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6.4: Regra da Cadeia - Matemática


No cálculo de uma variável, descobrimos que uma das regras de diferenciação mais úteis é a regra da cadeia, que nos permite encontrar a derivada da composição de duas funções. Nesta seção, estudamos as extensões da regra da cadeia e aprendemos como obter derivados de composições de funções de mais de uma variável.

Regras da cadeia para uma ou duas variáveis ​​independentes

Lembre-se de que a regra da cadeia para a derivada de um composto de duas funções pode ser escrita na forma

[ dfrac {d} {dx} (f (g (x))) = f ′ (g (x)) g ′ (x). ]

Nesta equação, tanto ( displaystyle f (x) ) e ( displaystyle g (x) ) são funções de uma variável. Agora suponha que ( displaystyle f ) é uma função de duas variáveis ​​e ( displaystyle g ) é uma função de uma variável. Ou talvez sejam ambas funções de duas variáveis, ou até mais. Como calcularíamos a derivada nesses casos? O teorema a seguir nos dá a resposta para o caso de uma variável independente.

Regra da cadeia para uma variável independente

Suponha que ( displaystyle x = g (t) ) e ( displaystyle y = h (t) ) são funções diferenciáveis ​​de ( displaystyle t ) e ( displaystyle z = f (x, y ) ) é uma função diferenciável de ( displaystyle x ) e ( displaystyle y ). Então ( displaystyle z = f (x (t), y (t)) ) é uma função diferenciável de ( displaystyle t ) e

[ dfrac {dz} {dt} = dfrac {∂z} {∂x} ⋅ dfrac {dx} {dt} + dfrac {∂z} {∂y} ⋅ dfrac {dy} {dt} , ]

onde as derivadas ordinárias são avaliadas em ( displaystyle t ) e as derivadas parciais são avaliadas em ( displaystyle (x, y) ).

Prova

A prova deste teorema usa a definição de diferenciabilidade de uma função de duas variáveis. Suponha que f é diferenciável no ponto ( displaystyle P (x_0, y_0), ) onde ( displaystyle x_0 = g (t_0) ) e ( displaystyle y_0 = h (t_0) ) para um valor fixo de ( displaystyle t_0 ). Queremos provar que ( displaystyle z = f (x (t), y (t)) ) é diferenciável em ( displaystyle t = t_0 ) e que a Equação também é válida nesse ponto.

Como ( displaystyle f ) é diferenciável em ( displaystyle P ), sabemos que

[z (t) = f (x, y) = f (x_0, y_0) + f_x (x_0, y_0) (x − x_0) + f_y (x_0, y_0) (y − y_0) + E (x, y ), enhum número]

Onde

[ lim _ {(x, y) → (x_0, y_0)} dfrac {E (x, y)} { sqrt {(x − x_0) ^ 2 + (y − y_0) ^ 2}} = 0 . enhum número]

Em seguida, subtraímos ( displaystyle z_0 = f (x_0, y_0) ) de ambos os lados desta equação:

[ begin {align *} z (t) −z (t_0) & = f (x (t), y (t)) - f (x (t_0), y (t_0)) & = f_x ( x_0, y_0) (x (t) −x (t_0)) + f_y (x_0, y_0) (y (t) −y (t_0)) + E (x (t), y (t)). end {align *} ]

A seguir, dividimos ambos os lados por ( displaystyle t − t_0 ):

[z (t) −z (t_0) t − t_0 = fx (x_0, y_0) (x (t) −x (t_0) t − t_0) + f_y (x_0, y_0) (y (t) −y ( t_0) t − t_0) + E (x (t), y (t)) t − t_0. enhum número]

Então, tomamos o limite conforme ( displaystyle t ) se aproxima de ( displaystyle t_0 ):

[ begin {align *} lim_ {t → t_0} dfrac {z (t) −z (t_0)} {t − t_0} & = f_x (x_0, y_0) lim_ {t → t_0} left ( dfrac {x (t) −x (t_0)} {t − t_0} right) + f_y (x_0, y_0) lim_ {t → t_0} left ( dfrac {y (t) −y (t_0 )} {t − t_0} right) & + lim_ {t → t_0} dfrac {E (x (t), y (t))} {t − t_0}. end {align *} ]

O lado esquerdo desta equação é igual a ( displaystyle dz / dt ), o que leva a

[ dfrac {dz} {dt} = f_x (x_0, y_0) dfrac {dx} {dt} + f_y (x_0, y_0) dfrac {dy} {dt} + lim_ {t → t_0} dfrac {E (x (t), y (t))} {t − t_0}. enhum número]

O último termo pode ser reescrito como

[ begin {align *} lim_ {t → t_0} dfrac {E (x (t), y (t))} {t − t_0} & = lim_ {t → t_0} dfrac {(E (x, y)} { sqrt {(x − x_0) ^ 2 + (y − y_0) ^ 2}} dfrac { sqrt {(x − x_0) ^ 2 + (y − y_0) ^ 2}} {t − t_0}) & = lim_ {t → t_0} ( dfrac {E (x, y)} { sqrt {(x − x_0) ^ 2 + (y − y_0) ^ 2}}) lim_ {t → t_0} ( dfrac { sqrt {(x − x_0) ^ 2 + (y − y_0) ^ 2}} {t − t_0}). end {align *} ]

Conforme ( displaystyle t ) se aproxima de ( displaystyle t_0, (x (t), y (t)) ) se aproxima de ( displaystyle (x (t_0), y (t_0)), ) então podemos reescrever o último produto como

[ displaystyle lim _ {(x, y) → (x_0, y_0)} dfrac {(E (x, y)} { sqrt {(x − x_0) ^ 2 + (y − y_0) ^ 2} } lim _ {(x, y) → (x_0, y_0)} ( dfrac { sqrt {(x − x_0) ^ 2 + (y − y_0) ^ 2}} {t − t_0}). nonumber ]

Como o primeiro limite é igual a zero, precisamos apenas mostrar que o segundo limite é finito:

[ begin {align *} lim _ {(x, y) → (x_0, y_0)} dfrac { sqrt {(x − x_0) ^ 2 + (y − y_0) ^ 2}} {t − t +0} & = lim _ {(x, y) → (x_0, y_0)} sqrt { dfrac {(x − x_0) ^ 2 + (y − y_0) ^ 2} {(t − t_0) ^ 2 }} & = lim _ {(x, y) → (x_0, y_0)} sqrt { left ( dfrac {x − x_0} {t − t_0} right) ^ 2 + left ( dfrac {y − y_0} {t − t_0} right) ^ 2} & = sqrt { left [ lim _ {(x, y) → (x_0, y_0)} left ( dfrac {x − x_0 } {t − t_0} right) right] ^ 2 + left [ lim _ {(x, y) → (x_0, y_0)} left ( dfrac {y − y_0} {t − t_0} right ) direita] ^ 2}. end {align *} ]

Como ( displaystyle x (t) ) e ( displaystyle y (t) ) são funções diferenciáveis ​​de ( displaystyle t ), ambos os limites dentro do último radical existem. Portanto, esse valor é finito. Isso prova a regra da cadeia em ( displaystyle t = t_0 ); o resto do teorema segue da suposição de que todas as funções são diferenciáveis ​​em seus domínios inteiros.

Um exame mais detalhado da Equação revela um padrão interessante. O primeiro termo na equação é ( displaystyle dfrac {∂f} {∂x} cdot dfrac {dx} {dt} ) e o segundo termo é ( displaystyle dfrac {∂f} {∂ y} ⋅ dfrac {dy} {dt} ). Lembre-se de que, ao multiplicar frações, o cancelamento pode ser usado. Se tratarmos essas derivadas como frações, então cada produto “simplifica” para algo semelhante a ( displaystyle ∂f / dt ). As variáveis ​​ ( displaystyle x ) e ( displaystyle y ) que desaparecem nesta simplificação são frequentemente chamadas variáveis ​​intermediárias: são variáveis ​​independentes para a função ( displaystyle f ), mas são variáveis ​​dependentes para a variável ( displaystyle t ). Dois termos aparecem no lado direito da fórmula, e ( displaystyle f ) é uma função de duas variáveis. Esse padrão também funciona com funções de mais de duas variáveis, como veremos mais adiante nesta seção.

Exemplo ( PageIndex {1} ): Usando a regra da cadeia

Calcule ( displaystyle dz / dt ) para cada uma das seguintes funções:

  1. ( displaystyle z = f (x, y) = 4x ^ 2 + 3y ^ 2, x = x (t) = sin t, y = y (t) = cos t )
  2. ( displaystyle z = f (x, y) = sqrt {x ^ 2 − y ^ 2}, x = x (t) = e ^ {2t}, y = y (t) = e ^ {- t } )

Solução

uma. Para usar a regra da cadeia, precisamos de quatro quantidades - ( displaystyle ∂z / ∂x, ∂z / ∂y, dx / dt ) e ( displaystyle dy / dt ):

  • ( displaystyle dfrac {∂z} {∂x} = 8x )
  • ( displaystyle dfrac {dx} {dt} = cos t )
  • ( displaystyle dfrac {∂z} {∂y} = 6y )
  • ( displaystyle dfrac {dy} {dt} = - sin t )

Agora, substituímos cada um deles na Equação:

[ dfrac {dz} {dt} = dfrac { parcial z} { parcial x} cdot dfrac {dx} {dt} + dfrac { parcial z} { parcial y} cdot dfrac {dy} {dt} = (8x) ( cos t) + (6y) (- sin t) = 8x cos t − 6y sin t. enhum número]

Esta resposta contém três variáveis. Para reduzi-lo a uma variável, use o fato de que ( displaystyle x (t) = sin t text {e} y (t) = cos t. ) Obtemos

[ displaystyle dfrac {dz} {dt} = 8x cos t − 6y sin t = 8 ( sin t) cos t − 6 ( cos t) sin t = 2 sin t cos t . enhum número]

Esta derivada também pode ser calculada substituindo primeiro ( displaystyle x (t) ) e ( displaystyle y (t) ) em ( displaystyle f (x, y), ) e diferenciando em relação a ( displaystyle t ):

[ displaystyle z = f (x, y) = f (x (t), y (t)) = 4 (x (t)) ^ 2 + 3 (y (t)) ^ 2 = 4 sin ^ 2 t + 3 cos ^ 2 t. enhum número]

Então

[ displaystyle dfrac {dz} {dt} = 2 (4 sin t) ( cos t) +2 (3 cos t) (- sin t) = 8 sin t cos t − 6 sen t cos t = 2 sin t cos t, ]

que é a mesma solução. No entanto, nem sempre é tão fácil diferenciar dessa forma.

b. Para usar a regra da cadeia, precisamos novamente de quatro quantidades - ( displaystyle ∂z / ∂x, ∂z / dy, dx / dt, ) e ( displaystyle dy / dt: )

  • ( displaystyle dfrac {∂z} {∂x} = dfrac {x} { sqrt {x ^ 2 − y ^ 2}} )
  • ( displaystyle dfrac {dx} {dt} = 2e ^ {2t} )
  • ( displaystyle dfrac {∂z} {∂y} = dfrac {−y} { sqrt {x ^ 2 − y ^ 2}} )
  • ( displaystyle dfrac {dx} {dt} = - e ^ {- t}. )

Substituímos cada um deles na Equação:

[ begin {align *} dfrac {dz} {dt} & = dfrac { partial z} { partial x} cdot dfrac {dx} {dt} + dfrac { partial z} { parcial y} cdot dfrac {dy} {dt} & = left ( dfrac {x} { sqrt {x ^ 2 − y ^ 2}} right) (2e ^ {2t}) + left ( dfrac {−y} { sqrt {x ^ 2 − y ^ 2}} right) (−e ^ {- t}) & = dfrac {2xe ^ {2t} −ye ^ {- t}} { sqrt {x ^ 2 − y ^ 2}}. end {align *} ]

Para reduzir isso a uma variável, usamos o fato de que ( displaystyle x (t) = e ^ {2t} ) e ( displaystyle y (t) = e ^ {- t} ). Portanto,

[ begin {align *} dfrac {dz} {dt} & = dfrac {2xe ^ 2t + ye ^ {- t}} { sqrt {x ^ 2 − y ^ 2}} & = dfrac {2 (e ^ {2t}) e ^ {2t} + (e ^ {- t}) e ^ {- t}} { sqrt {e ^ {4t} −e ^ {- 2t}}} & = dfrac {2e ^ {4t} + e ^ {- 2t}} { sqrt {e ^ {4t} −e ^ {- 2t}}}. end {align *} ]

Para eliminar expoentes negativos, multiplicamos o topo por ( displaystyle e ^ {2t} ) e o fundo por ( displaystyle sqrt {e ^ {4t}} ):

[ begin {align *} dfrac {dz} {dt} & = dfrac {2e ^ {4t} + e ^ {- 2t}} { sqrt {e ^ {4t} −e ^ {- 2t} }} ⋅ dfrac {e ^ {2t}} { sqrt {e ^ {4t}}} & = dfrac {2e ^ {6t} +1} { sqrt {e ^ {8t} −e ^ {2t}}} & = dfrac {2e ^ {6t} +1} { sqrt {e ^ {2t} (e ^ {6t} −1)}} & = dfrac {2e ^ { 6t} +1} {e ^ t sqrt {e ^ {6t} -1}}. end {align *} ]

Novamente, esta derivada também pode ser calculada substituindo primeiro ( displaystyle x (t) ) e ( displaystyle y (t) ) em ( displaystyle f (x, y), ) e, em seguida, diferenciando com respeito para ( displaystyle t ):

[ begin {align *} z & = f (x, y) & = f (x (t), y (t)) & = sqrt {(x (t)) ^ 2− (y (t)) ^ 2} & = sqrt {e ^ {4t} −e ^ {- 2t}} & = (e ^ {4t} −e ^ {- 2t}) ^ {1/2 } end {align *} ]

Então

[ begin {align *} dfrac {dz} {dt} & = dfrac {1} {2} (e ^ {4t} −e ^ {- 2t}) ^ {- 1/2} left ( 4e ^ {4t} + 2e ^ {- 2t} right) & = dfrac {2e ^ {4t} + e ^ {- 2t}} { sqrt {e ^ {4t} −e ^ {- 2t }}}. end {align *} ]

Esta é a mesma solução.

Exercício ( PageIndex {1} )

Calcule (dz / dt ) dadas as seguintes funções. Expresse a resposta final em termos de ( displaystyle t ).

[z = f (x, y) = x ^ 2−3xy + 2y ^ 2 ]

[x = x (t) = 3 sin2t, y = y (t) = 4 cos2t ]

Dica

Calcule ( displaystyle ∂z / ∂x, ∂z / dy, dx / dt, ) e ( displaystyle dy / dt ), então use a Equação.

Responder

( displaystyle dfrac {dz} {dt} = dfrac {∂f} {∂x} dfrac {dx} {dt} + dfrac {∂f} {∂y} dfrac {dy} {dt} )

( displaystyle = (2x − 3y) (6 cos2t) + (- 3x + 4y) (- 8 sin2t) )

( displaystyle = −92 sin 2t cos 2t − 72 ( cos ^ 22t− sin ^ 22t) )

( displaystyle = −46 sin 4t − 72 cos 4t. )

Muitas vezes é útil criar uma representação visual da Equação para a regra da cadeia. Isso é chamado de diagrama de árvore para a regra da cadeia para funções de uma variável e fornece uma maneira de lembrar a fórmula (Figura ( PageIndex {1} )). Este diagrama pode ser expandido para funções de mais de uma variável, como veremos em breve.

Neste diagrama, o canto esquerdo corresponde a ( displaystyle z = f (x, y) ). Uma vez que ( displaystyle f ) tem dois variáveis ​​independentes, há duas linhas saindo deste canto. O ramo superior corresponde à variável ( displaystyle x ) e o ramo inferior corresponde à variável ( displaystyle y ). Uma vez que cada uma dessas variáveis ​​é dependente de uma variável ( displaystyle t ), uma ramificação então vem de ( displaystyle x ) e uma ramificação vem de ( displaystyle y ). Por último, cada uma das ramificações à direita possui um rótulo que representa o caminho percorrido para chegar a essa ramificação. O ramo superior é alcançado seguindo o ramo ( displaystyle x ), depois o ramo t; portanto, é rotulado como ( displaystyle (∂z / ∂x) × (dx / dt). ) O ramo inferior é semelhante: primeiro o ramo ( displaystyle y ), depois o ( displaystyle t ) galho. Este ramo é rotulado como ( displaystyle (∂z / ∂y) × (dy / dt) ). Para obter a fórmula para ( displaystyle dz / dt, ) adicione todos os termos que aparecem no lado direito do diagrama. Isso nos dá Equação.

Na Nota, ( displaystyle z = f (x, y) ) é uma função de ( displaystyle x ) e ( displaystyle y ), e ambos ( displaystyle x = g (u, v ) ) e ( displaystyle y = h (u, v) ) são funções das variáveis ​​independentes ( displaystyle u ) e ( displaystyle v ).

Regra da cadeia para duas variáveis ​​independentes

Suponha que ( displaystyle x = g (u, v) ) e ( displaystyle y = h (u, v) ) são funções diferenciáveis ​​de ( displaystyle u ) e ( displaystyle v ), e ( displaystyle z = f (x, y) ) é uma função diferenciável de ( displaystyle x ) e ( displaystyle y ). Então, ( displaystyle z = f (g (u, v), h (u, v)) ) é uma função diferenciável de ( displaystyle u ) e ( displaystyle v ), e

[ dfrac {∂z} {∂u} = dfrac {∂z} {∂x} dfrac {∂x} {∂u} + dfrac {∂z} {∂y} dfrac {∂x} {∂u} ]

e

[ dfrac {∂z} {∂v} = dfrac {∂z} {∂x} dfrac {∂x} {∂v} + dfrac {∂z} {∂y} dfrac {∂y} {∂v}. ]

Podemos desenhar um diagrama de árvore para cada uma dessas fórmulas, assim como a seguir.

Para derivar a fórmula para ( displaystyle ∂z / ∂u ), comece do lado esquerdo do diagrama, siga apenas os ramos que terminam com ( displaystyle u ) e adicione os termos que aparecem no final desses ramos. Para a fórmula para ( displaystyle ∂z / ∂v ), siga apenas as ramificações que terminam com ( displaystyle v ) e adicione os termos que aparecem no final dessas ramificações.

Há uma diferença importante entre esses dois teoremas da regra da cadeia. Na Nota, o lado esquerdo da fórmula para a derivada não é uma derivada parcial, mas na Nota é. A razão é que, em Nota, ( displaystyle z ) é basicamente uma função de ( displaystyle t ) sozinho, enquanto em Nota, ( displaystyle z ) é uma função de ambos ( displaystyle u ) e ( displaystyle v ).

Exemplo ( PageIndex {2} ): Usando a regra da cadeia para duas variáveis

Calcule ( displaystyle ∂z / ∂u ) e ( displaystyle ∂z / ∂v ) usando as seguintes funções:

[ displaystyle z = f (x, y) = 3x ^ 2−2xy + y ^ 2, ; x = x (u, v) = 3u + 2v, ; y = y (u, v) = 4u − v. ]

Solução

Para implementar a regra da cadeia para duas variáveis, precisamos de seis derivadas parciais - ( displaystyle ∂z / ∂x, ; ∂z / ∂y, ; ∂x / ∂u, ; ∂x / ∂v, ; ∂y / ∂u, ) e ( displaystyle ∂y / ∂v ):

[ begin {align *} dfrac {∂z} {∂x} & = 6x − 2y && dfrac {∂z} {∂y} = - 2x + 2y displaystyle dfrac {∂x} { ∂u} & = 3 && dfrac {∂x} {∂v} = 2 dfrac {∂y} {∂u} & = 4 && dfrac {∂y} {∂v} = - 1. end {align *} ]

Para encontrar ( displaystyle ∂z / ∂u, ) usamos a Equação:

[ begin {align *} dfrac {∂z} {∂u} & = dfrac {∂z} {∂x} ⋅ dfrac {∂x} {∂u} + dfrac {∂z} {∂ y} ⋅ dfrac {∂y} {∂u} & = 3 (6x − 2y) +4 (−2x + 2y) & = 10x + 2y. end {align *} ]

Em seguida, substituímos ( displaystyle x (u, v) = 3u + 2v ) e ( displaystyle y (u, v) = 4u − v: )

[ begin {align *} dfrac {∂z} {∂u} & = 10x + 2y & = 10 (3u + 2v) +2 (4u − v) & = 38u + 18v. end {align *} ]

Para encontrar ( displaystyle ∂z / ∂v, ) usamos a Equação:

[ begin {align *} dfrac {∂z} {∂v} & = dfrac {∂z} {∂x} dfrac {∂x} {∂v} + dfrac {∂z} {∂y } dfrac {∂y} {∂v} & = 2 (6x − 2y) + (- 1) (- 2x + 2y) & = 14x − 6y. end {align *} ]

Em seguida, substituímos ( displaystyle x (u, v) = 3u + 2v ) e ( displaystyle y (u, v) = 4u − v: )

[ begin {align *} dfrac {∂z} {∂v} & = 14x − 6y & = 14 (3u + 2v) −6 (4u − v) & = 18u + 34v end { alinhar*}]

Exercício ( PageIndex {2} )

Calcule ( displaystyle ∂z / ∂u ) e ( displaystyle ∂z / ∂v ) dadas as seguintes funções:

[z = f (x, y) = dfrac {2x − y} {x + 3y}, ; x (u, v) = e ^ {2u} cos 3v, ; y (u, v) = e ^ {2u} sin 3v. ]

Dica

Calcule ( displaystyle ∂z / ∂x, ; ∂z / ∂y, ; ∂x / ∂u, ; ∂x / ∂v, ; ∂y / ∂u, ) e ( displaystyle ∂y / ∂v ), então use Equação e Equação.

Responder

( displaystyle dfrac {∂z} {∂u} = 0, dfrac {∂z} {∂v} = dfrac {−21} {(3 sin 3v + cos 3v) ^ 2} )

A regra da cadeia generalizada

Agora que vimos como estender a regra da cadeia original para funções de duas variáveis, é natural perguntar: Podemos estender a regra para mais de duas variáveis? A resposta é sim, pois o regra de cadeia generalizada estados.

Regra da Cadeia Generalizada

Seja ( displaystyle w = f (x_1, x_2,…, x_m) ) uma função diferenciável de ( displaystyle m ) variáveis ​​independentes, e para cada ( displaystyle i∈ {1,…, m} , ) seja ( displaystyle x_i = x_i (t_1, t_2,…, t_n) ) uma função diferenciável de ( displaystyle n ) variáveis ​​independentes. Então

[ dfrac {∂w} {∂t_j} = dfrac {∂w} {∂x_1} dfrac {∂x_1} {∂t_j} + dfrac {∂w} {∂x_2} dfrac {∂x_2} {∂t_j} + ⋯ + dfrac {∂w} {∂x_m} dfrac {∂x_m} {∂t_j} ]

para qualquer ( displaystyle j∈ {1,2,…, n}. )

No próximo exemplo, calculamos a derivada de uma função de três variáveis ​​independentes em que cada uma das três variáveis ​​é dependente de duas outras variáveis.

Exemplo ( PageIndex {3} ): Usando a regra da cadeia generalizada

Calcule ( displaystyle ∂w / ∂u ) e ( displaystyle ∂w / ∂v ) usando as seguintes funções:

[ begin {align *} w & = f (x, y, z) = 3x ^ 2−2xy + 4z ^ 2 x & = x (u, v) = e ^ u sin v y & = y (u, v) = e ^ u cos v z & = z (u, v) = e ^ u. end {align *} ]

Solução

As fórmulas para ( displaystyle ∂w / ∂u ) e ( displaystyle ∂w / ∂v ) são

[ begin {align *} dfrac {∂w} {∂u} & = dfrac {∂w} {∂x} ⋅ dfrac {∂x} {∂u} + dfrac {∂w} {∂ y} ⋅ dfrac {∂y} {∂u} + dfrac {∂w} {∂z} ⋅ dfrac {∂z} {∂u} dfrac {∂w} {∂v} & = dfrac {∂w} {∂x} ⋅ dfrac {∂x} {∂v} + dfrac {∂w} {∂y} ⋅ dfrac {∂y} {∂v} + dfrac {∂w} { ∂z} ⋅ dfrac {∂z} {∂v}. end {align *} ]

Portanto, existem nove derivadas parciais diferentes que precisam ser calculadas e substituídas. Precisamos calcular cada um deles:

[ begin {align *} & dfrac {∂w} {∂x} = 6x − 2y && dfrac {∂w} {∂y} = - 2x && dfrac {∂w} {∂z} = 8z & dfrac {∂x} {∂u} = e ^ u sin v && dfrac {∂y} {∂u} = e ^ u cos v && dfrac {∂z} {∂u} = e ^ u & dfrac {∂x} {∂v} = e ^ u cos v && dfrac {∂y} {∂v} = - e ^ u sin v && dfrac {∂z} {∂v } = 0. end {align *} ]

Agora, substituímos cada um deles na primeira fórmula para calcular ( displaystyle ∂w / ∂u ):

[ begin {align *} dfrac {∂w} {∂u} & = dfrac {∂w} {∂x} ⋅ dfrac {∂x} {∂u} + dfrac {∂w} {∂ y} ⋅ dfrac {∂y} {∂u} + dfrac {∂w} {∂z} ⋅ dfrac {∂z} {∂u} & = (6x − 2y) e ^ u sin v −2xe ^ u cos v + 8ze ^ u, end {align *} ]

em seguida, substitua ( displaystyle x (u, v) = e ^ u sin v, y (u, v) = e ^ u cos v, ) e ( displaystyle z (u, v) = e ^ u ) nesta equação:

[ begin {align *} dfrac {∂w} {∂u} & = (6x − 2y) e ^ u sin v − 2xe ^ u cos v + 8ze ^ u & = (6e ^ u sin v − 2eu cos v) e ^ u sin v − 2 (e ^ u sin v) e ^ u cos v + 8e ^ {2u} & = 6e ^ {2u} sin ^ 2 v − 4e ^ {2u} sin v cos v + 8e ^ {2u} & = 2e ^ {2u} (3 sin ^ 2 v − 2 sin v cos v + 4). end {align *} ]

Em seguida, calculamos ( displaystyle ∂w / ∂v ):

[ begin {align *} dfrac {∂w} {∂v} & = dfrac {∂w} {∂x} ⋅ dfrac {∂x} {∂v} + dfrac {∂w} {∂ y} ⋅ dfrac {∂y} {∂v} + dfrac {∂w} {∂z} ⋅ dfrac {∂z} {∂v} & = (6x − 2y) e ^ u cos v −2x (−e ^ u sin v) + 8z (0), end {alinhar *} ]

então substituímos ( displaystyle x (u, v) = e ^ u sin v, y (u, v) = e ^ u cos v, ) e ( displaystyle z (u, v) = e ^ u ) nesta equação:

[ begin {align *} dfrac {∂w} {∂v} & = (6x − 2y) e ^ u cos v − 2x (−e ^ u sin v) & = (6e ^ u sin v − 2e ^ u cos v) e ^ u cos v + 2 (e ^ u sin v) (e ^ u sin v) & = 2e ^ {2u} sin ^ 2 v + 6e ^ {2u} sin v cos v − 2e ^ {2u} cos ^ 2 v & = 2e ^ {2u} ( sin ^ 2 v + sin v cos v− cos ^ 2 v) . end {align *} ]

Exercício ( PageIndex {3} )

Calcule ( displaystyle ∂w / ∂u ) e ( displaystyle ∂w / ∂v ) dadas as seguintes funções:

[ begin {align *} w & = f (x, y, z) = dfrac {x + 2y − 4z} {2x − y + 3z} x & = x (u, v) = e ^ {2u } cos3v y & = y (u, v) = e ^ {2u} sin 3v z & = z (u, v) = e ^ {2u}. end {align *} ]

Dica

Calcule nove derivadas parciais e, em seguida, use as mesmas fórmulas do Exemplo.

Responder

( displaystyle dfrac {∂w} {∂u} = 0 )

( displaystyle dfrac {∂w} {∂v} = dfrac {15−33 sin 3v + 6 cos 3v} {(3 + 2 cos 3v− sin 3v) ^ 2} )

Exemplo ( PageIndex {4} ): Desenhando um Diagrama de Árvore

Crie um diagrama de árvore para o caso quando

[w = f (x, y, z), x = x (t, u, v), y = y (t, u, v), z = z (t, u, v) não numérico ]

e escreva as fórmulas para as três derivadas parciais de ( displaystyle w ).

Solução

Começando da esquerda, a função ( displaystyle f ) tem três variáveis ​​independentes: ( displaystyle x, y ) e ( displaystyle z ). Portanto, três ramos devem emanar do primeiro nó. Cada um desses três ramos também tem três ramos, para cada uma das variáveis ​​ ( displaystyle t, u, ) e ( displaystyle v ).

As três fórmulas são

[ begin {align *} dfrac {∂w} {∂t} & = dfrac {∂w} {∂x} dfrac {∂x} {∂t} + dfrac {∂w} {∂y } dfrac {∂y} {∂t} + dfrac {∂w} {∂z} dfrac {∂z} {∂t} dfrac {∂w} {∂u} & = dfrac {∂ w} {∂x} dfrac {∂x} {∂u} + dfrac {∂w} {∂y} dfrac {∂y} {∂u} + dfrac {∂w} {∂z} dfrac {∂z} {∂u} dfrac {∂w} {∂v} & = dfrac {∂w} {∂x} dfrac {∂x} {∂v} + dfrac {∂w} { ∂y} dfrac {∂y} {∂v} + dfrac {∂w} {∂z} dfrac {∂z} {∂v}. end {align *} ]

Exercício ( PageIndex {4} )

Crie um diagrama de árvore para o caso quando

[ displaystyle w = f (x, y), x = x (t, u, v), y = y (t, u, v) nonumber ]

e escreva as fórmulas para as três derivadas parciais de ( displaystyle w. )

Dica

Determine o número de ramos que emanam de cada nó da árvore.

Responder

[ begin {align *} dfrac {∂w} {∂t} & = dfrac {∂w} {∂x} dfrac {∂x} {∂t} + dfrac {∂w} {∂y } dfrac {∂y} {∂t} dfrac {∂w} {∂u} & = dfrac {∂w} {∂x} dfrac {∂x} {∂u} + dfrac {∂ w} {∂y} dfrac {∂y} {∂u} dfrac {∂w} {∂v} & = dfrac {∂w} {∂x} dfrac {∂x} {∂v} + dfrac {∂w} {∂y} dfrac {∂y} {∂v} end {align *} ]

Diferenciação implícita

A recuperação da diferenciação implícita fornece um método para encontrar ( displaystyle dy / dx ) quando ( displaystyle y ) é definido implicitamente como uma função de ( displaystyle x ). O método envolve a diferenciação de ambos os lados da equação, definindo a função em relação a ( displaystyle x ) e, em seguida, resolvendo ( displaystyle dy / dx. ) Derivadas parciais fornecem uma alternativa a esse método.

Considere a elipse definida pela equação ( displaystyle x ^ 2 + 3y ^ 2 + 4y − 4 = 0 ) como segue.

Esta equação define implicitamente ( displaystyle y ) como uma função de ( displaystyle x ). Como tal, podemos encontrar a derivada ( displaystyle dy / dx ) usando o método de diferenciação implícita:

[ begin {align *} dfrac {d} {dx} (x ^ 2 + 3y ^ 2 + 4y − 4) & = dfrac {d} {dx} (0) 2x + 6y dfrac { dy} {dx} +4 dfrac {dy} {dx} & = 0 (6y + 4) dfrac {dy} {dx} & = - 2x dfrac {dy} {dx} & = - dfrac {x} {3y + 2} end {align *} ]

Também podemos definir uma função ( displaystyle z = f (x, y) ) usando o lado esquerdo da equação que define a elipse. Então ( displaystyle f (x, y) = x ^ 2 + 3y ^ 2 + 4y − 4. ) A elipse ( displaystyle x ^ 2 + 3y ^ 2 + 4y − 4 = 0 ) pode então ser descrito pela equação ( displaystyle f (x, y) = 0 ). Usando esta função e o seguinte teorema nos dá uma abordagem alternativa para calcular ( displaystyle dy / dx. )

Teorema: Diferenciação implícita de uma função de duas ou mais variáveis

Suponha que a função ( displaystyle z = f (x, y) ) define ( displaystyle y ) implicitamente como uma função ( displaystyle y = g (x) ) de ( displaystyle x ) via a equação ( displaystyle f (x, y) = 0. ) Então

[ dfrac {dy} {dx} = - dfrac {∂f / ∂x} {∂f / ∂y} ]

fornecido ( displaystyle f_y (x, y) ≠ 0. )

Se a equação ( displaystyle f (x, y, z) = 0 ) define ( displaystyle z ) implicitamente como uma função diferenciável de ( displaystyle x ) e ( displaystyle y ), então

[ dfrac {dz} {dx} = - dfrac {∂f / ∂x} {∂f / ∂z} ; text {e} ; dfrac {dz} {dy} = - dfrac {∂f / ∂y} {∂f / ∂z} ]

contanto que ( displaystyle f_z (x, y, z) ≠ 0. )

A equação é uma consequência direta da equação. Em particular, se assumirmos que ( displaystyle y ) é definido implicitamente como uma função de ( displaystyle x ) por meio da equação ( displaystyle f (x, y) = 0 ), podemos aplicar o regra de cadeia para encontrar ( displaystyle dy / dx: )

[ begin {align *} dfrac {d} {dx} f (x, y) & = dfrac {d} {dx} (0) dfrac {∂f} {∂x} ⋅ dfrac {dx} {dx} + dfrac {∂f} {∂y} ⋅ dfrac {dy} {dx} & = 0 dfrac {∂f} {∂x} + dfrac {∂f} {∂ y} ⋅ dfrac {dy} {dx} & = 0. end {align *} ]

Resolver esta equação para ( displaystyle dy / dx ) dá Equação. A equação pode ser derivada de maneira semelhante.

Vamos agora voltar ao problema que começamos antes do teorema anterior. Usando Nota e a função ( displaystyle f (x, y) = x ^ 2 + 3y ^ 2 + 4y − 4, ) obtemos

[ begin {align *} dfrac {∂f} {∂x} & = 2x dfrac {∂f} {∂y} & = 6y + 4. end {align *} ]

Então a Equação dá

[ dfrac {dy} {dx} = - dfrac {∂f / ∂x} {∂f / ∂y} = - dfrac {2x} {6y + 4} = - dfrac {x} {3y + 2}, ]

que é o mesmo resultado obtido pelo uso anterior da diferenciação implícita.

Exemplo ( displaystyle PageIndex {5} ): Diferenciação implícita por derivados parciais

  1. Calcule ( displaystyle dy / dx ) se y for definido implicitamente como uma função de ( displaystyle x ) através da equação ( displaystyle 3x ^ 2−2xy + y ^ 2 + 4x − 6y − 11 = 0 ). Qual é a equação da reta tangente ao gráfico desta curva no ponto ( displaystyle (2,1) )?
  2. Calcule ( displaystyle ∂z / ∂x ) e ( displaystyle ∂z / ∂y, ) dados ( displaystyle x ^ 2e ^ y − yze ^ x = 0. )

Solução

uma. Defina ( displaystyle f (x, y) = 3x ^ 2−2xy + y ^ 2 + 4x − 6y − 11 = 0, ) então calcule ( displaystyle f_x ) e ( displaystyle f_y: f_x = 6x − 2y + 4 ) ( displaystyle f_y = −2x + 2y − 6. )

A derivada é dada por

[ displaystyle dfrac {dy} {dx} = - dfrac {∂f / ∂x} {∂f / ∂y} = dfrac {6x − 2y + 4} {- 2x + 2y − 6} = dfrac {3x − y + 2} {x − y + 3}. ]

A inclinação da linha tangente no ponto ( displaystyle (2,1) ) é dada por

[ displaystyle dfrac {dy} {dx} ∣ _ {(x, y) = (2,1)} = dfrac {3 (2) −1 + 2} {2−1 + 3} = dfrac {7} {4} ]

Para encontrar a equação da reta tangente, usamos a forma ponto-inclinação (Figura):

[ begin {align *} y − y_0 & = m (x − x_0) y − 1 & = dfrac {7} {4} (x − 2) y & = dfrac {7} {4} x - dfrac {7} {2} +1 y & = dfrac {7} {4} x− dfrac {5} {2}. End {align *} ]

b. Temos ( displaystyle f (x, y, z) = x ^ 2e ^ y − yze ^ x. ) Portanto,

[ begin {align *} dfrac {∂f} {∂x} & = 2xe ^ y − yze ^ x dfrac {∂f} {∂y} & = x ^ 2e ^ y − ze ^ x dfrac {∂f} {∂z} & = - ye ^ x end {align *} ]

Usando Equação,

[ begin {align *} dfrac {∂z} {∂x} & = - dfrac {∂f / ∂x} {∂f / ∂y} && & dfrac {∂z} {∂y} & = - dfrac {∂f / ∂y} {∂f / ∂z} & = - dfrac {2xe ^ y − yze ^ x} {- ye ^ x} & text {e} & && = - dfrac {x ^ 2e ^ y − ze ^ x} {- ye ^ x} & = dfrac {2xe ^ y − yze ^ x} {ye ^ x} &&&& = dfrac {x ^ 2e ^ y− ze ^ x} {ye ^ x} end {alinhar *} ]

Exercício ( PageIndex {5} )

Encontre ( displaystyle dy / dx ) se ( displaystyle y ) é definido implicitamente como uma função de ( displaystyle x ) pela equação ( displaystyle x ^ 2 + xy − y ^ 2 + 7x −3y − 26 = 0 ). Qual é a equação da linha tangente ao gráfico desta curva no ponto ( displaystyle (3, −2) )?

Dica

Calcule ( displaystyle ∂f / dx ) e ( displaystyle ∂f / dy ) e use a Equação.

Solução

Equação da linha tangente: ( displaystyle y = - dfrac {11} {4} x + dfrac {25} {4} )

Conceitos chave

  • A regra da cadeia para funções de mais de uma variável envolve as derivadas parciais em relação a todas as variáveis ​​independentes.
  • Os diagramas de árvore são úteis para derivar fórmulas para a regra da cadeia para funções de mais de uma variável, onde cada variável independente também depende de outras variáveis.

Equações Chave

  • Regra da cadeia, uma variável independente

( displaystyle dfrac {dz} {dt} = dfrac {∂z} {∂x} ⋅ dfrac {dx} {dt} + dfrac {∂z} {∂y} ⋅ dfrac {dy} { dt} )

  • Regra da cadeia, duas variáveis ​​independentes

( displaystyle dfrac {dz} {du} = dfrac {∂z} {∂x} ⋅ dfrac {∂x} {∂u} + dfrac {∂z} {∂y} ⋅ dfrac {∂ y} {∂u} dfrac {dz} {dv} = dfrac {∂z} {∂x} ⋅ dfrac {∂x} {∂v} + dfrac {∂z} {∂y} ⋅ dfrac {∂y} {∂v} )

  • Regra de cadeia generalizada

( displaystyle dfrac {∂w} {∂t_j} = dfrac {∂w} {∂x_1} dfrac {∂x_1} {∂t_j} + dfrac {∂w} {∂x_2} dfrac {∂ x_1} {∂t_j} + ⋯ + dfrac {∂w} {∂x_m} dfrac {∂x_m} {∂t_j} )

Glossário

regra de cadeia generalizada
a regra da cadeia estendida para funções de mais de uma variável independente, em que cada variável independente pode depender de uma ou mais outras variáveis
variável intermediária
dada uma composição de funções (por exemplo, ( displaystyle f (x (t), y (t))) ), as variáveis ​​intermediárias são as variáveis ​​que são independentes na função externa, mas também dependentes de outras variáveis; na função ( displaystyle f (x (t), y (t)), ) as variáveis ​​ ( displaystyle x ) e ( displaystyle y ) são exemplos de variáveis ​​intermediárias
diagrama de árvore
ilustra e deriva fórmulas para a regra da cadeia generalizada, em que cada variável independente é contabilizada

Contribuidores

  • Gilbert Strang (MIT) e Edwin “Jed” Herman (Harvey Mudd) com muitos autores contribuintes. Este conteúdo da OpenStax é licenciado com uma licença CC-BY-SA-NC 4.0. Baixe gratuitamente em http://cnx.org.


Cálculo - Regra da Cadeia

Nessas lições, veremos como usar a regra da cadeia para encontrar a derivada das funções compostas.

A regra da cadeia

A figura a seguir fornece a Regra da Cadeia que é usada para encontrar a derivada das funções compostas. Role a página para baixo para mais exemplos e soluções.


Na notação de Leibniz, se y = f (u) e u = g (x) são funções diferenciáveis, então

Nota: Na Regra da Cadeia, trabalhamos de fora para dentro. Diferenciamos a função externa e, em seguida, multiplicamos com a derivada da função interna.

Exemplo:
Encontre as derivadas de cada um dos seguintes

Exemplo:
Diferencie y = (2x + 1) 5 (x 3 - x +1) 4

Solução:
Neste exemplo, usamos a regra do produto antes de usar a regra da cadeia.

Regra da Cadeia: A Regra Geral de Poder

A regra geral de poder é um caso especial da regra da cadeia. É útil para encontrar a derivada de uma função elevada à enésima potência. A regra geral de potência afirma que esta derivada é n vezes a função elevada à (n-1) ésima potência vezes a derivada da função.

Este tutorial apresenta a regra da cadeia e uma versão especializada chamada regra de potência generalizada. Vários exemplos são demonstrados.
Errata: às (9:00) a questão foi alterada de x 2 para x 4

Regra da cadeia: a regra exponencial geral

A regra exponencial é um caso especial da regra da cadeia. É útil para encontrar a derivada de e elevada à potência de uma função. A regra exponencial afirma que esta derivada é e elevada à potência da função vezes a derivada da função.

Derivadas de funções exponenciais. Apenas alguns exemplos de como encontrar derivados de funções envolvendo exponenciais.

Regra da cadeia: a regra geral do logaritmo

A regra do logaritmo é um caso especial da regra da cadeia. É útil para encontrar a derivada do logaritmo natural de uma função. A regra do logaritmo afirma que esta derivada é 1 dividido pela função vezes a derivada da função.

Exemplos usando a regra da cadeia

Experimente a calculadora e solucionador de problemas Mathway grátis abaixo para praticar vários tópicos de matemática. Experimente os exemplos fornecidos ou digite seu próprio problema e verifique sua resposta com as explicações passo a passo.

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A regra da cadeia

A regra da cadeia nos permite diferenciar uma função que contém outra função. O que isso significa? Vamos começar com um exemplo:

Acabamos de tirar a derivada em relação ax seguindo as regras de diferenciação mais básicas. A função (f (x) ) é simples de diferenciar porque é um polinômio simples. Mas, e se tivermos algo mais complicado?

É aqui que usamos o regra da corrente, que é definido abaixo:

Mas o que isso realmente significa.

A regra da cadeia diz que se uma função depende de outra e pode ser escrita como uma & quotfunção de uma função & quot, então a derivada assume a forma da derivada de toda a função vezes a derivada da função interna. Isso provavelmente soou mais complicado do que a fórmula!

Vamos ver como isso se aplica ao exemplo que dei acima.

$ F (x) = (4x + 4) ^ 3 $ $ F (x) = (g (x)) ^ 3 $ $ g (x) = 4x + 4 $

Peguei o conteúdo interno da função e redefini-o como (g (x) ). Agora, a função original, (F (x) ), é uma função de uma função! Veja como funciona? Agora, quando diferenciamos cada parte, podemos encontrar a derivada de (F (x) ):

Encontrar (g (x) ) foi bastante simples, pois podemos ver facilmente nas últimas equações que é igual a (4x + 4 ). Mas como encontramos (f '(x) )? Bem, descobrimos que (f (x) ) é (x ^ 3 ). A derivada, (f '(x) ), é simplesmente (3x ^ 2 ), então. Uma vez que, neste caso, estamos interessados ​​em (f (g (x)) ), basta inserir ((4x + 4) ) para descobrir que (f '(g (x)) ) é igual a (3 (g (x)) ^ 2 ).

Qual é a resposta final? Lembre-se do que diz a regra da cadeia:

Já encontramos (f '(g (x)) ) e (g' (x) ) acima. Multiplique-os:

Isso foi MUITO COMPLICADO !! Bem, na verdade não. Aqui está a & quotshort resposta & quot para o que acabei de fazer. Eu fingi que a parte entre parênteses era apenas um pedaço desconhecido. Então diferenciei como normal e multipliquei o resultado pela derivada daquele pedaço!


6.4: Regra da Cadeia - Matemática

Como uma motivação para a regra da cadeia, considere a função

Como f (x) é uma função polinomial, sabemos pelas páginas anteriores que f '(x) existe. Naturalmente, pode-se pedir uma fórmula explícita para isso. Uma maneira tediosa de fazer isso é desenvolver (1+ x 2) 10 usando a fórmula binomial e, em seguida, obter a derivada. Claro, é possível fazer isso, mas não será muito divertido. Mas e se tivermos que lidar com (1+ x 2) 100! Então, espero que você concorde que a Fórmula Binomial não é mais o caminho a percorrer.

Então, o que fazemos? A resposta é dada pela Regra da Cadeia. Antes de discutirmos a fórmula da Regra da Cadeia, vamos dar outro exemplo.

Exemplo. Vamos encontrar a derivada de. Uma maneira de fazer isso é por meio de algumas identidades trigonométricas. Na verdade, nós temos

Portanto, usaremos a fórmula do produto para obter

Usando a fórmula trigonométrica, obtemos

Feito isso, você pode perguntar sobre a derivada de? A resposta pode ser encontrada usando identidades trigonométricas semelhantes, mas os cálculos não são tão fáceis como antes. Mais uma vez, veremos como a fórmula da Regra da Cadeia responderá a essa pergunta de maneira elegante.

Em ambos os exemplos, a função f (x) pode ser vista como:

onde g (x) = 1+ x 2 e h (x) = x 10 no primeiro exemplo e e g (x) = 2 x no segundo. Dizemos que f (x) é a composição das funções g (x) eh (x) e escrevemos

O derivado da composição é dado pela fórmula

Outra maneira de escrever esta fórmula é

onde e u = g (x). Esta segunda formulação (devido a Leibniz) é mais fácil de lembrar e é a formulação usada quase exclusivamente por físicos.

Exemplo. Vamos encontrar a derivada de

Temos, onde g (x) = 1+ x 2 e h (x) = x 100. Então, a regra da Cadeia implica que existe f '(x), o que sabíamos, uma vez que é uma função polinomial, e

Exemplo. Vamos encontrar a derivada de

Temos, onde g (x) = 5 x e. Então, a regra da Cadeia implica que f '(x) existe e

Na verdade, este é um caso particular da seguinte fórmula

As fórmulas a seguir são úteis em muitas áreas das técnicas de integração.


Uma calculadora de regra de cadeia online gratuita para diferenciar uma função com base na regra de cadeia de derivados. Nesta calculadora de derivados de regra em cadeia, insira qualquer função e clique em calcular para diferenciá-la em segundos.

O Calculadora online de derivados de regras de cadeia calcula uma derivada de uma determinada função em relação a uma variável x usando diferenciação analítica. A regra da cadeia de derivados é uma consequência direta da diferenciação.

Regra da cadeia em derivados:
A regra da Cadeia é uma regra de cálculo para diferenciar as composições de duas ou mais funções. Todas as funções são funções de números reais que retornam valores reais.

Encontre derivados usando as regras da cadeia:
A regra da Cadeia afirma que a derivada de f (g (x)) é f '(g (x)). G' (x). Ajuda a diferenciar funções compostas. Use esta calculadora de derivadas da regra da cadeia para encontrar a derivada de uma função que é a composição de duas funções para as quais existem derivadas com facilidade.


6.4: Regra da Cadeia - Matemática

SOLUÇÃO 1: Deixe as variáveis ​​x e y representarem dois números não negativos. A soma dos dois números é dada como

Queremos MAXIMIZAR o PRODUTO

No entanto, antes de diferenciarmos o lado direito, vamos escrevê-lo apenas como uma função de x. Substitua por obter

Agora diferencie esta equação usando a regra do produto e a regra da cadeia, obtendo

P '= x (2) (9- x) (- 1) + (1) (9- x) 2

Observe que, como xey são números não negativos e sua soma é 9, segue-se isso. Veja a tabela de sinais ao lado para P '.

é o maior produto possível.

Clique AQUI para retornar à lista de problemas.

SOLUÇÃO 2: Seja a variável x a largura da caneta e a variável y o comprimento da caneta.

A quantidade total de cercas deve ser

500 = 5 (largura) + 2 (comprimento) = 5 x + 2 y,

Queremos MAXIMIZAR a ÁREA total da caneta

No entanto, antes de diferenciarmos o lado direito, vamos escrevê-lo apenas como uma função de x. Substitua por obter

Agora diferencie esta equação, obtendo

Observe que, como há 5 comprimentos de x nesta construção e 500 pés de cerca, segue-se isso. Consulte a tabela de sinais ao lado para A '.

é a maior área possível da caneta.

Clique AQUI para retornar à lista de problemas.

SOLUÇÃO 3: Seja a variável x o comprimento de uma aresta da base quadrada e a variável y a altura da caixa.

A área total da superfície da caixa é dada como

48 = (área da base) + 4 (área de um lado) = x 2 + 4 (xy),

Queremos MAXIMIZAR o VOLUME total da caixa

V = (comprimento) (largura) (altura) = (x) (x) (y) = x 2 y.

No entanto, antes de diferenciarmos o lado direito, vamos escrevê-lo apenas como uma função de x. Substitua por obter

Agora diferencie esta equação, obtendo

Mas como a variável x mede uma distância e x & gt 0. Uma vez que a base da caixa é quadrada e tem 48 pés 2 de material, segue-se isso. Veja a tabela de sinais ao lado para V '.

é o maior volume possível da caixa.

Clique AQUI para retornar à lista de problemas.

SOLUÇÃO 4: Seja a variável r o raio da base circular e a variável h a altura do cilindro.

A área total da superfície do cilindro deve ser

(área da base) + (área do lado curvo)

Queremos MAXIMIZAR o VOLUME total do cilindro

No entanto, antes de diferenciarmos o lado direito, vamos escrevê-lo apenas como uma função de r. Substitua por h recebendo

Agora diferencie esta equação, obtendo

Mas como a variável r mede uma distância e r & gt 0. Como a base da caixa é um círculo e há pés 2 de material, segue-se isso. Veja a tabela de sinais ao lado para V '.

é o maior volume possível do cilindro.

Clique AQUI para retornar à lista de problemas.

SOLUÇÃO 5: Seja x variável o comprimento de uma borda do quadrado cortado de cada canto da folha de papelão.

Depois de retirar os cantos e dobrar as abas, temos uma caixa retangular comum.

Queremos MAXIMIZAR o VOLUME total da caixa

V = (comprimento) (largura) (altura) = (4-2 x) (3-2 x) (x).

Agora diferencie esta equação usando a regra do triplo produto, obtendo

V '= (-2) (3-2 x) (x) + (4-2 x) (-2) (x) + (4-2 x) (3-2 x) (1)

= -6 x + 4 x 2 - 8 x + 4 x 2 + 4 x 2 - 14 x + 12

para (Use a fórmula quadrática.)

Mas já que a variável x mede uma distância. Além disso, a borda curta do papelão tem 3 pés, então segue isso. Veja a tabela de sinais ao lado para V '.

é o maior volume possível da caixa.

Clique AQUI para retornar à lista de problemas.

SOLUÇÃO 6: Seja a variável x a interceptação em x e a variável y a interceptação em y da reta que passa pelo ponto (8/9, 3).

Estabeleça uma relação entre xey usando triângulos semelhantes.

Queremos MINIMIZAR o comprimento da HIPOTENUSA do triângulo

No entanto, antes de diferenciarmos o lado direito, vamos escrevê-lo apenas como uma função de x. Substitua por obter

Agora diferencie esta equação usando a regra da cadeia e a regra do quociente, obtendo

(Fatore 2 entre os colchetes grandes e simplifique.)

Ao fatorar x, segue-se que

de modo que (Se AB = 0, então A = 0 ou B = 0.)

(Impossível, uma vez que x & gt 8/9. Por quê?) Ou

Veja a tabela de sinais ao lado para H '.

é a hipotenusa mais curta possível.

Clique AQUI para retornar à lista de problemas.

SOLUÇÃO 7: Seja (x, y) um ponto escolhido aleatoriamente no gráfico de.

Queremos MINIMIZAR a DISTÂNCIA entre os pontos (x, y) e (4, 0),

No entanto, antes de diferenciarmos o lado direito, vamos escrevê-lo apenas como uma função de x. Substitua por obter


Versão Transferências Ultima atualização
5.0.0-pre.6 204 16.06.2021
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4.6.4 3𧒊 28.05.2021
4.6.3 6𧏎 27.03.2021
4.6.2 1𧉶 19.03.2021
4.6.1 529 19.03.2021
4.6.0 383 18.03.2021
4.5.0 12𧄱 14.02.2021
4.4.0 8𧄝 16.12.2020
4.3.0 4𧏙 21.11.2020
4.2.0 1𧏲 12.11.2020
4.1.0 1𧊹 06.11.2020
4.0.6 2𧍹 18.10.2020
4.0.5 402 18.10.2020
4.0.4 383 17.10.2020
4.0.3 664 14.10.2020
4.0.2 1𧏷 11.10.2020
4.0.1 1𧇸 06.10.2020
4.0.0 2𧆦 02.10.2020
4.0.0-pre9.10 218 01.10.2020
4.0.0-pre9.9 170 30.09.2020
4.0.0-pre9.8 160 29.09.2020
4.0.0-pre9.7 603 20.09.2020
4.0.0-pre9.6 321 14.09.2020
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Testes de Divisibilidade

Neste artigo, 'número' sempre significará 'número inteiro positivo'.

Múltiplos de 2 e 5

Os testes de divisibilidade mais fáceis são para $ 2 $ e $ 5 $.
Um número é divisível por $ 2 $ se seu último dígito for par, e por $ 5 $ se seu último dígito for $ ou $ 5 $.

Clique para ler porque esses testes funcionam.

Esses testes referem-se a 'dígitos' na (usual) base $ 10 $ representação do número, de modo que (por exemplo) $ 2645 $ representa o número $ (2 vezes 1000) + (6 vezes 100) + (4 vezes 10) + (5 vezes 1) $.

Cada número é (um múltiplo de $ 10 $) + (último dígito). Por exemplo, $ 2645 = 264 times10 + 5 $

Portanto, todo número é (um múltiplo de $ 2 $ e $ 5 $) + (último dígito).

Se o último dígito for um múltiplo de $ 2 $ (ou $ 5 $), o número inteiro deve ser.

Múltiplos de 4 e 8

Um número é divisível por $ 4 $ se o número representado por seus dois últimos dígitos for um múltiplo de $ 4 $ e é divisível por $ 8 $ se o número representado por seus últimos três dígitos for um múltiplo de $ 8 $.

Clique para ler porque esses testes funcionam.

Isso é semelhante aos testes de divisibilidade por $ 2 $ e $ 5. $

Cada número é (um múltiplo de $ 100 $) + (últimos dois dígitos).

Uma vez que $ 100 = 4 times25 $, cada número é (um múltiplo de $ 4 $) + (últimos dois dígitos). Portanto, se os dois últimos dígitos formarem um número múltiplo de $ 4, $ então o número inteiro deve ser múltiplo de $ 4. $

Por exemplo, $ 2646 = 100 times26 + 46 = $ um múltiplo de $ 4 + 46. $
$ 46 $ não é um múltiplo de $ 4, $ então $ 2646 $ também não é.

Cada número é (um múltiplo de $ 1000 $) + (últimos três dígitos).

Como $ 1000 = 8 times125 $, cada número é (um múltiplo de $ 8 $) + (últimos três dígitos). Isso significa que o número inteiro é divisível por $ 8 $ se os últimos três dígitos representarem um número divisível por $ 8. $

Por exemplo, $ 62432 = 1000 times62 + 432 = $ a múltiplo de $ 8 + 432. $
$ 432 $ é um múltiplo de $ 8, $ então $ 62432 $ também é.

Observação: Os últimos três dígitos podem representar um grande número, como $ 928. $ Você pode usar seu conhecimento da tabela $ 8 $ vezes e dividir números grandes para ver se são múltiplos de $ 8. $ Por exemplo, $ 928 = 800 + 128 = 800 + 64 + 64 $ então $ 928 $ é um múltiplo de $ 8. $

Múltiplos de 3 e 9

Um número é divisível por $ 3, $ ou $ 9, $ se a soma de seus dígitos for divisível por $ 3 $ ou $ 9. $

Por exemplo, $ 89474 $ é divisível por $ 3 $ se $ 8 + 9 + 4 + 7 + 4 = 32 $ é divisível por $ 3, $ (que é divisível por $ 3 $ se $ 3 + 2 = 5 $ é divisível por $ 3). Como não é, $ 89474 $ não é divisível por $ 3. $

Clique para ler porque esses testes funcionam.

$ 10 $ é $ 9 + 1 $ = (um múltiplo de $ 3 $) + $ 1 $
Então $ 20 $ é $ (2 vezes 9) + 2 $ = (um múltiplo de $ 3 $) + $ 2 $
$ 30 $ é $ (3 vezes 9) + 3 $ = (um múltiplo de $ 3 $) + $ 3 $.
. e $ 80 $ é $ (8 vezes 9) + 8 $ = (um múltiplo de $ 3 $) + $ 8 $.

. e então $ 81 $ = (um múltiplo de $ 3 $) $ + 8 + 1 $
e assim, se $ 8 + 1 $ = um múltiplo de $ 3 $, $ 81 $ é um múltiplo de $ 3 $

e $ 82 $ = (um múltiplo de $ 3 $) $ + 8 + 2 $
e assim, se $ 8 + 2 $ = um múltiplo de $ 3 $, $ 82 $ é um múltiplo de $ 3 $

e $ 86 $ = (um múltiplo de $ 3 $) $ + 8 + 6 $
e então se $ 8 + 6 $ = um múltiplo de $ 3 $, $ 86 $ é um múltiplo de $ 3 $

Para $ 257 $, observamos que $ 100 $ é $ 99 + 1 $, então $ 200 = (2 vezes 99) + 2 $ = (um múltiplo de $ 3 $) + $ 2 $

Portanto $ 257 = (($ a múltiplo de $ 3) +2) + (($ a múltiplo de $ 3) +5) +7 = ($ a múltiplo de $ 3) + 2 + 5 + 7 $

Mais uma vez, $ 257 $ é um múltiplo de 3 se e somente se a soma de seus dígitos for um múltiplo de $ 3 $. Visto que $ 2 + 5 + 7 $ não é um múltiplo de $ 3 $, nem $ 257 $.

Em geral, $ 10 = 9 + 1 $, $ 100 = 99 + 1 $, $ 1000 = 999 + 1 $ e assim por diante, então cada 'potência' de $ 10 $ (como $ 10 $, $ 100 $, $ 1000 $, $ 10.000 $ e assim on) é apenas $ 1 $ mais do que um múltiplo de $ 3 $. Isso significa que o teste pode ser aplicado a um número com qualquer número de dígitos.

Porque $ 10 = 9 + 1 $, $ 100 = 99 + 1 $, $ 1000 = 999 + 1 $ e assim por diante, podemos ver que cada potência de $ 10 $ é apenas $ 1 $ mais do que um múltiplo de $ 9 $ e, portanto, este método para divisibilidade por $ 3 $ funciona por $ 9 $ também.

Múltiplos de 6, 12 e outros números compostos (não primos)

Um número é divisível por $ 6 $ se, e somente se, for divisível por $ 2 $ e $ 3 $. É divisível por $ 12 $ se, e somente se, for divisível por $ 3 $ e $ 4 $.

Clique para ler porque esses testes funcionam e para saber mais sobre os testes para outros números compostos.

Cada número pode ser escrito como o produto de seus fatores primos, por exemplo:
$ 6 = 2 vezes3 $
$ 12 = 2 ^ 2 times3 $
$ 120 = 2 ^ 3 times3 times5 $

Portanto, cada número que é um múltiplo de $ 2 $ E $ 3 $ deve ser um múltiplo $ 6 $
por exemplo. $ 150 $ é um múltiplo de $ 2 $ e de $ 3 $, portanto, deve ser um múltiplo de $ 6 $
$ 150 = 2 times3 times5 ^ 2 = 6 times5 ^ 2 $

E cada número que é um múltiplo de $ 2 ^ 2 $ AND $ 3 $ deve ser um múltiplo de $ 12 $
por exemplo. $ 156 $ é um múltiplo de $ 2 ^ 2 $ e de $ 3 $, portanto, deve ser um múltiplo de $ 12 $
$ 156 = 2 ^ 2 times3 times13 = 12 times13 $

E todo número que é múltiplo de $ 2 ^ 3 $ AND $ 3 $ AND $ 5 $ deve ser múltiplo de $ 120 $
por exemplo. $ 600 $ é um múltiplo de $ 2 ^ 3 $ e $ 3 $ e $ 5 $, portanto, deve ser um múltiplo de $ 120 $
$ 600 = 2 ^ 3 times3 times5 ^ 2 = 120 times5 $

Para qualquer número $ n $:
- encontre a fatoração primo de $ n $, então $ n $ é expresso como o produto de números primos, ou seja, $ n = p_1 ^ vezes p_2 ^ times. times p_k ^$
- se um número for um múltiplo de $ p_1 ^$ AND $ p_2 ^$ AND. E $ p_k ^$, então o número também deve ser um múltiplo de $ n $

Múltiplos de 11

Para determinar se um número é um múltiplo de $ 11 $, pegue o dígito das unidades / unidades, depois subtraia o dígito das dezenas, some o dígito das centenas, subtraia o dígito dos milhares e assim por diante até adicionar ou subtrair todos os dígitos. Se o resultado for um múltiplo de $ 11, $ então também será o número original.

Clique para ver como este teste funciona.

Considerando que cada potência de $ 10 $ é $ 1 $ mais do que um múltiplo de $ 3 $ (ou $ 9 $), um padrão alternativo surge para múltiplos de $ 11 $:
$ 10 $ é $ 1 $ menos do que $ 11 $
$ 100 $ é $ 1 $ mais do que $ 9 vezes 11 $
$ 1000 $ é $ 1 $ menos do que $ 91 vezes 11 $
$ 10.000 $ é $ 1 $ mais do que $ 909 vezes 11 $
$ 100000 $ é $ 1 $ menos do que $ 9091 vezes 11 $
$ 1000000 $ é $ 1 $ mais do que $ 90909 vezes 11 $
e assim por diante.

Se escrevermos `$ m11

6.4: Regra da Cadeia - Matemática

Pergunta: Como vou fazer meu dinheiro ganhar dinheiro?

  • Ações (Kyree)
  • Títulos do governo
  • Títulos (Tyrell)
  • 401K (Dartaijah)
  • IRA tradicional vs. Roth IRA
  • ETF (fundos negociados eletronicamente) (Kayla)
  • Fundos mútuos (Kyleel)
  • Aquisição de uma casa

  • Descreva o tipo de segurança que você escolher.
  • Quanto dinheiro você precisa para investir neste título?
  • Como você ganha dinheiro com essa segurança?
  • Quais despesas estão associadas a esta segurança?
  • Quão arriscada é essa segurança e o que a torna arriscada?
  • Como você acompanharia o investimento?

Escolha três problemas, 20 minutos.
1. Um fazendeiro tem 2.400 pés de cerca e deseja cercar um campo retangular que margeia um rio reto. Ele não precisa de cerca ao longo do rio. Quais são as dimensões do campo que possui a maior área?

2. Precisamos delimitar um campo com uma cerca retangular. Temos 500 pés de material de esgrima e um prédio fica em um lado do campo e, portanto, não precisamos de cerca. Determine as dimensões do campo que envolverá a maior área.

3. Queremos construir uma caixa cujo comprimento da base seja 3 vezes a largura da base. O material usado para construir a parte superior e inferior custou $ 10 / ft2 e o material usado para construir as laterais custou $ 6 / ft2. Se a caixa deve ter um volume de 50 pés3 determine as dimensões que irão minimizar o custo de construção da caixa.

4. Queremos construir uma caixa com base quadrada e só temos 10 m2 de material para usar na construção da caixa. Assumindo que todo o material é utilizado no processo de construção, determine o volume máximo que a caixa pode ter.

5. O fabricante precisa fazer uma lata cilíndrica com capacidade para 1,5 litro de líquido. Determine as dimensões da lata que irão minimizar a quantidade de material usado em sua construção.

LIMITES DE REVISÃO DO QUIZ 4/5
Consulte "Limites da prática de MC" para problemas de prática
O teste DEVE ser feito DURANTE A AULA esta semana (ou você receberá um 0)

Quantidade Tipo de ProblemaPontos
2 Regra de poder 20 pontos
2 Regra do produto 20 pontos
2 Regra do quociente 20 pontos
2 Regra da Cadeia 20 pontos
1 Resposta livre 20 pontos
9 TOTAL 100 pontos

Complete CINCO (5) perguntas liberadas usando o Guia de Respostas Gratuitas
http://apcentral.collegeboard.com/apc/members/exam/exam_information/232050.html

Complete 3 de cada: regra de potência, regra de produto, regra de quociente, regra de cadeia dos documentos de testes eCalc

Visite o site do College Board para ver as perguntas do exame AP liberadas:
1. http://apcentral.collegeboard.com/apc/members/exam/exam_information/232050.html
2. Revise as respostas às perguntas do teste de amostra na seção 2015
3. HW: Vá para 2016. Escolha duas perguntas para responder usando nosso processo de solução de problemas.

1. Qual é o problema de perguntar.
(está perguntando sobre f (x) f '(x) ou f' '(x))
2. Gráfico e visual.
3. Quais informações você precisa? (você recebe f (x) f '(x) ou f' '(x)) 4. Mostre a explicação matemática e completa da frase.

2/28:

Uma mancha de óleo tem área y = 30x ^ 3 + 100x metros quadrados x minutos após a explosão de um petroleiro. Encontre a taxa média de mudança na área em relação ao tempo durante o período de x = 2 a x = 3 e de x = 2 a x = 2,1. Qual é a taxa instantânea de mudança de área em relação ao tempo em x = 2?

Um círculo com raio r milímetros tem área A = πr ^ 2 milímetros quadrados. Encontre a taxa de aumento da área em relação ao raio em r, = 5. Interprete sua resposta geometricamente.

Suponha que o preço da carne de porco P dependa da oferta S pela fórmula P = 160 - 3s + (0,01) S ^ 2. Encontre a taxa de variação de P em relação a S quando S = 50.

Um reservatório contém 10 ^ 8 - 10 ^ 4t - 80t ^ 2 - 10t ^ 3 + 5t ^ 5 litros de água no tempo I, onde t é o tempo em horas a partir do momento em que os portões são abertos. Quantos litros por hora estão saindo do reservatório após uma hora?

Suponha que x = 0 represente o nível da ponte Golden Gate e que x = f (t) = 8 + 6t - 5t ^ 2 represente a posição de uma pedra no tempo t em segundos.

Suponha que x = j (t) = (1/4) t ^ 2 - t + 2 denota a posição de um ônibus no tempo t. (a) Encontre a velocidade em função do tempo, trace seu gráfico. (b) Encontre e plote a velocidade em função do tempo. (c) Encontre a aceleração.

Um carro de corrida viaja 1/4 de milha em 6 segundos, sua distância do início em pés após t segundos sendo f (t) = (44t ^ 2) / 3 + 132t. (a) Encontre sua velocidade e aceleração ao cruzar a linha de chegada. (b) Quão rápido estava indo na metade da pista?

Uma fábrica de bagels produz 30x - 2x ^ 2 - 2 dólares em bagels para cada x horas de trabalho do trabalhador. Encontre a produtividade marginal quando 5 trabalhadores koqrs .we smpto9eh.

Suponha que custe (30x + 0,04x ^ 2) / (1 + 0,0003x ^ 3) dólares se x calculadoras forem feitas, onde 0 & lt x & lt 100, e que as calculadoras custem 100 - 0,05

dólares. Se todas as calculadoras x forem vendidas, qual é o lucro marginal?

23/02: Preenchimento de "lacunas" integrais

1. Você já deve saber tudo de "Anti-derivados" por meio de "Revisão: Riemann Sums" do que estudamos em sala de aula / livro didático. CLIQUE AQUI PARA ACESSAR.

2. Experimente um problema prático de cada seção para ter certeza de que você está confortável com o material que já abordamos no livro de texto. Isso é FORTEMENTE ENCORAJADO, embora não seja coletado. Você vai lutar amanhã, se não.

3. Preste atenção especial a (A) Propriedades Integrais Definidas e (B) Regra trapezoidal e (C) Integral definido como o limite de uma soma de Riemann. CLIQUE AQUI PARA ACESSAR.

4. Preencha uma reflexão do Formulário Google sobre as novas informações que você coletar. CLIQUE AQUI PARA ENVIAR.

5. Amanhã discutiremos o Teorema Fundamental do Cálculo

2/21/17
Objetivo: Mapeie um plano de 4 anos para conseguir uma bolsa importante que nos torne mais competitivos para sua carreira após a faculdade.

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Como compartilhei no início desta semana, estarei fora do prédio para passeios escolares hoje, quinta-feira, 17 de novembro. Em 5 de dezembro, você deve ter concluído todas as seções do curso KhanAcademy AP Calculus AB relacionadas a derivados, para que possamos acompanhe nossa linha do tempo da AP durante o feriado de Ação de Graças. Isso incluirá:


Prova da Regra de Simpson

Consideramos a área sob a parábola geral `y = ax ^ 2 + bc + c`.

Para facilitar a álgebra, começamos no ponto `(0, y_1)` e consideramos a área sob a parábola entre `x = -h` e` x = h`, como mostrado. (Observe que `Delta x = h`.)

`int _ (- h) ^ h (ax ^ 2 + bx + c) dx`

`= [(ax ^ 3) / 3 + (bx ^ 2) / 2 + cx] _ (- h) ^ h`

`= ((ah ^ 3) / 3 + (bh ^ 2) / 2 + ch) -`` (- (ah ^ 3) / 3 + (bh ^ 2) / 2 - ch) `

`= (2ah ^ 3) / 3 + 2ch`

`= h / 3 (2ah ^ 2 + 6c)` (colocando em uma forma conveniente)

Nossa parábola passa por `(-h, y_0)`, `(0, y_1)` e `(h, y_2)`. Substituindo esses valores `x` e` y` na equação geral de nossa parábola, obtemos:

`2ah ^ 2 = y_0 -2y_1 + y_2` (adicionando a primeira e a terceira linha)

Substituindo-os em `A = h / 3 (2ah ^ 2 + 6c)` acima, temos:

A parábola que passa pelo próximo conjunto de 3 pontos terá uma área de:

Adicionando as 2 áreas, obtemos:

`A = h / 3 (y_0 + 4y_1 + 2y_2 + 4y_3 + y_4)`

Digamos que temos 6 subintervalos. Apenas encontramos as áreas sob as 3 parábolas resultantes e as adicionamos para obter:

`A = h / 3 [y_0 + 4y_1 + 2y_2 + 4y_3 +` `2y_4 +` `4y_5 +` `<: y_6]`

Poderíamos continuar criando mais e mais segmentos e adicionando as áreas à medida que avançamos. e obteríamos a Regra de Simpson:


Assista o vídeo: Regra da Cadeia Exercícios Resolvidos Cálculo de Derivadas (Outubro 2021).