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4.2: Resolvendo Sistemas por Substituição


Nesta seção, apresentamos uma técnica algébrica para resolver sistemas de duas equações em duas incógnitas, chamada de método de substituição. Primeiro, você resolve qualquer equação para qualquer variável e, em seguida, substitui o resultado na outra equação. O resultado é uma equação em uma única variável. Resolva essa equação e, em seguida, substitua o resultado em qualquer uma das outras equações para encontrar a variável desconhecida restante.

Exemplo ( PageIndex {1} )

Resolva o seguinte sistema de equações:

[2x-5 y = -8 label {Eq4.2.1} ]

[y = 3x-1 label {Eq4.2.2} ]

Solução

A equação ref {Eq4.2.2} já foi resolvida para (y ). Substitua a Equação ref {Eq4.2.2} na Equação ref {Eq4.2.1}. Isso significa que substituiremos (3x − 1 ) por (y ) na Equação ref {Eq4.2.1}.

[ begin {align} 2x-5y & = -8 quad { color {Red} text {Equation}} ref {Eq4.2.1} 2x-5 ({ color {Red} 3x-1 }) & = -8 quad { color {Red} text {Substitute} 3x-1 text {for} y text {in}} ref {Eq4.2.1} end {alinhado} nonumber ]

Agora resolva para (x ).

[ begin {align} 2x-15x + 5 & = -8 quad color {Red} text {Distribute} -5 -13x + 5 & = -8 quad color {Red} text { Simplificar. } -13x & = -13 quad color {Red} text {Subtrair} 5 text {de ambos os lados,} x & = 1 quad color {Red} text {Divide ambos os lados por } -13 end {alinhado} nonumber ]

Como vimos em Resolvendo sistemas por meio de gráficos, a solução para o sistema é o ponto de intersecção das duas linhas representadas pelas equações no sistema. Isso significa que podemos substituir a resposta (x = 1 ) em qualquer equação para encontrar o valor correspondente de (y ). Escolhemos substituir (1 ) por (x ) na Equação ref {Eq4.2.2}, então resolvemos por (y ), mas você obterá exatamente o mesmo resultado se substituir (1 ) para (x ) na Equação ref {Eq4.2.1}.

[ begin {align} y & = 3x-1 quad { color {Red} text {Equation}} ref {Eq4.2.2} y & = 3 (1) -1 quad color { Vermelho} text {Substituto} 1 text {para} x y & = 2 quad color {Vermelho} text {Simplifique. } end {alinhado} nonumber ]

Portanto, ((x, y) = (1, 2) ) é a solução do sistema.

Verificar: Para mostrar que a solução ((x, y) = (1, 2) ) é uma solução do sistema, precisamos mostrar que ((x, y) = (1, 2) ) satisfaz ambas as equações ref {Eq4.2.1} e ref {Eq4.2.2}.

Substitua ((x, y) = (1, 2) ) na Equação ref {Eq4.2.1}:

[ começar {alinhado} 2 x-5 y & = - 8 2 (1) -5 (2) & = - 8 2-10 & = - 8 - 8 & = - 8 fim {alinhado} não numérico ]

Assim, (1,2) satisfaz a Equação ref {Eq4.2.1}.

Substitua ((x, y) = (1, 2) ) na Equação ref {Eq4.2.2}:

[ begin {array} {l} {y = 3 x-1} {2 = 3 (1) -1} {2 = 3-1} {2 = 2} end {array } enhum número ]

Assim, (1,2) satisfaz a Equação ref {Eq4.2.2}.

Como ((x, y) = (1, 2) ) satisfaz ambas as equações, é uma solução do sistema.

Exercício ( PageIndex {1} )

Resolva o seguinte sistema de equações:

[ begin {alinhado} 9 x + 2 y & = - 19 y & = 13 + 3 x end {alinhado} nonumber ]

Responder

((-3,4))

Método de Substituição

O método de substituição envolve estas etapas:

  1. Resolva qualquer equação para qualquer variável.
  2. Substitua o resultado da etapa um na outra equação. Resolva a equação resultante.
  3. Substitua o resultado da etapa dois nas equações originais do sistema ou na equação resultante da etapa um (o que parecer mais fácil) e, em seguida, resolva para encontrar a variável desconhecida restante.

Exemplo ( PageIndex {2} )

Resolva o seguinte sistema de equações:

[5x-2y = 12 rótulo {Eq4.2.3} ]

[4x + y = 6 rótulo {Eq4.2.4} ]

Solução

A primeira etapa é resolver qualquer uma das equações para qualquer uma das variáveis. Isso significa que podemos resolver a primeira equação para (x ) ou (y ), mas também significa que podemos primeiro resolver a segunda equação para (x ) ou (y ). Dessas quatro opções possíveis, resolver a segunda Equação ref {Eq4.2.4} para (y ) parece a maneira mais fácil de começar.

[ begin {alinhados} 4x + y & = 6 quad { color {Red} text {Equation}} ref {Eq4.2.4} y & = 6-4x quad color {Red} text {Subtraia} 4x text {de ambos os lados. } end {alinhado} nonumber ]

Em seguida, substitua (6−4x ) por (y ) na Equação ref {Eq4.2.3}.

[ begin {alinhados} 5x-2y & = 12 quad { color {Red} text {Equation}} ref {Eq4.2.3} 5x-2 (6-4x) & = 12 quad { color {Red} text {Substitute} 6-4 x text {for} y text {in}} ref {Eq4.2.3} 5x-12 + 8x & = 12 quad color {Red} text {Distribuir} -2 13x-12 & = 12 quad color {Vermelho} text {Simplifique. } 13x & = 24 quad color {Red} text {Adicionar} 12 text {a ambos os lados. } x & = dfrac {24} {13} quad color {Red} text {Divide ambos os lados por} 13 end {alinhados} nonumber ]

Finalmente, para encontrar o valor (y ) -, substitua (24/13 ) por (x ) na equação (y = 6−4x ) (você também pode substituir (24/13 ) para (x ) nas equações ref {Eq4.2.3} ou ref {Eq4.2.4}).

[ begin {alinhado} y & = 6-4x y & = 6-4 left ( dfrac {24} {13} right) quad color {Red} text {Substitute} 24/13 text {for} x text {in} y = 6-4x y & = dfrac {78} {13} - dfrac {96} {13} quad color {Red} text {Multiplique, em seguida, faça frações equivalentes. } y & = - dfrac {18} {13} quad color {Vermelho} text {Simplifique. } end {alinhado} nonumber ]

Portanto, ((x, y) = (24/13, −18 / 13) ) é a solução do sistema.

Verificar: Vamos usar a calculadora gráfica para verificar a solução. Primeiro, armazenamos (24/13 ) em (X ) com as seguintes teclas (veja o resultado na Figura ( PageIndex {3} )).

Agora, limpe a tela da calculadora pressionando o CLARO botão e, em seguida, insira o lado esquerdo da Equação ref {Eq4.2.3} com as seguintes teclas (veja o resultado na Figura ( PageIndex {4} )).

Exercício ( PageIndex {2} )

Resolva o seguinte sistema de equações:

[ begin {alinhado} x-2 y & = 13 4 x-3 y & = 26 end {alinhado} nonumber ]

Responder

((13 / 5,-26 / 5))

Exemplo ( PageIndex {3} )

Resolva o seguinte sistema de equações:

[3x-2y = 6 rótulo {Eq4.2.5} ]

[4x + 5y = 20 rótulo {Eq4.2.6} ]

Solução

Dividir por (- 2 ) fornece frações mais fáceis de lidar do que dividir por (3 ), (4 ) ou (5 ), então vamos começar resolvendo a equação ( ref {Eq4.2.5} ) para (y ).

[ begin {align} 3x-2y & = 6 quad { color {Red} text {Equation}} ref {Eq4.2.5} -2y & = 6-3x quad color {Red} text {Subtraia} 3 x text {de ambos os lados. } y & = dfrac {6-3 x} {- 2} quad color {Vermelho} text {Divida ambos os lados por} -2 y & = -3+ dfrac {3} {2 } x quad color {Red} text {Divida ambos} 6 text {e} -3 x text {por} -2 text {usando propriedade distributiva. } end {alinhado} nonumber ]

Substitua (- 3+ dfrac {3} {2} x ) por (y ) na Equação ref {Eq4.2.6}

[ begin {alinhado}
4x + 5y & = 20 quad { color {Red} text {Equation}} ref {Eq4.2.6}
4x + 5 left (-3+ dfrac {3} {2} x right) & = 20 quad color {Red} text {Substitute} -3+ dfrac {3} {2} x text {for} y
4x-15 + dfrac {15} {2} x & = 20 quad color {Red} text {Distribua o} 5
8x-30 + 15x & = 40 quad color {Red} text {Limpe as frações multiplicando}
23x & = 70 quad color {Vermelho} text {Simplifique. Adicione} 30 text {a ambos os lados. }
x & = dfrac {70} {23} quad color {Vermelho} text {Divida os dois lados por} 23
end {alinhado} nonumber ]

Para encontrar (y ), substitua (70/23 ) por (x ) na equação (y = -3 + dfrac {3} {2} x ). Você também pode substituir (70/23 ) por (x ) nas equações ref {Eq4.2.5} ou ref {Eq4.2.6} e obter o mesmo resultado.

[ begin {align} y & = -3+ dfrac {3} {2} x y & = -3+ dfrac {3} {2} left ( dfrac {70} {23} direita) quad color {Red} text {Substitute} 70/23 text {for} x y & = - dfrac {69} {23} + dfrac {105} {23} quad color {Red} text {Multiplicar. Faça frações equivalentes. } y & = dfrac {36} {23} quad text {Simplifique. } end {alinhado} nonumber ]

Portanto, ((x, y) = (70 / 23,36 / 23) ) é a solução do sistema.

Verificar: Para verificar esta solução, vamos usar a calculadora gráfica para encontrar a solução do sistema. Já sabemos que (3x - 2y = 6 ) é equivalente a (y = -3 + dfrac {3} {2} x ). Vamos também resolver a equação ref {Eq4.2.6} para (y ).

[ begin {alinhado} 4x + 5y & = 20 quad { color {Red} text {Equation}} ref {Eq4.2.6} 5y & = 20-4x quad color {Red} text {Subtraia} 4 x text {de ambos os lados. } y & = dfrac {20-4 x} {5} quad color {Vermelho} text {Divida ambos os lados por} 5 y & = 4- dfrac {4} {5} x quad color {Red} text {Divida ambos} 20 text {e} -4 x text {por} 5 text {usando a propriedade distributiva. } end {alinhado} nonumber ]

Insira (y = -3 + dfrac {3} {2} x ) e (y = 4- dfrac {4} {5} x ) no Y= menu da calculadora gráfica (ver Figura 4.32).

aperte o AMPLIAÇÃO botão e selecione 6: ZStandard. Aperte 2ND CALC para abrir o CALCULAR menu, selecione 5: intersecção, em seguida, pressione o DIGITAR digite três vezes consecutivas para inserir "Sim" nas consultas "Primeira curva", "Segunda curva" e "Estimativa". O resultado é mostrado na Figura ( PageIndex {7} ).

Na parte inferior da janela de visualização na Figura ( PageIndex {7} ), observe como as coordenadas do ponto de intersecção são armazenadas nas variáveis X e Y. Sem mover o cursor, (as variáveis X e Y contém as coordenadas do cursor), saia da janela de visualização pressionando 2 ° SAIR, que está localizado acima do MODO chave. Em seguida, pressione o CLARO para limpar a tela da calculadora.

Agora pressione a tecla ( mathrm {X}, mathrm {T}, theta, mathrm {n} ), então a MATEMÁTICA botão na calculadora:

Selecione 1: ►Frac, em seguida, pressione o DIGITAR chave para produzir o equivalente fracionário do conteúdo decimal da variável (X ) (ver Figura ( PageIndex {9} )).

Repita o procedimento para a variável (Y ). Digitar:

Exercício ( PageIndex {3} )

Resolva o seguinte sistema de equações:

[ begin {alinhado} 3 x-5 y & = 3 5 x-6 y & = 2 end {alinhado} nonumber ]

Responder

((-8 / 7,-9 / 7))

Casos excepcionais revisitados

É perfeitamente possível que você aplique o método de substituição a um sistema de equações que tem um número infinito de soluções ou nenhuma solução. Vamos ver o que acontece se você fizer isso.

Exemplo ( PageIndex {4} )

Resolva o seguinte sistema de equações:

[2 x + 3 y = 6 rótulo {Eq4.2.7} ]

[y = - dfrac {2} {3} x + 4 label {Eq4.2.8} ]

Solução

A equação ref {Eq4.2.8} já foi resolvida para (y ), então vamos substituir (- dfrac {2} {3} x + 4 ) por (y ) na Equação ref {Eq4. 2.7}.

[ begin {alinhados} 2x + 3y & = 6 quad { color {Red} text {Equation}} ref {Eq4.2.7} 2x + 3 left (- dfrac {2} {3 } x + 4 right) & = 6 quad color {Red} text {Substitute} - dfrac {2} {3} x + 4 text {for} y 2x-2x + 12 & = 6 quad color {Red} text {Distribua o} 3 12 & = 6 quad color {Red} text {Simplifique. } end {alinhado} nonumber ]

Bondade! O que aconteceu ao (x )? Como devemos resolver para (x ) nesta situação? No entanto, observe que a declaração resultante, (12 = 6 ), é falsa, não importa o que usamos para (x ) e (y ). Isso deve nos dar uma pista de que não há soluções. Talvez estejamos lidando com linhas paralelas?

Vamos resolver a Equação ref {Eq4.2.7} para (y ), colocando a equação na forma de inclinação-interceptação, para ajudar a determinar a situação.

[ begin {alinhados} 2x + 3y & = 6 quad { color {Red} text {Equation}} ref {Eq4.2.7} 3y & = -2x + 6 quad color {Red} text {Subtraia} 2 x text {de ambos os lados. } y & = - dfrac {2} {3} x + 2 quad color {Red} text {Divide ambos os lados por} 3 end {alinhados} nonumber ]

Portanto, nosso sistema é equivalente às duas equações a seguir.

[ begin {alinhados} y & = - dfrac {2} {3} x + 2 y & = - dfrac {2} {3} x + 4 end {alinhados} nonumber ]

Estas linhas têm a mesma inclinação (- 2/3 ), mas diferentes (y ) - intercepta (uma tem (y ) - intercepta ((0,2) ), a outra tem (y ) - interceptar ((0,4) )). Portanto, essas são duas linhas paralelas distintas e o sistema não tem solução.

Exercício ( PageIndex {4} )

Resolva o seguinte sistema de equações:

[ begin {alinhado} x & = dfrac {4} {3} y-7 6 x-8 y & = - 3 end {alinhado} não numérico ]

Responder

nenhuma solução

Exemplo ( PageIndex {5} )

Resolva o seguinte sistema de equações:

[2x-6y = -8 label {Eq4.2.9} ]

[x = 3y-4 label {Eq4.2.10} ]

Solução

A equação ref {Eq4.2.10} já está resolvida para (x ), então vamos substituir (3y − 4 ) por (x ) na Equação ref {Eq4.2.9}.

[ begin {alinhados} 2x-6y & = -8 quad { color {Red} text {Equation}} ref {Eq4.2.9} 2 (3y-4) -6y & = -8 quad color {Red} text {Substitute} 3 y-4 text {for} x 6y-8-6y & = -8 quad color {Red} text {Distribua o} 2 -8 & = -8 quad color {Red} text {Simplifique. } end {alinhado} nonumber ]

Bondade! O que aconteceu ao (x )? Como devemos resolver para (x ) nesta situação? No entanto, observe que a declaração resultante, (- 8 = −8 ), é uma declaração verdadeira desta vez. Talvez isso seja uma indicação de que estamos lidando com a mesma linha? Vamos colocar ambas as equações ref {Eq4.2.9} e ref {Eq4.2.10} na forma de inclinação-interceptação para que possamos compará-las.

Resolva a Equação ref {Eq4.2.9} para (y ):

[ begin {alinhados} 2 x-6 y & = - 8 - 6 y & = - 2 x-8 y & = dfrac {-2 x-8} {- 6} y & = dfrac {1} {3} x + dfrac {4} {3} end {alinhados} nonumber ]

Resolva a Equação ref {Eq4.2.10} para (y ):

[ begin {alinhados} x & = 3 y-4 x + 4 & = 3 y dfrac {x + 4} {3} & = y y & = dfrac {1} {3 } x + dfrac {4} {3} end {alinhado} nonumber ]

Portanto, as linhas têm a mesma inclinação e a mesma interceptação (y ) e são exatamente as mesmas linhas. Portanto, há um número infinito de soluções. Na verdade, qualquer ponto em qualquer linha é uma solução. Exemplos de pontos de solução são ((- 4,0) ), ((- 1,1) ) e ((2,2) ).

Exercício ( PageIndex {5} )

Resolva o seguinte sistema de equações:

[ begin {alinhado} -28 x + 14 y & = - 126 y & = 2 x-9 end {alinhado} nonumber ]

Responder

Existem inúmeras soluções. Exemplos de pontos de solução são ((0, −9) ), ((5,1) ) e ((- 3, −15) ).

Dica

Quando você substitui uma equação por outra e a variável desaparece, considere:

  1. Se a afirmação resultante for falsa, então você tem duas linhas paralelas distintas e não há solução.
  2. Se a afirmação resultante for verdadeira, você terá as mesmas linhas e um número infinito de soluções.

Álgebra 4.2 Resolvendo Sistemas de Equações com Método de Substituição

As 5 etapas para resolver sistemas usando o método de substituição.

1. _______ uma das variáveis ​​de uma das equações.

2. _______ a quantidade encontrada na etapa 1 na outra equação.

3. _______ a equação resultante.

4 .________ o valor da etapa 3 em qualquer uma das equações originais. Então ______ para a variável restante.

5. _______ a solução em ambas as equações originais.

Se você chegar a uma solução que não seja igual, como 4 = 6, como a resposta deve ser escrita?

Isso significa que o conjunto de soluções representa ________ linhas.

SISTEMA DE CONTRADIÇÃO É INCONSISTENTE

Se você chegar a uma solução igual, como 8=8 e você conseguiu isso depois y = -2x + 4 foi a solução para a primeira equação, como a resposta deve ser escrita?

Isso significa que o conjunto de soluções representa a linha ___________.

EQUAÇÕES DE IDENTIDADE SÃO DEPENDENTES

Um número é 3 menos do que o dobro do outro número. Se a soma de dois números for 27, encontre os números.

1. Seja ____ igual a um número.
2. Seja ____ igual ao outro número.
3. Escreva a equação de um número em comparação com o outro. Como: x = ___y - __
4. Use o método de substituição.


5.2 Resolvendo Sistemas de Equações por Substituição

Resolver sistemas de equações lineares por meio de gráficos é uma boa maneira de visualizar os tipos de soluções que podem resultar. No entanto, existem muitos casos em que resolver um sistema por meio de gráficos é inconveniente ou impreciso. Se os gráficos se estendem além da pequena grade com x e y ambos entre −10 e 10, representar graficamente as linhas pode ser complicado. E se as soluções para o sistema não forem inteiras, pode ser difícil ler seus valores com precisão em um gráfico.

Nesta seção, resolveremos sistemas de equações lineares pelo método da substituição.

Resolva um sistema de equações por substituição

Usaremos o mesmo sistema que usamos primeiro para gráficos.

Vamos primeiro resolver uma das equações para qualquer x ou y. Podemos escolher qualquer uma das equações e resolver qualquer uma das variáveis, mas tentaremos fazer uma escolha que manterá o trabalho fácil.

Em seguida, substituímos essa expressão na outra equação. O resultado é uma equação com apenas uma variável - e sabemos como resolvê-las!

Depois de encontrar o valor de uma variável, substituiremos esse valor em uma das equações originais e resolveremos para a outra variável. Finalmente, verificamos nossa solução e nos certificamos de que ambas as equações são verdadeiras.

Vamos preencher todas essas etapas agora no Exemplo 5.13.

Exemplo 5.13

Como resolver um sistema de equações por substituição

Resolva o sistema por substituição. <2 x + y = 7 x - 2 y = 6 <2 x + y = 7 x - 2 y = 6


Como resolver sistemas de equações por substituição

A substituição é o método mais rápido de resolver um sistema de duas equações em duas variáveis. O método também pode ser usado para encontrar a solução de um sistema de três ou mais equações em três ou mais variáveis, mas é mais demorado.

Nesta lição, vamos falar sobre como resolver um sistema de 2 equações lineares em 2 variáveis.

Resolvendo Sistemas de Equações por Substituição

O método de substituição envolve três etapas. Eles estão:

& emsp & # 10031 Reorganize uma equação para isolar uma das variáveis ​​de um lado.

& emsp & # 10031 Substitua a expressão assim obtida na outra equação para resolver a outra variável.

& emsp & # 10031 Insira o valor de volta em uma das equações para resolver para a variável inicialmente isolada.

Vamos entender as etapas desse sistema linear.

No sistema acima, a variável y é isolada. Portanto, a etapa 1 já foi realizada. Agora, vamos substituir a expressão por y na segunda equação.

Aplicando a propriedade distributiva, temos:

Combinando termos semelhantes, obtemos:

Subtraindo 12 de ambos os lados, temos:

Dividindo ambos os lados por 7, obtemos:

7x7 = 77

Agora a última etapa! Precisamos inserir esse valor de x de volta em uma das equações. Vamos conectar y = x + 6.

Assim, a solução do sistema linear é (1, 7).

Vamos dar uma olhada em outro exemplo.

Resolva 4x - 6y = –16 e 8x + 2y = 24 usando o método de substituição.

Vamos escolher a segunda equação desta vez. Resolvendo a segunda equação para y, obtemos:

Agora, substituindo y na primeira equação, temos:

Podemos colocar esse valor x de volta em qualquer uma das equações fornecidas e resolver para y.

Reorganizamos a equação 2 e temos uma expressão para y tudo pronto!

Agora, tudo o que precisamos fazer é apenas substituir o valor de x nisso.

Assim, a solução é (x, y) = (2, 4).

Verifique a sua solução!
Você pode verificar se sua solução está certa substituindo os valores xey nas equações.
Conectando (2, 4) na equação 1, você obtém:
⇨ 4(2) – 6(4) = –16
8 – 24 = –16
–16 = –16 ✔

Conectando (2, 4) na equação 2, você obtém:
⇨ 8(2) + 2(4) = 24
16 + 8 = 24
24 = 24 ✔

Qual variável isolar ao resolver um sistema com substituição

Não importa qual equação você escolhe ou qual variável você resolve primeiro, a solução do sistema permanece a mesma. Vamos dar um exemplo para ilustrar esse fato.

Resolva este sistema por substituição.

Mostramos a solução passo a passo começando com x e também com y.

Isolando x da equação 1, temos:

& ensp & # 8680 –x + y - y = –4 - y
& emsp & emsp [Subtraindo y de ambos os lados]

& ensp & # 8680 –x = –4 - y & emsp [Combinando termos semelhantes]

& ensp & # 8680 x = 4 + y & emsp [Multiplicando por -1]

Agora, substituindo x na equação 2, temos:

& ensp & # 8680 4 (4) + 4y - 3y = 10
& emsp & emsp [Aplicação de propriedade distributiva]

& ensp & # 8680 16 + y = 10 & emsp [Combinando termos semelhantes]

& ensp & # 8680 16 + y - 16 = 10 - 16
& emsp & emsp [Subtraindo 16 de ambos os lados]

Conectando de volta y em x = 4 + y, obtemos:

Portanto, o conjunto de soluções é (–2, –6).

Isolando y da equação 1, temos:

& ensp & # 8680 –x + y + x = –4 + x & emsp [Adicionando x a ambos os lados]

& ensp & # 8680 y = –4 + x & emsp [Combinando termos semelhantes]

Agora, substituindo y na equação 2, temos:

& ensp & # 8680 4x - 3 (–4) - 3x = 10
& emsp & emsp [Aplicação de propriedade distributiva]

& ensp & # 8680 x + 12 = 10 & emsp [Combinando termos semelhantes]

& ensp & # 8680 x + 12 - 12 = 10 - 12
& emsp & emsp [Subtraindo 12 de ambos os lados]

Conectando de volta x em y = –4 + x, obtemos:

Portanto, o conjunto de soluções é (–2, –6).

Como você pode ver, a solução em ambos os casos é a mesma. Portanto, comece com uma etapa que seja mais conveniente e simples.

A essência do que aprendemos até agora!

Resolver um sistema de equações em duas variáveis ​​usando substituição é fácil e rápido!

Para resolver por substituição, você precisa seguir um processo de três etapas que envolve o isolamento de uma variável, a substituição da expressão e a re-substituição do valor.

Não importa qual equação você escolha e qual variável você resolva primeiro, a solução do sistema de equações permanece a mesma.

Refine sua prática com nossas planilhas de resolução de sistemas de equações lineares para impressão gratuita!


Recursos abertos para álgebra de faculdades comunitárias

Na Seção 4.1, nos concentramos na solução de sistemas de equações por meio de gráficos. Além de ser demorado, fazer gráficos pode ser um método complicado para determinar a solução exata quando a solução tem grandes números, frações ou decimais. Existem dois métodos simbólicos para resolver sistemas de equações lineares e, nesta seção, usaremos um deles: substituição.

Figura 4.2.1. Aula de vídeo alternativa

Subseção 4.2.1 Resolvendo Sistemas de Equações Usando Substituição

Exemplo 4.2.2. A entrevista.

Em 2014, o New York Times 1 (nyti.ms/2pupebT) postou o seguinte sobre o filme, “The Interview”:

“A Entrevista” gerou cerca de ( $ 15 ) milhões em vendas e aluguéis online durante os primeiros quatro dias de disponibilidade, disse a Sony Pictures no domingo.

A Sony não disse quanto desse total representou ( $ 6 ) locações digitais versus ( $ 15 ) vendas. O estúdio disse que houve cerca de dois milhões de transações no total.

Poucos dias depois, Joey Devilla habilmente apontou em seu blog 2 http://www.joeydevilla.com/2014/12/31/, que existem informações suficientes para encontrar a quantidade de vendas versus aluguel. Usando álgebra, podemos escrever um sistema de equações e resolvê-lo para encontrar as duas quantidades. 3 Embora as informações fornecidas usem valores aproximados, as soluções que encontraremos também serão apenas aproximações.

Primeiro, vamos definir as variáveis. Precisamos de duas variáveis, porque existem duas quantidades desconhecidas: quantas vendas houve e quantos aluguéis foram. Seja (r ) o número de transações de aluguel e seja (s ) o número de transações de vendas.

Se você não tiver certeza de como escrever uma equação a partir das informações básicas, use as unidades para ajudá-lo. As unidades de cada termo em uma equação devem corresponder porque só podemos adicionar quantidades semelhantes. Ambos (r ) e (s ) estão em transações. O artigo diz que o número total de transações é (2 ) milhões. Portanto, nossa primeira equação adicionará o número total de transações de aluguel e vendas e definirá isso igual a (2 ) milhões. Nossa equação é:

O preço de cada aluguel era ( $ 6 text <.> ) Isso significa que o problema nos deu um avaliar de (6 , frac < text> < text> ) para trabalhar. A unidade de taxa sugere que isso deve ser multiplicado por algo medido em transações. Faz sentido multiplicar por (r text <,> ) e então o número de dólares gerados a partir dos aluguéis foi (6r text <.> ) Da mesma forma, o preço de cada venda foi ( $ 15 text <,> ) então a receita das vendas foi (15s text <.> ) A receita total foi ( $ 15 ) milhões, que podemos representar com esta equação:

Aqui está nosso sistema de equações:

Para resolver o sistema, usaremos o método. A ideia é usar 1 equação para encontrar uma expressão que é igual a (r ), mas, habilmente, não usa a variável “ (r text <.> )” Então, substitua por (r ) no outro equação. Isso deixa você com 1 equação que só tem 1 variável.

A primeira equação do sistema é fácil de resolver para (r text <:> )

Isso nos diz que a expressão (2 <,> 000 <,> 000-s ) é igual a (r text <,> ) para que possamos substituto para (r ) na segunda equação:

Agora temos uma equação com apenas uma variável, (s text <,> ) que vamos resolver para:

começar 6 (2 <,> 000 <,> 000-s) + 15s amp = 15 <,> 000 <,> 000 12 <,> 000 <,> 000-6s + 15s amp = 15 <,> 000 <,> 000 12 <,> 000 <,> 000 + 9s amp = 15 <,> 000 <,> 000 9s amp = 3 <,> 000 <,> 000 divideunder < 9s> <9> amp = divideunder <3 <,> 000 <,> 000> <9> s amp = 333 <,> 333. overline <3> end

Neste ponto, sabemos que (s = 333 <,> 333. overline <3> text <.> ) Isso nos diz que, dos (2 ) milhões de transações, aproximadamente (333 <, > 333 ) eram de vendas online. Lembre-se de que resolvemos a primeira equação para (r text <,> ) e encontramos (r = 2 <,> 000 <,> 000-s text <.> )

Para verificar nossa resposta, veremos se (s = 333 <,> 333. overline <3> ) e (r = 1 <,> 666 <,> 666. overline <6> ) fazem o equações originais verdadeiras:

Em resumo, havia aproximadamente (333 <,> 333 ) cópias vendidas e aproximadamente (1 <,> 666 <,> 667 ) cópias alugadas.

Observação 4.2.3.

No Exemplo 4.2.2, nós escolheu para resolver a equação (r + s = 2 <,> 000 <,> 000 ) para (r text <.> ) Poderíamos facilmente ter resolvido para (s ) e substituído esse resultado na segunda equação em vez disso. A conclusão sumária teria sido a mesma.

Observação 4.2.4.

No Exemplo 4.2.2, arredondamos os valores da solução porque apenas números inteiros fazem sentido no contexto do problema. Não havia problema em arredondar, porque as informações originais com as quais tínhamos de trabalhar eram arredondadas. Na verdade, não haveria problema em arredondar ainda mais para (s = 330 <,> 000 ) e (r = 1 <,> 700 <,> 000 text <,> ) contanto que nos comuniquemos claramente que arredondamos e nossos valores são aproximados.

Em outros exercícios em que não há contexto e nada sugere que os números dados sejam aproximações, não é correto arredondar e todas as respostas devem ser comunicadas com seus valores exatos.

Exemplo 4.2.5.

Resolva o sistema de equações usando substituição:

Para usar a substituição, precisamos resolver para 1 das variáveis ​​em 1 de nossas equações. Olhando para ambas as equações, será mais fácil resolver para (x ) na primeira equação:

Em seguida, substituímos (x ) na segunda equação por (8-2y text <,> ), dando-nos uma equação linear em apenas uma variável, (y text <,> ) que podemos resolver :

Agora que temos o valor para (y text <,> ), precisamos encontrar o valor para (x text <.> ) Já resolvemos a primeira equação para (x text <,> ) de modo que é a equação mais fácil de usar.

Para verificar esta solução, substituímos (x ) por (4 ) e (y ) por (2 ) em cada equação:

Concluímos então que este sistema de equações é verdadeiro quando (x = 4 ) e (y = 2 text <.> ) Nossa solução é o ponto ((4,2) ) e escrevemos a solução definir como ( <(4,2) > text <.> )

Ponto de verificação 4.2.6.
Exemplo 4.2.7.

Resolva este sistema de equações usando substituição:

Precisamos resolver para 1 das variáveis ​​em 1 de nossas equações. Olhando para ambas as equações, será mais fácil resolver para (y ) na segunda equação. O coeficiente de (y ) nessa equação é o menor.

Observe que neste exemplo, há frações, uma vez que resolvemos para (y text <.> ) Devemos tomar cuidado com as etapas a seguir para que a aritmética da fração esteja correta.

Substitua (y ) na primeira equação por ( frac <11> <2> + frac <5> <2> x text <,> ) dando-nos uma equação linear em apenas uma variável, ( x text <,> ) que podemos resolver:

Agora que temos o valor para (x text <,> ), precisamos encontrar o valor para (y text <.> ) Já resolvemos a segunda equação para (y text <,> ) de modo que é a equação mais fácil de usar.

Para verificar esta solução, substituímos (x ) por (- 3 ) e (y ) por (- 2 ) em cada equação:

Concluímos então que este sistema de equações é verdadeiro quando (x = -3 ) e (y = -2 text <.> ) Nossa solução é o ponto ((- 3, -2) ) e escrevemos o conjunto de soluções como ( <(- 3, -2) > text <.> )

Exemplo 4.2.8. Limpando Denominadores de Fração antes da Resolução.

Resolva o sistema de equações usando o método de substituição:

Quando um sistema de equações tem coeficientes de fração, pode ser útil tomar medidas que substituam as frações por números inteiros. Com cada equação, podemos multiplicar cada lado pelo mínimo múltiplo comum de todos os denominadores.

Na primeira equação, o mínimo múltiplo comum dos denominadores é (6 text <,> ) então:

Na segunda equação, o mínimo múltiplo comum dos denominadores é (4 text <,> ) então:

Agora temos este sistema que é equivalente ao sistema original de equações, mas não há coeficientes de fração:

A segunda equação já foi resolvida para (x text <,> ), portanto, substituiremos (x ) na primeira equação por (2y + 4 text <,> ) e teremos:

E resolvemos para (y text <.> ) Para encontrar (x text <,> ) sabemos (x = 2y + 4 text <,> ) então temos:

A solução é ((- 2, -3) text <.> ) Verificar esta solução é deixado como um exercício.

Ponto de verificação 4.2.9.

Para referência resumida, aqui está o procedimento geral.

Processo 4.2.10. Resolvendo Sistemas de Equações por Substituição.

Para resolver um sistema de equações por substituição,

Resolva uma das equações para uma das variáveis.

Substitua essa expressão no outro equação. Agora deve haver apenas uma variável nessa equação.

Resolva essa equação para a variável restante.

Substitua esse valor em uma equação anterior e resolva para a outra variável.

Verifique sua solução nas equações originais.

Subseção 4.2.2 Aplicações de Sistemas de Equações

Exemplo 4.2.11. Duas taxas de juros diferentes.

Notah fez algumas compras grandes com seus dois cartões de crédito em um mês e ficou com um total de ( $ 8 <,> 400 ) em dívida com os dois cartões. Ele não fez nenhum pagamento no primeiro mês, então as duas dívidas de cartão de crédito começaram a render juros. Naquele mês, seu cartão Visa cobrou (2 \% ) juros e seu Mastercard cobrou (2,5 \% ) juros. Por causa disso, a dívida total de Notah aumentou em ( $ 178 text <.> ) Quanto dinheiro Notah cobrou de cada cartão?

Para começar, definiremos duas variáveis ​​com base em nossas duas incógnitas. Seja (v ) o valor cobrado no cartão Visa (em dólares) e seja (m ) o valor cobrado no cartão Mastercard (em dólares).

Para determinar nossas equações, observe que recebemos dois totais diferentes. Usaremos isso para formar nossas duas equações. O valor total cobrado é ( $ 8 <,> 400 ), então temos:

O outro total que recebemos é o valor total dos juros, ( $ 178 text <,> ) que também está em dólares. O Visa teve (v ) dólares cobrados dele e acumula (2 \% ) juros. Portanto, (0,02v ) é o valor em dólares de juros que vem do uso deste cartão. Da mesma forma, (0,025m ) é o valor em dólares de juros do uso do Mastercard. Junto:

Para resolver esse sistema por substituição, observe que será mais fácil resolver para uma das variáveis ​​da primeira equação. Vamos resolver essa equação para (v text <:> )

Agora vamos substituir (8400-m ) por (v ) na segunda equação:

Por fim, podemos determinar o valor de (v ) usando a equação anterior onde isolamos (v text <:> )

Em resumo, Notah cobrou ( $ 6400 ) do Visa e ( $ 2000 ) do Mastercard. Devemos verificar se esses números funcionam como soluções para nosso sistema original e que façam sentido no contexto. (Por exemplo, se um desses números fosse negativo ou algo pequeno como (. 50 text <,> ), eles não fariam sentido como dívida de cartão de crédito.)

Os próximos dois exemplos são chamados, porque envolvem a mistura de duas quantidades para formar uma combinação e queremos descobrir quanto de cada quantidade devemos misturar.

Exemplo 4.2.12. Soluções de mistura com duas concentrações diferentes.

LaVonda é uma bartender meticulosa e precisa servir (600 ) mililitros de Rob Roy, um coquetel alcoólico com (34 \% ) álcool por volume. Os ingredientes principais são uísque, que é (42 \% ) álcool, e vermute, que é (18 \% ) álcool. Quantos mililitros de cada ingrediente ela deve misturar para obter a concentração de que precisa?

As duas incógnitas são as quantidades de cada ingrediente. Seja (s ) a quantidade de uísque (em mL) e seja (v ) a quantidade de vermute (em mL).

Uma quantidade que nos foi dada no problema é de 600 mL. Como este é o volume total da bebida misturada, devemos ter:

Para construir a segunda equação, temos que pensar sobre as concentrações de álcool para o uísque, o vermute e o Rob Roy. It can be tricky to think about percentages like these correctly. One strategy is to focus on the quantia (in mL ) of álcool being mixed. If we have (s) milliliters of scotch that is (42\%) alcohol, then (0.42s) is the actual quantia (in mL ) of alcohol in that scotch. Similarly, (0.18v) is the amount of alcohol in the vermouth. And the final cocktail is 600 mL of liquid that is (34\%) alcohol, so it has (0.34(600)=204) milliliters of alcohol. All this means:

To solve this system, we'll solve for (s) in the first equation:

And then substitute (s) in the second equation with (600-v ext<:>)

As a last step, we will determine (s) using the equation where we had isolated (s ext<:>)

In summary, LaVonda needs to combine 400 mL of scotch with 200 mL of vermouth to create 600 mL of Rob Roy that is (34\%) alcohol by volume.

As a check for Example 4.2.12, we will use to see that our solution is reasonable. Since LaVonda is making a (34\%) solution, she would need to use more of the (42\%) concentration than the (18\%) concentration, because (34\%) is closer to (42\%) than to (18\% ext<.>) This agrees with our answer because we found that she needed 400 mL of the (42\%) solution and 200 mL of the (18\%) solution. This is an added check that we have found reasonable answers.

Example 4.2.13 . Mixing a Coffee Blend.

Desi owns a coffee shop and they want to mix two different types of coffee beans to make a blend that sells for ($12.50) per pound. They have some coffee beans from Columbia that sell for ($9.00) per pound and some coffee beans from Honduras that sell for ($14.00) per pound. How many pounds of each should they mix to make (30) pounds of the blend?

Before we begin, it may be helpful to try to estimate the solution. Let's compare the three prices. Since ($12.50) is between the prices of ($9.00) and ($14.00 ext<,>) this mixture is possible. Now we need to estimate the amount of each type needed. The price of the blend (($12.50) per pound) is closer to the higher priced beans (($14.00) per pound) than the lower priced beans (($9.00) per pound). So we will need to use more of that type. Keeping in mind that we need a total of (30) pounds, we roughly estimate (20) pounds of the ($14.00) Honduran beans and (10) pounds of the ($9.00) Columbian beans. How good is our estimate? Next we will solve this exercise exactly.

To set up our system of equations we define variables, letting (C) be the amount of Columbian coffee beans (in pounds) and (H) be the amount of Honduran coffee beans (in pounds).

The equations in our system will come from the total amount of beans and the total cost. The equation for the total amount of beans can be written as:

To build the second equation, we have to think about the cost of all these beans. If we have (C) pounds of Columbian beans that cost ($9.00) per pound, then (9C) is the cost of those beans in dollars. Similarly, (14H) is the cost of the Honduran beans. And the total cost is for (30) pounds of beans priced at ($12.50) per pound, totaling (12.5(30)=37.5) dollars. All this means:

Or without units and carrying out the multiplication on the right:

To solve the system, we'll solve the first equation for (C ext<:>)

Next, we'll substitute (C) in the second equation with (30-H ext<:>)

Since (H=21 ext<,>) we can conclude that (C=9 ext<.>)

In summary, Desi needs to mix (21) pounds of the Honduran coffee beans with (9) pounds of the Columbian coffee beans to create this blend. Our estimate at the beginning was pretty close, so we feel this answer is reasonable.

Subsection 4.2.3 Solving Special Systems of Equations with Substitution

Remember the two special cases we encountered when solving by graphing in Subsection 4.1.2? If the two lines represented by a system of equations have the same slope, then they might be separate lines that never meet, meaning the system has no solutions. Or they might coincide as the same line, in which case there are infinitely many solutions represented by all the points on that line. Let's see what happens when we use the substitution method on each of the special cases.

Example 4.2.14 . A System with No Solution.

Solve the system of equations using the substitution method:

Since the first equation is already solved for (y ext<,>) we will substitute (2x-1) for (y) in the second equation, and we have:

Even though we were only intending to substitute away (y ext<,>) we ended up with an equation where there are no variables at all. This will happen whenever the lines have the same slope. This tells us the system represents either parallel or coinciding lines. Since (2=3) is false no matter what values (x) and (y) might be, there can be no solution to the system. So the lines are parallel and distinto. We write the solution set using the empty set symbol: the solution set is (emptyset ext<.>)

To verify this, re-write the second equation, (4x-2y=3 ext<,>) in slope-intercept form:

So the system is equivalent to:

Now it is easier to see that the two lines have the same slope but different (y)-intercepts. They are parallel and distinct lines, so the system has no solution.

Example 4.2.15 . A System with Infinitely Many Solutions.

Solve the system of equations using the substitution method:

Since (y=2x-1 ext<,>) we will substitute (2x-1) for (y) in the second equation and we have:

Even though we were only intending to substitute away (y ext<,>) we ended up with an equation where there are no variables at all. This will happen whenever the lines have the same slope. This tells us the system represents either parallel or coinciding lines. Since (2=2) is true no matter what values (x) and (y) might be, the system equations are true no matter what (x) is, as long as (y=2x-1 ext<.>) So the lines coincide. We write the solution set as (<(x,y)mid y=2x-1> ext<.>)

To verify this, re-write the second equation, (4x-2y=2 ext<,>) in slope-intercept form:

Now it is easier to see that the two equations represent the same line. Every point on the line is a solution to the system, so the system has infinitely many solutions. The solution set is (<(x,y) mid y=2x-1> ext<.>)

Reading Questions 4.2.4 Reading Questions

Give an example of a system of two equations in (x) and (y) where it would be nicer to solve the system using substitution than by graphing the two lines that the equations define. Explain why substitution would be nicer than graphing for your example system.

What might be a good first step if you have a system of two linear equations in two variables where there are fractions appearing in the equations?

In an application problem, thinking about the can help you understand how to set up equations.


4.2: Solving Systems by Substitution

Systems of Linear Equations:
Solving by Substitution
(page 4 of 7)

The method of solving "by substitution" works by solving one of the equations (you choose which one) for one of the variables (you choose which one), and then plugging this back into the other equation, "substituting" for the chosen variable and solving for the other. Then you back-solve for the first variable.

Here is how it works. (I'll use the same systems as were in a previous page.)

2x &ndash 3y = &ndash2
4
x + y = 24

The idea here is to solve one of the equations for one of the variables, and plug this into the other equation. It does not matter which equation or which variable you pick. There is no right or wrong choice the answer will be the same, regardless. But &mdash some choices may be better than others.

For instance, in this case, can you see that it would probably be simplest to solve the second equation for " y = ", since there is already a y floating around loose in the middle there? I could solve the first equation for either variable, but I'd get fractions, and solving the second equation for x would also give me fractions. It wouldn't be "wrong" to make a different choice, but it would probably be more difficult. Being lazy, I'll solve the second equation for y :

4 x + y = 24
y = &ndash4 x + 24

Now I'll plug this in ("substitute it") for " y " in the first equation, and solve for x :

2x &ndash 3(&ndash4x + 24) = &ndash2
2x + 12x &ndash 72 = &ndash2
14x = 70
x = 5 Copyright © Elizabeth Stapel 2003-2011 All Rights Reserved

Now I can plug this x -value back into either equation, and solve for y . But since I already have an expression for " y = ", it will be simplest to just plug into this:

y = &ndash4(5) + 24 = &ndash20 + 24 = 4

Then the solution is (x, y) = (5, 4) .

Warning: If I had substituted my " &ndash4 x + 24 " expression into the same equation as I'd used to solve for " y = ", I would have gotten a true, but useless, statement:

4x + (&ndash4x + 24) = 24
4x &ndash 4x + 24 = 24
24 = 24

Twenty-four does equal twenty-four, but who cares? So when using substitution, make sure you substitute into the outro equation, or you'll just be wasting your time.

y = 36 &ndash 9x
3
x + y/3 = 12

We already know (from the previous lesson ) that these equations are actually both the same line that is, this is a dependent system. We know what this looks like graphically: we get two identical line equations, and a graph with just one line displayed. But what does this look like algebraically?

The first equation is already solved for y , so I'll substitute that into the second equation:

3 x + (36 &ndash 9 x )/3 = 12
3 x + 12 &ndash 3 x = 12
12 = 12

Well, um. yes, twelve faz equal twelve, but so what?

I did substitute the primeiro equation into the segundo equation, so this unhelpful result is not because of some screw-up on my part. It's just that this is what a dependent system looks like when you try to find a solution. Remember that, when you're trying to solve a system, you're trying to use the second equation to narrow down the choices of points on the first equation. You're trying to find the one single point that works in both equations. But in a dependent system, the "second" equation is really just another copy of the first equation, and tudo the points on the one line will work in the other line.

In other words, I got an unhelpful result because the second line equation didn't tell me anything new. This tells me that the system is actually dependent, and that the solution is the whole line:

solution: y = 36 &ndash 9x

This is always true, by the way. When you try to solve a system and you get a statement like " 12 = 12 " or " 0 = 0 " &mdash something that's true, but unhelpful (I mean, duh!, of course twelve equals twelve!) &mdash then you have a dependent system. We already knew, from the previous lesson, that this system was dependent, but now you know what the algebra looks like.

(Keep in mind that your text may format the answer to look something like " (t, 36 &ndash 9t) ", or something similar, using some variable, some "parameter", other than " x ". But this "parametrized" form of the solution means the exact same thing as "the solution is the line y = 36 &ndash 9x ".)

7x + 2y = 16
&ndash21
x &ndash 6y = 24

Neither of these equations is particularly easier than the other for solving. I'll get fractions, no matter which equation and which variable I choose. So, um. I guess I'll take the first equation, and I'll solve it for, um, y , because at least the 2 (from the " 2y ") will divide evenly into the 16 .

7x + 2y = 16
2y = &ndash7x + 16
y = &ndash( 7 /2 )x + 8

Now I'll plug this into the other equation:

&ndash21x &ndash 6(&ndash( 7 /2 )x + 8) = 24
&ndash21x + 21x &ndash 48 = 24
&ndash48 = 24

In this case, I got a nonsense result. All my math was right, but I got an obviously wrong answer. Então o que aconteceu?

Keep in mind that, when solving, you're trying to find where the lines intersect. What if they don't intersect? Then you're going to get some kind of wrong answer when you assume that there is a solution (as I did when I tried to find that solution). We knew, from the previous lesson, that this system represents two parallel lines. But I tried, by substitution, to find the intersection point anyway. And I got a "garbage" result. Since there wasn't any intersection point, my attempt led to utter nonsense.

solution: no solution (inconsistent system)

This is always true, by the way. When you get a nonsense result, this is the algebraic indication that the system of equations is inconsistent.

Note that this is quite different from the previous example. Warning: A true-but-useless result (like " 12 = 12 ") is quite different from a nonsense "garbage" result (like " &ndash48 = 24 "), just as two identical lines are quite different from two parallel lines. Don't confuse the two. A useless result means a dependent system which has a solution (the whole line) a nonsense result means an inconsistent system which has no solution of any kind.


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Here are 9 results for solving simultaneous equations by substitution:

1. 7_1 LINEAR AND NONLINEAR SYS OF EQNS.pdf
academics.utep.edu
7.1 LINEAR AND NONLINEAR SYSTEMS OF &hellip 2 &bull Use the method of substitution to solve systems of linear equations in two variables. &bull Use the method of substitution to solve systems

2. Simultaneous Equations - Solving by substitution.pdf
www.flinders.edu.au
L SIMULTANEOUS EQUATIONS C entre Solving by &hellip SIMULTANEOUS EQUATIONS. Solving by substitution . This can be checked by substituting back into both original equations to ensure that the left-hand and

3. A18simultsubs.pdf
Title: Simultaneous equations and the method of &hellip Title: Simultaneous equations and the method of substitution. Target: On completion of this worksheet you should be able to solve quadratic and linear simultaneous .

4. web-simultaneous1.pdf
Simultaneous linear equations - Mathematics &hellip 2. Solving simultaneous equations - method of substitution Howcanwehandlethetwoequationsalgebraicallysothatwedonothavetodrawgraphs?We .

5. mc-ty-simultaneous-2009-1.pdf
Simultaneous linear equations - Mathematics &hellip Simultaneous linear equations mc-simultaneous-2009-1 The purpose of this section is to look at the solution of simultaneous linear equations. We will see that solving .


Math Review of Solving Systems by Substitution

One of the ways to solve systems of equations is by graphing the equations. However, graphing the equations is not always the most accurate method to solve them. If one variable in a system is represented in terms of the other variable in the system, the systems can be solved by substitution.

Using Substitution

Suppose one of the equations in the system is x + y = 5 and the other equation is x = y +1. The expression y +1 can be substituted for x, so that y +1 +y =5. Then, there is just one variable so that 2y +1 =5, 2y +1 -1 = 5-1, or 2y = 4, or y =2. In order to check, substitute the value of y to solve for x, such that x +2 = 5, or x +2-2 = 5-2, or x = 3. Check the second equation also, so that 3 =2 +1. That is the way to use substitution to solve a system of equations.

Isolating the Variables

Sometimes, the variables cannot be isolated as easily in a system of equations, but the system of substitution can still be used. Suppose the equations were x-2y = 8 and 2x +y = 8. The first equation can be rearranged such that x = 8 +2y. Using substitution, the second equation then becomes 2(8 +2y) +y =8, or 16 +4y +y =8. As before, there is only one variable, such that 5y = 8-16 or 5y=-8, or y = -8/5. Again, check the value of x, so that x – (2)(-8/5) =8, or x +16/5 =8. (Notice how the sign changes when two negative values are multiplied.) Then multiply both sides by 5, so that 5x +16 = 40, or 5x =24 or x = 24/5. To check the first equation, 24/5 – 2[-8/5] equals 24/5 +16/5 = 40/5, or 8. To check the second equation 2 (24/5) – (8/5) = 48/5 – 8/5) = 40/5 = 8.

Understanding the Problem and Developing a Plan

Math problems that are written in words can often be translated into systems of equations, then solved by using substitution. Suppose the statement were “The sum of two numbers is 82. One number is 12 more than the other. What is the larger number?” The first sentence can be represented by the equation x +y = 82. The second sentence can be represented by the equation x=12 +y.

Problem-Solving: Solving the Problem and Checking the Answer

To solve the problem, take the system of equations and use substitution, so that 12 +y +y = 82, then 2y = 82-12, or 2y = 70, then y = 70/2, or 35. Using the second equation to solve for x, 12 +35 = 47, and using the first equation, 47 +35 = 82.

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The Substitution Method

First, let's review how the substitution property works in general.

Substitution Example 1

Let's re-examine system pictured up above.

$ ed = 2x + 1 ext < and > ed = 4x -1 $

We are going to use substitution like we did in review example 2 above.

Now we have 1 equation and 1 unknown, we can solve this problem as the work below shows.

The last step is to again use substitution, in this case we know that x = 1, but in order to find the y value of the solution, we just substitute x = 1 into either equation.

$ y = 2x + 1 y = 2cdot ed <1>+ 1 = 2 + 1 =3 oxed< ext< or you use the other equation>> y = 4x -1 y = 4cdot ed<1>- 1 y = 4 - 1 = 3 oxed < ( 1,3) >$

Substitution Example 2

What is the solution of the system of equations below:

Identify the best equation for substitution and then substitute into other equation.

Passo 2

Substitute the value of x (-4 in this case) into either equation.

$ y = 2x + 1 y = 2cdot ed <-4>+ 1 = -8 + 1 = -7 2y = 3x - 2 2y = 3cdot-4 -2 oxed< ext< or you use the other equation>> 2y = 3x -2 2y = 3 ( ed<-4>) -2 2y = -12 -2 2y = -14 frac<1><2>cdot2y =frac<1><2>cdot-14 y = -7 $

You can also solve the system by graphing and see a picture of the solution below:

Substitution Practice Problems

Problem 1

Solve the system below using substitution

The solution of this system is the point of intersection: (-1, 0).

$ y = x + 1 quad y = 2x + 2 hspace <1.2cm>downarrow hspace <1.4cm>downarrow hspace <6mm>x + 1 = 2x + 2 hspace <7mm> ext<->x hspace <1.4cm> ext<->x hspace <7mm> ule<3.2cm> <0.25mm> hspace <1.7cm>1 = x + 2 hspace <1.6cm> ext<->2 hspace <1.4cm> ext<->2 hspace <7mm> ule<3.2cm> <0.25mm> hspace <1.2cm>-1 = x hspace <1.6cm>downarrow hspace <5mm>y = 2x + 2 hspace <7mm>y = 2 * (-1) + 2 = 0 [5mm] ext hspace <3mm>(-1, 0) $

Problem 2

Use substitution to solve the following system of linear equations:

Set the Two Equations equal to each other then solve for x

Substitute the x value, -2, into the value for 'x' for either equation to determine y coordinate of solution

The solution is the point (-2, -7)

Problem 3

Use the substitution method to solve the system:

This system of lines has a solution at the point (2, 9).

Problem 4

Use substitution to solve the system:

This system has an infinite number of solutions. Because 12x + 4 = 12x is always true for all values of x.

Problem 5

Solve the system of linear equations by substitution

These lines have the same slope (slope = 1) so they never intersect.

Problem 6

Use the substitution method to solve the system:

The solution of this system is (1, 3).

Problema 7

Use substitution to solve the system:

Whenever you arrive at a contradiction such as 3 = 4, your system of linear equations has no solutions.
When you use these methods (substitution, graphing, or elimination) to find the solution what you're really asking is at what