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B: Tabela de Integrais - Matemática


Integrais básicos

1. ( quad displaystyle ∫u ^ n , du = frac {u ^ {n + 1}} {n + 1} + C, quad n ≠ −1 )

2. ( quad displaystyle ∫ frac {du} {u} = ln | u | + C )

3. ( quad displaystyle ∫e ^ u , du = e ^ u + C )

4. ( quad displaystyle ∫a ^ u , du = frac {a ^ u} { ln a} + C )

5. ( quad displaystyle ∫ sin u , du = - cos u + C )

6. ( quad displaystyle ∫ cos u , du = sin u + C )

7. ( quad displaystyle ∫ sec ^ 2u , du = tan u + C )

8. ( quad displaystyle ∫ csc ^ 2u , du = - cot u + C )

9. ( quad displaystyle ∫ sec u tan u , du = sec u + C )

10. ( quad displaystyle ∫ csc u cot u , du = - csc u + C )

11. ( quad displaystyle ∫ tan u , du = ln | sec u | + C )

12. ( quad displaystyle ∫ cot u , du = ln | sin u | + C )

13. ( quad displaystyle ∫ sec u , du = ln | sec u + tan u | + C )

14. ( quad displaystyle ∫ csc u , du = ln | csc u− cot u | + C )

15. ( quad displaystyle ∫ frac {du} { sqrt {a ^ 2 − u ^ 2}} = sin ^ {- 1} left ( frac {u} {a} right) + C )

16. ( quad displaystyle ∫ frac {du} {a ^ 2 + u ^ 2} = frac {1} {a} tan ^ {- 1} left ( frac {u} {a} direita) + C )

17. ( quad displaystyle ∫ frac {du} {u sqrt {u ^ 2 − a ^ 2}} = frac {1} {a} sec ^ {- 1} frac {| u | } {a} + C )

Integrais trigonométricos

18. ( quad displaystyle ∫ sin ^ 2u , du = frac {1} {2} u− frac {1} {4} sin 2u + C )

19. ( quad displaystyle ∫ cos ^ 2 u , du = frac {1} {2} u + frac {1} {4} sin 2u + C )

20. ( quad displaystyle ∫ tan ^ 2 u , du = tan u − u + C )

21. ( quad displaystyle ∫ cot ^ 2 u , du = - cot u − u + C )

22. ( quad displaystyle ∫ sin ^ 3 u , du = - frac {1} {3} (2+ sin ^ 2u) cos u + C )

23. ( quad displaystyle ∫ cos ^ 3 u , du = frac {1} {3} (2+ cos ^ 2 u) sin u + C )

24. ( quad displaystyle ∫ tan ^ 3 u , du = frac {1} {2} tan ^ 2 u + ln | cos u | + C )

25. ( quad displaystyle ∫ cot ^ 3 u , du = - frac {1} {2} cot ^ 2 u− ln | sin u | + C )

26. ( quad displaystyle ∫ sec ^ 3 u , du = frac {1} {2} sec u tan u + frac {1} {2} ln | sec u + tan u | + C )

27. ( quad displaystyle ∫ csc ^ 3 u , du = - frac {1} {2} csc u cot u + frac {1} {2} ln | csc u− cot u | + C )

28. ( quad displaystyle ∫ sin ^ nu , du = frac {-1} {n} sin ^ {n − 1} u cos u + frac {n − 1} {n} ∫ sin ^ {n − 2} u , du )

29. ( quad displaystyle ∫ cos ^ nu , du = frac {1} {n} cos ^ {n − 1} u sin u + frac {n − 1} {n} ∫ cos ^ {n-2} u , du )

30. ( quad displaystyle ∫ tan ^ nu , du = frac {1} {n-1} tan ^ {n − 1} u − ∫ tan ^ {n − 2} u , du )

31. ( quad displaystyle ∫ cot ^ nu , du = frac {-1} {n-1} cot ^ {n − 1} u − ∫ cot ^ {n − 2} u , du )

32. ( quad displaystyle ∫ sec ^ nu , du = frac {1} {n-1} tan u sec ^ {n − 2} u + frac {n-2} {n-1 } ∫ sec ^ {n − 2} u , du )

33. ( quad displaystyle ∫ csc ^ nu , du = frac {-1} {n-1} cot u csc ^ {n − 2} u + frac {n-2} {n- 1} ∫ csc ^ {n − 2} u , du )

34. ( quad displaystyle ∫ sin au sin bu , du = frac { sin (a − b) u} {2 (a − b)} - frac { sin (a + b) u} {2 (a + b)} + C )

35. ( quad displaystyle ∫ cos au cos bu , du = frac { sin (a − b) u} {2 (a − b)} + frac { sin (a + b) u} {2 (a + b)} + C )

36. ( quad displaystyle ∫ sin au cos bu , du = - frac { cos (a − b) u} {2 (a − b)} - frac { cos (a + b ) u} {2 (a + b)} + C )

37. ( quad displaystyle ∫u sin u , du = sin u − u cos u + C )

38. ( quad displaystyle ∫u cos u , du = cos u + u sin u + C )

39. ( quad displaystyle ∫u ^ n sin u , du = −u ^ n cos u + n∫u ^ {n − 1} cos u , du )

40. ( quad displaystyle ∫u ^ n cos u , du = u ^ n sin u − n∫u ^ {n − 1} sin u , du )

41. ( quad begin {align *} displaystyle ∫ sin ^ nu cos ^ mu , du = - frac { sin ^ {n − 1} u cos ^ {m + 1} u} {n + m} + frac {n − 1} {n + m} ∫ sin ^ {n − 2} u cos ^ mu , du [4pt] = frac { sin ^ {n + 1} u cos ^ {m − 1} u} {n + m} + frac {m − 1} {n + m} ∫ sin ^ nu cos ^ {m − 2} u , du end {alinhar*})

Integrais exponenciais e logarítmicos

42. ( quad displaystyle ∫ue ^ {au} , du = frac {1} {a ^ 2} (au − 1) e ^ {au} + C )

43. ( quad displaystyle ∫u ^ ne ^ {au} , du = frac {1} {a} u ^ ne ^ {au} - frac {n} {a} ∫u ^ {n− 1} e ^ {au} , du )

44. ( quad displaystyle ∫e ^ {au} sin bu , du = frac {e ^ {au}} {a ^ 2 + b ^ 2} (a sin bu − b cos bu) + C )

45. ( quad displaystyle ∫e ^ {au} cos bu , du = frac {e ^ {au}} {a ^ 2 + b ^ 2} (a cos bu + b sin bu) + C )

46. ​​ ( quad displaystyle ∫ ln u , du = u ln u − u + C )

47. ( quad displaystyle ∫u ^ n ln u , du = frac {u ^ {n + 1}} {(n + 1) ^ 2} [(n + 1) ln u − 1 ] + C )

48. ( quad displaystyle ∫ frac {1} {u ln u} , du = ln | ln u | + C )

Integrais hiperbólicos

49. ( quad displaystyle ∫ sinh u , du = cosh u + C )

50. ( quad displaystyle ∫ cosh u , du = sinh u + C )

51. ( quad displaystyle ∫ tanh u , du = ln cosh u + C )

52. ( quad displaystyle ∫ coth u , du = ln | sinh u | + C )

53. ( quad displaystyle ∫ text {sech} , u , du = tan ^ {- 1} | sinh u | + C )

54. ( quad displaystyle ∫ text {csch} , u , du = ln ∣ tanh frac {1} {2} u∣ + C )

55. ( quad displaystyle ∫ text {sech} ^ 2 u , du = tanh , u + C )

56. ( quad displaystyle ∫ text {csch} ^ 2 u , du = - coth , u + C )

57. ( quad displaystyle ∫ text {sech} , u tanh u , du = - text {sech} , u + C )

58. ( quad displaystyle ∫ text {csch} , u coth u , du = - text {csch} , u + C )

Integrais trigonométricos inversos

59. ( quad displaystyle ∫ sin ^ {- 1} u , du = u sin ^ {- 1} u + sqrt {1 − u ^ 2} + C )

60. ( quad displaystyle ∫ cos ^ {- 1} u , du = u cos ^ {- 1} u− sqrt {1 − u ^ 2} + C )

61. ( quad displaystyle ∫ tan ^ {- 1} u , du = u tan ^ {- 1} u− frac {1} {2} ln (1 + u ^ 2) + C )

62. ( quad displaystyle ∫u sin ^ {- 1} u , du = frac {2u ^ 2−1} {4} sin ^ {- 1} u + frac {u sqrt {1 −u ^ 2}} {4} + C )

63. ( quad displaystyle ∫u cos ^ {- 1} u , du = frac {2u ^ 2−1} {4} cos ^ {- 1} u- frac {u sqrt { 1 − u ^ 2}} {4} + C )

64. ( quad displaystyle ∫u tan ^ {- 1} u , du = frac {u ^ 2 + 1} {2} tan ^ {- 1} u− frac {u} {2 } + C )

65. ( quad displaystyle ∫u ^ n sin ^ {- 1} u , du = frac {1} {n + 1} left [u ^ {n + 1} sin ^ {- 1 } u − ∫ frac {u ^ {n + 1} , du} { sqrt {1 − u ^ 2}} right], quad n ≠ −1 )

66. ( quad displaystyle ∫u ^ n cos ^ {- 1} u , du = frac {1} {n + 1} left [u ^ {n + 1} cos ^ {- 1 } u + ∫ frac {u ^ {n + 1} , du} { sqrt {1 − u ^ 2}} direita], quad n ≠ −1 )

67. ( quad displaystyle ∫u ^ n tan ^ {- 1} u , du = frac {1} {n + 1} left [u ^ {n + 1} tan ^ {- 1 } u − ∫ frac {u ^ {n + 1} , du} {1 + u ^ 2} right], quad n ≠ −1 )

Envolvendo Integrais uma2 + você2, uma > 0

68. ( quad displaystyle ∫ sqrt {a ^ 2 + u ^ 2} , du = frac {u} {2} sqrt {a ^ 2 + u ^ 2} + frac {a ^ 2 } {2} ln left (u + sqrt {a ^ 2 + u ^ 2} right) + C )

69. ( quad displaystyle ∫u ^ 2 sqrt {a ^ 2 + u ^ 2} , du = frac {u} {8} (a ^ 2 + 2u ^ 2) sqrt {a ^ 2 + u ^ 2} - frac {a ^ 4} {8} ln left (u + sqrt {a ^ 2 + u ^ 2} right) + C )

70. ( quad displaystyle ∫ frac { sqrt {a ^ 2 + u ^ 2}} {u} , du = sqrt {a ^ 2 + u ^ 2} −a ln left | frac {a + sqrt {a ^ 2 + u ^ 2}} {u} right | + C )

71. ( quad displaystyle ∫ frac { sqrt {a ^ 2 + u ^ 2}} {u ^ 2} , du = - frac { sqrt {a ^ 2 + u ^ 2}} { u} + ln left (u + sqrt {a ^ 2 + u ^ 2} right) + C )

72. ( quad displaystyle ∫ frac {du} { sqrt {a ^ 2 + u ^ 2}} = ln left (u + sqrt {a ^ 2 + u ^ 2} right) + C )

73. ( quad displaystyle ∫ frac {u ^ 2} { sqrt {a ^ 2 + u ^ 2}} , du = frac {u} {2} left ( sqrt {a ^ 2 + u ^ 2} right) - frac {a ^ 2} {2} ln left (u + sqrt {a ^ 2 + u ^ 2} right) + C )

74. ( quad displaystyle ∫ frac {du} {u sqrt {a ^ 2 + u ^ 2}} = frac {−1} {a} ln left | frac { sqrt {a ^ 2 + u ^ 2} + a} {u} right | + C )

75. ( quad displaystyle ∫ frac {du} {u ^ 2 sqrt {a ^ 2 + u ^ 2}} = - frac { sqrt {a ^ 2 + u ^ 2}} {a ^ 2u} + C )

76. ( quad displaystyle ∫ frac {du} { left (a ^ 2 + u ^ 2 right) ^ {3/2}} = frac {u} {a ^ 2 sqrt {a ^ 2 + u ^ 2}} + C )

Envolvendo Integrais você2 − uma2, uma > 0

77. ( quad displaystyle ∫ sqrt {u ^ 2 − a ^ 2} , du = frac {u} {2} sqrt {u ^ 2 − a ^ 2} - frac {a ^ 2 } {2} ln left | u + sqrt {u ^ 2 − a ^ 2} right | + C )

78. ( quad displaystyle ∫u ^ 2 sqrt {u ^ 2 − a ^ 2} , du = frac {u} {8} (2u ^ 2 − a ^ 2) sqrt {u ^ 2 −a ^ 2} - frac {a ^ 4} {8} ln left | u + sqrt {u ^ 2 − a ^ 2} right | + C )

79. ( quad displaystyle ∫ frac { sqrt {u ^ 2 − a ^ 2}} {u} , du = sqrt {u ^ 2 − a ^ 2} −a cos ^ {- 1 } frac {a} {| u |} + C )

80. ( quad displaystyle ∫ frac { sqrt {u ^ 2 − a ^ 2}} {u ^ 2} , du = - frac { sqrt {u ^ 2 − a ^ 2}} { u} + ln left | u + sqrt {u ^ 2 − a ^ 2} right | + C )

81. ( quad displaystyle ∫ frac {du} { sqrt {u ^ 2 − a ^ 2}} = ln left | u + sqrt {u ^ 2 − a ^ 2} right | + C )

82. ( quad displaystyle ∫ frac {u ^ 2} { sqrt {u ^ 2 − a ^ 2}} , du = frac {u} {2} sqrt {u ^ 2 − a ^ 2} + frac {a ^ 2} {2} ln left | u + sqrt {u ^ 2 − a ^ 2} right | + C )

83. ( quad displaystyle ∫ frac {du} {u ^ 2 sqrt {u ^ 2 − a ^ 2}} = frac { sqrt {u ^ 2 − a ^ 2}} {a ^ 2u } + C )

84. ( quad displaystyle ∫ frac {du} {(u ^ 2 − a ^ 2) ^ {3/2}} = - frac {u} {a ^ 2 sqrt {u ^ 2 − a ^ 2}} + C )

Envolvendo Integrais uma2 − você2, uma > 0

85. ( quad displaystyle ∫ sqrt {a ^ 2-u ^ 2} , du = frac {u} {2} sqrt {a ^ 2-u ^ 2} + frac {a ^ 2 } {2} sin ^ {- 1} frac {u} {a} + C )

86. ( quad displaystyle ∫u ^ 2 sqrt {a ^ 2-u ^ 2} , du = frac {u} {8} (2u ^ 2 − a ^ 2) sqrt {a ^ 2 -u ^ 2} + frac {a ^ 4} {8} sin ^ {- 1} frac {u} {a} + C )

87. ( quad displaystyle ∫ frac { sqrt {a ^ 2-u ^ 2}} {u} , du = sqrt {a ^ 2-u ^ 2} −a ln left | frac {a + sqrt {a ^ 2-u ^ 2}} {u} right | + C )

88. ( quad displaystyle ∫ frac { sqrt {a ^ 2-u ^ 2}} {u ^ 2} , du = frac {−1} {u} sqrt {a ^ 2-u ^ 2} - sin ^ {- 1} frac {u} {a} + C )

89. ( quad displaystyle ∫ frac {u ^ 2} { sqrt {a ^ 2-u ^ 2}} , du = frac {1} {2} left (-u sqrt {a ^ 2-u ^ 2} + a ^ 2 sin ^ {- 1} frac {u} {a} right) + C )

90. ( quad displaystyle ∫ frac {du} {u sqrt {a ^ 2-u ^ 2}} = - frac {1} {a} ln left | frac {a + sqrt { a ^ 2-u ^ 2}} {u} right | + C )

91. ( quad displaystyle ∫ frac {du} {u ^ 2 sqrt {a ^ 2-u ^ 2}} = - frac {1} {a ^ 2u} sqrt {a ^ 2-u ^ 2} + C )

92. ( quad displaystyle ∫ left (a ^ 2 − u ^ 2 right) ^ {3/2} , du = - frac {u} {8} left (2u ^ 2−5a ^ 2 right) sqrt {a ^ 2-u ^ 2} + frac {3a ^ 4} {8} sin ^ {- 1} frac {u} {a} + C )

93. ( quad displaystyle ∫ frac {du} {(a ^ 2 − u ^ 2) ^ {3/2}} = - frac {u} {a ^ 2 sqrt {a ^ 2 − u ^ 2}} + C )

Integrais Envolvendo 2au − você2, uma > 0

94. ( quad displaystyle ∫ sqrt {2au − u ^ 2} , du = frac {u − a} {2} sqrt {2au − u ^ 2} + frac {a ^ 2} { 2} cos ^ {- 1} left ( frac {a − u} {a} right) + C )

95. ( quad displaystyle ∫ frac {du} { sqrt {2au − u ^ 2}} = cos ^ {- 1} left ( frac {a − u} {a} right) + C )

96. ( quad displaystyle ∫u sqrt {2au − u ^ 2} , du = frac {2u ^ 2 − au − 3a ^ 2} {6} sqrt {2au − u ^ 2} + frac {a ^ 3} {2} cos ^ {- 1} left ( frac {a − u} {a} right) + C )

97. ( quad displaystyle ∫ frac {du} {u sqrt {2au − u ^ 2}} = - frac { sqrt {2au − u ^ 2}} {au} + C )

Envolvendo Integrais uma + bu, uma ≠ 0

98. ( quad displaystyle ∫ frac {u} {a + bu} , du = frac {1} {b ^ 2} (a + bu − a ln | a + bu |) + C )

99. ( quad displaystyle ∫ frac {u ^ 2} {a + bu} , du = frac {1} {2b ^ 3} left [(a + bu) ^ 2−4a (a + bu) + 2a ^ 2 ln | a + bu | right] + C )

100. ( quad displaystyle ∫ frac {du} {u (a + bu)} = frac {1} {a} ln left | frac {u} {a + bu} right | + C )

101. ( quad displaystyle ∫ frac {du} {u ^ 2 (a + bu)} = - frac {1} {au} + frac {b} {a ^ 2} ln left | frac {a + bu} {u} right | + C )

102. ( quad displaystyle ∫ frac {u} {(a + bu) ^ 2} , du = frac {a} {b ^ 2 (a + bu)} + frac {1} {b ^ 2} ln | a + bu | + C )

103. ( quad displaystyle ∫ frac {u} {u (a + bu) ^ 2} , du = frac {1} {a (a + bu)} - frac {1} {a ^ 2} ln left | frac {a + bu} {u} right | + C )

104. ( quad displaystyle ∫ frac {u ^ 2} {(a + bu) ^ 2} , du = frac {1} {b ^ 3} left (a + bu− frac {a ^ 2} {a + bu} −2a ln | a + bu | right) + C )

105. ( quad displaystyle ∫u sqrt {a + bu} , du = frac {2} {15b ^ 2} (3bu − 2a) (a + bu) ^ {3/2} + C )

106. ( quad displaystyle ∫ frac {u} { sqrt {a + bu}} , du = frac {2} {3b ^ 2} (bu − 2a) sqrt {a + bu} + C )

107. ( quad displaystyle ∫ frac {u ^ 2} { sqrt {a + bu}} , du = frac {2} {15b ^ 3} (8a ^ 2 + 3b ^ 2u ^ 2− 4abu) sqrt {a + bu} + C )

108. ( quad displaystyle ∫ frac {du} {u sqrt {a + bu}} = begin {cases} frac {1} { sqrt {a}} ln left | frac { sqrt {a + bu} - sqrt {a}} { sqrt {a + bu} + sqrt {a}} right | + C, quad text {if} , a> 0 [ 4pt] frac { sqrt {2}} { sqrt {−a}} tan ^ {- 1} sqrt { frac {a + bu} {- a}} + C, quad text {if } , a <0 end {cases} )

109. ( quad displaystyle ∫ frac { sqrt {a + bu}} {u} , du = 2 sqrt {a + bu} + a∫ frac {du} {u sqrt {a + bu}} )

110. ( quad displaystyle ∫ frac { sqrt {a + bu}} {u ^ 2} , du = - frac { sqrt {a + bu}} {u} + frac {b} {2} ∫ frac {du} {u sqrt {a + bu}} )

111. ( quad displaystyle ∫u ^ n sqrt {a + bu} , du = frac {2} {b (2n + 3)} left [u ^ n (a + bu) ^ {3 / 2} −na∫u ^ {n − 1} sqrt {a + bu} , du right] )

112. ( quad displaystyle ∫ frac {u ^ n} { sqrt {a + bu}} , du = frac {2u ^ n sqrt {a + bu}} {b (2n + 1) } - frac {2na} {b (2n + 1)} ∫ frac {u ^ {n − 1}} { sqrt {a + bu}} , du )

113. ( quad displaystyle ∫ frac {du} {u ^ n sqrt {a + bu}} = - frac { sqrt {a + bu}} {a (n − 1) u ^ {n −1}} - frac {b (2n − 3)} {2a (n − 1)} ∫ frac {du} {u ^ {n-1} sqrt {a + bu}} )


42. ∫ u e a u d u = 1 a 2 (a u - 1) e a u + C ∫ u e a u d u = 1 a 2 (a u - 1) e a u + C

43. ∫ u n e a u d u = 1 a u n e a u - n a ∫ u n - 1 e a u d u ∫ u n e a u d u = 1 a u n e a u - n a ∫ u n - 1 e a u d u

44. ∫ e a u sen b u d u = e a u a 2 + b 2 (a sen b u - b cos b u) + C ∫ e a u sen b u d u = e a u a 2 + b 2 (a sen b u - b cos b u) + C

45. ∫ e a u cos b u d u = e a u a 2 + b 2 (a cos b u + b sin b u) + C ∫ e a u cos b u d u = e a u a 2 + b 2 (a cos b u + b sin b u) + C

46. ​​∫ ln u d u = u ln u - u + C ∫ ln u d u = u ln u - u + C

47. ∫ un ln udu = un + 1 (n + 1) 2 [(n + 1) ln u - 1] + C ∫ un ln udu = un + 1 (n + 1) 2 [(n + 1) ln u - 1] + C

48. ∫ 1 u ln u d u = ln | ln u | + C ∫ 1 u ln u d u = ln | ln u | + C


Integrais Definidos

Seja $ f (x) $ uma integral definida em um intervalo $ a leq x leq b $. Divida o intervalo em $ n $ partes iguais de comprimento $ Delta x = frac$. Então a integral definida de $ F (x) $ entre $ x = a $ e $ x = b $ é definida como
$ int ^ b_a f (x) dx = $ $ lim_f (a) Delta x + f (a + Delta x) Delta x + f (a + 2 Delta x) Delta x + cdots $ f (a + (n-1) Delta x) Delta x $

O limite certamente existirá se $ f (x) $ for contínuo por partes.

Se $ f (x) = fracg (x) $, então pelo teorema fundamental do cálculo integral a integral definida acima pode ser avaliada usando o resultado
$ int ^ b_a f (x) dx = int ^ b_a fracg (x) dx = g (x) | ^ b_a = g (b) -g (a) $
Se o intervalo é infinito ou se $ f (x) $ tem uma singularidade em algum ponto do intervalo, a integral definida é chamada de totalmente inapropriado e pode ser definido usando procedimentos de limitação apropriados. Por exemplo,

$ int_a ^ infty f (x) dx = lim_ int_a ^ b f (x) dx $

$ int_a ^ b f (x) dx = lim _ < epsilon to 0> int_a ^ f (x) dx $ se $ b $ for um ponto singular

$ int_a ^ b f (x) dx = lim _ < epsilon to 0> int_^ b f (x) dx $ se $ a $ for um ponto singular

Fórmulas Gerais Envolvendo Integrais Definidos

$ int_a ^ b dx = $ $ int_a ^ b f (x) dx pm int_a ^ b g (x) dx pm int_a ^ b h (x) dx pm cdots $

$ int_a ^ b cf (x) dx = c int_a ^ b f (x) dx $ onde $ c $ é qualquer constante

$ int_a ^ b f (x) dx = int_a ^ c f (x) dx + int_c ^ b f (x) dx $

$ int_a ^ b f (x) dx = (b-c) f (c) $ onde $ c $ está entre $ a $ e $ b $

Isso é chamado de teorema do valor médio para integrais definidos e é válido se $ f (x) $ é contínuo em $ a leq x leq b $.

$ int_a ^ b f (x) g (x) dx = f (c) int_a ^ b g (x) dx $ onde $ c $ está entre $ a $ e $ b $

Esta é uma generalização da anterior e é válida se $ f (x) $ e $ g (x) $ são contínuos em $ a leq x leq b $ e $ g (x) geq 0 $.

Regra de Leibnitz para diferenciação de integrais

Fórmulas Aproximadas para Integrais Definidos

A seguir, o intervalo de $ x = a $ a $ x = b $ é subdividido em $ n $ partes iguais pelos pontos $ a = x_0, x_2,. . ., x_, x_n = b $ e deixamos $ y_0 = f (x_0), y_1 = f (x_1), y_2 = f (x_2). $ $ y_n = f (x_n), h = frac$.
Fórmula retangular
$ int_a ^ b f (x) dx approx h (y_0 + y_1 + y_2 + cdots + y_)$
Fórmula trapezoidal
$ int_a ^ b f (x) dx approx frac<2> (y_0 + 2y_1 + 2y_2 + cdots + 2y_+ y_n) $
Fórmula de Simpson (ou fórmula parabólica) por $ n $ par
$ int_a ^ b f (x) dx approx frac<3> (y_0 + 4y_1 + 2y_2 + 4y_3 + cdots + 2y_+ 4y_+ y_n) $


Tabela de Integrais Comuns


Uma tabela simples de derivadas e integrais do arquivo Gottfried Leibniz. Leibniz desenvolveu o cálculo integral mais ou menos na mesma época que Isaac Newton. [Fonte da imagem]

Você pode ver como usar esta tabela de integrais comuns na seção anterior: Integração pelo uso de tabelas.

Ou, de forma equivalente: `int1 / (a ​​^ 2 + x ^ 2) dx`` = 1 / a arctan (x / a) + K`

6. `intsin ^ 2udu`` = u / 2-1 / 2sin u cos u + K`

7. `intsin ^ 3udu`` = -cos u + 1 / 3cos ^ 3u + K`

8. `intsin ^ (n) u du`` = -1 / nsin ^ (n-1) u cos u` `+ (n-1) / nintsin ^ (n-2) u du`

9. `intcos ^ 2u du`` = u / 2 + 1 / 2sin u cos u + K`

10. `intcos ^ 3u du`` = sin u-1 / 3sin ^ 3u + K`

11. `intcos ^ (n) u du`` = 1 / ncos ^ (n-1) u sin u` `+ (n-1) / nintcos ^ (n-2) u du`

12. `inttan ^ (n) u du`` = (tan ^ -1u) / (n-1) -inttan ^ (n-2) u du`

15. `intt sin nt dt`` = 1 / (n ^ 2) (sin nt-nt cos nt) + K`

16. `intt cos nt dt`` = 1 / (n ^ 2) (cos nt + nt sin nt) + K`

17. `inte ^ (au) sin bu du`` = (e ^ (au) (a sin bu-b cos bu)) / (a ​​^ 2 + b ^ 2) + K`

18. `inte ^ (au) cos bu du`` = (e ^ (au) (a cos bu + b sin bu)) / (a ​​^ 2 + b ^ 2) + K`

21. `intt ^ 2cos ntdt`` = 1 / (n ^ 3) (n ^ 2t ^ 2 sin nt-2 sin nt` `<: + 2nt cos nt) + K`


Fundamentals of University Mathematics, 3rd Edition por C McGregor, J Nimmo, W Stothers

Obter Fundamentos de matemática universitária, 3ª edição agora com o aprendizado online O’Reilly.

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A tabela a seguir pode ser usada para encontrar derivadas e integrais. As funções reais f e F são tais que

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Manual de fórmulas matemáticas e integrais

O manual atualizado é uma referência essencial para pesquisadores e estudantes em matemática aplicada, engenharia e física. Ele fornece acesso rápido a fórmulas, relações e métodos importantes de álgebra, funções trigonométricas e exponenciais, combinatória, probabilidade, teoria de matrizes, cálculo e cálculo vetorial, equações diferenciais ordinárias e parciais, séries de Fourier, polinômios ortogonais e transformadas de Laplace. Muitas das entradas são baseadas na sexta edição atualizada de Gradshteyn e Ryzhik & # x27s Tabela de integrais, séries e produtos e outras obras de referência importantes.

A terceira edição tem novos capítulos cobrindo soluções de equações elípticas, parabólicas e hiperbólicas e propriedades qualitativas do calor e da equação de Laplace.

O manual atualizado é uma referência essencial para pesquisadores e estudantes em matemática aplicada, engenharia e física. Ele fornece acesso rápido a fórmulas, relações e métodos importantes de álgebra, funções trigonométricas e exponenciais, combinatória, probabilidade, teoria de matriz, cálculo e cálculo vetorial, equações diferenciais ordinárias e parciais, séries de Fourier, polinômios ortogonais e transformadas de Laplace. Muitas das entradas são baseadas na sexta edição atualizada de Gradshteyn e Ryzhik & # x27s Tabela de integrais, séries e produtos e outras obras de referência importantes.

A terceira edição tem novos capítulos cobrindo soluções de equações elípticas, parabólicas e hiperbólicas e propriedades qualitativas do calor e da equação de Laplace.


Quando aproximar uma integral?

Podemos aproximar integrais por estimar a área sob a curva de $ boldsymbol$ por um determinado intervalo, $ boldsymbol <[a, b]> $. Em nossa discussão, iremos cobrir três métodos: 1) regra do ponto médio, 2) regra trapezoidal e 3) regra de Simpson.

Como mencionamos, há funções em que encontrar suas antiderivadas e as integrais definidas será uma façanha impossível se continuarmos com a abordagem analítica. É aí que os três métodos de aproximação de integrais serão úteis.

Estes são dois exemplos de integrais definidas que serão desafiadoras para avaliar se usarmos as técnicas de integração que aprendemos no passado.

É quando as três técnicas de aproximação integral entram. A primeira aproximação que você aprenderá nas aulas de cálculo integral é a soma de Riemann. Aprendemos como é possível estimar o área sob a curva, dividindo a região em retângulos menores com uma largura fixa.

O gráfico mostrado acima destaca como a soma de Riemann funciona: divida a região sob a curva com $ n $ retângulos que compartilham uma largura comum, $ Delta x $. O valor de $ Delta x $ é simplesmente a diferença entre os pontos finais dos intervalos dividido por $ n $: $ Delta x = dfrac$.

Podemos estimar a área e a integral usando as relações mostradas abaixo:

Soma de Riemann à direita

Soma de Riemann à esquerda

Lembre-se de que $ x_i $ representa o valor inicial com o qual estamos começando. Já discutimos a soma de Riemann neste artigo, portanto, certifique-se de dar uma olhada caso precise de uma atualização.

Na próxima seção, mostraremos os três métodos de integração numérica que você pode usar para integrar integrais complexos, como $ f (x) = e ^ < sin (0.1x ^ 2)> $. Também mostraremos exemplos para garantir que implementamos cada técnica.


B: Tabela de Integrais - Matemática

Sobre Integrais Servidos.
* Presume que pelo menos uma integral seja lida por visita.

Baixe a Tabela Completa como: Arquivo PDF | Látex

Outras tabelas imprimíveis

A maior parte da tabela em uma única página: PDF | Látex
Tabela de 18 integrais básicos: PDF | Látex
Fórmulas lógicas: PDF | Látex
Transformadas de Laplace: PDF | Látex
Guia de estudo de equações diferenciais: PDF | Látex
Estatística Elementar: PDF | Látex
Tabelas de Fazendo Cálculo PDF

Resolva qualquer integração on-line com o Wolfram Integrator (link externo)

Clique com o botão direito em qualquer integral para visualizar em mathml. Use esta barra de rolagem e darr

A tabela integral no quadro acima foi produzida TeX4ht para MathJax usando o comando o arquivo de configuração aqui, e os scripts de shell ht5mjlatex e makejax.sh

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Uso e atribuição

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As fórmulas integrais reais existem em domínio público e não podem ser protegidas por direitos autorais.

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Se você deseja fornecer suporte financeiro para a manutenção contínua deste site, adquira cópias dos livros do autor em http://calculuscastle.com

Reconhecimentos

O autor não é de forma alguma afiliado à Wolfram Research, Mathematica ou Wolfram Integrater. Acabei de postar o link no topo desta página porque acho o site deles muito legal!

Muitas pessoas identificaram erros e fizeram muitas sugestões úteis. Entre essas pessoas estão (e peço desculpas por erros ortográficos - muitos nomes estão incompletos e são baseados apenas em endereços de e-mail): Daniel Ajoy Andrea Bajo James Duley Johannes Ebke Stephen Gilmore Peter Kloeppel Larry Morris Kregg Quarles LS Rigo Nicole Ritzert Stephen Russ Jim Swift Vedran (Veky) & # 268a & # 269i & # 263 Bruce Weems Justin Winokur Corne de Witt Phillipe (Xul) Jose Antonio Alvarez Loyo Yates.

E tenho a honra de ser considerada uma das seguintes empresas conceituadas:

Quem precisa de uma referência matemática quando você tem o MathWorld ou o integral-table.com?

O clustrmap é periodicamente (e automaticamente) arquivado e seus contadores zerados, então o total é menor. Sem falar que seus servidores desistiram do fantasma transformado em zumbis em 25 de março de 2015 (Brains! Brains! Brains!):


Calculadora de integração tabular

Exemplo

Problemas resolvidos

Problemas difíceis

Exemplo resolvido de integração tabular

Podemos resolver a integral $ int x ^ 4 sin left (x right) dx $ aplicando o método de integração tabular por partes, que nos permite realizar integrações sucessivas por partes em integrais da forma $ int P (x) T (x) dx $. $ P (x) $ é tipicamente uma função polinomial e $ T (x) $ é uma função transcendente como $ sin (x) $, $ cos (x) $ e $ e ^ x $. O primeiro passo é escolher as funções $ P (x) $ e $ T (x) $

Encontre a derivada de $ x ^ 4 $ em relação a $ x $

A regra de potência para diferenciação afirma que se $ n $ é um número real e $ f (x) = x ^ n $, então $ f & # x27 (x) = nx ^$

A derivada de uma função multiplicada por uma constante ($ 4 $) é igual à constante vezes a derivada da função

A regra de potência para diferenciação afirma que se $ n $ é um número real e $ f (x) = x ^ n $, então $ f & # x27 (x) = nx ^$

A derivada de uma função multiplicada por uma constante ($ 12 $) é igual à constante vezes a derivada da função

A regra de potência para diferenciação afirma que se $ n $ é um número real e $ f (x) = x ^ n $, então $ f & # x27 (x) = nx ^$

A derivada da função linear vezes uma constante, é igual à constante


Avaliações

". se você usa este livro com frequência, definitivamente vale a pena comprar a nova edição ..." --MAA.org, novembro de 2014

"As integrais são muito úteis, mas este livro inclui muitos outros recursos que serão úteis para o leitor, especialmente estudantes de pós-graduação. As seções sobre polinômios de Hermite e Legendre são especialmente úteis para estudantes de eletricidade e magnetismo, mecânica quântica e física matemática ( eles não terão que procurar em vários livros para encontrar o que precisam). " - Barry Simon, Instituto de Tecnologia da Califórnia

"Este livro está para o CRC Mathematical Tables como o Oxford English Dictionary integral está para o Webster's Collegiate. Além de ser grande, é fácil encontrar coisas, devido à forma como as integrais são organizadas em classes. Isso realmente me ajudou durante a pós-graduação. " - Phil Hobbs, Amazon Review


Assista o vídeo: Całki nieoznaczone - wiedza podstawowa (Outubro 2021).