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7.6: Calculando Centros de Massa e Momentos de Inércia


Já discutimos algumas aplicações de integrais múltiplas, como encontrar áreas, volumes e o valor médio de uma função em uma região limitada. A densidade é geralmente considerada um número constante quando a lâmina ou o objeto é homogêneo; ou seja, o objeto tem densidade uniforme.

Centro de massa em duas dimensões

O centro de massa também é conhecido como centro de gravidade se o objeto estiver em um campo gravitacional uniforme. Se o objeto tiver densidade uniforme, o centro de massa é o centro geométrico do objeto, que é chamado de centróide. A figura ( PageIndex {1} ) mostra um ponto (P ) como o centro de massa de uma lâmina. A lâmina está perfeitamente equilibrada em relação ao seu centro de massa.

Para encontrar as coordenadas do centro de massa (P ( bar {x}, bar {y}) ) de uma lâmina, precisamos encontrar o momento (M_x ) da lâmina sobre o (x ) - eixo e o momento (M_y ) sobre o eixo (y ). Também precisamos encontrar a massa (m ) da lâmina. Então

[ bar {x} = dfrac {M_y} {m} ]

e

[ bar {y} = dfrac {M_x} {m}. ]

Consulte Momentos e centros de massa para obter as definições e os métodos de integração única para encontrar o centro de massa de um objeto unidimensional (por exemplo, uma haste fina). Vamos usar uma ideia semelhante aqui, exceto que o objeto é uma lâmina bidimensional e usamos uma integral dupla.

Se permitirmos uma função de densidade constante, então ( bar {x} = dfrac {M_y} {m} ) e ( bar {y} = dfrac {M_x} {m} ) dar o centróide da lâmina.

Suponha que a lâmina ocupe uma região (R ) no (xy ) - plano e seja ( rho (x, y) ) sua densidade (em unidades de massa por unidade de área) em qualquer ponto ((x, y) ). Por isso,

[ rho (x, y) = lim _ { Delta A rightarrow 0} dfrac { Delta m} { Delta A} ]

onde ( Delta m ) e ( Delta A ) são a massa e a área de um pequeno retângulo contendo o ponto ((x, y) ) e o limite é considerado como as dimensões do retângulo vão para (0 ) (veja a figura a seguir).

Assim como antes, dividimos a região (R ) em retângulos minúsculos (R_ {ij} ) com área ( Delta A ) e escolhemos ((x_ {ij} ^ *, y_ {ij} ^ *) ) como pontos de amostra. Então a massa (m_ {ij} ) de cada (R_ {ij} ) é igual a ( rho (x_ {ij} ^ *, y_ {ij} ^ *) Delta A ) (Figura ( PageIndex {2} )). Sejam (k ) e (l ) o número de subintervalos em (x ) e (y ) respectivamente. Além disso, observe que a forma nem sempre pode ser retangular, mas o limite funciona de qualquer maneira, conforme visto nas seções anteriores.

Portanto, a massa da lâmina é

[m = lim_ {k, l rightarrow infty} sum_ {i = 1} ^ k sum_ {j = 1} ^ l m_ {ij} = lim_ {k, l rightarrow infty} soma_ {i = 1} ^ k soma_ {j = 1} ^ l rho (x_ {ij} ^ *, y_ {ij} ^ *) Delta A = iint_R rho (x, y) dA. ]

Vamos ver um exemplo agora de como encontrar a massa total de uma lâmina triangular.

Exemplo ( PageIndex {1} ): Encontrando a massa total de uma lâmina

Considere uma lâmina triangular (R ) com vértices ((0,0), , (0,3), , (3,0) ) e com densidade ( rho (x, y) = xy , kg / m ^ 2 ). Encontre a massa total.

Solução

Um esboço da região (R ) é sempre útil, conforme mostrado na figura a seguir.

Usando a expressão desenvolvida para massa, vemos que

[m = iint_R , dm = iint_R rho (x, y) dA = int_ {x = 0} ^ {x = 3} int_ {y = 0} ^ {y = 3-x} xy , dy , dx = int_ {x = 0} ^ {x = 3} left [ left. x dfrac {y ^ 2} {2} right | _ {y = 0} ^ {y = 3} right] , dx = int_ {x = 0} ^ {x = 3} dfrac {1 } {2} x (3 - x) ^ 2 dx = left. Left [ dfrac {9x ^ 2} {4} - x ^ 3 + dfrac {x ^ 4} {8} right] right | _ {x = 0} ^ {x = 3} = dfrac {27} {8}. ]

O cálculo é direto, fornecendo a resposta (m = dfrac {27} {8} , kg ).

Exercício ( PageIndex {1} )

Considere a mesma região (R ) do exemplo anterior e use a função de densidade ( rho (x, y) = sqrt {xy} ). Encontre a massa total.

Responder

( dfrac {9 pi} {8} , kg )

Agora que estabelecemos a expressão para massa, temos as ferramentas de que precisamos para calcular momentos e centros de massa. O momento (M_z ) sobre o eixo (x ) para (R ) é o limite das somas dos momentos das regiões (R_ {ij} ) sobre o eixo (x ) . Por isso

[M_x = lim_ {k, l rightarrow infty} sum_ {i = 1} ^ k sum_ {j = 1} ^ l (y_ {ij} ^ *) m_ {ij} = lim_ {k , l rightarrow infty} sum_ {i = 1} ^ k sum_ {j = 1} ^ l (y_ {ij} ^ *) rho (x_ {ij} ^ *, y_ {ij} ^ *) Delta A = iint_R y rho (x, y) dA ]

Da mesma forma, o momento (M_y ) sobre o eixo (y ) para (R ) é o limite das somas dos momentos das regiões (R_ {ij} ) sobre o (y ) -eixo. Por isso

[M_x = lim_ {k, l rightarrow infty} sum_ {i = 1} ^ k sum_ {j = 1} ^ l (x_ {ij} ^ *) m_ {ij} = lim_ {k , l rightarrow infty} sum_ {i = 1} ^ k sum_ {j = 1} ^ l (y_ {ij} ^ *) rho (x_ {ij} ^ *, y_ {ij} ^ *) Delta A = iint_R x rho (x, y) dA ]

Exemplo ( PageIndex {2} ): Encontrando momentos

Considere a mesma lâmina triangular (R ) com vértices ((0,0), , (0,3), , (3,0) ) e com densidade ( rho (x, y) = xy ). Encontre os momentos (M_x ) e (M_y ).

Solução

Use integrais duplos para cada momento e calcule seus valores:

[M_x = iint_R y rho (x, y) dA = int_ {x = 0} ^ {x = 3} int_ {y = 0} ^ {y = 3-x} xy ^ 2 , dy , dx = dfrac {81} {20}, ]

[M_y = iint_R x rho (x, y) dA = int_ {x = 0} ^ {x = 3} int_ {y = 0} ^ {y = 3-x} x ^ 2 y , dy , dx = dfrac {81} {20}, ]

O cálculo é bastante simples.

Exercício ( PageIndex {2} )

Considere a mesma lâmina (R ) como acima e use a função densidade ( rho (x, y) = sqrt {xy} ). Encontre os momentos (M_x ) e (M_y ).

Responder

(M_x = dfrac {81 pi} {64} ) e (M_y = dfrac {81 pi} {64} )

Finalmente, estamos prontos para reafirmar as expressões para o centro de massa em termos de integrais. Denotamos o x-coordenado do centro de massa por ( bar {x} ) e o y-coordenado por ( bar {y} ). Especificamente,

[ bar {x} = dfrac {M_y} {m} = dfrac { iint_R x rho (x, y) dA} { iint_R rho (x, y) dA} ]

e

[ bar {y} = dfrac {M_x} {m} = dfrac { iint_R y rho (x, y) dA} { iint_R rho (x, y) dA} ]

Exemplo ( PageIndex {3} ): centro de massa

Considere novamente a mesma região triangular (R ) com vértices ((0,0), , (0,3), , (3,0) ) e com função de densidade ( rho (x, y ) = xy ). Encontre o centro de massa.

Solução

Usando as fórmulas que desenvolvemos, temos

[ bar {x} = dfrac {M_y} {m} = dfrac { iint_R x rho (x, y) dA} { iint_R rho (x, y) dA} = dfrac {81 / 20} {27/8} = dfrac {6} {5}, ]

[ bar {y} = dfrac {M_x} {m} = dfrac { iint_R y rho (x, y) dA} { iint_R rho (x, y) dA} = dfrac {81 / 20} {27/8} = dfrac {6} {5}. ]

Portanto, o centro de massa é o ponto ( left ( dfrac {6} {5}, dfrac {6} {5} right). )

Análise

Se escolhermos a densidade ( rho (x, y) ) em vez de ser uniforme em toda a região (ou seja, constante), como o valor 1 (qualquer constante servirá), então podemos calcular o centróide,

[x_c = dfrac {M_y} {m} = dfrac { iint_R x , dA} { iint_R dA} = dfrac {9/2} {9/2} = 1, ]

[y_c = dfrac {M_x} {m} = dfrac { iint_R y , dA} { iint_R dA} = dfrac {9/2} {9/2} = 1. ]

Observe que o centro de massa ( left ( dfrac {6} {5}, dfrac {6} {5} right) ) não é exatamente o mesmo que o centróide ((1,1) ) da região triangular. Isso se deve à densidade variável de (R ). Se a densidade for constante, então usamos apenas ( rho (x, y) = c ) (constante). Este valor se cancela nas fórmulas, portanto, para uma densidade constante, o centro de massa coincide com o centróide da lâmina.

Exercício ( PageIndex {3} )

Novamente use a mesma região (R ) como acima e use a função de densidade ( rho (x, y) = sqrt {xy} ). Encontre o centro de massa.

Responder

( bar {x} = dfrac {M_y} {m} = dfrac {81 pi / 64} {9 pi / 8} = dfrac {9} {8} ) e ( bar { y} = dfrac {M_x} {m} = dfrac {81 pi} {9 pi / 8} = dfrac {0} {8} ).

Mais uma vez, com base nos comentários no final de Exemplo ( PageIndex {3} ), temos expressões para o centroide de uma região no plano:

[x_c = dfrac {M_y} {m} = dfrac { iint_R x , dA} { iint_R dA} , text {e} , y_c = dfrac {M_x} {m} = dfrac { iint_R y , dA} { iint_R dA}. ]

Devemos usar essas fórmulas e verificar o centroide da região triangular


Como medir o MOI por meio de CG

1. Por que medir o momento de inércia (MOI) por meio do centro de gravidade (CG)?

Quando um objeto estiver livre para girar, ele girará em torno de um eixo que passa por seu centro de gravidade. Portanto, é essencial conhecer o momento de inércia através do centro de gravidade para avaliar as características de voo de uma carga útil.

O MOI sobre um eixo A passando pelo CG é o menor MOI em torno de qualquer eixo paralelo a A. Uma vez que você conhece o MOI através do CG, você pode extrapolar para MOI através de qualquer eixo paralelo a ele, fornecendo a você a distância entre o CG e seu eixo.

A fórmula é:

MOI através do eixo A = MOI através de CG + Md 2

Onde:
M é a massa do objeto
d é a distância entre o CG e o eixo A

2. Como medir o MOI por meio do CG sem saber a localização do CG?

Obviamente, a maneira mais fácil de medir o momento de inércia através do centro de gravidade é usar um instrumento que mede CG e MOI. Nossa série KSR são instrumentos de alta precisão que medem CG e MOI com precisão de 0,1%. Neste instrumento, uma configuração de carga útil permite medir duas coordenadas de localização do centro de gravidade e um momento de inércia. O instrumento fornece resultados de momento de inércia diretamente através do centro de gravidade.

Nossas máquinas de equilíbrio de rotação (série POI) também medem CG e MOI e, portanto, fornecem o momento de inércia através dos resultados do centro de gravidade. Nossa série MP são instrumentos que também medem CG e MOI, embora com menos precisão.

Mas não é necessário saber a posição do centro de gravidade para medir o momento de inércia através do centro de gravidade. Ao medir o MOI sobre vários eixos paralelos, pode-se calcular o MOI por meio do CG.

O número ideal de medições de momento de inércia (melhor compromisso entre precisão e tempo) é 6. Mais medições não fornecerão muito mais precisão. Menos medições reduzirão significativamente a precisão.

A precisão do momento de inércia depende de vários fatores, incluindo:

  • As posições usadas para cada medição
  • A precisão do instrumento
  • A precisão do acessório

Dependendo da sua carga útil, você obterá uma precisão da ordem de 1,5 a 3 vezes pior do que a precisão do seu instrumento. Em outras palavras, se o seu instrumento de medição do momento de inércia tiver 0,1% de precisão, você obterá o MOI por meio do CG com 0,15% a 0,3% de precisão.

De uma medição para outra, a carga útil deve ser transladada em um plano horizontal, sem alterar sua orientação. As medições do momento de inércia fornecem os melhores resultados quando o centro de gravidade da carga útil está localizado próximo à linha central da máquina. Portanto, as posições de medição devem ser escolhidas com cuidado para permanecer dentro da tolerância do instrumento para o momento de tombamento, mas para fornecer a maior variação possível de uma posição para a próxima.

A fixação é crucial para essas medições. O uso de uma tabela de translação de dois eixos permite medições sem refixar a carga útil.

3. Posso encontrar o local do centro de gravidade com este método? Que precisão posso esperar?

Este método fornecerá uma estimativa aproximada da localização do centro de gravidade, mas a incerteza é muito grande. Não confie neste método para fornecer a localização do centro de gravidade que você pode usar em cálculos ou para fins de equilíbrio.

A precisão depende da sua carga útil. Na cabeça de um taco de golfe, por exemplo, você pode obter a localização do centro de gravidade de +/- 0,25 polegadas (+/- 6 mm). Em outras cargas úteis, a incerteza pode ser de +/- 1 polegada (+/- 2,54 cm) ou mais.

4. Como a Space Electronics implementa este método?

Os instrumentos de momento de inércia da Space Electronics & # 8217 suportam o método de múltiplas medições MOI para encontrar MOI por meio de CG. Projetamos software e acessórios personalizados que automatizam o processo de medição e cálculo.

Nossos instrumentos de medição de momento de inércia também permitem entradas manuais do centro de gravidade e tradução dos resultados de MOI para qualquer eixo.


O centróide de uma forma é a média aritmética (ou seja, a média) de todos os pontos em uma forma. Suponha que uma forma consiste em pontos distintos , então o centróide é dado por

No contexto do processamento de imagens e visão computacional, cada forma é feita de pixels, e o centróide é simplesmente a média ponderada de todos os pixels que constituem a forma.


Momento de inércia de massa

Como no NX 7.5 posso obter o momento de inércia de massa em torno de um eixo de distância do centro de gravidade do corpo.

RE: momento de inércia de massa

Quando você executa um comando "medir corpo", a janela de informações listará os resultados:
Momentos de inércia (Centroidal)
Momentos de inércia (WCS)

Aquele marcado "WCS" é o momento de inércia em relação aos eixos do WCS. Portanto, tudo o que você precisa fazer é posicionar e orientar o WCS conforme desejado antes de usar o "corpo de medida".

RE: momento de inércia de massa

John R. Baker, P.E.
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Siemens PLM Software Inc.
Fábrica Digital
Cypress, CA
Siemens PLM:
Museu UG / NX:

Para um engenheiro, o vidro é duas vezes maior do que precisa ser.

RE: momento de inércia de massa

Obrigado
Qual é o momento de inércia da massa polar? Alguma terminologia estranha está lá.

RE: momento de inércia de massa

Você precisará derivar isso dos Momentos da Missa de Interia. Simplesmente oriente o eixo Z do WCS para que se alinhe com o eixo polar de interesse, execute uma Medida do Corpo e, em seguida, ADICIONE os valores de Ix e Iy para obter o momento polar de inércia em torno de Iz.

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RE: momento de inércia de massa

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O momento de inércia de qualquer objeto em torno de um eixo através de seu CG pode ser expresso pela fórmula: I = Mk 2 onde I = momento de inércia
M = massa (pacote) ou outra unidade correta de massa
k = comprimento (raio de rotação) (pés) ou qualquer outra unidade de comprimento

A distância (k) é chamada de Raio de Giro. O método de cálculo do raio de rotação é descrito nas seções a seguir. Considere primeiro o corpo consistindo de duas massas pontuais, cada uma com uma massa de M / 2 separada por uma distância de 2r. O eixo de referência passa por um ponto equidistante das duas massas. Cada uma das massas tem um MOI de Mr 2/2. Seu MOI combinado é, portanto, Mr 2. O segundo exemplo mostra um tubo de parede fina de raio r. Por simetria, o CG encontra-se na linha central do tubo. Novamente, toda a massa está localizada a uma distância r do eixo de referência, então seu MOI = Mr 2. Nestes exemplos, o raio de giração é k = r. Isso leva à definição: & # 8220O raio de giração de um objeto, em relação a um eixo que passa pelo CG, é a distância do eixo na qual toda a massa de um objeto poderia ser concentrada sem alterar seu momento de inércia. O raio de rotação é sempre medido a partir do CG. & # 8221


Sobre propriedades de massa

De:

Atribua propriedades físicas aos componentes para calcular o peso e o volume da montagem, para localizar um centro de gravidade e para exportar dados para outro aplicativo para análise posterior.

A análise das propriedades físicas ajuda a avaliar como seu modelo projetado se correlaciona com sua contraparte física. Para verificar a intenção do projeto, você pode calcular propriedades físicas para peças e montagens.

As propriedades de massa não são atualizadas automaticamente com as alterações do modelo. Se as alterações do modelo afetam as propriedades físicas, os últimos valores conhecidos ficam desatualizados e exibem N / A.

Expressões de BOM e texto de desenho podem exibir propriedades físicas (massa, volume, área e densidade). N / A é exibido em expressões de BOM e texto de desenho sempre que as propriedades do modelo estão desatualizadas.

  • A localização do componente virtual não pode ser definida diferente da origem da montagem.
  • A área de superfície e os momentos de inércia dos componentes virtuais não existem.

9.6 Centro de Massa

Temos evitado uma questão importante até agora: quando dizemos que um objeto se move (mais corretamente, acelera) de uma forma que obedece à segunda lei de Newton, temos ignorado o fato de que todos os objetos são, na verdade, feitos de muitas partículas constituintes. Um carro tem motor, volante, assentos, passageiros, uma bola de futebol é couro e borracha ao redor do ar um tijolo é feito de átomos. Existem muitos tipos diferentes de partículas e geralmente não são distribuídas uniformemente no objeto. Como incluímos esses fatos em nossos cálculos?

Da mesma forma, um objeto estendido pode mudar de forma à medida que se move, como um balão d'água ou a queda de um gato (Figura 9.26). Isso implica que as partículas constituintes estão aplicando forças internas umas sobre as outras, além da força externa que atua sobre o objeto como um todo. Queremos ser capazes de lidar com isso também.

O problema diante de nós, então, é determinar qual parte de um objeto estendido está obedecendo à segunda lei de Newton quando uma força externa é aplicada e determinar como o movimento do objeto como um todo é afetado por ambas as forças internas e externas.

Esteja avisado: para tratar esta nova situação corretamente, devemos ser rigorosos e totalmente gerais. Não faremos quaisquer suposições sobre a natureza do objeto, ou de suas partículas constituintes, ou as forças internas ou externas. Assim, os argumentos serão complexos.

Forças Internas e Externas

Suponha que temos um objeto estendido de massa M, feito de N partículas em interação. Vamos rotular suas massas como m j m j, onde j = 1, 2, 3, ..., N j = 1, 2, 3, ..., N. Observe que

Observe que essas frações da força total não são necessariamente iguais, de fato, virtualmente nunca são. (Elas posso ser, mas geralmente não são.) Em geral, portanto,

Em seguida, assumimos que cada uma das partículas que constituem nosso objeto pode interagir (aplicar forças sobre) todas as outras partículas do objeto. Não tentaremos adivinhar que tipo de forças elas são, mas uma vez que essas forças são o resultado de partículas do objeto agindo sobre outras partículas do mesmo objeto, nos referimos a elas como força interna s f → j int f → j int assim:

Agora o internet força, interna mais externa, no ja partícula é a soma vetorial destes:

onde novamente, isso é para todos N partículas j = 1, 2, 3,…, N j = 1, 2, 3,…, N.

Como resultado dessa força fracionária, o momento de cada partícula é alterado:

Esta força resultante muda o momento do objeto como um todo, e a variação líquida do momento do objeto deve ser a soma vetorial de todas as mudanças individuais de momento de todas as partículas:

(Este argumento é sutil, mas crucial leva muito tempo para entendê-lo completamente.)

Para as forças externas, este somatório é simplesmente a força externa total que foi aplicada a todo o objeto:

Este é um resultado importante. A Equação 9.25 nos diz que a mudança total de momento de todo o objeto (todos N partículas) é devido apenas às forças externas as forças internas não alteram o momento do objeto como um todo. É por isso que você não pode se levantar no ar ficando em uma cesta e puxando as alças: Para o sistema você + cesta, sua força de tração para cima é uma força interna.

Força e impulso

Lembre-se de que nosso objetivo real é determinar a equação de movimento de todo o objeto (todo o sistema de partículas). Para isso, vamos definir:

e, portanto, a Equação 9.25 pode ser escrita simplesmente como

Como essa mudança de momento é causada apenas pela força externa líquida, eliminamos o subscrito “ext”.

Centro de massa

Nossa próxima tarefa é determinar qual parte do objeto estendido, se houver, está obedecendo à Equação 9.26.

É tentador dar o próximo passo. A equação a seguir significa alguma coisa?

Se isso faz significa algo (aceleração de quê, exatamente?), então poderíamos escrever

o que se segue porque a derivada de uma soma é igual à soma das derivadas.

Substituindo de volta, obtemos

Dividindo os dois lados por M (a massa total do objeto estendido) nos dá

Assim, o ponto no objeto que traça a trajetória ditada pela força aplicada na Equação 9.27 está dentro dos parênteses na Equação 9.28.

Olhando para este cálculo, observe que (dentro dos parênteses) estamos calculando o produto da massa de cada partícula com sua posição, adicionando todos N destes acima, e dividindo esta soma pela massa total de partículas que somamos. Isso é uma reminiscência de uma média inspirada por isso, vamos (vagamente) interpretar como a posição média ponderada da massa do objeto estendido. Na verdade, é chamado de centro de massa do objeto. Observe que a posição do centro de massa tem unidades de metros que sugere uma definição:

Portanto, o ponto que obedece à Equação 9.26 (e portanto também à Equação 9.27) é o centro de massa do objeto, que está localizado no vetor posição r → CM r → CM.

Você pode ficar surpreso ao saber que não precisa haver nenhuma massa real no centro de massa de um objeto. Por exemplo, uma esfera de aço oca com vácuo dentro dela é esfericamente simétrica (o que significa que sua massa é uniformemente distribuída em torno do centro da esfera) toda a massa da esfera está fora de sua superfície, sem massa dentro. Mas pode-se mostrar que o centro de massa da esfera está em seu centro geométrico, o que parece razoável. Assim, não há massa na posição do centro de massa da esfera. (Outro exemplo é um donut.) O procedimento para encontrar o centro de massa é ilustrado na Figura 9.27.

Como r → j = x j i ^ + y j j ^ + z j k ^ r → j = x j i ^ + y j j ^ + z j k ^, segue-se que:

Portanto, você pode calcular os componentes do vetor do centro de massa individualmente.

Finalmente, para completar a cinemática, a velocidade instantânea do centro de massa é calculada exatamente como você pode suspeitar:

e isso, como a posição, tem x-, y-, e z-componentes.

Para calcular o centro de massa em situações reais, recomendamos o seguinte procedimento:

Estratégia de resolução de problemas

Calculando o Centro de Massa

O centro de massa de um objeto é um vetor de posição. Assim, para calculá-lo, siga estas etapas:

  1. Defina seu sistema de coordenadas. Normalmente, a origem é colocada no local de uma das partículas. No entanto, isso não é necessário.
  2. Determinar o x, y, z-coordenadas de cada partícula que compõe o objeto.
  3. Determine a massa de cada partícula e some-as para obter a massa total do objeto. Observe que a massa do objeto na origem deve ser incluído na massa total.
  4. Calcule o x-, y-, e z-componentes do vetor do centro de massa, usando a Equação 9.30, a Equação 9.31 e a Equação 9.32.
  5. Se necessário, use o teorema de Pitágoras para determinar sua magnitude.

Aqui estão dois exemplos que lhe darão uma ideia do que é o centro de massa.

Exemplo 9.16

Centro de Massa do Sistema Terra-Lua

Estratégia

Solução

Definimos o centro da Terra como a origem, então r e = 0 m r e = 0 m. Inserindo-os na equação para R

Significado

Suponha que incluíssemos o sol no sistema. Aproximadamente, onde estaria localizado o centro de massa do sistema Terra-lua-sol? (Sinta-se à vontade para realmente calculá-lo.)

Exemplo 9.17

Centro de Massa de um Cristal de Sal

Estratégia

Solução

Existem oito íons neste cristal, então N = 8:

A massa de cada um dos íons cloreto é

A massa total da célula unitária é, portanto,

Pela geometria, os locais são

Significado

Suponha que você tenha um cristal de sal macroscópico (isto é, um cristal que seja grande o suficiente para ser visível a olho nu). É feito de um enorme número de células unitárias. O centro de massa deste cristal está necessariamente no centro geométrico do cristal?

Dois conceitos cruciais resultam desses exemplos:

  1. Como em todos os problemas, você deve definir seu sistema de coordenadas e origem. Para cálculos de centro de massa, geralmente faz sentido escolher sua origem para ser localizada em uma das massas de seu sistema. Essa escolha define automaticamente sua distância na Equação 9.29 como zero. No entanto, você ainda deve incluir a massa do objeto em sua origem em seu cálculo de M, a massa total Equação 9.19. No exemplo do sistema Terra-lua, isso significa incluir a massa da Terra. Se não tivesse feito isso, você teria acabado com o centro de massa do sistema no centro da lua, o que está claramente errado.
  2. No segundo exemplo (o cristal de sal), observe que não há massa nenhuma no local do centro de massa. Este é um exemplo do que afirmamos acima, que não precisa haver nenhuma massa real no centro de massa de um objeto.

Centro de Massa de Objetos Contínuos

Se o objeto em questão tem sua massa distribuída uniformemente no espaço, ao invés de uma coleção de partículas discretas, então m j → d m m j → d m, e a soma se torna uma integral:

Neste contexto, r é uma dimensão característica do objeto (o raio de uma esfera, o comprimento de uma longa haste). Para gerar um integrando que possa realmente ser calculado, você precisa expressar o elemento de massa diferencial dm em função da densidade de massa do objeto contínuo, e a dimensão r. Um exemplo irá esclarecer isso.

Exemplo 9.18

CM de um Arco Fino Uniforme

Estratégia

Nós substituímos dm com uma expressão envolvendo a densidade do aro e o raio do aro. Em seguida, temos uma expressão que podemos realmente integrar. Uma vez que o arco é descrito como “fino”, nós o tratamos como um objeto unidimensional, negligenciando a espessura do arco. Portanto, sua densidade é expressa como o número de quilogramas de material por metro. Essa densidade é chamada de densidade de massa linear e recebe o símbolo λ λ, que é a letra grega “lambda”, que é o equivalente da letra portuguesa “l” (para “linear”).

Solução

O centro de massa é calculado com a Equação 9.34:

Temos que determinar os limites da integração uma e b. Expressar r → r → na forma de componente nos dá

No diagrama, destacamos um pedaço do arco que é de comprimento diferencial ds portanto, tem uma massa diferencial d m = λ d s d m = λ d s. Substituindo:

No entanto, o comprimento do arco ds subtende um ângulo diferencial d θ d θ, então temos

Centro de Massa e Conservação de Momentum

Como tudo isso se conecta à conservação do momento?

e, portanto, o momento inicial do centro de massa é

Depois que essas massas se movem e interagem umas com as outras, o momento do centro de massa é

Mas a conservação do momento nos diz que o lado direito de ambas as equações deve ser igual, o que diz

Esse resultado implica que a conservação do momento é expressa em termos do centro de massa do sistema. Observe que, à medida que um objeto se move através do espaço sem nenhuma força externa líquida agindo sobre ele, uma partícula individual do objeto pode acelerar em várias direções, com várias magnitudes, dependendo da força interna líquida atuando naquele objeto a qualquer momento. (Lembre-se, é apenas a soma vetorial de todas as forças internas que desaparece, não a força interna em uma única partícula.) Assim, o momento de tal partícula não será constante - mas o momento de todo o objeto estendido será, em de acordo com a Equação 9.36.

A Equação 9.36 implica outro resultado importante: Visto que M representa a massa de todo o sistema de partículas, é necessariamente constante. (Se não for, não temos um sistema fechado, então não podemos esperar que o momentum do sistema seja conservado.) Como resultado, a Equação 9.36 implica que, para um sistema fechado,

Quer dizer, na ausência de uma força externa, a velocidade do centro de massa nunca muda.

Você pode ficar tentado a encolher os ombros e dizer: "Bem, sim, essa é apenas a primeira lei de Newton", mas lembre-se de que a primeira lei de Newton discute a velocidade constante de uma partícula, enquanto a Equação 9.37 se aplica ao centro de massa de uma coleção (possivelmente vasta) de partículas interagindo, e que pode não haver nenhuma partícula no centro de massa! Portanto, este é realmente um resultado notável.

Exemplo 9.19

Show de fogos de artifício

A imagem mostra simetria radial sobre os pontos centrais das explosões, o que sugere a ideia de centro de massa. Também podemos ver o movimento parabólico das partículas brilhantes, o que traz à mente idéias de movimento de projéteis.

Solução

No instante da explosão, os milhares de fragmentos brilhantes voam para fora em um padrão radialmente simétrico. A simetria da explosão é o resultado de todas as forças internas somadas a zero (∑ jf → j int = 0) (∑ jf → j int = 0) para cada força interna, há outra que é igual em magnitude e oposta em direção.

No entanto, como aprendemos acima, essas forças internas não podem alterar o momento do centro de massa da casca (agora explodida). Como a força do foguete agora desapareceu, o centro de massa do projétil é agora um projétil (a única força sobre ele é a gravidade), então sua trajetória se torna parabólica. As duas explosões vermelhas à esquerda mostram o caminho de seus centros de massa em um tempo um pouco mais longo após a explosão em comparação com a explosão amarela no canto superior direito.

Na verdade, se você olhar atentamente para todas as três explosões, verá que as trilhas brilhantes não são radialmente simétricas, mas um pouco mais densas de um lado do que do outro. Especificamente, a explosão amarela e a explosão do meio inferior são ligeiramente mais densas em seus lados direitos, e a explosão superior esquerda é mais densa em seu lado esquerdo. Isso ocorre por causa do momento de seus centros de massa, as diferentes densidades de trilha são devidas ao momento de cada peça do projétil no momento de sua explosão. O fragmento para a explosão no canto superior esquerdo da imagem tinha um momento que apontava para cima e para a esquerda o fragmento do meio apontava para cima e ligeiramente para a direita e a explosão do lado direito claramente para cima e para a direita (como evidenciado pelo rastro de escape de foguete branco visível abaixo da explosão amarela).

Finalmente, cada fragmento é um projétil por si só, traçando assim milhares de parábolas brilhantes.

Significado

Como os fogos de artifício mudariam no espaço profundo, longe de qualquer fonte de gravidade?

Às vezes, você pode ouvir alguém descrever uma explosão dizendo algo como, "os fragmentos do objeto explodido sempre se movem de uma forma que garante que o centro de massa continue a se mover em sua trajetória original." Isso faz parecer que o processo é um tanto mágico: como pode ser isso, em cada explosão, isso sempre funciona que os fragmentos se movem da maneira certa para que o centro de movimento de massa permaneça inalterado? Dito dessa forma, seria difícil acreditar que nenhuma explosão jamais faria algo diferente.

A explicação para essa coincidência aparentemente surpreendente é: definimos o centro de massa com precisão, então é exatamente isso que obteríamos. Lembre-se de que primeiro definimos a dinâmica do sistema:

Concluímos então que a força externa líquida no sistema (se houver) mudou este momento:

e então - e aqui está o ponto - definimos uma aceleração que obedeceria à segunda lei de Newton. Ou seja, exigimos que deveríamos ser capazes de escrever

onde a quantidade entre parênteses é o centro de massa do nosso sistema. Então, não é surpreendente que o centro de massa obedeça à segunda lei de Newton, nós o definimos de forma que ele obedecesse.

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    • Autores: William Moebs, Samuel J. Ling, Jeff Sanny
    • Editor / site: OpenStax
    • Título do livro: University Physics Volume 1
    • Data de publicação: 19 de setembro de 2016
    • Local: Houston, Texas
    • URL do livro: https://openstax.org/books/university-physics-volume-1/pages/1-introduction
    • URL da seção: https://openstax.org/books/university-physics-volume-1/pages/9-6-center-of-mass

    © 19 de janeiro de 2021 OpenStax. O conteúdo do livro didático produzido pela OpenStax é licenciado sob uma licença Creative Commons Attribution License 4.0. O nome OpenStax, logotipo OpenStax, capas de livro OpenStax, nome OpenStax CNX e logotipo OpenStax CNX não estão sujeitos à licença Creative Commons e não podem ser reproduzidos sem o consentimento prévio e expresso por escrito da Rice University.


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    7.6: Calculating Centers of Mass and Moments of Inertia

    MOMENTS, CENTER OF GRAVITY, CENTROID, MOMENT OF INERTIA, RADIUS OF GYRATION

    Moment of a force. The concept of the moment of a force comes from the law of the lever, discovered by Archimedes. It corresponds to the torque exerted on a lever by a force. A lever consists of a rigid bar which is free to turn about a fixed point called the fulcrum.

    Def. Moment of a force. The moment M of a force F about some fixed fulcrum is defined as

    where d is the distance from the fulcrum to the line of action of the force. The torque produced by a force F is also defined as Fd. The two terms are synonymous. See Fig. 1a.

    In Fig.1b the torque, or moment, produced by force F1 is given by F1 times its distance from the fulcrum, which is 19 feet. Thus the torque is equal to F1𖃏. If F1 = 7.2 lbs., the torque is 7.2𖃏 = 136.8 ft.-lbs.

    Fig. 1b shows a system of five forces acting on a lever at varying distances from the fulcrum. Forces F1 e F2 produce a counterclockwise torque and forces F3, F4 e F5 produce a clockwise torque. The law of the lever states that in order to have equilibrium the sum of the counterclockwise torques (or moments) must be equal to the sum of the clockwise torques. If the sums are not equal there will be rotation. In the figure the sum of the counterclockwise moments is given by

    If F1 = 7.2 lbs. e F2 = 9 lbs. então

    The sum of the clockwise moments is given by

    If F3 = 4 lbs., F4 = 10 lbs. e F5 = 5 lbs. então

    Computing centers of gravity. We wish now to deal with the problem of computing the location of the center of gravity, or center of mass, of a body. The center of gravity is the same as the center of mass since weight and mass are proportional. Because the concept of a center of mass doesn’t presume a gravitational field, many prefer that term. However, in developing the ideas involved we need to assume a gravitational field and will speak of the center of gravity.

    In developing the ideas for computing the location of the center of gravity we will view a body as an assemblage of individual particles. The earth exerts an attraction on each individual particle of a body and the weight of a body is the sum total of all the forces on all the particles making up the body. Thus we will consider the problem of finding the location of the center of gravity for assemblages of particles in space.

    Consider a steel rod resting on a pivot as shown in Fig. 2. If the pivot is directly below the center of gravity, the rod is balanced, and the sum of all the clockwise moments from particles to the right of the pivot is equal to the sum of all the counterclockwise moments from the particles to the left of the pivot. The upward force F exerted by the pivot on the rod, as shown in Fig. 3, is equal to the weight of the rod.

    Now let us consider the situation in which the pivot is at the left end of the rod as shown in Fig. 4. Suppose an upward force F is exerted directly below the center of gravity and equal in magnitude to the weight of the rod. Then the rod will be balanced, no force will be exerted on the pivot, and the sum of all of the clockwise moments from the particles of the rod will be equal to the counterclockwise moment Fd produced by force F (where d is the distance from the pivot to the center of gravity, as shown in the figure). Thus if we were able to compute the clockwise moments of the particles of the rod with respect to the pivot point and knew the weight of the rod, we would then be able to compute the distance d from the pivot to the center of gravity.

    Consider now a system of n point masses situated along a horizontal line, as shown in Fig. 5, conceived of as attached to a rigid weightless framework with a pivot point at the left end. Suppose the weights of the masses are w1, w2, w3,. , wn and their distances from the pivot point are x1, x2, x3,. xn. Let M1 be the sum of the clockwise moments of the n masses with respect to the pivot point. Então

    Let F be an upward force equal in magnitude to the combined weights of all the masses and located directly under the center of gravity. Then the counterclockwise moment M2 due to F is given by Fd where d is the distance from the pivot to the center of gravity. The system of masses will be balanced with the counterclockwise moment M2 equal to the sum of the clockwise moments M1 assim

    Let us now go back to the rod of Fig. 4 and write down the expression for computing the distance d. We lay an x-axis of a coordinate system along the rod with the origin at the pivot. We consider the rod to consist of an assemblage of particles m1, m2,. mn. The sum M1 of the clockwise moments of the particles of the rod with respect to the pivot is given by

    where ρ is the density of an infinitesimal element dx and integration takes place over the length l of the rod. The weight W of the rod is given by

    Since mass is proportional to weight, 3) can also be expressed in terms of mass.

    where x is the distance of the infinitesimal element of mass dm from the pivot.

    We have considered a one-dimensional case where masses are distributed out in a line, as in a rod. The ideas are easily extended to assemblages of points in two and three-dimensional space.

    Consider a system of n point masses m1, m2,. mn scattered about on a horizontal plane, as shown in Fig. 7, with an x-y coordinate system superimposed on the plane. Again the point masses are conceived of as being attached to a rigid weightless framework. The masses are located at points (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3), . , (xn, yn) and have weights w1, w2, w3,. , wn. The moment of mass m1 with respect to the y-axis is x1C1. Its moment with respect to the x-axis is y1C1. The sum of the moments of the n particles about the y axis is

    The sum of the moments of the n particles about the x axis is

    The x and y coordinates of the center of gravity of this collection of point masses is then

    where W is the combined weight of the n point masses.

    For an assemblage of point masses in three-dimensional space as shown in Fig. 8, these formulas become

    The x, y and z coordinates of the center of gravity of a body in space are then given by

    where integration takes place over the volume V of the body and ρ is the density of the infinitesimal element of volume dV. Expressed in terms of mass these formulas become

    Def. Moment of mass about a point, line, or plane. The sum of the products of the mass of each of the particles and its distance from the point, line or plane. Tech. The integral, over the given mass, of the element of mass times its perpendicular distance from the point, line or plane. Algebraic (signed) distances are to be used in computing moments. A moment is essentially the sum of the moments of individual particles (elements of integration).

    For a set of particles on a line (the x-axis), the moment Muma about a point a on the line is

    where ρ(x) is the density (mass per unit length) at the point x.

    For a set of particles in the plane, the moment My about the y-axis is

    where ρ(x, y) is the density (mass per unit area) at the point (x, y) (if ρ is a function of x alone, then dA may be a strip parallel to the y-axis).

    For a set of particles in space, the moment Mxy with respect to the x-y plane is given by

    where ρ(x, y, z) is the density (mass per unit volume) at the point (x, y, z) in the element of volume dV.

    Centroids. The centroid of an area or volume is the same as the center of gravity if the figure or body is homogeneous. We speak of the centroids of geometric figures and solids such circles, triangles, spheres, cubes, etc. It is customary to speak of their centroid rather than center of gravity since, being merely geometrical figures, they are not influenced by gravity.

    Centroid of a plane area or figure . The coordinates of the centroid of a plane area or figure are given by

    where A is the area of the figure. See Fig. 9.

    Centroid of a volume or solid. The coordinates of the centroid of a volume or solid are given by

    Finding the centroid of an area or volume when the centroids of component parts are known. Sometimes we may wish to find the centroid of a figure or solid consisting of component parts with known centroids. Suppose, for example, that an area A consists of two parts A1 e A2, with centroids at and respectively. See Fig. 10. It follows from 9) above that

    Similarly, in the case of volumes,

    where the volume V consists of two portions, V1 and V2, with centroids at and respectively.

    Example 1. The density of a certain rod a foot long varies directly as the square of the distance from one end. Find the center of gravity.

    Solução. Place the rod on the x-axis, one end at the origin so that ρ = kx 2 .

    where a is the length of the rod.

    Example 2. Find the center of gravity of that area cut from the parabola y 2 = 4px by the latus rectum. See Fig. 11.

    Solução. Because of symmetry = 0.

    Example 3. Find the center of gravity of a homogeneous hemisphere of radius r.

    Solução. The center of gravity will lie on the diameter perpendicular to the base at a distance above the base. See Fig. 12.

    Moment of inertia. The term “moment of inertia” is applied to different quantities in physics and engineering which are mathematically similar but different in nature. In some cases the term is inappropriate because the quantity has nothing to do with inertia. The quantity that is most appropriately called the moment of inertia is encountered in dynamics in connection with rotating bodies. In various engineering problems, in particular in the analysis of the distribution of stress over the cross-sectional areas of beams, columns, machine parts, etc. a quantity called the “moment of inertia” of an area is encountered which has nothing to do with mass or inertia and would be more appropriately called something else. Because of this situation one cannot give a single definition of “moment of inertia”. The quantities called moments of inertia fall into two groups: 1. the areal moments of inertia connected with computing stresses over cross-sectional areas. 2. the mass moment of inertia connected with the analysis of rotating bodies. We will treat the group concerned with finding cross-sectional stresses first. It is concerned with areas, plane figures.

    I Areal moments of inertia.

    Moment of inertia of an area. The moment of inertia of an area A is given by

    where a is the distance of a differential element dA from an axis L about which the moment of inertia is desired. See Fig. 13. The axis can be a line in the plane of area A or it can be a line perpendicular to the plane. See Fig. 14. If it is perpendicular to the plane the moment of inertia is called the polar moment of inertia.

    Rectangular Moments of Inertia. If an area A is referred to an x-y coordinate system the moments of inertia with respect to the x and y axes are

    where the element dA corresponds to the point (x, y). These are called the rectangular moments of inertia. See Fig. 15.

    Polar Moment of Inertia. The moment of inertia about the pole O (i.e. z-axis of an x-y-z coordinate system) is

    where r is a radius vector from the pole O to the element dA [which corresponds to point (x, y)]. See Fig. 15. Since x 2 + y 2 = r 2 it can be seen that

    Radius of gyration. The radius of gyration keu about some axis L is defined by

    where Ieu is the moment of inertia about L. Similarly, the radius of gyration kz about some pole z is defined by

    If the entire area were concentrated at a point whose distance from the axis (or pole) is equal to the radius of gyration k, the moment of inertia of the concentrated area would be equal to that of the original area. It is a mathematical quantity used in connection with studying the strength of columns, beams, etc.

    Parallel-Axis theorem. Se euc is the moment of inertia of an area A with respect to a line through its centroid and Is is the moment of inertia with respect to a line S parallel to this line, then

    where d is the distance between the two lines. & # 160

    Equation 18) also holds for polar moments of inertia i.e.

    Composite areas. When a composite area can be divided into a group of simple areas, such as rectangles, triangles, and circles, the moment of inertia of the composite area about a particular axis is the sum of the moments of inertia of the simple areas, each about this same axis. If a composite area has a “hole” in it, the moment of inertia of the net composite area is equal to the moment of inertia of the gross area including the “hole” menos the moment of inertia of the “hole”, each moment of inertia being taken about the same axis.

    Example 1. Compute the moment of inertia of the area of a rectangle with respect to one side.

    Solução. Choosing axes as shown in Fig. 16, we have

    Example 2. Compute the moment of inertia of the area of a circle with respect to a diameter.

    II Moments of inertia of masses (i.e. mass moment of inertia)

    The moment of inertia of a body with respect to some particular line or axis is a property of the body associated with rotational movement about that line or axis. Consider the body shown in Fig. 18 rotating about axis L. Any torque M applied to the body causes rotational acceleration. The moment of inertia of a body is a measure of the resistance that the body offers to any change in its angular velocity in the same way that the mass of the body is a measure of the resistance that the body offers to any change in its linear velocity. In fact, the moment of inertia, I, plays the very same role in angular motion that mass plays in linear motion. For example, the angular momentum of a rotating body is given by Iω, (where ω is the angular velocity) while, in analogy, linear momentum is given by mv. A rotating body maintains a constant angular momentum unless acted upon by a torque just as in linear motion a moving body maintains a constant linear momentum unless acted upon by some force. In angular motion the relationship between torque M, moment of inertia I, and angular acceleration α, is M = Iα in analogy to the formula F = ma for linear motion. The formula for the kinetic energy in angular motion is K.E = ½ Iω 2 in analogy to the formula K.E. = ½ mv 2 for linear motion.

    Def. Moment of inertia with respect to an axis. The moment of inertia of a body with respect to an axis is given by

    where r is the distance of a differential element of mass dm from the axis and integration takes place over the entire body. See Fig. 18.

    Exemplo. Find the moment of inertia of a solid circular cylinder of radius r, height h, and density δ about its axis of revolution.                 

    Solução. A solid cylinder can be generated by revolving a rectangle about one side as shown in Fig. 19. The value of I can be computed by the cylindrical shell method. The strip shown in the figure generates a cylindrical shell for which

    This can be conveniently expressed in terms of the mass m of the cylinder. Since m = πr 2 hδ, we have

    Def. Moment of inertia with respect to a plane. The moment of inertia of a body with respect to a plane is given by

    where r is the distance of a differential element of mass dm from the plane and integration takes place over the entire body.

    This quantity has no physical significance. It is useful in some problems primarily as an aid to the calculation of the moment of inertia with respect to an axis.

    Connection between the moment of inertia with respect to an axis and the moment of inertia with respect to a plane. The moment of inertia of a body with respect to the y-z plane is given by

    The moment of inertia of a body with respect to the x-z plane is given by

    The moment of inertia of a body with respect to the z axis is given by

    where r is the distance from dm to the z-axis. Since r 2 = x 2 + y 2

    Similar expressions can be written for the other two axes i.e.

    Stated in words: The sum of the moments of inertia of a mass with respect to two planes at right angles to each other is equal to the moment of inertia of the mass with respect to the axis formed by the intersection of the planes.

    Product of inertia. In a few problems of advanced mechanics the integrals

    are useful. These integrals are called the products of inertia of the mass m. They may be either positive or negative. In general, a three-dimensional body has three moments of inertia about the three mutually perpendicular axes and three products of inertia about the three coordinate planes. For an unsymmetrical body of any shape it is found that for a given origin of coordinates there is one orientation of axes for which the products of inertia vanish. These axes are called the principal axes of inertia . The corresponding moments of inertia about these axes are known as the principal moments of inertia and include the maximum possible value and the minimum possible value. & # 160

    Radius of gyration. The radius of gyration k of a mass m about some axis is defined by

    If the entire mass were concentrated at a point whose distance from the axis is equal to the radius of gyration k, the moment of inertia of the concentrated mass would be equal to that of the original mass. & # 160

    Transfer of Axes. If the moment of inertia of a body is known about a centroidal axis, it may be determined easily about any parallel axis using the Parallel-Axis theorem .

    Parallel-Axis theorem. Se euc is the moment of inertia of a body of mass m with respect to a line through its centroid and Is is the moment of inertia with respect to a line S parallel to this line, then

    where d is the distance between the two lines.

    Composite bodies. The moment of inertia of a composite body is the sum of the moments of inertia of the parts of the body, the same axis of reference being used for each part. If a body has a hole drilled in it, the moment of inertia of the drilled body is equal to the moment of inertia of the original body minus the moment of inertia of the removed material, each moment of inertia being about the same axis.


    I would like to be able to find the rotational moment of inertia of an assembly (that is, to disegnate which parts move around the axis and get the moment for those parts together). There are several different materials involved in these parts. I have the density (kg/m^3) of all the materials. I tried setting mass poperties but everthing in the window is greyed out or locked. And even if I could set that, I am unsure how to find the moment. How do I go about doing this? I could do it one part at a time and sum if needed, since inertia about the same axis is additive.

    Initial thoughts are the first part needs to be fixed. There are two constraints on this part but it is still 'packaged' and free to move.

    Also, the first part has no material applied to it. For a Mass Properties analysys you need to assign a material or density to every single component. Which parts was the material property greyed out?

    So I put together a few of the parts I think should be in the rotor sub-assembly and added this to the housing with a pin connection. The attached model should be self-explanatory. You should then be able to check the moments of intertia of the rotating parts as they will be in one sub-assembly.

    With the model open in PTC Creo, open the Analysis tab and click Mass properties. Click on the glasses button and the dialog will report moments of inertia. For this to work you must assign materials to every component in the assembly/

    The entire assembly is not moving (that is, the assembly includes the stationary parts in which the item is moving). How do I get the moment for only the parts that will move? Also, the density entry boxes for some of the items in the assembly are greyed out what do I do with these items?

    Can you make the moving parts into a sub-assembly?

    Rather than change the density apply a material definition. File > Prepare > Model Properties > Material. In the dialog choose a material and apply it to the part.

    I appplied materials to everything.

    I've been trying to move them to a subassmebly but it won't allow me to finish the operation and it keeps on bringing along some parts I don't want and leaving others behind even with as far as I can get.

    Can you zip the folder containing all the files for your design and upload to here?

    As no-one else has responded you may need to contact PTC Academic support on the form below.

    Here are the files if you are interested. The green bas and it's directly connected parts are not supposed to move. The setup is an air bearing. I need the moment of inertia of all the moving parts together.

    Initial thoughts are the first part needs to be fixed. There are two constraints on this part but it is still 'packaged' and free to move.

    Also, the first part has no material applied to it. For a Mass Properties analysys you need to assign a material or density to every single component. Which parts was the material property greyed out?

    So I put together a few of the parts I think should be in the rotor sub-assembly and added this to the housing with a pin connection. The attached model should be self-explanatory. You should then be able to check the moments of intertia of the rotating parts as they will be in one sub-assembly.

    That does exactly what I wanted. How were you able to get it into a subassembly?

    I started a new assembly (Rotor.asm) to contain all the rotating parts. The first part I added was the Air_bearing_rotor_conical.PRT. This was fixed in this sub-assembly using the 'Default' assembly constraint. This is really important and is needed in most assemblies to create a fixed reference for all the other parts which were located by adding constraints to the existing parts. The key is making sure none of the parts are left floating or 'packaged'. Packaged parts have a very small square next to the icon in the model tree.

    I did this assembly rather quickly and notice today the rotor wobbles a bit! You will need to edit definition and sort out the constraints for the 'wobbling' parts.

    I then created a new assembly (Air_bearing_conical_2.ASM) which will be the top-level assembly. I brought in the Air_bearing_rotor_conical.prt and same as before, fixed this part in the assembly using a 'Default' constraint. I then added the Rotor sub-assembly to this assembly and used a pin connection to allow it to rotate in the main assembly.

    I used the mechanism module to add a servo motor to drive it at 2 RPM. You may not have this module in the student edition but should be able to play it on the university plus version on campus.


    Assista o vídeo: 30 Momento de Inércia e Produto de Inércia Resistência dos Materiais (Outubro 2021).