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8.4: A Fórmula Quadrática


Começamos primeiro com a definição de um Equação quadrática.

Equação quadrática

Uma equação polinomial de segundo grau da forma [ax ^ 2 + bx + c = 0 nonumber ] onde (a ), (b ) e (c ) são quaisquer números reais, é chamada de equação quadrática em (x ).

O objetivo desta seção é desenvolver um atalho formular que fornecerá soluções exatas da equação quadrática ax2 + bx + c = 0. Começamos movendo o termo constante para o outro lado da equação.

[ begin {array} {rlrl} {a x ^ {2} + b x + c} & {= 0} & {} & color {Red} { text {Equação quadrática. }} {a x ^ {2} + b x} & {= -c} & {} & color {Vermelho} { text {Subtrai} c text {de ambos os lados. }} end {array} nonumber ]

Na preparação para completar o quadrado, dividimos a seguir ambos os lados da equação por (a ).

[x ^ {2} + dfrac {b} {a} x = - dfrac {c} {a} quad text {Divida ambos os lados por} a não numérico ]

Agora completamos o quadrado. Pegue a metade do coeficiente de (x ) e eleve ao quadrado o resultado.

( dfrac {1} {2} cdot dfrac {b} {a} = dfrac {b} {2 a} ) quando ao quadrado dá ( left ( dfrac {b} {2 a} direita) ^ {2} = dfrac {b ^ {2}} {4 a ^ {2}} )

Agora adicionamos ( dfrac {b ^ {2}} {4 a ^ {2}} ) a ambos os lados da equação.

[x ^ {2} + dfrac {b} {a} x + dfrac {b ^ {2}} {4 a ^ {2}} = - dfrac {c} {a} + dfrac {b ^ {2}} {4 a ^ {2}} quad color {Red} text {Add} b ^ {2} / left (4 a ^ {2} right) text {para ambos os lados. } enhum número ]

À esquerda, fatoramos o trinômio quadrado perfeito. À direita, fazemos frações equivalentes com um denominador comum.

[ begin {array} {ll} { left (x + dfrac {b} {2 a} right) ^ {2} = - dfrac {c} {a} cdot dfrac {4 a} { 4 a} + dfrac {b ^ {2}} {4 a ^ {2}}} & color {Vermelho} { text {À esquerda, fator. À direita,}} {} & color {Red} { text {crie frações equivalentes com}} { left (x + dfrac {b} {2 a} right) ^ {2} = - dfrac {4 ac} {4 a ^ {2}} + dfrac {b ^ {2}} {4 a ^ {2}}} & color {Vermelho} { text {Multiplique numeradores e denominadores. }} { left (x + dfrac {b} {2 a} right) ^ {2} = dfrac {b ^ {2} -4 ac} {4 a ^ {2}}} & color {Red} { text {Adicionar frações. }} end {array} nonumber ]

Quando obtemos a raiz quadrada, existem duas respostas.

[x + dfrac {b} {2 a} = pm sqrt { dfrac {b ^ {2} -4 ac} {4 a ^ {2}}} quad color {Vermelho} text {Dois raízes quadradas. } enhum número ]

Quando você tira a raiz quadrada de uma fração, você tira a raiz quadrada do numerador e do denominador.

[ begin {alinhados} x + dfrac {b} {2 a} & = pm dfrac { sqrt {b ^ {2} -4 ac}} { sqrt {4 a ^ {2}}} x + dfrac {b} {2 a} & = pm dfrac { sqrt {b ^ {2} -4 ac}} {2 a} quad color {Vermelho} text {Simplifique:} sqrt {4 a ^ {2}} = 2 a x & = - dfrac {b} {2 a} pm dfrac { sqrt {b ^ {2} -4 ac}} {2 a} quad color {Red} text {Subtrair} b / (2 a) text {de ambos os lados} end {alinhado} nonumber ]

Como ambas as frações têm o mesmo denominador, podemos somar e subtrair numeradores e colocar a resposta acima do denominador comum.

[x = dfrac {-b pm sqrt {b ^ {2} -4 a c}} {2 a} nonumber ]

A fórmula quadrática

A equação (a x ^ {2} + b x + c = 0 ) é chamada de equação quadrática. Suas soluções são dadas por [x = dfrac {-b pm sqrt {b ^ {2} -4 a c}} {2 a} nonumber ] chamado de Fórmula quadrática.

Uau! Felizmente, o resultado é muito mais fácil de aplicar do que de desenvolver! Vamos tentar alguns exemplos.

Exemplo ( PageIndex {1} )

Resolva para (x: x ^ {2} -4 x-5 = 0 )

Solução

O par inteiro (1, −5 ) tem produto (ac = −5 ) e soma (b = −4 ). Conseqüentemente, esses fatores trinomiais.

[ begin {array} {r} {x ^ {2} -4 x-5 = 0} {(x + 1) (x-5) = 0} end {array} nonumber ]

Agora podemos usar a propriedade zero product para escrever:

[ begin {array} {rlrl} {x + 1} & {= 0} & { text {or}} & {x-5} & {= 0} {x} & {= -1} & {} & {x} & {= 5} end {array} nonumber ]

Assim, as soluções são (x = −1 ) e (x = 5 ). Agora, vamos dar uma chance à fórmula quadrática. Primeiro, devemos comparar nossa equação com a equação quadrática e, em seguida, determinar os valores de (a ), (b ) e (c ).

[ begin {array} {l} {a x ^ {2} + b x + c = 0} {x ^ {2} -4 x-5 = 0} end {array} nonumber ]

Comparando as equações, vemos que (a = 1 ), (b = −4 ) e (c = −5 ). Vamos agora inserir esses números na fórmula quadrática. Primeiro, substitua cada ocorrência de (a ), (b ) e (c ) na fórmula quadrática com parênteses abertos.

[ begin {alinhado}
x & = dfrac {-b pm sqrt {b ^ {2} -4 a c}} {2 a} quad color {Vermelho} text {A fórmula quadrática. } x & = { dfrac {- ( quad) pm sqrt {( quad) ^ {2} -4 () ()}} {2 ()} quad quad color {Vermelho} text {Substitua} a, b, text {e} c text {com parênteses abertos. }} end {alinhado} nonumber ]

Agora podemos substituir: (1 ) por (a ), (- 4 ) por (b ) e (- 5 ) por (c ).

[ begin {array} {ll} {x = dfrac {- (- 4) pm sqrt {(- 4) ^ {2} -4 (1) (- 5)}} {2 (1) }} & color {Red} { text {Substituto:} 1 text {para} a, -4 text {para} b} {x = dfrac {4 pm sqrt {16 + 20} } {2}} & color {Red} { text {Simplifique. Expoente primeiro, depois}} {x = dfrac {4 pm sqrt {36}} {2}} & color {Red} { text {Add:} 16 + 20 = 36} {x = dfrac {4 pm 6} {2}} & color {Red} { text {Simplifique:} sqrt {36} = 6} end {array} nonumber ]

Observe que por causa do símbolo “mais ou menos”, temos duas respostas.

[ begin {array} {ll} {x = dfrac {4-6} {2}} & text {ou} & {x = dfrac {4 + 6} {2}} {x = dfrac {-2} {2}} && {x = dfrac {10} {2}} {x = -1} && {x = 5} end {array} nonumber ]

Observe que essas respostas correspondem às respostas encontradas usando o teste ac para fatorar o trinômio.

Exercício ( PageIndex {1} )

Resolva para (x: x ^ {2} -8x + 12 = 0 )

Responder

(2), (6)

Exemplo ( PageIndex {2} )

Resolva para (x: x ^ {2} = 5 x + 7 )

Solução

A equação é não linear, faça um lado zero.

[ begin {array} {rlrl} {x ^ {2}} & {= 5 x + 7} & {} & color {Red} { text {Equação original. }} {x ^ {2} -5 x-7} & {= 0} & {} & color {Vermelho} { text {Não linear. Faça um lado zero. }} end {array} nonumber ]

Compare (x ^ 2 −5x − 7 = 0 ) com (ax ^ 2 + bx + c = 0 ) e observe que (a = 1 ), (b = −5 ), e (c = −7 ). Substitua cada ocorrência de (a ), (b ) e (c ) com parênteses abertos para preparar a fórmula quadrática para substituição.

[ begin {array} {ll} {x = dfrac {-b pm sqrt {b ^ {2} -4 ac}} {2 a}} & color {Red} { text {O quadrático Fórmula. }} {x = dfrac {- () pm sqrt {() ^ {2} -4 () ()}} {2 ()}} & color {Vermelho} { text {Substituir} a, b, text {e} c text {com}} end {array} nonumber ]

Substitua (1 ) por (a ), (- 5 ) por (b ) e (- 7 ) por (c ).

[ begin {array} {ll} {x = dfrac {- (- 5) pm sqrt {(- 5) ^ {2} -4 (1) (- 7)}} {2 (1) }} & color {Red} { text {Substituto:} a = 1, b = -5, c = -7} {x = dfrac {5 pm sqrt {25 + 28}} {2 }} & color {Vermelho} { text {Expoentes e multiplicação primeiro. }} {x = dfrac {5 pm sqrt {53}} {2}} & color {Vermelho} { text {Simplifique. }} end {array} nonumber ]

Verificar: Use a calculadora para verificar cada solução (consulte a Figura ( PageIndex {1} )). Observe que ao armazenar ((5- sqrt {53}) / 2 ) em ( mathbf {X} ), devemos colocar o numerador entre parênteses.

Figura ( PageIndex {1} ): Verifique ((5- sqrt {53}) / 2 ) e ((5+ sqrt {53}) / 2 ).

Em cada imagem na Figura ( PageIndex {1} ), depois de armazenar a solução em ( mathbf {X} ), observe que os lados esquerdo e direito da equação original (x ^ 2 = 5 x + 7 ) produzem o mesmo número, verificando se nossas soluções estão corretas.

Exercício ( PageIndex {2} )

Resolva para (x: x ^ {2} +7 x = 10 )

Responder

((- 7 + sqrt {89}) / 2, (- 7- sqrt {89}) / 2 )

Além de colocar todas as raízes quadradas na forma radical simples, às vezes você precisa reduzir sua resposta aos termos mais baixos.

Exemplo ( PageIndex {3} )

Resolva para (x: 7 x ^ {2} -10 x + 1 = 0 )

Solução

Compare (7x ^ 2 −10x + 1 = 0 ) com (ax ^ 2 + bx + c = 0 ) e observe que (a = 7 ), (b = −10 ) e (c = 1 ). Substitua cada ocorrência de (a ), (b ) e (c ) com parênteses abertos para preparar a fórmula quadrática para substituição.

[ begin {alinhado}
x & = dfrac {-b pm sqrt {b ^ {2} -4 a c}} {2 a} quad color {Vermelho} text {A fórmula quadrática. }
x & = dfrac {- ( quad) pm sqrt {() ^ {2} -4 () ()}} {2 ()} quad color {Vermelho} text {Substituir} a, b , text {e} c text {com parênteses abertos.}
end {alinhado} nonumber ]

Substitua (7 ) por (a ), (- 10 ) por (b ) e (1 ) por (c ).

[ begin {array} {ll} {x = dfrac {- (- 10) pm sqrt {(- 10) ^ {2} -4 (7) (1)}} {2 (7)} } & color {Red} { text {Substitute:} 7 ​​text {for} a} {x = dfrac {10 pm sqrt {100-28}} {14}} & color {Red } { text {Expoente, então multiplicação. }} {x = dfrac {10 pm sqrt {72}} {14}} & color {Vermelho} { text {Simplifique. }} end {array} nonumber ]

Neste caso, observe que podemos fatorar um quadrado perfeito, a saber ( sqrt {36} ).

[ begin {array} {ll} {x = dfrac {10 pm sqrt {36} sqrt {2}} {14}} & color {Red} { sqrt {72} = sqrt { 36} sqrt {2}} {x = dfrac {10 pm 6 sqrt {2}} {14}} & color {Red} { text {Simplifique:} sqrt {36} = 6 } end {array} nonumber ]

Finalmente, observe que o numerador e o denominador são divisíveis por (2 ).

[ begin {alinhado}
x & = dfrac { tfrac {10 pm 6 sqrt {2}} {2}} { tfrac {14} {2}} quad color {Vermelho} text {Divida o numerador e o denominador por} 2.
x & = dfrac { tfrac {10} {2} pm tfrac {6 sqrt {2}} {2}} { tfrac {14} {2}} quad color {Red} text {Distribuir the} 2. x & = dfrac {5 pm 3 sqrt {2}} {7} quad color {Red} text {Simplifique. }
end {alinhado} nonumber ]

Simplificação alternativa: Em vez de dividir o numerador e o denominador por (2 ), alguns preferem fatorar e cancelar, como segue.

[ begin {array} {ll} {x = dfrac {10 pm 6 sqrt {2}} {14}} & color {Red} { text {Resposta original. }} {x = dfrac {2 (5 pm 3 sqrt {2})} {2 (7)}} & color {Vermelho} { text {Fatorar a} 2} {x = dfrac { not {2} (5 pm 3 sqrt {2})} { not {2} (7)}} & color {Red} { text {Cancelar. }} {x = dfrac {5 pm 3 sqrt {2}} {7}} & color {Red} { text {Simplifique. }} end {array} nonumber ]

Observe que obtemos a mesma resposta usando essa técnica.

Exercício ( PageIndex {3} )

Resolva para (x: 3 x ^ {2} +8 x + 2 = 0 )

Responder

((- 4+ sqrt {10}) / 3, (- 4- sqrt {10}) / 3 )

Exemplo ( PageIndex {4} )

Um objeto é lançado verticalmente e sua altura (y ) (em pés) acima do nível do solo é dada pela equação (y = 320 + 192t − 16t ^ 2 ), onde é o tempo (em segundos) que passou desde o seu lançamento. Quanto tempo deve passar após o lançamento antes que o objeto retorne ao nível do solo? Depois de colocar a resposta de forma simples e reduzir, use a calculadora para arredondar a resposta para o décimo de segundo mais próximo.

Solução

Quando o objeto retorna ao nível do solo, sua altura (y ) acima do nível do solo é de (y = 0 ) pés. Para encontrar a hora em que isso ocorre, substitua (y = 0 ) na fórmula (y = 320 + 192t − 16t ^ 2 ) e resolva (t ).

[ begin {array} {ll} {y = 320 + 192 t-16 t ^ {2}} & color {Red} { text {Equação original. }} {0 = 320 + 192 t-16 t ^ {2}} & color {Red} { text {Set} y = 0} end {array} nonumber ]

Cada um dos coeficientes é divisível por (- 16 ).

[0 = t ^ {2} -12 t-20 quad color {Red} text {Divide ambos os lados por} -16 nonumber ]

Compare (t ^ 2−12t − 20 = 0 ) com (em ^ 2 + bt + c = 0 ) e observe que (a = 1 ), (b = −12 ) e (c = −20 ). Substitua cada ocorrência de (a ), (b ) e (c ) com parênteses abertos para preparar a fórmula quadrática para substituição. Observe que estamos resolvendo t neste momento, não (x ).

[ begin {array} {ll} {x = dfrac {-b pm sqrt {b ^ {2} -4 ac}} {2 a}} & color {Red} { text {O quadrático Fórmula. }} {x = dfrac {- () pm sqrt {() ^ {2} -4 () ()}} {2 ()}} & color {Vermelho} { text {Substituir} a, b, text {e} c text {com parênteses abertos. }} end {array} nonumber ]

Substitua (1 ) por (a ), (- 12 ) por (b ) e (- 20 ) por (c ).

[ begin {array} {ll} {t = dfrac {- (- 12) pm sqrt {(- 12) ^ {2} -4 (1) (- 20)}} {2 (1) }} & color {Red} { text {Substitute:} 1 text {for} a} {t = dfrac {12 pm sqrt {144 + 80}} {2}} & color { Vermelho} { text {Expoente, depois multiplicação. }} {t = dfrac {12 pm sqrt {224}} {2}} & color {Red} { text {Simplifique. }} end {array} nonumber ]

A resposta não está na forma simples, pois podemos fatorar ( sqrt {16} ).

[ begin {array} {ll} {t = dfrac {12 pm sqrt {16} sqrt {14}} {2}} & color {Red} { sqrt {224} = sqrt { 16} sqrt {14}} {t = dfrac {12 pm 4 sqrt {14}} {2}} & color {Red} { text {Simplifique:} sqrt {16} = 4 } end {array} nonumber ]

Use a propriedade distributiva para dividir ambos os termos no numerador por (2 ).

[ begin {array} {ll} {t = dfrac {12} {2} pm dfrac {4 sqrt {14}} {2}} & color {Red} { text {Divida os dois termos por} 2} {t = 6 pm 2 sqrt {14}} & color {Red} { text {Simplifique}} end {array} nonumber ]

Assim, temos duas soluções, (t = 6-2 sqrt {14} ) e (t = 6 + 2 sqrt {14} ). Use sua calculadora para encontrar aproximações decimais e arredonde para o décimo mais próximo.

Figura ( PageIndex {2} ): Usando a calculadora para encontrar aproximações decimais

[t approx-1.5,13.5 nonumber ]

O tempo negativo é irrelevante, portanto, para o décimo de segundo mais próximo, o objeto leva aproximadamente (13,5 ) segundos para retornar ao nível do solo.

Exercício ( PageIndex {4} )

Um objeto é lançado verticalmente e sua altura (y ) (em pés) acima do nível do solo é dada pela equação (y = 160 + 96t − 16t ^ 2 ), onde (t ) é o tempo (em segundos) que se passaram desde o seu lançamento. Quanto tempo deve passar após o lançamento antes que o objeto retorne ao nível do solo?

Responder

(3+ sqrt {19} aproximadamente 7,4 ) segundos

Exemplo ( PageIndex {5} )

Arnie sobe em sua bicicleta ao meio-dia e começa a pedalar para o norte a uma velocidade constante de (12 ) milhas por hora. Às 13 horas, Bárbara sobe em sua bicicleta no mesmo ponto de partida e começa a pedalar para o leste a uma velocidade constante de (8 ) milhas por hora. A que horas do dia eles estarão separados por (50 ) milhas (como a multidão)? Não se preocupe com o formulário simples, apenas informe a hora do dia, corrigindo até o minuto mais próximo.

Solução

No momento, eles estão separados por (50 ) milhas, deixe (t ) representar o tempo que Arnie está pedalando desde o meio-dia. Como Bárbara começou às 13h, ela está cavalgando há uma hora a menos do que Arnie. Portanto, deixe (t − 1 ) representar o número de horas que Bárbara cavalgou no momento em que eles estão separados por (50 ) milhas.

Agora, se Arnie tem viajado a uma taxa constante de (12t ) milhas por hora por (t ) horas, então ele viajou uma distância de (12t ) milhas. Como Bárbara está pedalando a uma taxa constante de (8 ) milhas por hora por (t − 1 ) horas, ela viajou uma distância de (8 (t − 1) ) milhas.

Figura ( PageIndex {3} ): (50 ) milhas de distância.

A distância e a direção percorrida por Arnie e Barbara estão marcadas na Figura ( PageIndex {3} ). Observe que temos um triângulo retângulo, então os lados do triângulo devem satisfazer o teorema de Pitágoras. Isso é,

[(12 t) ^ {2} + [8 (t-1)] ^ {2} = 50 ^ {2} quad color {Vermelho} text {Use o Teorema de Pitágoras. } enhum número ]

Distribua o (8 ).

[(12 t) ^ {2} + (8 t-8) ^ {2} = 50 ^ {2} quad color {Red} text {Distribua o} 8 nonumber ]

Quadrado cada termo. Use ((a − b) ^ 2 = a ^ 2 −2ab + b ^ 2 ) para expandir ((8t − 8) ^ 2 ).

[ begin {alinhados} 144 t ^ {2} +64 t ^ {2} -128 t + 64 & = 2500 quad color {Vermelho} text {Quadrado de cada termo. } 208 t ^ {2} -128 t + 64 & = 2500 quad color {Vermelho} text {Simplifique:} 144 t ^ {2} +64 t ^ {2} = 208 t ^ {2} end {alinhado} nonumber ]

A equação resultante não é linear. Faça um lado igual a zero.

[ begin {array} {rlrl} {208 t ^ {2} -128 t-2436} & {= 0} & {} & color {Red} { text {Subtraia} 2500 text {de ambos os lados . }} {52 t ^ {2} -32 t-609} & {= 0} & {} & color {Vermelho} { text {Divida ambos os lados por} 4.} End {array} nonumber ]

Compare (52t ^ 2 −32t − 609 = 0 ) com (em ^ 2 + bt + c = 0 ) e observe que (a = 52 ), (b = −32 ) e (c = −609 ). Observe que estamos resolvendo para (t ) desta vez, não para (x ).

[ begin {array} {ll} {x = dfrac {-b pm sqrt {b ^ {2} -4 ac}} {2 a}} & color {Red} { text {O quadrático Fórmula. }} {x = dfrac {- () pm sqrt {() ^ {2} -4 () ()}} {2 ()}} & color {Vermelho} { text {Substituir} a, b, text {e} c text {com}} end {array} nonumber ]

Substitua (52 ) por (a ), (- 32 ) por (b ) e (- 609 ) por (c ).

[ begin {align *} t & = dfrac {- (- 32) pm sqrt {(- 32) ^ {2} -4 (52) (- 609)}} {2 (52)} quad color {Red} text {Substitute:} 52 text {for} a t & = dfrac {32 pm sqrt {1024 + 126672}} {104} quad color {Red} text {Expoente, então multiplicação.} t & = dfrac {32 pm sqrt {127696}} {104} quad color {Vermelho} text {Simplifique. } end {align *} nonumber ]
Agora, como a solicitação é para um tempo aproximado, não vamos nos preocupar com forma simples e redução, mas vamos imediatamente para a calculadora para aproximar este último resultado (ver Figura ( PageIndex {4} )). Portanto, Arnie está cavalgando há aproximadamente (3.743709336 ) horas. Para alterar a parte fracionária (0.743709336 ) horas para minutos, multiplique por (60 ) min / h.

Figura ( PageIndex {4} ): Tempo aproximado de viagem de Arnie.

[0.743709336 mathrm {hr} = 0.743709336 mathrm {hr} times dfrac {60 mathrm {min}} { mathrm {hr}} = 44.62256016 mathrm {min} nonumber ]

Ao arredondar para o minuto mais próximo, Arnie está cavalgando há aproximadamente (3 ) horas e (45 ) minutos. Como Arnie começou a pedalar ao meio-dia, o horário em que ele e Bárbara estão separados por (50 ) milhas é aproximadamente 15:45.

Exercício ( PageIndex {5} )

Às 6h, um trem de carga passa pela junção Sagebrush rumo ao oeste a (40 ) milhas por hora. Às 8h, um trem de passageiros passa pela junção rumo ao sul a (60 ) milhas por hora. Em que hora do dia, com precisão de minuto, os dois trens estarão separados por (180 ) milhas?

Responder

9:42


Fórmula quadrática

A fórmula quadrática é uma fórmula usada para resolver equações quadráticas. É a solução para a equação quadrática geral. Quadráticos são polinômios cujo termo de maior potência tem um grau 2.

Equação quadrática geral:

a, bec são constantes, onde a não pode ser igual a 0. O ± indica que a fórmula quadrática possui duas soluções. Cada um deles é denominado raiz. Geometricamente, essas raízes representam os pontos nos quais uma parábola cruza o eixo x. Assim, a fórmula quadrática pode ser usada para determinar os zeros de qualquer parábola, bem como dar o eixo de simetria da parábola.

Se um quadrático não tiver o termo bx ou c, defina b ou c igual a 0. Se o quadrático não contém o termo ax 2, você não pode usar a fórmula quadrática porque o denominador da fórmula quadrática será igual a 0. Nesse caso, você pode usar a álgebra para encontrar os zeros.

Usando a equação quadrática

A fórmula quadrática envolve principalmente inserir números na equação, mas existem algumas coisas que você precisa saber. A parte da fórmula dentro do radical é chamada de discriminante:

O discriminante nos diz quantas soluções a quadrática tem.

Além disso, observe o símbolo ±. Isso significa que quando o discriminante é positivo, o quadrático terá duas soluções - uma onde você adiciona a raiz quadrada do discriminante e outra onde você a subtrai.

Abaixo está um exemplo de uso da fórmula quadrática:

Lembrando a equação quadrática

Embora a equação quadrática possa parecer à primeira vista difícil de lembrar, o uso repetido pode ajudar. Se você conhece a melodia de "Pop vai à doninha", também pode cantar a equação quadrática na melodia para ajudá-lo a se lembrar da equação quadrática. A música vai:

"x é igual a b negativo, mais ou menos a raiz quadrada de b ao quadrado menos 4ac em 2a."


A Equação Quadrática

Rotule o ponto do vértice, use o eixo do sym.

Observação:
a & gt 1, então a parábola é _________
a & lt 1, então a parábola é _________
a & lt 0, então a parábola é _________

O gráfico de f (x) = a (x & # 8211 h) 2

Identifique o ponto do vértice, use o eixo do símbolo.

Observação:
(x + h) h é neg, então parábola _________
(x & # 8211h) h é pos, então parábola _________
O efeito de h é _________

O gráfico de f (x) = a (x & # 8211 h) 2 + k

Rotule o ponto do vértice, use o eixo do sym.

Observação:
O vértice é _________
A equação do A.O.S. _________
O efeito de k _________

Representando graficamente y = a (x & # 8211 h) 2 + k

Gráfico:

Resuma a forma do vértice

y = a (x & # 8211 h) 2 + k é a forma do vértice.

8.7 Mais sobre Gráficos Quadráticos

Precisa saber
& # 9642 Revise o preenchimento do quadrado
& # 9642 Converter em forma de vértice
(não para aprender, mas para apreciar a fórmula de atalho)
& # 9642 Vértice Fórmula & # 8211 Atalho
& # 9642 Encontrar interceptações
& # 9642 Desenhando o gráfico de um quadrático

Completando o quadrado

y = a (x & # 8211 h) 2 + k
Qual é o ponto do vértice? ____________

Converter quadráticas em forma de vértice

Se a quadrática estiver na forma padrão, não temos informações.
Precisamos mudar a forma para a forma de vértice (coisa quadrada).

g (x) = x 2 & # 8211 10x + 21
f (x) = 4x 2 + 8x - 3

Ponto de vértice e atalho # 8211 (jeito fácil)

Se f (x) = ax 2 + bx + c, então (h, k) = ___________
que significa _____________________________.
1. Encontre h com a fórmula
2. Encontre k inserindo h na função.

g (x) = x 2 & # 8211 10x + 21
f (x) = 4x 2 + 8x & # 8211 3

Lembrar:
Ponto de interceptação X = ponto onde o gráfico cruza o eixo x. (a, 0)
Encontre o ponto de interceptação x, deixando y = 0.

Ponto de interceptação Y = ponto onde o gráfico cruza o eixo y. (0, b)
Encontre o ponto de interceptação y deixando x = 0.
Exemplo:


Aula de matemática da Sra. McCullough

fiz o número 25 no nosso dever de casa, mas não acho que acertei. você pode me dizer se eu errei?

Não tenho certeza se você pode entender isso ou não. desculpa

o que eu faço se o & quota & quot no problema não tem um exponet?

Oi Davis! Sobre seu primeiro comentário. você configurou corretamente, mas lembre-se que se você tiver um número negativo dentro de sua raiz quadrada, isso significa que não há soluções reais (porque não podemos tirar a raiz quadrada de um número negativo). Sobre seu segundo comentário. se & quota & quot não tem um expoente de 2, então não é realmente & quota & quot. Você terá que reorganizar os termos para que fique em ordem (ax ^ 2 + bx + c = 0), mas a qual problema você está se referindo?

Eu estava esperando que alguém pegasse isso. é uma pergunta capciosa. Não é quadrático, então você pode apenas resolver para x e você terá apenas uma resposta.

oh, obrigado Sra. McCullough isso é legal da sua parte. então tudo que eu preciso fazer é resolver para x?


Fórmula quadrática

Inserindo os valores de a, b e c, você obterá os valores desejados de x.

Se a expressão sob o sinal da raiz quadrada (b 2 - 4 a c, também chamada de discriminante) for negativa, não há soluções reais. (Você precisa de números complexos para lidar com este caso adequadamente. Eles geralmente são ensinados no Álgebra 2.)

Se o discriminante for zero, há apenas uma solução. Se o discriminante for positivo, o símbolo ± significa que você obteve duas respostas.

Resolva a equação quadrática.

Aqui, a = 1, b = - 1 e c = - 12. Substituindo, obtemos:

x = - (- 1) ± (- 1) 2 - 4 (1) (- 12) 2 (1)

O discriminante é positivo, então temos duas soluções:

Neste exemplo, o discriminante era 49, um quadrado perfeito, então terminamos com respostas racionais. Freqüentemente, ao usar a fórmula quadrática, você acaba com respostas que ainda contêm radicais.

Resolva a equação quadrática.

Aqui, a = 3, b = 2 e c = 1. Substituindo, obtemos:

x = - 2 ± 2 2 - 4 (3) (1) 2 (3)

O discriminante é negativo, então essa equação não tem soluções reais.

Resolva a equação quadrática.

Aqui, a = 1, b = - 4 e c = 2. Substituindo, obtemos:

x = - (- 4) ± (- 4) 2 - 4 (1) (2) 2 (1) = 4 ± 16 - 8 2 = 4 ± 8 2

x = 4 ± 4 ⋅ 2 2 = 4 ± 2 2 2 = 2 (2 ± 2) 2 = 2 ± 2

O discriminante é positivo, mas não um quadrado perfeito, então temos duas soluções reais:


Álgebra Aplicada: Modelagem e funções

Nem toda equação quadrática pode ser resolvida por fatoração ou extração de raízes. Por exemplo, a expressão (x ^ 2 + x - 1 ) não pode ser fatorada, portanto, a equação (x ^ 2 + x - 1 = 0 ) não pode ser resolvida por fatoração. Para outras equações, a fatoração pode ser difícil. Nesta seção, aprendemos dois métodos que podem ser usados ​​para resolver qualquer equação quadrática.

Subseção Quadrática da Fórmula

Em vez de completar o quadrado cada vez que resolvemos uma nova equação quadrática, podemos completar o quadrado da equação quadrática geral,

e obter uma fórmula para as soluções de qualquer equação quadrática.

A fórmula quadrática.

As soluções da equação (ax ^ 2 + bx + c = 0 text

Esta fórmula expressa as soluções de uma equação quadrática em termos de seus coeficientes. (A prova da fórmula é considerada nos problemas do dever de casa.) O símbolo ( pm text <,> ) lido mais ou menos, é usado para combinar as duas equações

Para resolver uma equação quadrática usando a fórmula quadrática, tudo o que temos que fazer é substituir os coeficientes (a text <,> ) (b text <,> ) e (c ) na fórmula.

Exemplo 6.18.

Escreva a equação na forma padrão como

Substitua ( alert <2> ) por (a text <,> ) ( alert <-4> ) por (b text <,> ) e ( alert <1> ) para (c ) na fórmula quadrática, então simplifique.

Usando uma calculadora, descobrimos que as soluções são aproximadamente (1.707 ) e (0.293 text <.> )

Também podemos verificar que as interceptações (x ) - do gráfico de (y = 2x ^ 2 - 4x + 1 ) são aproximadamente (1,707 ) e (0,293 texto <,> ) conforme mostrado abaixo de.

Ponto de verificação 6.19.

Use a fórmula quadrática para resolver (

Aplicativos de subseção

Agora vimos quatro métodos algébricos diferentes para resolver equações quadráticas:

  1. Factoring
  2. Extração de raízes
  3. Completando o quadrado
  4. Fórmula quadrática

A fatoração e a extração de raízes são relativamente rápidas e simples, mas não funcionam em todas as equações quadráticas. A fórmula quadrática funcionará em qualquer equação quadrática.

Exemplo 6.20.

Os proprietários de uma creche planejam colocar uma área de recreação dividida contra a parede posterior de seu prédio, conforme mostrado abaixo. Eles têm (300 ) pés de cerca de estacas e gostariam que a área total do playground fosse (6000 ) pés quadrados. Eles podem cercar o playground com a cerca que possuem e, em caso afirmativo, quais devem ser as dimensões do playground?

Suponha que a largura da área de jogo seja de (x ) pés. Como existem três seções de cerca ao longo da largura da área de jogo, isso deixa (300 - 3x ) pés de cerca em seu comprimento. A área da área de jogo deve ser de (6000 ) pés quadrados, então temos a equação

Esta é uma equação quadrática. Na forma padrão,

O lado esquerdo não pode ser fatorado, então usamos a fórmula quadrática com (a = alert <1> text <,> ) (b = alert <-100> text <,> ) e ( c = alert <2000> text <.> )

Simplificando a última fração, descobrimos que (x approx 72,35 ) ou (x approx 27,65 text <.> ) Ambos os valores fornecem soluções para o problema.

  • Se a largura da área de jogo for (72,35 ) pés, o comprimento será (300 - 3 (72,35) text <,> ) ou (82,95 ) pés.
  • Se a largura for (27,65 ) pés, o comprimento será (300 - 3 (27,65) text <,> ) ou (217,05 ) pés.
Ponto de verificação 6.21.

Na Investigação 6.1, consideramos a altura de uma bola de beisebol, dada pela equação

Encontre duas vezes quando a bola está a uma altura de (20 ) pés. Dê suas respostas com duas casas decimais.

Às vezes, é útil resolver uma equação quadrática para uma variável em termos das outras.

Exemplo 6.22.

Primeiro escrevemos a equação na forma padrão como uma equação quadrática na variável (x text <.> )

Expressões em (y ) são tratadas como constantes em relação a (x text <,> ) de forma que (a = alert <1> text <,> ) (b = alert <- y> text <,> ) e (c = alert text <.> ) Substitua essas expressões na fórmula quadrática.

Ponto de verificação 6.23.

Subseção Introdução aos números complexos

Você sabe que nem todas as equações quadráticas têm soluções reais.

não tem (x ) - intercepta (como mostrado à direita), e a equação

Ainda podemos usar o preenchimento do quadrado ou a fórmula quadrática para resolver a equação.

Exemplo 6.24.

Resolva a equação (x ^ 2 - 2x + 2 = 0 ) usando a fórmula quadrática.

Substituímos (a = 1 text <,> ) (b = -2 text <,> ) e (c = 2 ) na fórmula quadrática para obter

Como ( sqrt <-4> ) não é um número real, a equação (x ^ 2 - 2x + 2 = 0 ) não tem soluções reais.

Ponto de verificação 6.25.

Resolva a equação (x ^ 2 - 6x + 13 = 0 ) usando a fórmula quadrática.

Números imaginários de subsubseção

Embora as raízes quadradas de números negativos como ( sqrt <-4> ) não sejam números reais, elas ocorrem com frequência na matemática e em suas aplicações.

Os matemáticos começaram a trabalhar com raízes quadradas de números negativos no século XVI, em suas tentativas de resolver equações quadráticas e cúbicas. René Descartes deu-lhes o nome de números imaginários, o que refletia a desconfiança com que os matemáticos os viam na época. Hoje, no entanto, esses números são bem compreendidos e usados ​​rotineiramente por cientistas e engenheiros.

Começamos definindo um novo número, (i text <,> ) cujo quadrado é (- 1 text <.> )

Unidade Imaginária.
Cuidado 6.26.

A letra (i ) usada desta forma não é uma variável, é o nome de um número específico e, portanto, é uma constante.

A raiz quadrada de qualquer número negativo pode ser escrita como o produto de um número real e (i text <.> ) Por exemplo,

ou ( sqrt <-4> = 2i text <.> ) Qualquer número que seja o produto de (i ) e um número real é denominado um.

Números imaginários.

Exemplos de números imaginários são

Exemplo 6.27.

Escreva cada radical como um número imaginário.

  1. ( displaystyle begin[t] sqrt <-25> amp = sqrt <-1> sqrt <25> amp = i sqrt <25> = 5i end)
  2. ( displaystyle begin[t] 2 sqrt <-3> amp = 2 sqrt <-1> sqrt <3> amp = 2i sqrt <3> end)
Ponto de verificação 6.28.

Escreva cada radical como um número imaginário.

Nota 6.29.

Cada número real negativo tem duas raízes quadradas imaginárias, (i sqrt ) e (- i sqrt text <,> ) porque

Por exemplo, as duas raízes quadradas de (- 9 ) são (3i ) e (- 3i text <.> )

Números complexos de subsubseção

Considere a equação quadrática

Usando a fórmula quadrática para resolver a equação, encontramos

Se agora substituirmos ( sqrt <-16> ) por (4i text <,> ), teremos

As duas soluções são (1 + 2i ) e (1 - 2i text <.> ) Esses números são exemplos de.

Números complexos.

A pode ser escrito na forma (a + bi text <,> ) onde (a ) e (b ) são números reais.

Exemplos de números complexos são

Em um número complexo (a + bi text <,> ) (a ) é chamado de, e (b ) é chamado de. Todos os números reais também são números complexos (com a parte imaginária igual a zero). Um número complexo cuja parte real é igual a zero é chamado de número.

Exemplo 6.30.

Escreva as soluções do Exemplo 6.24, ( dfrac <2 pm sqrt <-4>> <2> text <,> ) como números complexos.

Porque ( sqrt <-4> = sqrt <-1> sqrt <4> = 2i text <,> ) temos ( dfrac <2 pm sqrt <-4>> <2> = dfrac <2 pm2i> <2> text <,> ) ou (1 pm i text <.> ) As soluções são (1 + i ) e (1-i text <.> )

Ponto de verificação 6.31.

Use a extração de raízes para resolver ((2x + 1) ^ 2 + 9 = 0 text <.> ) Escreva suas respostas como números complexos.

Subseção Aritmética de Números Complexos

Todas as propriedades dos números reais listadas na Seção A.13 de Atualização de habilidades de álgebra também são verdadeiras para os números complexos. Podemos realizar operações aritméticas com números complexos.

Adicionamos e subtraímos números complexos combinando suas partes reais e imaginárias separadamente. Por exemplo,

Somas e diferenças de números complexos.
Exemplo 6.32.

Subtraia: ((8 - 6i) - (5 + 2i) text <.> )

Combine as partes reais e imaginárias.

Ponto de verificação 6.33.

Subtraia: ((- 3 + 2i) - (-3 - 2i) text <.> )

Resumo da seção da subseção

Vocabulário de subseção

Procure as definições dos novos termos no Glossário.

Sub-subsecção CONCEITOS

O quadrado do binômio é um,

Para resolver uma equação quadrática completando o quadrado.

Escreva a equação no formato padrão.

Divida os dois lados da equação pelo coeficiente do termo quadrático e subtraia o termo constante de ambos os lados.

Complete o quadrado do lado esquerdo:

  1. Multiplique o coeficiente do termo de primeiro grau pela metade e eleve ao quadrado o resultado.
  2. Adicione o valor obtido em (a) a ambos os lados da equação.

Escreva o lado esquerdo da equação como o quadrado de um binômio. Simplifique o lado direito.

Use a extração de raízes para finalizar a solução.

A fórmula quadrática.

As soluções da equação (ax ^ 2 + bx + c = 0 text

Temos quatro métodos para resolver equações quadráticas: extração de raízes, fatoração, preenchimento do quadrado e uso da fórmula quadrática. Os primeiros dois métodos são mais rápidos, mas não funcionam em todas as equações. Os dois últimos métodos funcionam em qualquer equação quadrática.

Sub-subsecção QUESTÕES DE ESTUDO

Cite quatro métodos algébricos para resolver uma equação quadrática.

Give an example of a quadratic trinomial that is the square of a binomial.

What number must be added to (x^2 - 26x) to make it the square of a binomial?

After completing the square, how do we finish solving the quadratic equation?

What is the first step in solving the equation (2x^2 - 6x = 5) by completing the square?

Subsubsection SKILLS

Practice each skill in the Homework problems listed.

Solve quadratic equations by completing the square: #3–24

Solve quadratic equations by using the quadratic formula: #27–36

Solve problems by writing and solving quadratic equations: #37–44

Exercises Homework 6.2

For Problems 1-2, complete the square and write the result as the square of a binomial.

For Problems 3-18, solve by completing the square.

For Problems 19-24, solve by completing the square. Your answers will involve (a ext<,>) (b ext<,>) or (c ext<.>)

Write an expression for the area of the square in the figure.

Express the area as a polynomial.

Divide the square into four pieces whose areas are given by the terms of your answer to part (b).

Write an expression for the area of the shaded region in the figure.

Express the area in factored form.

By making one cut in the shaded region, rearrange the pieces into a rectangle whose area is given by your answer to part (b).

For Problems 23-36, solve using the quadratic formula. Round your answers to three decimal places.

A car traveling at (s) miles per hour on a dry road surface requires approximately (d) feet to stop, where (d) is given by the function

Make a table showing the stopping distance, (d ext<,>) for speeds of (10 ext<,>) (20 ext<,>) (ldots) , (100) miles per hour. (Use the feature of your calculator.)

Graph the function for (d) in terms of (s ext<.>) Use your table values to help you choose appropriate window settings.

Write and solve an equation to answer the question: If a car must be able to stop in (50) feet, what is the maximum safe speed it can travel?

A car traveling at (s) miles per hour on a wet road surface requires approximately (d) feet to stop, where (d) is given by the function

Make a table showing the stopping distance, (d ext<,>) for speeds of (10 ext<,>) (20 ext<,>) (ldots) , (100) miles per hour. (Use the feature of your calculator.)

Graph the function for (d) in terms of (s ext<.>) Use your table values to help you choose appropriate window settings.

Insurance investigators at the scene of an accident find skid marks (100) feet long leading up to the point of impact. Write and solve an equation to discover how fast the car was traveling when it put on the brakes. Verify your answer on your graph.

A skydiver jumps out of an airplane at (11,000) feet. While she is in free-fall, her altitude in feet (t) seconds after jumping is given by the function

Make a table of values showing the skydiver's altitude at (5)-second intervals after she jumps from the airplane. (Use the feature of your calculator.)

Graph the function. Use your table of values to choose appropriate window settings.

If the skydiver must open her parachute at an altitude of (1000) feet, how long can she free-fall? Write and solve an equation to find the answer.

If the skydiver drops a marker just before she opens her parachute, how long will it take the marker to hit the ground? (Dica: The marker continues to fall according to the equation given above.)

Find points on your graph that correspond to your answers to parts (c) and (d).

A high diver jumps from the (10)-meter springboard. His height in meters above the water (t) seconds after leaving the board is given by the function

Make a table of values showing the diver's altitude at (0.25)-second intervals after he jumps from the airplane. (Use the feature of your calculator.)

Graph the function. Use your table of values to choose appropriate window settings.

How long is it before the diver passes the board on the way down?

How long is it before the diver hits the water?

Find points on your graph that correspond to your answers to parts (c) and (d).

A dog trainer has (100) meters of chain link fence. She wants to enclose (250) square meters in three pens of equal size, as shown in the figure.

Let (l) and (w) represent the length and width, respectively, of the entire area. Write an equation about the amount of chain link fence.

Solve your equation for (l) in terms (w ext<.>)

Write and solve an equation in (w) for the total area enclosed.

Find the dimensions of each pen.

An architect is planning to include a rectangular window topped by a semicircle in his plans for a new house, as shown in the figure. In order to admit enough light, the window should have an area of (120) square feet. The architect wants the rectangular portion of the window to be (2) feet wider than it is tall.

Let (x) stand for the horizontal width of the window. Write expressions for the height of the rectangular portion and for the radius of the semicircular portion.

Write an expression for the total area of the window.

Write and solve an equation to find the width and overall height of the window.

When you look down from a height, say a tall building or a mountain peak, your line of sight is tangent to the Earth at the horizon, as shown in the figure.

Suppose you are standing on top of the Petronas Tower in Kuala Lumpur, (1483) feet high. How far can you see on a clear day? (You will need to use the Pythagorean theorem and the fact that the radius of the Earth is (3960) miles. Do not forget to convert the height of the Petronas Tower to miles.)

How tall a building should you stand on in order to see (100) miles?

If the radius of the Earth is (6370) kilometers, how far can you see from an airplane at an altitude of (10,000) meters? (Dica: See Problem 43.)

b. How high would the airplane have to be in order for you to see a distance of (10) kilometers?

For Problems 45-52, use the quadratic formula to solve each equation for the indicated variable.


In order to sketch the graph of the quadratic equation, we follow these steps :

(a) Check if `a > 0` or `a < 0` to decide if it is U-shaped or n-shaped.

(b) The Vertex: O x-coordinate of the minimum point (or maximum point) is given by

(which can be shown using completing the square method, which we met earlier).

We substitute this x-value into our quadratic function (the y expression). Then we will have the (x, y) coordinates of the minimum (or maximum) point. Isso é chamado de vértice of the parabola.

(c) The coordinates of the y-intercept (substitute `x = 0`). This is always easy to find!

(d) The coordinates of the x-intercepts (substitute `y = 0` and solve the quadratic equation), as long as they are easy to find.

Exemplo 1

Sketch the graph of the function `y = 2x^2&minus 8x + 6`

We first identify that `a = 2`, `b = -8` and `c = 6`.

Step (a)

Since `a = 2`, `a > 0` hence the function is a parabola with a minimum point and it opens upwards (U-shaped)

Step (b)

O x co-ordinate of the minimum point is:

O y value of the minimum point is

So the minimum point is `(2, -2)`

Step (c)

O y-intercept is found by substituting `x = 0` into the y expression.

So `(0, 6)` is the y-intercept.

Step (d)

O x-intercepts are found by setting `y = 0` and solving:

`2x^2 - 8x + 6 = 0`

`2(x^2 - 4x + 3) = 0`

`2(x - 1)(x - 3) = 0`

So `x = 1`, or `x = 3`.


SOLVING QUADRATIC EQUATIONS BY QUADRATIC FORMULA

Solve the quadratic equation using quadratic formula :

The given quadratic equation is in the form of 

Substitute the above values of a, b and c into the quadratic formula. 

Therefore, the solution is

Solve the quadratic equation using quadratic formula :

The given quadratic equation is in the form of 

Substitute the above values of a, b and c into the quadratic formula. 

Therefore, the solution is

Solve the quadratic equation using quadratic formula :

The given quadratic equation is in the form of 

Substitute the above values of a, b and c into the quadratic formula. 

Therefore, the solution is

Solve the quadratic equation using quadratic formula :

Write the given quadratic equation in the form :

Substitute the above values of a, b and c into the quadratic formula. 

Therefore, the solution is

Solve the quadratic equation using quadratic formula :

Write the given quadratic equation in the form :

Substitute the above values of a, b and c into the quadratic formula. 

Therefore, the solution is

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News from Mathnasium of Pflugerville

For those students in high school, and even some younger, we are familiar with the quadratic formula, "the opposite of b, plus or minus the square root of b squared minus 4ac, all divided by 2a". This formula allows you to find the root of quadratic equations of the form: ax 2 + bx + c = 0.

Where did this formula come from? Why did older civilizations need to solve equations of this form in the first place? The following article, taken from h2g2, explores the origins of this famous formula.

Original article: https://h2g2.com/approved_entry/A2982567

This is the quadratic formula, as it is taught to most of us in school:

x1,2=(-b/2uma) ± (1/2uma)(b 2 -4ac) 1/2

gives the solution to a generic quadratic equation of the form:

ax 2 + bx + c = 0

The development, or derivation, of a mathematical idea is usually as logical, deducible and rectilinear as possible. This brings about the common notion that its historical development is similarly as continuous, logical and rectilinear: one mathematician picking up an idea where another mathematician left it.

Using the quadratic formula as an example, it will be shown that the historical development of mathematics is not at all rectilinear. Instead, parallel developments, interconnections and confluences can be found, which - to complicate this stuff even further - are also interrelated with social, cultural, political and religious matters.

The so-called quadratic formula has been derived in the course of a few millennia to its current form, which is taught to most of us in school. This Entry will strictly concentrate on the historical development of the quadratic formula. Some mathematical background may be of use to fully understand the described development, however the maths used in this Entry will be kept at a necessary minimum.

The Original Problem 2000(or so)BC

Egyptian, Chinese and Babylonian engineers were really smart people - they knew how the area of a square scales with the length of its side. They knew that it's possible to store nine times more bales of hay if the side of the square loft is tripled. They also found out how to calculate the area of more complex designs like rectangles and T-shapes and so on. However, they didn't know how to calculate the sides of the shapes - the length of the sides, starting from a given area - which was often what their clients really needed. And so, this is the original problem: a certain shape 1 must be scaled with a total area, and in the end what's needed is lengths of the sides, or walls to make a working floor plan.

1500BC The Beginnings - Egypt

The first aspect that finally led to the quadratic equation was the recognition that it is connected to a very pragmatic problem, which in its turn demanded a 'quick and dirty' solution. We have to note, in this context, that Egyptian mathematics did not know equations and numbers like we do nowadays it is instead descriptive, rhetorical and sometimes very hard to follow. It is known that the Egyptian wisemen (engineers, scribes and priests) were aware of this shortcoming - but they came up with a way to circumvent this problem: instead of learning an operation, or a formula that could calculate the sides from the area, they calculated the area for all possible sides and shapes of squares and rectangles and made a look-up table. This method works much like we learn the multiplication tables by heart in school instead of doing the operation proper.

So, if someone wanted a loft with a certain shape and a certain capacity to store bales of papyrus, the engineer would go to his table and find the most fitting design. The engineers did not have time to calculate all shapes and sides to make their own table. Instead, the table they used was a reproduction of a master look-up table. The copyists did not know if the stuff they were copying made sense or not as they didn't know anything about maths. So, obviously, sometimes errors crept in, and copies of the copies were known to be less trustworthy 2 . These tables still exist, and it is possible to see where errors crept in during the copying of the documents.

400 BCE The Next Step - Babylon and China

The Egyptian method worked fine, but a more general solution - without the need for tables - seemed desirable. That's where the Babylonian geeks come into play. Babylonian maths had a big advantage over the one used in Egypt, namely they used a number-system that is pretty much like the one we use today, albeit on a hexagesimal basis, or base-60. Addition and multiplication were a lot easier to perform with this system, so the engineers around 1000 BC could always double-check the values in their tables. By 400 BC they found a more general method called 'completing the square' to solve generic problems involving areas. There are no indications that these people used a specific mathematical procedure to find out the solutions, so probably some educated guessing was involved. Around the same time, or a bit later, this method also appears in Chinese documents. The Chinese, like the Egyptians, also did not use a numeric system, but a double checking of simple mathematical operations was made astonishingly easy by the widespread use of the abacus.

300BC Geometry - Hellenistic Mediterranean Area

The first attempts to find a more general formula to solve quadratic equations can be tracked back to geometry (and trigonometry) top-bananas Pythagoras (500 BC in Croton, Italy) and Euclid (300 BC in Alexandria, Egypt), who used a strictly geometric approach, and found a general procedure to solve the quadratic equation. Pythagoras noted that the ratios between the area of a square and the respective length of the side - the square root - were not always integer, but he refused to allow for proportions other than rational. Euclid went even further and found out that this proportion might also not be rational. He concluded that irrational numbersexist.

Euclid's opus Elements covered more or less all the mathematics needed for technical applications from a theoretical point of view. However, it didn't use the same notation with formulas and numbers like we use nowadays. For that reason it was not possible to calculate the square root of any number by hand, in order to obtain a good approximation for the exact value of the root, which is what the architects and engineers were after. Because all (theoretically relevant at least) maths seemed to be complete 3 but otherwise useless, the many wars occurring in Europe, and also the early Middle Ages turned the mathematical world in Europe silent until the 13th Century. In this period mathematics also suffered a big shift, going from a pragmatic science to a more mystical, philosophical discipline.

700AD All Numbers - India

Hindu mathematics has used the decimal system (the one we use) at least since 600AD. One of the most important influences on Hindu mathematics was that it was widely used in commerce. The average Hindu merchant was pretty fast in simple maths. If someone had a debt the numbers would be negative, if someone had a credit the numbers would be positive. Also, if someone had neither credit, nor debt, the numbers would add up to zero. Zero is an important number in the history of mathematics, and its relatively late appearance is due to the fact that many cultures had difficulty of conceiving 'nothing'. The concept of 'nothing', like in 'shunya', the void, or the concept of 'equilibrium', was already anchored in Hindu culture.

Around 700AD the general solution for the quadratic equation, this time using numbers, was devised by a Hindu mathematician called Brahmagupta, who, among other things, used irrational numbers he also recognised two roots in the solution. The final, complete solution as we know it today came around 1100AD, by another Hindu mathematician called Baskhara 4 . Baskhara was the first to recognise that any positive number has two square roots.

820AD Powerful Islamic Science - Persia

Around 820AD, near Baghdad, Mohammad bin Musa Al-Khwarismi, a famous Islamic mathematician 5 who knew Hindu mathematics, also derived the quadratic equation. The algebra used by him was entirely rhetorical, and he rejected negative solutions. This particular derivation of the quadratic formula was brought to Europe by Jewish mathematician/astronomer Abraham bar Hiyya (whose Latinised name is Savasorda) who lived in Barcelona around 1100.

1500AD Renaissance - Europe

With the Renaissance in Europe, academic attention came back to original mathematical problems. By 1545 Girolamo Cardano, who was a typical Renaissance scientist (ie, interested in alchemy, occultism and suchlike), and one of the best algebraists of his time, compiled the works related to the quadratic equations - that is, he blended Al-Khwarismi's solution with the Euclidean geometry. He was possibly not the first or only one, but the most famous. In his (mainly rhetorical) works he allows for the existence of complex, or imaginary numbers - that is, roots of negative numbers. At the end of the 16th Century the mathematical notation and symbolism was introduced by amateur-mathematician François Viète, in France. In 1637, when René Descartes published La Géométrie, modern Mathematics was born, and the quadratic formula has adopted the form we know today.


Frequently asked questions on finding the zeros of a quadratic function

How many zeros can a quadratic function have?

A quadratic function has 2 zeros real or complex.

How many real zeros can a quadratic function have?

A quadratic function has either 2 real zeros or 0 real zeros.
We know that complex roots occur in conjugate pairs.
Therefore a quadratic function can not have one complex root ( or zero).

What are the zeros of the quadratic function f(x) = 8x^2 – 16x – 15?

Given quadratic function is f(x) = 8x^ <2>- 16x - 15 .
Comparing this with the quadratic function ax^ <2>+ bx + c = 0 , we get
a = 18, b = - 16, c = -15
Now putting these values of a, b, c on Quadratic formula we get
x = frac <- b pm sqrt- 4ac>> <2a>
or, x = frac <- (-16) pm sqrt<(-16)^<2>- 4(8)(-15)>> <2(8)>
or, x = frac< 16 pm sqrt<256 + 480>> <16>
or, x = frac< 16 pm sqrt<736>> <16>
or, x = frac< 16 pm 4sqrt<46>> <16>
or, x = frac< 4 pm sqrt<46>> <4>
or, x = frac< 4 + sqrt<46>><4>,frac< 4 - sqrt<46>> <4>
Therefore the zeros of the quadratic function f(x) = 8ࡨ – 16x – 15 are x = frac< 4 + sqrt<46>><4>, frac<4 - sqrt<46>> <4>.

Which is a zero of the quadratic function f(x) = 16x^2 + 32x − 9?

Given quadratic function is f(x) = 16x^ <2>+ 32x - 9 .
We will find the zeros of the quadratic function f(x) = 16x^ <2>+ 32x - 9 by factoring.
16x^ <2>+ 32x - 9 = 0
or, 16x^ <2>+ (36 - 4)x - 9 = 0
or, 16x^ <2>+ 36x - 4x - 9 = 0
or, 4x (4x + 9) -1 (4x + 9) = 0
or, (4x + 9)(4x -1) = 0
Either 4x + 9 = 0 or 4x - 1 = 0
Either 4x = -9 or 4x = 1
Either x = frac<-9> <4>or x = frac<1> <4>
Therefore the zeros of the quadratic function f(x) = 16x^ <2>+ 32x - 9 are x = frac<-9><4>, : frac<1> <4>.

What are the zeros of the quadratic function f(x) = 6x^2 + 12x – 7?

Given quadratic function is f(x) = 6x^ <2>+ 12x – 7 .
We will find the zeros of the quadratic function by the quadratic formula.
Comparing this with the quadratic function ax^ <2>+ bx + c = 0 , we get
a = 6, b = 12, c = -7
Now putting these values of a, b, c on Quadratic formula we get
x = frac <- b pm sqrt- 4ac>> <2a>
or, x = frac <- 12 pm sqrt<(12)^<2>- 4(6)(-7)>> <2(6)>
or, x = frac<- 12 pm sqrt<144 + 168>> <12>
or, x = frac<- 12 pm sqrt<312>> <12>
or, x = frac<- 12 pm 2 sqrt<78>> <12>
or, x = frac<- 6 pm sqrt<78>> <6>
or, x = frac<- 6 + sqrt<78>><6>, frac<- 6 - sqrt<78>> <6>
Therefore the zeros of the quadratic function f(x) = 6x^ <2>+ 12x – 7 are x = frac<- 6 + sqrt<78>><6>, : frac<- 6 - sqrt<78>> <6>.

What are the zeros of the quadratic function f(x) = 2x^2 + 16x – 9?

Given quadratic function is f(x) = 2x^ <2>+ 16x – 9 .
We use the quadratic formula to find the zeros of the quadratic function f(x) = 2x^ <2>+ 16x – 9 .
Comparing this with the quadratic function ax^ <2>+ bx + c = 0 , we get
a = 2, b = 16, c = -9
Now putting these values of a, b, c on Quadratic formula we get
x = frac <- b pm sqrt- 4ac>> <2a>
or, x = frac <- 16 pm sqrt<(16)^<2>- 4(2)(-9)>> <2(2)>
or, x = frac<- 16 pm sqrt<256 + 72>> <4>
or, x = frac<- 16 pm sqrt<328>> <4>
or, x = frac<- 16 pm 2 sqrt<82>> <4>
or, x = frac<- 8 pm sqrt<82>> <2>
or, x = frac<- 8 + sqrt<82>><2>, frac<- 8 - sqrt<82>> <2>
Therefore the zeros of the quadratic function f(x) = 2x^ <2>+ 16x – 9 are x = frac<- 8 + sqrt<82>><2>, : frac<- 8 - sqrt<82>> <2>.

The zeros of a quadratic polynomial are 1 and 2 then what is the polynomial?

The quadratic polynomial whose zeros are 1 and 2 is
(x-1)(x-2)
= x(x-2) -1(x-2)
= x^ <2>- 2x -x +2
= x^ <2>-3x + 2

What are the zeroes of the quadratic polynomial 3x^2-48?

We can write
3x^<2>-48=0
or, 3(x^<2>-16)=0
or, x^<2>-16=0 (Dividing both sides by 3)
or, x^<2>=16
or, x=pm sqrt <16>
or, x=pm 4
Therefore the zeroes of the quadratic polynomial 3x^2-48 are x = +4, -4.

3x+1/x-8=0 is a quadratic equation or not

We know that the degree of a quadratic function is 2.
But the degree of the function frac<3x+1> is not equal to 2.
Therefore the given function frac<3x+1> is not a quadratic function.
Consequently, 3x+1/x-8=0 is not a quadratic equation.

Find quadratic polynomial whose sum of roots is 0 and the product of roots is 1.

Let the roots of the quadratic polynomial are ‘a’ and ‘b’.
Then by the given condition, we have,
a+b=0
or, a=-b
e
ab=1
or, (-b)b=1
or, b^<2>=-1
or, b=pm sqrt <-1>
or, b=+sqrt<-1>, -sqrt <-1>
Now a=-b=- (sqrt<-1>) = mp sqrt <-1>=-sqrt<-1>, +sqrt <-1>
If we take a=-sqrt <-1>and b=+sqrt <-1>then the quadratic polynomial is
(x-a)(x-b)
= (x-(-sqrt<-1>))(x-sqrt<-1>)
= (x+sqrt<-1>)(x-sqrt<-1>)
= (x)^<2>-(sqrt<-1>)^ <2>
= x^<2>-(-1)
= x^<2>+1
Again if we take a=+sqrt <-1>and b=-sqrt <-1>then the quadratic polynomial is
(x-a)(x-b)
= (x-sqrt<-1>)(x-(-sqrt<-1>))
= (x-sqrt<-1>)(x+sqrt<-1>)
= (x)^<2>-(sqrt<-1>)^ <2>
= x^<2>-(-1)
= x^<2>+1
Therefore the quadratic polynomial whose sum of roots (zeros) is 0 and the product of roots (zeros) is 1 is x^<2>+1 and the zeros of the quadratic polynomial are x= +sqrt<-1>, -sqrt <-1>.

We hope you understand how to find the zeros of a quadratic function.

If you have any doubts or suggestions on the topic of how to find the zeros of a quadratic function feel free to ask in the comment section. We love to hear from you.


Assista o vídeo: The Quadratic Formula - Why Do We Complete The Square? INTUITIVE PROOF (Outubro 2021).