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Cálculo Integral - Matemática


Cálculo integral o ramo do cálculo relacionado com a determinação de integrais e sua aplicação à solução de equações diferenciais, a determinação de áreas e volumes, e outras aplicações.


Programa de Matemática 1540: “Cálculo Integral & quot

Matemática 1530 (Cálculo Diferencial) e Matemática 1540 (Cálculo Integral) são cursos de 3 horas que, juntos, cobrem o material de Matemática 1550 de 5 horas (Cálculo Diferencial e Integral), que é um curso introdutório de cálculo projetado principalmente para alunos de engenharia e alguns outros cursos técnicos.

Presume-se que o aluno de Matemática 1540 conheça os limites e derivados de funções polinomiais, exponenciais, logarítmicas e trigonométricas, até a seção 4.5 do texto de Stewart (abaixo). Nenhuma exposição anterior ao cálculo integral é assumida pelos instrutores desta classe (embora muitos alunos tenham feito cálculo integral antes). O teste e a avaliação de cada classe ficam inteiramente a critério do instrutor. Não existe nenhuma política departamental sobre o uso de calculadoras sofisticadas no Math 1540, sendo que a decisão é deixada para o instrutor.

Habilidades básicas que os alunos devem adquirir durante o curso

  • Diferenciação
    1. Resolva problemas básicos de otimização
  • Integração
    1. Compreenda os anti-derivados e conheça as fórmulas básicas dos anti-derivados
    2. Ter uma compreensão da Integral de Riemann como um limite das somas de Riemann
    3. Ser capaz de usar ambas as partes do Teorema Fundamental
    4. Avalie integrais definidos usando substituição
    5. Encontre a área entre duas curvas e os volumes de sólidos de revolução
    6. Encontre comprimentos de arco e áreas de superfícies de revolução
    7. Compreenda o Teorema do Valor Médio para Integrais

Texto Matemático 1540: "Calculus, Early Transcendentals," 8th Edition, por James Stewart

Um programa específico de seção por seção para o texto e comentários de Stewart é mostrado abaixo. Um conjunto recomendado de problemas de lição de casa não é fornecido. O livro tem uma ampla gama de problemas, desde o nível de perfuração até a análise conceitual. O instrutor deve atribuir uma ampla gama de problemas de cada seção. Não se limite a atribuir problemas de perfuração. Os problemas desafiadores não rotineiros devem fazer parte de cada tarefa de casa.


Principiante

Gráficos / desenhos de engenharia

Principiante

Engenharia Matemática - Equações Diferenciais Ordinárias de 1ª Ordem

Principiante

Matemática de Engenharia - Soluções Numéricas de ODE de 2ª Ordem e Cálculo de Variações

Principiante

Engenharia Matemática - Infinite & amp Power Series

Principiante

Engenharia Matemática - Equações diferenciais parciais

Principiante

Engenharia Matemática - Funções Complexas e Funções Analíticas

Principiante

Engenharia Matemática - Álgebra Linear

Principiante

Matemática de Engenharia - Cálculo Diferencial

Principiante

Curso intensivo com PYQs em matemática de engenharia - cálculo diferencial, funções complexas, PDEs

Principiante

Curso intensivo do programa C em hindi

Principiante

Crash Course com PYQs em Engenharia Matemática - Fourier, Transforms, Numerical sol. de ODEs

Principiante

Curso intensivo de algoritmos

Principiante

Curso intensivo de estruturas de dados

Principiante

Crash Course com PYQs em Engg. Matemática - Ajuste de Curva, Vetores, Integração Complexa


Cálculo integral

Nessas lições, apresentamos uma notação para antiderivadas chamada Integral Indefinido. Também fornecemos uma lista de fórmulas de integração que seria útil conhecer.

Integrais indefinidos

A notação é usada para uma antiderivada de f e é chamada de integral indefinida.

A seguir está uma tabela de fórmulas dos Integrais Indefinidos comumente usados. Você pode verificar qualquer uma das fórmulas diferenciando a função no lado direito e obtendo o integrando. Role a página para baixo se precisar de mais exemplos e soluções passo a passo de integrais indefinidos.

Tabela de fórmulas integrais indefinidas

Exemplo:
Encontre a integral indefinida geral.

Integrais definidos e integrais indefinidos

A conexão entre o integral definido e o integral indefinido é dada pela segunda parte do Teorema Fundamental do Cálculo.

Se f é contínuo em [a, b], então

Observe que uma integral definida é um número, enquanto uma integral indefinida é uma função.

Exemplo:
Avalie

Definição de integrais indefinidos

Uma integral indefinida é uma função que toma a antiderivada de outra função. É visualmente representado como um símbolo integral, uma função e, em seguida, um dx no final. A integral indefinida é uma maneira mais fácil de simbolizar tomando a antiderivada. A integral indefinida está relacionada à integral definida, mas as duas não são iguais.

Antiderivados e integrais indefinidos

Exemplo:
Qual é a derivada de 2x? Isso é o mesmo que obter a antiderivada de 2x ou a integral indefinida de 2x.

Integrais indefinidos

Integrais indefinidas são funções que fazem o oposto do que as derivadas fazem. Eles representam a tomada de antiderivadas de funções.

Uma fórmula útil para resolver integrais indefinidas é que a integral de x elevado à enésima potência é um dividido por n + 1 vezes x elevado a n + 1 potência, tudo mais um termo constante.

Integrais indefinidos, exemplos passo a passo

Etapa 1: adicione um ao expoente
Passo 2: Divida pelo mesmo.
Etapa 3: adicionar C

Exemplo:
∫3x 5, dx

Integral mais indefinido, passo a passo, exemplos: com raiz quadrada

Exemplo:
∫3√x, dx

Integral mais indefinido, passo a passo, exemplos: x no denominador

Exemplo:
∫6 / x 4, dx

Integrais indefinidos complicados

Nem todas as integrais indefinidas seguem uma regra simples. Alguns são um pouco mais complicados, mas podem ser facilitados lembrando-se de seus derivados. Essas integrais indefinidas complicadas incluem a integral de uma constante (a constante vezes x), a integral de e x (e x) e a integral de x -1 (ln [x]).

Integração indefinida (polinomial, exponencial, quociente)

Como determinar as antiderivadas usando fórmulas de integração?

Fórmulas Básicas de Integração

Aqui estão algumas fórmulas de integração básicas que você deve conhecer.

Integral definida

O Integral Definido - Compreendendo a Definição.

Calculando um Integral Definido Usando Soma de Riemann - Parte 1

Este vídeo mostra como configurar uma integral definida usando somas de Riemann. As somas de Riemann serão calculadas na Parte 2.

Calculando um Integral Definido Usando Soma de Riemann - Parte 2

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Guia de estudo rápido de cálculo integral

O que isso diz é que se quisermos a integral da função externa, para fazê-la funcionar, temos que nos certificar de que o que estamos integrando de alguma forma tem um fator que é a derivada da função interna. (Podemos “enganar” o integrando para que tenha esse fator.)

Fórmula de simplificação U-sub:

Teorema Fundamental do Cálculo:

2º Teorema Fundamental do Cálculo:

O que isso diz é que, se você tiver duas funções cujos limites atendam às condições acima, você pode pegue a derivada da função superior e da função inferior (separadamente) repetidamente até conseguir limites que “funcionam”.

Definição da área de uma região por um limite:

Seja (f ) contínuo e acima do eixo (y ) - (não negativo) no intervalo ( left [ certo]).

O área da região limitado por (f ), o eixo (x ) e as linhas verticais em (x = a ) e (x = b ) é:

A regra trapezoidal:

Teorema do valor médio para integrais:

Para uma função (f ) que é contínua em intervalo fechado ( left [ direita] ), existe pelo menos um número (c ) nesse intervalo fechado tal que ( int limites_ ^<> left ( certo)).

Valor médio de uma função:

Se uma função (f ) é integrável em um intervalo fechado ( left [ right] ), então o valor médio nesse intervalo é: ( displaystyle frac <1> << left ( direita) >> int limits_ ^<>).

Para lembrar disso, pense Integral no intervalo: Valor médio = . ( displaystyle frac << int limits_ ^<>>><> = , , frac << text>> << text>>).

  • Para Integração como mudança acumulada problemas, normalmente temos avaliar (velocidade) no y -eixo e Tempo no x -eixo. O mudança é a área sob a curva, ou o integrante da função de velocidade. Por exemplo, podemos ter ( require displaystyle frac << text>> << cancelar << text>>>> text <(> y text <-axis)> , , times , , cancel << text>> text <(> x text <-axis)> , , = text ).
  • O Velocidade média pode ser obtido pela fórmula “Integral Over Interval”: Velocidade Média do tempo uma para o tempo b é ( displaystyle frac << int limits_ ^<>>> << left ( right) >> = frac <1> << left ( direita) >> int limits_ ^<> ), onde (f left (x right) ) é uma função da velocidade versus tempo.
  • O distância total percorrida (até onde vamos e voltamos) é ( int limits_ ^<< left | <, v left (x right)> right | >> dx ), enquanto o deslocamento total (onde estamos em uma linha, em comparação com onde começamos) é ( int limits_ ^<> , dx ).
  • O Integral Definido da taxa de crescimento populacional de uma função dá a mudança total na população.
  • A integral definida da derivada de uma função dá a mudança acumulada.
  • Integral definido da velocidade de uma função dá a mudança total na posição.
  • A integral definida da aceleração de uma função dá a mudança total na velocidade.
  • Quando a velocidade é positiva, um artigo está se movendo para a direita, quando é negativo, ele está se movendo para a esquerda e quando é 0, está parado.

Integral definido como a área de uma região:

Deixar f seja contínuo e acima do y -eixo (não negativo) no intervalo ( left [ certo]). A área da região delimitada por (f ), o eixo (x ) e linhas verticais em x = uma e x = b (limites inferior e superior) é: ( text= int limits_ ^<> , dx ).

Observação: A área da região representada por um integral só é aplicável se a região no intervalo for totalmente acima de x -eixo (positivo (y )). Qualquer região abaixo do eixo (x ) representa uma “área negativa”.

Fórmula de crescimento exponencial e decaimento:

Para uma função (y> 0 ) que é uma função diferenciável de t, e (’= Ky ),

C é o valor inicial de y , k é a constante de proporcionalidade. Para (k> 0 ), temos crescimento exponencial, e para (k & lt0 ), temos decaimento exponencial.

Área da região entre duas curvas:

Para funções f e g onde (f left (x right) ge g left (x right) ) para todos x em ( left [ direita] ), a área da região delimitada pelos gráficos e pelas linhas verticais x = uma e x = b é: ( text= int limits_ ^ << left [ right] >> , dx ).

Volumes de sólidos: o método do disco:

Volumes de sólidos: o método do lavador:

Volumes de sólidos: O método da casca:

Integração por partes:

Para funções você e v que são funções de x com derivadas contínuas, então:

Lembrar LIATE ao tentar escolher o que escolher você (nesta ordem): euogarítmico, euinverso Trigonométrica, UMAlgébrico, Trigonométrica e EFunções xponenciais


Cálculo Integral - Matemática

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Conteúdo

  1. Limites e gráficos (11 minutos, SV3 & raquo 39 MB, H.264 & raquo 14 MB)
    O conceito de limite de um ponto de vista gráfico e intuitivo. Limites do lado esquerdo e direito. Limites unilaterais infinitos e assíntotas verticais.

Extras para & # 8220 Transcendentais iniciais & # 8221
ET1. e x e ln x (25 minutos, SV3 & raquo 70 MB, H.264 & raquo 25 MB)
ET2. Funções Trig Inversas (19,5 minutos, SV3 & raquo 52 MB, H.264 & raquo 20 MB)
ET3. Funções hiperbólicas e hiperbólicas inversas


As origens do cálculo diferencial e integral - 2

Uma pessoa que pode ter desempenhado um papel significativo na introdução de Newton aos conceitos do cálculo é o matemático inglês Isaac Barrow (1630-77). Ele foi professor de matemática em Cambridge de 1663 até 1669. Seu sucessor na cátedra foi Newton. Barrow era principalmente um geômetra que seguia as tradições dos antigos gregos. No entanto, por volta de 1664 ele se interessou pelo problema de encontrar tangentes a curvas e desenvolveu uma abordagem envolvendo pontos e linhas móveis. Em suas palestras na universidade em Cambridge, que foram publicadas posteriormente, ele deu sua própria generalização dos procedimentos tangentes e de área com base em sua extensa leitura das obras de notáveis ​​matemáticos contemporâneos como Descartes, Wallis, Fermat e especialmente o matemático escocês James Gregory, que é considerado um importante precursor de Newton. As palestras continham ideias que poderiam ter sido exploradas, mas provavelmente não foram estudadas fora de Cambridge.

Tem sido uma questão de muita conjectura se Newton foi, em algum sentido, um aluno de Barrow. Sempre foi assumido que ele foi influenciado por Barrow, já que ele estava trabalhando em Cambridge na época das palestras de Barrow sobre tangente e problemas de área. Além disso, os primeiros grandes avanços de Newton nos fundamentos do cálculo datam de 1664-65, que é a época em que Barrow estudou pela primeira vez os problemas subjacentes ao cálculo. É claro que a noção de Barrow de gerar curvas pelo movimento dos pontos foi importante para a fundação de Newton do cálculo diferencial, mas no geral Newton negou qualquer influência direta de Barrow.

Voltamo-nos agora para estudar o trabalho da pessoa geralmente considerada a primeira a desenvolver o cálculo de forma sistemática e ver a conexão entre os processos diferenciais e integrais. Issac Newton (1642-1727) nasceu no dia de Natal de 1642 em Lincolnshire, Inglaterra. Seu pai já havia morrido em outubro de 1642 e acredita-se que a falta de um pai tenha afetado a personalidade de Newton. Newton morava em Woolsthorpe, perto de Grantham, em uma casa que ainda pode ser visitada. Ele frequentou uma escola primária em Grantham, onde aprendeu latim, mas pouca matemática. Sua mãe pretendia que ele se tornasse um fazendeiro, mas ele não mostrou aptidão para o trabalho agrícola. Em vez disso, ele foi enviado para a Universidade de Cambridge em 1661, onde se formou em 1665.

Ainda na graduação, ele estudou o La Geometrie em uma tradução latina, bem como no de Wallis Arithmetica infinitorum e a filosofia de Aristóteles. Ele também leu Euclides Elementos mas não ficou impressionado com isso inicialmente. Em 1665, a universidade foi fechada por causa da peste, e Newton passou a maior parte dos 18 meses seguintes em Lincolnshire. Foi nessa época que Newton fez quatro descobertas fundamentais:

• o teorema binomial geral

• a conexão entre os métodos usados ​​em problemas tangentes e de área (o teorema fundamental do cálculo)

• a lei da gravitação universal

• a teoria da composição da luz branca.

O episódio da queda da maçã, que teria ocasionado a noção de gravitação, ocorreu em sua casa em Lincolnshire, declarou Newton mais tarde.

Em 1667, foi eleito Fellow do Trinity College, Cambridge, e em 1669, aos 26 anos, tornou-se professor de matemática na Universidade de Cambridge. Isaac Barrow, seu antecessor como professor, teria renunciado em favor de Newton, embora também buscasse promoção nos círculos clericais de Londres. Nos próximos dez ou mais anos, Newton deu palestras universitárias em ótica, aritmética e álgebra, e partes do que se tornou seu Principia. Muito deste trabalho foi publicado posteriormente e provou ser extremamente influente, embora seja relatado que suas palestras foram em grande parte não assistidas e não apreciadas. Na década de 1690, depois de publicar seu trabalho fundamental, ele aparentemente perdeu o interesse pela matemática e, eventualmente, deixou Cambridge para se tornar Mestre da Casa da Moeda em Londres.

Ele ainda, no entanto, encontrou tempo para revisar e publicar outras partes de seu trabalho e se envolver em correspondência científica e controvérsia.

Como já mencionamos, Newton estudou especialmente a La Geometrie e Wallis Arithmetica infinitorum, que influenciou fortemente seu trabalho em geometria analítica e álgebra, e em cálculo. Ele também estudou o trabalho de Fermat e James Gregory. No início de 1665, Newton descobriu o teorema binomial geral. Ele lembrou mais tarde:

No inverno dos anos 1664 e 1665, após a leitura do Dr. Wallis Arithmetica Infinitorum & amp tentando interpolar suas progressões para quadrar o círculo, descobri outra série infinita para quadrar o círculo e depois outra para quadrar a Hipérbole.

Aqui, elevar o círculo ao quadrado significa encontrar a área de um círculo ou, na verdade, calcular a integral

sem assumir conhecimento de р. Ao ler o trabalho de Wallis em encontrar áreas, Newton foi levado a entender que o integrando $ sqrt <1-x ^ 2> $ poderia ser expandido como uma série infinita e

a integral indefinida geral

também pode ser expressa por integração termo a termo como

James Gregory aplicou ideias semelhantes na avaliação

expandindo (1 + x 2) -1 como uma série geométrica infinita, obtendo assim uma série tan inversa.

Newton também descobriu a representação da série infinita para a função sin -1 x, e para $ log (1 + x) = x - frac <2> + frac <3> - frac <4> cdot cdot cdot $

Ele usou sua fórmula para calcular valores especiais da função log, dando áreas sob uma hipérbole, com cinquenta ou mais casas decimais. Os manuscritos sobreviventes mostram que Newton era uma calculadora formidável, bem capaz de testar a precisão de seus resultados teóricos. Por aí

$ int limits_0 ^ 1 sqrt <1-x ^ 2> dx int sqrt <1-x ^ 2> dx int frac <1> <1 + x ^ 2> dx $

ao mesmo tempo, Newton desenvolveu um procedimento de diferenciação baseado no conceito de um aumento infinitesimalmente pequeno o, que finalmente desaparece, de uma variável x. Eventualmente, ele se estabeleceu na noção de uma fluxão da variável, o que significa uma velocidade instantânea finita definida em relação a uma variável de tempo independente. Em nossos termos, a fluxão de x em relação à variável de tempo t é $ frac

$, que é a velocidade em termos físicos. Mais tarde ele

introduziu a notação $ dot < bf for> frac

, ddot < bf for> frac$, e assim por diante, que foi mantido para

alguma extensão na dinâmica. Ele também inventou a ideia de derivadas parciais de uma função de duas variáveis ​​independentes em 1665, embora, novamente, sua notação fosse muito diferente daquela que evoluiu posteriormente.

Entre 1664 e 1666, Newton foi imensamente criativo matematicamente, mas nos dois anos seguintes seu interesse mudou-se para outro lugar. Em 1669, ele viu uma cópia do livro Logarithmotechnia de Mercator, publicado no final de 1668, no qual a série infinita para log (1 + x) foi dada. Newton de repente percebeu que outras pessoas estavam descobrindo o método das séries infinitas, que ele havia desenvolvido enormemente em 1664-65. Ele, portanto, escreveu um tratado intitulado De analysi per aequationes infinitas. Este tratado foi distribuído a vários matemáticos importantes, para estabelecer a prioridade de descoberta de Newton. O tratado foi escrito à mão e nunca foi impresso, embora uma versão posteriormente tenha aparecido muitos anos depois, incorporada a uma obra maior. Talvez fosse típico de Newton nunca ter feito uma apresentação adequada de seu trabalho no cálculo diferencial, e isso foi parcialmente culpado pela famosa disputa com Leibniz.

Em seu manuscrito De analysi, Newton foi capaz de mostrar que a área sob a curva

introduzindo uma função de área e considerando pequenos incrementos nesta função. Dessa forma, conseguiu demonstrar que o problema da área era o inverso do problema da tangente para curvas, ou, em termos modernos, que integração é o inverso da diferenciação. Embora casos especiais dessa propriedade fossem evidentes no trabalho de matemáticos como James Gregory, Newton foi o primeiro a explorá-la sistematicamente, especialmente por meio do uso de séries infinitas.

Newton mudou sua abordagem dos processos limitantes do cálculo ao longo dos anos.

No entanto, como o conceito de limite é sutil e não foi devidamente esclarecido até meados do século 19, Newton sempre foi vulnerável à acusação de que seus argumentos se baseavam na manipulação de quantidades que, em última análise, são definidas como 0, e que ele foi efetivamente dividindo por 0. Claro, em tratamentos elementares do cálculo, onde o processo de limitação é descrito mais ou menos intuitivamente, virtualmente os mesmos argumentos que os de Newton ainda são usados ​​hoje.

Como mencionamos anteriormente, Newton nunca publicou um relato independente de sua teoria do cálculo. Em sua obra-prima Philosophiae naturalis principia mathematica (Princípios matemáticos da filosofia natural), publicada em 1687, ele fez uso de algumas de suas ideias de cálculo de derivados, embora a maior parte da ênfase seja dada aos métodos geométricos e não aos algébricos. (Antigamente, pensava-se que Newton tinha aversão ao uso da álgebra, especialmente em seu trabalho publicado, mas os manuscritos existentes mostram que ele usava livremente a álgebra em seus cálculos.) O Principia (como é geralmente chamado) está preocupado principalmente com a física e astronomia, e sua intenção é mostrar como as leis do movimento e a lei do inverso do quadrado da gravitação nos permitem descrever o funcionamento do sistema solar com muita precisão. É interessante notar que, nas duas primeiras edições dos Principia, Newton reconheceu que Leibniz havia descoberto independentemente uma versão do cálculo, mas após a acrimônia de sua disputa, todas as referências a Leibniz foram removidas da terceira edição do 1726.

Como aludimos em nossa descrição até agora, a outra pessoa reconhecida como o principal descobridor do cálculo é Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716). Ele nasceu em Leipzig, na Alemanha. Na universidade, ele estudou uma ampla gama de tópicos, incluindo direito, teologia, filosofia e matemática. Como Descartes, ele estava determinado a encontrar um procedimento universal de raciocínio, aplicável a praticamente todas as disciplinas acadêmicas. (Ele estava interessado em inventar uma álgebra da lógica, algo que George Boole posteriormente introduziu em seu livro The Laws of Thought, publicado em 1854.) Essa abordagem abstrata do raciocínio provavelmente garantiu que sua versão do cálculo fosse sistemática e algorítmica, ao contrário da de Newton . Grande parte da carreira de Leibniz foi passada no serviço diplomático dos governantes de Hanover, o que lhe permitiu visitar muitos dos centros intelectuais da Europa, incluindo Paris no início da década de 1670. Ele visitou Londres em 1673 e 1676 e provavelmente viu o manuscrito do De analysi de Newton durante suas estadas.

Por volta de 1673, Leibniz percebeu que a determinação da tangente a uma curva dependia da razão entre a diferença dos valores de y (as ordenadas) e a diferença de

os valores a (abscissas), pois essas diferenças se tornam infinitesimalmente pequenas. Ele também percebeu que a área sob uma curva é encontrada pela soma das áreas de retângulos infinitamente finos. Como Newton, ele foi levado a ver o papel da série infinita (possivelmente influenciada pela De analista). Em 1676, ele havia obtido essencialmente todas as conclusões um pouco anteriores de Newton. Ele viu, além disso, que seus procedimentos podiam lidar não apenas com simples poderes de x mas também com as chamadas funções transcendentais, como log a e sin a.

Devemos a Leibniz muito da notação familiar do cálculo, e é geralmente aceito que a exposição de Leibniz do cálculo e seus processos fundamentais foi muito mais clara e facilmente usada do que a de Newton. Ele finalmente decidiu sobre o uso de dx e tingir para o menor possível x e y aumenta (às vezes são chamados de diferenciais). Da mesma forma, ele introduziu $ int y < bf e> int y dx $

para encontrar área, o J sinal surgindo como um ampliado s, soma significativa. O cálculo diferencial tornou-se o método para encontrar tangentes e o cálculo summatorius ou cálculo integral o método para encontrar áreas.

Leibniz foi a primeira pessoa a publicar um relato completo do cálculo diferencial. Seu papel era intitulado Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus. Apareceu em um importante jornal, Ada Eruditorum, publicado em Leipzig em 1684. Este jornal foi uma importante fonte de notícias na ciência, onde resenhas de livros como o de Newton Principia manteve seus leitores atualizados com as ideias mais recentes. Em seu artigo, Leibniz usou o d notação para derivados (ou diferenciais). Ele declarou claramente a regra do produto no formulário

onde a barra denota o produto, e a regra de quociente como

Ele também deu a regra para diferenciar poderes como

Em 1686, na mesma revista, Leibniz deu conta do cálculo integral, enfatizando a natureza inversa dos procedimentos de integração e diferenciação. A apresentação de Leibniz do cálculo diferencial provou ser influente, pois ele logo encontrou seguidores como os irmãos Bernoulli, que foram capazes de estender o alcance de suas aplicações significativamente.

Pode ser interessante examinar que comunicação existia entre Newton e Leibniz nos anos em que Leibniz estava aperfeiçoando seu cálculo diferencial. Em 1676, em resposta a um pedido de Leibniz, Newton escreveu a ele para dar breves detalhes de sua teoria do cálculo. Em 27 de agosto do mesmo ano, Leibniz respondeu a ele pedindo mais detalhes sobre o assunto. Newton respondeu em 24 de outubro de 1676 em uma longa carta, descrevendo como ele havia sido levado a algumas de suas descobertas. Ele interpolou os resultados de Wallis e, trabalhando por analogia, viu como expandir funções como

em séries infinitas. Ele então deduziu (ou adivinhou) o teorema binomial geral. Nessa mesma carta, Newton mencionou seu método de fluxões, mas não deu detalhes. Ele também listou algumas das funções que poderia integrar, permitindo-lhe encontrar áreas correspondentes. Estes incluíam

Newton concluiu expressando pesar sobre a controvérsia decorrente de suas publicações de pesquisa anteriores, com a implicação de que ele pretendia publicar pouco no futuro. Leibniz respondeu em 21 de junho de 1677. Ele descreveu seu método de desenhar tangentes, que não se processava por fluxões de linhas, mas por diferenças de números. Ele também introduziu sua notação de dx e dy para diferenças infinitesimais ou diferenciais de coordenadas.

Embora o cálculo diferencial de Leibniz pareça bastante familiar aos modernos estudantes de matemática, o mesmo não pode ser dito do cálculo fluxional de Newton, que parece desnecessariamente complicado. Tentaremos descrever brevemente como o cálculo de Newton procedeu. Ele presumiu que podemos conceber todas as magnitudes geométricas como geradas por movimento contínuo - por exemplo, uma linha é gerada pelo movimento de um ponto, etc. A quantidade assim gerada é chamada de quantidade fluente ou fluente. A velocidade da magnitude em movimento é a fluxão do fluente. Então surgem dois problemas. O primeiro é encontrar a fluxão de uma dada quantidade, ou mais geralmente a relação dos fluentes sendo dados, para encontrar a relação de suas fluxões. Isso é semelhante à diferenciação implícita. O segundo método é o método inverso das fluxões: da fluxão, ou alguma relação que a envolve, para encontrar o fluente. Isso equivale ao que chamamos de integração, possivelmente de uma equação diferencial. Newton se referiu a esses procedimentos como o método da quadratura e o método inverso das tangentes. A parte infinitamente pequena pela qual um fluente como x aumentava em um pequeno intervalo de tempo o era chamada de momento do fluente e seu valor era mostrado para

ser boi. Dado x, Newton denotou o fluente cuja fluxão foi x de x ' ou [x]. Isso é o mesmo que a integral de x (mas não com respeito a x). Posteriormente, os métodos de Newton foram ensinados em Cambridge por mais de 100 anos, e a palavra fluxão foi mantida. As explicações dadas para os procedimentos foram geralmente vagas e pouco convincentes. Não foi até quase 1820 que a notação de Leibniz de dx e o sinal integral começou a aparecer em livros e jornais de matemática britânicos.

Entre 1689 e 1693, Newton caiu sob a influência de um matemático suíço pouco conhecido chamado Nicholas Fatio de Duillier (1664-1753), que se mudou para a Inglaterra em 1687. Mais tarde, em 1693, Newton sofreu o que parecia ter sido um nervosismo demolir. Após sua recuperação, Newton decidiu abandonar sua carreira em Cambridge, devotado à pesquisa e descoberta científica, e buscou fama mais mundana em Londres como Warden of the Mint em 1696. No entanto, Newton ficou alarmado quando informado por John Wallis em 1695 que muitos continentes os matemáticos consideraram o cálculo como uma invenção de Leibniz sozinho, talvez com base em suas exposições do assunto em Ada Eruditorum. Em apoio a Newton, Duillier publicou um artigo por meio da Royal Society of London em 1699 no qual implicava que Leibniz havia plagiado as idéias do cálculo de Newton. Em 1704, Leibniz respondeu no Ada Eruditorum que tinha prioridade de publicação, e protestou junto à Royal Society sobre a injustiça da acusação de plágio. A Royal Society finalmente respondeu estabelecendo um comitê para investigar a disputa. Em 1712, o comitê publicou suas conclusões em um relatório intitulado Commercium epistolicum. O relatório afirmava que Newton havia inventado o cálculo, ponto que não é seriamente contestado nem mesmo por Leibniz. O relatório também observou que Leibniz teve acesso na década de 1670 a manuscritos e cartas que descreviam a versão preliminar de Newton do cálculo (por exemplo, De analista), para que as suspeitas de plágio não fossem totalmente descartadas. Tornou-se aparente que o Commercium epistolicum foi essencialmente o próprio trabalho de Newton - ele ditou as conclusões que o comitê relatou.

A disputa de prioridade foi dominada por preocupações nacionalistas, os matemáticos britânicos estavam especialmente interessados ​​em defender a honra de Newton e proclamar seu gênio como um reflexo da superioridade britânica. Como consequência, as vantagens da notação de Leibniz, subsequentemente desenvolvida pelos Bernoullis e Euler, foram ignoradas na Grã-Bretanha e, por prestar muita deferência a Newton, a matemática estagnou lá até o início do século XIX. A disputa foi liderada na Grã-Bretanha, embora secretamente, pelo próprio Newton, e ele parece ter querido remover todos os registros das realizações de Leibniz.


Integrante

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integrante, em matemática, um valor numérico igual à área sob o gráfico de uma função para algum intervalo (integral definida) ou uma nova função cuja derivada é a função original (integral indefinida). Esses dois significados estão relacionados pelo fato de que uma integral definida de qualquer função que pode ser integrada pode ser encontrada usando a integral indefinida e um corolário do teorema fundamental do cálculo. The definite integral (also called Riemann integral) of a function f(x) is denoted as (see integration [for symbol]) and is equal to the area of the region bounded by the curve (if the function is positive between x = uma e x = b) y = f(x), the x-axis, and the lines x = uma e x = b. An indefinite integral, sometimes called an antiderivative, of a function f(x), denoted by />is a function the derivative of which is f(x) Because the derivative of a constant is zero, the indefinite integral is not unique. The process of finding an indefinite integral is called integration.

The Editors of Encyclopaedia Britannica This article was most recently revised and updated by Adam Augustyn, Managing Editor, Reference Content.


Applications of Integral Calculus to Business

18.1 INTRODUCTION

The process of evaluating an integral of a function is called integration. Integration is also the inverse process of differentiation.

Then f(x) is said to be an integral or an anti-derivative or a primitive of g(x) The same can be expressed in the form

where ∫ is the symbol for integration, g(x) is the integrand and dx integration with respect to x: f(x) - outcome.

The function to be integrated is referred to as integrand. The element dx is known as the element of integration and it specifies that variable with respect to which the given function is to .

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