo, podemos assumir que,

Portanto, a área de superfície do tronco no intervalo ( left [<<>>,> right] ) é aproximadamente,

A área de superfície de todo o sólido é então de aproximadamente,

e podemos obter a área de superfície exata tomando o limite conforme (n ) vai para o infinito.

Se quiséssemos, também poderíamos derivar uma fórmula semelhante para girar (x = h left (y right) ) em ( left [ right] ) sobre o eixo (y ). Isso daria a seguinte fórmula.

No entanto, essas não são as fórmulas “padrão”. Observe que as raízes em ambas as fórmulas nada mais são do que os dois (ds ) 's que usamos na seção anterior. Além disso, substituiremos (f left (x right) ) por (y ) e (h left (y right) ) por (x ). Isso fornece as duas fórmulas a seguir para a área de superfície.

Fórmulas de Superfície

Há algumas coisas a serem observadas sobre essas fórmulas. Primeiro, observe que a variável na própria integral é sempre a variável oposta daquela sobre a qual estamos girando. Em segundo lugar, podemos usar (ds ) em qualquer uma das fórmulas. Isso significa que existem, de alguma forma, quatro fórmulas aqui. Escolheremos o (ds ) com base em qual é o mais conveniente para uma determinada função e problema.

Agora vamos trabalhar alguns exemplos.

A fórmula que usaremos aqui é,

já que estamos girando sobre o eixo (x ) - e usaremos o primeiro (ds ) neste caso porque nossa função está na forma correta para isso (ds ) e não ganharemos nada resolvendo-o para (x ).

Vamos primeiro cuidar da derivada e da raiz.

Aqui está o integral para a área de superfície,

Porém, há um problema. O (dx ) significa que não devemos ter nenhum (y ) 's na integral. Portanto, antes de avaliar a integral, precisamos substituir por (y ) também.

Anteriormente, comentamos que poderíamos usar (ds ) nas fórmulas da área de superfície. Vamos trabalhar um exemplo em que o uso de (ds ) não criará integrais que são muito difíceis de avaliar e, portanto, podemos verificar os dois (ds ) 's.

Observe que recebemos a configuração da função para o primeiro (ds ) e os limites que funcionam para o segundo (ds ).

Solução 1
Esta solução usará o primeiro (ds ) listado acima. Vamos começar com a derivada e a raiz.

Também precisaremos obter novos limites. No entanto, isso não é tão ruim. Tudo o que precisamos fazer é inserir os (y ) 's fornecidos em nossa equação e resolver para obter que o intervalo de (x )' s é (1 le x le 8 ). A integral para a área de superfície é, então,

Observe que, desta vez, não precisamos substituir o (x ) como fizemos no exemplo anterior. Neste caso, pegamos um (dx ) de (ds ) e, portanto, não precisamos fazer uma substituição para (x ). Na verdade, se tivéssemos substituído (x ), teríamos colocado (y ) 's na integral, o que teria causado problemas.

Solução 2
Desta vez, usaremos o segundo (ds ). Então, primeiro precisamos resolver a equação para (x ). Também iremos em frente e obteremos a derivada e a raiz enquanto tentamos.

Usamos os limites (y ) originais desta vez porque pegamos um (dy ) do (ds ). Observe também que a presença de (dy ) significa que, desta vez, ao contrário da primeira solução, precisaremos substituir (x ). Fazer isso dá,

Observe que após a substituição, a integral era idêntica à primeira solução e, portanto, o trabalho foi pulado.

Como este exemplo mostrou, podemos usar (ds ) para obter a área da superfície. É importante ressaltar também que com um (ds ) tivemos que fazer uma substituição para o (x ) e com o outro não. Isso sempre funcionará dessa maneira.

Observe também que, no caso do último exemplo, foi tão fácil de usar quanto (ds ). Muitas vezes não será o caso. Em muitos exemplos, apenas um dos (ds ) será conveniente para trabalhar, portanto, sempre precisaremos determinar qual (ds ) é o mais fácil de trabalhar antes de iniciar o problema.


Teoria dos feixes intensos de partículas carregadas

5.13.1 A Declaração do Problema

Vimos que usar a superfície de revolução como um tubo de fluxo básico, com base na suposição de que Veu, Vψ depende apenas de eu, reduz o problema em consideração à integração de uma equação diferencial ordinária e, possivelmente, ao cálculo de uma quadratura para η. Uma outra tarefa pode consistir em abandonar o requisito V α = V α (ξ 1) e construindo as soluções exatas com base no estudo das propriedades do grupo das Eqs. (5.225) formulado para uma superfície básica que não é necessariamente uma superfície de revolução. Como tal, podemos usar, como exemplo, qualquer uma das superfícies que encontramos na Seção 2 ao estudar as soluções exatas das equações do feixe (plano, cilindro circular e cone, bem como helicoide) (Syrovoy, 1989).


Superfície de revolução

Exemplos de superfícies de revolução geradas por uma linha reta são superfícies cilíndricas e cônicas, dependendo se a linha é ou não paralela ao eixo. Um círculo que é girado em torno de qualquer diâmetro gera uma esfera da qual é, então, um grande círculo, e se o círculo é girado em torno de um eixo que não intercepta o interior de um círculo, então ele gera um toro que não se intercepta ( um toro em anel).

Uma parte da curva x = 2 + cos z girada em torno do eixo z

As seções da superfície de revolução feitas pelos planos ao longo do eixo são chamadas de seções meridionais. Qualquer seção meridional pode ser considerada a geratriz no plano determinado por ela e pelo eixo. [2]

As seções da superfície de revolução feitas por planos perpendiculares ao eixo são círculos.

Alguns casos especiais de hiperbolóides (de uma ou duas folhas) e parabolóides elípticos são superfícies de revolução. Elas podem ser identificadas como aquelas superfícies quadráticas cujas seções transversais perpendiculares ao eixo são circulares.
Fórmula de área

Se a curva é descrita pelas funções paramétricas x (t), y (t), com t variando em algum intervalo [a, b], e o eixo de revolução é o eixo y, então a área Ay é dada pelo integrante

desde que x (t) nunca seja negativo entre os pontos finais a e b. Esta fórmula é o equivalente de cálculo do teorema do centróide de Pappus. [3] A quantidade

vem do teorema de Pitágoras e representa um pequeno segmento do arco da curva, como na fórmula do comprimento do arco. A quantidade 2πx (t) é o caminho (do centróide) deste pequeno segmento, conforme exigido pelo teorema de Pappus.

Da mesma forma, quando o eixo de rotação é o eixo x e desde que y (t) nunca seja negativo, a área é dada por [4]

Se a curva contínua é descrita pela função y = f (x), a ≤ x ≤ b, então a integral torna-se

para revolução em torno do eixo x, e

para revolução em torno do eixo y (desde que ≥ 0). Eles vêm da fórmula acima. [5]

Por exemplo, a superfície esférica com raio unitário é gerada pela curva y (t) = sin (t), x (t) = cos (t), quando t varia mais de [0, π]. Sua área é, portanto,

Para o caso da curva esférica com raio r, y (x) = √r2 - x2 girado em torno do eixo x

Uma superfície mínima de revolução é a superfície de revolução da curva entre dois pontos dados que minimiza a área de superfície. [6] Um problema básico no cálculo de variações é encontrar a curva entre dois pontos que produz essa superfície mínima de revolução. [6]

Existem apenas duas superfícies mínimas de revolução (superfícies de revolução que também são superfícies mínimas): o plano e a catenóide. [7]
Expressões coordenadas

Uma superfície de revolução dada pela rotação de uma curva descrita por y = f (x) em torno do eixo x pode ser mais simplesmente descrita em coordenadas cilíndricas por (< displaystyle r = f (z)> ). Em coordenadas cartesianas, isso resulta na parametrização em termos de z e ( theta ) como (< displaystyle (f (z) cos ( theta), f (z) sin ( theta), z) > ). Se, em vez disso, girarmos a curva em torno do eixo y, a curva será descrita em coordenadas cilíndricas por (< displaystyle z = f (r)> ), resultando na expressão (< displaystyle (r cos ( theta), r sin ( theta), f (r))> ) em termos dos parâmetros re ( theta ).

Se xey são definidos em termos de um parâmetro t, então obtemos uma parametrização em termos de t e ( theta ). Se xey são funções de t, então a superfície de revolução obtida girando a curva em torno do eixo x é descrita em coordenadas cilíndricas pela equação paramétrica (< displaystyle (r, theta, z) = (y ( t), theta, x (t))> ), e a superfície de revolução obtida girando a curva em torno do eixo y é descrita por (< displaystyle (r, theta, z) = (x ( t), theta, y (t))> ). Em coordenadas cartesianas, estes (respectivamente) tornam-se (< displaystyle (y (t) cos ( theta), y (t) sin ( theta), x (t))> ) e (< displaystyle (x (t) cos ( theta), x (t) sin ( theta), y (t))> ). As fórmulas acima para a área de superfície seguem tomando a integral de superfície da função constante 1 sobre a superfície usando essas parametrizações.

Geodésica em uma superfície de revolução

Os meridianos são sempre geodésicos em uma superfície de revolução. Outras geodésicas são regidas pela relação de Clairaut. [8]
Toroids
Artigo principal: Toroid
Um toroide gerado a partir de um quadrado

Uma superfície de revolução com um orifício, onde o eixo de revolução não intercepta a superfície, é chamada de toroide. [9] Por exemplo, quando um retângulo é girado em torno de um eixo paralelo a uma de suas bordas, um anel de seção quadrada oco é produzido. Se a figura revolvida for um círculo, o objeto é chamado de toro.
Aplicações de superfícies de revolução

O uso de superfícies de revolução é essencial em muitos campos da física e da engenharia. Quando certos objetos são projetados digitalmente, revoluções como essas podem ser usadas para determinar a área da superfície sem o uso da medição do comprimento e do raio do objeto sendo projetado.
Veja também

Superfície do canal, uma generalização de uma superfície de revolução
Chifre de Gabriel
Limão (geometria), superfície de revolução de um arco circular
Superfície de Liouville, outra generalização de uma superfície de revolução
Sólido de revolução
Integral de superfície
Helicoide generalizado
Superfície de translação (geometria diferencial)

Middlemiss Marks Smart. & quot15-4. Superfícies da Revolução & quot. Geometria analítica (3ª ed.). p. 378. LCCN 68015472.
Wilson, W.A. Tracey, J.I. (1925), Analytic Geometry (ed. Revista), D.C. Heath and Co., p. 227
Thomas, George B. & quot6.7: Area of ​​a Surface of Revolution 6.11: The Theorems of Pappus & quot. Cálculo (3ª ed.). pp. 206–209, 217–219. LCCN 69016407.
Singh, R.R. (1993). Engineering Mathematics (6 ed.). Tata McGraw-Hill. p. 6,90. ISBN 0-07-014615-2.
Swokowski, Earl W. (1983), Calculus with analytic geometry (Alternate ed.), Prindle, Weber & amp Schmidt, p. 617, ISBN 0-87150-341-7
Weisstein, Eric W. & quotMinimal Surface of Revolution & quot. MathWorld.
Weisstein, Eric W. & quotCatenoid & quot. MathWorld.
Pressley, Andrew. “Capítulo 9 - Geodésica.” Elementary Differential Geometry, 2ª ed., Springer, Londres, 2012, pp. 227–230.

links externos
Weisstein, Eric W. & quotSurface of Revolution & quot. MathWorld.
& quotSurface de révolution & quot. Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (em francês).


8.2: Área de uma Superfície de Revolução - Matemática

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Editor de Expressão Matemática

Calculamos a área de superfície de um frustrum e então usamos o método de “Fatiar, aproximar, integrar” para encontrar áreas de áreas de superfície de revolução.

A área de um tronco

Para realizar a etapa de aproximação, primeiro precisamos discutir a área de superfície de um frustrum.

Para calcular a área de um superfície de revolução, aproximamos que esta área é igual à soma das áreas de formas básicas que podemos dispor planas. O argumento para isso remonta ao grande físico e matemático, Arquimedes de Alexandria. Para seguir seu argumento, temos que começar calculando a área de uma 'abajur' ou tronco.

E, claro, poucas coisas são mais interessantes do que a área de um tronco:

  • denotam o número de trapézios,
  • denotam o comprimento do topo de cada trapézio,
  • denotam a altura de cada trapézio,
  • denotam o comprimento da parte inferior de cada trapézio,

então da geometria, temos que cada um dos trapézios, um dos quais é mostrado abaixo:

  • é a circunferência do círculo superior,
  • é a altura inclinada do tronco, conforme mostrado na figura acima, e
  • é a circunferência do círculo inferior,

e por meio de leis de limite encontramos Agora, permitindo

  • ser o raio do círculo que define o topo do tronco,
  • ser a altura inclinada do tronco, e
  • ser o raio do círculo que define a base do tronco,

A área de uma superfície de revolução

Vamos considerar uma função com uma derivada contínua e formar uma superfície de revolução formada por esta curva girando a parte da curva de para em torno do eixo:

Podemos encontrar uma fórmula que dá a área de superfície desta superfície de revolução usando o procedimento de “Fatiar, Aproximar, Integrar”!

Etapa 1: Fatia Como temos a curva a ser revolvida expressa como uma função de, escolhemos fatiar em relação a:

Etapa 2: Aproximar Vimos como encontrar a área da superfície de um frustrum, portanto, devemos aproximar cada fatia como um frustrum.

Assim, a área de superfície deste tronco é: Observe que existe um valor entre e tal que, então escrevemos:

e pode encontrar a área de superfície total aproximada usando frustra, adicionando todas as áreas de superfície:

Etapa 3: Integrar A fórmula acima tem um bom significado conceitual, ela ainda não passa prontamente para uma integral! e vimos que podemos expressar livre em termos de ou, o que nos permite expressar o infinitesimal por:

Observe também que à medida que a largura da fatia diminui, o valor acima se aproxima da distância que a fatia correspondente está longe do eixo de rotação.

Para garantir que enfatizamos essa liberdade na expressão, bem como os resultados geométricos inerentes que usamos para construir a área de superfície, escrevemos:

onde o raio é a distância do eixo de rotação à fatia e é a altura inclinada da fatia.

Para calcular esta área de superfície, primeiro escolhemos expressar:

Em seguida, temos que expressar a distância em termos da variável de integração. Esta será sempre uma distância vertical ou horizontal, que pode ser calculada como fizemos nas seções anteriores!

Usando a observação e permitindo e, portanto, podemos escrever:

onde o raio é a distância do eixo de rotação à fatia em.

Um conceito importante a ser observado é que a fatia está localizada em um ponto da curva. A escolha da variável de integração pode exigir que expressemos um ou em termos do outro usando a equação que descreve a curva. Veremos isso nos exemplos a seguir.

Começamos pensando em olhar para uma foto,

Como um breve aparte, observe que esta fatia dá origem ao seguinte frustrum quando girada sobre o eixo:

Vamos primeiro configurar a integral em relação a. Para fazer isso, escolhemos:

Observe que aqui está uma distância vertical que deve ser expressa em termos de. Uma vez que a fatia está localizada em um ponto da curva:

Observe que aqui está uma distância vertical que deve ser expressa em termos de. Uma vez que a fatia está localizada em um ponto da curva:

Agora, já que o fizemos, escreva comigo:

Essa integral pode ser calculada usando a substituição. Trabalhar os detalhes (que você deve fazer por conta própria), dá:

Como nosso exemplo final, calcularemos a área da superfície da esfera.

Pensamentos finais

As principais fórmulas nesta seção são:

Somos livres para escolher a variável de integração aqui, uma vez que podemos expressar em termos de um ou facilmente. Uma vez determinada a escolha da variável, precisamos expressar o raio do frustrum infinitesimal e os limites da integral em termos da variável de integração.

Este raio é a distância do eixo de rotação até a fatia, que é uma distância horizontal ou vertical. Precisamos apenas ter certeza de que o expressamos em termos da variável de integração de forma adequada.

Muitas das integrais que surgem no contexto desses problemas podem ser difíceis. Diferenciação e álgebra cuidadosas, bem como um bom domínio das técnicas de integração, podem ser vitais para encontrar áreas de superfície. Como de costume, isso pode ser desafiador e a prática é a chave aqui.

“A matemática não é um esporte para espectadores. Não é um corpo de conhecimento. Não são símbolos em uma página. É algo com que você brinca, algo que você faz ”- Keith Devlin


O que está acontecendo?

Então, como pode ser que tenhamos um volume finito, mas uma área de superfície infinita?

Uma maneira de ver isso é lembrar como um volume de sólido de revolução é realmente calculado usando o cálculo integral. Estamos encontrando a soma dos volumes de um número infinito de discos, raio y (para diferentes valores de x) Os discos têm área

e altura infinitesimal dx. Portanto, cada disco tem volume

dx "/>

A soma de um número infinito de tais discos convergirá, uma vez que esta soma geral converge:

A disputa

O paradoxo sobre um objeto ter volume finito, mas área de superfície infinita causou muita disputa sobre a natureza do infinito entre os matemáticos do século 17, incluindo Galileu e Wallis. Esses paradoxos são uma ótima maneira de nos fazer pensar!

Postagens relacionadas:

    Você pode investigar a área sob uma curva usando um gráfico interativo. Isso demonstra Riemann.Um leitor perguntou como encontrar o volume de um recipiente em forma de pendente. Nós precisamos.Explore as frequências das notas de piano neste objeto de aprendizagem interativo, combinando gráficos trigonométricos e exponencial.As séries infinitas desempenharam um papel importante no desenvolvimento da matemática, especialmente do cálculo.Neste boletim informativo: 1. Solução para o problema do exaustor 2. Recurso - Mathapedia 3.

Postado na categoria Matemática - 22 de março de 2018 [Link permanente]

6 Comentários sobre & # 8220O objeto com volume finito, mas área de superfície infinita & # 8221

Eu estava me perguntando, porém, em relação à área de superfície do sólido de revolução, como

é

Quando a derivada é ao quadrado, é

O resultado final seria o mesmo, embora, como acima, quando x se aproxima do infinito, com a expressão no integrando sendo,

Boa noite
Um problema muito bom com uma ótima resposta.
Gostaria de acrescentar ou devo dizer que desejo comentários sobre essas linhas, particularmente que irei escrever. Se virmos esse problema praticamente, então
Na verdade, o volume que obtemos após a integração tende a esse volume, pois o comprimento é infinitesimalmente grande. Portanto, dificilmente fará qualquer diferença no volume, enquanto sua área de superfície continuará aumentando.

@Christian: Obrigado por apontar o erro, que corrigi no post. Não me questionei porque o resultado final foi o mesmo, como você disse!

Então, o que aconteceria se alguém segurasse a corneta verticalmente e enchesse-a com π litros de tinta? A superfície interna do Horn ficaria totalmente coberta de tinta?

@Jan: Excelente pergunta! Pode ser contra-intuitivo, mas suspeito que não. Alguém mais gosta de pesar?

Ótimo artigo sobre o objeto com volume finito, mas área de superfície infinita.


8.2: Área de uma Superfície de Revolução - Matemática

Considere um plano y = f (x) no plano x-y entre as ordenadas x = a e x = b. Se uma certa parte desta curva é girada em torno de um eixo, um sólido de revolução é gerado.

  1. Forma cartesiana:
    • A área do sólido formado pela rotação do arco da curva em torno do eixo x é-
    • A área de revolução ao girar a curva em torno do eixo y é-

  • Sobre o eixo x:
  • Sobre o eixo y:
  • Sobre o eixo x: linha inicial


    Substitua aqui r por f (& # 952)
  • Sobre o eixo y:


    Substitua aqui r por f (& # 952)
  • Limites para x: x = a a x = b

    Aqui PM é em termos de x.
  • Limites para y: y = c a y = d

    Aqui PM está em termos de y.

Exemplo:
Encontre a área do sólido de revolução gerada girando a parábola em torno do eixo x.
Explicação:
Agora temos a forma cartesiana da equação da parábola e a parábola foi girada em torno do eixo x. Portanto, usamos a fórmula para a forma cartesiana rotativa sobre o eixo x, que é:

Aqui . Agora precisamos calcular dy / dx

Diferenciando w.r.t x obtemos:

Usando

Agora temos limites de x como x = 0 a x = 3. Plugging our calculated values in the above formula we get:

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Lateral & Surface Areas, Volumes

The lateral area of a regular pyramid or right cone is similar to that of prisms, but since each face is a triangle (or triangle-like), there is a factor of one half. The lateral area is thus half the slant height times the perimeter. The slant height is the distance from the vertex to the edge of the base where it is halfway between the base's vertices. If the pyramid is irregular and certainly if the cone is oblique, the surface area might not be calculatable using elementary techniques (which is a fancy way to say you may need calculus). It depends on if you can obtain the altitude (slant height) of each triangular face.

Surface Area = Lateral Area + n × Bases
n = 2 for prisms/cylinders n = 1 for pyramids/cones n = 0 for spheres.

The surface area of a pyramid or cone is the lateral area plus the area of the single base.

The surface area of a sphere is equal to 4 r 2 . Analogous to the unit circle is the unit sphere. Similarly, just as there are 2 radians of angle in one revolution, there are 4 steradians of solid angle in all directions.

Example: Consider a right pyramid A-BCDE with vertex A and square base BCDE of length 20" on each side and a slant height of 26". What are its lateral and surface areas?

Answer: We don't need the height for this calculation, but we will calculate it anyway to stress the difference between slant height and height. The slant height is the hypotenuse of a right triangle where the height is one leg and 20"/2 = 10" is the other leg. Thus 10 2 + h 2 = 26 2 or 100 + h 2 = 676. Thus h 2 = 576 or h = 24". The lateral surfaces are all triangles with a base of 20" and a height (the slant height) of 26". There are four of them. Thus the lateral area is 4×½吐"吖" = 1040 in 2 . The base is 20" square or 400 in 2 . Thus the [total] surface area is 1440 in 2 .

Understanding surface area may be clearer if you refer back to the net associated with the object. At left is a net for a cube and at right a portion of a net for a sphere. Each of these portions of a sphere is called a gore .

Now is a good time to review something learned in algebra, namely ( x + y ) 2 = x 2 + xy + xy + y 2 = x 2 + 2 xy + y 2 . The diagram at the right should clarify this further, help you remember the FOIL method , as well as give a physical basis for this relationship. (Remember also, the square root of ( x 2 + y 2 ) does NOT equal x + y .) Consider extending the FOIL method first into trinomials: ( a + b + c )( d + e + f ) = ad + ae + af + bd + be + bf + cd + ce + cf . The distributive property is another way to consider this situation. Here the box method is useful.

  d e f
uma de Anúncios ae af
b bd ser bf
c cd ce cf

Now extend the method into three dimensions to find: V = ( a + b )( c + d )( e + f ) = ace + acf + ade + adf + bce + bcf + bde + bdf . This would be useful in finding the volume, which is why it is difficult to display in two dimensions.

  • Every polyhedral region has an unique volume , dependent only on your unit cube .
  • A box has a volume of length × width × height ( V = lwh ).
  • Congruent figures have equivalent volume.
  • Total volume is the sum of all nonoverlapping regions.

By knowing the volume, one can determine the dimensions of a polyhedron. Specifically for a cube with edge s and volume s 3 , given a cube with volume 1000 cubic centimeters (1 liter), you can take the cube root to determine each side had length 10 centimeters or about 3.937 inches. Since one gallon is 231 cubic inches, it is thus about 3.785 liters. Other unit conversions can be expected and are summarized in Numbers lesson 9. Cube roots and volume are at the heart of an ancient impossible geometric construction from antiquity, the Delian Cube Doubling problem. Another important concept is that if you double the dimensions of a cube, the volume goes up by a factor of 8=2 3 , just like area went up by a factor of 4=2 2 . This is a problem commonly encountered when converting from cubic feet into cubic yards!

Example: Suppose you wish to pour concrete 4" deep in your driveway which is 90' long and 9' wide.

Answer: You quickly discover that there are 90࡯঩=270 feet 3 . However, there are only 10 yards 3 since each yard is 3 feet and 3 3 =27.

Calculating in the "native unit" of yards: 30ࡩয can help prevent such an error. By "native" we mean here that the final results are expected in cubic yards. If the initial units are converted to yards fewer mistakes will be made. It is EXTREMELY common to erroneously divide by 3 or 9 and not 27 when converting cubic feet into cubic yards.

Example: Suppose you wish to find the volume of the square based right pyramid A-BCDE given in an earlier example with slant height 26" and base 20" on each side.

Answer: The height is 24" as calculated in the previous example. Thus the volume is (1/3)× B × h = (1/3) × 20" × 20" × 24" = 3200 in 3 .

Volume Formulae

Prism or cylinder: V = base area × height
Pyramid or cone: V = (1/3) × base area × height
Sphere: V = (4/3) × (radius) 3

Typically these formula are written as V = Bh (prism or cylinder), V =(1/3) Bh (pyramid or cone), or V =(4/3) r 3 (sphere). Note how a big B is used to signify that this is a two dimensional base or area and not the same (linear) b we use in triangles.

Oblique Prisms and cylinders have the same volume as a right prism or cylinder with the same height and base area. Think of a stack of paper whose top has been pushed to one side. The stack is no longer vertical. However, the volume of paper hasn't changed. In the formula for finding the volume of an oblique prism please note that the height is the perpendicular segment between the top and bottom bases. When you learn calculus you will discover the surface area of a sphere to be the derivative with respect to r of the sphere's volume formula. A similar thing happens between area of a circle and its circumference. This may be happenstance or there may be a deep reason which I'd like to know.

Example: A favorite volume/surface area problem is as follows. A swimming pool is 24' long, 20' wide, 3' deep at the shallow end, and 10' deep at the deep end. The floor slopes evenly. What is the inside surface of the swimming pool and what is the volume (in gallons)?

Answer: The swimming pool is a trapezoidal prism. The floor is 25 feet long since 10' - 3' = 7' and 7 2 +24 2 = 49 + 576 = 625 = 25 2 . The surface area is the sum of 5 surfaces: 2 congruent trapezoidal sides (½(3+10)㩌), 2 rectangular ends (3㩈 + 10㩈), and the bottom (20㩍). This is 2𤚤 + 60 + 200 + 500 = 1072 feet 2 . The volume is Base × height, where Base is the area of one side (½(3+10)㩌), and the height is the width of the pool (20). Thus the volume is 3120 feet 3 or 23339 gallons (multiply by 12 3 cubic inches per cubic foot and divide by 231 cubic inches per gallon).

A gedanken experiment (thought experiment) used to justify the volume formula for a sphere is as follows. First, remember the circle area activity where we cut the circle into 16 wedges, then rearranged the wedges into a r × r parallelogram. Along the same lines, cut a sphere into pyramids. The total area of the bases of these pyramids is 4 r 2 . The height of each is r . Hence the formula is derived. Along the same lines, some have suggested remembering the 1/3 in conal volume formulae by correlating it to the analoguous two dimensional trianglular area formula which has a 1/2 in it.

Given two solids included between parallel planes. If every plane cross section parallel to the given planes has the same area in both solids, then the volumes of the solids are equal. This is know as Cavalieri's Principle .

The Greek Archimedes is one of the three greatest mathematicians of all time. Among his important discoveries is the relationship between the volumes of the cone, sphere, and cylinder. In fact, this discovery was so much his favorite that he requested it to be inscribed on his tombstone. Specifically, consider a sphere of radius r , two cones each with the same radius and height ( r ), and a cylinder with the same radius and height (2 r ). The cylinder will contain either the two cones or the sphere. Their volumes can easily be seen to be (4/3) r 3 , 2(1/3) r 3 , and 2 r 3 . Thus the cones plus the sphere equals the cylinder exactly. (Actually, Archimedes is more commonly credited with showing the sphere's volume to be 2/3's that of the cylinder.) See the corresponding diagrams in the textbook related to the proof of Cavalieri's Principle.

Example: Question 10.2#24 in our text asked the students about cones made from circles (radius 4") with central angles of 45°, 60°, and 120° removed (which got taped to the board amid Madonna jokes). Perform the following. Find the volume of each cone. Find the central angle which maximizes volume. Find the central angle which maximized volume to surface ratio.

Answer: For bonus points hand in your solution by the time the chapter reviews are due.


CALC 2: Area of a Surface of Revolution: x=y+y^3 from 0 to 4

Hi, so I'm having trouble with one of my online calc homework..

Consider the following.
x=y+y^3 from 0 to 4
(a) Set up an integral for the area of the surface obtained by rotating the curve about the x-axis and the y-axis.
(i) the x-axis, the answer is S= 2piy(sqrt((3y^2+1)^2)+1)dy
(ii) the y-axis, the answer is S= 2pi(y^3+y)sqrt((3y^2+1)^2+1)dy

(b) Use the numerical integration capability of a calculator to evaluate the surface areas correct to four decimal places.
(i) the x-axis, the answer is 1258.6212
(ii) the y-axis, I'm really stuck on how to take the integral. I used wolfram to show how they did it, but I don't understand how they got it! I would really like to understand how to do this problem!

Subhotosh Khan

Super Moderator

Hi, so I'm having trouble with one of my online calc homework..

Consider the following.
x=y+y^3 from 0 to 4
(a) Set up an integral for the area of the surface obtained by rotating the curve about the x-axis and the y-axis.
(i) the x-axis, the answer is S= 2piy(sqrt((3y^2+1)^2)+1)dy
(ii) the y-axis, the answer is S= 2pi(y^3+y)sqrt((3y^2+1)^2+1)dy

(b) Use the numerical integration capability of a calculator to evaluate the surface areas correct to four decimal places.
(i) the x-axis, the answer is 1258.6212
(ii) the y-axis, I'm really stuck on how to take the integral. I used wolfram to show how they did it, but I don't understand how they got it! I would really like to understand how to do this problem!

Please share your work with us . even if you know it is wrong

If you are stuck at the beginning tell us and we'll start with the definitions.

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