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4.1: Resolvendo Sistemas por Representação Gráfica - Matemática


Nesta seção, apresentamos uma técnica gráfica para resolver sistemas de duas equações lineares em duas incógnitas. Como vimos no capítulo anterior, se um ponto satisfaz uma equação, então esse ponto está no gráfico da equação. Se estamos procurando um ponto que satisfaça duas equações, então estamos procurando um ponto que esteja nos gráficos de ambas as equações; ou seja, estamos procurando um ponto de intersecção.

Por exemplo, considere as duas equações:

[ begin {alinhado} x-3 y & = - 9 2 x + 3 y & = 18 end {alinhado} nonumber ]

que é chamado de sistema de equações lineares. As equações são equações lineares porque seus gráficos são linhas, conforme mostrado na Figura ( PageIndex {1} ). Observe que as duas linhas na Figura ( PageIndex {1} ) se cruzam no ponto ((3,4) ). Portanto, o ponto ((3,4) ) deve satisfazer ambas as equações. Vamos checar.

Substitua (3 ) por (x ) e (4 ) por (y ).

[ começar {alinhado} x-3 y & = - 9 3-3 (4) & = - 9 3-12 & = - 9 - 9 & = - 9 fim {alinhado} nenhum número ]

Substitua (3 ) por (x ) e (4 ) por (y ).

[ begin {alinhado} 2 x + 3 y & = 18 2 (3) +3 (4) & = 18 6 + 12 & = 18 18 & = 18 end {alinhado} nonumber ]

Portanto, o ponto ((3,4) ) satisfaz ambas as equações e é chamado de solução do sistema.

Solução de um sistema linear

Um ponto ((x, y) ) é chamado de solução de um sistema de duas equações lineares se e somente se satisfizer ambas as equações. Além disso, como um ponto satisfaz uma equação se e somente se ele está no gráfico da equação, para resolver um sistema de equações lineares graficamente, precisamos determinar o ponto de intersecção das duas retas com as equações dadas.

Vamos tentar um exemplo.

Exemplo ( PageIndex {1} )

Resolva o seguinte sistema de equações: [3x + 2y = 12 y = x + 1 label {system1} ]

Solução

Estamos procurando o ponto ((x, y) ) que satisfaça ambas as equações; ou seja, estamos procurando o ponto que se encontra no gráfico de ambas as equações. Portanto, a abordagem lógica é traçar os gráficos de ambas as linhas e, em seguida, identificar o ponto de intersecção.

Primeiro, vamos determinar as interceptações (x ) - e (y ) - de (3x + 2y = 12 ).

Para encontrar a interceptação (x ), deixe (y = 0 ).

[ begin {alinhado} 3 x + 2 y & = 12 3 x + 2 (0) & = 12 3 x & = 12 x & = 4 end {alinhado} nonumber ]

Para encontrar a interceptação (y ), deixe (x = 0 ).

[ begin {alinhado} 3 x + 2 y & = 12 3 (0) +2 y & = 12 2 y & = 12 y & = 6 end {alinhado} nonumber ]

Portanto, a interceptação (x ) é ((4,0) ) e a interceptação (y ) é ((0,6) ). Essas interceptações são plotadas na Figura ( PageIndex {2} ) e a linha (3x + 2y = 12 ) é desenhada através delas.

Comparando a segunda equação (y = x + 1 ) com a forma de interceptação da inclinação (y = mx + b ), vemos que a inclinação é (m = 1 ) e a interceptação deles é (( 0,1) ). Trace a interceptação ((0,1) ), então suba (1 ) unidade e direita (1 ) unidade, então desenhe a linha (veja a Figura ( PageIndex {3} )).

Estamos tentando encontrar o ponto que se encontra em ambas as linhas, então plotamos ambas as linhas no mesmo sistema de coordenadas, rotulando cada uma com sua equação (veja a Figura ( PageIndex {4} )). Parece que as linhas se cruzam no ponto ((2,3) ), tornando ((x, y) = (2, 3) ) a solução do Sistema no Exemplo ( PageIndex {1} ) (veja a Figura ( PageIndex {4} )).

Verificar: Para mostrar que ((x, y) = (2, 3) ) é uma solução do Sistema ref {sistema1}, devemos mostrar que obtemos afirmações verdadeiras quando substituímos (2 ) por (x ) e (3 ) para (y ) em ambas as equações do Sistema ref {sistema1}.

Substituindo (2 ) por (x ) e (3 ) por (y ) em (3x + 2y = 12 ), obtemos:

[ begin {alinhado} 3 x + 2 y & = 12 3 (2) +2 (3) & = 12 6 + 6 & = 12 12 & = 12 end {alinhado} nonumber ]

Portanto, ((2,3) ) satisfaz a equação (3x + 2y = 12 ).

Substituindo (2 ) por (x ) e (3 ) por (y ) em (y = x + 1 ), obtemos:

[ begin {array} {l} {y = x + 1} {3 = 2 + 1} {3 = 3} end {array} nonumber ]

Portanto, ((2,3) ) satisfaz a equação (y = x + 1 ).

Como ((2,3) ) satisfaz ambas as equações, isso torna ((2,3) ) uma solução de Sistema ref {sistema1}.

Exercício ( PageIndex {1} )

Resolva o seguinte sistema de equações:

[ begin {alinhado} 2 x-5 y & = - 10 y & = x-1 end {alinhado} nonumber ]

Responder

((5,4))

Exemplo ( PageIndex {2} )

Resolva o seguinte sistema de equações: [3x-5y = -15 2x + y = -4 label {system2} ]

Solução

Mais uma vez, estamos procurando o ponto que satisfaça ambas as equações do Sistema ref {sistema2}. Assim, precisamos encontrar o ponto que se encontra nos gráficos de ambas as linhas representadas pelas equações de System ref {system2}. A abordagem será representar graficamente as duas linhas e, em seguida, aproximar as coordenadas do ponto de intersecção. Primeiro, vamos determinar as interceptações (x ) - e (y ) - de (3x − 5y = −15 ).

Para encontrar a interceptação (x ), deixe (y = 0 ).

[ iniciar {alinhado} 3 x-5 y & = - 15 3 x-5 (0) & = - 15 3 x & = - 15 x & = - 5 fim {alinhado} nenhum número ]

Para encontrar a interceptação (y ), deixe (x = 0 ).

[ begin {alinhado} 3 x-5 y & = - 15 3 (0) -5 y & = - 15 - 5 y & = - 15 y & = 3 end {alinhado} nenhum número ]

Portanto, a interceptação (x ) - é ((- 5,0) ) e a interceptação (y ) é ((0,3) ). Essas interceptações são plotadas na Figura ( PageIndex {5} ) e a linha (3x − 5y = −15 ) é desenhada através deles.

A seguir, vamos determinar as interceptações da segunda equação (2x + y = −4 ).

Para encontrar a interceptação (x ), deixe (y = 0 ).

[ begin {alinhado} 2 x + y & = - 4 2 x + 0 & = - 4 2 x & = - 4 x & = - 2 end {alinhado} nonumber ]

Para encontrar a interceptação (y ), deixe (x = 0 ).

[ begin {alinhado} 2 x + y & = - 4 2 (0) + y & = - 4 y & = - 4 end {alinhado} nonumber ]

Portanto, a interceptação (x ) - é ((- 2,0) ) e a interceptação (y ) - é ((0, −4) ). Essas interceptações são plotadas na Figura ( PageIndex {6} ) e a linha (2x + y = −4 ) é desenhada através delas.

Para encontrar a solução de System ref {system2}, precisamos plotar ambas as linhas no mesmo sistema de coordenadas e determinar as coordenadas do ponto de intersecção. Ao contrário de Example ( PageIndex {1} ), neste caso, teremos que nos contentar com uma aproximação dessas coordenadas. Parece que as coordenadas do ponto de intersecção são aproximadamente (- 2.6,1.4) ) (ver Figura ( PageIndex {7} )).

Verificar: Como temos apenas uma aproximação da solução do sistema, não podemos esperar que a solução verifique exatamente em cada equação. No entanto, esperamos que a solução seja verificada aproximadamente.

Substitua ((x, y) = (- 2.6,1.4) ) na primeira equação de Sistema ref {sistema2}.

[ begin {alinhado} 3 x-5 y & = - 15 3 (-2,6) -5 (1,4) & = - 15 - 7,8-7 & = - 15 - 14,8 & = - 15 end {alinhado} nonumber ]

Observe que ((x, y) = (- 2.6,1.4) ) não verifica exatamente, mas está muito perto de ser uma afirmação verdadeira.

Substitua ((x, y) = (- 2.6,1.4) ) na segunda equação de Sistema ref {sistema2}.

[ begin {alinhados} 2 x + y = -4 2 (-2,6) + 1,4 = -4 - 5,2 + 1,4 = -4 - 3,8 = -4 end {alinhados} nonumber ]

Novamente, observe que ((x, y) = (-2,6,1,4) ) não verifica exatamente, mas está muito perto de ser uma afirmação verdadeira.

Observação

Posteriormente nesta seção, aprenderemos como usar o utilitário de interseção na calculadora gráfica para obter uma aproximação muito mais precisa da solução real. Em seguida, na Seção 4.2 e Seção 4.3, mostraremos como encontrar a solução exata.

Exercício ( PageIndex {2} )

Resolva o seguinte sistema de equações:

[ begin {alinhado} -4 x-3 y & = 12 x-2 y & = - 2 end {alinhado} nonumber ]

Responder

((−2.7,−0.4))

Casos excepcionais

Na maioria das vezes, dados os gráficos de duas linhas, eles se cruzam em exatamente um ponto. Mas existem duas exceções a este cenário geral.

Exemplo ( PageIndex {3} )

Resolva o seguinte sistema de equações: [2x + 3y = 6 2x + 3y = -6 label {system3} ]

Solução

Vamos colocar cada equação na forma de declive-interceptação, resolvendo cada equação para (y ).

Resolva (2x + 3y = 6 ) para (y ):

[ begin {alinhado} 2 x + 3 y & = 6 2 x + 3 y-2 x & = 6-2 x 3 y & = 6-2 x dfrac {3 y} { 3} & = dfrac {6-2 x} {3} y & = - dfrac {2} {3} x + 2 end {alinhado} não numérico ]

Resolva (2x + 3y = −6 ) para (y ):

[ begin {alinhado} 2 x + 3 y & = - 6 2 x + 3 y-2 x & = - 6-2 x 3 y & = - 6-2 x dfrac {3 y} {3} & = dfrac {-6-2 x} {3} y & = - dfrac {2} {3} x-2 end {alinhado} nonumber ]

Comparando (y = (- 2/3) x + 2 ) com a forma de declive-interceptação (y = mx + b ) nos diz que a inclinação é (m = −2/3 ) e eles- a interceptação é ((0,2) ). Trace a interceptação ((0,2) ), então desça as unidades (2 ) e as unidades (3 ) à direita e desenhe a linha (veja a Figura ( PageIndex {8} )).

Comparando (y = (−2/3) x - 2 ) com a forma de interceptação da inclinação (y = mx + b ) nos diz que a inclinação é (m = −2/3 ) e eles- a interceptação é ((0, −2) ). Trace a interceptação ((0, −2) ), então desça as unidades (2 ) e as unidades (3 ) à direita e desenhe a linha (veja a Figura ( PageIndex {9} )).

Para encontrar a solução de System ref {system3}, desenhe ambas as linhas no mesmo sistema de coordenadas (ver Figura ( PageIndex {10} )). Observe como as linhas parecem ser paralelas (elas não se cruzam). O fato de ambas as linhas terem a mesma inclinação (- 2/3 ) confirma nossa suspeita de que as linhas são paralelas. No entanto, observe que as linhas têm diferentes interceptações (y ). Portanto, estamos olhando para duas linhas paralelas, mas distintas (veja a Figura ( PageIndex {10} )) que não se cruzam. Portanto, System ref {system3} não tem solução.

Exercício ( PageIndex {3} )

Resolva o seguinte sistema de equações:

[ begin {alinhado} x-y & = 3 - 2 x + 2 y & = 4 end {alinhado} nonumber ]

Responder

Sem solução.

Exemplo ( PageIndex {4} )

Resolva o seguinte sistema de equações: [x-y = 3 - 2 x + 2 y = -6 label {system4} ]

Solução

Vamos resolver as duas equações para (y ).

Resolva (x − y = 3 ) para (y ):

[ begin {alinhados} xy & = 3 xyx & = 3-x - y & = - x + 3 - 1 (-y) & = - 1 (-x + 3) y & = x-3 end {alinhado} nonumber ]

Resolva (- 2x + 2y = −6 ) para (y ):

[ begin {alinhado} -2 x + 2 y & = - 6 - 2 x + 2 y + 2 x & = - 6 + 2 x 2 y & = 2 x-6 dfrac { 2 y} {2} & = dfrac {2 x-6} {2} y & = x-3 end {alinhado} não numérico ]

Ambas as linhas têm inclinação (m = 1 ), e ambas têm o mesmo (y ) - interceptar ((0, −3) ). Portanto, as duas linhas são idênticas (consulte a Figura ( PageIndex {11} )). Portanto, System ref {system4} possui um número infinito de pontos de interseção. Qualquer ponto em qualquer linha é uma solução do sistema. Exemplos de pontos de interseção (soluções que satisfazem ambas as equações) são ((0, −3) ), ((1, −2) ) e ((3,0) ).

Solução alternativa:

Uma abordagem muito mais fácil é notar que se dividirmos ambos os lados da segunda equação (- 2x + 2y = −6 ) por (- 2 ), obtemos:

[ begin {align} -2x + 2y & = -6 quad { color {Red} text {Segunda equação no sistema}} ref {system4}. dfrac {-2 x + 2 y} {- 2} & = dfrac {-6} {- 2} quad color {Vermelho} text {Divida ambos os lados por} -2 dfrac { -2 x} {- 2} + dfrac {2 y} {- 2} & = dfrac {-6} {- 2} quad color {Red} text {Distribute} -2 xy & = 3 quad color {Red} text {Simplifique. } end {alinhado} nonumber ]

Portanto, a segunda equação em System ref {system4} é idêntica à primeira. Portanto, há um número infinito de soluções. Qualquer ponto em qualquer linha é uma solução.

Exercício ( PageIndex {4} )

Resolva o seguinte sistema de equações:

[ begin {alinhado} -6 x + 3 y & = - 12 2 x-y & = 4 end {alinhado} nonumber ]

Responder

Existem inúmeras soluções. As linhas são idênticas, portanto, qualquer ponto em uma das linhas é uma solução.

Os exemplos ( PageIndex {1} ), ( PageIndex {2} ), ( PageIndex {3} ) e ( PageIndex {4} ) nos levam à seguinte conclusão.

Número de soluções de um sistema linear

Ao lidar com um sistema de duas equações lineares em duas incógnitas, existem apenas três possibilidades:

  1. Existe exatamente uma solução.
  2. Não existem soluções.
  3. Existem inúmeras soluções.

Resolução de sistemas com a calculadora gráfica

Já tivemos experiência em equações gráficas com a calculadora gráfica. Também usamos o botão TRACE para estimar os pontos de interseção. No entanto, a calculadora gráfica possui uma ferramenta muito mais sofisticada para encontrar pontos de intersecção. No próximo exemplo, usaremos a calculadora gráfica para encontrar a solução de System ref {system1} de Example ( PageIndex {1} ).

Exemplo ( PageIndex {5} )

Use a calculadora gráfica para resolver o seguinte sistema de equações: [3x + 2y = 12 y = x + 1 label {system5} ]

Solução

Para inserir uma equação no Y = menu, a equação deve primeiro ser resolvida para (y ). Portanto, devemos primeiro resolver (3x + 2y = 12 ) para (y ).

[ begin {alinhado} 3x + 2y & = 12 quad color {Vermelho} text {Equação original. } 2y & = 12-3x quad color {Vermelho} text {Subtraia} 3x text {de ambos os lados da equação. } dfrac {2y} {2} & = dfrac {12-3 x} {2} quad color {Vermelho} text {Divida ambos os lados por} 2 y & = dfrac {12} {2} - dfrac {3 x} {2} quad color {Vermelho} text {À esquerda, simplifique. À direita,} y & = 6- dfrac {3} {2} x quad color {Vermelho} text {Simplifique. } end {alinhado} ]

Podemos agora substituir ambas as equações de System ref {system5} no Y = menu (veja a Figura ( PageIndex {12} )).

Selecione 6: ZStandard no menu ZOOM para produzir os gráficos mostrados na Figura ( PageIndex {13} ).

A questão agora se torna “Como calculamos as coordenadas do ponto de intersecção?” Olhe na caixa da calculadora logo acima do botão TRACE na linha superior de botões, onde você verá a palavra CAlC, pintada na mesma cor que o chave. aperte o e, em seguida, o botão TRACE, que abrirá o CALCULAR menu mostrado na Figura ( PageIndex {14} ).

Observação

Fazer a calculadora perguntar “Primeira curva,” “Segunda curva,” quando há apenas duas curvas na tela pode parecer irritante. No entanto, imagine a situação quando há três ou mais curvas na tela. Então, essas perguntas fazem sentido. Você pode alterar sua seleção de “Primeira curva” ou “Segunda curva” usando as teclas de seta para cima e para baixo para mover o cursor para uma curva diferente.

Selecione 5: intersecção. O resultado é mostrado na Figura ( PageIndex {15} ). A calculadora colocou o cursor na curva (y = 6− (3/2) x ) (veja o canto superior esquerdo da sua tela de visualização), e no canto esquerdo inferior a calculadora está perguntando se você deseja usar a curva selecionada como a "Primeira curva". Responda “sim” pressionando o DIGITAR botão.

A calculadora responde conforme mostrado na Figura ( PageIndex {16} ). O cursor salta para a curva (y = x + 1 ) (veja o canto superior esquerdo da janela de visualização), e no canto esquerdo inferior a calculadora pergunta se você deseja usar a curva selecionada como a “Segunda curva . ” Responda “sim” pressionando o DIGITAR chave novamente.

A calculadora responde conforme mostrado na Figura ( PageIndex {17} ), solicitando que você “adivinhe”. Neste caso, deixe o cursor onde está e pressione o botão DIGITAR novamente para sinalizar à calculadora que você está tentando adivinhar a posição atual do cursor.

O resultado da prensagem DIGITAR para a pergunta “Adivinhar” na Figura ( PageIndex {17} ) é mostrado na Figura ( PageIndex {18} ), onde a calculadora agora fornece uma aproximação das coordenadas do ponto de interseção na borda inferior da janela de visualização. Observe que a calculadora colocou o cursor no ponto de intersecção na Figura ( PageIndex {17} ) e relata que as coordenadas aproximadas do ponto de intersecção são ((2,3) ).

Observação

Em seções posteriores, quando investigamos a interseção de dois gráficos com mais de um ponto de interseção, a suposição se tornará mais importante. Nesses casos futuros, precisaremos usar as teclas de seta esquerda e direita para mover o cursor perto do ponto de intersecção que desejamos que a calculadora encontre.

Relatando sua solução em sua lição de casa. Ao relatar sua solução em sua papelada de casa, siga as Diretrizes de Envio de Calculadora do Capítulo 3, Seção 2. Faça uma cópia precisa da imagem mostrada em sua janela de visualização. Identifique seus eixos (x ) e (y ). No final de cada eixo, coloque o valor apropriado de ( mathrm {Xmin}, mathrm {Xmax}, mathrm {Ymin} ) e ( mathrm {Ymax} ) relatado em sua calculadora JANELA cardápio. Use uma régua para desenhar as linhas e rotular cada uma com suas equações. Finalmente, rotule o ponto de interseção com suas coordenadas (veja a Figura ( PageIndex {19} )). A menos que seja instruído de outra forma, sempre relate cada dígito exibido em sua calculadora.

Exercício ( PageIndex {5} )

Resolva o seguinte sistema de equações:

[ begin {alinhado} 2 x-5 y & = 9 y & = 2 x-5 end {alinhado} nonumber ]

Responder

((2,-1))

Às vezes, você precisará ajustar os parâmetros no JANELA menu para que o ponto de intersecção fique visível na janela de visualização.

Exemplo ( PageIndex {6} )

Use a calculadora gráfica para encontrar uma solução aproximada do seguinte sistema: [y = - dfrac {2} {7} x + 7 y = dfrac {3} {5} x-5 label {system6} ]

Solução

Cada equação de System ref {system6} já está resolvida para (y ), então podemos proceder diretamente e inseri-las no Y = menu, conforme mostrado na Figura ( PageIndex {20} ). Selecione 6: ZStandard de AMPLIAÇÃO menu para produzir a imagem mostrada na Figura ( PageIndex {21} ).

Obviamente, o ponto de intersecção está fora da tela à direita, então teremos que aumentar o valor de ( mathrm {Xmax} ) (definir ( mathrm {Xmax} = 20 )) como mostrado em Figura ( PageIndex {22} ). Depois de fazer essa alteração em ( mathrm {Xmax} ), pressione o GRÁFICO botão para produzir a imagem mostrada na Figura ( PageIndex {23} ).

Agora que o ponto de intersecção está visível na janela de visualização, pressione 2ND CALC e selecione 5: intersecção no menu CALCULAR (veja a Figura ( PageIndex {24} )). Faça três pressionamentos consecutivos do DIGITAR botão para responder a “Primeira curva”, “Segunda curva” e “Estimativa”. A calculadora responde com a imagem na Figura ( PageIndex {25} ). Assim, a solução de System ref {system6} é aproximadamente ((x, y) ≈ (13.54837,3.1290323) ).

( color {Red} Aviso! )

Sua calculadora é uma máquina de aproximar. É bem provável que suas soluções possam diferir ligeiramente da solução apresentada na Figura ( PageIndex {25} ) nos últimos (2-3 ) lugares.

Relatando sua solução em sua lição de casa:

Ao relatar sua solução em sua papelada de casa, siga as Diretrizes para Envio de Calculadora do Capítulo 3, Seção 2. Finalmente, rotule o ponto de intersecção com suas coordenadas (consulte a Figura ( PageIndex {26} )). A menos que seja instruído de outra forma, sempre relate cada dígito exibido em sua calculadora.

Exercício ( PageIndex {6} )

Resolva o seguinte sistema de equações:

[ begin {alinhado} y & = dfrac {3} {2} x + 6 y & = - dfrac {6} {7} x-4 end {alinhado} não numérico ]

Responder

((-4.2,-0.4))


Como: resolver um sistema de equações por meio de gráficos

Este vídeo mostra ao visualizador como resolver equações simultâneas usando um gráfico ou 'representação gráfica', como é referido. Isso é feito primeiro reorganizando ambas as equações de modo que y seja o objeto de ambas. As equações podem então ser resolvidas por substituição - o vídeo não cobre isso. Usando o gráfico, a próxima etapa é plotar ambas as linhas no gráfico. Isso pode ser feito substituindo os valores variáveis ​​de x para fornecer as coordenadas y. A solução para a equação linear deve ser o ponto em que as duas linhas se cruzam.
Para obter mais informações sobre como resolver equações simultâneas usando um gráfico, consulte o vídeo.

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Resolva por meio de gráficos

Geometricamente, um sistema linear consiste em duas linhas, onde a solução é um ponto de intersecção. Para ilustrar isso, vamos representar graficamente o seguinte sistema linear com uma solução de (3, 2):

Primeiro, reescreva as equações na forma de declive-interceptação para que possamos facilmente representá-las.

Em seguida, substitua essas formas das equações originais no sistema para obter o que é chamado de sistema equivalente. Um sistema que consiste em equações equivalentes que compartilham o mesmo conjunto de soluções. . Sistemas equivalentes compartilham o mesmo conjunto de soluções.

Se representarmos graficamente as duas linhas no mesmo conjunto de eixos, podemos ver que o ponto de interseção é de fato (3, 2), a solução para o sistema.

Para resumir, os sistemas lineares descritos nesta seção consistem em duas equações lineares, cada uma com duas variáveis. Uma solução é um par ordenado que corresponde a um ponto onde as duas linhas no plano de coordenadas retangulares se cruzam. Portanto, podemos resolver sistemas lineares traçando um gráfico de ambas as linhas no mesmo conjunto de eixos e determinando o ponto onde elas se cruzam. Ao representar graficamente as linhas, tome cuidado para escolher uma boa escala e use uma régua para desenhar a linha através dos pontos. A precisão é muito importante aqui. As etapas para resolver sistemas lineares usando o método de representação gráfica Um meio de resolver um sistema representando graficamente as equações no mesmo conjunto de eixos e determinando onde elas se cruzam. são descritos no exemplo a seguir.

Exemplo 2: Resolva fazendo um gráfico:

Passo 1: Reescreva as equações lineares na forma de declive-interceptação.

Passo 2: Escreva o sistema equivalente e represente graficamente as linhas no mesmo conjunto de eixos.

Etapa 3: Use o gráfico para estimar o ponto onde as linhas se cruzam e verifique se isso resolve o sistema original. No gráfico acima, o ponto de intersecção parece ser (-1, 3).

Exemplo 3: Resolva fazendo um gráfico: <2 x + y = 2 - 2 x + 3 y = - 18.

Solução: Primeiro resolvemos cada equação para y para obter um sistema equivalente onde as linhas estão em forma de declive-interceptação.

Represente graficamente as linhas e determine o ponto de intersecção.

Exemplo 4: Resolva fazendo um gráfico: <3 x + y = 6 y = - 3.

O método de representação gráfica para resolver sistemas lineares não é ideal quando a solução consiste em coordenadas que não são inteiras. Haverá métodos algébricos mais precisos nas próximas seções, mas, por enquanto, o objetivo é entender a geometria envolvida na solução de sistemas. É importante lembrar que as soluções para um sistema correspondem ao ponto, ou pontos, onde os gráficos das equações se cruzam.

Experimente isso! Resolva fazendo um gráfico: <- x + y = 6 5 x + 2 y = - 2.

Solução de Vídeo


4.1: Resolvendo Sistemas por Representação Gráfica - Matemática

Sistemas de equações lineares: representação gráfica (página 2 de 7)

Quando você está resolvendo sistemas de equações (lineares ou não), você está, em termos de linhas gráficas relacionadas às equações, encontrando quaisquer pontos de interseção dessas linhas.

Para sistemas de equações lineares de duas variáveis, existem três tipos possíveis de soluções para os sistemas, que correspondem a três tipos diferentes de gráficos de duas linhas retas.

Esses três casos são ilustrados abaixo:

O primeiro gráfico acima, & quotCaso 1 & quot, mostra duas linhas não paralelas distintas que se cruzam exatamente em um ponto. Isso é chamado de sistema de equações & quotindependente & quot, e a solução é sempre alguma x,y -apontar.

Sistema independente:
um ponto de solução

O segundo gráfico acima, & quotCase 2 & quot, mostra duas linhas distintas que são paralelas. Visto que as linhas paralelas nunca se cruzam, então não pode haver interseção, isto é, para um sistema de equações que representa graficamente como linhas paralelas, não pode haver solução. Isso é chamado de sistema de equações "inconsistente" e não tem solução.

Sistema independente:
uma solução e
um ponto de intersecção

Sistema inconsistente:
nenhuma solução e
nenhum ponto de intersecção

O terceiro gráfico acima, & quotCase 3 & quot, parece mostrar apenas uma linha. Na verdade, é a mesma linha desenhada duas vezes. Estas linhas & quottwo & quot, sendo na verdade a mesma linha, & quotintersect & quot em todos os pontos ao longo do seu comprimento. Isso é chamado de sistema & quotdependente & quot, e a & quotsolution & quot é a linha inteira.

Sistema independente:
uma solução e
um ponto de intersecção

Sistema inconsistente:
nenhuma solução e
nenhum ponto de intersecção

Sistema dependente:
a solução é o
linha inteira

Isso mostra que um sistema de equações pode ter uma solução (um específico x,y -ponto), nenhuma solução, ou uma solução infinita (sendo todas as soluções para a equação). Você nunca terá um sistema com duas ou três soluções, será sempre um, nenhum ou infinitamente muitos.

Provavelmente, o primeiro método que você verá para resolver sistemas de equações será & citar por meio de gráficos & quot. Aviso: você tem que encarar esses problemas com cautela. A única maneira de encontrar a solução no gráfico é E SE você desenha um sistema de eixos muito limpo, E SE você desenha linhas muito claras, E SE a solução passa a ser um ponto com belas coordenadas de números inteiros, e E SE as linhas não estão próximas de serem paralelas. Copyright e cópia Elizabeth Stapel 2003-2011 Todos os direitos reservados


Por exemplo, se as linhas se cruzam em um ângulo raso, pode ser quase impossível dizer onde as linhas se cruzam.

E se o ponto de intersecção não for um par perfeito de números inteiros, todas as apostas estão canceladas.

(Você pode dizer olhando que a solução exibida tem coordenadas
de (& ndash4.3, & ndash0.95)? Não? Então você entende meu ponto.)

No lado positivo, uma vez que eles serão forçados a fornecer soluções legais e legais para & quotsolução por meio de gráficos de & quot problemas, você será capaz de obter todas as respostas certas contanto que você faça um gráfico bem organizado. Por exemplo:

    Resolva o seguinte sistema por meio de gráficos.

2x & ndash 3y = & ndash2
4
x + y = 24

Eu sei que preciso de um gráfico bom, então vou pegar minha régua e começar. Primeiro, vou resolver cada equação para & quot y= & quot, para que eu possa representar graficamente:

2x & ndash 3y = & ndash2
2x + 2 = 3y
(2/3)x + (2/3) = y

4x + y = 24
y = & ndash4x + 24

A segunda linha será fácil de representar graficamente usando apenas a inclinação e a interceptação, mas vou precisar de um gráfico T para a primeira linha.


Resolvendo Sistemas de Equações por Representação Gráfica - Problema 1

Para resolver um sistema de equações por meio de gráficos, represente graficamente cada equação e identifique o ponto onde as duas linhas se cruzam. Esse ponto é a solução para o sistema de equações - é onde os valores xey das duas equações são iguais. Verifique a solução inserindo os valores em cada equação. Se as equações forem verdadeiras, o que significa que os dois lados das equações são iguais, a solução está correta.

Este é o sistema de equações que me pedem para resolver por meio de gráficos. O que isso significa é que preciso representar graficamente as duas linhas e descobrir onde elas se cruzam. O problema agora também me pediu para verificar minha solução, então, assim que entender o que considero correto, vou substituir esses valores de volta em ambas as equações e verificar se obtenho igualdades.

Então, vamos fazê-lo. A primeira coisa que farei porque sou uma pessoa visual que gosto de cores, vou designar esta primeira equação que vou representar graficamente em vermelho e a segunda equação vou representar graficamente em azul. Isso pode me ajudar a rastrear qual linha é qual. Ok, então para esta linha, vou colocar o primeiro ponto na interceptação y em 4, a partir daí vou contar a inclinação de 1 sobre 1.

Meu primeiro ponto vai na interceptação y em 4, a partir daí vou contar a inclinação que é de 1 sobre 1. Vou fazer alguns pontos diferentes em ambas as direções para ter certeza de que meu gráfico vai seja preciso. Novamente, vocês, é absolutamente crítico quando vocês estão resolvendo sistemas fazendo um gráfico que vocês são precisos, caso contrário, vocês obterão o ponto de interseção errado, a resposta errada. Ok, aí está minha linha vermelha.

Minha próxima linha é um pouco diferente. Vou querer colocar meu primeiro ponto na interceptação y de 1, a partir daí vou contar a inclinação 4 sobre 1 para a direita. Então vamos lá, começando em 1 é meu primeiro ponto. A partir daí, vou contar 4, direito 1. 1, 2, 3, 4 direito 1. 1, 2, 3, 4 direito 1. 1, 2, 3, 4 direito oops 1, 2, 3, 4 direito 1 ok. Faça alguns pontos para que vocês possam ter certeza de que seu gráfico está certo. Use sua régua absolutamente, absolutamente para desenhar e então descobrir onde as linhas se cruzam.

O objetivo principal de resolver um sistema de equações é procurar a solução. A solução é o ponto onde as linhas se cruzam, ou elas se cruzam e se cruzam significa se cruzam. Então, vamos ver aqui o ponto onde essas linhas se cruzam é ​​1, 2, 2, 3, 4, 5 (1,5). Acho que essa é a minha resposta. Vamos revisar e verificar o uso de substituição para ter certeza de que está correto.

Então, primeiro, na equação vermelha, quero ver se meu número y é igual ao meu número x mais 4. Então, é verdade que 5 é igual a 1 mais 4? Sim, eles são igualmente bons, então isso funciona na primeira equação, mas para ser uma solução, tem que funcionar em ambos, então ainda não terminei a verificação. Vejamos a equação azul. Vamos ver se quando eu entendo meu ponto de vista que considero correto, obtenho uma igualdade. É verdade que 5 é igual a 4 vezes 1 mais 1? Sim, ótimo, isso me diz que, como o ponto é uma solução para ambas as equações originais, fiz isso corretamente. Isso é bom porque eu não gosto de fazer gráficos e não quero ter que fazer aquele cara de novo.

Certifique-se de que vocês são precisos na primeira vez. Eu não estou jogando aqui, você tem que usar papel milimetrado e uma régua, caso contrário você não conseguirá verificar os dois corretamente.


Resolvendo Sistemas de Equações por Representação Gráfica - Conceito

Um sistema de equações são duas ou mais equações que contêm as mesmas variáveis. Resolução de sistemas de equações por meio de gráficos é um método para encontrar o ponto que é uma solução para ambas (ou todas) as equações originais. Além de resolver sistemas de equações por meio de gráficos, outros métodos de encontrar a solução para sistemas de equações incluem substituição, eliminação e matrizes.

Um sistema de equações em seu curso de álgebra envolverá duas equações diferentes com duas variáveis. Uma maneira de resolvê-los ou o significado de encontrar o ponto que é uma solução em ambas as equações é representá-los graficamente e procurar onde as linhas se cruzam.
Então, o que vai acontecer em seu dever de casa é que você receberá duas linhas, você terá que representar graficamente as duas e descobrir onde elas se cruzam de acordo com o que o problema está pedindo.
Algumas coisas para manter em mente, a primeira coisa que a maioria das pessoas pode representar graficamente de forma mais eficaz se as linhas estiverem na forma y = mx + b. Você começa no gráfico de interceptação y a inclinação a partir daí. Para muitas pessoas, essa é a maneira mais fácil de representar graficamente, mas você também pode usar interceptações ou fazer uma tabela de valores se não for um bom gráfico. Outra coisa a ter em mente é que você está procurando o ponto onde as linhas se cruzam, então você tem que ser preciso, se o seu professor não lhe disse para usar papel quadriculado, compre papel quadriculado de qualquer maneira. Porque quando você está olhando para o seu gráfico e está tentando contar onde as linhas se cruzam e se você tem apenas um papel de caderno, você não vai ser muito preciso. Portanto, certifique-se de usar papel milimetrado para esses problemas.
Junto com essas mesmas linhas, você tem que usar uma régua caras, não há maneira de contornar isso. Se quiser obter a resposta certa, você precisa que suas linhas sejam precisas, elas devem ser exatamente retas. Se você puder fazer tudo isso, você estará em boa forma para ter que resolver problemas em que você está fazendo gráficos de sistemas de equações e encontrando a solução.


Vamos começar

Vamos explorar como determinar graficamente a solução para um sistema de equações lineares. Você aprenderá os diferentes cenários de soluções possíveis e como verificar essa solução.

Padrões da TEKS e expectativas dos alunos

A (3) Funções lineares, equações e desigualdades. O aluno aplica os padrões de processo matemático ao usar gráficos de funções lineares, recursos-chave e transformações relacionadas para representar de várias maneiras e resolver, com e sem tecnologia, equações, desigualdades e sistemas de equações. O aluno deve:

A (3) (F) representar graficamente sistemas de duas equações lineares em duas variáveis ​​no plano de coordenadas e determinar as soluções, se existirem

A (3) (G) estimar graficamente as soluções para sistemas de duas equações lineares com duas variáveis ​​em problemas do mundo real

Objetivo (s) de Recurso (s)

Graphically determine the solution to a system of linear equations.

Essential Questions

How many solutions can you have to a systems of linear equations, and what are they?

Graphically, what do the solutions to a system of linear equations look like?


Lane ORCCA (2020–2021): Open Resources for Community College Algebra

We have learned how to graph a line given its equation. In this section, we will learn what a sistema do two linear equations is, and how to use graphing to solve such a system.

Subsection 5.1.1 Solving Systems of Equations by Graphing

Example 5.1.1 .

Fabiana and David are running at constant speeds in parallel lanes on a track. David starts out ahead of Fabiana, but Fabiana is running faster. We want to determine when Fabiana will catch up with David. Let's start by looking at the graph of each runner's distance over time, in Figure 5.1.2.

Each of the two lines has an equation, as discussed in Chapter 4. The line representing David appears to have (y)-intercept ((0,4)) and slope (frac<4><3> ext<,>) so its equation is (y=frac<4><3>t+4 ext<.>) The line representing Fabiana appears to have (y)-intercept ((0,0)) and slope (2 ext<,>) so its equation is (y=2t ext<.>)

When these two equations are together as a package, we have what is called a :

The large left brace indicates that this is a collection of two distinct equations, not one equation that was somehow algebraically manipulated into an equivalent equation.

As we can see in Figure 5.1.2, the graphs of the two equations cross at the point ((6,12) ext<.>) It's important to check to see if this is correct, because when making a hand-drawn graph, it would be easy to be off by a little bit. To check, we can substitute the values of (x) and (y) from the point ((6,12)) into each equation:

So we have checked that ((6,12)) is indeed the solution for the system.

We refer to the point ((6,12)) as the to this system of linear equations. To denote the , we write (<(6,12)> ext<.>) But it's much more valuable to interpret these numbers in context whenever possible: it took (6) seconds for the two runners to meet up, and when they met they were (12) meters up the track.

Example 5.1.3 .

Determine the solution to the system of equations graphed in Figure 5.1.4.

The two lines intersect where (x=-3) and (y=-1 ext<,>) so the solution is the point ((-3,-1) ext<.>) We write the solution set as (<(-3,-1)> ext<.>)

Remark 5.1.5 .

In Example 5.1.1, we stated that the solution was the point ((6,12) ext<.>) It makes sense to write this as an ordered pair when we're given a graph. In some cases when we have no graph, particularly when our variables are not (x) and (y ext<,>) it might not be clear which variable “comes first” and we won't be able to write an ordered pair. Nevertheless, given the context we can write meaningful summary statements.

Checkpoint 5.1.6 .

Now let's look at an example where we need to make a graph to find the solution.

Example 5.1.7 .

Solve the following system of equations by graphing:

Notice that each of these equations is written in slope-intercept form. The first equation, (y=frac<1><2>x+4 ext<,>) is a linear equation with a slope of (frac<1><2>) and a (y)-intercept of ((0,4) ext<.>) The second equation, (y=-x-5 ext<,>) is a linear equation with a slope of (-1) and a (y)-intercept of ((0,-5) ext<.>) We'll use this information to graph both lines.

The two lines intersect where (x=-6) and (y=1 ext<,>) so the solution of the system of equations is the point ((-6,1) ext<.>) We write the solution set as (<(-6,1)> ext<.>)

Example 5.1.9 .

Solve the following system of equations by graphing:

Since both line equations are given in standard form, we'll graph each one by finding the intercepts. Recall that to find the (x)-intercept of each equation, replace (y) with (0) and solve for (x ext<.>) Similarly, to find the (y)-intercept of each equation, replace (x) with (0) and solve for (y ext<.>)

For our first linear equation, we have:

So the intercepts are ((-12,0)) and ((0,4) ext<.>) Let's find a checkpoint for this line by choosing (x=-9 ext<.>) Notice that this (x) value falls between the (x)-coordinates of the two intercepts we've already found. Next, we plug that value in for (x) and solve for (y ext<:>)

So the checkpoint is ((-9,1) ext<.>)

For our second linear equation, we have:

So the intercepts are (left(frac<3><2>,0 ight)) and ((0,1) ext<.>) Let's find a checkpoint for this line by choosing (x=6 ext<.>) Notice that this (x) value does not fall between the (x)-coordinates of the two intercepts we've already found. However, the two intercepts are pretty close together, so when that's the case, it's best to pick a value on one side of an intercept, just not too far away. Next, we plug that value in for (x) and solve for (y ext<:>)

So the checkpoint is ((6,-3) ext<.>)

Now we can graph each line by plotting the intercepts and checkpoint, and connecting these points:

It appears that the solution of the system of equations is the point of intersection of those two lines, which is ((-3,3) ext<.>) Again, it's important to check to verify that this solution is correct. To check, we can substitute the values of (x) and (y) from the point ((-3,3)) into each equation:

So we have checked that ((-3,3)) is indeed the solution for the system. We write the solution set as (<(-3,3)> ext<.>)

Example 5.1.11 .

A college has a north campus and a south campus. The north campus has (18<,>000) students, and the south campus has (4<,>000) students. In the past five years, the north campus lost (4<,>000) students, and the south campus gained (3<,>000) students. If these trends continue, in how many years would the two campuses have the same number of students? Write and solve a system of equations modeling this problem.

Since all the given student counts are in the thousands, we make the decision to measure student population in thousands. So for instance, the north campus starts with a student population of (18) (thousand students).

The north campus lost (4) thousand students in (5) years. So it is losing students at a rate of (frac<4 ext< thousand>><5 ext< year>> ext<,>) or (frac<4><5>,frac< ext>< ext> ext<.>) This rate of change should be interpreted as a negative number, because the north campus is losing students over time. So we have a linear model with starting value (18) thousand students, and a slope of (-frac<4><5>) thousand students per year. In other words,

where (y) stands for the number of students in thousands, and (t) stands for the number of years into the future.

Similarly, the number of students at the south campus can be modeled by (y=frac<3><5>t+4 ext<.>) Now we have a system of equations:

We will graph both lines using their slopes and (y)-intercepts.

According to the graph, the lines intersect at ((10,10) ext<.>) So if the trends continue, both campuses will have (10<,>000) students (10) years from now. We will leave it up to you to check this solution.

Example 5.1.13 .

Solve the following system of equations by graphing:

Since both line equations are given in point-slope form, we can start by graphing the point indicated in each equation and use the slope to determine the rest of the line.

For our first equation, (y=3(x-2)+1 ext<,>) the point indicated in the equation is ((2,1)) and the slope is (3 ext<.>)

For our second equation, (y=-frac<1><2>(x+1)-1 ext<,>) the point indicated in the equation is ((-1,-1)) and the slope is (-frac<1><2> ext<.>)

Now we can graph each line by plotting the points and using their slopes.

It appears that the solution of the system of equations is the point of intersection of those two lines, which is ((1,-2) ext<.>) To check, we can substitute the values of (x) and (y) from the point ((1,-2)) into each equation:

So we have checked that ((2,-1)) is indeed the solution for the system. We write the solution set as (<(2,-1)> ext<.>)

Subsection 5.1.2 Special Systems of Equations

Recall that when we solved linear equations in one variable, we had two special cases. In one special case there was no solution and in the other case, there were infinitely many solutions. When solving systems of equations in two variables, we have two similar special cases.

Example 5.1.15 . Parallel Lines.

Let's look at the graphs of two lines with the same slope, (y=2x-4) and (y=2x+1 ext<:>)

For this system of equations, what is the solution? Since the two lines have the same slope they are and will never intersect. This means that there is no solution to this system of equations. We write the solution set as (emptyset ext<.>)

The symbol (emptyset) is a special symbol that represents the , a definir that has no numbers in it. This symbol is não the same thing as the number zero. The number of eggs in an empty egg carton is zero whereas the empty carton itself could represent the empty set. The symbols for the empty set and the number zero may look similar depending on how you write the number zero. Try to keep the concepts separate.

Example 5.1.17 . Coinciding Lines.

Next we'll look at the other special case. Let's start with this system of equations:

To solve this system of equations, we want to graph each line. The first equation is in slope-intercept form and can be graphed easily using its slope of (2) and its (y)-intercept of ((0,-4) ext<.>)

The second equation, (6x-3y=12 ext<,>) can either be graphed by solving for (y) and using the slope-intercept form or by finding the intercepts. If we use the intercept method, we'll find that this line has an (x)-intercept of ((2,0)) and a (y)-intercept of ((0,-4) ext<.>) When we graph both lines we get Figure 5.1.18.

Now we can see these are actually the same line, or . To determine the solution to this system, we'll note that they overlap everywhere. This means that we have an infinite number of solutions: all points that fall on the line. It may be enough to report that there are infinitely many solutions. In order to be more specific, all we can do is say that any ordered pair ((x,y)) satisfying the line equation is a solution. In set-builder notation, we would write (<(x,y)mid y=2x-4> ext<.>)

Remark 5.1.19 .

In Example 5.1.17, what would have happened if we had decided to convert the second line equation into slope-intercept form?

This is the literally the same as the first equation in our system. This is a different way to show that these two equations are equivalent and represent the same line. Any time we try to solve a system where the equations are equivalent, we'll have an infinite number of solutions.

Warning 5.1.20 .

Notice that for a system of equations with infinite solutions like Example 5.1.17, we didn't say that every point was a solution. Rather, every point that falls on that line is a solution. It would be incorrect to state this solution set as “all real numbers” or as “all ordered pairs.”

List 5.1.21 . A summary of the three types of systems of equations and their solution sets

If two linear equations have different slopes, the system has one solution.

If the linear equations have the same slope with different (y)-intercepts, the system has no solution.

If two linear equations have the same slope and the same (y)-intercept (in other words, they are equivalent equations), the system has infinitely many solutions. This solution set consists of all ordered pairs on that line.

Exercises 5.1.3 Exercises

Warmup and Review

Find the line’s slope and (y)-intercept.

A line has equation (y=<4>x+5 ext<.>)

Find the line’s slope and (y)-intercept.

A line has equation (y=<5>x+2 ext<.>)

Find the line’s slope and (y)-intercept.

A line has equation (y=-x+6 ext<.>)

Find the line’s slope and (y)-intercept.

A line has equation (y=-x+3 ext<.>)

Find the line’s slope and (y)-intercept.

A line has equation (displaystyle< y= -frac<6x> <7>+5 > ext<.>)

Find the line’s slope and (y)-intercept.

A line has equation (displaystyle< y= -frac<8x> <7>- 10 > ext<.>)

Find the line’s slope and (y)-intercept.

A line has equation (displaystyle< y= frac <10>- 3 > ext<.>)

Find the line’s slope and (y)-intercept.

A line has equation (displaystyle< y= frac <2>- 10 > ext<.>)

Graph the equation (y=-3x ext<.>)

Graph the equation (y=frac<1><4>x ext<.>)

Graph the equation (y=frac<2><3>x+4 ext<.>)

Graph the equation (y=-2x+5 ext<.>)

Solve the linear equation for (y ext<.>)

Solve the linear equation for (y ext<.>)

Solve the linear equation for (y ext<.>)

Solve the linear equation for (y ext<.>)

Checking Solutions for System of Equations

Decide whether ((1,-2)) is a solution to the system of equations:

Decide whether ((3,5)) is a solution to the system of equations:

Decide whether ((4,1)) is a solution to the system of equations:

Decide whether ((5,-3)) is a solution to the system of equations:

Decide whether (left(<<2>>>,<<2>>> ight)) is a solution to the system of equations:

Decide whether (left(<<2>>>,<<2>>> ight)) is a solution to the system of equations:


4.1: Solving Systems by Graphing - Mathematics

Graphing Systems of Linear Equations

· Solve a system of linear equations by graphing .

· Determine whether a system of linear equations is consistent or inconsistent .

· Determine whether a system of linear equations is dependent or independent.

· Determine whether an ordered pair is a solution of a system of equations.

· Solve application problems by graphing a system of equations.

Recall that a linear equation graphs as a line, which indicates that all of the points on the line are solutions to that linear equation. There are an infinite number of solutions. If you have a system of linear equations, the solution for the system is the value that makes all of the equations true. For two variables and two equations, this is the point where the two graphs intersect. The coordinates of this point will be the solution for the two variables in the two equations.

The solution for a system of equations is the value or values that are true for all equations in the system. The graphs of equations within a system can tell you how many solutions exist for that system. Look at the images below. Each shows two lines that make up a system of equations.

If the graphs of the equations intersect, then there is one solution that is true for both equations.

If the graphs of the equations do not intersect (for example, if they are parallel), then there are no solutions that are true for both equations.

If the graphs of the equations are the same, then there are an infinite number of solutions that are true for both equations.

When the lines intersect, the point of intersection is the only point that the two graphs have in common. So the coordinates of that point are the solution for the two variables used in the equations. When the lines are parallel, there are no solutions, and sometimes the two equations will graph as the same line, in which case we have an infinite number of solutions.

Some special terms are sometimes used to describe these kinds of systems.

The following terms refer to how many solutions the system has.

o When a system has one solution (the graphs of the equations intersect once), the system is a consistent system of linear equations and the equations are independent.

o When a system has no solution (the graphs of the equations don’t intersect at all), the system is an inconsistent system of linear equations and the equations are independent.

o If the lines are the same (the graphs intersect at all points), the system is a consistent system of linear equations and the equations are dependent. That is, any solution of one equation must also be a solution of the other, so the equations depend on each other.

The following terms refer to whether the system has any solutions at all.

o The system is a consistent system of linear equations when it has solutions.

o The system is an inconsistent system of linear equations when it has no solutions.

We can summarize this as follows:

o A system with one or more solutions is consistent.

o A system with no solutions is inconsistent.

o If the lines are different, the equations are independent linear equations.

o If the lines are the same, the equations are dependent linear equations.

Using the graph of y = x and x + 2y = 6, shown below, determine how many solutions the system has. Then classify the system as consistent or inconsistent and the equations as dependent or independent.

The lines intersect at one point. So the two lines have only one point in common, there is only one solution to the system.

Because the lines are not the same the equations are independent.

Because there is just one solution, this system is consistent.

The system is consistent and the equations are independent.

Using the graph of y = 3.5x + 0.25 and 14x – 4y = -4.5, shown below, determine how many solutions the system has. Then classify the system as consistent or inconsistent and the equations as dependent or independent.

The lines are parallel, meaning they do not intersect. T here are no solutions to the system.

The lines are not the same, the equations are independent.

There are no solutions. Therefore, this system is inconsistent.

The system is inconsistent and the equations are independent.

Which of the following represents dependent equations and consistent systems?

Incorrect. The two lines in this system have the same slope, but different values for b. This means the lines are parallel. The lines don’t intersect, so there are no solutions and the system is inconsistent. Because the lines are not the same the equations are independent. The correct answer is C.

Incorrect. The two lines in this system have different slopes and different values for b. This means the lines intersect at one point. Since there is a solution, this system is consistent. And because the lines are not the same, the equations are independent. The correct answer is C.

Correto. The two lines in this system are the same can be rewritten as . Since there are many solutions, this system is consistent. The lines are identical so the equations are dependent.

Incorrect. The two lines in this system have different slopes and the same value for b. This means the lines intersect at one point—the y-intercept. Recall that intersecting lines have one solution and therefore the system is consistent. Because the lines are not the same the equations are independent. The correct answer is C.

From the graph above, you can see that there is one solution to the system y = x and x + 2y = 6. The solution appears to be (2, 2). However, you must verify an answer that you read from a graph to be sure that it’s not really (2.001, 2.001) or (1.9943, 1.9943).

One way of verifying that the point does exist on both lines is to substitute the x- and y-values of the ordered pair into the equation of each line. If the substitution results in a true statement, then you have the correct solution!

Is (2, 2) a solution of the system y = x and x + 2y = 6?

(2, 2) is a solution of y = x.

(2, 2) is a solution of x + 2y = 6.

Since the solution of the system must be a solution to all the equations in the system, check the point in each equation. Substitute 2 for x and 2 for y in each equation.

(2, 2) is a solution to the system.

Since (2, 2) is a solution of each of the equations in the system, (2, 2) is a solution of the system.

Is (3, 9) a solution of the system y = 3x and 2xy = 6?

(3, 9) is a solution of y = 3x.

(3, 9) is não a solution of 2xy = 6.

Since the solution of the system must be a solution to all the equations in the system, check the point in each equation. Substitute 3 for x and 9 for y in each equation.

(3, 9) is not a solution to the system.

Since (3, 9) is not a solution of one of the equations in the system, it cannot be a solution of the system.

Is (−2, 4) a solution of the system y = 2x and 3x + 2y = 1?

( − 2, 4) is not a solution of y = 2x.

( − 2, 4) is not a solution of 3x + 2y = 1.

Since the solution of the system must be a solution to all the equations in the system, check the point in each equation. Substitute −2 for x and 4 for y in each equation.

(−2, 4) is not a solution to the system.

Since ( − 2, 4) is not a solution to either of the equations in the system, ( − 2, 4) is not a solution of the system.

Remember, that in order to be a solution to the system of equations, the value of the point must be a solution for both equations. Once you find one equation for which the point is false, you have determined that it is not a solution for the system.

Which of the following statements is true for the system 2xy = −3 and y = 4x – 1?

A) (2, 7) is a solution of one equation but not the other, so it is a solution of the system

B) (2, 7) is a solution of one equation but not the other, so it is não a solution of the system

C) (2, 7) is a solution of both equations, so it is a solution of the system

D) (2, 7) is não a solution of either equation, so it is não a solution to the system

A) (2, 7) is a solution of one equation but not the other, so it is a solution of the system

Incorrect. If the point were a solution of one equation but not the other, then it is não a solution of the system. In fact, the point (2, 7) is a solution of both equations, so it is a solution of the system. The two lines are not identical, so it is the only solution.

B) (2, 7) is a solution of one equation but not the other, so it is não a solution of the system

Incorrect. The point (2, 7) is a solution of both equations, so it is a solution of the system. The two lines are not identical, so it is the only solution.

C) (2, 7) is a solution of both equations, so it is a solution of the system

Correto. Substituting 2 for x and 7 for y gives true statements in both equations, so the point is a solution to both equations. That means it is a solution to the system. The two lines are not identical, so it is the only solution.

D) (2, 7) is não a solution of either equation, so it is não a solution to the system

Incorrect. Substituting 2 for x and 7 for y gives true statements in both equations, so the point lies on both lines. This means it is a solution to both equations. It is also the only solution to the system.

Graphing as a Solution Method

You can solve a system graphically. However, it is important to remember that you must check the solution, as it might not be accurate.

Find all solutions to the system yx = 1 and y + x = 3.

First, graph both equations on the same axes.

The two lines intersect once. That means there is only one solution to the system.

The point of intersection appears to be (1, 2).

Read the point from the graph as accurately as possible.

(1, 2) is a solution of y – x = 1.

(1, 2) is a solution of y + x = 3.

Check the values in both equations. Substitute 1 for x and 2 for y. (1, 2) is a solution.

(1, 2) is the solution to the system y – x = 1 and

Since (1, 2) is a solution for each of the equations in the system, it is the solution for the system.

How many solutions does the system y = 2x + 1

and −4x + 2y = 2 have?

First, graph both equations on the same axes.

The two equations graph as the same line. So every point on that line is a solution for the system of equations.

The system y = 2x + 1 and −4x + 2y = 2 has an infinite number of solutions.

Which point is the solution to the system xy = −1 and 2xy = − 4? The system is graphed correctly below.

Incorrect. Substituting ( − 1, 2) into each equation, you find that it is a solution for 2xy = − 4, but not for xy = − 1. This means it cannot be a solution for the system. The correct answer is ( − 3, − 2).

Incorrect. Substituting ( − 4, − 3) into each equation, you find that it is a solution for xy = − 1, but not for 2xy = − 4. This means it cannot be a solution for the system. The correct answer is ( − 3, − 2).

Correto. Substituting ( − 3, − 2) into each equation shows this point is a solution for both equations, so it is the solution for the system.

Incorrect. Substituting ( − 1, − 1) into each equation, you find that it is neither a solution for 2xy = − 4, nor for xy = − 1. This means it cannot be a solution for the system. The correct answer is ( − 3, − 2).

Graphing a Real-World Context

Graphing a system of equations for a real-world context can be valuable in visualizing the problem. Let’s look at a couple of examples.

In yesterday’s basketball game, Cheryl scored 17 points with a combination of 2-point and 3-point baskets. The number of 2-point shots she made was one greater than the number of 3-point shots she made. How many of each type of basket did she score?

x = the number of 2-point shots made

y = the number of 3-point shots made

Assign variables to the two unknowns – the number of each type of shots.

2x = the points from 2-point baskets

3y = the points from 3-point baskets

Calculate how many points are made from each of the two types of shots.

The number of points Cheryl scored (17) =

the points from 2-point baskets + the points from 3-point baskets.

Write an equation using information given in the problem.

The number of 2-point baskets (x) = 1 + the number of 3-point baskets (y)

Write a second equation using additional information given in the problem.

Now you have a system of two equations with two variables.

Graph both equations on the same axes.

The two lines intersect, so they have only one point in common. That means there is only one solution to the system.

The point of intersection appears to be (4, 3).

Read the point of intersection from the graph.

Check (4, 3) in each equation to see if it is a solution to the system of equations.

(4, 3) is a solution to the equation.

Cheryl made 4 two-point baskets and 3 three-point baskets.

Andres was trying to decide which of two mobile phone plans he should buy. One plan, TalkALot, charged a flat fee of $15 per month for unlimited minutes. Another plan, FriendFone, charged a monthly fee of $5 in addition to charging 20¢ per minute for calls.

To examine the difference in plans, he made a graph:

If he plans to talk on the phone for about 70 minutes per month, which plan should he purchase?

Look at the graph. TalkALot is represented as y = 15, while FriendFone is represented as

The number of minutes is listed on the x-axis. Quando x = 70, TalkALot costs $15, while FriendFone costs about $19.

Andres should buy theTalkALot plan.

Since TalkALot costs less at 70 minutes, Andres should buy that plan.

Note that if the estimate had been incorrect, a new estimate could have been made. Regraphing to zoom in on the area where the lines cross would help make a better estimate.

Paco and Lisel spent $30 going to the movies last night. Paco spent $8 more than Lisel.

Se P = the amount that Paco spent, and L = the amount that Lisel spent, which system of equations can you use to figure out how much each of them spent?

Incorrect. P + 8 = L reads: “Lisel spent $8 more than Paco.” The correct system is:

Correto. The total amount spent (P + L) is 30, so one equation should be P + L = 30. Paco spent 8 dollars more than Lisel, so L + 8 will give you the amount that Paco spent. This can be rewritten P = L + 8.

Incorrect. P + 30 = L reads: “Lisel spent $30 more than Paco.” The correct system is:

Incorrect. L + 30 = P reads: “Paco spent $30 more than Lisel.” The correct system is:

A system of linear equations is two or more linear equations that have the same variables. You can graph the equations as a system to find out whether the system has no solutions (represented by parallel lines), one solution (represented by intersecting lines), or an infinite number of solutions (represented by two superimposed lines). While graphing systems of equations is a useful technique, relying on graphs to identify a specific point of intersection is not always an accurate way to find a precise solution for a system of equations.


Watch our free video on how to solve Systems of Equations by Graphing. This video shows how to solve problems that are on our free Graphing Systems of Equations worksheet that you can get by submitting your email above.

Watch the free Solving Systems of Equations by Graphing video on YouTube here: How to Solve Systems of Equations by Graphing

Video Transcript:

This video is about solving systems of equations by graphing. You can get the worksheet we use in this video for free by clicking on the link in the description below.

The first problem in our solving systems of equations by graphing worksheet gives us y equals 2x minus 3 and then y equals negative 3x plus 2. We’re looking for the solution of these two equations and the system that they make. What that means is we are looking for the point of intersection of the two equations. For example this isn’t the answer but for example if we had our graph here and we had one equation that went this way and the other equation that when you graphed it went like this, the solution to that equation would be the point of intersection. It’s the point that satisfies both equations, which would be the point that the two equations cross.

In order to solve systems of equations by graphing you have to graph both equations and then you have to find the point of intersection on the graph and then that coordinate will be your answer. In order to find the point of intersection we have to first graph both equations these equations are written in slope-intercept form, which means you can use the slope and you can use the y-intercept to graph them.

In the case of the first one we know that slope-intercept form is y equals MX plus B, we know M is the slope because it’s always with the X and we know that B is the y-intercept. In the case of this equation M which is the slope is 2 and then B which is the y-intercept is negative 3, and we’re going to graph this equation in red. We have the y-intercept of negative 3 and the slope of 2. We will go down to negative 3 for the y-intercept, which is right here and then we will follow the slope which is 2 or the rise over the run, which is 2 over 1. You go up 2 and then over 1. We’ll start at our y-intercept and we’ll go up 2 over 1 I’ll go up 2 over one and so on.

Then we have to do the same thing for y equals negative 3x plus two. We have to find the slope and the y-intercept and then graph it. In this case the slope is negative 3 and then the y-intercept is positive 2. We’re going to start our y-intercept which is 2. We go up to 2 and then we’re going to graph with our slope which is negative 3. Negative 3 over 1 or down 3 and then over 1. We’ll start at our point we’ll go down 1 2 3 over 1 down 1 2 3 over 1 and we’ll graph then once we have a couple points we can go ahead and connect them. This is our second equation which is in blue.

Now the solution to our system here is going to be the point of intersection, which is right here. It’s the only point that would be true for both equations or that would satisfy the system. This point here is X is 1 Y is negative 1. Our solution to the system of equations is x equals 1 and y equals negative 1. And then in coordinates it would be 1 negative 1 and that’s the solution.

Number three on the solving systems by graphing worksheet gives us our system which in this case is y equals 4x plus 3 and the second equation is y equals negative x minus 2. We have to do the same thing we did in the other problem. We’re going to go ahead and we’re going to find the slope and the y-intercept for each equation. The slope for y equals 4x plus 3 is 4 and then the y-intercept is positive 3 and then for the second equation we have y equals negative x minus 2. Our slope is even though it’s negative x what that’s like saying is that it’s actually like saying negative 1x. It’s not written but there is a one right there. That’s really negative 1x and then our y-intercept is negative two.

We’re going to go ahead and graph these. I’m gonna graph the first one in red. Our y-intercept for the first one is 3. We will go to our y axis and we’ll plot 3 and then the slope is 4. We will go up 4 and then over 1. We’ll go up 1 2 3 4 over 1 4 over 1 would be right here you could also go backwards so we’ll go down 1 2 3 4 and then this way. You can go in the negative direction and then you can go ahead and graph that equation or draw our line.

I should say then we’re gonna do the same thing for the blue equation which is y equals negative x minus 2. We’ll start at negative 2 which is right here our slope is negative 1x. We will go down 1 this time and then over 1. We’re going to go down 1 over 1 down 1 over 1 which goes in this direction and then you can always go backwards. You go up and left instead of down and right we’ll go this way. And then once we have our points plotted we can go ahead and draw our line.

And then once again in order to solve systems of equations by graphing you have to find the point of intersection between the equations. Our point of intersection is right there. It’s the spot where the two lines cross, in this case that would be negative 1 negative 1. X is negative 1 Y is negative 1. The solution X would be negative 1 Y would be negative 1 and in the terms of coordinates the solution would be negative 1 negative 1.


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