Em detalhe

Condições de alinhamento de três pontos


Se três pontos, A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC), estão alinhados, então:

Para demonstrar esse teorema podemos considerar três casos:

a) três pontos alinhados horizontalmente

Neste caso, as ordenadas são iguais:

yA = yB = yC

e o determinante é nulo, pois a 2ª e a 3ª coluna são proporcionais.

b) três pontos alinhados verticalmente

Neste caso, as abscissas são iguais:

xA = xB = xC

e o determinante é nulo, pois a 1ª e a 3ª coluna são proporcionais.

c) três pontos numa reta não-paralela aos eixos

Pela figura, verificamos que os triângulos ABD e BCE são semelhantes. Então:

Desenvolvendo, vem:

Como:

então .

Observação: A recíproca da afirmação demonstrada é válida, ou seja, se , então os pontos A(xA,yA), B(xB,yB) e C(xC, yC) estão alinhados.

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