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10.2: Declives em Coordenadas Polares - Matemática


Quando descrevemos uma curva usando coordenadas polares, ela ainda é uma curva no plano (x-y ). Gostaríamos de ser capazes de calcular inclinações e áreas para essas curvas usando coordenadas polares.

Vimos que (x = r cos theta ) e (y = r sin theta ) descrevem a relação entre as coordenadas polares e retangulares. Se, por sua vez, estamos interessados ​​em uma curva dada por (r = f ( theta) ), então podemos escrever (x = f ( theta) cos theta ) e (y = f ( theta) sin theta ), descrevendo (x ) e (y ) em termos de ( theta ) sozinho. A primeira dessas equações descreve ( theta ) implicitamente em termos de (x ), então, usando a regra da cadeia, podemos calcular

[{dy over dx} = {dy over d theta} {d theta over dx}. ]

Como (d theta / dx = 1 / (dx / d theta) ), podemos calcular

[{dy over dx} = {dy / d theta over dx / d theta} = {f ( theta) cos theta + f '( theta) sin theta over -f ( theta) sin theta + f '( theta) cos theta}. ]

Exemplo ( PageIndex {1} ):

Encontre os pontos nos quais a curva dada por (r = 1 + cos theta ) tem uma linha tangente vertical ou horizontal. Como esta função tem ponto final (2 pi ), podemos restringir nossa atenção ao intervalo ([0,2 pi) ) ou ((- pi, pi] ), conforme dita a conveniência. Primeiro, calculamos a inclinação:

[{dy over dx} = {(1+ cos theta) cos theta- sin theta sin theta over - (1+ cos theta) sin theta- sin theta cos theta} = { cos theta + cos ^ 2 theta- sin ^ 2 theta over - sin theta-2 sin theta cos theta}. ]

Esta fração é zero quando o numerador é zero (e o denominador não é zero). O numerador é (2 cos ^ 2 theta + cos theta-1 ) então pela fórmula quadrática $$ cos theta = {- 1 pm sqrt {1 + 4 cdot2} over 4} = -1 quad hbox {ou} quad {1 over 2}. $$ Isso significa que ( theta ) é ( pi ) ou ( pm pi / 3 ). Porém, quando ( theta = pi ), o denominador também é (0 ), portanto não podemos concluir que a reta tangente é horizontal.

Definindo o denominador como zero, obtemos $$ eqalign {- theta-2 sin theta cos theta & = 0 cr sin theta (1 + 2 cos theta) & = 0, cr} $$ então tanto ( sin theta = 0 ) ou ( cos theta = -1 / 2 ). O primeiro é verdadeiro quando ( theta ) é (0 ) ou ( pi ), o segundo quando ( theta) é (2 pi / 3 ) ou (4 pi / 3 ). Porém, como acima, quando ( theta = pi ), o numerador também é (0 ), portanto não podemos concluir que a reta tangente é vertical. Figura 10.2.1 mostra os pontos correspondentes a ( theta ) igual a (0 ), ( pm pi / 3 ), (2 pi / 3 ) e (4 pi / 3 ) no gráfico da função. Observe que quando ( theta = pi ) a curva atinge a origem e não possui uma linha tangente.

Figura 10.2.1. Pontos de tangência vertical e horizontal para (r = 1 + cos theta ).

Sabemos que a segunda derivada (f '' (x) ) é útil para descrever funções, a saber, para descrever a concavidade. Podemos calcular (f '' (x) ) em termos de coordenadas polares também. Já sabemos como escrever (dy / dx = y ') em termos de ( theta ), então

[{d over dx} {dy over dx} = {dy ' over dx} = {dy' over d theta} {d theta over dx} = {dy '/ d theta over dx / d theta}. ]

A elipse aqui representa uma quantidade substancial de álgebra. Sabemos de cima que o cardióide tem tangentes horizontais em ( pm pi / 3 ); substituindo esses valores na segunda derivada, obtemos (y '' ( pi / 3) = - sqrt {3} / 2 ) e (y '' (- pi / 3) = sqrt {3} / 2 ), indicando côncavo para baixo e côncavo para cima, respectivamente. Isso está de acordo com o gráfico da função.


10.2: Declives em Coordenadas Polares - Matemática

Vimos que algumas funções podem ser representadas como séries, o que pode fornecer informações valiosas sobre a função. Até agora, vimos apenas os exemplos que resultam da manipulação de nosso único exemplo fundamental, a série geométrica. Gostaríamos de começar com uma determinada função e produzir uma série para representá-la, se possível.

Suponha que $ ds f (x) = sum_^ infty a_nx ^ n $ em algum intervalo de convergência. Então sabemos que podemos calcular derivadas de $ f $ tomando as derivadas dos termos da série. Vejamos os primeiros em geral: $ eqalign ^ infty n a_n x ^= a_1 + 2a_2x + 3a_3x ^ 2 + 4a_4x ^ 3 + cdots cr f '' (x) & = sum_^ infty n (n-1) a_n x ^= 2a_2 + 3 cdot2a_3x +4 cdot3a_4x ^ 2 + cdots cr f '' '(x) & = sum_^ infty n (n-1) (n-2) a_n x ^= 3 cdot2a_3 +4 cdot3 cdot2a_4x + cdots cr> $ Ao examiná-los, não é difícil discernir o padrão geral. A derivada $ k $ th deve ser $ eqalign (x) & = sum_^ infty n (n-1) (n-2) cdots (n-k + 1) a_nx ^ cr & = k (k-1) (k-2) cdots (2) (1) a_k + (k + 1) (k) cdots (2) a_x + <> cr & qquad <> + (k + 2) (k + 1) cdots (3) a_x ^ 2 + cdots cr> $ Podemos reduzir um pouco usando a notação fatorial: $ f ^ <(k)> (x) = sum_^ infty a_nx ^= k! a_k + (k + 1)! a_x + <(k + 2)! over 2!> a_x ^ 2 + cdots $ Agora substitua $ x = 0 $: $ f ^ <(k)> (0) = k! a_k + sum_^ infty a_n0 ^= k! a_k, $ e resolva para $ ds a_k $: $ a_k =(0) over k!>. $ Observe o caso especial, obtido da série para o próprio $ f $, que dá $ ds f (0) = a_0 $.

Portanto, se uma função $ f $ pode ser representada por uma série, sabemos exatamente que série ela é. Dada uma função $ f $, a série $ sum_^ infty (0) sobre n!> X ^ n $ é chamado de Maclaurin series por $ f $.

Exemplo 11.10.1 Encontre a série Maclaurin para $ f (x) = 1 / (1-x) $. Precisamos calcular as derivadas de $ f $ (e esperar encontrar um padrão). $ eqalign cr f '(x) & = (1-x) ^ <-2> cr f' '(x) & = 2 (1-x) ^ <-3> cr f '' '(x) & = 6 (1-x) ^ <-4> cr f ^ <(4)> (x) & = 4! (1 -x) ^ <-5> cr & vdots cr f ^ <(n)> (x) & = n! (1-x) ^ <-n-1> cr> $ So $(0) sobre n!> = over n!> = 1 $ e a série Maclaurin é $ sum_^ infty 1 cdot x ^ n = sum_^ infty x ^ n, $ a série geométrica.

Um aviso está em ordem aqui. Dada uma função $ f $, podemos calcular a série Maclaurin, mas isso não significa que encontramos uma representação de série para $ f $. Ainda precisamos saber para onde a série converge e se, para onde converge, converge para $ f (x) $. Enquanto para as funções mais comumente encontradas, a série Maclaurin realmente converge para $ f $ em algum intervalo, isso não é verdade para todas as funções, portanto, é necessário cuidado.

Na prática, se estivermos interessados ​​em usar uma série para aproximar uma função, precisaremos de algum número finito de termos da série. Mesmo para funções com derivados complicados, podemos computá-los usando um software de computador como o Sage. Se quisermos conhecer toda a série, ou seja, um termo típico da série, precisamos de uma função cujas derivadas caiam em um padrão que possamos discernir. Felizmente, algumas das funções mais importantes são muito fáceis.

Exemplo 11.10.2 Encontre a série Maclaurin para $ sin x $.

As derivadas são muito fáceis: $ f '(x) = cos x $, $ f' '(x) = - sin x $, $ f' '' (x) = - cos x $, $ ds f ^ <(4)> (x) = sin x $ e, em seguida, o padrão se repete. Queremos saber as derivadas em zero: 1, 0, $ -1 $, 0, 1, 0, $ -1 $, 0, & hellip, e assim a série Maclaurin é $ x-+- cdots = sum_^ infty (-1) ^ n over (2n + 1)!>. $ Devemos sempre determinar o raio de convergência: $ lim_ <| x | ^ <2n + 3> over (2n + 3)!> <(2n + 1)! over | x | ^ <2n + 1 >> = lim_ <| x | ^ 2 over (2n + 3) (2n + 2)> = 0, $ então a série converge para cada $ x $. Uma vez que esta série realmente converge para $ sin x $ em todos os lugares, temos uma representação de série para $ sin x $ para cada $ x $.

Às vezes, a fórmula para a derivada $ n $ th de uma função $ f $ é difícil de descobrir, mas uma combinação de uma série Maclaurin conhecida e alguma manipulação algébrica leva facilmente à série Maclaurin para $ f $.

Exemplo 11.10.3 Encontre a série Maclaurin para $ x sin (-x) $.

Para ir de $ sin x $ para $ x sin (-x) $, substituímos $ -x $ por $ x $ e depois multiplicamos por $ x $. Podemos fazer o mesmo com a série de $ sin x $: $ x sum_^ infty (-1) ^ n <(- x) ^ <2n + 1> over (2n + 1)!> = x sum_^ infty (-1) ^(-1) ^ <2n + 1> over (2n + 1)!> = sum_^ infty (-1) ^ over (2n + 1)!>. $

Como vimos, uma série geral de potências pode ser centrada em um ponto diferente de zero, e o método que produz a série Maclaurin também pode produzir tal série.

Exemplo 11.10.4 Encontre uma série centrada em $ -2 $ para $ 1 / (1-x) $.

Se a série for $ ds sum_^ infty a_n (x + 2) ^ n $ então olhando para a derivada $ k $ th: $ k! (1-x) ^ <-k-1> = sum_^ infty a_n (x + 2) ^$ e substituindo $ x = -2 $ obtemos $ ds k! 3 ^ <-k-1> = k! a_k $ e $ ds a_k = 3 ^ <-k-1> = 1/3 ^$, então a série é $ sum_^ infty <(x + 2) ^ n mais de 3 ^>. $ Já vimos isso na seção 11.8.

Essa série é chamada de Série Taylor para a função, e o termo geral tem a forma $(a) over n!> (x-a) ^ n. $ Uma série de Maclaurin é simplesmente uma série de Taylor com $ a = 0 $.


10.3 Coordenadas polares (# 1)

Introdução: Nesta lição, aprenderemos como representar graficamente pontos usando coordenadas polares. Também representaremos graficamente uma variedade de curvas polares. Também aprenderemos como podemos generalizar a ideia da derivada para encontrar a inclinação de uma curva polar. Isso também nos permitirá determinar quando a linha tangente é vertical ou horizontal.

Objetivos. Após esta lição, você deverá ser capaz de:

  • Compreenda o sistema de coordenadas polares.
  • Reescreva coordenadas retangulares e equações na forma polar e vice-versa.
  • Esboce o gráfico de uma equação dada na forma polar.
  • Encontre a inclinação de uma linha tangente a um gráfico polar.
  • Identifique vários tipos de gráficos polares.

Notas de vídeo e amp: Preencha a folha de anotações para esta lição (10-3-Coordenadas polares) enquanto assiste ao vídeo. Se preferir, você pode ler a seção 10.3 e resolver os problemas nas anotações por conta própria como prática. Lembre-se de que as notas devem ser carregadas no Blackboard semanalmente para obter uma nota! Se por algum motivo o vídeo abaixo não carregar, você pode acessá-lo no YouTube aqui.

Trabalho de casa: Vá para Web Assign e conclua a atribuição de & # 822010.3 Coordenadas polares e gráficos polares & # 8221.


10.3 Coordenadas polares (# 1)

Introdução: Nesta lição, aprenderemos como representar graficamente pontos usando coordenadas polares. Também representaremos graficamente uma variedade de curvas polares. Também aprenderemos como podemos generalizar a ideia da derivada para encontrar a inclinação de uma curva polar. Isso também nos permitirá determinar quando a linha tangente é vertical ou horizontal.

Objetivos. Após esta lição, você deverá ser capaz de:

  • Compreenda o sistema de coordenadas polares.
  • Reescreva coordenadas retangulares e equações na forma polar e vice-versa.
  • Esboce o gráfico de uma equação dada na forma polar.
  • Encontre a inclinação de uma linha tangente a um gráfico polar.
  • Identifique vários tipos de gráficos polares.

Notas de vídeo e amp: Preencha a folha de anotações para esta lição (10-3-Coordenadas polares) enquanto assiste ao vídeo. Se preferir, você pode ler a seção 10.3 e resolver os problemas nas anotações por conta própria como prática. Lembre-se de que as notas devem ser enviadas para o Blackboard semanalmente para obter uma nota! Se por algum motivo o vídeo abaixo não carregar, você pode acessá-lo no YouTube aqui.

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Problemas de prática: # 1-11 odds, 15-25 odds, 29-43 odds

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10.3 Coordenadas polares (# 2)

Introdução: Nesta lição, aprenderemos como representar graficamente pontos usando coordenadas polares. Também representaremos graficamente uma variedade de curvas polares. Também aprenderemos como podemos generalizar a ideia da derivada para encontrar a inclinação de uma curva polar. Isso também nos permitirá determinar quando a linha tangente é vertical ou horizontal.

Objetivos. Após esta lição, você deverá ser capaz de:

  • Compreenda o sistema de coordenadas polares.
  • Reescreva coordenadas retangulares e equações na forma polar e vice-versa.
  • Esboce o gráfico de uma equação dada na forma polar.
  • Encontre a inclinação de uma linha tangente a um gráfico polar.
  • Identifique vários tipos de gráficos polares.

Notas de vídeo e amp: Preencha a folha de anotações para esta lição (10-3-Coordenadas polares-2) enquanto assiste ao vídeo. Se preferir, você pode ler a seção 10.3 e resolver os problemas nas anotações por conta própria como prática. Lembre-se de que as notas devem ser enviadas para o Blackboard semanalmente para obter uma nota! Se por algum motivo o vídeo abaixo não carregar você pode acessá-lo no YouTube aqui.

Trabalho de casa: Vá para Web Assign e conclua a atribuição de & # 822010.3 Coordenadas polares e gráficos polares & # 8221.


Capítulo 10 Revisão Final

Introdução: Nesta lição, revisaremos como representar graficamente curvas paramétricas e como generalizar o cálculo que conhecemos para curvas definidas parametricamente. Encontraremos inclinações de linhas tangentes, determinaremos onde a linha tangente é vertical e horizontal, como encontrar áreas sob curvas, áreas de superfície e comprimento de arco. Também revisaremos como representar graficamente as coordenadas polares e as curvas polares. Em seguida, revisaremos como encontramos inclinações, áreas, comprimentos de arco e áreas de superfície das curvas polares.

Objetivos. Após esta lição, você deverá ser capaz de:

  • Faça o gráfico das curvas paramétricas e, quando aplicável, elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva.
  • Encontre inclinações de linhas tangentes, áreas sob curvas, comprimento de arco e áreas de superfície de curvas definidas parametricamente.
  • Faça o gráfico de coordenadas polares e curvas polares.
  • Encontre declives, áreas, comprimentos de arco e áreas de superfície das curvas polares.

Notas de vídeo e amp: Preencha a folha de anotações para esta lição (Capítulo-10-Revisão Final) enquanto assiste ao vídeo. Se preferir, você pode revisar o Capítulo 10 (ou suas notas deste capítulo) e resolver os problemas nas notas por conta própria como prática. Lembre-se de que as notas devem ser enviadas para o Blackboard semanalmente para obter uma nota! Se por algum motivo o vídeo abaixo não carregar, você pode acessá-lo no YouTube aqui.

Trabalho de casa: Para esta lição, não há trabalho de casa WebAssign. Como você ainda não fez um exame para cobrir este material, estou exigindo que você faça um teste prático para esta lição de revisão, além do teste prático final. Aqui está novamente: Chapter-10-Practice-Exam. Além do exame prático, também sugiro completar os seguintes problemas de revisão, encontrados no final do Capítulo 10 do seu texto.

Problemas de prática: Capítulo 10 Exercícios de revisão # 1-4 todos, 9-13 probabilidades, 17, 21-25 probabilidades, 33-39 probabilidades


Inclinação da Trajetória Ortogonal em Coordenadas Polares (Versus a Inclinação da Trajetória Ortogonal no plano $ xy $)

Ao encontrar as trajetórias ortogonais de uma família de curvas no plano $ xy $, fazemos o seguinte:

  1. Diferencie a equação da família de curvas em relação às variáveis ​​independentes, o que nos dá a inclinação da família de curvas
  2. Elimine o parâmetro (se ainda não foi eliminado durante a diferenciação)
  3. Reorganize para obter a forma $ dfrac= f (x, y) $
  4. Pegue o recíproco negativo de $ dfrac implica dfrac <-dx>= f (x, y) $, que nos dá a inclinação das trajetórias ortogonais
  5. Resolva a equação diferencial usando separação de variáveis ​​ou algum outro método. Isso nos dá a equação das trajetórias ortogonais.

Na minha pergunta anterior (relacionada), mencionei um problema peculiar no meu livro, "Equações diferenciais com aplicações e notas históricas, 3ª edição", de Simmons e Finlay, onde os autores usaram coordenadas polares para resolver o problema das trajetórias ortogonais. Na pergunta acima, descobri que o motivo da minha confusão era porque a inclinação das trajetórias ortogonais em forma polar é diferente da inclinação das trajetórias ortogonais no plano xy: A inclinação das trajetórias ortogonais no plano xy, como mencionado anteriormente, é o recíproco negativo de $ dfrac implica dfrac <-dx> = f (x, y) $, enquanto a inclinação das trajetórias ortogonais em forma polar é o recíproco negativo de $ dfrac <1> dfrac < mathrm dr> < mathrm d theta> implica -r dfrac < mathrm d theta> < mathrm dr> = f (r, theta) $. Em outras palavras, e de forma mais geral, podemos ver que a maneira pela qual obtemos a inclinação das trajetórias ortogonais (normais) (vetores) na forma polar é diferente daquela no plano $ xy $.

Minha confusão original originou-se do fato de que, com as coordenadas polares, não pegamos apenas o recíproco negativo do operador $ dfrac < mathrm dr> < mathrm d theta> $, mas também o recíproco negativo de $ dfrac <1>$ junto com ele. Esta diferença não foi mencionada no livro didático o único caso que foi mencionado foi o de lidar com o operador $ dfrac = f (x, y) $ - coordenadas do plano xy.

Eu apreciaria muito se as pessoas pudessem dedicar um tempo para postar uma prova passo a passo que mostra claramente que, ao contrário da trajetória ortogonal no plano $ xy $, a trajetória ortogonal na forma polar é encontrada tomando o negativo recíproco de $ dfrac implica -r dfrac < mathrm d theta> < mathrm dr> = f (r, theta) $. Meu objetivo é me convencer de que isso é verdade - que a maneira como obtemos a inclinação para as trajetórias ortogonais é diferente entre as equações que usam coordenadas no plano xy $ left ( dfrac implica dfrac <-dx> = f (x, y) right) $ e aqueles que usam coordenadas na forma polar $ left ( dfrac <1> dfrac < mathrm dr> < mathrm d theta> implica -r dfrac < mathrm d theta> < mathrm dr> = f (r, theta) right) $.


10.2: Declives em Coordenadas Polares - Matemática

1. Encontre a linha tangente a (r = sin left (<4 theta> right) cos left ( theta right) ) em ( displaystyle theta = frac < pi> <6> ).

Mostrar todas as etapas Ocultar todas as etapas

Primeiro, precisamos seguir a derivada,

[ frac <><> = 4 cos left (<4 theta> right) cos left ( theta right) - sin left (<4 theta> right) sin left ( theta right) ] Mostrar Etapa 2

Em seguida, usando a fórmula das notas desta seção, temos,

Esta é uma derivada muito confusa (muitas vezes são) e, pelo menos neste caso, não há muita simplificação que possamos fazer ...

Em seguida, precisaremos avaliar a derivada da etapa anterior e também (r ) em ( theta = frac < pi> <6> ).

Você pode ver por que precisamos de ambos, certo?

Por último, precisamos das coordenadas (x ) e (y ) em que estaremos quando ( theta = frac < pi> <6> ). Esses valores são fáceis de encontrar, uma vez que sabemos o que (r ) é neste ponto e também sabemos as fórmulas de conversão de coordenadas polares em cartesianas. Então,

[x = r cos left ( theta right) = frac <3> <4> cos left (< frac < pi> <6>> right) = frac << 3 sqrt 3 >> <8> hspace <0.75in> y = r sin left ( theta right) = frac <3> <4> sin left (< frac < pi> <6> > direita) = frac <3> <8> ]

Claro, também temos a inclinação da reta tangente, pois é apenas o valor da derivada que calculamos na etapa anterior.


Capítulo 10 Revisão Final

Introdução: Nesta lição, revisaremos como representar graficamente curvas paramétricas e como generalizar o cálculo que conhecemos para curvas definidas parametricamente. Encontraremos inclinações de linhas tangentes, determinaremos onde a linha tangente é vertical e horizontal, como encontrar áreas sob curvas, áreas de superfície e comprimento de arco. Também revisaremos como representar graficamente as coordenadas polares e as curvas polares. Em seguida, revisaremos como encontramos inclinações, áreas, comprimentos de arco e áreas de superfície das curvas polares.

Objetivos. Após esta lição, você deverá ser capaz de:

  • Faça o gráfico das curvas paramétricas e, quando aplicável, elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva.
  • Encontre inclinações de linhas tangentes, áreas sob curvas, comprimento de arco e áreas de superfície de curvas definidas parametricamente.
  • Faça o gráfico de coordenadas polares e curvas polares.
  • Encontre declives, áreas, comprimentos de arco e áreas de superfície das curvas polares.

Notas de vídeo e amp: Preencha a folha de anotações para esta lição (Capítulo-10-Revisão Final) enquanto assiste ao vídeo. Se preferir, você pode revisar o Capítulo 10 (ou suas notas deste capítulo) e resolver os problemas nas notas por conta própria como prática. Lembre-se de que as notas devem ser carregadas no Blackboard semanalmente para obter uma nota! Se por algum motivo o vídeo abaixo não carregar, você pode acessá-lo no YouTube aqui.

Trabalho de casa: Para esta lição, não há trabalho de casa WebAssign. Como você ainda não fez um exame para cobrir este material, estou exigindo que você faça um teste prático para esta lição de revisão, além do teste prático final. Aqui está novamente: Chapter-10-Practice-Exam. Além do exame prático, também sugiro completar os seguintes problemas de revisão, encontrados no final do Capítulo 10 do seu texto.

Problemas de prática: Capítulo 10 Exercícios de revisão # 1-4 todos, 9-13 probabilidades, 17, 21-25 probabilidades, 33-39 probabilidades


Coordenadas polares, esféricas e geográficas

Enquanto pesquisava para a nova biblioteca matemática da VL, surgiu o tópico de coordenadas polares, esféricas e geográficas. Depois de ler vários artigos, ficou claro que há uma confusão comum sobre a convenção, orientação e nomenclatura do ângulo.

Esta postagem do blog começa com a definição oficial em livros didáticos de matemática e deriva as implementações corretas em um sistema de coordenadas para canhotos com o eixo y para cima, como o do DirectX.

Os sistemas de coordenadas polares e esféricas fazem o mesmo trabalho que o bom e velho sistema de coordenadas cartesianas que você sempre odiou na escola. Ele descreve cada ponto em um plano ou no espaço em relação a uma origem O por um vetor. Mas em vez de 3 direções perpendiculares xyz, ele usa a distância da origem e os ângulos para identificar uma posição.

Convenções

Nas descrições a seguir, as unidades dos ângulos são graus e os sistemas de coordenadas cartesianas e desenhos são os que você encontraria nos livros de matemática.

Em 2d, a definição é direta. Uma posição é definida pela distância à origem e um ângulo. Precisamos apenas de:

Por razões práticas, os matemáticos colocam a origem na mesma posição em que está no sistema cartesiano e a direção de referência é o eixo x positivo:

Em seguida, a conversão de um vetor cartesiano (x, y) de uma posição P para coordenadas polares (raio, ângulo) é:

Aqui, uma velocidade angular positiva move a posição no sentido anti-horário em um círculo:

Observe que muitos sistemas de coordenadas de computação gráfica 2d têm o eixo y apontando para baixo para que tudo seja invertido. Nesse caso, usando os mesmos cálculos acima, uma velocidade angular positiva move a posição no sentido horário.

Para obter o mesmo comportamento em um sistema cartesiano 2d com o eixo y para baixo, os cálculos seriam:

Para definir um ponto no espaço por coordenadas esféricas a distância até a origem O bem como dois ângulos são necessários. A confusão começa aqui, pois existem muitas convenções para a notação e a ordem dos ângulos. Esta página lista a maioria deles: http: //mathworld.wolfram.com/SphericalCoordinates.html

Mas vamos voltar e dar uma olhada no que precisamos para definir as coordenadas esféricas. Veremos que, independentemente da notação, a fórmula real para o cálculo é a mesma:

  • a origem O
  • para um ângulo, precisamos de um eixo direcionado que define os pólos (como o pólo norte e o pólo sul da Terra), este ângulo é frequentemente chamado ângulo polar, ângulo zenital, colatitude, inclinação ou elevação
  • para o outro ângulo, precisamos de uma direção de referência no plano equatorial, este ângulo é chamado ângulo azimutal

A origem também é a mesma do sistema cartesiano. Tradicionalmente, os matemáticos escolhem o eixo z como o eixo polar e o plano xy como o plano equatorial com a direção de referência como o eixo x positivo:

As fórmulas de conversão são:

Como você pode ver no desenho, se o ângulo polar for 0, o vetor aponta para o eixo z positivo e o ângulo azimutal não tem efeito porque ele apenas rola o vetor em torno do eixo z.

A velocidade polar positiva move o ponto para longe do pólo em z positivo em direção a x positivo.
A velocidade azimutal positiva move o ponto de x positivo para y positivo.

O desenho usa um sistema para destros com o eixo z para cima, comum em livros de matemática. Como no caso 2d, parece diferente dependendo da orientação do eixo xyz do sistema de coordenadas cartesianas no qual a posição será exibida.

Coordenadas geográficas

A definição das coordenadas esféricas tem duas desvantagens. Primeiro, o ângulo polar deve ter um valor diferente de 0 ° (ou 180 °) para permitir que o valor azimutal tenha um efeito. Em segundo lugar, o sistema geográfico de latitude e longitude não combina com os dois ângulos.

Para combinar os ângulos esféricos com a latitude e longitude, o ângulo polar precisa ter um valor de 90 °. Em seguida, o vetor de posição aponta para o eixo x positivo no plano equatorial que corresponde a uma latitude de 0 ° e uma longitude de 0 °.

As direções angulares de latitude e longitude são as mesmas. Portanto, a conversão é bastante simples:

Com as substituições trigonométricas, uma conversão direta entre as coordenadas geográficas e cartesianas pode ser derivada:

Implementação para VL

VL assume que o usuário trabalha em um sistema de coordenadas cartesianas para canhotos com o eixo y para cima, que é comumente usado com DirectX. Isso significa que todas as imagens e direções acima seriam de alguma forma giradas e invertidas quando usadas em tal sistema de coordenadas. Mas é claro que não é isso que queremos. O pólo norte de uma esfera ainda deve estar para cima e as direções angulares dos ângulos também devem ser as mesmas acima.

A conversão de um vetor entre os sistemas não é muito complicada:

A solução mais simples seria converter o vetor antes ou depois do cálculo, mas também podemos aplicar a conversão às fórmulas. Em seguida, obtemos as coordenadas esféricas:


Assista o vídeo: COORDENADAS POLARES. Aula completa (Outubro 2021).