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Intersecção de uma linha e um plano - matemática


Uma determinada linha e um determinado plano podem ou não se cruzar. Se a linha se cruzar com o plano, é possível que a linha também esteja completamente contida no plano. Como podemos diferenciar essas três possibilidades?

Exemplo ( PageIndex {8} ): Encontrando a interseção de uma linha e um plano

Determine se a linha seguinte se cruza com o plano fornecido. Se eles se cruzarem, determine se a linha está contida no plano ou se cruza em um único ponto. Finalmente, se a linha intercepta o plano em um único ponto, determine esse ponto de interseção.

[ begin {align *} text {Line:} quad x & = 2 - t & text {Plane:} quad 3x - 2y + z = 10 [5pt] y & = 1 + t [5pt] z & = 3t end {align *} nonumber ]

Solução

Observe que podemos substituir as expressões de (t ) dadas nas equações paramétricas da reta na equação do plano por (x ), (y ) e (z ).

[3 (2-t) - 2 (1 + t) + 3t = 10 não numérico ]

Resolvendo esta equação para (t ):

[6 - 3t -2 - 2t + 3t = 10 não numérico ]

[4 - 2t = 10 não numérico ]

[- 2t = 6 não numérico ]

[t = -3 nonumber ]

Como encontramos um único valor de (t ) a partir desse processo, sabemos que a linha deve interceptar o plano em um único ponto, aqui onde (t = -3 ). Portanto, o ponto de intersecção pode ser determinado inserindo este valor em (t ) nas equações paramétricas da linha.

Aqui: (x = 2 - (-3) = 5, quad y = 1 + (-3) = -2, , text {e} quad z = 3 (-3) = -9 ) .

Portanto, o ponto de intersecção desta linha com este plano é ( left (5, -2, -9 right) ). Podemos verificar isso colocando as coordenadas deste ponto na equação do plano e verificando se ele está satisfeito.

Verifique: (3 (5) - 2 (-2) + (-9) = 15 + 4 - 9 = 10 quad marca de seleção )

Agora que examinamos o que acontece quando há um único ponto de interseção entre uma linha e um ponto, vamos considerar como sabemos se a linha não intercepta o plano ou se está no plano (ou seja, todos os pontos na linha também está no avião).

Exemplo ( PageIndex {9} ): Outras relações entre uma linha e um plano

Determine se a linha seguinte se cruza com o plano fornecido. Finalmente, se a linha intercepta o plano em um único ponto, determine esse ponto de interseção.

[ begin {align *} text {Line:} quad x & = 1 + 2t & text {Plane:} quad x + 2y - 2z = 5 [5pt] y & = -2 + 3t [5pt] z & = -1 + 4t end {align *} nonumber ]

Solução

Substituir as expressões de (t ) dadas nas equações paramétricas da linha na equação do plano nos dá:

[(1 + 2t) +2 (-2 + 3t) - 2 (-1 + 4t) = 5 não numérico ]

Simplificar o lado esquerdo nos dá:

[1 + 2t -4 + 6t + 2 - 8t = 5 não numérico ]

Coletar termos semelhantes no lado esquerdo faz com que a variável (t ) se anule e nos deixa com uma contradição:

[- 1 = 5 não numérico ]

Como isso não é verdade, sabemos que não há valor de (t ) que torne esta equação verdadeira e, portanto, não há valor de (t ) que nos dê um ponto na linha que também está o avião. Isso significa que esta linha não se cruza com este plano e haverá nenhum ponto de intersecção.

Como podemos saber se uma linha está contida no plano?

E se mantivermos a mesma linha, mas modificarmos a equação do plano para ser (x + 2y - 2z = -1 )? Nesse caso, repetir as etapas acima novamente faria com que a variável (t ) fosse eliminada da equação, mas nos deixaria com uma identidade, (- 1 = -1 ), ao invés de uma contradição. Isso significa que cada valor de (t ) irá produzir um ponto na linha que também está no plano, nos dizendo que a linha está contida no plano cuja equação é (x + 2y - 2z = -1 ).


Intersecção de uma linha e um plano - matemática

Uma linha é uma coleção de pontos ao longo de um caminho reto que se estende indefinidamente em ambas as direções. Isso é indicado pelas setas em cada extremidade, mostradas na figura abaixo.

Uma linha tem uma dimensão, seu comprimento. Dois pontos não sobrepostos determinam uma linha única e podemos nomear a linha com esses dois pontos ou quaisquer outros dois pontos na linha.


linha AB ou BA definida pelos pontos A e B

As linhas são usadas em formas, ângulos e muitos outros contextos geométricos.


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Linha paramétrica que cruza um plano

Baixe o vídeo do iTunes U ou do Internet Archive.

DAVID JORDAN: Olá, bem-vindo de volta à recitação. O problema que gostaria de trabalhar com você agora é que temos uma linha que passa por dois pontos que nos são dados explicitamente e temos um plano que nos é dado por uma equação. E o que queremos saber é onde esta linha intercepta este plano? Então, uma coisa que eu sugeriria para começar é que precisamos dar uma parametrização de nossa linha para começar. OK, então por que você não trabalha nisso, pausa a fita, e nós voltaremos em um momento e trabalharemos juntos.

OK, bem-vindo de volta. Vamos começar. Então, vamos começar desenhando um desenho animado do que está acontecendo aqui.

Portanto, temos este plano sentado no espaço. E temos uma espécie de linha passando pelo espaço. Então talvez seja assim. E existe este único ponto de intersecção. Então, mesmo no desenho, podemos meio que ver duas coisas que estão acontecendo.

O que é que esperaríamos um ponto de intersecção, ou exatamente um, se escolhermos uma linha genérica e um plano genérico. Para que não houvesse pontos de intersecção, teríamos que ter uma linha paralela ao plano, o que é muito improvável. E então, do contrário, esperamos exatamente um ponto de intersecção.

Então, quero dividir isso em dois componentes. Portanto, temos uma equação para o plano. E quando vejo uma equação que descreve um plano, penso nisso como uma espécie de teste de adesão. Podemos inserir um ponto (x, y, z) na equação e perguntar: esse ponto torna a equação verdadeira ou não? E se isso acontecer, então esse ponto (x, y, z) está no plano e, caso contrário, não está no plano.

Para a linha, o que vamos precisar fazer em um segundo é que vamos precisar de uma parametrização. E uma parametrização é um tipo de coisa diferente de uma equação que descreve uma linha. A parametrização, em vez de ser um teste de associação, é realmente uma maneira de listar todos os pontos na linha. Então, quando damos uma parametrização - em um segundo - então seremos capazes de listar todos os pontos na linha. E então seremos capazes de inserir nossa lista na equação do plano e descobrir qual ponto em nossa lista está realmente no plano. Qual deles satisfaz a equação de associação.

Então, por que não começamos primeiro com a parametrização da linha. Portanto, o tipo geral de imagem aqui é que temos um ponto P_1 no espaço, e temos outro ponto P_2 no espaço, e queremos parametrizar a linha que vai entre eles. E, na verdade, há uma maneira muito simples de fazer isso.

O que fazemos é pegar nosso ponto original P_1 e adicionar uma variável t vezes o vetor P_2 menos P_1 que os conecta. Então é este aqui. OK. Portanto, é uma coisa razoável a se fazer, porque se inserirmos t é igual a 0, obteremos apenas P_1. E se inserirmos t igual a 1, obtemos P_1 mais P_2 menos P_1, obtemos apenas P_2. Portanto, essa linha definitivamente passa por esses dois pontos, e isso é tudo de que realmente precisamos.

Então, em nosso problema específico aqui, temos - P_1 que podemos tomar como o primeiro ponto, 0, menos 1, 1. E então temos t vezes - então temos 2 menos 0 é 2 - 3 menos um negativo 1 é 4-- e 3 menos 1 é 2. E este é o vetor que os conecta. E para que possamos escrever, podemos simplesmente combinar esses dois e obter 2t, 4t menos 1 e 2t mais 1. OK? Então isso aqui é uma parametrização da linha.

Então, conforme variamos t-- agora, voltando para nossa imagem-- conforme variamos t, estaremos apenas listando todos os pontos na linha. E vamos perguntar, para qual ponto estamos realmente contidos no plano? Então, vamos ao quadro aqui e resolver isso.

Então, o que queremos saber é se este ponto satisfaz a equação do plano? E nosso plano nos foi dado pela equação 2x mais y menos z igual a 1. Portanto, x em nossa linha é 2t. Portanto, temos 2 vezes 2t, mais - y é 4t menos 1, menos - z é 2t mais 1. E tudo isso deve ser igual a 1.

OK. Então, se expandirmos isso, obtemos 4t mais outro 4t menos 2t e obtemos menos 1 menos outro 1-- então obtemos menos 2-- igual a 1. Então, no total, temos 6t igual a 3, então isso nos diz que t é 1/2. OK?

E, finalmente, para obter nossa resposta, precisamos voltar à nossa parametrização da linha e inserir t igual a 1/2. Voltando aqui, inserindo t é igual a 1/2, obtemos 1-- 2 menos 1 é 1-- e 1 mais 1 é 2. OK, então obtemos o ponto de intersecção, (1, 1, 2) .

Foram algumas etapas, então vamos revisar o que fizemos. Portanto, para começar, precisávamos entender que a equação de um plano é um teste de adesão. Não é uma lista de todos os pontos do avião, é um teste de adesão.

A parametrização da linha, por outro lado, é uma forma de listar todos os pontos da linha. E assim, se nosso objetivo é encontrar qual ponto particular na linha está contido no plano, então precisamos parametrizar nossa linha e, em seguida, precisamos conectar nossa parametrização à nossa equação para o plano e, em seguida, resolver para o valor de t que o torna verdadeiro. Encontrar aquele t então nós - isso é equivalente a encontrar um ponto em nossa linha.


A interseção de um plano e um segmento de linha pode ser um raio?

Uma linha é um termo unidimensional na geometria que tem apenas comprimento, mas não largura. Ela se estende até o infinito. Um plano é uma superfície plana bidimensional que se estende até o infinito.

Um plano é como uma folha de papel, quando cruzamos uma folha com outra folha, observaremos que a intersecção é uma linha (como demos no anexo).

Portanto, a interseção de dois planos é uma linha.

Portanto, a resposta correta é a Opção A - uma linha

10. Se você for solicitado a fornecer a interseção de qualquer plano e qualquer linha que não esteja nesse plano, sua resposta será sempre um ponto

11. Se você for solicitado a fornecer a interseção de dois planos não paralelos, sua resposta sempre será uma linha

12. Se você for solicitado a fornecer a interseção de duas linhas, sua resposta será sempre um ponto

10. No espaço, um plano e uma linha que não está neste plano ou paralela a ele sempre se encontrarão no ponto.

Por exemplo, a linha PN intersecta o plano A no ponto N

11. A interseção de dois planos no espaço é uma linha.

Por exemplo, a interseção dos planos QRST e PQRN é a linha RQ.

12. Duas linhas que não são paralelas no mesmo plano sempre se cruzarão em um ponto.

Por exemplo, as linhas TQ e PQ se cruzam no ponto Q

No entanto, se duas linhas paralelas são idênticas e coincidem uma com a outra, elas se cruzam em um número infinito de pontos.

16. Ao dizer que uma linha cruza um plano e depois outro, você está dizendo que uma linha existe em dois planos. Esta é uma contradição direta com a afirmação.

17. O triângulo é equilátero porque o silogismo basicamente conecta os pontos. Se os ângulos do triângulo são todos iguais, ele tem todos os lados iguais, e se ele tem todos os lados iguais, então ele é equilátero, portanto, é D, não C.

Um plano é uma figura unidimensional

Falso. Os segmentos de linha são unidimensionais, portanto, qualquer interação que eles tenham com um plano será um ponto.

Se dois planos se cruzassem, isso formaria uma linha.

Para um avião ou seja e uma linha intersecção entre si a intersecção será definida como um ponto e é conhecida como o ponto de intersecção. Em outras palavras, o ponto de intersecção para quaisquer duas linhas, dois planos ou uma linha e um plano é um ponto onde o valor para ambas as linhas, planos ou linha e plano será o mesmo.

Neste caso, podemos definir o ponto como onde as coordenadas do ponto linha e avião será o mesmo dizer

Quando você tem dois planos cuja interseção não é o conjunto vazio, você tem duas possibilidades:

- Os dois aviões são iguais. Neste caso, você não tem uma linha como a interseção deles, mas é novamente um plano.

-Os dois planos não são iguais. Então, a intersecção deve ser uma linha por um axioma de incidência.


2 respostas 2

Suspeito que por dois vetores você realmente quer dizer dois pontos e deseja interceptar a linha que conecta esses dois pontos com o plano definido por Y = 0.

Se for esse o caso, você pode usar a definição de uma linha entre dois pontos:

& ltA + (D - A) * u, B + (E - B) * u, C + (F - C) * u & gt

Onde & ltA, B, C & gt é um de seus pontos e & ltD, E, F & gt é o outro ponto. u é um escalar indefinido usado para calcular os pontos ao longo desta linha.

Já que você está cruzando esta linha com o plano Y = 0, você simplesmente precisa encontrar o ponto na linha onde o segmento "Y" é 0.

Especificamente, resolva para u em B + (E - B) * u = 0 e, em seguida, retorne isso à equação da linha original para encontrar os componentes X e Z.


A maneira mais simples (e muito generalizável) de resolver isso é dizer que

que dá a você 3 equações em 3 variáveis. Resolva para x, y e z e, em seguida, substitua de volta em qualquer uma das equações originais para obter sua resposta. Isso pode ser generalizado para fazer coisas complexas como encontrar o ponto que é a interseção de dois planos em 4 dimensões.

Para uma abordagem alternativa, o produto vetorial N de (P2-P1) e (P3-P1) é um vetor perpendicular ao plano. Isso significa que o plano pode ser definido como o conjunto de pontos P de modo que o produto escalar de P e N é o produto escalar de P1 e N. Resolvendo para x tal que (L1 + x * (L2 - L1)) ponto N é esta constante dá a você uma equação em uma variável que é fácil de resolver. Se você vai cruzar muitas linhas com este plano, esta abordagem definitivamente vale a pena.

Escrito explicitamente, isso dá:

Observe que esse truque de produto cruzado funciona em 3 dimensões e apenas para o seu problema específico de um plano e uma linha.


Intersecção de uma linha e um plano - matemática

Para os problemas 1 - 3, escreva a equação do plano.

  1. O plano que contém os pontos ( left (<4, - 3,1> right) ), ( left (<- 3, - 1,1> right) ) e ( left (< 4, - 2,8> right) ). Solução
  2. O plano que contém o ponto ( left (<3,0, - 4> right) ) e ortogonal à linha dada por ( vec r left (t right) = left langle <12 - t, 1 + 8t, 4 + 6t> right rangle ). Solução
  3. O plano que contém o ponto ( left (<- 8,3,7> right) ) e paralelo ao plano dado por (4x + 8y - 2z = 45 ). Solução

Para os problemas 4 e 5, determine se os dois planos são paralelos, ortogonais ou nenhum.

  1. O plano dado por (4x - 9y - z = 2 ) e o plano dado por (x + 2y - 14z = - 6 ). Solução
  2. O plano dado por (- 3x + 2y + 7z = 9 ) e o plano que contém os pontos ( left (<- 2,6,1> right) ), ( left (<- 2, 5,0> right) ) e ( left (<- 1,4, - 3> right) ). Solução

Para os problemas 6 e 7, determine onde a linha intercepta o plano ou mostre que ela não intercepta o plano.


Conteúdo

Pode haver mais de um objeto primitivo, como pontos (foto acima), que formam uma interseção. A interseção pode ser vista coletivamente como todos os objetos compartilhados (ou seja, a operação de interseção resulta em um conjunto, possivelmente vazio), ou como vários objetos de interseção (possivelmente zero).

A interseção de dois conjuntos UMA e B é o conjunto de elementos que estão em ambos UMA e B. Em símbolos,

Por exemplo, se UMA = <1, 3, 5, 7> e B = <1, 2, 4, 6> então UMAB = <1>. Um exemplo mais elaborado (envolvendo conjuntos infinitos) é:

Como outro exemplo, o número 5 é não contido na interseção do conjunto de números primos <2, 3, 5, 7, 11, ...> e o conjunto de números pares <2, 4, 6, 8, 10, ...>, porque embora 5 é um número primo, é não até. Na verdade, o número 2 é o único número na interseção desses dois conjuntos. Nesse caso, a interseção tem significado matemático: o número 2 é o único número primo par.

A intersecção é denotada por U + 2229 ∩ INTERSECTION de Unicode Mathematical Operators.

Peano também criou os grandes símbolos para intersecção geral e união de mais de duas classes em seu livro de 1908 Formulario mathematico. [4] [5]


Conteúdo

Euclides estabeleceu o primeiro grande marco do pensamento matemático, um tratamento axiomático da geometria. [1] Ele selecionou um pequeno núcleo de termos indefinidos (chamados noções comuns) e postulados (ou axiomas) que ele então usou para provar várias afirmações geométricas. Embora o plano em seu sentido moderno não receba uma definição direta em qualquer lugar do Elementos, pode ser pensado como parte das noções comuns. [2] Euclides nunca usou números para medir comprimento, ângulo ou área. Desta forma, o plano euclidiano não é exatamente o mesmo que o plano cartesiano.

Esta seção está preocupada apenas com os planos incorporados em três dimensões: especificamente, em R 3 .

Determinação por pontos contidos e linhas Editar

Em um espaço euclidiano de qualquer número de dimensões, um plano é determinado exclusivamente por qualquer um dos seguintes:

  • Três pontos não colineares (pontos que não estão em uma única linha).
  • Uma linha e um ponto que não está nessa linha.
  • Duas linhas distintas, mas que se cruzam.
  • Duas linhas distintas, mas paralelas.

Editar propriedades

As seguintes afirmações são válidas no espaço euclidiano tridimensional, mas não em dimensões superiores, embora tenham análogos em dimensões superiores:

  • Dois planos distintos são paralelos ou se cruzam em uma linha.
  • Uma linha é paralela a um plano, cruza-o em um único ponto ou está contida no plano.
  • Duas linhas distintas perpendiculares ao mesmo plano devem ser paralelas entre si.
  • Dois planos distintos perpendiculares à mesma linha devem ser paralelos um ao outro.

Ponto - forma normal e forma geral da equação de um plano Editar

De maneira análoga à maneira como as linhas em um espaço bidimensional são descritas usando uma forma de inclinação de ponto para suas equações, os planos em um espaço tridimensional têm uma descrição natural usando um ponto no plano e um vetor ortogonal a ele (o vetor normal) para indicar sua "inclinação".

Especificamente, deixe r0 ser o vetor posição de algum ponto P0 = (x0, y0, z0) , e deixar n = (uma, b, c) ser um vetor diferente de zero. O plano determinado pelo ponto P0 e o vetor n consiste nesses pontos P , com vetor de posição r , de modo que o vetor desenhado de P0 para P é perpendicular a n . Lembrando que dois vetores são perpendiculares se e somente se seu produto escalar for zero, segue-se que o plano desejado pode ser descrito como o conjunto de todos os pontos r de tal modo que

O ponto aqui significa um produto de ponto (escalar).
Expandido, torna-se

qual é o ponto - normal forma da equação de um plano. [3] Esta é apenas uma equação linear

Em matemática, é uma convenção comum expressar o normal como um vetor unitário, mas o argumento acima é válido para um vetor normal de qualquer comprimento diferente de zero.

Por outro lado, é facilmente mostrado que se uma, b, c e d são constantes e uma, b , e c não são todos zero, então o gráfico da equação

é um avião com o vetor n = (uma, b, c) como um normal. [4] Esta equação familiar para um plano é chamada de Forma geral da equação do plano. [5]

Assim, por exemplo, uma equação de regressão da forma y = d + machado + cz (com b = −1) estabelece um plano de melhor ajuste no espaço tridimensional quando há duas variáveis ​​explicativas.

Descrevendo um plano com um ponto e dois vetores nele. Editar

Alternativamente, um plano pode ser descrito parametricamente como o conjunto de todos os pontos do formulário

Onde s e t abrangem todos os números reais, v e C recebem vetores linearmente independentes que definem o plano, e r0 é o vetor que representa a posição de um ponto arbitrário (mas fixo) no plano. Os vetores v e C podem ser visualizados como vetores começando em r0 e apontando em diferentes direções ao longo do plano. Os vetores v e C pode ser perpendicular, mas não pode ser paralelo.

Descrevendo um plano através de três pontos Editar

Método 1 Editar

O avião passando p1 , p2 , e p3 pode ser descrito como o conjunto de todos os pontos (x,y,z) que satisfazem as seguintes equações determinantes:

Método 2 Editar

Para descrever o plano por uma equação da forma a x + b y + c z + d = 0 < displaystyle ax + by + cz + d = 0>, resolva o seguinte sistema de equações:

Esse sistema pode ser resolvido usando a regra de Cramer e as manipulações básicas de matriz. Deixar

Se D é diferente de zero (portanto, para planos que não passam pela origem), os valores para uma, b e c pode ser calculado da seguinte forma:

Essas equações são paramétricas em d. Configuração d igual a qualquer número diferente de zero e substituí-lo nessas equações resultará em um conjunto de solução.

Método 3 Editar

Este plano também pode ser descrito pela prescrição de "ponto e vetor normal" acima. Um vetor normal adequado é dado pelo produto vetorial

e o ponto r0 pode ser considerado qualquer um dos pontos dados p1 , p2 ou p3 [6] (ou qualquer outro ponto do plano).

Distância de um ponto a um plano Editar

Outra forma vetorial para a equação de um plano, conhecida como forma normal de Hesse, depende do parâmetro D. Este formulário é: [5]

Intersecção linha-plano Editar

Na geometria analítica, a interseção de uma linha e um plano no espaço tridimensional pode ser o conjunto vazio, um ponto ou uma linha.

Linha de intersecção entre dois planos Editar

O restante da expressão é obtido encontrando um ponto arbitrário na linha. Para fazer isso, considere que qualquer ponto no espaço pode ser escrito como r = c 1 n 1 + c 2 n 2 + λ (n 1 × n 2) < displaystyle < boldsymbol > = c_ <1> < boldsymbol > _ <1> + c_ <2> < boldsymbol > _ <2> + lambda (< boldsymbol > _ <1> times < boldsymbol > _ <2>)>, uma vez que < displaystyle << boldsymbol > _ <1>, < boldsymbol > _ <2>, (< boldsymbol > _ <1> times < boldsymbol > _ <2>) >> é uma base. Queremos encontrar um ponto que esteja em ambos os planos (ou seja, em sua interseção), então insira esta equação em cada uma das equações dos planos para obter duas equações simultâneas que podem ser resolvidas para c 1 < displaystyle c_ <1>> e c 2 < displaystyle c_ <2>>.

Ângulo diédrico Editar

Além de sua estrutura geométrica familiar, com isomorfismos que são isometrias em relação ao produto interno usual, o plano pode ser visto em vários outros níveis de abstração. Cada nível de abstração corresponde a uma categoria específica.

Em um extremo, todos os conceitos geométricos e métricos podem ser abandonados para deixar o plano topológico, que pode ser pensado como uma folha de borracha infinita homotopicamente trivial idealizada, que retém uma noção de proximidade, mas não tem distâncias. O plano topológico tem o conceito de caminho linear, mas não o conceito de linha reta. O plano topológico, ou seu equivalente o disco aberto, é a vizinhança topológica básica usada para construir superfícies (ou 2-variedades) classificadas em topologia de baixa dimensão. Os isomorfismos do plano topológico são todos bijeções contínuas. O plano topológico é o contexto natural para o ramo da teoria dos grafos que lida com grafos planos e resultados como o teorema das quatro cores.

O plano também pode ser visto como um espaço afim, cujos isomorfismos são combinações de translações e mapas lineares não singulares. Deste ponto de vista, não há distâncias, mas a colinearidade e as proporções das distâncias em qualquer linha são preservadas.

A geometria diferencial vê um plano como uma variedade real bidimensional, um plano topológico que é fornecido com uma estrutura diferencial. Novamente, neste caso, não há noção de distância, mas agora há um conceito de suavidade de mapas, por exemplo, um caminho diferenciável ou suave (dependendo do tipo de estrutura diferencial aplicada). Os isomorfismos neste caso são bijeções com o grau de diferenciabilidade escolhido.

Na direção oposta da abstração, podemos aplicar uma estrutura de campo compatível ao plano geométrico, dando origem ao plano complexo e à área principal de análise complexa. O campo complexo possui apenas dois isomorfismos que deixam fixa a linha real, a identidade e a conjugação.

Da mesma forma que no caso real, o plano também pode ser visto como a variedade complexa mais simples, unidimensional (sobre os números complexos), às vezes chamada de linha complexa. No entanto, este ponto de vista contrasta fortemente com o caso do plano como uma variedade real bidimensional. Os isomorfismos são todos bijeções conformes do plano complexo, mas as únicas possibilidades são os mapas que correspondem à composição de uma multiplicação por um número complexo e uma translação.

Além disso, a geometria euclidiana (que tem curvatura zero em todos os lugares) não é a única geometria que o plano pode ter. O plano pode receber uma geometria esférica usando a projeção estereográfica. Isso pode ser pensado como colocar uma esfera no plano (como uma bola no chão), removendo o ponto superior e projetando a esfera no plano a partir desse ponto. Esta é uma das projeções que podem ser usadas para fazer um mapa plano de parte da superfície da Terra. A geometria resultante tem curvatura positiva constante.

Alternativamente, o plano também pode receber uma métrica que dá a ele curvatura negativa constante dando o plano hiperbólico. A última possibilidade encontra aplicação na teoria da relatividade especial no caso simplificado em que existem duas dimensões espaciais e uma dimensão de tempo. (O plano hiperbólico é uma hipersuperfície semelhante ao tempo no espaço tridimensional de Minkowski.)

A compactação de um ponto do plano é homeomórfica a uma esfera (veja a projeção estereográfica), o disco aberto é homeomórfico a uma esfera com o "pólo norte" ausente, acrescentando que o ponto completa a esfera (compacta). O resultado dessa compactação é uma variedade conhecida como esfera de Riemann ou linha projetiva complexa. A projeção do plano euclidiano para uma esfera sem ponto é um difeomorfismo e até mesmo um mapa conforme.

O próprio plano é homeomórfico (e difeomórfico) para um disco aberto. Para o plano hiperbólico tal difeomorfismo é conforme, mas para o plano euclidiano não.


Assista o vídeo: União e Intersecção (Outubro 2021).