Artigos

13.E: Funções com valor vetorial (exercícios)


13.1: Funções com valor vetorial e curvas de espaço

Dê as funções de componente ( mathrm {x = f (t)} ) e ( mathrm {y = g (t)} ) para a função de valor vetorial ( mathrm {r (t) = 3 sec t mathbf {i} +2 tan t mathbf {j}} ).

( mathrm {f (t) = 3 sec t, g (t) = 2 tan t} )

Dado ( mathrm {r (t) = 3 sec t mathbf {i} +2 tan t mathbf {j}} ), encontre os seguintes valores (se possível).

  1. ( mathrm {r ( frac { pi} {4})} )
  2. ( mathrm {r ( pi)} )
  3. ( mathrm {r ( frac { pi} {2})} )

Esboce a curva da função de valor vetorial ( mathrm {r (t) = 3 sec t mathbf {i} +2 tan t mathbf {j}} ) e dê a orientação da curva. Esboce assíntotas como um guia para o gráfico.

Avalie ( mathrm { lim limits_ {t to 0} ⟨e ^ t mathbf {i} + frac { sin t} {t} mathbf {j} + e ^ {- t} mathbf {k}⟩} )

Dada a função de valor vetorial ( mathrm {r (t) = ⟨ cos t, sin t⟩} ) encontre os seguintes valores:

  1. ( mathrm { lim limits_ {t to frac { pi} {4}} r (t)} )
  2. ( mathrm {r ( frac { pi} {3})} )
  3. É ( mathrm {r (t)} ) contínuo em ( mathrm {t = frac { pi} {3}} )?
  4. Gráfico ( mathrm {r (t)} ).

uma. ( mathrm {⟨ frac { sqrt {2}} {2}, frac { sqrt {2}} {2}} )⟩, b. ⟨ ( Mathrm { frac {1} {2}, frac { sqrt {3}} {2}} )⟩, c. Sim, o limite como t aproxima-se ( mathrm { frac { pi} {3}} ) é igual a ( mathrm {r ( frac { pi} {3})} ), d.

Dada a função de valor vetorial ( mathrm {r (t) = ⟨t, t ^ 2 + 1⟩} ), encontre os seguintes valores:

  1. ( mathrm { lim limits_ {t to -3} r (t)} )
  2. ( mathrm {r (−3)} )
  3. É ( mathrm {r (t)} ) contínuo em ( mathrm {x = −3} )?
  4. ( mathrm {r (t + 2) −r (t)} )

Seja ( mathrm {r (t) = e ^ t mathbf {i} + sin t mathbf {j} + ln t mathbf {k}} ). Encontre os seguintes valores:

  1. ( mathrm {r ( frac { pi} {4})} )
  2. ( mathrm { lim limits_ {t to frac { pi} {4}} r (t)} )
  3. É ( mathrm {r (t)} ) contínuo em ( mathrm {t = t = frac { pi} {4}} )?

uma. ⟨ ( Mathrm {e ^ { frac { pi} {4}}, frac { sqrt {2}} {2}, ln ( frac { pi} {4})} )⟩ ; b. ⟨ ( Mathrm {e ^ { frac { pi} {4}}, frac { sqrt {2}} {2}, ln ( frac { pi} {4})} )⟩ ; c. sim

Encontre o limite das seguintes funções com valor vetorial no valor indicado de t.

( mathrm { lim limits_ {t to 4} ⟨ sqrt {t − 3}, frac { sqrt {t} −2} {t − 4}, tan ( frac { pi} {t})⟩} )

( mathrm { lim limits_ {t to frac { pi} {2}} r (t)} ) para ( mathrm {r (t) = e ^ t mathbf {i} + sin t mathbf {j} + ln t mathbf {k}} )

( mathrm {⟨e ^ { frac { pi} {2}}, 1, ln ( frac { pi} {2})⟩} )

( mathrm { lim limits_ {t to infty} ⟨e ^ {- 2t}, frac {2t + 3} {3t − 1}, arctan (2t)⟩} )

( mathrm { lim limits_ {t to e ^ 2} ⟨t ln (t), frac { ln t} {t ^ 2}, sqrt { ln (t ^ 2)⟩ }} )

( mathrm {2e ^ 2 mathbf {i} + frac {2} {e ^ 4} mathbf {j} +2 mathbf {k}} )

( mathrm { lim limits_ {t to frac { pi} {6}} ⟨ cos 2t, sin 2t, 1⟩} )

( mathrm { lim limits_ {t to infty} r (t)} ) para ( mathrm {r (t) = 2e ^ {- t} mathbf {i} + e ^ {- t} mathbf {j} + ln (t − 1) mathbf {k}} )

O limite não existe porque o limite de ( mathrm { ln (t − 1)} ) como t aproxima-se do infinito não existe.

Descreva a curva definida pela função de valor vetorial ( mathrm {r (t) = (1 + t) mathbf {i} + (2 + 5t) mathbf {j} + (- 1 + 6t) mathbf {k}} ).

Encontre o domínio das funções com valor vetorial.

Domínio: ( mathrm {r (t) = ⟨t ^ 2, tan t, ln t⟩} )

( mathrm {t> 0, t ≠ (2k + 1) frac { pi} {2}} ), onde k é um inteiro

Domínio: ( mathrm {r (t) = ⟨t ^ 2, sqrt {t − 3}, frac {3} {2t + 1}⟩} )

Domínio: ( mathrm {r (t) = ⟨ csc (t), frac {1} { sqrt {t − 3}}, ln (t − 2)⟩} )

( mathrm {t> 3, t ≠ n pi} ), onde n é um inteiro

Seja ( mathrm {r (t) = ⟨ cos t, t, sin t⟩} ) e use-o para responder às seguintes questões.

Para quais valores de t é ( mathrm {r (t)} ) contínuo?

Esboce o gráfico de ( mathrm {r (t)} ).

Encontre o domínio de ( mathrm {r (t) = 2e ^ {- t} mathbf {i} + e ^ {- t} mathbf {j} + ln (t − 1) mathbf {k} } ).

Para quais valores de t é ( mathrm {r (t) = 2e_S ^ {- t} mathbf {i} + e ^ {- t} mathbf {j} + ln (t − 1) mathbf {k}} ) contínuo?

Tudo t de modo que ( mathrm {t∈ (1, infty)} )

Elimine o parâmetro t, escreva a equação em coordenadas cartesianas e, a seguir, esboce os gráficos das funções com valor vetorial. (Dica: Vamos ( mathrm {x = 2t} ) e ( mathrm {y = t ^ 2} ) Resolver a primeira equação para x em termos de t e substitua este resultado na segunda equação.)

( mathrm {r (t) = 2t mathbf {i} + t ^ 2 mathbf {j}} )

( mathrm {r (t) = t ^ 3 mathbf {i} + 2t mathbf {j}} )

( mathrm {y = 2 sqrt [3] {x}} ), uma variação da função de raiz cúbica

( mathrm {r (t) = 2 ( sinh t) mathbf {i} +2 ( cosh t) mathbf {j}, t> 0} )

( mathrm {r (t) = 3 (custo) i + 3 (sint) j} )

( mathrm {x ^ 2 + y ^ 2 = 9} ), um círculo centrado em ( mathrm {(0,0)} ) com raio 3 e uma orientação anti-horária

( mathrm {r (t) = ⟨3 sin t, 3 cos t⟩} )

Use um utilitário gráfico para esboçar cada uma das seguintes funções com valor vetorial:

[T] ( mathrm {r (t) = 2 cos t ^ 2 mathbf {i} + (2− sqrt {t}) mathbf {j}} )

[T] ( mathrm {r (t) = ⟨e ^ { cos (3t)}, e ^ {- sin (t)}⟩} )

[T] ( mathrm {r (t) = ⟨2− sin (2t), 3 + 2 cos t⟩} )

Encontre uma função com valor vetorial que trace a curva fornecida na direção indicada.

( mathrm {4x ^ 2 + 9y ^ 2 = 36} ); sentido horário e anti-horário

( mathrm {r (t) = ⟨t, t ^ 2⟩} ); da esquerda para a direita

Da esquerda para a direita, ( mathrm {y = x ^ 2} ), onde t aumenta

A linha através P e Q Onde P é ( mathrm {(1,4, −2)} ) e Q é ( mathrm {(3,9,6)} )

Considere a curva descrita pela função de valor vetorial ( mathrm {r (t) = (50e ^ {- t} cos t) mathbf {i} + (50e ^ {- t} sin t) mathbf {j} + (5−5e ^ {- t}) mathbf {k}} ).

Qual é o ponto inicial do caminho correspondente a ( mathrm {r (0)} )?

( mathrm {(50,0,0)} )

O que é ( mathrm { lim limits_ {t to infty} r (t)} )?

[T] Use a tecnologia para esboçar a curva.

Elimine o parâmetro t para mostrar que ( mathrm {z = 5− frac {r} {10}} ) onde ( mathrm {r = x ^ 2 + y ^ 2} ).

[T] Seja ( mathrm {r (t) = cos t mathbf {i} + sin t mathbf {j} +0,3 sin (2t) mathbf {k}} ). Use a tecnologia para representar graficamente a curva (chamada de curva da montanha-russa) no intervalo ( mathrm {[0,2 pi)} ). Escolha pelo menos duas vistas para determinar os picos e vales.

[T] Use o resultado do problema anterior para construir uma equação de uma montanha-russa com uma queda acentuada do pico e uma inclinação acentuada do "vale". Em seguida, use a tecnologia para representar graficamente a equação.

Use os resultados dos dois problemas anteriores para construir uma equação de um caminho de uma montanha-russa com mais de dois pontos de inflexão (picos e vales).

Uma possibilidade é ( mathrm {r (t) = cos t mathbf {i} + sin t mathbf {j} + sin (4t) mathbf {k}} ). Aumentando o coeficiente de t no terceiro componente, o número de pontos de inflexão aumentará.

  1. Represente graficamente a curva ( mathrm {r (t) = (4 + cos (18t)) cos (t) mathbf {i} + (4+ cos (18t) sin (t)) mathbf {j} +0,3 sin (18t) mathbf {k}} ) usando dois ângulos de visão de sua escolha para ver a forma geral da curva.
  2. A curva se parece com um “slinky”?
  3. Que mudanças na equação devem ser feitas para aumentar o número de bobinas do slinky?

13.2: Cálculo de funções com valor vetorial

Calcule as derivadas das funções com valor vetorial.

( mathrm {r (t) = t ^ 3 mathbf {i} + 3t ^ 2 mathbf {j} + frac {t ^ 3} {6} mathbf {k}} )

( mathrm {⟨3t ^ 2,6t, frac {1} {2} t ^ 2⟩} )

( mathrm {r (t) = sin (t) mathbf {i} + cos (t) mathbf {j} + e ^ t mathbf {k}} )

( mathrm {r (t) = e ^ {- t} mathbf {i} + sin (3t) mathbf {j} +10 sqrt {t} mathbf {k}} ). Um esboço do gráfico é mostrado aqui. Observe a natureza periódica variável do gráfico.

( mathrm {⟨− e ^ {- t}, 3 cos (3t), 5t⟩} )

( mathrm {r (t) = e ^ t mathbf {i} + 2e ^ t mathbf {j} + mathbf {k}} )

( mathrm {r (t) = mathbf {i} + mathbf {j} + mathbf {k}} )

( mathrm {⟨0,0,0⟩} )

( mathrm {r (t) = te ^ t mathbf {i} + t ln (t) mathbf {j} + sin (3t) mathbf {k}} )

( mathrm {r (t) = frac {1} {t + 1} mathbf {i} + arctan (t) mathbf {j} + ln t ^ 3 mathbf {k}} )

( mathrm {⟨ frac {−1} {(t + 1) ^ 2}, frac {1} {1 + t ^ 2}, frac {3} {t}⟩} )

( mathrm {r (t) = tan (2t) mathbf {i} + sec (2t) mathbf {j} + sin ^ 2 (t) mathbf {k}} )

( mathrm {r (t) = 3 mathbf {i} +4 sin (3t) mathbf {j} + t cos (t) mathbf {k}} )

( mathrm {⟨0,12 cos (3t), cos t − t sin t⟩} )

( mathrm {r (t) = t ^ 2 mathbf {i} + te ^ {- 2t} mathbf {j} −5e ^ {- 4t} mathbf {k}} )

Para os problemas a seguir, encontre um vetor tangente no valor indicado de t.

( mathrm {r (t) = t mathbf {i} + sin (2t) mathbf {j} + cos (3t) mathbf {k}} ); ( mathrm {t = frac {π} {3}} )

( mathrm { frac {1} { sqrt {2}} ⟨1, −1,0⟩} )

( mathrm {r (t) = 3t ^ 3 mathbf {i} + 2t ^ 2 mathbf {j} + frac {1} {t} mathbf {k}; t = 1} )

( mathrm {r (t) = 3e ^ t mathbf {i} + 2e ^ {- 3t} mathbf {j} + 4e ^ {2t} mathbf {k}; t = ln (2)} )

( mathrm { frac {1} { sqrt {1060.5625}} ⟨6, −34,32⟩} )

( mathrm {r (t) = cos (2t) mathbf {i} +2 sin t mathbf {j} + t ^ 2 mathbf {k}; t = frac {π} {2} } )

Encontre o vetor tangente unitário para as seguintes curvas parametrizadas.

( mathrm {r (t) = 6 mathbf {i} + cos (3t) mathbf {j} +3 sin (4t) mathbf {k}, 0≤t <2π} )

( mathrm { frac {1} { sqrt {9sin ^ 2 (3t) +144 cos ^ 2 (4t)}} ⟨0, −3 sin (3t), 12 cos (4t)⟩} )

( mathrm {r (t) = cos t mathbf {i} + sin t mathbf {j} + sin t mathbf {k}, 0≤t <2π} ). Duas vistas desta curva são apresentadas aqui:

( mathrm {r (t) = 3 cos (4t) mathbf {i} +3 sin (4t) mathbf {j} + 5t mathbf {k}, 1≤t≤2} )

( mathrm {T (t) = - frac {12} {13} sin (4t) mathbf {i} + frac {12} {13} cos (4t) mathbf {j} + frac {5} {13} mathbf {k}} )

( mathrm {r (t) = t mathbf {i} + 3t mathbf {j} + t ^ 2 mathbf {k}} )

Seja ( mathrm {r (t) = t mathbf {i} + t ^ 2 mathbf {j} −t ^ 4 mathbf {k}} ) e ( mathrm {s (t) = sin (t) mathbf {i} + e ^ t mathbf {j} + cos (t) mathbf {k}} ) Aqui está o gráfico da função:

Encontre o seguinte.

( mathrm { frac {d} {dt} [r (t ^ 2)]} )

( mathrm {⟨2t, 4t ^ 3, −8t ^ 7⟩} )

( mathrm { frac {d} {dt} [t ^ 2⋅s (t)]} )

( mathrm { frac {d} {dt} [r (t) ⋅s (t)]} )

( mathrm { sin (t) + 2te ^ t − 4t ^ 3 cos (t) + tcos (t) + t ^ 2e ^ t + t ^ 4sin (t)} )

Calcule a primeira, a segunda e a terceira derivadas de ( mathrm {r (t) = 3t mathbf {i} +6 ln (t) mathbf {j} + 5e ^ {- 3t} mathbf {k} } ).

Encontre ( mathrm {r '(t) ⋅r' '(t) ; para ; r (t) = - 3t ^ 5 mathbf {i} + 5t mathbf {j} + 2t ^ 2 mathbf {k}.} )

( mathrm {900t ^ 7 + 16t} )

A função de aceleração, velocidade inicial e posição inicial de uma partícula são

( mathrm {a (t) = - 5 cos t mathbf {i} −5 sin t mathbf {j}, v (0) = 9 mathbf {i} +2 mathbf {j}, e ; r (0) = 5 mathbf {i}.} ) Encontre ( mathrm {v (t) ; e ; r (t)} ).

O vetor posição de uma partícula é ( mathrm {r (t) = 5 sec (2t) mathrm {i} −4tan (t) mathrm {j} + 7t ^ 2 mathrm {k}} ) .

  1. Represente graficamente a função de posição e exiba uma visualização do gráfico que ilustra o comportamento assintótico da função.
  2. Encontre a velocidade como t aproxima-se, mas não é igual a ( mathrm { frac {π} {4}} ) (se existir).
  1. Indefinido ou infinito

Encontre a velocidade e a velocidade de uma partícula com a função posição ( mathrm {r (t) = ( frac {2t − 1} {2t + 1}) mathbf {i} + ln (1−4t ^ 2) mathbf {j}} ). A velocidade de uma partícula é a magnitude da velocidade e é representada por ( mathrm {‖r ′ (t) ‖} ).

Uma partícula se move em um caminho circular de raio b de acordo com a função ( mathrm {r (t) = b cos ( omega t) mathbf {i} + b sin ( omega) mathbf {j},} ) onde ( mathrm { omega} ) é a velocidade angular, ( mathrm { frac {d theta} {dt}} ).

Encontre a função de velocidade e mostre que ( mathrm {v (t)} ) é sempre ortogonal a ( mathrm {r (t)} ).

( mathrm {r '(t) = - b omega sin ( omega t) mathbf {i} + b omega cos ( omega t) mathbf {j}} ). Para mostrar a ortogonalidade, observe que ( mathrm {r '(t) ⋅r (t) = 0} ).

Mostre que a velocidade da partícula é proporcional à velocidade angular.

Avalie ( mathrm { frac {d} {dt} [u (t) vezes u ′ (t)]} ) dado ( mathrm {u (t) = t ^ 2 mathbf {i} - 2t mathbf {j} + mathbf {k}} ).

( mathrm {0 mathbf {i} +2 mathbf {j} + 4t mathbf {j}} )

Encontre a antiderivada de ( mathrm {r '(t) = cos (2t) mathbf {i} −2 sin t mathbf {j} + frac {1} {1 + t ^ 2} mathbf {k}} ) que satisfaz a condição inicial ( mathrm {r (0) = 3 mathbf {i} −2 mathbf {j} + mathbf {k}} ).

Avalie ( mathrm { int_0 ^ 3 ”ti + t ^ 2j ”dt} ).

( mathrm { frac {1} {3} (10 ^ { frac {3} {2}} - 1)} )

Um objeto começa do repouso no ponto ( mathrm {P (1,2,0)} ) e se move com uma aceleração de ( mathrm {a (t) = mathbf {j} +2 mathbf {k },} ) onde ( mathrm {‖a (t) ‖} ) é medido em pés por segundo por segundo. Encontre a localização do objeto após ( mathrm {t = 2} ) seg.

Mostre que se a velocidade de uma partícula viajando ao longo de uma curva representada por uma função de valor vetorial é constante, então a função de velocidade é sempre perpendicular à função de aceleração.

( begin {align} mathrm {‖v (t) ‖ ;} & mathrm {= k} mathrm {v (t) · v (t) ;} & mathrm {= k} mathrm {ddt (v (t) · v (t)) ;} & mathrm {= frac {d} {dt} k = 0} mathrm {v (t) · v ′ ( t) + v ′ (t) · v (t) ;} & mathrm {= 0} mathrm {2v (t) · v ′ (t) ;} & mathrm {= 0} mathrm {v (t) · v ′ (t) ;} & mathrm {= 0} end {alinhar} )

A última afirmação implica que a velocidade e a aceleração são perpendiculares ou ortogonais.

Dado ( mathrm {r (t) = t mathbf {i} + 3t mathbf {j} + t ^ 2 mathbf {k}} ) e ( mathrm {u (t) = 4t mathbf {i} + t ^ 2 mathbf {j} + t ^ 3 mathbf {k}} ), encontre ( mathrm { frac {d} {dt} (r (t) vezes u (t) )} ).

Dado ( mathrm {r (t) = ⟨t + cos t, t− sin t⟩} ), encontre a velocidade e a velocidade a qualquer momento.

( mathrm {v (t) = ⟨1− sin t, 1− cos t⟩, velocidade = −v (t) ‖ = sqrt {4−2 ( sin t + cos t)}} )

Encontre o vetor velocidade para a função ( mathrm {r (t) = ⟨e ^ t, e ^ {- t}, 0⟩} ).

Encontre a equação da reta tangente à curva ( mathrm {r (t) = ⟨e ^ t, e ^ {- t}, 0⟩} ) em ( mathrm {t = 0} ).

( mathrm {x − 1 = t, y − 1 = −t, z − 0 = 0} )

Descreva e esboce a curva representada pela função de valor vetorial ( mathrm {r (t) = ⟨6t, 6t − t ^ 2⟩} ).

Localize o ponto mais alto da curva ( mathrm {r (t) = ⟨6t, 6t − t ^ 2⟩} ) e forneça o valor da função neste ponto.

( mathrm {r (t) = ⟨18,9⟩} ) em ( mathrm {t = 3} )

O vetor posição de uma partícula é ( mathrm {r (t) = t mathbf {i} + t ^ 2 mathbf {j} + t ^ 3 mathbf {k}} ). O gráfico é mostrado aqui :

Encontre o vetor de velocidade a qualquer momento.

Encontre a velocidade da partícula no tempo ( mathrm {t = 2} ) sec.

( mathrm { sqrt {593}} )

Encontre a aceleração no tempo ( mathrm {t = 2} ) sec.

Uma partícula viaja ao longo do caminho de uma hélice com a equação ( mathrm {r (t) = cos (t) mathbf {i} + sin (t) mathbf {j} + t mathbf {k} } ). Veja o gráfico apresentado aqui:

Encontre o seguinte:

Velocidade da partícula a qualquer momento

( mathrm {v (t) = ⟨− sin t, cos t, 1⟩} )

Velocidade da partícula a qualquer momento

Aceleração da partícula a qualquer momento

( mathrm {a (t) = - cos t mathbf {i} - sin t mathbf {j} +0 mathbf {j}} )

Encontre o vetor tangente unitário para a hélice.

Uma partícula viaja ao longo do caminho de uma elipse com a equação ( mathrm {r (t) = cos t mathbf {i} +2 sin t mathbf {j} +0 mathbf {k}} ) . Encontre o seguinte:

Velocidade da partícula

( mathrm {v (t) = ⟨− sin t, 2 cos t, 0⟩} )

Velocidade da partícula em ( mathrm {t = frac {π} {4}} )

Aceleração da partícula em ( mathrm {t = frac {π} {4}} )

( mathrm {a (t) = ⟨− frac { sqrt {2}} {2}, - sqrt {2}, 0⟩} )

Dada a função de valor vetorial ( mathrm {r (t) = ⟨ tan t, sec t, 0⟩} ) (o gráfico é mostrado aqui), encontre o seguinte:

Velocidade

Velocidade

( mathrm {‖v (t) ‖ = sqrt { sec ^ 4 t + sec ^ 2 t tan ^ 2 t} = sqrt { sec ^ 2 t ( sec ^ 2 t + tan ^ 2 t)}} )

Aceleração

Encontre a velocidade mínima de uma partícula viajando ao longo da curva ( mathrm {r (t) = ⟨t + cos t, t− sin t⟩} ) mathrm {t∈ [0,2π)} ).

2

Dado ( mathrm {r (t) = t mathbf {i} +2 sin t mathbf {j} +2 cos t mathbf {k}} ) e ( mathrm {u (t) = frac {1} {t} mathbf {i} +2 sin t mathbf {j} +2 cos t mathbf {k}} ), encontre o seguinte:

( mathrm {r (t) vezes u (t)} )

( mathrm { frac {d} {dt} (r (t) vezes u (t))} )

( mathrm {⟨0,2 sin t (t− frac {1} {t}) - 2 cos t (1+ frac {1} {t ^ 2}), 2 sin t (1 + frac {1} {t ^ 2}) + 2 cos t (t− frac {2} {t})⟩} )

Agora, use a regra do produto para a derivada do produto vetorial de dois vetores e mostre que esse resultado é o mesmo que a resposta do problema anterior.

Encontre o vetor tangente unitário T(t) para as seguintes funções com valor vetorial.

( mathrm {r (t) = ⟨t, frac {1} {t}⟩} ). O gráfico é mostrado aqui:

( mathrm {T (t) = ⟨ frac {t ^ 2} { sqrt {t ^ 4 + 1}}, frac {-1} { sqrt {t ^ 4 + 1}⟩}} )

( mathrm {r (t) = ⟨t cos t, t sin t⟩} )

( mathrm {r (t) = ⟨t + 1,2t + 1,2t + 2⟩} )

( mathrm {T (t) = frac {1} {3} ⟨1,2,2⟩} )

Avalie os seguintes integrais:

( mathrm { int (e ^ t mathbf {i} + sin t mathbf {j} + frac {1} {2t − 1} mathbf {k}) dt} )

( mathrm { int_0 ^ 1 r (t) dt} ), onde ( mathrm {r (t) = ⟨ sqrt [3] {t}, frac {1} {t + 1}, e ^ {- t}⟩} )

( mathrm { frac {3} {4} mathbf {i} + ln (2) mathbf {j} + (1− frac {1} {e}) mathbf {j}} )

13.3: Comprimento do Arco e Curvatura

Exercícios

Encontre o comprimento do arco da curva no intervalo determinado.

( mathrm {r (t) = t ^ 2 mathbf {i} + 14t mathbf {j}, 0≤t≤7} ). Esta parte do gráfico é mostrada aqui:

( mathrm {r (t) = t ^ 2 mathbf {i} + (2t ^ 2 + 1) mathbf {j}, 1≤t≤3} )

( mathrm {8 sqrt {5}} )

( mathrm {r (t) = ⟨2 sin t, 5t, 2 cos t⟩, 0≤t≤π} ). Esta parte do gráfico é mostrada aqui:

( mathrm {r (t) = ⟨t ^ 2 + 1,4t ^ 3 + 3⟩, −1≤t≤0} )

( mathrm { frac {1} {54} (37 ^ {3/2} −1)} )

( mathrm {r (t) = ⟨e ^ {- t cos t}, e ^ {- t sin t}⟩} ) no intervalo ( mathrm {[0, frac {π} {2}]} ). Aqui está a parte do gráfico no intervalo indicado:

Encontre o comprimento de uma volta da hélice dada por ( mathrm {r (t) = frac {1} {2} cos t mathbf {i} + frac {1} {2} sin t mathbf {j} + sqrt { frac {3} {4}} t mathbf {k}.} )

Comprimento ( mathrm {= 2π} )

Encontre o comprimento do arco da função com valor vetorial ( mathrm {r (t) = - t mathbf {i} + 4t mathbf {j} + 3t mathbf {k}} ) sobre ( mathrm { [0,1]} ).

Uma partícula viaja em um círculo com a equação do movimento ( mathrm {r (t) = 3 cos t mathbf {i} +3 sin t mathbf {j} +0 mathbf {k}} ) . Encontre a distância percorrida ao redor do círculo pela partícula.

( mathrm {6π} )

Configure uma integral para encontrar a circunferência da elipse com a equação ( mathrm {r (t) = cos t mathbf {i} +2 sin t mathbf {j} +0 mathbf {k}. } )

Encontre o comprimento da curva ( mathrm {r (t) = ⟨ sqrt {2} t, e ^ t, e ^ {- t}⟩} ) no intervalo ( mathrm {0≤t≤ 1} ). O gráfico é mostrado aqui:

( mathrm {e− frac {1} {e}} )

Encontre o comprimento da curva ( mathrm {r (t) = ⟨2 sin t, 5t, 2 cos t⟩} ) para ( mathrm {t∈ [−10,10]} ).

A função de posição para uma partícula é ( mathrm {r (t) = a cos (ωt) mathbf {i} + b sin (ωt) mathbf {j}} ). Encontre o vetor tangente unitário e o vetor normal unitário em ( mathrm {t = 0.} )

( mathrm {T (0) = mathbf {j}, N (0) = - mathbf {i}} )

Dado ( mathrm {r (t) = a cos (ωt) mathbf {i} + b sin (ωt) mathbf {j}} ), encontre o vetor binormal ( mathrm {B (0 )} ).

Dado ( mathrm {r (t) = ⟨2e ^ t, e ^ t cos t, e ^ t sin t⟩} ), determine o vetor tangente ( mathrm {T (t)} ) .

( mathrm {T (t) = ⟨2e ^ t, e ^ t cos t − e ^ t sin t, e ^ t cos t + e ^ t sin t⟩} )

Dado ( mathrm {r (t) = ⟨2e ^ t, e ^ t cos t, e ^ t sin t⟩} ), determine o vetor tangente unitário ( mathrm {T (t)} ) avaliado em ( mathrm {t = 0} ).

Dado ( mathrm {r (t) = ⟨2e ^ t, e ^ t cos t, e ^ t sin t⟩} ), encontre o vetor normal unitário ( mathrm {N (t)} ) avaliado em ( mathrm {t = 0} ), ( mathrm {N (0)} ).

( mathrm {N (0) = ⟨ frac { sqrt {2}} {2}, 0, frac { sqrt {2}} {2}⟩} )

Dado ( mathrm {r (t) = ⟨2e ^ t, e ^ t cos t, e ^ t sin t⟩} ), encontre o vetor normal unitário avaliado em ( mathrm {t = 0} ).

Dado ( mathrm {r (t) = t mathbf {i} + t ^ 2 mathbf {j} + t mathbf {k}} ), encontre o vetor tangente unitário ( mathrm {T (t )} ). O gráfico é mostrado aqui:

( mathrm {T (t) = frac {1} { sqrt {4t ^ 2 + 2}} <1,2t, 1>} )

Encontre o vetor tangente unitário ( mathrm {T (t)} ) e o vetor normal unitário ( mathrm {N (t)} ) em ( mathrm {t = 0} ) para a curva plana ( mathrm {r (t) = ⟨t ^ 3−4t, 5t ^ 2−2⟩} ). O gráfico é mostrado aqui:

Encontre o vetor tangente unitário ( mathrm {T (t)} ) para ( mathrm {r (t) = 3t mathbf {i} + 5t ^ 2 mathbf {j} + 2t mathbf {k} } )

( mathrm {T (t) = frac {1} { sqrt {100t ^ 2 + 13}} (3 mathbf {i} + 10t mathbf {j} +2 mathbf {k})} )

Encontre o vetor normal principal para a curva ( mathrm {r (t) = ⟨6 cos t, 6 sin t⟩} ) no ponto determinado por ( mathrm {t = π / 3} ) .

Encontre ( mathrm {T (t)} ) para a curva ( mathrm {r (t) = (t ^ 3−4t) mathbf {i} + (5t ^ 2−2) mathbf {j }} ).

( mathrm {T (t) = frac {1} { sqrt {9t ^ 4 + 76t ^ 2 + 16}} ([3t ^ 2−4] mathbf {i} + 10t mathbf {j} )} )

Encontre ( mathrm {N (t)} ) para a curva ( mathrm {r (t) = (t ^ 3−4t) mathbf {i} + (5t ^ 2−2) mathbf {j }} ).

Encontre o vetor normal unitário ( mathrm {N (t)} ) para ( mathrm {r (t) = ⟨2sint, 5t, 2cost⟩} ).

( mathrm {N (t) = ⟨− sint, 0, −custo⟩} )

Encontre o vetor tangente unitário ( mathrm {T (t)} ) para ( mathrm {r (t) = ⟨2 sin t, 5t, 2 cos t⟩} ).

Encontre a função de comprimento de arco ( mathrm {s (t)} ) para o segmento de linha dado por ( mathrm {r (t) = ⟨3−3t, 4t⟩} ). Escreva r como um parâmetro de s.

Função de comprimento de arco: ( mathrm {s (t) = 5t} ); r como um parâmetro de s: ( mathrm {r (s) = (3− frac {3s} {5}) mathbf {i} + frac {4s} {5} mathbf {j}} )

Parametrize a hélice ( mathrm {r (t) = cos t mathbf {i} + sin t mathbf {j} + t mathbf {k}} ) usando o parâmetro de comprimento de arco s, de ( mathrm {t = 0} ).

Parametrize a curva usando o parâmetro de comprimento de arco s, no ponto em que ( mathrm {t = 0} ) para ( mathrm {r (t) = e ^ t sin t mathbf {i} + e ^ t cos t mathbf {j }} )

( mathrm {(s) = (1+ frac {s} { sqrt {2}}) sin ( ln (1+ frac {s} { sqrt {2}})) mathbf { i} + (1+ frac {s} { sqrt {2}}) cos [ ln (1+ frac {s} { sqrt {2}})] mathbf {j}} )

Encontre a curvatura da curva ( mathrm {r (t) = 5 cos t mathbf {i} +4 sin t mathbf {j}} ) em ( mathrm {t = π / 3} ). (Observação: O gráfico é uma elipse.)

Encontre o x-coordenada em que a curvatura da curva ( mathrm {y = 1 / x} ) é um valor máximo.

O valor máximo da curvatura ocorre em ( mathrm {x = sqrt [4] {5}} ).

Encontre a curvatura da curva ( mathrm {r (t) = 5 cos t mathbf {i} +5 sin t mathbf {j}} ). A curvatura depende do parâmetro t?

Encontre a curvatura (κ ) para a curva ( mathrm {y = x− frac {1} {4} x ^ 2} ) no ponto ( mathrm {x = 2} ).

( mathrm { frac {1} {2}} )

Encontre a curvatura (κ ) para a curva ( mathrm {y = frac {1} {3} x ^ 3} ) no ponto ( mathrm {x = 1} ).

Encontre a curvatura κκ da curva ( mathrm {r (t) = t mathbf {i} + 6t ^ 2 mathbf {j} + 4t mathbf {k}} ). O gráfico é mostrado aqui:

( mathrm {κ≈ frac {49.477} {(17 + 144t ^ 2) ^ {3/2}}} )

Encontre a curvatura de ( mathrm {r (t) = ⟨2 sin t, 5t, 2 cos t⟩} ).

Encontre a curvatura de ( mathrm {r (t) = sqrt {2} t mathbf {i} + e ^ t mathbf {j} + e ^ {- t} mathbf {k}} ) em ponto ( mathrm {P (0,1,1)} ).

( mathrm { frac {1} {2 sqrt {2}}} )

Em que ponto a curva ( mathrm {y = e ^ x} ) tem curvatura máxima?

O que acontece com a curvatura como ( mathrm {x → ∞} ) para a curva ( mathrm {y = e ^ x} )?

A curvatura se aproxima de zero.

Encontre o ponto de curvatura máxima na curva ( mathrm {y = ln x} ).

Encontre as equações do plano normal e do plano osculante da curva ( mathrm {r (t) = ⟨2 sin (3t), t, 2 cos (3t)⟩} ) no ponto ( mathrm {(0, π, −2)} ).

( mathrm {y = 6x + π} ) e ( mathrm {x + 6 = 6π} )

Encontre as equações dos círculos osculantes da elipse ( mathrm {4y ^ 2 + 9x ^ 2 = 36} ) nos pontos ( mathrm {(2,0)} ) e ( mathrm {(0 , 3)} ).

Encontre a equação para o plano osculante no ponto ( mathrm {t = π / 4} ) na curva ( mathrm {r (t) = cos (2t) mathbf {i} + sin (2t ) mathbf {j} + t} ).

( mathrm {x + 2z = frac {π} {2}} )

Encontre o raio de curvatura de ( mathrm {6y = x ^ 3} ) no ponto ( mathrm {(2, frac {4} {3}).} )

Encontre a curvatura em cada ponto ( mathrm {(x, y)} ) na hipérbole ( mathrm {r (t) = ⟨a cosh (t), b sinh (t)⟩} ) .

( mathrm { frac {a ^ 4b ^ 4} {(b ^ 4x ^ 2 + a ^ 4y ^ 2) ^ {3/2}}} )

Calcule a curvatura da hélice circular ( mathrm {r (t) = r sin (t) mathbf {i} + r cos (t) mathbf {j} + t mathbf {k}} ) .

Encontre o raio de curvatura de ( mathrm {y = ln (x + 1)} ) no ponto ( mathrm {(2, ln 3)} ).

( mathrm { frac {10 sqrt {10}} {3}} )

Encontre o raio de curvatura da hipérbole ( mathrm {xy = 1} ) no ponto ( mathrm {(1,1)} ).

Uma partícula se move ao longo da curva plana C descrita por ( mathrm {r (t) = t mathbf {i} + t ^ 2 mathbf {j}} ). Resolva os seguintes problemas.

Encontre o comprimento da curva no intervalo ( mathrm {[0,2]} ).

( mathrm { frac {38} {3}} )

Encontre a curvatura da curva plana em ( mathrm {t = 0,1,2} ).

Descreva a curvatura como t aumenta de ( mathrm {t = 0} ) para ( mathrm {t = 2} ).

A curvatura está diminuindo neste intervalo.

A superfície de uma xícara grande é formada girando o gráfico da função ( mathrm {y = 0,25x ^ {1,6}} ) de ( mathrm {x = 0} ) para ( mathrm {x = 5} ) sobre o y-eixo (medido em centímetros).

[T] Use a tecnologia para representar graficamente a superfície.

Encontre a curvatura (κ ) da curva de geração em função de x.

( mathrm {κ = frac {6} {x ^ {2/5} (25 + 4x ^ {6/5})}} )

[T] Use a tecnologia para representar graficamente a função de curvatura.

13.4: Movimento no Espaço

aN = a⋅N = ‖v × a‖‖v‖ = ‖a‖2 − aT −−−−−−−−−−−− √aN = a · N = ‖v × a‖‖v‖ = ‖a‖2 −aT2

Dado r (t) = (3t2−2) i + (2t − sin (t)) j, r (t) = (3t2−2) i + (2t − sin (t)) j, encontre a velocidade do movimento de uma partícula ao longo desta curva.

v (t) = (6t) i + (2 − cos (t)) jv (t) = (6t) i + (2 − cos (t)) j

Dado r (t) = (3t2−2) i + (2t − sin (t)) j, r (t) = (3t2−2) i + (2t − sin (t)) j, encontre o vetor de aceleração de uma partícula movendo ao longo da curva no exercício anterior.

Dadas as seguintes funções de posição, encontre a velocidade, aceleração e velocidade em termos do parâmetro t.

r (t) = ⟨3custo, 3sint, t2⟩r (t) = ⟨3custo, 3sint, t2⟩

v (t) = ⟨− 3sint, 3custo, 2t⟩, v (t) = ⟨− 3sint, 3custo, 2t⟩, a (t) = ⟨− 3custo, −3sint, 2⟩, a (t) = ⟨− 3custo, −3sint, 2⟩, velocidade = 9 + 4t2 −−−−−−− √velocidade = 9 + 4t2

r (t) = e − ti + t2j + tantkr (t) = e − ti + t2j + tantk

r (t) = 2custoj + 3sintk.r (t) = 2custoj + 3sintk. O gráfico é mostrado aqui:

v (t) = - 2sintj + 3custo, v (t) = - 2sintj + 3custo, a (t) = - 2custoj − 3sintk, a (t) = - 2custoj − 3sintk, velocidade = 4sin2 (t) + 9cos2 (t ) −−−−−−−−−−−−−−−−− √speed = 4sin2 (t) + 9cos2 (t)

Encontre a velocidade, aceleração e velocidade de uma partícula com a função de posição fornecida.

r (t) = ⟨t2−1, t⟩r (t) = ⟨t2−1, t⟩

r (t) = ⟨et, e − t⟩r (t) = ⟨et, e − t⟩

v (t) = eti − e − tj, v (t) = eti − e − tj, a (t) = eti + e − tj, a (t) = eti + e − tj, ∥v (t) ∥ e2t + e − 2t −−−−−−−− √‖v (t) ‖e2t + e − 2t

r (t) = ⟨sint, t, cost⟩.r (t) = ⟨sint, t, cost⟩. O gráfico é mostrado aqui:

A função posição de um objeto é dada por r (t) = ⟨t2,5t, t2−16t⟩.r (t) = ⟨t2,5t, t2−16t⟩. A que horas a velocidade é mínima?

t = 4t = 4

Seja r (t) = rcosh (ωt) i + rsinh (ωt) j.r (t) = rcosh (ωt) i + rsinh (ωt) j. Encontre os vetores de velocidade e aceleração e mostre que a aceleração é proporcional a r (t) .r (t).

Considere o movimento de um ponto na circunferência de um círculo rolante. Conforme o círculo rola, ele gera o ciclóide r (t) = (ωt − sin (ωt)) i + (1 − cos (ωt)) j, r (t) = (ωt − sin (ωt)) i + (1− cos (ωt)) j, onde ωω é a velocidade angular do círculo eb é o raio do círculo:

Encontre as equações para a velocidade, aceleração e velocidade da partícula a qualquer momento.

v (t) = (ω − ωcos (ωt)) i + (ωsin (ωt)) j, v (t) = (ω − ωcos (ωt)) i + (ωsin (ωt)) j,

a (t) = (ω2sin (ωt)) i + (ω2cos (ωt)) j, a (t) = (ω2sin (ωt)) i + (ω2cos (ωt)) j,

velocidade = ω2−2ω2cos (ωt) + ω2cos2 (ωt) + ω2sin2 (ωt) −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− −√ = 2ω2 (1 − cos (ωt)) −−−−−−−−−−−−−− √velocidade = ω2−2ω2cos (ωt) + ω2cos2 (ωt) + ω2sin2 (ωt) = 2ω2 (1 − cos (ωt))

Uma pessoa em uma asa-delta está espiralando para cima como resultado do ar que sobe rapidamente em um caminho tendo o vetor de posição r (t) = (3custo) i + (3sint) j + t2k.r (t) = (3custo) i + (3sint ) j + t2k. O caminho é semelhante ao de uma hélice, embora não seja uma hélice. O gráfico é mostrado aqui:

Encontre as seguintes quantidades:

Os vetores de velocidade e aceleração

A velocidade do planador a qualquer momento

∥v (t) ∥ = 9 + 4t2 −−−−−− √‖v (t) ‖ = 9 + 4t2

Os tempos, se houver, em que a aceleração do planador é ortogonal à sua velocidade

Dado que r (t) = ⟨e − 5tsint, e − 5tcost, 4e − 5t⟩r (t) = ⟨e − 5tsint, e − 5tcost, 4e − 5t⟩ é o vetor posição de uma partícula em movimento, encontre o seguinte quantidades:

A velocidade da partícula

v (t) = ⟨e − 5t (custo − 5sint), - e − 5t (sint + 5cost), - 20e − 5t⟩v (t) = ⟨e − 5t (custo − 5sint), - e − 5t ( sint + 5cost), - 20e − 5t⟩

A velocidade da partícula

A aceleração da partícula

a (t) = ⟨e − 5t (−sint − 5custo) −5e − 5t (custo − 5sint), a (t) = ⟨e − 5t (−sint − 5custo) −5e − 5t (custo − 5sint), −e − 5t (custo − 5sint) + 5e − 5t (sint + 5custo), 100e − 5t⟩ − e − 5t (custo − 5sint) + 5e − 5t (sint + 5custo), 100e − 5t⟩

Encontre a velocidade máxima de um ponto na circunferência de um pneu de automóvel com raio de 1 pé quando o automóvel estiver viajando a 55 mph.

Um projétil é lançado para o ar do nível do solo com uma velocidade inicial de 500 m / s em um ângulo de 60 ° com a horizontal. O gráfico é mostrado aqui:

A que horas o projétil atinge a altura máxima?

44,185 s

Qual é a altura máxima aproximada do projétil?

Em que momento o alcance máximo do projétil é atingido?

t = 88,37t = 88,37 s

Qual é o alcance máximo?

Qual é o tempo total de vôo do projétil?

88,37 s

Um projétil é disparado a uma altura de 1,5 m acima do solo com uma velocidade inicial de 100 m / seg e um ângulo de 30 ° acima da horizontal. Use essas informações para responder às seguintes perguntas:

Determine a altura máxima do projétil.

Determine o alcance do projétil.

O alcance é de aproximadamente 886,29 m.

Uma bola de golfe é atingida na direção horizontal da borda superior de um edifício de 30 metros de altura. Quão rápido a bola deve ser lançada para pousar a 150 pés de distância?

Um projétil é disparado do nível do solo em um ângulo de 8 ° com a horizontal. O projétil deve ter um alcance de 50 m. Encontre a velocidade mínima necessária para atingir esse intervalo.

v = 42,16v = 42,16 m / s

Prove que um objeto que se move em linha reta a uma velocidade constante tem uma aceleração zero.

A aceleração de um objeto é dada por a (t) = tj + tk.a (t) = tj + tk. A velocidade em t = 1t = 1 seg é v (1) = 5jv (1) = 5j e a posição do objeto em t = 1t = 1 seg é r (1) = 0i + 0j + 0k.r (1) = 0i + 0j + 0k. Encontre a posição do objeto a qualquer momento.

r (t) = 0i + (16t3 + 4,5t − 143) j + (t36−12t + 13) kr (t) = 0i + (16t3 + 4,5t − 143) j + (t36−12t + 13) k

Encontre r (t) r (t) dado que a (t) = - 32j, a (t) = - 32j, v (0) = 6003√i + 600j, v (0) = 6003i + 600j e r ( 0) = 0.r (0) = 0.

Encontre as componentes tangencial e normal da aceleração para r (t) = acos (ωt) i + bsin (ωt) jr (t) = acos (ωt) i + bsin (ωt) j em t = 0.t = 0.

aT = 0, aT = 0, aN = aω2aN = aω2

Dado r (t) = t2i + 2tjr (t) = t2i + 2tj e t = 1, t = 1, encontre as componentes tangencial e normal da aceleração.

Para cada um dos problemas a seguir, encontre os componentes tangencial e normal da aceleração.

r (t) = ⟨etcost, etsint, et⟩.r (t) = ⟨etcost, etsint, et⟩. O gráfico é mostrado aqui:

aT = 3√et, aT = 3et, aN = 2√etaN = 2et

r (t) = ⟨cos (2t), sin (2t), 1⟩r (t) = ⟨cos (2t), sin (2t), 1⟩

r (t) = ⟨2t, t2, t33⟩r (t) = ⟨2t, t2, t33⟩

aT = 2t, aT = 2t, aN = 4 + 2t2aN = 4 + 2t2

r (t) = ⟨23 (1 + t) 3 / 2,23 (1 − t) 3 / 2,2√t⟩r (t) = ⟨23 (1 + t) 3 / 2,23 (1− t) 3 / 2,2t⟩

r (t) = ⟨6t, 3t2,2t3⟩r (t) = ⟨6t, 3t2,2t3⟩

aT6t + 12t31 + t4 + t2√, aT6t + 12t31 + t4 + t2, aN = 61 + 4t2 + t41 + t2 + t4 −−−−−− √aN = 61 + 4t2 + t41 + t2 + t4

r (t) = t2i + t2j + t3kr (t) = t2i + t2j + t3k

r (t) = 3cos (2πt) i + 3sin (2πt) jr (t) = 3cos (2πt) i + 3sin (2πt) j

aT = 0, aT = 0, aN = 23√πaN = 23π

Encontre a função com valor de vetor de posição r (t), r (t), dado que a (t) = i + etj, a (t) = i + etj, v (0) = 2j, v (0) = 2j e r (0) = 2i.r (0) = 2i.

A força em uma partícula é dada por f (t) = (custo) i + (sint) j.f (t) = (custo) i + (sint) j. A partícula está localizada no ponto (c, 0) (c, 0) em t = 0.t = 0. A velocidade inicial da partícula é dada por v (0) = v0j.v (0) = v0j. Encontre o caminho da partícula de massa m. (Lembre-se, F = m⋅a.) F = m · a.)

r (t) = (- 1mcusto + c + 1m) i + (- sintm + (v0 + 1m) t) jr (t) = (- 1mcusto + c + 1m) i + (- sintm + (v0 + 1m) t) j

Um automóvel que pesa 2.700 lb faz uma curva em uma estrada plana enquanto viaja a 56 pés / s. Se o raio da curva for de 70 pés, qual é a força de atrito necessária para evitar que o carro derrape?

Usando as leis de Kepler, pode-se mostrar que v0 = 2GMr0 −−−− √v0 = 2GMr0 é a velocidade mínima necessária quando θ = 0θ = 0 para que um objeto escape da atração de uma força central resultante da massa M. Use este resultado para encontrar a velocidade mínima quando θ = 0θ = 0 para uma cápsula espacial escapar da atração gravitacional da Terra se a sonda estiver a uma altitude de 300 km acima da superfície da Terra.

10,94 km / s

Encontre o tempo em anos que o planeta anão Plutão leva para fazer uma órbita em torno do Sol, dado que a = 39,5a = 39,5 A.U.

Suponha que a função de posição para um objeto em três dimensões seja dada pela equação r (t) = tcos (t) i + tsin (t) j + 3tk.r (t) = tcos (t) i + tsin (t) j + 3tk.

Mostre que a partícula se move em um cone circular.

Encontre o ângulo entre os vetores de velocidade e aceleração quando t = 1,5.t = 1,5.

Encontre os componentes tangencial e normal da aceleração quando t = 1,5.t = 1,5.

aT = 0,43m / s2, aT = 0,43m / s2,

aN=2.46m/sec2aN=2.46m/sec2

Chapter Review Exercises

True or False? Justify your answer with a proof or a counterexample.

A parametric equation that passes through points P and Q can be given by r(t)=⟨t2,3t+1,t−2⟩,r(t)=⟨t2,3t+1,t−2⟩, where P(1,4,−1)P(1,4,−1) and Q(16,11,2).Q(16,11,2).

ddt[u(t)×u(t)]=2u′(t)×u(t)ddt[u(t)×u(t)]=2u′(t)×u(t)

False, ddt[u(t)×u(t)]=0ddt[u(t)×u(t)]=0

The curvature of a circle of radius rr is constant everywhere. Furthermore, the curvature is equal to 1/r.1/r.

The speed of a particle with a position function r(t)r(t) is (r′(t))/(|r′(t)|).(r′(t))/(|r′(t)|).

False, it is |r′(t)||r′(t)|

Find the domains of the vector-valued functions.

r(t)=⟨sin(t),ln(t),t√⟩r(t)=⟨sin(t),ln(t),t⟩

r(t)=⟨et,14−t√,sec(t)⟩r(t)=⟨et,14−t,sec(t)⟩

t<4,t<4, t≠nπ2t≠nπ2

Sketch the curves for the following vector equations. Use a calculator if needed.

[T] r(t)=⟨t2,t3⟩r(t)=⟨t2,t3⟩

[T] r(t)=⟨sin(20t)e−t,cos(20t)e−t,e−t⟩r(t)=⟨sin(20t)e−t,cos(20t)e−t,e−t⟩

Find a vector function that describes the following curves.

Intersection of the cylinder x2+y2=4x2+y2=4 with the plane x+z=6x+z=6

Intersection of the cone z=x2+y2−−−−−−√z=x2+y2 and plane z=y−4z=y−4

r(t)=⟨t,2−t28,−2−t28⟩r(t)=⟨t,2−t28,−2−t28⟩

Find the derivatives of u(t),u(t), u′(t),u′(t), u′(t)×u(t),u′(t)×u(t), u(t)×u′(t),u(t)×u′(t), and u(t)⋅u′(t).u(t)·u′(t). Find the unit tangent vector.

u(t)=⟨et,e−t⟩u(t)=⟨et,e−t⟩

u(t)=⟨t2,2t+6,4t5−12⟩u(t)=⟨t2,2t+6,4t5−12⟩

u′(t)=⟨2t,2,20t4⟩,u′(t)=⟨2t,2,20t4⟩, u′′(t)=⟨2,0,80t3⟩,u″(t)=⟨2,0,80t3⟩, ddt[u′(t)×u(t)]=⟨−480t3−160t4,24+75t2,12+4t⟩,ddt[u′(t)×u(t)]=⟨−480t3−160t4,24+75t2,12+4t⟩, ddt[u(t)×u′(t)]=⟨480t3+160t4,−24−75t2,−12−4t⟩,ddt[u(t)×u′(t)]=⟨480t3+160t4,−24−75t2,−12−4t⟩, ddt[u(t)⋅u′(t)]=720t8−9600t3+6t2+4,ddt[u(t)·u′(t)]=720t8−9600t3+6t2+4, unit tangent vector: T(t)=2t400t8+4t2+4√i+2400t8+4t2+4√j+20t4400t8+4t2+4√kT(t)=2t400t8+4t2+4i+2400t8+4t2+4j+20t4400t8+4t2+4k

Evaluate the following integrals.

∫(tan(t)sec(t)i−te3tj)dt∫(tan(t)sec(t)i−te3tj)dt

∫14u(t)dt,∫14u(t)dt, with u(t)=⟨ln(t)t,1t√,sin(tπ4)⟩u(t)=⟨ln(t)t,1t,sin(tπ4)⟩

ln(4)22i+2j+2(2+2√)πkln(4)22i+2j+2(2+2)πk

Find the length for the following curves.

r(t)=⟨3(t),4cos(t),4sin(t)⟩r(t)=⟨3(t),4cos(t),4sin(t)⟩ for 1≤t≤41≤t≤4

r(t)=2i+tj+3t2kr(t)=2i+tj+3t2k for 0≤t≤10≤t≤1

37√2+112sinh−1(6)372+112sinh−1(6)

Reparameterize the following functions with respect to their arc length measured from t=0t=0 in direction of increasing t.t.

r(t)=2ti+(4t−5)j+(1−3t)kr(t)=2ti+(4t−5)j+(1−3t)k

r(t)=cos(2t)i+8tj−sin(2t)kr(t)=cos(2t)i+8tj−sin(2t)k

r(t(s))=cos(2s65√)i+8s65√j−sin(2s65√)kr(t(s))=cos(2s65)i+8s65j−sin(2s65)k

Find the curvature for the following vector functions.

r(t)=(2sint)i−4tj+(2cost)kr(t)=(2sint)i−4tj+(2cost)k

r(t)=2√eti+2√e−tj+2tkr(t)=2eti+2e−tj+2tk

e2t(e2t+1)2e2t(e2t+1)2

Find the unit tangent vector, the unit normal vector, and the binormal vector for r(t)=2costi+3tj+2sintk.r(t)=2costi+3tj+2sintk.

Find the tangential and normal acceleration components with the position vector r(t)=⟨cost,sint,et⟩.r(t)=⟨cost,sint,et⟩.

aT=e2t1+e2t√,aT=e2t1+e2t, aN=2e2t+4e2tsintcost+1√1+e2t√aN=2e2t+4e2tsintcost+11+e2t

A Ferris wheel car is moving at a constant speed vv and has a constant radius r.r. Find the tangential and normal acceleration of the Ferris wheel car.

The position of a particle is given by r(t)=⟨t2,ln(t),sin(πt)⟩,r(t)=⟨t2,ln(t),sin(πt)⟩, where tt is measured in seconds and rr is measured in meters. Find the velocity, acceleration, and speed functions. What are the position, velocity, speed, and acceleration of the particle at 1 sec?

v(t)=⟨2t,1t,cos(πt)⟩v(t)=⟨2t,1t,cos(πt)⟩ m/sec, a(t)=⟨2,−1t2,−sin(πt)⟩m/sec2,a(t)=⟨2,−1t2,−sin(πt)⟩m/sec2, speed=4t2+1t2+cos2(πt)−−−−−−−−−−−−−−−√speed=4t2+1t2+cos2(πt) m/sec; at t=1,t=1, r(1)=⟨1,0,0⟩r(1)=⟨1,0,0⟩ m, v(1)=⟨2,−1,1⟩v(1)=⟨2,−1,1⟩ m/sec, a(1)=⟨2,−1,0⟩a(1)=⟨2,−1,0⟩ m/sec2, and speed=6√speed=6 m/sec

The following problems consider launching a cannonball out of a cannon. The cannonball is shot out of the cannon with an angle θθ and initial velocity v0.v0. The only force acting on the cannonball is gravity, so we begin with a constant acceleration a(t)=−gj.a(t)=−gj.

Find the velocity vector function v(t).v(t).

Find the position vector r(t)r(t) and the parametric representation for the position.

r(t)=v0t−g2t2j,r(t)=v0t−g2t2j, r(t)=⟨v0(cosθ)t,v0(sinθ)t,−g2t2⟩r(t)=⟨v0(cosθ)t,v0(sinθ)t,−g2t2⟩

At what angle do you need to fire the cannonball for the horizontal distance to be greatest? What is the total distance it would travel?


Assista o vídeo: Funkcje o wartościach wektorowych - wektor położenia (Outubro 2021).