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3: Integrais múltiplos


Integrais múltiplas são uma generalização da integral definida para funções de mais de uma variável.

  • 3.1: Integrais Duplos e Iterados Sobre Retângulos
    Assim, podemos concluir que a integral é a função de acumulação, pois ela acumula um número infinito de faixas em um determinado domínio para calcular a área. Da mesma forma, a integral dupla também é uma função de acumulação. Ele acumula um número infinito de pequenas tiras 3D para calcular o volume de objetos 3D.
  • 3.2: Área por Dupla Integração
    Nesta seção, aprenderemos a calcular a área de uma região limitada usando integrais duplos e, usando esses cálculos, podemos encontrar o valor médio de uma função de duas variáveis.
  • 3.3: Integrais duplos nas regiões gerais
    Em 15.1, notamos que todas as bases dos objetos são retangulares. No 15.2, a área sob esses objetos é não retangular. No entanto, o método de acumulação ainda funciona.
  • 3.4: Integrais Duplos na Forma Polar
    Se o domínio tem as características de um círculo ou cardióide, é muito mais fácil resolver a integral usando coordenadas polares.
  • 3.5: Integrais triplos em coordenadas retangulares
    Assim como uma integral única tem um domínio de uma dimensão (uma linha) e uma integral dupla um domínio de duas dimensões (uma área), uma integral tripla tem um domínio de três dimensões (um volume). Além disso, como uma integral única produz um valor de 2D e uma integral dupla um valor de 3D, uma integral tripla produz um valor de dimensão superior além de 3D, a saber 4D.
  • 3.6: Integrais triplos em coordenadas cilíndricas e esféricas
    Às vezes, você pode acabar tendo que calcular o volume das formas que têm formas cilíndricas, cônicas ou esféricas e, em vez de avaliar essas integrais triplas em coordenadas cartesianas, você pode simplificar as integrais transformando as coordenadas em coordenadas cilíndricas ou esféricas. Para este tópico, aprenderemos como fazer essas transformações e, em seguida, avaliar as integrais triplas.
  • 3.7: Momentos e centros de massa
    Esta seção mostra como calcular as massas e momentos de objetos bidimensionais e tridimensionais em coordenadas cartesianas (x, y, z).
  • 3.8: Jacobianos
    O objetivo desta seção é ser capaz de encontrar o "fator extra" para uma transformação mais geral. Chamamos esse "fator extra" de Jacobiano da transformação. Podemos encontrá-lo tomando o determinante da matriz dois por dois das derivadas parciais.
  • 3.9: Substituições em múltiplos integrais
    Esta seção discute a tradução de um gráfico do plano cartesiano xy para o plano cartesiano uv e define o Jacobiano. O Jacobiano mede o quanto o volume em um determinado ponto muda ao ser transformado de um sistema de coordenadas para outro.

3. Integrais duplos e integrais de linha no plano

Esta unidade inicia nosso estudo de integração de funções de várias variáveis. Para reduzir ao mínimo as dificuldades de visualização, examinaremos apenas as funções de duas variáveis. (Veremos funções de três variáveis ​​na próxima unidade.)

Nossos principais objetos de estudo serão dois tipos de integrais:

  1. Integrais duplos, que são integrais sobre regiões planas.
  2. Integrais de linha ou caminho, que são integrais sobre curvas.

Todas as integrais podem ser pensadas como uma soma, tecnicamente um limite de somas de Riemann, e essas não serão exceção. Se você tiver certeza de dominar essa ideia simples, verá que as aplicações e provas envolvendo essas integrais são diretas.

Concluiremos a unidade aprendendo o teorema de Green que relaciona os dois tipos de integrais e é uma generalização do Teorema Fundamental do Cálculo. Ao longo do caminho, apresentaremos os conceitos de trabalho e fluxo bidimensional e também dois tipos de derivadas de funções de valor vetorial de duas variáveis, o curl e a divergência.


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Use a regra do ponto médio para aproximar o volume sob a curva.

Se inserirmos os valores que recebemos na fórmula da regra do ponto médio, obtemos

. int_0 ^ 4 int_0 ^ 2x + y ^ 2 + 2 dx dy approx sum ^ 2_ sum ^ 2_f left ( overline, overline direita) Delta.

Observe a integral dupla no lado esquerdo da equação. Nós o transformamos em uma integral iterada (onde podemos integrar em relação a uma variável por vez) anexando o. x. -intervalo para o integral interno e o. y. -intervalo para o integral externo. Já que colocamos os limites da integração para. x. no intervalo interno, isso significa que também temos que colocar. dx. no interior antes. dy. que vem em segundo lugar desde os limites da integração para. y. estão na integral externa.

Poderíamos avaliar essa integral iterada para encontrar exato volume sob a curva sobre o retângulo. R = [0,2] vezes [0,4]. mas fomos solicitados a usar a regra de ponto médio para aproximado volume, então, em vez disso, usaremos o lado direito da fórmula.

Precisamos definir o retângulo. R. então divida em retângulos menores com base em. m. e . n. e, em seguida, encontre o ponto médio de cada retângulo para que possamos inserir os pontos médios em nossa função. f (x, y) = x + y ^ 2 + 2. em seguida, insira a soma dos resultados na fórmula de aproximação para. f left ( overline, overlinecerto).

O retângulo. R = [0,2] vezes [0,4]. significa que queremos integrar ao longo do. x. -intervalo . [0,2]. e sobre o. y. -intervalo . [0,4].


Cálculo multivariável CLP-3

Integrais duplos são úteis para mais do que apenas áreas e volumes de computação. Aqui estão algumas outras aplicações que levam a integrais duplos.

Subseção 3.3.1 Médias

Na seção 2.2 do texto do CLP-2, definimos o valor médio de uma função de uma variável. Agora vamos estender essa discussão para funções de duas variáveis. Primeiro, lembramos a definição da média de um conjunto finito de números.

Definição 3.3.1.

A média (média) de um conjunto de (n ) números (f_1 text <,> ) (f_2 text <,> ) ( cdots text <,> ) (f_n ) é

As notações ( bar f ) e ( llt f rgt ) são ambas comumente usadas para representar a média.

Agora suponha que queremos tirar a média de uma função (f (x, y) ) com ((x, y) ) executando continuamente sobre alguma região ( cR ) no (xy ) -avião. Uma abordagem natural para definir o que queremos dizer com o valor médio de (f ) sobre ( cR ) é

  • Primeiro, fixe qualquer número natural (n text <.> )
  • Subdivida a região ( cR ) em pequenos quadrados (aproximados) de largura ( De x = frac <1>) e altura ( De y = frac <1> text <.> ) Isso pode ser feito, por exemplo, subdividindo tiras verticais em pequenos quadrados, como no Exemplo 3.1.11.
  • Nomeie os quadrados (em qualquer ordem fixa) (R_1 text <,> ) (R_2 text <,> ) ( cdots text <,> ) (R_N text <,> ) onde (N ) é o número total de quadrados.
  • Selecione, para cada (1 le i le N text <,> ) um ponto no número do quadrado (i ) e chame-o de ((x_i ^ *, y_i ^ *) text <.> ) Então ((x_i ^ *, y_i ^ *) in R_i text <.> )
  • O valor médio de (f ) nos pontos selecionados é

Assim que tivermos as somas de Riemann, ficará claro o que fazer a seguir. Tomando o limite (n rightarrow infty text <,> ), obtemos exatamente ( frac < dblInt_ cR f (x, y) , dee, dee> < dblInt_ cR dee, dee> text <.> ) É por isso que definimos

Definição 3.3.2.

Seja (f (x, y) ) uma função integrável definida na região ( cR ) no plano (xy ). O valor médio de (f ) em ( cR ) é

Exemplo 3.3.3. Média.

Seja (a gt 0 text <.> ) Uma montanha, chame-a de Half Dome 1, tem altura (z (x, y) = sqrt) acima de cada ponto ((x, y) ) na região de base ( cR = Set <(x, y)> text <.> ) Encontre sua altura média.


3: Integrais múltiplos

A integração de uma função de três variáveis, w = f (x, y, z), sobre uma região tridimensional R no espaço xyz é chamada de integral tripla e é denotada

Esta página contém as seguintes seções:

Suponha que R é a caixa com a & lt = x & lt = b, c & lt = y & lt = d e r & lt = z & lt = s.

A integral tripla é dada por

Para calcular a integral iterada à esquerda, integra-se primeiro em relação a z, depois y e, em seguida, x. Quando um integra em relação a uma variável, todas as outras variáveis ​​são consideradas constantes. Para uma região semelhante a uma caixa, a integral é independente da ordem de integração, assumindo que f (x, y, z) é contínua. Portanto, há um total de 6 maneiras de solicitar as integrações. Por exemplo, podemos integrar em relação ax, depois z e, em seguida, y. Neste caso temos

Considere o seguinte exemplo:

Integrando com respeito a z, tratando x e y como constantes, obtemos

Observe que z desapareceu completamente da expressão à direita. A integral do meio é em relação ay e x é tratada como uma constante. Nós temos

Observe que y desapareceu da expressão à direita. A integral externa é em relação a x. Nós temos

Você deve verificar se a mesma resposta é obtida se a ordem de integração for alterada.

Para obter uma melhor compreensão das integrais triplas, vamos considerar o seguinte exemplo, onde a integral tripla surge no cálculo da massa. Suponha que a região R no espaço xyz corresponda a um objeto ef (x, y, z) é a densidade por unidade de volume no ponto (x, y, z). Se a densidade for constante, então a massa do objeto é o produto da densidade e do volume de R. Se a densidade varia com a posição, então não podemos aplicar esta fórmula geral.

Podemos calcular a massa dividindo o R em um monte de caixas infinitesimais. Considere a caixa entre x e x + dx, y e y + dy, ez e z + dz. Aqui, dx, dy e dz são infinitesimais. Nesta pequena caixa, a densidade é essencialmente constante e é igual af (x, y, z). A massa da pequena caixa é o produto da densidade e do volume. O volume da caixa é dxdydz. Portanto, a massa da pequena caixa é f (x, y, z) dxdydz. A integral tripla dá a massa total do objeto e é igual à soma das massas de todas as caixas infinitesimais em R.

Integrais triplos também surgem no cálculo de

  • Volume (se f (x, y, z) = 1, então a integral tripla é igual ao volume de R)
  • Força em um objeto 3D
  • Média de uma função em uma região 3D
  • Centro de Missa e Momento de Inércia

Gostaríamos de ser capazes de integrar integrais triplos para regiões mais gerais. As regiões gerais são classificadas em três tipos. Suponha que a região R seja tal que g_1 (x, y) & lt = z & lt = g_2 (x, y), onde (x, y) se encontra na região D no plano xy, como mostrado na figura:

A região D é a projeção de R no plano xy. A integral tripla é dada por

é em relação a z. O resultado é uma função de x e y. O restante do cálculo

é uma integral dupla sobre a região D no plano xy.

Se a região R é definida de modo que g_1 (x, z) & lt = y & lt = g_2 (x, z), (x, z) fica na região D no plano xz, então

A integral interna é em relação a y. O restante do cálculo envolve uma integral dupla sobre a região D no plano xz.

Finalmente, suponha que R é tal que g_1 (y, z) & lt = x & lt = g_2 (y, z), onde (y, z) está em uma região D no plano yz, então

A integral interna é em relação a x. O restante do cálculo envolve uma integral dupla sobre a região D no plano yz.

Considere a integral tripla

onde R é a região tetraédrica limitada pelos planos x = 0, y = 0, z = 0 e x + y + z = 2 (veja a figura abaixo).

Existem várias maneiras de calcular a integral. Podemos reescrever a equação do plano x + y + z = 2 como z = 2-x-y. Observe que 0 & lt = z = & lt2-x-y. Portanto, temos

A integral interna é (lembre-se de que x e y são constantes nesta integração)

A projeção da região R no plano xy é o triângulo D mostrado na figura abaixo:

Portanto, ficamos com a integral dupla

Também podemos avaliar a integral dupla integrando com respeito ax primeiro, depois y. Nesse caso


Soluções Stewart Calculus 7e Capítulo 15 Integrais Múltiplos Exercício 15.4

Capítulo 15 Múltiplos Integrais 15,4 1E

Capítulo 15 Múltiplos Integrais 15,4 2E

Capítulo 15 Múltiplos Integrais 15,4 3E


Capítulo 15 Múltiplos Integrais 15.4 4E

Capítulo 15 Múltiplos Integrais 15,4 5E

Capítulo 15 Múltiplos Integrais 15,4 6E

Capítulo 15 Múltiplos Integrais 15,4 7E


Capítulo 15 Múltiplos Integrais 15,4 8E




Capítulo 15 Múltiplos Integrais 15,4 9E


Capítulo 15 Múltiplos Integrais 15,4 10E




Capítulo 15 Múltiplos Integrais 15,4 11E




Capítulo 15 Múltiplos Integrais 15,4 12E


.

Capítulo 15 Múltiplos Integrais 15,4 13E


Capítulo 15 Múltiplos Integrais 15,4 14E


Capítulo 15 Múltiplos Integrais 15,4 15E




Capítulo 15 Múltiplos Integrais 15,4 16E



Capítulo 15 Múltiplos Integrais 15,4 17E


Capítulo 15 Múltiplos Integrais 15,4 18E



Capítulo 15 Múltiplos Integrais 15,4 19E


Capítulo 15 Múltiplos Integrais 15,4 20E


Capítulo 15 Múltiplos Integrais 15,4 21E



Capítulo 15 Múltiplos Integrais 15,4 22E


Capítulo 15 Múltiplos Integrais 15,4 23E


Capítulo 15 Múltiplos Integrais 15,4 24E


Capítulo 15 Múltiplos Integrais 15,4 25E






Capítulo 15 Múltiplos Integrais 15,4 26E



Capítulo 15 Múltiplos Integrais 15,4 27E


Capítulo 15 Múltiplos Integrais 15,4 28E




Capítulo 15 Múltiplos Integrais 15,4 29E



Capítulo 15 Múltiplos Integrais 15,4 30E



Capítulo 15 Múltiplos Integrais 15,4 31E



Capítulo 15 Múltiplos Integrais 15,4 32E


Capítulo 15 Múltiplos Integrais 15,4 33E


Capítulo 15 Múltiplos Integrais 15,4 34E






Capítulo 15 Múltiplos Integrais 15,4 35E


Capítulo 15 Múltiplos Integrais 15,4 36E







Capítulo 15 Múltiplos Integrais 15,4 39E





Capítulo 15 Múltiplos Integrais 15,4 40E










Capítulo 15 Múltiplos Integrais 15,4 41E






8.4: Integrais duplos e triplos

  • Contribuição de Marcia Levitus
  • Professor Associado (Biodesign Institute) na Arizonia State University

Podemos estender a ideia de uma integral definida para mais dimensões. Se (f (x, y) ) é contínuo sobre o retângulo (R = [a, b] vezes [c, d] ) então,

Se (f (x, y) geq0 ), então a integral dupla representa o volume (V ) do sólido que está acima do retângulo (R ) e abaixo da superfície (z = f (x , y) ) (Figura ( PageIndex <1> )).

Figura ( PageIndex <1> ): Interpretação geométrica de uma integral dupla (CC BY-NC-SA Marcia Levitus)

Podemos calcular a integral dupla da Equação ref Como:

o que significa que primeiro calcularemos

mantendo (x ) constante e integrando em relação a (y ). O resultado será uma função contendo apenas (x ), que iremos integrar entre (a ) e (b ) em relação a (x ).

Por exemplo, deixe & rsquos resolver ( int_ <0> ^ <3> int_ <1> ^ <2>). Vamos começar resolvendo ( int_ <1> ^ <2>) mantendo (x ) constante:

Agora integramos esta função de 0 a 3 em relação a (x ):

Você pode, é claro, integrar de 0 a 3 primeiro em relação a (x ) mantendo (y ) constante e, em seguida, integrar o resultado em relação a (y ) de 1 a 2. Tente desta forma e verifique você obtém o mesmo resultado.

Integrais triplos funcionam da mesma maneira. Se (f (x, y, z) ) é contínuo na caixa retangular (B = [a, b] vezes [c, d] vezes [r, s] ), então

Esta integral iterada significa que integramos primeiro em relação a (x ) (mantendo (y ) e (z ) fixos), então integramos em relação a (y ) (mantendo (z ) corrigido) e, finalmente, integramos em relação a (z ). Existem cinco outras ordens possíveis que podemos integrar, todas com o mesmo valor.

Você precisa de uma atualização sobre integrais duplos e triplos? Confira os vídeos abaixo antes de passar para os exemplos de físico-química.

  • Exemplo 1: http://www.youtube.com/watch?v=RqD89-afGS0
  • Exemplo 2: http://www.youtube.com/watch?v=CPR0ZD0IYVE (verifique o exemplo que começa por volta de 3:45 min. E termina em 5:07 min)

Integrais triplos são usados ​​com muita freqüência em físico-química para normalizar funções de densidade de probabilidade. Por exemplo, na mecânica quântica, o quadrado absoluto da função de onda, ( left | psi (x, y, z) right | ^ 2 ), é interpretado como um densidade de probabilidade, a probabilidade de que a partícula esteja dentro do volume (dx.dy.dz ). Como a probabilidade de encontrar a partícula em algum lugar do espaço é 1, exigimos que:

Já mencionamos as funções de onda na Seção 2.3, onde mostramos que

[ left | psi (x, y, z) right | ^ 2 = psi ^ * (x, y, z) psi (x, y, z) nonumber ]

A condição de normalização, portanto, também pode ser escrita como

Na mecânica quântica, o estado de menor energia de uma partícula confinada em uma caixa tridimensional é representado por

( psi (x, y, z) = 0 ) caso contrário (fora da caixa).

Aqui, (A ) é uma constante de normalização e (a ), (b ) e (c ) são os comprimentos dos lados da caixa. Uma vez que a probabilidade de encontrar a partícula em algum lugar do espaço é 1, exigimos que

Encontre a constante de normalização (A ) em termos de (a, b, c ) e outras constantes.


Exemplo

Pergunta de exemplo: Calcule o seguinte integral duplo:

Uma rápida olhada nesta integral revela um problema: A integral & # 8220inside & # 8221 (integrando em relação ax) requer que você encontre a antiderivada de 1 / & radic (x 3 + 1). Não existe uma regra de integração que possa ajudar com isso, então vamos mudar a ordem de integração para encontrar uma solução.

Etapa 1: Escreva os limites da integração como desigualdades:

Passo 2: Encontre um novo conjunto de desigualdades que descreve a região com as variáveis ​​em ordem oposta. Observação: Esta etapa é Muito de mais fácil se você desenhar um gráfico da área.

No conjunto de desigualdades da Etapa 1, y veio primeiro. Então, primeiro, definir a região em termos de x em vez de.

A região sombreada é limitada à esquerda e à direita por valores x entre 0 e 1. Representado graficamente com Desmos.com.

Em seguida, você & # 8217deverá definir a forma em termos da variável y Esta é a área delimitada por cima e por baixo.
A área é limitada pela linha y = 0 (ou seja, o eixo x) na parte inferior e a equação y = x 2 na parte superior, então:
(0 & le y & le x 2).

O novo conjunto de desigualdades, dado que somos invertendo a ordem de integração, é:
(0 e le x e le 1)
(0 & le y & le x 2).

Etapa 3: Escreva a nova integral com as desigualdades da Etapa 2. Não se esqueça de reverter & # 8220dx & # 8221 e & # 8220dy & # 8221.

Passo 4: Integre como de costume. Para esta integral dupla, você precisará integrar duas vezes: uma vez em relação ay, a seguir em relação a x.


Mudança de Variáveis ​​em Integrais Múltiplos

Substituição (ou mudança de variáveis) é uma técnica poderosa para avaliar integrais em cálculo de variável única. Uma transformação equivalente está disponível para lidar com integrais múltiplos. A ideia é substituir as variáveis ​​originais de integração pelo novo conjunto de variáveis. Desta forma, o integrando é alterado, bem como os limites para integração. Se tivermos a sorte de encontrar uma mudança conveniente de variáveis, podemos simplificar significativamente o integrando ou os limites.

Fórmula de mudança de variáveis

Imagens bidimensionais são as mais fáceis de desenhar, portanto, começaremos com funções de duas variáveis. Nossa primeira tarefa é se familiarizar com as transformações de regiões bidimensionais.

Transformações em ( mathbb R ^ 2 )

Suponha que (S ) seja uma região em ( mathbb R ^ 2 ). Queremos estudar as maneiras pelas quais esta região pode ser transformada em outra região (T ).

Isso é mais fácil de explicar considerando um exemplo. Seja (S = [0,2] vezes [0,2] ). Considere as funções (u: S to mathbb R ) e (v: S to mathbb R ) definidas da seguinte forma: begin u (x, y) & = & x + 2y v (x, y) & = & x-y. end Para cada ponto ((x, y) in S ) ( (S ) é pintado de azul no diagrama à esquerda), podemos atribuir um novo ponto verde com coordenadas ((u (x, y), v (x, y)) ). Desta forma, obtemos uma região verde (T ).

O mapeamento ((x, y) mapsto (u (x, y), v (x, y)) ) é um-para-um e sobre, portanto, uma bijeção (você pode querer revisar esses termos no seção Funções). Também podemos escrever a transformação inversa, que mapeia cada ponto ((u, v) em T ) ao ponto ((x (u, v), y (u, v)) ) da seguinte maneira : começar x (u, v) & = & frac3 y (u, v) & = & frac3. fim

Mudança de variáveis ​​em integrais duplos

Suponha que (S subseteq mathbb R ^ 2 ) seja uma região no plano. Seja (T subseteq mathbb R ^ 2 ) outra região e suponha que existem funções continuamente diferenciáveis ​​ (X: T to mathbb R ) e (Y: T to mathbb R ), de forma que o mapeamento ( Phi (u, v) = (X (u, v), Y (u, v)) ) é uma bijeção entre (T ) e (S ).

Omitimos a prova - você se sairá muito bem em cálculo sem conhecer esta prova.

A transformação ((x, y) mapsto (2x + 3y, x-3y) ) é linear e a imagem do paralelogramo original também deve ser paralelogramo. O vértice ((0,0) ) é mapeado para o vértice ((0,0) ) do novo paralelogramo. Da mesma forma, ( left (1, frac13 right) ) é mapeado para ((3,0) ), ( left ( frac43, frac19 right) mapsto (3,1) ) e ( left ( frac13, - frac29 right) mapsto (0,1) ).

Para encontrar o Jacobiano, precisamos expressar (x ) e (y ) em termos de (u ) e (v ). Fazemos isso resolvendo o sistema (u = x + 3y ), (v = y ), e obtemos:

Denote por (E ) o paralelogramo com vértices ((0,0) ), ((3,0) ), ((3,1) ) e ((0,1) ) Nós temos começar iint_D e ^ <2x + 3y> cdot cos (x-3y) , dxdy & = & iint_E e ^ u cdot cos v cdot left | - frac19 right | , dudv = frac19 iint_Ee ^ u cos v , dudv & = & frac19 int_0 ^ 1 int_0 ^ 3e ^ u cos v , dudv = frac19 int_0 ^ 1 left. left ( cos v cdot e ^ u right) right | _^, dv & = & frac19 int_0 ^ 1 left (e ^ 3-1 right) cdot cos v , dv = frac9 cdot left. Sin v right | _^ & = & frac < left (e ^ 3-1 right) cdot sin 1> <9>. end

Mudança de variáveis ​​em integrais triplos

Suponha que (S, T subseteq mathbb R ^ 3 ) são duas regiões no espaço. Suponha que existam funções continuamente diferenciáveis ​​ (X: T to mathbb R ), (Y: T to mathbb R ), e (Z: T to mathbb R ), de modo que o mapeamento ( Phi: T para S ) definido como ( Phi (u, v, w) = (X (u, v, w), Y (u, v, w), Z (u, v , w)) ) é uma bijeção.

Omitido. Veja qualquer livro de análise real.

Substituições polares, cilíndricas e esféricas

Agora estudaremos substituições muito importantes que são usadas para simplificar integrações em domínios circulares, esféricos, cilíndricos e elípticos. Um deles é aplicável a integrais duplos e é chamado de mudança polar de variáveis ​​e os outros dois, cilíndricos e esféricos, são usados ​​em integrais triplos.

Substituição polar

A seguinte mudança de variáveis ​​é chamada de substituição polar: begin x & = & r cos theta y & = & r sin theta. fim O Jacobiano para a substituição polar é igual a: [ frac < partial (x, y)> < partial (r, theta)> = det left | begin cos theta & -r sin theta sin theta & r cos theta end right | = r cos ^ 2 theta + r sin ^ 2 theta = r. ]

As variáveis ​​ (r ) e ( theta ) têm o significado geométrico no sistema de coordenadas (xy ). A distância entre ((x, y) ) e a origem é precisamente (r ), enquanto ( theta ) são os ângulos entre o eixo (x ) e a linha que conecta ((x , y) ) com ((0,0) ).

Vamos usar a seguinte substituição: begin x & = & r cos theta y & = & r sin theta 0 leq & r & leq 3 0 leq & theta && lt 2 pi. fim A transformação ((r, theta) mapsto (r cos theta, r sin theta) ) é uma bijeção entre o retângulo ([0,3] times [0,2 pi] ) no ((r, theta) ) - plano e o disco de raio (3 ).

Como (x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2 cos ^ 2 theta + r ^ 2 sin ^ 2 theta = r ^ 2 ), a integral torna-se: begin iint_D cos left (x ^ 2 + y ^ 2 right) , dxdy & = & int_0 ^ <2 pi> int_0 ^ 3 cos left (r ^ 2 right) cdot r , drd theta. fim Para o integral ( int_0 ^ 3 cos left (r ^ 2 right) r , dr ) usamos a substituição (r ^ 2 = u ). Então temos (r = sqrt u ) e (dr = frac1 <2 sqrt u> , du ). Os limites de integração tornam-se (0 leq u leq 9 ), e a integral é [ int_0 ^ 3 cos (r ^ 2) r , dr = int_0 ^ 9 cos u cdot sqrt u cdot frac1 <2 sqrt u> , du = frac12 int_0 ^ 9 cos u , du = frac < sin 9> 2. ] Portanto, [ iint_D cos left ( x ^ 2 + y ^ 2 right) , dxdy = int_0 ^ <2 pi> frac < sin9> 2 , d theta = sin 9 cdot pi. ]

Ao lidar com elipses, é muito comum usar a substituição polar modificada. Se a equação da elipse for ( frac+ frac= 1 ), a seguinte substituição é usada para descrever seu interior: begin x & = & ar cos theta y & = & br sin theta 0 leq & r & leq 1 0 leq & theta & leq 2 pi. fim

Vamos usar a seguinte substituição: begin x & = & r cos theta y & = & r sin theta z & = & z 0 leq & r & leq 2 0 leq & theta && lt frac < pi> 4 0 leq & z & leq 4-r ^ 2. fim A transformação ((r, theta, z) mapsto (r cos theta, r sin theta, z) ) é uma bijeção entre o sólido (B ) definido como: [B = left <(r, theta, z): 0 leq r leq 2, 0 leq theta leq frac < pi> 4, 0 leq z leq 4-r ^ 2 right > ] no ((r, theta, z) ) - espaço e no sólido (D ) da formulação do problema.

Como (x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2 cos ^ 2 theta + r ^ 2 sin ^ 2 theta = r ^ 2 ), a integral torna-se: begin iiint_D e ^, dxdydz & = & int_0 ^ <2> int_0 ^ < frac < pi> 4> int_0 ^ <4-r ^ 2> e ^ cdot r , dzd theta dr & = & int_0 ^ <2> int_0 ^ < frac < pi> 4> e ^ cdot r (4-r ^ 2) , d theta dr & = & frac < pi> 4 cdot int_0 ^ 2 r (4-r ^ 2) e ^, dr. fim Na última integral usamos a substituição (r ^ 2 = u ). Então temos (r = sqrt u ) e (dr = frac1 <2 sqrt u> , du ). Os limites de integração tornam-se (0 leq u leq 4 ), e a integral é [ int_0 ^ 2 r (4-r ^ 2) e ^, dr = int_0 ^ 4 sqrt u cdot (4-u) cdot e ^ u cdot frac1 <2 sqrt u> , du = frac12 int_0 ^ 44e ^ u , du- frac12 int_0 ^ 4ue ^ u , du. ] O primeiro termo do lado direito é igual a (2 left (e ^ 4-1 right) ), e para o segundo usamos a integração por partes. Tomamos (f = u ), (dg = e ^ udu ), que nos dá (g = e ^ u ) e a integral torna-se: [ int_0 ^ 4ue ^ u , du = left.ue ^ u right | _0 ^ 4- int_0 ^ 4e ^ u , du = 4e ^ 4-e ^ 4 + 1. ] Portanto [ int_0 ^ 2r (4-r ^ 2) e ^, dr = 2e ^ 4-2-2e ^ 4 + frac2- frac12 = frac2, ] portanto, [ iiint_D e ^, dxdydz = frac < left (e ^ 4-5 right) pi> 8. ]

Substituição esférica

Substituição esférica significa substituir as variáveis ​​originais ((x, y, z) ) pelas variáveis ​​ (( rho, theta, phi) ), onde ( rho ) é a distância dos pontos ((x, y, z) ) da origem ((0,0,0) ) ( theta ) é o ângulo que a linha conectando ((0,0,0) ) e ((x, y, 0) ) formas com o eixo (x ), e ( phi ) é o ângulo entre o eixo (z ) e a linha conectando ((x, y , z) ) com ((0,0,0) ). Matematicamente, as equações são: begin x & = & rho cos theta sin phi y & = & rho sin theta sin phi z & = & rho cos phi. fim Podemos encontrar o Jacobiano calculando o determinante apropriado: begin frac < partial (x, y, z)> < partial ( rho, theta, phi)> & = & det left | begin cos theta sin phi & - rho sin theta sin phi & rho cos theta cos phi sin theta sin phi & rho cos theta sin phi & rho sin theta cos phi cos phi & 0 & - rho sin phi end certo | & = & - rho ^ 2 cos ^ 2 theta sin ^ 3 phi- rho ^ 2 sin ^ 2 theta sin phi cos ^ 2 phi- rho ^ 2 cos ^ 2 theta sin phi cos ^ 2 phi- rho ^ 2 sin ^ 2 theta sin ^ 3 phi & = & - rho ^ 2 sin ^ 3 phi- rho ^ 2 sin phi cos ^ 2 phi = - rho ^ 2 sin phi. End Como na avaliação da integral estamos usando o valor absoluto do Jacobiano, e ( phi in left (0, frac < pi> 2 right) ) é suficiente e mais conveniente lembrar que [ left | frac < partial (x, y, z)> < partial ( rho, theta, phi)> right | = rho ^ 2 sin phi. ]

Vamos usar a seguinte substituição: begin x & = & rho cos theta sin phi y & = & rho sin theta sin phi z & = & rho cos phi 0 leq & rho & leq 3 0 leq & theta && lt frac < pi> 4 0 leq & phi & leq frac < pi> 2. fim A avaliação da integral agora é fácil, pois ela se torna uma integral iterada nas variáveis ​​ ( rho ), ( theta ) e ( phi ). começar iiint_D e ^ < sqrt> , dV & = & int_0 ^ <3> int_0 ^ < frac < pi> 4> int_0 ^ < frac < pi> 2> e ^ < rho> cdot rho ^ 2 cdot sin phi , d phi d theta d rho = int_0 ^ 3 int_0 ^ < frac < pi> 4> e ^ < rho> cdot rho ^ 2 cdot left. esquerda (- cos phi direita) direita | _ < phi = 0> ^ < phi = frac < pi> 2> , d theta d rho & = & int_0 ^ 3 int_0 ^ < frac < pi> 4> e ^ < rho> cdot rho ^ 2 cdot 1 , d theta d rho = frac < pi> 4 cdot int_0 ^ 3 rho ^ 2e ^ < rho> , d rho. end Na última integral, podemos usar integração por partes com funções (u = rho ^ 2 ), (d v = e ^ < rho> , d rho ). Então temos (du = 2 rho , d rho ) e podemos pegar (v = e ^ < rho> ). A integral torna-se: begin int_0 ^ 3e ^ < rho> rho ^ 2 , d rho = left. rho ^ 2e ^ < rho> right | _0 ^ 3-2 int_0 ^ 3 rho e ^ < rho > , d rho & = & 9e ^ 3- left.2 rho e ^ < rho> right | 0 ^ <3> +2 int_0 ^ 3e ^ < rho> , d rho = 9e ^ 3-6e ^ 3 + 2e ^ 3-2 = 5e ^ 3-2. fim Assim, o resultado final é: begin iiint_D e ^ < sqrt> , dV & = & frac < pi cdot left (5e ^ 3-2 right)> 4. fim


Como funciona a Calculadora Integral Dupla

A calculadora nesta página calcula sua integral dupla simbolicamente usando um sistema de álgebra de computador. Na integração simbólica, o computador usa álgebra e regras integrais para obter a antiderivada da função antes de aplicar o teorema fundamental do cálculo. Em essência, a integração simbólica segue os mesmos passos que um ser humano faria com papel e lápis. Ele tem a capacidade de atingir uma precisão de solução quase perfeita. A calculadora nesta página tem precisão de, no mínimo, a 5ª casa decimal!

A alternativa ao uso de integração simbólica para resolver integrais é chamada de métodos numéricos / integração. Uma rotina numérica executa uma versão relativamente pequena e aproximada do problema quantas vezes forem necessárias para convergir para uma solução precisa. Geralmente, as rotinas numéricas podem resolver uma variedade maior de problemas, mas podem demorar mais e ser menos precisas.


Assista o vídeo: Integral Dupla - CÁLCULO III #1 (Outubro 2021).