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7.1: Calculando pi


7.1: Calculando pi

Fórmula de Leibniz para π

uma série alternada. Também é chamado de Leibniz-Madhava série, pois é um caso especial de uma expansão de série mais geral para a função tangente inversa, descoberta pela primeira vez pelo matemático indiano Madhava de Sangamagrama no século 14, o caso específico publicado pela primeira vez por Leibniz por volta de 1676. [1] A função tangente inversa, também conhecida como série de Gregory, pode ser dada por:

A fórmula de Leibniz para π / 4 pode ser obtida colocando x = 1 nesta série. [2]

É também a série L de Dirichlet do caráter não principal de Dirichlet do módulo 4 avaliado em s = 1 e, portanto, o valor β(1) da função beta de Dirichlet.


Calculando Pi: minha tentativa de quebrar o recorde mundial de Pi

Antes de entrar nos detalhes de minha tentativa de registro, é importante que você tenha algumas informações básicas. Nos últimos anos, tenho adquirido constantemente hardware de servidor para aumentar meu conhecimento de administração de sistema e segurança cibernética. Não se trata apenas de crescimento pessoal: também me ajudou imensamente em minha carreira profissional. Atuei em várias funções, incluindo segurança cibernética (Analista de defesa cibernética, Diretor de segurança da informação) e administração de sistema (Administrador de sistema sênior). Historicamente, também doei meus recursos sobressalentes de computação do sistema para vários projetos de computação distribuída por meio da plataforma BOINC 1. No final de 2018, decidi mudar o foco principal do meu laboratório para a computação distribuída. Eu ainda mantenho um pequeno servidor 1U para uso pessoal, mas a maioria dos outros servidores executa o BOINC exclusivamente.

ATUALIZAÇÃO: No meio da tentativa de recorde mundial (julho de 2019), fundei uma organização sem fins lucrativos, North Alabama Charitable Computing, que reaproveita computação de nível empresarial e equipamentos de armazenamento para pesquisas STEM. Depois de quebrar o recorde mundial de Pi, a maioria dos meus servidores será doada, onde fornecerão capacidade de computação a cientistas e a vários projetos de pesquisa.

De qualquer forma, voltando ao motivo pelo qual você está aqui: Meu principal motivo para tentar quebrar o recorde estabelecido por Emma Haruka Iwao / Google 2 (março de 2019 - 31,4 trilhões de dígitos) é testar os limites do meu hardware. Assim que terminar de quebrar o recorde mundial de Pi, o servidor e os discos rígidos serão reaproveitados para a pesquisa STEM (por exemplo, BOINC, Open Science Grid 3, projetos de pesquisa universitários).

Uma das primeiras coisas que fiz foi entrar em contato com Alexander Yee, que escreveu e mantém um programa chamado y-cruncher 4. y-cruncher é um programa que calcula várias constantes matemáticas com base na entrada do usuário. O y-cruncher é capaz de tirar proveito dos mais novos recursos do processador e de muitas otimizações, o que em parte explica por que ele foi usado para definir vários dos registros anteriores de Pi (e outras constantes matemáticas). Depois de enviar e-mails com Alex, comecei a entender o que seria necessário para tal feito: 50 trilhões de dígitos de Pi. Para calcular essa quantidade de dígitos, o y-cruncher determinou que eu precisaria de 256 TiB de armazenamento efêmero, além de 38 TiB para a saída final.

Uma das primeiras coisas que você pode notar é que o y-cruncher calcula tudo em tebibytes (base 2), em vez de terabytes (base 10). Pode ser confuso, pois essas unidades de medida às vezes são usadas alternadamente (estou olhando para você, Windows 5 e Linux 6 df “-h” vs “-H”), mas a diferença pode ser significativa: por exemplo, 256TiB é equivalente a 281 TB. Você não quer perder 3/4 do caminho através de uma tentativa de registro e perceber que não tem espaço de armazenamento suficiente.

Depois de fazer uma estimativa aproximada da quantidade de equipamento e disco necessários para o cálculo do Pi, comecei a procurar hardware usado, principalmente no eBay. De janeiro a março de 2019, comecei a comprar os equipamentos que seriam necessários para a tentativa: um novo servidor, vários discos rígidos, várias placas PCI-E e uma biblioteca e unidade de fita, para citar apenas alguns. Abaixo está uma foto do meu laboratório doméstico na íntegra (exceto por um Asus ESC8000 G4 em meu escritório). Tudo dentro da caixa vermelha é usado para o cálculo de Pi.


10.000 dígitos de Pi formatados para humanos

3.
1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510
5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679
8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128
4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196
4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091
4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273
7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436
7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094
3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548
0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912
9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798
6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132
0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872
1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235
4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960
5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859
5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881
7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303
5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778
1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989
3809525720 1065485863 2788659361 5338182796 8230301952
0353018529 6899577362 2599413891 2497217752 8347913151
5574857242 4541506959 5082953311 6861727855 8890750983
8175463746 4939319255 0604009277 0167113900 9848824012
8583616035 6370766010 4710181942 9555961989 4676783744
9448255379 7747268471 0404753464 6208046684 2590694912
9331367702 8989152104 7521620569 6602405803 8150193511
2533824300 3558764024 7496473263 9141992726 0426992279
6782354781 6360093417 2164121992 4586315030 2861829745
5570674983 8505494588 5869269956 9092721079 7509302955
3211653449 8720275596 0236480665 4991198818 3479775356
6369807426 5425278625 5181841757 4672890977 7727938000
8164706001 6145249192 1732172147 7235014144 1973568548
1613611573 5255213347 5741849468 4385233239 0739414333
4547762416 8625189835 6948556209 9219222184 2725502542
5688767179 0494601653 4668049886 2723279178 6085784383
8279679766 8145410095 3883786360 9506800642 2512520511
7392984896 0841284886 2694560424 1965285022 2106611863
0674427862 2039194945 0471237137 8696095636 4371917287
4677646575 7396241389 0865832645 9958133904 7802759009
9465764078 9512694683 9835259570 9825822620 5224894077
2671947826 8482601476 9909026401 3639443745 5305068203
4962524517 4939965143 1429809190 6592509372 2169646151
5709858387 4105978859 5977297549 8930161753 9284681382
6868386894 2774155991 8559252459 5395943104 9972524680
8459872736 4469584865 3836736222 6260991246 0805124388
4390451244 1365497627 8079771569 1435997700 1296160894
4169486855 5848406353 4220722258 2848864815 8456028506
0168427394 5226746767 8895252138 5225499546 6672782398
6456596116 3548862305 7745649803 5593634568 1743241125
1507606947 9451096596 0940252288 7971089314 5669136867
2287489405 6010150330 8617928680 9208747609 1782493858
9009714909 6759852613 6554978189 3129784821 6829989487
2265880485 7564014270 4775551323 7964145152 3746234364
5428584447 9526586782 1051141354 7357395231 1342716610
2135969536 2314429524 8493718711 0145765403 5902799344
0374200731 0578539062 1983874478 0847848968 3321445713
8687519435 0643021845 3191048481 0053706146 8067491927
8191197939 9520614196 6342875444 0643745123 7181921799
9839101591 9561814675 1426912397 4894090718 6494231961
5679452080 9514655022 5231603881 9301420937 6213785595
6638937787 0830390697 9207734672 2182562599 6615014215
0306803844 7734549202 6054146659 2520149744 2850732518
6660021324 3408819071 0486331734 6496514539 0579626856
1005508106 6587969981 6357473638 4052571459 1028970641
4011097120 6280439039 7595156771 5770042033 7869936007
2305587631 7635942187 3125147120 5329281918 2618612586
7321579198 4148488291 6447060957 5270695722 0917567116
7229109816 9091528017 3506712748 5832228718 3520935396
5725121083 5791513698 8209144421 0067510334 6711031412
6711136990 8658516398 3150197016 5151168517 1437657618
3515565088 4909989859 9823873455 2833163550 7647918535
8932261854 8963213293 3089857064 2046752590 7091548141
6549859461 6371802709 8199430992 4488957571 2828905923
2332609729 9712084433 5732654893 8239119325 9746366730
5836041428 1388303203 8249037589 8524374417 0291327656
1809377344 4030707469 2112019130 2033038019 7621101100
4492932151 6084244485 9637669838 9522868478 3123552658
2131449576 8572624334 4189303968 6426243410 7732269780
2807318915 4411010446 8232527162 0105265227 2111660396
6655730925 4711055785 3763466820 6531098965 2691862056
4769312570 5863566201 8558100729 3606598764 8611791045
3348850346 1136576867 5324944166 8039626579 7877185560
8455296541 2665408530 6143444318 5867697514 5661406800
7002378776 5913440171 2749470420 5622305389 9456131407
1127000407 8547332699 3908145466 4645880797 2708266830
6343285878 5698305235 8089330657 5740679545 7163775254
2021149557 6158140025 0126228594 1302164715 5097925923
0990796547 3761255176 5675135751 7829666454 7791745011
2996148903 0463994713 2962107340 4375189573 5961458901
9389713111 7904297828 5647503203 1986915140 2870808599
0480109412 1472213179 4764777262 2414254854 5403321571
8530614228 8137585043 0633217518 2979866223 7172159160
7716692547 4873898665 4949450114 6540628433 6639379003
9769265672 1463853067 3609657120 9180763832 7166416274
8888007869 2560290228 4721040317 2118608204 1900042296
6171196377 9213375751 1495950156 6049631862 9472654736
4252308177 0367515906 7350235072 8354056704 0386743513
6222247715 8915049530 9844489333 0963408780 7693259939
7805419341 4473774418 4263129860 8099888687 4132604721
5695162396 5864573021 6315981931 9516735381 2974167729
4786724229 2465436680 0980676928 2382806899 6400482435
4037014163 1496589794 0924323789 6907069779 4223625082
2168895738 3798623001 5937764716 5122893578 6015881617
5578297352 3344604281 5126272037 3431465319 7777416031
9906655418 7639792933 4419521541 3418994854 4473456738
3162499341 9131814809 2777710386 3877343177 2075456545
3220777092 1201905166 0962804909 2636019759 8828161332
3166636528 6193266863 3606273567 6303544776 2803504507
7723554710 5859548702 7908143562 4014517180 6246436267
9456127531 8134078330 3362542327 8394497538 2437205835
3114771199 2606381334 6776879695 9703098339 1307710987
0408591337 4641442822 7726346594 7047458784 7787201927
7152807317 6790770715 7213444730 6057007334 9243693113
8350493163 1284042512 1925651798 0694113528 0131470130
4781643788 5185290928 5452011658 3934196562 1349143415
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2742042083 2085661190 6254543372 1315359584 5068772460
2901618766 7952406163 4252257719 5429162991 9306455377
9914037340 4328752628 8896399587 9475729174 6426357455
2540790914 5135711136 9410911939 3251910760 2082520261
8798531887 7058429725 9167781314 9699009019 2116971737
2784768472 6860849003 3770242429 1651300500 5168323364
3503895170 2989392233 4517220138 1280696501 1784408745
1960121228 5993716231 3017114448 4640903890 6449544400
6198690754 8516026327 5052983491 8740786680 8818338510
2283345085 0486082503 9302133219 7155184306 3545500766
8282949304 1377655279 3975175461 3953984683 3936383047
4611996653 8581538420 5685338621 8672523340 2830871123
2827892125 0771262946 3229563989 8989358211 6745627010
2183564622 0134967151 8819097303 8119800497 3407239610
3685406643 1939509790 1906996395 5245300545 0580685501
9567302292 1913933918 5680344903 9820595510 0226353536
1920419947 4553859381 0234395544 9597783779 0237421617
2711172364 3435439478 2218185286 2408514006 6604433258
8856986705 4315470696 5747458550 3323233421 0730154594
0516553790 6866273337 9958511562 5784322988 2737231989
8757141595 7811196358 3300594087 3068121602 8764962867
4460477464 9159950549 7374256269 0104903778 1986835938
1465741268 0492564879 8556145372 3478673303 9046883834
3634655379 4986419270 5638729317 4872332083 7601123029
9113679386 2708943879 9362016295 1541337142 4892830722
0126901475 4668476535 7616477379 4675200490 7571555278
1965362132 3926406160 1363581559 0742202020 3187277605
2772190055 6148425551 8792530343 5139844253 2234157623
3610642506 3904975008 6562710953 5919465897 5141310348
2276930624 7435363256 9160781547 8181152843 6679570611
0861533150 4452127473 9245449454 2368288606 1340841486
3776700961 2071512491 4043027253 8607648236 3414334623
5189757664 5216413767 9690314950 1910857598 4423919862
9164219399 4907236234 6468441173 9403265918 4044378051
3338945257 4239950829 6591228508 5558215725 0310712570
1266830240 2929525220 1187267675 6220415420 5161841634
8475651699 9811614101 0029960783 8690929160 3028840026
9104140792 8862150784 2451670908 7000699282 1206604183
7180653556 7252532567 5328612910 4248776182 5829765157
9598470356 2226293486 0034158722 9805349896 5022629174
8788202734 2092222453 3985626476 6914905562 8425039127
5771028402 7998066365 8254889264 8802545661 0172967026
6407655904 2909945681 5065265305 3718294127 0336931378
5178609040 7086671149 6558343434 7693385781 7113864558
7367812301 4587687126 6034891390 9562009939 3610310291
6161528813 8437909904 2317473363 9480457593 1493140529
7634757481 1935670911 0137751721 0080315590 2485309066
9203767192 2033229094 3346768514 2214477379 3937517034
4366199104 0337511173 5471918550 4644902636 5512816228
8244625759 1633303910 7225383742 1821408835 0865739177
1509682887 4782656995 9957449066 1758344137 5223970968
3408005355 9849175417 3818839994 4697486762 6551658276
5848358845 3142775687 9002909517 0283529716 3445621296
4043523117 6006651012 4120065975 5851276178 5838292041
9748442360 8007193045 7618932349 2292796501 9875187212
7267507981 2554709589 0455635792 1221033346 6974992356
3025494780 2490114195 2123828153 0911407907 3860251522
7429958180 7247162591 6685451333 1239480494 7079119153
2673430282 4418604142 6363954800 0448002670 4962482017
9289647669 7583183271 3142517029 6923488962 7668440323
2609275249 6035799646 9256504936 8183609003 2380929345
9588970695 3653494060 3402166544 3755890045 6328822505
4525564056 4482465151 8754711962 1844396582 5337543885
6909411303 1509526179 3780029741 2076651479 3942590298
9695946995 5657612186 5619673378 6236256125 2163208628
6922210327 4889218654 3648022967 8070576561 5144632046
9279068212 0738837781 4233562823 6089632080 6822246801
2248261177 1858963814 0918390367 3672220888 3215137556
0037279839 4004152970 0287830766 7094447456 0134556417
2543709069 7939612257 1429894671 5435784687 8861444581
2314593571 9849225284 7160504922 1242470141 2147805734
5510500801 9086996033 0276347870 8108175450 1193071412
2339086639 3833952942 5786905076 4310063835 1983438934
1596131854 3475464955 6978103829 3097164651 4384070070
7360411237 3599843452 2516105070 2705623526 6012764848
3084076118 3013052793 2054274628 6540360367 4532865105
7065874882 2569815793 6789766974 2205750596 8344086973
5020141020 6723585020 0724522563 2651341055 9240190274
2162484391 4035998953 5394590944 0704691209 1409387001
2645600162 3742880210 9276457931 0657922955 2498872758
4610126483 6999892256 9596881592 0560010165 525637567


O que é Índice de perfusão & # 40PI & # 41

Índice de perfusão ou IP é a razão entre o fluxo sanguíneo pulsátil e o fluxo sanguíneo estático não pulsátil no tecido periférico de um paciente, como a ponta do dedo, dedo do pé ou lóbulo da orelha. O índice de perfusão é uma indicação da força do pulso no local do sensor. Os valores de PI variam de 0,02% para pulso muito fraco a 20% para pulso extremamente forte. O índice de perfusão varia de acordo com os pacientes, condições fisiológicas e locais de monitoramento. Por causa dessa variabilidade, cada paciente deve estabelecer seu próprio índice de perfusão "normal" para um determinado local e usá-lo para fins de monitoramento.

O índice de perfusão é normalmente monitorado com oxímetros de pulso. PI também é um bom indicador da confiabilidade da leitura do oxímetro de pulso. Para a maioria dos oxímetros de pulso de uso geral, a leitura não é confiável ou não está disponível se o IP for igual ou inferior a 0,4%. Existem oxímetros, como os da Masimo, projetados para IP extremamente baixo. A maioria das pessoas que usa um oxímetro em casa não precisaria de um indicador de índice de perfusão porque são consideradas em bom estado de saúde em geral. Um índice de perfusão adiciona muita sensibilidade ao sensor do oxímetro, aumentando assim o custo do oxímetro.

O pleth (pletismógrafo), disponível em muitos oxímetros de pulso, é uma representação gráfica do índice de perfusão.

Em um hospital, o índice de perfusão, junto com muitos outros parâmetros, é usado para monitorar pacientes criticamente enfermos. Estudos demonstraram que o IP tem uma alta correlação com o tempo de recarga capilar e a diferença de temperatura entre a ponta do pé. No cuidado neonatal agudo, um IP baixo é uma medida objetiva e precisa da doença aguda. É superior à abordagem qualitativa, como o calor dos pés.

O índice de perfusão também é usado como um alerta precoce de falha anestésica. Estudos demonstraram que um aumento no IP é um indicador precoce de que a anestesia geral ou peridural iniciou a dilatação dos vasos sanguíneos periféricos, o que normalmente ocorre antes do início da anestesia. A falta do pico indicaria a falta de efeito anestésico.

Outros usos do índice de perfusão podem ser encontrados em várias literaturas. À medida que aprendemos mais sobre IP, mais aplicações clínicas estão sendo descobertas.


Usando o índice de perfusão com oxímetros de pulso

A razão de ter um índice de perfusão em seu oxímetro de pulso é uma boa idéia porque pode ajudar a aumentar a precisão das leituras que o oxímetro de pulso fornece em relação aos seus níveis de oxigênio no sangue.

Simplificando, quanto mais forte for o seu pulso no local de monitoramento (onde o oxímetro de pulso está conectado), mais precisas serão as leituras dele.

O índice de perfusão pode ajudá-lo a determinar o quão apropriado é o local de aplicação, ele pode ajudá-lo a encontrar o melhor local para colocar o oxímetro de pulso. De modo geral, você deseja aplicar o sensor à área que possui a maior porcentagem. Se o lóbulo da orelha tiver uma classificação de índice de perfusão de 3% e seu dedo tiver uma classificação de 15%, então o dedo é onde você deseja conectar o oxímetro de pulso.


Como você calcula # Cos ^ -1 [cos ((7pi) / 6)] #?

Você pode escrever # (7pi) / 6 # como # (pi + pi / 6) #
Assim, podemos ver claramente que o ângulo cai no terceiro quadrante. E o valor do cosseno no terceiro quadrante é sempre negativo.

voltando à questão
# cos ^ -1 [cos ((7pi) / 6)] = cos ^ -1 [-cos (pi / 6)] #
= #pi - cos ^ -1 [cos (pi / 6)] #
= # pii-pi / 6 #
= # (5pi) / 6 #

# arccos (cos (<7 pi> / 6)) = pm <7pi> / 6 + 2pi k, # inteiro # k #

Explicação:

Eu trato #arccos (cos (<7 pi> / 6)) # como uma expressão de vários valores, todos os ângulos cujo cosseno é igual a #cos (<7 pi> / 6). #

Em geral #cos x = cos a # tem solução # x = pm a + 2 pi k, # inteiro # k #

# arccos (cos (<7 pi> / 6)) = pm <7pi> / 6 + 2pi k, # inteiro # k #

O valor principal está no segundo quadrante, dado aqui pelo sinal de menos e # k = 1. #


Método 2

e escrevendo 1 / (1 + t 2) = 1 - t 2 + t 4 - t 6 +. e integrando termo a termo, obtemos a série infinita

tan -1 (x) = x - x 3/3 + x 5/5 - x 7/7 +. ,

que converge para -1 & lt = x & lt = 1. Substituindo x = 1, obtemos a série de Leibniz

No entanto, porque x = 1 é um ponto final do intervalo de convergência, esta série converge muito lentamente e por isso é impraticável para cálculo. (Por exemplo, os primeiros cinco termos fornecem as aproximações 4., 2.666, 3.466, 2.895, 3.339 para pi.)

Por outro lado, podemos substituir x = 1 / sqrt (3) = tan -1 (pi / 6). Então, após alguma manipulação algébrica, obtemos a série

e os primeiros cinco termos desta série fornecem as aproximações 3.46410, 3.07920, 3.15618, 3.13785, 3.14260 para pi, o último dos quais difere de pi por pouco mais que .001.

Na verdade, podemos fazer ainda melhor. Substituindo x = tan (pi / n) para n & gt = 4 (de modo que a série converge), obtemos a série

pi = n (tan (pi / n) - tan 3 (pi / n) / 3 + tan 5 (pi / n) / 5 - tan 7 (pi / n) / 7 + tan 9 (pi / n) / 9 -.).

Agora tan (x / 2) = sqrt ((1 - cos (x)) / (1 + cos (x))), para que possamos calcular novamente tan (pi / n) recursivamente, começando com n = 6. Obtemos as seguintes aproximações para pi, onde nas duas últimas colunas desta tabela, Sk(tan (pi / n)) denota a aproximação obtida usando o primeiro k termos da série acima.

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Computação Estatística Avançada

Existem muitas introduções e visões gerais da cadeia de Markov Monte Carlo por aí e uma rápida pesquisa na web irá revelá-los. Um livro introdutório decente é Markov Chain Monte Carlo in Practice de Gilks, Richardson e Spiegelhalter, mas existem muitos outros. Nesta seção, daremos apenas uma breve visão geral para começar.

Uma cadeia de Markov é um processo estocástico que evolui ao longo do tempo por meio da transição para diferentes estados. A sequência de estados é denotada pela coleção () e a transição entre estados é aleatória, seguindo a regra [ mathbb

(X_t mid X_, X_, dots, X_0) = mathbb

(X_t mid X_) ] (A notação acima é para distribuições discretas, veremos o caso contínuo mais tarde.)

Essa relação significa que a distribuição de probabilidade do processo no tempo (t ), dados todos os valores anteriores da cadeia, é igual à distribuição de probabilidade dada apenas o valor anterior (isso também é conhecido como propriedade de Markov). Portanto, ao determinar a sequência de valores que a cadeia assume, podemos determinar a distribuição de nosso próximo valor dado apenas nosso valor atual.

A coleção de estados que uma cadeia de Markov pode visitar é chamada de espaço estadual e a quantidade que governa a probabilidade de que a cadeia se mova de um estado para outro é o kernel de transição ou matriz de transição.

7.1.1 Um Exemplo Simples

Um exemplo clássico de uma cadeia de Markov tem um espaço de estado e probabilidades de transição que podem ser desenhadas como segue.

Aqui, temos três estados no espaço de estado e as setas indicam para qual estado você pode viajar de acordo com seu estado atual. As frações ao lado de cada seta informam quais são as probabilidades de transição de ir para um determinado estado. Observe que, nesta cadeia de Markov, você só pode viajar para dois estados possíveis, não importa qual seja o seu estado atual.

Podemos escrever as probabilidades de transição em uma matriz, também conhecida como a matriz de transição, como [P = left [ begin 1/2 & amp 1/2 & amp 0 1/2 & amp 0 & amp 1/2 0 & amp 1/2 & amp 1/2 end direita] ] Com a notação de matriz, a interpretação das entradas é que se estamos atualmente em interação (n ) da cadeia, então [ mathbb

(X_= j mid X_n = i) = P_ ]

A partir da matriz, podemos ver que a probabilidade de ir do estado (1 ) para o estado (3 ) é (0 ), porque a entrada ((1, 3) ) da matriz é (0 ).

Suponha que comecemos esta cadeia de Markov no estado (3 ) com probabilidade (1 ), então a distribuição de probabilidade inicial sobre os três estados é ( pi_0 = (0,0,1) ). Qual é a distribuição de probabilidade dos estados após uma iteração? Da forma como a matriz de transição funciona, podemos escrever [ pi_1 = pi_0 P = (0, 1/2, 1/2) ] Uma verificação rápida do diagrama acima confirma que, se começarmos no estado (3 ), então, após uma iteração, só podemos estar no estado (3 ) ou no estado (2 ). Portanto, o estado (1 ) obtém probabilidade de (0 ).

Qual é a distribuição de probabilidade sobre os estados após (n ) iterações? Podemos continuar o processo acima para obter [ pi_n = pi_0 overbrace^> = P ^ <(n)> ] Por exemplo, após cinco iterações, começando no estado (3 ), teríamos ( pi_5 = (0,3125, 0,34375, 0,34375) ).

7.1.2 Teorema do Limite Básico

Para uma cadeia de Markov com um espaço de estado discreto e matriz de transição (P ), seja ( pi_ estrela ) tal que ( pi_ estrela P = pi_ estrela ). Então ( pi_ star ) é um distribuição estacionária da cadeia de Markov e a cadeia é considerada estacionária se atingir essa distribuição.

O teorema do limite básico para cadeias de Markov diz que, sob um conjunto específico de suposições que detalharemos a seguir, temos [ | pi_ star - pi_n | longrightarrow 0 ] como (n rightarrow infty ), onde ( | cdot | ) é a distância de variação total entre as duas densidades. Portanto, não importa onde comecemos a cadeia de Markov ( ( pi_0 )), ( pi_n ) acabará por se aproximar da distribuição estacionária. Outra maneira de pensar sobre isso é que [ lim_ pi_n (i) = pi_ star (i) ] para todos os estados (i ) no espaço de estados.

Há três suposições que devemos fazer para que o teorema do limite básico seja válido.

A distribuição estacionária ( pi_ star ) existe.

A corrente é irredutível. A ideia básica com irredutibilidade é que deve haver um caminho entre quaisquer dois estados e esse caminho deve ter probabilidade (& gt 0 ). Isso não significa que você pode fazer a transição de qualquer outro estado em uma etapa. Em vez disso, há uma sequência de etapas que podem ser realizadas com probabilidade positiva que conectaria quaisquer dois estados. Matematicamente, podemos escrever isto porque existe algum (n ) tal que ( mathbb

(X_n = j mid X_0 = i) ) para todos os (i ) e (j ) no espaço de estado.

A corrente é aperiódico. Uma cadeia é aperiódica se não faz visitas determinísticas a um subconjunto do espaço de estados. Por exemplo, considere uma cadeia de Markov no espaço de inteiros que começa em (X_0 = 0 ) e tem uma regra de transição onde [X_ = X_n + varepsilon_n ] e [ varepsilon_n = left < begin 1 & amp text frac <1> <2> -1 & amp text frac <1> <2> end certo. ] Esta cadeia visita claramente os números ímpares quando (n ) é ímpar e os números pares quando (n ) é par. Além disso, se estivermos em qualquer estado (i ), não podemos revisitar o estado (i ), exceto em uma série de etapas que é um múltiplo de (2 ). Esta cadeia, portanto, tem um período de (2 ). Se uma cadeia tem um período de (1 ), é aperiódica (caso contrário, é periódica).

7.1.3 Reversibilidade do Tempo

Uma cadeia de Markov é tempo reversível if [(X_0, X_1, dots, X_n) stackrel <=> (X_n, X_, dots, X_0). ] A sequência de estados que se movem na direção “para frente” (em relação ao tempo) é igual em distribuição à sequência de estados que se movem na direção “para trás”. Além disso, a definição acima implica que ((X_0, X_1) stackrel<=> (X_1, X_0) ), o que implica ainda que (X_0 stackrel<=> X_1 ). Como (X_1 ) é igual em distribuição a (X_0 ), isso implica que ( pi_1 = pi_0 ). No entanto, como ( pi_1 = pi_0 P ), onde (P ) é a matriz de transição, isso significa que ( pi_0 ) é a distribuição estacionária, que agora nos referiremos como ( pi ). Portanto, uma cadeia de Markov reversível no tempo é estacionária.

Além da estacionariedade, a propriedade de reversibilidade no tempo nos diz que para todos os (i ), (j ), os seguintes são todos equivalentes:

[começar (X_0, X_1) & amp stackrel <=> & amp (X_1, X_0) mathbb

(X_0 = i, X_1 = j) & amp = & amp mathbb

(X_1 = i, X_0 = j) mathbb

(X_0 = i) mathbb

(X_1 = j mid X_0 = i) & amp = & amp mathbb

(X_0 = j) mathbb

(X_1 = i mid X_0 = j) end]

A última linha também pode ser escrita como [ pi (i) P (i, j) = pi (j) P (j, i) ] que são chamados de equações de equilíbrio local. Uma propriedade-chave que exploraremos mais tarde é que se as equações de equilíbrio locais valem para uma matriz de transição (P ) e distribuição ( pi ), então ( pi ) é a distribuição estacionária de uma cadeia governada por a matriz de transição (P ).

Por que tudo isso é importante? A reversibilidade no tempo é relevante para análises que fazem uso da cadeia de Markov Monte Carlo porque nos permite encontrar uma maneira de construir uma cadeia de Markov adequada a partir da qual simular. Na maioria das aplicações MCMC, não temos problemas para identificar a distribuição estacionária. Já conhecemos a distribuição estacionária porque geralmente é uma densidade posterior resultante de um cálculo Bayesiano complexo. Nosso problema é que não podemos simular a partir da distribuição. Portanto, o problema é construir uma cadeia de Markov que leve a uma determinada distribuição estacionária.

A reversibilidade no tempo nos dá uma maneira de construir uma cadeia de Markov que converge para uma determinada distribuição estacionária. Desde que possamos mostrar que uma cadeia de Markov com um dado kernel / matriz de transição satisfaz as equações de equilíbrio local com respeito à distribuição estacionária, podemos saber que a cadeia convergirá para a distribuição estacionária.

7.1.4 Resumo

Para resumir o que aprendemos nesta seção, temos que

Queremos amostrar de uma densidade complicada ( pi ).

Sabemos que as cadeias de Markov aperiódicas e irredutíveis com uma distribuição estacionária ( pi ) acabarão por convergir para essa distribuição estacionária.

Sabemos que se uma cadeia de Markov com matriz de transição (P ) é reversível no tempo em relação a ( pi ), então ( pi ) deve ser a distribuição estacionária da cadeia de Markov.

Dada uma cadeia governada pela matriz de transição (P ), podemos simulá-la por um longo tempo e, eventualmente, estaremos simulando a partir de ( pi ).

Essa é a essência das técnicas MCMC e fiz uma breve introdução aqui. Dito isso, na próxima seção, discutiremos como construir uma cadeia de Markov adequada para simular a distribuição estacionária.


Y-cruncher - Um Programa Pi Multi-Threaded

O primeiro benchmark de Pi multi-thread escalonável para sistemas multi-core.

Quão rápido seu computador pode calcular Pi?

y-cruncher é um programa que pode calcular Pi e outras constantes para trilhões de dígitos.

É o primeiro de seu tipo que é multi-threaded e escalonável para sistemas multi-core. Desde o seu lançamento em 2009, ele se tornou um aplicativo comum de benchmarking e teste de estresse para overclockers e entusiastas de hardware.

O y-cruncher foi usado para estabelecer vários recordes mundiais para a maioria dos dígitos de Pi já computados.

Janelas: Versão 0.7.8 Build 9507 (Lançado: 14 de setembro de 2020)

Linux: Versão 0.7.8 Build 9507 (Lançado: 14 de setembro de 2020)

Patch da versão 0.7.8 com otimizações Zen 2: (1 de março de 2020) - link permanente

Um novo patch para v0.7.8 foi lançado. Além das habituais correções de bugs, esta versão inclui um novo binário otimizado para processadores AMD Zen 2.

Normalmente não adiciono novos recursos aos lançamentos de patch. No entanto, minhas prioridades nos últimos meses mudaram em grande parte do y-cruncher. Como tal, muito pouco progresso foi feito na v0.7.9. Sem um cronograma para quando o próximo lançamento de recurso acontecerá, decidi puxar as otimizações do Zen 2 para o branch v0.7.8.

Tirando isso, o novo binário Zen 2 parece trazer uma melhoria de desempenho de cerca de 10%. Isso é muito maior do que os 1-2% que eu esperava.

Isso pode ser um pouco chocante, mas não tenho ideia de por que a melhoria é tão grande e nem tenho tempo para investigar. A maior parte do ajuste é automatizado por um superotimizador. Portanto, tudo o que fiz foi executar o superotimizador, esperar uma semana para que ele terminasse e, em seguida, copiar e colar os resultados no código.

Em outras palavras, não tenho ideia do que ele fez ou o que descobriu de tão significativo. Mas funcionou, e eu vou aceitar - sem perguntas.

O registro Pi retorna ao computador pessoal: (29 de janeiro de 2020) - link permanente

Depois de extenuantes 10 meses de computação, de abril do ano passado até hoje, o recorde mundial de Pi caiu mais uma vez. Desta vez para Timothy Mullican, que calculou 50 trilhões de dígitos de Pi em um computador pessoal datado (mas ainda poderoso).

Como o recorde anterior foi estabelecido pelo Google usando sua plataforma em nuvem, esse cálculo marca o retorno do registro Pi para computadores pessoais de uma única máquina.

Timothy usou um computador da era 2012 (Ivy Bridge) junto com uma grande variedade de 48 discos rígidos modernos. Embora o poder de processamento fosse significativamente menor do que o de computação do Google, ele tinha um equilíbrio melhor entre poder de computação e largura de banda de armazenamento - levando assim a uma computação de velocidade comparável à do Google.

Detalhes completos do cálculo podem ser encontrados no blog de Tim.

O y-cruncher foi usado para estabelecer uma série de cálculos do tamanho de um recorde mundial.

Azul: Recorde Mundial Atual

Verde: Antigo Recorde Mundial

Vermelho: cálculo não verificado. Não se qualifica como um recorde mundial até que seja verificado usando uma fórmula alternativa.

AMD Threadripper 3995WX a 2,7 GHz

2 x Intel Xeon E5-2680 v2 a 2,8 GHz

2 x Intel Xeon E5-2690 v4 a 2,6 GHz

2 x Intel Xeon E5-2690 v4 a 2,6 GHz

Não verificado

2 x Intel Xeon Gold 6140 @ 2,3 GHz

4 x Intel Xeon E7-4880 v2 a 2,5 GHz

Christophe Patris de Broe

Não verificado

2 x Intel Xeon Platinum 8268 a 2,9 GHz

2 x Intel Xeon E5-2651 v2 a 1,8 GHz

2 x Intel Xeon Gold 6140 @ 2,3 GHz

2 x Intel Xeon 8260L a 2,4 GHz

AMD Threadripper 1950X a 3,4 GHz

Emma Haruka Iwao Pi 31,415,926,535,897 Calcular: 121 dias

Veja a lista completa, incluindo outros cálculos notavelmente grandes. Se você deseja definir um registro sozinho, as regras estão nesse link.

As principais características computacionais do y-cruncher são:

  • Capaz de calcular Pi e outras constantes de trilhões de dígitos.
  • Dois algoritmos estão disponíveis para a maioria das constantes. Um para computação e outro para verificação.
  • Multi-Threaded - Multi-threading pode ser usado para utilizar processadores multi-core modernos sem aumentar significativamente o uso de memória.
  • Vetorizado - Capaz de utilizar totalmente os recursos SIMD para a maioria dos processadores. (SSE, AVX, AVX512, etc.)
  • Espaço de troca gerenciamento para grandes cálculos que requerem mais memória do que a disponível.
  • Multi-Hard Drive - Vários discos rígidos podem ser usados ​​para troca de disco mais rápida.
  • Semi-Tolerante a Falhas - Capaz de detectar e corrigir pequenos erros que podem ser causados ​​por instabilidade de hardware ou bugs de software.

Captura de tela de amostra: 1 trilhão de dígitos de Pi

Últimos lançamentos: (14 de setembro de 2020)

Baixar qualquer um desses arquivos constitui aceitação do contrato de licença.

SO Link para Download Tamanho

janelas

y-cruncher v0.7.8.9507.zip

43,4 MB

Linux (estático)

y-cruncher v0.7.8.9507-static.tar.xz

29,2 MB

Linux (dinâmico)

y-cruncher v0.7.8.9507-dynamic.tar.xz

22,8 MB

A versão Linux vem em versões vinculadas estaticamente e dinamicamente. A versão estática deve funcionar na maioria das distribuições Linux, mas não possui vinculação Cilk Plus e NUMA. A versão dinâmica oferece suporte a todos os recursos, mas é menos portátil devido ao inferno de dependência de DLL.

O download do Windows vem com o apresentador do HWBOT, que permite que benchmarks sejam enviados ao HWBOT.

Requisitos de sistema:

  • Windows 7 ou posterior.
  • O solicitante do HWBOT requer o Java 8 Runtime.
  • Linux de 64 bits é necessário. Não há suporte para 32 bits.
  • A versão dinâmica foi testada no Ubuntu 18.04.
  • Um processador x86 ou x64.

Histórico da versão:

Outros downloads (para programadores C ++):

Documentação Avançada:

Gráfico de comparação: (Última atualização: 31 de maio de 2021)

Cálculos de Pi em vários tamanhos. Todos os tempos em segundos. Todos os cálculos feitos inteiramente na memória RAM.

Os tempos incluem o tempo necessário para converter os dígitos em representação decimal, mas não o tempo necessário para gravar os dígitos no disco.

Azul: os benchmarks estão atualizados com a versão mais recente do y-cruncher.

Verde: os benchmarks foram feitos com uma versão antiga do y-cruncher que é comparável em desempenho com a versão atual.

Vermelho: os benchmarks estão significativamente desatualizados devido a serem executados com uma versão antiga do y-cruncher que não é mais comparável com a versão atual.

Roxo: os benchmarks são de compilações internas não lançadas que não têm velocidade comparável à versão atual.


Assista o vídeo: Cómo calcular el número Pi utilizando el teorema de Pitágoras - Marcos Chicot (Outubro 2021).