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1: Noções básicas de vetores


1: Noções básicas de vetores

Ciência de dados para psicólogos

Vetores são os formatos de dados mais comuns e mais importantes em R. Para nossos propósitos, um vetor é uma sequência ordenada de objetos do mesmo tipo. 17 Qualquer vetor tem três propriedades comuns:

  1. Está modelo de elementos (testado por typeof ())
  2. Está comprimento (testado por comprimento ())
  3. opcional atributos ou metadados (testados por atributos ()).

O atributo mais comum de um vetor v são os nomes de seus elementos, que podem ser definidos ou recuperados por nomes (v).

1.4.1 Básico

Pense em um vetor como um trem de carga que contém uma sequência de vagões do mesmo tipo: cada vagão pode conter cargas diferentes (objetos), mas todos esses objetos devem ser do mesmo tipo (por exemplo, valores lógicos, números, ou personagens). Como os vagões são indistinguíveis do lado de fora, o conteúdo de qualquer vagão em particular pode ser determinado abordando o vagão por seu nome (um atributo opcional) ou seu número (ou posição) na sequência. Por exemplo, suponha que haja um vetor denominado trem. Mesmo quando não sabemos como esse vetor foi definido (já que não é mostrado aqui), as seguintes funções fornecem algumas informações básicas sobre ele:

Para obter informações sobre o vetor de trem, aplicamos alguns funções para isso. Vamos explicar cada uma dessas funções:

A avaliação do trem imprime todo o vetor em nosso Console. Na verdade, é apenas uma abreviatura para imprimir (trem). Se o vetor for curto o suficiente para ser impresso em sua totalidade, podemos obter informações abrangentes sobre ele (ou seja, seu tipo, comprimento, nomes e todos os seus elementos). Mas mesmo que o vetor seja muito longo para ser impresso, ainda podemos aprender seu tipo, se seus elementos são nomeados e quais são seus primeiros elementos.

Aprendemos que todos os elementos de um vetor são iguais modelo. A função typeof (v) determina explicitamente o tipo de um vetor v.

Como os vetores são sequências unidimensionais, eles têm um comprimento. O comprimento da função (v) determina o comprimento de um vetor v.

Vetores podem ter nomes, mas não precisa tê-los. Os nomes de função (v) determinam os nomes de um vetor ve retorna NULL se seus elementos não forem nomeados.

O conteúdo de determinados elementos do vetor pode ser acessado por seu número ou nome (se v contiver nomes). Para acessar os elementos do vetor, R usa quadrado colchetes []. O comando v [n] retorna o n -ésimo elemento de um vetor v, e o comando v ["abc"] retorna o elemento denominado “abc” de um vetor v (se v contiver um elemento com este nome).

Aprenderemos mais sobre como acessar elementos vetoriais específicos quando aprendermos mais sobre indexação abaixo (na Seção 1.4.6).

Prática

Os seguintes objetos v1 e v2 são vetores (ou seja, uma sequência ordenada de elementos) que têm um comprimento de 4 elementos, mas são de tipos diferentes:

De que tipo são os elementos de v1 e v2?

Qual é o seu i-ésimo (por exemplo, 2º) elemento?

Aplicando funções básicas de vetor:

Qual é a sequência reversa de v2?

A v1 ou v2 contém algum elemento "A"?

Onde um elemento “A” (primeiro) ocorre em algum vetor v2?

Qual elemento da v2 tem um valor específico (por exemplo, "B" ou "Z")?

Observe que algumas dessas perguntas pedem um vetor de elementos, enquanto outras são respondidas por um valor binário simples (por exemplo, VERDADEIRO ou FALSO) ou um vetor de números (posições). Para resolver essas tarefas, podemos aplicar funções um pouco mais avançadas aos vetores:

  • A função% em% (usada como um operador binário entre seus dois argumentos) verifica se o argumento esquerdo (primeiro) é um elemento do direito (segundo):
  • O operador% in% é baseado na função match () que retorna as posições das (primeiras) correspondências de seu primeiro argumento em seu segundo argumento:
  • A função which () retorna a (s) posição (ões) (ou seja, números) para as quais um teste em um vetor é avaliado como VERDADEIRO:

Assim, which () nos permite testar um vetor com algum teste e retorna um vetor (numérico) das posições para as quais o teste é VERDADEIRO.

Aprenderemos mais sobre essas e muitas outras funções baseadas em vetores posteriormente. Por enquanto, apenas tente entender essas funções básicas e lembre-se de que existem muitas maneiras de sondar e manipular vetores.

1.4.2 Criação de vetores

Para criar um novo vetor, podemos combinar vários objetos do mesmo tipo com a função c () (pense corrente, combinar, ou concatenar), separando os elementos do vetor por vírgulas:

A mesma função pode ser usada para combinar escalares e vetores:

mas observe que o vetor resultante ainda é um vetor, em vez de um vetor contendo outros vetores (ou seja, c () achatar vetores).

A função c () também pode ser usada para combinar objetos do tipo caractere ou valores lógicos em vetores:

Ao combinar diferentes tipos de dados, eles são coagido em um único tipo de dados. O resultado é um vetor numérico (ao misturar valores verdade e objetos numéricos) ou um vetor de caracteres (ao misturar qualquer coisa com caracteres):

Em R, quase sempre estamos lidando com vetores. Esses vetores são criados por nós (usando funções que criam ou retornam vetores) ou lidos como dados. Como veremos a seguir (na Seção 1.5), os arquivos de dados na forma de tabelas são, na verdade, colunas de vetores.

1.4.3 Aplicação de funções a vetores

A maioria das funções em R pode ser aplicada a vetores. Ao aplicar uma função a um vetor, normalmente obtemos algumas informações cerca de o vetor (como um objeto escalar) ou um transformado versão de o vetor:

Ao combinar dados de diferentes tipos (por exemplo, números e caracteres) em um vetor, R os força a um tipo comum (por exemplo, valores verdadeiros em números ou todos em objetos do tipo "caractere", pois isso é sempre possível):

Uma operação comum que muda um vetor existente consiste em Ordenação vetores, que é obtido pela função sort (). Um argumento decrescente é definido como FALSE por padrão, mas pode ser definido como TRUE se a classificação em ordem decrescente for desejada:

Calculando com valores lógicos

Ao combinar valores verdade e objetos numéricos em um vetor, um numérico o vetor é retornado. Qualquer valor TRUE é interpretado como o número 1 e qualquer valor FALSE é interpretado como o número 0:

A mesma interpretação dos valores de verdade é feita ao aplicar funções aritméticas a valores de verdade:

Calcular com valores lógicos pode parecer um pouco estranho no início, mas fornece uma ponte útil entre os tipos de dados lógicos e numéricos.

Prática

Aqui estão alguns exercícios práticos para aplicar funções a vários tipos de vetores:

Responder: Os valores verdade são coagidos em valores numéricos: FALSE torna-se 0 e TRUE torna-se 1.

Assumindo uma banda vetorial & lt- c ("A", "B", "B", "A").

Responder: Ambos os vetores são classificados, assim como vimos para os vetores numéricos acima. Vetores com objetos de caracteres são classificados em ordem alfabética. Em vetores lógicos, os valores FALSE (correspondendo a valores de 0) são classificados antes dos valores TRUE (correspondendo a valores de 1).

Consulte a documentação da função order () e compare-a com a função sort ().

Computando com números vs. valores lógicos:

Suponha as seguintes definições de vetor:

1.4.4 Objetos escalares são vetores

R é frequentemente descrito como uma linguagem baseada em vetores. Isso significa que R usa vetores quando outras linguagens usariam outras estruturas de dados. Na verdade, estávamos trapaceando um pouco ao distinguir entre “escalares” e “vetores” acima. Embora isso faça sentido ao introduzir a noção de objetos, R, na verdade, não possui uma estrutura de dados dedicada para objetos escalares. Em vez disso, até mesmo números individuais (ou seja, objetos do tipo "inteiro" ou "duplo") e nomes ou rótulos de texto (ou seja, objetos do tipo "caractere") são na verdade vetores de comprimento 1. Podemos verificar isso aplicando as funções is.vector () e length () aos objetos escalares definidos acima:

1.4.5 Funções de criação de vetores

A função c () é usada para combinar vetores existentes. No entanto, para criar vetores que contêm mais do que apenas alguns elementos (ou seja, vetores com valores de comprimento () maiores), usar a função c () e, em seguida, digitar todos os elementos do vetor torna-se impraticável. Funções e atalhos úteis para gerar sequências contínuas ou regulares são o operador de dois pontos: e as funções seq () e rep ():

  • seq () gera sequências numéricas de um número inicial a um número final até e permite definir a largura do passo ou o comprimento do comprimento da sequência.
  • rep () replica os valores fornecidos em seu primeiro argumento x vezes vezes ou cada elemento a cada vez:

Considerando que: e seq () criam vetores numéricos, rep () pode ser usado com outros tipos de dados:

1.4.6 Vetores de indexação

Agora aprendemos como inspecionar vetores e como determinar seu tipo, comprimento, nomes e elementos particulares (consulte a Seção 1.4.1 acima). Mas quando os dados são salvos principalmente em vetores, uma questão importante é:

As tarefas de acessar, testar ou substituir elementos vetoriais (e outras estruturas de dados) em R são conhecidas como indexação ou subconjunto. Dependendo de como especificamos o (s) elemento (s) que desejamos acessar, testar ou modificar, este processo vem em duas variedades principais (numérico vs. lógico): 18

  1. UMA índice numérico simplesmente é um número que denota a posição de um elemento em uma sequência. Na verdade, já usamos os índices numéricos acima para acessar elementos particulares de vetores, por exemplo:

É importante ressaltar que a seleção de determinados elementos do vetor por um índice requer colocar sua posição numérica entre colchetes []. Em contraste, as funções sempre colocam seus argumentos entre parênteses ().

  1. UMA índice lógico é um teste que avalia um ou mais valores "lógicos" (ou seja, VERDADEIRO ou FALSO). Em R, muitas vezes armazenamos um grande número de valores em vetores (por exemplo, os valores de idade de 5.000 participantes), mas só precisamos de alguns deles para responder a perguntas específicas (por exemplo, qual é a idade média de todos os participantes do sexo masculino?). Para selecionar apenas um subconjunto de elementos de um vetor v podemos especificar a condição ou critério para nossa seleção em colchetes (quadrados) v [. ]

Fornecer um índice numérico ou lógico (entre colchetes) é uma maneira muito flexível e poderosa de selecionar elementos de um vetor v (ou de outras estruturas de dados). As seções a seguir fornecem exemplos desses dois tipos de indexação ou subconjunto. Novamente,
(UMA) Indexação numérica usa (vetores de) números para selecionar (acessar ou alterar) elementos do vetor, e (B) indexação lógica usa (vetores de) valores lógicos para selecionar (acessar ou alterar) elementos do vetor.

A. Indexação numérica

Em indexação numérica (ou subconjunto numérico), fornecemos um vetor numérico como um índice para um vetor. Em vez de apenas solicitar um único elemento, podemos usar um vetor numérico de índices para obter um novo vetor que contém os elementos nas posições especificadas:

Na verdade, a indexação numérica também funciona quando os elementos são selecionados repetidamente:

O uso de índices negativos seleciona todos os elementos, exceto os negados:

É importante ressaltar que o índice usado para selecionar o elemento pode ser o resultado de uma chamada de função. Por exemplo,

Às vezes, sabemos disso ou nos perguntamos se um vetor específico contém elementos específicos. A função which () usa um teste lógico para determinar as posições para as quais algum teste é TRUE e retorna as posições correspondentes como um vetor numérico:

Se quiséssemos obtivermos os elementos correspondentes, poderíamos usar esses vetores numéricos para indexar ou subconjunto os mesmos vetores:

Esses últimos exemplos primeiro usaram which () para obter índices numéricos de trem e, em seguida, aplicaram esses índices para treinar. Isso funciona, mas parece um pouco complicado. Uma maneira mais direta de obter os mesmos elementos é fornecida pela indexação lógica.

B. Indexação lógica

Em indexação lógica (ou subconjunto lógico), selecionamos elementos de um vetor v fornecendo um teste (ou seja, um vetor de objetos "lógicos" que são VERDADEIROS ou FALSOS) entre colchetes. Normalmente, o comprimento do índice lógico corresponde ao comprimento do vetor v.
Por exemplo, a seguinte declaração seleciona o primeiro e o segundo elementos da v1:

Tal como acontece com os índices numéricos, podemos usar funções para determinar os índices lógicos. Para selecionar elementos de um vetor v, definimos o critério de seleção como um teste lógico (ou seja, uma expressão de v que retorna um vetor lógico do mesmo comprimento) e usamos o resultado para indexar o vetor v. Isso é chamado de “subconjunto”, pois retorna apenas os elementos de v para os quais o critério é VERDADEIRO.

Por exemplo, detectar e obter todos os elementos de v1 que são números abaixo de 3 pode usar o seguinte critério e etapa de indexação:

A indexação lógica nos permite repetir as seleções de cima (sem o desvio da indexação numérica pela qual ()):

Observe que cada uma dessas seleções usa um vetor duas vezes: uma vez para realizar um teste que produz índices lógicos (ou seja, um vetor de valores verdade que tem o mesmo comprimento do vetor original) e uma segunda vez para selecionar os elementos para os quais o teste é verdade .

Uma maneira bacana de criar vetores é desenhar objetos aleatoriamente de uma população (consulte a Seção 1.6.4 sobre Amostragem aleatória).

Prática

Como vetores de indexação / subconjuntos são um tópico importante em R, devemos praticá-lo mais extensivamente:

  1. Indexando vetores numéricos:
  • Avalie e explique o seguinte código (em termos de indexação numérica ou lógica):
  1. Indexando vetores de caracteres:
  • Preveja, avalie e explique os resultados dos seguintes comandos:

Suponha a seguinte definição de especiarias:

e, em seguida, use uma combinação de funções e indexação numérica ou lógica para obter:

todas as especiarias, exceto as duas primeiras

todas as especiarias em especiarias com exatamente 4 letras

todas as especiarias com 8 ou mais letras

todas as especiarias com a letra "i" em sua 2ª posição

Solução

Observação: Maneiras mais sofisticadas de pesquisar objetos de texto são abordadas no Apêndice E sobre o uso de expressões regulares.

O objeto R LETTERS armazena as 26 letras maiúsculas do alfabeto romano (e as letras das mesmas letras em minúsculas). Assim, o vetor c ("A", "B", "C") pode ser obtido por subconjuntos numéricos para obter as três primeiras letras de LETRAS: LETRAS [1: 3].

Resolva as seguintes tarefas usando funções e indexação numérica ou lógica:

Quantas letras há em LETRAS?

Crie um vetor de todas as LETRAS até N

Crie um vetor das 6 LETRAS finais

Crie um vetor de todas as LETRAS não contidas nas LETRAS até N

Quais são as posições das vogais nas LETRAS?

Crie um vetor de todas as não vogais em LETRAS

Dica: As letras “A,” “E,” “I,” “O,” e “U,” são vogais.

Solução

Tendo alcançado alguma familiaridade básica com vetores, agora podemos estender nosso conhecimento sobre estruturas de dados, adicionando uma segunda dimensão, que produzirá mesas De dados. Uma boa pergunta a fazer neste momento é:

Estritamente falando, apenas em vetores atômicos são todos elementos do mesmo tipo, e listas também são vetores, mas podem ter elementos de diferentes tipos. (Veja Wickham, 2014a para detalhes.) ↩︎


MSc AI Student @ DTU. Esta é minha jornada de aprendizado de máquina & # x27De Scratch & # x27. Transmitir o que aprendi de forma fácil de entender é minha prioridade.

Casper Hansen

O que é um vetor?
O que é adição de vetor?
O que são escalares?

Este é o primeiro de uma série de fundamentos da Álgebra Linear. As perguntas acima são o que vou me concentrar em ilustrar para você. No final da série, haverá uma recapitulação de como os conceitos de Álgebra Linear que você aprendeu aqui se relacionam com o Aprendizado de Máquina. E depois, um projeto menor que utiliza alguns dos conceitos mais importantes daqui.

Bem, em primeiro lugar, como poderíamos definir um vetor? Em matemática, podemos pensar em um vetor como uma seta em um sistema de coordenadas. Tal vetor possui coordenadas vetoriais, onde o primeiro número vertical corresponde ax e o segundo corresponde a y. A notação para o vetor abaixo seria $ vec= begin2 1 fim$.

Também poderíamos ler como "o vetor v vai 2 ao longo do eixo xe 1 ao longo do eixo y". Quase sempre presume-se que você tira do origem, que é (0,0).

Vetor básico desenhado da origem $ (0,0) $ ao ponto $ (2,1) $, que forma o vetor $ vec= begin2 1 fim$

Podemos transferir o acima diretamente para a Ciência da Computação, onde você pode usar o tipo de dados Lista, que contém n quantidade de valores contáveis, e esses valores são indexados de $ a n. Se tivéssemos uma lista de coordenadas vetoriais, mas nesta notação e ordem $ (2,4) $, $ (2, -4) $ e $ (4,0) $, poderíamos usar a lista para plotar vetores em um sistema de coordenadas. Observe que o primeiro número indica x e o segundo indica y. Isso pode continuar à medida que adicionamos dimensões. Neste código Python, enganamos um pouco, pois não estamos usando diretamente a sintaxe matemática.

Explicação rápida: Criamos um array externo com três arrays internos, preenchemos os arrays internos com os valores correspondentes a [startX, startY, endX, endY]. startX e startY são o primeiro ponto, e endX e endY são o segundo ponto. Especificamos para o método .quiver que usamos X, Y, U, V e, em seguida, ele é plotado, o que produz o resultado abaixo:

O resultado do script Python

A próxima coisa incrivelmente importante é chamada Adição de vetor. Suponha que temos dois vetores $ vec= begin2 1 fim$ e $ vec= begin2 - 2 fim$.

Como adicionaríamos esses dois vetores? É bem simples. Ambos os vetores têm um valor xey, correspondendo ao primeiro e ao segundo número no vetor. Nós os adicionaríamos assim:

Ou, mais geralmente, poderíamos ter um número quase infinito de vetores indo muito além do que apenas bidimensional:

Teoricamente, poderíamos apresentar a adição de vetores em uma matriz $ m times n $. Em tal matriz, poderíamos realizar a operação de adição de vetores ou qualquer outra operação em álgebra linear:

Certamente seria impossível plotar um vetor de 1000 dimensões, mas seria possível usar conjuntos de dados que se assemelham a tantas dimensões. Se fôssemos ficar neste espaço bidimensional, poderíamos simplesmente continuar a traçar pontos e desenhar vetores de um ponto a outro.

Aqui está um exemplo ilustrativo com os dois vetores $ vec= begin2 1 fim$ e $ vec= begin2 - 2 fim$.

Observe como colocamos os dois vetores agora. Temos cauda e cabeça, onde cauda é o início do vetor e cabeça é o final do vetor. Então, pegamos $ vec

1: Noções básicas de vetores

Vamos começar esta seção com uma discussão rápida sobre para que vetores são usados. Os vetores são usados ​​para representar quantidades que possuem magnitude e direção. Bons exemplos de quantidades que podem ser representadas por vetores são força e velocidade. Ambos têm uma direção e uma magnitude.

Vamos considerar a força por um segundo. Uma força de, digamos, 5 Newtons, aplicada em uma direção específica, pode ser aplicada em qualquer ponto do espaço. Em outras palavras, o ponto onde aplicamos a força não altera a própria força. As forças são independentes do ponto de aplicação. Para definir uma força, tudo o que precisamos saber é a magnitude da força e a direção em que a força é aplicada.

A mesma ideia é mais geral com vetores. Os vetores comunicam apenas magnitude e direção. Eles não transmitem nenhuma informação sobre onde a quantidade é aplicada. Esta é uma ideia importante a ser sempre lembrada no estudo de vetores.

Em um sentido gráfico, os vetores são representados por segmentos de linha direcionados. O comprimento do segmento de linha é a magnitude do vetor e a direção do segmento de linha é a direção do vetor. No entanto, como os vetores não transmitem nenhuma informação sobre onde a quantidade é aplicada, qualquer segmento de linha direcionado com o mesmo comprimento e direção representará o mesmo vetor.

Considere o esboço abaixo.

Cada um dos segmentos de linha direcionados no esboço representa o mesmo vetor. Em cada caso, o vetor começa em um ponto específico e se move 2 unidades para a esquerda e 5 unidades para cima. A notação que usaremos para este vetor é,

[ vec v = left langle <- 2,5> right rangle ]

e cada um dos segmentos de linha direcionados no esboço são chamados representações do vetor.

Tenha o cuidado de distinguir a notação vetorial, ( left langle <- 2,5> right rangle ), da notação que usamos para representar as coordenadas de pontos, ( left (<- 2,5> right ) ). O vetor denota a magnitude e a direção de uma quantidade, enquanto o ponto denota uma localização no espaço. Portanto, não misture as notações!

Uma representação do vetor ( vec v = left langle <,> right rangle ) no espaço bidimensional é qualquer segmento de linha direcionado, ( overrightarrow ), do ponto (A = left ( direita) ) para o ponto (B = esquerda ( , y + > right) ). Da mesma forma, uma representação do vetor ( vec v = left langle <,,> right rangle ) no espaço tridimensional é qualquer segmento de linha direcionado, ( overrightarrow ), do ponto (A = left ( direita) ) para o ponto (B = esquerda ( , y + , z + > right) ).

Observe que há muito pouca diferença entre as fórmulas bidimensionais e tridimensionais acima. Para passar da fórmula tridimensional à fórmula bidimensional, tudo o que fizemos foi retirar o terceiro componente / coordenada. Por causa disso, a maioria das fórmulas aqui são fornecidas apenas em sua versão tridimensional. Se precisarmos deles em sua forma bidimensional, podemos facilmente modificar a forma tridimensional.

Existe uma representação de um vetor que é especial de alguma forma. A representação do vetor ( vec v = left langle <,,> right rangle ) que começa no ponto (A = left (<0,0,0> right) ) e termina no ponto (B = left (<,,> right) ) é chamado de Vetor de posição do ponto ( left (<,,> right) ). Portanto, quando falamos sobre vetores de posição, estamos especificando o ponto inicial e final do vetor.

Os vetores de posição são úteis se precisarmos representar um ponto como um vetor. Como veremos, há momentos em que definitivamente vamos querer representar pontos como vetores. Na verdade, vamos abordar tópicos que só podem ser feitos se representarmos pontos como vetores.

A seguir, precisamos discutir brevemente como gerar um vetor dados os pontos inicial e final da representação. Dados os dois pontos (A = left (<,,> direita) ) e (B = esquerda (<,,> right) ) o vetor com a representação ( overrightarrow ) é,

Observe que temos que ter muito cuidado com a direção aqui. O vetor acima é o vetor que começa em (A ) e termina em (B ). O vetor que começa em (B ) e termina em (A ), ou seja, com representação ( overrightarrow ) é,

Esses dois vetores são diferentes e, portanto, precisamos sempre prestar atenção em qual ponto é o ponto de partida e em qual ponto é o ponto final. Ao determinar o vetor entre dois pontos, sempre subtraímos o ponto inicial do ponto terminal.

  1. O vetor de ( left (<2, - 7,0> right) ) a ( left (<1, - 3, - 5> right) ).
  2. O vetor de ( left (<1, - 3, - 5> right) ) a ( left (<2, - 7,0> right) ).
  3. O vetor de posição para ( left (<- 90,4> right) )

Lembre-se de que, para construir este vetor, subtraímos as coordenadas do ponto inicial do ponto final.

[ left langle <1 - 2, - 3 - left (<- 7> right), - 5 - 0> right rangle = left langle <- 1,4, - 5> right rangle ]

[ left langle <2 - 1, - 7 - left (<- 3> right), 0 - left (<- 5> right)> right rangle = left langle <1, - 4,5> right rangle ]

Observe que a única diferença entre os dois primeiros é que os sinais são todos opostos. Essa diferença é importante, pois é essa diferença que nos diz que os dois vetores apontam em direções opostas.

Não muito além de reconhecer que o vetor de posição de um ponto nada mais é do que um vetor com as coordenadas do ponto como seus componentes.

Agora precisamos começar a discutir alguns dos conceitos básicos que encontraremos na ocasião.

Magnitude

O magnitude, ou comprimento, do vetor ( vec v = left langle <,,> right rangle ) é dado por,

  1. ( vec a = left langle <3, - 5,10> right rangle )
  2. ( displaystyle vec u = left langle < frac <1> << sqrt 5 >>, - frac <2> << sqrt 5 >>> right rangle )
  3. ( vec w = left langle <0,0> right rangle )
  4. ( vec i = left langle <1,0,0> right rangle )

Não há muito nisso além de se conectar à fórmula.

b ( displaystyle left | < vec u> right | = sqrt < frac <1> <5> + frac <4> <5>> = sqrt 1 = 1 )

Também temos o seguinte fato sobre a magnitude.

Isso deve fazer sentido. Como elevamos ao quadrado todos os componentes, a única maneira de obter zero da fórmula era os componentes serem zero em primeiro lugar.

Vetor de unidade

Qualquer vetor com magnitude de 1, ou seja, ( left | < vec u> right | = 1 ), é chamado de vetor unitário.

O segundo e o quarto vetores têm comprimento 1 e, portanto, são os únicos vetores unitários do primeiro exemplo.

Zero Vector

O vetor ( vec w = left langle <0,0> right rangle ) que vimos no primeiro exemplo é chamado de vetor zero, pois seus componentes são todos zero. Vetores zero são freqüentemente denotados por ( vec 0 ). Tenha cuidado para distinguir 0 (o número) de ( vec 0 ) (o vetor). O número 0 denota a origem no espaço, enquanto o vetor ( vec 0 ) denota um vetor que não tem magnitude ou direção.

Vetores de base padrão

O quarto vetor do segundo exemplo, ( vec i = left langle <1,0,0> right rangle ), é chamado de vetor de base padrão. No espaço tridimensional, existem três vetores de base padrão,

[ vec i = left langle <1,0,0> right rangle hspace <0,25in> vec j = left langle <0,1,0> right rangle hspace <0,25 in> vec k = left langle <0,0,1> right rangle ]

No espaço bidimensional, existem dois vetores de base padrão,

[ vec i = left langle <1,0> right rangle hspace <0,25in> vec j = left langle <0,1> right rangle ]

Observe que os vetores de base padrão também são vetores unitários.

Esta seção já terminou, entretanto, antes de prosseguir para a próxima seção, devemos apontar que os vetores não se restringem ao espaço bidimensional ou tridimensional. Os vetores podem existir no espaço n-dimensional geral. A notação geral para um vetor n-dimensional é,

[ vec v = left langle <,,, ldots,> right rangle ]

e cada um dos () 'S são chamados componentes do vetor.

Como estaremos trabalhando quase exclusivamente com vetores bidimensionais e tridimensionais neste curso, a maioria das fórmulas será dada para os casos bidimensionais e / ou tridimensionais. No entanto, a maioria dos conceitos / fórmulas funcionará com vetores gerais e as fórmulas são facilmente (e naturalmente) modificadas para vetores n-dimensionais gerais. Além disso, como é mais fácil visualizar as coisas em duas dimensões, a maioria das figuras relacionadas a vetores serão figuras bidimensionais.

Portanto, precisamos ter cuidado para não ficarmos muito presos aos casos bidimensionais ou tridimensionais de nossas discussões neste capítulo. Estaremos trabalhando nessas dimensões porque é mais fácil visualizar a situação ou porque as restrições físicas dos problemas imporão uma dimensão sobre nós.


Podemos saber a magnitude e a direção de um vetor, mas queremos seus comprimentos xey (ou vice-versa):

& lt = & gt
Vetor uma em polar
Coordenadas
Vetor uma em cartesiano
Coordenadas

Você pode ler como convertê-los em coordenadas polares e cartesianas, mas aqui está um breve resumo:

  • x = r e vezes cos ( & theta )
  • y = r e vezes pecado( & theta )
  • r = & radic (x 2 + y 2)
  • & theta = tan -1 (y / x)

Direção de uma linha (3 dimensões)

Esta questão de 1997 espera uma maneira de indicar a direção de um vetor tridimensional semelhante ao ângulo ou inclinação do tipo de problema anterior:

O Dr. Rob respondeu, primeiro falando sobre aviões em vez de linhas:

As duas formas padrão que ele menciona para um plano são, na verdade, $ a & # 8217x + b & # 8217y + c & # 8217z = d & # 8217 $ onde o vetor (uma‘, b‘, c& # 8216) é um vetor unitário chamado vetor normal unitário (isso é algo que veremos mais tarde nesta série ou em uma série subsequente), e $ frac + frac + frac = 1 $ onde UMA, Be C são as interceptações nos três eixos. O vetor normal representa a direção do plano.

Mas a questão era sobre uma linha, e os & # 8220 cossenos de direção & # 8221 mencionados para o vetor normal da unidade também aparecem aqui:

Podemos dizer, no entanto, que a razão tripla uma : b : c é um análogo razoável da inclinação de uma linha, embora não seja um número, os cossenos de direção, como veremos abaixo, são apenas os componentes do vetor unitário na direção da linha.


Multiplicação escalar

Podemos aumentar ou diminuir a magnitude de um vetor multiplicando o vetor por um escalar.

Exemplo 3 - Multiplicação escalar

Nos exemplos que vimos anteriormente, vetor B (2 unidades) é metade do tamanho do vetor UMA (que é 4 unidades). Nós podemos escrever:

B = 0.5 UMA

Este é um exemplo de múltiplo escalar. Nós multiplicamos o vetor UMA pelo escalar 0,5.

Exemplo 4 - Multiplicação escalar

Temos 3 pesos amarrados a uma viga.

O primeiro peso é C1 = 5 N, o segundo é C2 = 2 N e o terceiro é C3 = 4 N.

Podemos representar esses pesos usando um diagrama vetorial (onde o comprimento do vetor representa a magnitude) da seguinte maneira:

Eles são vetores porque todos têm uma direção (para baixo) e uma magnitude.

Cada um dos seguintes múltiplos escalares é verdadeiro para esta situação:

Como `5 = 2,5 & vezes 2`, podemos escrever:

Como `2 = 0,5 & vezes 4`, podemos escrever:

Como `4 = 0,8 & vezes 5`, podemos escrever:

Cada uma dessas declarações é uma multiplicação escalar.


Os seguintes tipos de membro podem ser usados ​​como parâmetros ou tipo de retorno por funções de membro.

Sr. Não. Tipos de membros Definição
1 value_type T (primeiro parâmetro do modelo)
2 alocador_type Alloc (segundo parâmetro do modelo)
3 referência value_type & amp
4 const_reference const value_type & amp
5 ponteiro value_type *
6 const_pointer const value_type *
7 iterador um iterador de acesso aleatório para value_type
8 const_iterator um iterador de acesso aleatório para const value_type
9 reverse_iterator std :: reverse_iterator & ltiterator & gt
10 const_reverse_iterator std :: reverse_iterator & ltconst_iterator & gt
11 Tamanho Tipo size_t
12 tipo_de_ diferença ptrdiff_t


Por que usar vetores em C ++

Os vetores C ++ são preferíveis ao gerenciar elementos de dados em constante mudança.

É útil se você não sabe o tamanho dos dados de antemão, pois não precisa definir o tamanho máximo do contêiner. Uma vez que é possível redimensionar vetores C ++, ele oferece melhor flexibilidade para lidar com elementos dinâmicos.

Os vetores C ++ oferecem excelente eficiência. É uma classe de modelo, o que significa não mais digitar o mesmo código para lidar com dados diferentes.

Se você usar vetores, poderá copiar e atribuir outros vetores com facilidade. Existem diferentes maneiras de fazer isso: usando o método iterativo, operador de atribuição =, uma função embutida ou passando vetor como um construtor.

Em vetores C ++, a realocação automática ocorre sempre que a quantidade total de memória é usada. Essa realocação está relacionada ao funcionamento da função de tamanho e capacidade.


Vetores de adenovírus

Os adenovírus estavam entre os primeiros vírus investigados como potenciais vetores de terapia gênica. Os adenovírus de tipo selvagem são conhecidos por causar infecções do trato respiratório, ou seja, & # 8220 o resfriado comum & # 8221, em humanos, e também podem infectar outros órgãos, como o cérebro e a bexiga. Mais de 50 sorotipos adenovirais distintos foram encontrados para infectar humanos, e os serotipos 2 e 5 são os mais extensivamente caracterizados. Existem também mais de 30 Adenovírus de primatas não humanos que foram isolados e caracterizados, e. de chimpanzés.

Vetores de adenovírus em terapia gênica

Os vetores de adenovírus são comumente projetados removendo a região E1, responsável pela replicação, e outros genes de & # 8220 fase inicial & # 8221, e substituindo-os pelo transgene. A capacidade de empacotamento de vetores de adenovírus comuns é

8 kb. Os vetores de adenovírus são produzidos em linhas de células HEK293 com proteínas E1 expressas de forma estável, permitindo a replicação e o empacotamento. Hoje em dia também é possível manipular vetores de adenovírus removendo quase todos os genes virais. These so-called “high-capacity”, “gutless”, or “helper-dependent” Adenovirus vectors can accommodate inserts as large as

36 kb. They are attractive not only because of significantly larger capacity, but also because of stable expression and reduced immunogenicity [15,16]. Production of such Adenovirus vectors requires modified helper viruses and modified HEK293 producer cell lines. Helper virus contaminants need to be effectively removed from the final preparation, making the production of high-capacity Adenovirus vectors more challenging.

Advantages of Adenovirus vectors

Adenoviruses are attractive vehicles for gene therapy mainly because of their high packaging capacity. Adenovirus vectors can also transfect both dividing and non-dividing cells in a broad range of cell and tissue types. The Adenovirus DNA does not integrate into the host genome but remains episomal. Thus Adenovirus vectors are suitable for therapeutics that need high, but temporary, gene expression. Some vaccines and oncolytic therapies benefit from the immunogenicity and cellular toxicity of the Adenovirus vectors, but constitute a major obstacle for most gene therapies.

Limitations of Adenovirus vectors

The most significant limitation of Adenovirus vectors is pre-existing immunity in patients and the substantial immune response they may trigger. Most adults have been exposed to Adenoviruses, as they are common pathogens in humans, andthus the immune system will also attack the Adenovirus-based therapeutic vector. If this is the case, the body will recognize the proteins on the Adenovirus vector shells and destroy them before the therapeutic gene is delivered. Several strategies are being employed to circumvent pre-existing immunity against Adenovirus vectors, such as the use of rare human serotypes or non-human Adenovirus vectors, e.g., chimpanzee-derived, shielding the surface of Adenoviruses with polyethylene glycol, or encapsulating the vectors into alginate microspheres [17]. Despite the developments in Adenovirus vector engineering, they can still trigger host immunogenicity and cellular toxicity [18].

Advantages and limitations of Adenovirus vectors

Examples of commercially available adenovirus vector-based products

Referências

[3] Erika Check. Regulators split on gene therapy as patient shows signs of cancer. Nature 2002 419: 545–546. https://www.nature.com/articles/419545a#rightslink

[4] David RM, Doherty AT. Viral Vectors: The Road to Reducing Genotoxicity. Toxicol Sci. 2017155(2):315-325.

[5] Nayak S, Herzog RW. Progress and prospects: immune responses to viral vectors. Gene Ther. 201017 :295-304. https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC3044498/

[6] Atchison, R. W., Casto, B. C. & Hammon, W. M. Adenovirus-associated defective virus particles. Science 149, 754–756 (1965). 124. Matsushita, T. et al.

[7] Vandenberghe, L., Wilson, J. & Gao, G. Tailoring the AAV vector capsid for gene therapy. Gene Ther 2009 16: 311–319 https://www.nature.com/articles/gt2008170

[8] Claire Domenger, Dirk Grimm. Next-generation AAV vectors—do not judge a virus (only) by its cover. Human Molecular Genetics 2019 28: R3–R14. https://academic.oup.com/hmg/article/28/R1/R3/5526799?login=true

[9] McClements ME, MacLaren RE. Adeno-associated Virus (AAV) Dual Vector Strategies for Gene Therapy Encoding Large Transgenes. Yale J Biol Med. 2017 1990(4):611-623. https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC5733846/

[15] Liu J, Seol DW. Helper virus-free gutless adenovirus (HF-GLAd): a new platform for gene therapy. BMB Rep. 202053(11):565-575. https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC7704218/#ref7

[16] Ricobaraza A., et al. High-Capacity Adenoviral Vectors: Expanding the Scope of Gene Therapy. Int J Mol Sci. 2020 2121(10):36. https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC7279171/

[17] Vemula SV, Mittal SK. Production of adenovirus vectors and their use as a delivery system for influenza vaccines. Expert Opin Biol Ther. 201010(10):1469-87https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC2951029/

[18] Wang, Q. & Finer, M. H. Second-generation adenovirus vectors. Nat. Med. 2, 714–716 (1996).


Assista o vídeo: Geometria Analítica - Noções de Vetores (Outubro 2021).