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1.5: O Axioma da Completude para os Números Reais


Existem muitos exemplos de campos ordenados. Para introduzir nosso último axioma para os números reais, primeiro precisamos de algumas definições.

Definição ( PageIndex {1} ): Limite superior

Seja (A ) um subconjunto de ( mathbb {R} ). Um número (M ) é chamado de limite superior de (A ) se

[x leq M text {para todos} x em A. ]

Se (A ) tem um limite superior, então (A ) é considerado limitado acima.

Da mesma forma, um número (L ) é um diminuir limite de (A ) se

[L leq x text {para todos} x em A, ]

e (A ) é dito ser limitado abaixo se tiver um limite inferior. Também dizemos que (A ) é limitado se for limitado acima e abaixo.

Segue-se que um conjunto (A ) é limitado se e somente se existir (M in mathbb {R} ) tal que (| x | leq M text {para todos} x em A ) (consulte o Exercício 1.5.1)

Definição ( PageIndex {2} ): Least Upper Bound

Seja (A ) um conjunto não vazio que é limitado acima. Chamamos um número ( alpha ) a mínimo limite superior ou supremo de (A ), se

  1. (x leq alpha text {para todos} x em A ) (ou seja, ( alpha ) é um limite superior de (A ));
  2. Se (M ) é um limite superior de (A ), então ( alpha leq M ) (isso significa que ( alpha ) é o menor entre todos os limites superiores).

É fácil ver que se (A ) tiver um supremo, então terá apenas um (ver Exercício 1.5.2). Neste caso, denotamos tal número por ( sup A ).

Exemplo ( PageIndex {1} )

  1. ( sup [0,3) = sup [0,3] = 3 ).
  2. ( sup {3,5,7,8,10 } = 10 ).
  3. ( sup left { frac {(- 1) ^ {n}} {n}: n in mathbb {N} right } = frac {1} {2} ).
  4. ( sup left {x ^ {2}: - 2

Solução

uma. Considere primeiro o conjunto ([0,3] = {x in mathbb {R}: 0 leq x leq 3 } ). Por sua própria definição, vemos que para todos (x in [0,3] ), (x leq 3 ). Portanto, (3 ) é um limite superior. Isso verifica a condição (1) na definição de supremo. Em seguida, suponha que (M ) seja um limite superior de ([0,3] ). Como (3 in [0,3] ), obtemos (3 leq M ). Isso verifica a condição (2) na definição de supremo. Segue-se que (3 ) é de fato o supremo de ([0,3] ).

Considere a seguir o conjunto ([0,3) = {x in mathbb {R}: 0 leq x <3 } ). Segue como antes que (3 ) é um limite superior de ([0,3) ). Agora suponha que (M ) seja um limite superior de ([0,3) ) e, por meio de contradição, que (3> M ). Se (0> M ), então (M ) não é um limite superior de ([0,3) ), pois (0 ) é um elemento de ([0,3) ). Se (0 leq M ), defina (x = frac {M + 3} {2} ). Então (0 leq x <3 ) e (x> M ), que mostra que (M ) não é um limite superior de ([0,3) ). Como obtemos uma contradição em ambos os casos, concluímos que (3 leq M ) e, portanto, (3 ) é o supremo de ([0,3) ).

  1. Claramente, 10 é um limite superior do conjunto. Além disso, qualquer limite superior (M ) deve satisfazer (10 ​​ leq M ), pois (10 ​​) é um elemento do conjunto. Assim, (10 ​​) é o supremo.
  2. Observe que se (n in mathbb {N} ) for par, então (n geq 2 ) e

( frac {(- 1) ^ {n}} {n} = frac {1} {n} leq frac {1} {2} ).

Se (n in mathbb {N} ) for estranho, então

( frac {(- 1) ^ {n}} {n} = frac {-1} {n} <0 < frac {1} {2} )

Isso mostra que ( frac {1} {2} ) é um limite superior do conjunto. Como ( frac {1} {2} ) é um elemento do conjunto, segue como no exemplo anterior que ( frac {1} {2} ) é o supremo.

d. Defina (A = left {x ^ {2}: - 2 M ) que contradiz o fato de que (M ) é um limite superior. Assim, (4 leq M ). Isso prova que (4 = sup A ).

A seguinte proposição é conveniente para trabalhar com suprema.

Proposta ( PageIndex {1} )

Seja (A ) um subconjunto não vazio de ( mathbb {R} ) que é delimitado acima. Então ( alpha = sup A ) se e somente se

(1 ') (x leq alpha text {para todos} x em A );

(2 ') Para qualquer ( varepsilon> 0 ), existe ( alpha in A ) tal que ( alpha- varejpsilon

Prova

Suponha primeiro que ( alpha = sup A ). Então, claramente (1 ') é válido (visto que isso é idêntico à condição (1) na definição de supremo). Agora vamos ( varepsilon> 0 ). Uma vez que ( alpha- varejpsilon < alpha ), a condição (2) na definição de supremo implica que ( alpha- varejpsilon ) não é um limite superior de (A ). Portanto, deve existir um elemento (a ) de (A ) tal que ( alpha- varejpsilon

Por outro lado, suponha que as condições (1 ') e (2') sejam válidas. Então, tudo o que precisamos mostrar é que a condição (2) na definição de supremo é válida. Seja (M ) um limite superior de (A ) e assuma, por meio de contradição, que (M < alpha ). Defina ( varepsilon = alpha-M ). Pela condição (2) no enunciado, existe (a em A ) tal que (a> alpha- varejpsilon = M ). Isso contradiz o fato de que (M ) é um limite superior. A conclusão agora segue. (quadrado)

O seguinte é um axioma dos números reais e é chamado de axioma de completude.

O Axioma da Completude. Cada subconjunto não vazio (UMA) do ( mathbb {R} ) que é limitado acima tem um limite superior mínimo. Isso é, ( sup A ) existe e é um número real.

Este axioma distingue os números reais de todos os outros campos ordenados e é crucial nas provas dos teoremas centrais da análise.

Existe uma definição correspondente para o ínfimo de um conjunto.

Definição ( PageIndex {3} )

Seja (A ) um subconjunto não vazio de ( mathbb {R} ) que é limitado abaixo. Chamamos um número ( beta ) a maior limite inferior ou ínfimo de (A ), denotado por ( beta = inf A ), se

  1. (x geq beta text {para todos} x em A ) (ou seja, ( beta ) é um limite inferior de (A ));
  2. Se (N ) é um limite inferior de (A ), então ( beta geq N ) (isso significa que ( beta ) é o maior entre todos os limites inferiores).

Usando o axioma da completude, podemos provar que, se um conjunto não empático for limitado abaixo, então seu mínimo existe (ver Exercício 1.5.5).

Exemplo ( PageIndex {2} )

  1. ( inf (0,3] = inf [0,3] = 0 ).
  2. ( inf {3,5,7,8,10 } = 3 ).
  3. ( inf left { frac {(- 1) ^ {n}} {n}: n in mathbb {N} right } = - 1 ).
  4. ( inf left {1+ frac {1} {n}: n in mathbb {N} right } = 1 ).
  5. ( inf left {x ^ {2}: - 2

Solução

Adicione texto aqui.

A proposição a seguir é útil quando se trata de infima e sua prova é completamente análoga à da Proposição 1.5.1.

Proposta ( PageIndex {2} )

Seja (A ) um subconjunto não vazio de ( mathbb {R} ) que é limitado abaixo. Então ( beta = inf A ) se e somente se

(1 ') (x geq beta text {para todos} x em A );

(2 ') Para qualquer ( varepsilon> 0 ), existe (a in A ) tal que (a < beta + varejpsilon ).

Prova

Adicione a prova aqui e ela será automaticamente ocultada

O seguinte é uma propriedade básica de suprema. Outros adicionais são descritos nos exercícios.

Teorema ( PageIndex {3} )

Sejam (A ) e (B ) conjuntos não vazios e (A subconjunto B ). Suponha que (B ) seja limitado acima. Então ( sup A leq sup B ).

Prova

Seja (M ) um limite superior para (B ), então para (x em B ), (x leq M ). Em particular, também é verdade que (x leq M ) para (x em A ). Portanto, (A ) também é limitado acima. Agora, como ( sup B ) é um limite superior para (B ), também é um limite superior para (A ). Então, pela segunda condição na definição de supremo, ( sup A leq sup B ) conforme desejado. (quadrado)

Será conveniente para o estudo dos limites de sequências e funções introduzir dois símbolos adicionais.

Definição ( PageIndex {4} )

O sistema de número real extrendido consiste no campo real ( mathbb {R} ) e nos dois símbolos ( infty ) e (- infty ). Preservamos a ordem original em ( mathbb {R} ) e definimos

(- infty

para cada (x in mathbb {R} )

O sistema de número real estendido não forma um campo ordenado, mas é comum fazer as seguintes convenções:

  1. Se (x ) é um número real, então

[x + infty = infty, quad x + (- infty) = - infty ]

  1. Se (x> 0 ), então (x cdot infty = infty, quad x cdot (- infty) = - infty ).
  2. Se (x <0 ), então (x cdot infty = - infty, quad x cdot (- infty) = infty ).
  3. ( infty + infty = infty, - infty + (- infty) = - infty, infty cdot infty = (- infty) cdot (- infty) = infty, text {e } (- infty) cdot infty = infty cdot (- infty) = - infty ).

Denotamos o número real estendido definido por ( overline { mathbb {R}} ). As expressões (0. Infty ), ( infty + (- infty) ) e ((- infty) + infty ) são deixadas indefinidas.

O conjunto ( overline { mathbb {R}} ) com as convenções acima serão convenções que serão convenientes para descrever os resultados sobre os limites em capítulos posteriores.

Definição ( PageIndex {5} )

Se (A neq 0 ) não for limitado acima em ( mathbb {R} ), escreveremos ( sup A = infty ). Se (A ) não for limitado abaixo em ( mathbb {R} ), escreveremos ( inf A = - infty ).

Com esta definição, todo subconjunto não vazio de ( mathbb {R} ) tem um supremo e um mínimo em ( overline { mathbb {R}} ). Para completar a imagem, adotamos as seguintes convenções para o conjunto vazio: ( sup emptyset = - infty ) e ( text {inf} emptyset = infty ).

Exercício ( PageIndex {1} )

Prove que um subconjunto (A ) de (mathbb {R} ) é limitado se e somente se houver (M in mathbb {R} ) tal que (| x | leq M ) para todos (x em A ).

Responder

Adicione textos aqui. Não exclua este texto primeiro.

Exercício ( PageIndex {2} )

Seja (A ) um conjunto não vazio e suponha que ( alpha ) e ( beta ) satisfaçam as condições (1) e (2) na Definição 1.5.2 (ou seja, ambos são suprema de (A )). Prove que ( alpha = beta )

Responder

Adicione textos aqui. Não exclua este texto primeiro.

Exercício ( PageIndex {3} )

Para cada subconjunto de ( mathbb {R} ) abaixo, determine se ele é limitado acima, abaixo ou ambos. Se estiver limitado acima (abaixo), encontre o supremo (ínfimo). Justifique todas as suas conclusões.

  1. ({1,5,17})
  2. ([0,5))
  3. ( left {1+ frac {(- 1) ^ {n}} {n}: n in mathbb {N} right } )
  4. ((- 3, infty) )
  5. ( left {x in mathbb {R}: x ^ {2} -3 x + 2 = 0 right } )
  6. ( left {x ^ {2} -3 x + 2: x in mathbb {R} right } )
  7. ( left {x in mathbb {R}: x ^ {3} -4 x <0 right } )
  8. ( {x in mathbb {R}: 1 leq | x | <3 } )
Responder

Adicione textos aqui. Não exclua este texto primeiro.

Exercício ( PageIndex {4} )

Suponha que (A ) e (B ) sejam subconjuntos não vazios de ( mathbb {R} ) que são limitados acima. Definir

[A + B = {a + b: a em A text {e} b em B }. ]

Prove que (A + B ) é limitado acima e

[ sup (A + B) = sup A + sup B. ]

Responder

Adicione textos aqui. Não exclua este texto primeiro.

Exercício ( PageIndex {5} )

Seja (A ) um subconjunto não vazio de ( mathbb {R} ). Defina (- A = {- a: a in A } ).

  1. Prove que se (A ) é limitado abaixo, então (- A ) é limitado acima.
  2. Prove que se (A ) é limitado abaixo, então (A ) tem um mínimo em ( mathbb {R} ) e ( inf A = - sup (-A) ).
Responder

Adicione textos aqui. Não exclua este texto primeiro.

Exercício ( PageIndex {6} )

Seja (A ) um subconjunto não vazio de ( mathbb {R} ) e ( alpha in mathbb {R} ). Defina ( alpha A = { alpha a: a in A } ). Prove as seguintes afirmações:

  1. Se ( alpha> 0 ) e (A ) for limitado acima, então ( alpha A ) será limitado acima e ( sup alpha A = alpha sup A ).
  2. Se ( alpha> 0 ) e (A ) for limitado acima, então ( alpha A ) será limitado abaixo e ( inf alpha A = alpha sup A ).
Responder

Adicione textos aqui. Não exclua este texto primeiro.

Exercício ( PageIndex {7} )

Suponha que (A ) e (B ) sejam subconjuntos não vazios de ( mathbb {R} ) que são limitados abaixo. Prove que (A + B ) é limitado abaixo e

[ inf (A + B) = inf A + inf B. ]

Responder

Adicione textos aqui. Não exclua este texto primeiro.

Exercício ( PageIndex {8} )

Sejam (A, B ) subconjuntos não vazios de ( mathbb {R} ) que são limitados abaixo. Prove que se (A subconjunto B ), então

[ inf A geq inf B ]

Responder

Adicione textos aqui. Não exclua este texto primeiro.


Sequência de Cauchy

Em matemática, um Sequência de Cauchy (Pronúncia francesa: [koʃi] Inglês: / ˈ k oʊ ʃ iː / KOH -shee), em homenagem a Augustin-Louis Cauchy, é uma sequência cujos elementos se tornam arbitrariamente próximos uns dos outros conforme a sequência avança. [1] Mais precisamente, dada qualquer pequena distância positiva, todos, exceto um número finito de elementos da sequência, são menores do que a distância fornecida entre si.

Não é suficiente que cada termo se torne arbitrariamente próximo do precedente prazo. Por exemplo, na sequência de raízes quadradas de números naturais:

os termos consecutivos tornam-se arbitrariamente próximos uns dos outros:

No entanto, com valores crescentes do índice n, os termos uman tornar-se arbitrariamente grande. Então, para qualquer índice n e distância d, existe um índice m grande o suficiente para que umamuman & gt d . (Na verdade, qualquer m & gt (√ n + d) 2 é suficiente.) Como resultado, apesar de quão longe se vá, os termos restantes da sequência nunca chegam perto de uns aos outros, portanto, a sequência não é Cauchy.

A utilidade das sequências de Cauchy reside no fato de que em um espaço métrico completo (onde todas essas sequências são conhecidas por convergirem para um limite), o critério de convergência depende apenas dos termos da própria sequência, em oposição à definição de convergência, que utiliza tanto o valor-limite quanto os termos. Isso é frequentemente explorado em algoritmos, tanto teóricos quanto aplicados, onde um processo iterativo pode ser mostrado com relativa facilidade para produzir uma sequência de Cauchy, consistindo de iterações, cumprindo assim uma condição lógica, como a terminação.

Generalizações de sequências de Cauchy em espaços uniformes mais abstratos existem na forma de filtros de Cauchy e redes de Cauchy.


1.5: O Axioma de Completude para os Números Reais

Você pode achar útil pensar em pontos em uma linha e como pontos em um plano e representar o gráfico por uma imagem. Qualquer imagem desse tipo está fora do escopo de nosso desenvolvimento formal, mas vou desenhar muitas dessas imagens informalmente.

Por isso, . (Duas funções são iguais quando têm o mesmo domínio, o mesmo codomínio e a mesma regra.)

A prova é por indução e é omitida.


Prova: A prova decorre da indução ou por fatoração e é omitida.


Prova: Primeiro, vou construir uma sequência de pesquisa binária de modo que

Por completude de, terei para alguns. Vou mostrar e a prova ficará completa.

A prova de que é uma sequência de busca binária e que para todos é a mesma que a prova dada no exemplo 5.16 para, e não será repetida aqui. Por completude para alguns. Desde então, nós temos. Segue que

Pela fórmula de fatoração (cf. (3.78)), temos

para todos . Pela propriedade arquimediana 3 (cf. corolário 5.28), segue-se que, ou seja,

Deixar . Como é estritamente crescente, segue do exercício 5.48A que tem no máximo uma solução em e isso completa a demonstração do teorema.


Prova: [da parte b)] Seja onde são inteiros e são inteiros positivos. Então (pelas leis de expoentes para expoentes inteiros),

Conseqüentemente, e, portanto, pela singularidade das raízes.

um está dentro e o outro não.

Euclides indicou que seus argumentos precisavam da propriedade arquimediana usando a seguinte definição:

Aqui, `` multiplicado '' significa `` adicionado a si mesmo algumas vezes '', ou seja, `` multiplicado por algum inteiro positivo ''.

Os expoentes racionais foram introduzidos por Newton em 1676.

Aqui denota a raiz cúbica de.

O cálculo avançado de Buck [12, apêndice 2] fornece oito caracterizações diferentes do axioma da completude e discute as relações entre eles.

O termo completude é um termo do século vinte. Os livros mais antigos falam sobre a continuidade dos números reais para descrever o que chamamos de completude.


1 resposta 1

Vou assumir que o axioma da completude diz com muitas palavras que existe para qualquer conjunto $ A $ que está limitado acima desse $ sup A $.

Ok, então seja $ A $ um conjunto delimitado abaixo. Seja $ -A = <-a | a in A > $.

Reivindicação: $ -A $ é limitado acima. Provar. $ A $ é limitado abaixo, portanto, há um $ M $ de modo que $ a ge M $ para todos os $ a $ em $ A $. Portanto, $ -a le -M $ para todos os $ -a $ em $ -A $. Portanto, $ -A $ é limitado acima.

Portanto, pelo axioma da completude, $ s = sup -A $ existe.

Pf: $ s ge -a $ para todos os $ -a in -A $ so $ -s le a $ para todos os $ a in A $ so $ -s $ é um limite inferior de $ A $. Se $ k & gt -s $ então $ -k & lt s $ então $ -k $ não é um limite superior de $ -A $, então há um $ e em -A $ de modo que $ -k & lt e $. Portanto, $ k & gt -e $. Agora $ e in -A $ implica $ -e in A $, portanto $ -k $ não é um limite inferior de $ A $. Portanto, $ -s $ é o maior limite inferior e $ -s = inf A $.

Em resposta a um comentário, acho que deveríamos fazer uma prova direta para outros espaços que podem não ter a propriedade que para todos $ a em X $ então $ -a em X $.

Uma vez que $ A $ é limitado abaixo, ele possui um limite inferior.

Seja $ B = <$ limites inferiores de $ A > $. (Você pegou $ mathbb R setminus A $ que era intuitivo, mas não correto. Pode haver muitos pontos fora de $ A $ que são maiores do que alguns pontos em $ A $. Somente se $ A = [k, infty) $ ou $ (k infty) $ seria isso não seja verdadeiro.)

Seja $ a em A $. Se $ k em B $ então $ k $ é um limite inferior de $ a $, então $ k le a em A $. Portanto, $ a $ é um limite superior de $ B $.

Portanto, existe um supremo de $ B $. Seja $ s sup B $.

Reivindicação: $ s $ é um limite inferior de $ A $. Se $ a em A $, $ a & lt s $ então $ a $ não é um limite superior de $ B $ e há $ b em B $ de modo que $ a & ltb le s $. Mas $ b $ é um limite inferior de $ A $, então isso é impossível. $ a ge s $ para todos os $ a em A $. Portanto, $ s $ é um limite inferior de $ A $.

Reivindicação $ s = inf A $. $ k & gt s $ then $ k $ $ k not in B $ então $ k $ não é um limite inferior. Portanto, $ s $ é o maior limite inferior. $ s = inf A $.


O ínfimo e o supremo

O número $ M $ é chamado um limite superior de $ S $.

Se um conjunto for limitado de cima, então ele terá infinitos limites superiores, porque cada número maior que o limite superior também é um limite superior. Entre todos os limites superiores, estamos interessados ​​no menor.

Deixe $ S subseteq mathbb$ ser limitado de cima. Um número real $ L $ é chamado de supremo do conjunto $ S $ se o seguinte for válido:

(i) $ L $ é um limite superior de $ S $:

$ x le L, quad forall x in S, $

(ii) $ L $ é o limite superior mínimo:

$ ( forall epsilon & gt 0) ( existe x em S) (L & # 8211 epsilon & lt x). $

O supremo de $ S $ que denotamos como

Se $ L em S $, então dizemos que $ L $ é no máximo $ S $ e escrevemos

Se o conjunto $ S $ não for limitado de cima, escrevemos $ sup S = + infty $.

Proposição 1. Se o número $ A in mathbb$ é um limite superior para um conjunto $ S $, então $ A = sup S $.

A questão é: todo conjunto não vazio delimitado de cima tem um supremo? Considere o seguinte exemplo.

Exemplo 1. Determine um supremo do seguinte conjunto

O conjunto $ S $ é um subconjunto do conjunto de números racionais. De acordo com a definição de um supremo, $ sqrt <2> $ é o supremo do conjunto dado. No entanto, um conjunto $ S $ não tem um supremo, porque $ sqrt <2> $ não é um número racional. O exemplo mostra que no conjunto $ mathbb$ existem conjuntos delimitados de cima que não têm um supremo, o que não é o caso no conjunto $ mathbb$.

Em um conjunto de números reais, o axioma de completude é válido:

Todo conjunto não vazio de números reais que é limitado de cima tem um supremo.

É um axioma que distingue um conjunto de números reais de um conjunto de números racionais.

O ínfimo

De maneira semelhante, definimos termos relacionados a conjuntos que são limitados a partir de baixo.

Um conjunto não vazio $ S subseteq mathbb$ é limitado por baixo se existe $ m in mathbb$ tal que

$ m le x, quad forall x in S. $

O número $ m $ é chamado um limite inferior de $ S $.

Deixe $ S subseteq mathbb$ ser limitado por baixo. Um número real $ L $ é chamado de ínfimo do conjunto $ S $ se o seguinte for válido:

$ L le x, quad forall x in S, $

(ii) $ L $ é o maior limite inferior:

$ ( forall epsilon & gt 0) ( existe x em S) (x & lt L + epsilon). $

O mínimo de $ S $ que denotamos como

Se $ L em S $, então dizemos que $ L $ é o mínimo e escrevemos

Se o conjunto $ S $ não for limitado por baixo, escrevemos $ inf S = & # 8211 infty $.

A existência de um mínimo é dada como um teorema.

Teorema. Todo conjunto não vazio de números reais que é limitado de baixo para cima tem um mínimo.

Proposição 2. Seja $ a, b in mathbb$ tal que $ a & ltb $. Então

(i) $ sup langle a, b rangle = sup langle a, b] = sup [a, b rangle = sup [a, b] = b $,

(ii) $ sup langle a, + infty rangle = sup [a, + infty rangle = + infty $,

(iii) $ inf langle a, b rangle = inf langle a, b] = inf [a, b rangle = inf [a, b] = a $,

(iv) $ inf langle & # 8211 infty, a rangle = inf langle & # 8211 infty, a] = & # 8211 infty $,

(v) $ sup langle & # 8211 infty, a rangle = sup langle & # 8211 infty, a] = inf langle a, + infty rangle = inf [a, + infty rangle = a $.

Exemplo 2. Determine $ sup S $, $ inf S $, $ max S $ e $ min S $ se

Solução. Em primeiro lugar, temos que verificar quais são os $ x $ -s:

A desigualdade acima será menor que zero se o numerador e o denominador forem positivos ou negativos. Distinguimos dois casos:

1.) $ 3-2x & gt0 $ e $ x-1 & gt 0 $, ou seja, $ x & lt frac <3> <2> $ e $ x & gt 1 $. Segue $ x in langle 1, frac <3> <2> rangle $.

2.) $ 3 & # 8211 2x & lt 0 $ e $ x-1 & lt 0 $, ou seja, $ x & gt frac <3> <2> $ e $ x & lt 1 $. Segue $ x in emptyset $.

$ Longrightarrow S = langle 1, frac <3> <2> rangle $

Da proposição 2. segue que $ sup S = frac <3> <2> $ e $ inf S = 1 $.

O mínimo e o máximo não existem (porque não temos limites de intervalo).

Exemplo 3. Determine $ sup S $, $ inf S $, $ max S $ e $ min S $ se

Em primeiro lugar, escreveremos os primeiros termos de $ S $:

Podemos assumir que o menor termo é $ frac <1> <2> $ e não existe um termo maior, entretanto, podemos ver que todos os termos não excedem $ 1 $. Ou seja, assumimos que $ inf S = min S = frac <1> <2> $, $ sup S = 1 $ e $ max S $ do ponto existe. Vamos provar isso!

Para provar que $ 1 $ é o supremo de $ S $, devemos primeiro mostrar que $ 1 $ é um limite superior:

$ Longleftrightarrow x & lt x + 1 $

que é sempre válido. Portanto, $ 1 $ é um limite superior. Agora devemos mostrar que $ 1 $ é o menor limite superior. Vamos pegar $ epsilon & lt 1 $ e mostrar que então existe $ x_0 in mathbb$ tal que

$ Longleftrightarrow x_0 & gt epsilon (x_0 + 1) $

$ Longleftrightarrow x_0 (1- epsilon) & gt epsilon $

e esse $ x_0 $ certamente existe. Portanto, $ sup S = 1 $.

No entanto, $ 1 $ não é o máximo. Ou seja, se $ 1 em S $, então $ existe x_1 in mathbb$ tal que

$ Longleftrightarrow x_1 = x_1 + 1 $

qual é a contradição. Conclui-se que o máximo de $ S $ não existe.

Agora vamos provar que $ min S = frac <1> <2> $.

Como $ frac <1> <2> in S $, é suficiente mostrar que $ frac <1> <2> $ é um limite inferior de $ S $. De acordo com isso, temos

$ Longleftrightarrow 2x ge x + 1 $

$ Longleftrightarrow x ge 1, $

que é válido para todos $ x in mathbb$. Portanto, $ inf S = min S = frac <1> <2> $.


4. Propriedades das fórmulas de segunda ordem

Muitas operações sintáticas com as quais estamos acostumados na lógica de primeira ordem funcionam igualmente bem na lógica de segunda ordem. Uma delas é a operação de relativização, em que queremos limitar o que uma fórmula expressa a uma parte fixa do universo. Por exemplo, podemos considerar modelos onde um determinado predicado unário você é usado para o conjunto de números naturais. Em seguida, relativizamos nossos axiomas da aritmética para o predicado você. Alguma outra parte do modelo pode ser usada para o conjunto de potência do conjunto de números naturais. Em seguida, relativizamos nossos axiomas de conjunto de poder (ver a seção 5.3) para essa parte e assim por diante.

Intuitivamente, ( phi ^) diz sobre (U ^ mm ) o que ( phi ) diz sobre M. Para obter ( phi ^) de ( phi ) restringe-se todos os quantificadores de primeira ordem a elementos de você e quantificadores de segunda ordem para subconjuntos, relações e funções em você.

Hierarquias baseadas na estrutura do quantificador são um método útil para comparar a definibilidade de conceitos em diferentes sistemas. Na lógica de primeira ordem, foi observado muito cedo que as fórmulas podem ser transformadas em um equivalente lógico Forma Normal Prenex em que todos os quantificadores ocorrem no início da fórmula. Isso também é possível na lógica de segunda ordem e a prova é essencialmente a mesma. Além disso, usando a equivalência (que é uma reminiscência de um princípio da teoria dos conjuntos chamado Axioma da Escolha, ao qual retornamos na Seção 5.4., Uma vez que na fórmula abaixo a relação (Y ) em certo sentido escolhe um (X ) para cada (x ) e os coloca juntos em uma relação (Y ) & ndash veja a entrada em Axioma da Escolha para mais informações sobre o assunto.)

[ para todos x , existe X , phi equiv existe Y , para todos x , phi ', ]

onde a aridade de Y é um mais alto do que a aridade de X, e ( phi ') é obtido de ( phi ) substituindo todos os lugares (X (t_1, ldots, t_n) ) por (Y (x, t_1, ldots, t_n) ) , pode-se trazer todas as fórmulas lógicas de segunda ordem para uma forma normal logicamente equivalente

[ tag <4> label Q_1X_1 ldots Q_nX_n phi, ]

onde cada (Q_i ) é ( existe ) ou ( forall ) e ( phi ) é de primeira ordem.

Notação O (Q_i ) em ( ref) está:
( Sigma ^ 1_1 ) Tudo existencial
( Pi ^ 1_1 ) Tudo universal
( Sigma ^ 1_2 ) Primeiro existencial, depois universal
( Pi ^ 1_2 ) Primeiro universal, depois existencial
( vdots ) ( vdots )
Notação A fórmula é logicamente equivalente a:
( Delta ^ 1_1 ) Ambas as fórmulas ( Sigma ^ 1_1 ) e ( Pi ^ 1_1 )
( Delta ^ 1_2 ) Ambas as fórmulas ( Sigma ^ 1_2 ) e ( Pi ^ 1_2 )
( vdots ) ( vdots )

Tabela 1: A hierarquia das fórmulas de segunda ordem.

Restringindo que tipo de quantificadores a sequência (Q_1X_1 ldots Q_nX_n ) da Forma Normal Prenex ( ref) pode conter obtemos as classes de ( Sigma ^ 1_n ) -, ( Pi ^ 1_n ) - e ( Delta ^ 1_n ) - fórmulas, conforme indicado na Tabela 1. Por exemplo, o segundo -fórmulas de ordem (1) e (2) são ( Pi ^ 1_1 ) - fórmulas.

Consideramos acima apenas os quantificadores que ligam variáveis ​​de relação, mas a situação é exatamente a mesma se tivéssemos variáveis ​​de função ligada.

Essas classes de fórmulas têm algumas propriedades de fechamento óbvias: Elas são todas fechadas, até a equivalência lógica, sob ( land, lor ) e quantificadores de primeira ordem. Além disso, a hierarquia é adequada no sentido de que para todos (n ge 1 )

[ tag <5> label Sigma ^ 1_n nsubseteq Pi ^ 1_n text Pi ^ 1_n nsubseteq Sigma ^ 1_n, ]

que pode ser provado com um argumento de diagonalização. As classes ( Delta ^ 1_n ) são fechadas em ( land, lor, neg ) e quantificadores de primeira ordem. Pelo Teorema de Interpolação de Craig & rsquos, ( Delta ^ 1_1 ) - as fórmulas são logicamente equivalentes às fórmulas de primeira ordem [2].

Em certo sentido, ( Pi ^ 1_1 ), ou equivalentemente ( Sigma ^ 1_1 ), já possui todo o poder da lógica de segunda ordem, embora o resultado da hierarquia acima ( ref) mostra que isso não pode ser literalmente verdade. Para ver isso, ou seja, para ver o que significa a redução da lógica de segunda ordem à sua parte ( Pi ^ 1_1 ) - parte, vamos eu seja um vocabulário, E um binário e você um símbolo de relação unário, ambos não em eu. Seja ( theta ) a fórmula de segunda ordem ( Pi ^ 1_1 )

[ tag <6> label forall X ( phi_1 land phi_2 land phi_3), ]

[começar phi_1 & amp text quad forall x , forall y ( forall z (E (z, x) leftrightarrow E (z, y)) to x = y) phi_2 & amp text < é> quad forall x , forall y (E (x, y) to (U (x) land neg U (y))) phi_3 & amp text quad forall x ((X (x) para U (x)) para existe y , para todos z (X (z) leftrightarrow E (z, y))). fim ]

É fácil ver [3] que os modelos de ( theta ) são, até o isomorfismo, modelos ( mm ) onde (M = U ^ mm cup P (U ^ mm) ), (U ^ mm cap P (U ^ mm) = conjunto vazio ) e para todos (a, b em M ), (E ^ mm (a, b) leftrightarrow a em b ). Em tal modelo, as fórmulas monádicas de segunda ordem ( phi ) sobre (U ^ mm ) podem ser reduzidas a fórmulas de primeira ordem ( phi ^ * ) sobre M. Esta redução, devido a Hintikka (1955) e posteriormente desenvolvida por Montague (1963), mostra que ( Pi ^ 1_1 ) - fórmulas sozinhas são suficientes para expressar qualquer propriedade de segunda ordem com predicados extras. A ideia pode ser estendida para a lógica de terceira e ordem superior.

Como consequência, verificar a validade de uma sentença de segunda ordem ( phi ) pode ser reduzido recursivamente para verificar a validade da ( Sigma ^ 1_1 ) - sentença ( theta to phi ^ * ) Da mesma forma, verificar se uma frase de segunda ordem ( phi ) tem um modelo de cardinalidade ( kappa ) pode ser reduzida a perguntar se a ( Pi ^ 1_1 ) - frase ( theta land phi ^ * ) tem um modelo de cardinalidade (2 ^ kappa ). Isso significa que o número L & oumlwenheim [4] e o número Hanf [5] de toda a lógica de segunda ordem são iguais aos do fragmento ( Pi ^ 1_1 ).

Resumindo, após a primeira inspeção, os níveis ( Sigma ^ 1_n ) e ( Pi ^ 1_n ) da hierarquia das fórmulas de segunda ordem crescem estritamente em poder expressivo como n aumenta, mas uma análise mais cuidadosa revela que já o primeiro nível ( Sigma ^ 1_1 xícara Pi ^ 1_1 ) tem o poder de todos os níveis ( Sigma ^ 1_n, Pi ^ 1_n ) mesmo que o o poder está um tanto implícito e precisa ser trazido à luz.

Na teoria dos conjuntos, existe o Hierarquia de arrecadação das fórmulas ( Sigma_n ) - e ( Pi_n ) - (L & eacutevy 1965). Fórmulas em que todos os quantificadores são limitados, ou seja, da forma ( forall x in y ) ou da forma ( existe x in y ) para alguns x e y, são chamados de ( Sigma_0 ) ou equivalentemente ( Pi_0 ). As fórmulas da forma ( forall x , phi ), onde ( phi ) é ( Sigma_n ), são chamadas de ( Pi_). As fórmulas da forma ( existe x , phi ), onde ( phi ) é ( Pi_n ), são chamadas de ( Sigma_). Esta é uma hierarquia estrita aproximadamente pela mesma razão pela qual a hierarquia das fórmulas de segunda ordem ( Sigma ^ 1_n ) - e ( Pi ^ 1_n ) - é estrita. Mas não há nenhum método conhecido para reduzir a verdade de uma fórmula arbitrária à verdade de uma fórmula no nível ( Sigma_1 xícara Pi_1 ). Na verdade, se o problema de decisão, o número de L & oumlwenheim-Skolem e o número de Hanf são adequadamente definidos para ( Sigma_n cup Pi_n ) - fórmulas da teoria dos conjuntos, o problema de decisão fica cada vez mais complicado e os números obtidos ficam maiores e maior como n aumenta (ver Teorema 4 V & auml & aumln & aumlnen 1979).

A hierarquia ( Sigma_n ^ 1 xícara Pi_n ^ 1 ) dentro da lógica de segunda ordem e a hierarquia ( Sigma_n xícara Pi_n ) na teoria dos conjuntos são comparadas entre si no & sect7.


1.5: O Axioma da Completude para os Números Reais

Um dos problemas ao decidir se uma sequência é convergente é que você precisa ter um limite antes de testar a definição.

Bernard Bolzano foi o primeiro a descobrir uma maneira de contornar esse problema usando uma ideia introduzida pela primeira vez pelo matemático francês Augustin Louis Cauchy (1789 a 1857).

Uma sequência é chamada de Sequência de Cauchy se os termos da sequência eventualmente se tornarem todos arbitrariamente próximos uns dos outros.
Isto é, dado ε & gt 0 existe N tal que se m, n & gt N então |umam- uman| & lt ε.

    Observe que esta definição não menciona um limite e, portanto, pode ser verificada a partir do conhecimento sobre a sequência.

    Qualquer sequência de Cauchy é limitada.

Prova
(Quando introduzirmos sequências de Cauchy em um contexto mais geral posteriormente, este resultado ainda será válido.)
A prova é essencialmente igual ao resultado correspondente para sequências convergentes.

Prova
Se (uman)→ α então dado ε & gt 0 escolher N para que se n & gt N nós temos |uman- α| & lt ε. Então se m, n & gt N nós temos |umam- uman| = |(umam- α) - (umam- α)| ≤ |umam- α| + |umam- α| & lt 2ε.

Uma sequência real de Cauchy é convergente.

Prova
Uma vez que a sequência é limitada, ela tem uma subsequência convergente com limite α.
Afirmação:
este α é o limite da sequência de Cauchy.
Prova disso:
Dado ε & gt 0 ir longe o suficiente para baixo na subsequência que um termo uman da subsequência está dentro ε do α. Desde que estejamos longe o suficiente na sequência de Cauchy, qualquer umam estará dentro ε disto uman e, portanto, dentro de 2ε do α.

    O fato de que em R As sequências de Cauchy são iguais às sequências convergentes, às vezes é chamado de Critério de Cauchy para convergência.

III Cada subconjunto de R que é delimitado acima tem um limite superior mínimo.


Propriedade arquimediana

Seja x qualquer número real. Então existe um número natural n tal que n & gt x.

Este teorema é conhecido como Propriedade arquimediana de números reais. Também é às vezes chamado de axioma de Arquimedes, embora esse nome seja duplamente enganoso: não é um axioma (é antes uma consequência da propriedade do limite superior mínimo) nem atribuído a Arquimedes (na verdade, Arquimedes atribui isso a Eudoxus).

Prova.

Seja x um número real e seja S = . Se S estiver vazio, seja n = 1 observe que x & lt n (caso contrário, 1 ∈ S).

Suponha que S não esteja vazio. Uma vez que S tem um limite superior, S deve ter um limite superior mínimo, chamá-lo de b. Agora considere b - 1. Uma vez que b é o menor limite superior, b - 1 não pode ser um limite superior de S, portanto, existe algum y ∈ S tal que y & gt b - 1. Let n = y + 1 then n > b . But y is a natural, so n must also be a natural. Since n > b , we know n ∉ S since n ∉ S , we know n > x . Thus we have a natural greater than x . ∎

Corollary 1 .

If x and y are real numbers with x > 0 , there exists a natural n such that n ⁢ x > y .

Proof.

Since x and y are reals, and x ≠ 0 , y / x is a real. By the Archimedean property, we can choose an n ∈ ℕ such that n > y / x . Then n ⁢ x > y . ∎

Corollary 2 .

If w is a real number greater than 0 , there exists a natural n such that 0 < 1 / n < w .

Proof.

Using Corollary 1, choose n ∈ ℕ satisfying n ⁢ w > 1 . Then 0 < 1 / n < w . ∎

Corollary 3 .

If x and y are real numbers with x < y , there exists a rational number a such that x < a < y .

Proof.

First examine the case where 0 ≤ x . Using Corollary 2, find a natural n satisfying 0 < 1 / n < ( y - x ) . Let S = < m ∈ ℕ : m / n ≥ y >. By Corollary 1 S is non-empty, so let m 0 be the least element of S and let a = ( m 0 - 1 ) / n . Then a < y . Furthermore, since y ≤ m 0 / n , we have y - 1 / n < a and x < y - 1 / n < a . Thus a satisfies x < a < y .

Now examine the case where x < 0 < y . Take a = 0 .

Finally consider the case where x < y ≤ 0 . Using the first case, let b be a rational satisfying - y < b < - x . Then let a = - b . ∎


Consumer’s Preferences and Its Assumptions | Microeconomics

This standard theory of consumer’s choice starts with the assumption that the consumer can rank any two consumption bundles (x1, x2) and (y1 , y2) in order of their desirability.

This means that the consumer has two alternatives:

(i) Either he can determine that one of the consumption bundle is strictly better than the other.

(ii) Or, he is indifferent between the two bundles.

In this context we define the following three terms:

If the first bundle (x1, x2) is strictly preferred to the second one (y1 y2) we can express this as (x1, x2) (y1, y2). O símbolo implies that he definitely wants (prefers) the first (x-bundle) rather than the second (y-bundle) when both are available. So the consumer will choose (x1, x2) over (y1, y2) if he is given the opportunity to do so.

to denote indifference. If the consumer is indifferent between the two bundles, we express this as (x1, x2)

(y1, y2) This means that the consumer is just satisfied, in his own way, in the sense that he can choose any of the two bundles, according to his own preference and be equally satisfied. In this case he has hardly anything to choose from.

We use the symbol > to indicate weak preference. Weak preference means either strict preference or indifference. Thus if the consumer prefers (x1, x2) to (y1, y2) we write: (x1, x2) > (y1, y2).

These three concepts are not independent of one another or mutually exclusive. Instead they are closely interrelated.

(y1, y2) This means that if according to his own preference the consumer thinks that (x1, x2) is at least as good as (y1, y2) and that (y1, y2) is at least as good as (x1, x2) then it logically follows that he must be indifferent between the two bundles.

If (x1, x2) > (y1, y2) but the consumer is not indifferent between (x1, x2) and (y1, y2) then (x1, x2) > (y1 y2) This means that if the consumer thinks that (x1, x2) is at least as good as (y1, y2) and he is not indifferent between the two bundles, then he must think that (x1, x2) is strictly preferred to (y1, y2).

Assumptions (Axioms) about Preferences:

Since a consumer is not only assumed to behave rationally but also consistently there is a logical contradiction to think of a situation where (x1, x2) > (y1, y2) and, at the same time (y1, y2) > (x1, x2) For this means two things at the same time: the consumer prefers the x-bundle to the y-bundle and then again he prefers the y-bundle to the x-bundle. These are virtually impossible.

To avoid such logical contradictions we make some assumptions about how the consumer behaves in choice situations involving the two bundles. These are known as ‘axioms’ of consumer theory which explain how the preference relations actually work.

Various axioms of choice are required to derive a consumer’s indifference map which is a collection of all indifference curves. The object is to construct a model of the consumer’s preferences, which allows us to specify certain important properties of the consumer’s ranking of consumption bundles in terms of ‘better’, ‘worse’, or ‘as good as’.

Restrictions on preferences translate into restrictions on the form of utility functions. The property of monotonicity, for example, implies that the utility function is increasing: u(X) > u(Y) if X > Y.

The property of convexity of preferences, on the other hand, implies that t/(x1, x2) is quasi-concave (and, similarly, strict convexity of preferences implies strict quasi-concavity of U). Increasing-ness and quasi-concavity are ordinal properties of U.

Three fundamental axioms are the following:

1. The Axiom of Completeness:

Prima facie, we assume that any two bundles can be compared. For example, given the above two bundles, viz., the X-bundle and the Y-bundle we assume that (x1, x2) > (y1, y2) or (y1, y2) > (x1, x2) or both. This means that the consumer cannot choose between the two bundles, i.e., he is indifferent between them.

All commodity bundles can be compared in terms of either indifference or preference. This axiom is also referred to as the axiom of comparability or connectedness. This axiom (assumption) says in effect that the consumer is able to express a preference or indifference between any pair of consumption bundles however alike or unalike they may be.

This ensures that there are no ‘holes’ in the preference ordering, points or areas to which it does not apply.

2. Axiom of Reflexiveness (reflexivity):

Any bundle is assumed to be as good as itself. This means that (x1, x2) > (x1, x2) In other words, any bundle is preferred or indifferent to itself. This ensures that every bundle belongs to at least one indifference set, namely, that containing itself, if nothing else.

3. Axiom of Transitivity:

Both indifference and preference must be transitive. If any bundle X is strictly preferred to Y and F is strictly preferred to Z, then X must be strictly preferred to Z. Similarly, if the consumer is indifferent between X and Y and between Y and Z, he will indifferent between X and Z. Thus if X > Y and Y > Z, if X is weakly preferred to Y and Y is weakly preferred to Z, then X will be weakly preferred to Z.

Intuitively, this is a consistency requirement on the consumer. Given the first two statements, if the third did not hold, so that Z is strictly preferred to X, we would feel that there was an inconsistency in his preferences. This assumption has an important implication for the ‘indifference’ sets, in that it implies that no bundle can belong to more than one set.

Comments on the Axioms:

1. The first axiom implies that any rational consumer is able to make a choice between any two given bundles.

2. The second axiom is a tautology. It is the statement of the obvious. There is nothing new in it. It is quite obvious that any bundle is certainly at least as good as itself or an identical bundle.

3. The third axiom creates a problem. Whether transitivity of preference is necessarily a property that preferences would have to fulfil (obey) is not always transparent.

No doubt transitivity is hypothesis — or a provisional statement — about a consumer’s choice behaviour. But it creates a problem. If a rational consumer is given a choice among three bundles such as X, Y and Z and if he chooses any one of these there would always be one that was preferred to it. So it is not difficult to identify ‘the most preferred’ bundle.

So in order to develop a meaningful theory of consumer demand which enables us to identify the ‘best’ choice for an individual consumer, preferences have to be transitive. Otherwise there would always exist a set of bundles from which it is not possible to make the best choice (or identify the best possible bundle).

4. Axiom of Non-Satiation:

A consumption bundle X will preferred to Y if X contains more of at least one good and no less of any other, i.e., if X > Y.

This axiom establishes a relationship between the quantities of goods in a bundle and its place in the preference ordering the more of each good it contains the better. Moreover, this axiom holds true however large the amounts of the goods in the bundle may be.

The term ‘non-satiation’ implies that the consumer is assumed never to be satisfied with goods. In other words none of the goods is a ‘bad’ such as polluted air or aircraft noise which one would prefer to have as less as possible. It is also assumed that the consumer is never satiated in any good. It is also known as the non-saturation assumption.

The Law of Substitution:

We also make another technical assumption here. The whole indifference curve approach is based on the law of substitution which states that the consumption of one commodity is always at the expense of the other.


1.5: The Completeness Axiom for the Real Numbers

Class Location & Time: Tue, 1:00PM - 2:00 PM Thu, 11:00 AM - 1:00 PM NE2190

Instructor: Ilia Binder ([email protected]), DH3026.
Office Hours: Tue 2:00 PM - 3:00 PM and Thu 10:00 AM-11:00 AM

Teaching Assistant: Belal Abuelnasr, ([email protected] ).
Office Hours: Fri, 10-11 AM, DH3050.

Textbooks: Understanding Analysis, Second Edition, by Stephen Abbott. This book is provided as a free electronic resource to all UofT students through the library website. Click on the following link to access the textbook (you may be required to enter your UTORid and password):
http://myaccess.library.utoronto.ca/login?url=http://books.scholarsportal.info/viewdoc.html?id=/ebooks/ebooks3/springer/2015-07-09/1/9781493927128

Prerequisites: MAT102H5, MAT224H5/MAT240H5, MAT212H5/MAT244H5, MAT232H5/MAT233H5/MAT257Y5
Exclusions: MAT337H1, MAT357H1,MATB43H3, MATC37H3

Prerequisites will be checked, and students not meeting them will be removed from the course by the end of the second week of classes. If a student believes that s/he does have the necessary background material, and is able to prove it (e.g., has a transfer credit from a different university), then s/he should submit a 'Prerequisite/Corequisite Waiver Request Form'.

Topics.
The course is the rigorous introduction to Real Analysis. We start with the careful discussion of The Axiom of Completeness and proceed to the study of the basic concepts of limits, continuity, Riemann integrability, and differentiability.

Topics covered in class.

September 6: An introduction. Real numbers and the Axiom of Completeness. Section 1.3.
September 11: The Axiom of Completeness. Nested Interval property. Sections 1.3, 1.4.
September 13: Nested Interval property. Archimedean property. Definitions of the limit of a sequence (including an alternative definition). Limits and algebraic operations. Sections 1.4, 2.2, 2.3.
September 18: Limits and algebraic operations. Limits and order. Squeezed sequence lemma.Section 2.3.
September 20: The Monotone Convergence Theorem. Iterated sequences. Positive series. Liminf and limsup. Section 2.4.
September 25: Liminf and limsup. Subsequences and their limits. Bolzano-Weierstrass Theorem. Section 2.5.
September 27: Bolzano-Weierstrass Theorem. Cauchy Criterion. Series. Sections 2.5, 2.6, 2.7.
October 2:Open and closed sets. Interrior, exterior, and border points. Section 3.2.
October 4:Interrior, exterior, and border points. Compact sets. Heine-Borel Theorem. Sections 3.2, 3.3.
October 16: Heine-Borel Theorem. Baire's Theorem. Sections 3.3, 3.5.
October 18: Functional limits. Sequential criterion. Continuity. Sections 4.2, 4.3.
October 23: Continuity and compact sets. Uniform continuity. Section 4.4.
October 25: Uniform continuity and compact sets. The Intermediate value Theorem. Differentiability (including an alternative definition). Darboux's Theorem. Sections 4.4, 4.5, 5.2.
October 30: Rolle's theorem. The Mean Value Theorem. L'Hospital rule. Pointwise and Uniform convergence. Sections 5.3, 6.2.
November 1: Uniform convergence. Continuity of uniform limit. Uniform convergence and differentiation. Sections 6.2, 6.3.
November 6: Midterm review.
November 8: Midterm.
November 13: Uniform convergence and differentiation. Uniform convergence of series. Sections 6.3, 6.4.
November 15: Power series. Section 6.5.
November 20: Riemann Integration. Section 7.2.
November 22: Riemann Integration: criterion of integrability, non-integrable functions integrability of continuous functions, additivity and algebraic properties of Riemann integral. Sections 7.2, 7.3, 7.4.
November 27: Algebraic properties of Riemann Integral. Integrability of Uniform limit. Section 7.4.
November 29: The Fundamental Theorem of Calculus. Integration by parts. Riemann integrability criterion. Sections 7.5, 8.1.
December 4: Final review.

Homework. The assignments should be submitted through Quercus. To submit, you can scan or take a photo of your work (or write your work electronically). Please make sure that the images are clear and easy to read before you submit them.

Assignment #1, due September 13: The assignment is based on the material you have learned in MAT102.
Please do the following exercises from the textbook: 1.2.3, 1.2.4, 1.2.5, 1.2.7, 1.2.8, 1.2.9, 1.2.10, 1.2.11, 1.2.12, 1.2.13.

Tutorials and presentations. Each student must be registered in one of the tutorials (on ROSI). The attendance of tutorials is mandatory. Based on the homework assignments, the students will be selected to present some of the homework problems at the tutorials. An unexcused absence at the tutorial on the day you are selected for the presentation will result in zero credit for the presentation.
Tutorials will begin on Friday of the second week of classes.

Quiz. There will be a one-hour in-tutorial quiz on Friday, September 28, or Monday, October 1, depending on your tutorial section. No aides are allowed for this quiz. The quiz will cover the material of the sections 1.3, 1.4, 2.2, 2.3, 2.4.
Recommended preparation (do not hand in): problems 1.3.2, 1.3.3, 1.3.6, 1.3.8, 1.4.8, 2.2.2, 2.2.4, 2.3.2, 2.3.7, 2.4.1, 2.4.6, 2.4.8.

Midterm Test. There will be a two-hour in-class midterm test on Thursday, November 8. No aides are allowed for this test. The test will cover the material of the sections 1.3, 1.4, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6, 2.7, 3.2, 3.3, 3.5, 4.2, 4.3, .4.4, 4.5, 5.2, 5.3.
Recommended preparation: assignment #7, and (do not hand in): all the quiz review problems, 2.5.9, 2.6.4, 2.7.7, 3.2.8, 3.3.8, 3.5.9, 4.2.4, 4.3.6, 4.4.11, 4.5.6, 5.2.10, 5.3.4.

Final exam. The final exam will be held on Wednesday, December 12, 5-8pm, at KN137. No aides are allowed for this test.
The exam will cover the material of the sections 1.3, 1.4, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6, 2.7, 3.2, 3.3, 3.5, 4.2, 4.3, .4.4, 4.5, 5.2, 5.3, 6.2, 6.3, 6.4, 6.5, 6.6 (up to Theorem 6.6.2), 7.2, 7.3, 7.4, 7.5, 8.1 (up to Theorem 8.1.2).
You will be required to state and prove in detail one of the following Theorems from the textbook: 2.4.2, 2.5.5, 3.3.4, 4.2.3, 4.3.9, 4.4.1, 4.4.2, 4.4.7, 5.2.7, 5.3.2, 6.2.6, 6.4.4, 7.2.8, 7.5.1.
Recommended preparation (do not hand in): all the quiz and midterm review problems, 6.2.3, 6.2.13, 6.2.14, 6.2.15, 6.3.1, 6.3.6, 6.4.2, 6.4.4, 6.4.10, 6.5.2, 6.5.8, 7.2.3, 7.3.2, 7.3.5, 7.4.3, 7.4.10, 7.5.2, 7.5.4.
Additional office hours: Tuesday, December 11, 12 - 1. Location: DH3000 Location: DV-2094A -->.

Grading. Grades will be based on the best eight out of ten homework assignements (10%), an in-tutorial quiz (10%), an in-lecture midterm test (25%), tutorial presentations (15%), attendance of tutorials and active participation in the discussions (5%), and Final exam (35%). I will also occasionally assign bonus problems.

Late work. No late work will be accepted. Special consideration for late assignments or missed exams must be submitted via e-mail within a week of the original due date. There will be no make-up quiz, midterm test, or final. Justifiable absences must be declared on ROSI, undocumented absences will result in zero credit.

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Academic Integrity.
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attribution. You are expected to read the handout How not to plagiarize (http://www.writing.utoronto.ca/advice/using-sources/how-not-to-plagiarize) and to be familiar with the Code of behaviour on academic matters, which is linked from the UTM calendar under the link Codes and policies.