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1.1E: Exercícios para Vetores no Plano


Para os exercícios 1 - 10, considere os pontos (P (−1,3), Q (1,5), ) e (R (−3,7) ). Determine os vetores solicitados e expresse cada um deles

(a. ) em forma de componente e

(b. ) usando vetores de unidade padrão.

1) ( vecd {PQ} )

Responder:
uma. ( vecd {PQ} = ⟨2,2⟩ )
b. ( vecd {PQ} = 2 hat { mathbf i} +2 hat { mathbf j} )

2) ( vecd {PR} )

3) ( vecd {QP} )

Responder:
uma. ( vecd {QP} = ⟨− 2, −2⟩ )
b. ( vecd {QP} = - 2 hat { mathbf i} −2 hat { mathbf j} )

4) ( vecd {RP} )

5) ( vecd {PQ} + vecd {PR} )

Responder:
uma. ( vecd {PQ} + vecd {PR} = ⟨0,6⟩ )
b. ( vecd {PQ} + vecd {PR} = 6 hat { mathbf j} )

6) ( vecd {PQ} - vecd {PR} )

7) (2 vecd {PQ} -2 vecd {PR} )

Responder:
uma. (2 vecd {PQ} → −2 vecd {PR} = ⟨8, −4⟩ )
b. (2 vecd {PQ} −2 vecd {PR} = 8 hat { mathbf i} −4 hat { mathbf j} )

8) (2 vecd {PQ} + frac {1} {2} vecd {PR} )

9) O vetor unitário na direção de ( vecd {PQ} )

Responder:
uma. ( left langle frac { sqrt {2}} {2}, frac { sqrt {2}} {2} right rangle )
b. ( frac { sqrt {2}} {2} hat { mathbf i} + frac { sqrt {2}} {2} hat { mathbf j} )

10) O vetor unitário na direção de ( vecd {PR} )

11) Um vetor ({ overset { scriptstyle rightharpoonup} { mathbf v}} ) tem ponto inicial ((- 1, −3) ) e ponto terminal ((2,1) ). Encontre o vetor unitário na direção de ( vecs v ). Expresse a resposta em forma de componente.

Responder:
(⟨ Frac {3} {5}, frac {4} {5}⟩ )

12) Um vetor ( vecs v ) tem ponto inicial ((- 2,5) ) e ponto terminal ((3, −1) ). Encontre o vetor unitário na direção de ( vecs v ). Expresse a resposta em forma de componente.

13) O vetor ( vecs v ) possui ponto inicial (P (1,0) ) e ponto terminal (Q ) que está no eixo (y ) e acima do ponto inicial. Encontre as coordenadas do ponto terminal (Q ) de forma que a magnitude do vetor ( vecs v ) seja ( sqrt {5} ).

Responder:
(Q (0,2) )

14) O vetor ( vecs v ) tem ponto inicial (P (1,1) ) e ponto terminal (Q ) que está no eixo (x ) - e à esquerda do ponto inicial. Encontre as coordenadas do ponto terminal (Q ) de forma que a magnitude do vetor ( vecs v ) seja ( sqrt {10} ).

Para os exercícios 15 e 16, use os vetores fornecidos ( vecs a ) e ( vecs b ).

uma. Determine a soma vetorial ( vecs a + vecs b ) e expresse-a na forma de componentes e usando os vetores unitários padrão.

b. Encontre a diferença vetorial ( vecs a - vecs b ) e expresse-a na forma de componentes e usando os vetores unitários padrão.

c. Verifique se os vetores ( vecs a, , vecs b, ) e ( vecs a + vecs b ), e, respectivamente, ( vecs a, , vecs b ) e ( vecs a− vecs b ) satisfaz a desigualdade do triângulo.

d. Determine os vetores (2 vecs a, - vecs b, ) e (2 vecs a− vecs b. ) Expresse os vetores na forma de componentes e usando vetores unitários padrão.

15) ( vecs a = 2 hat { mathbf i} + hat { mathbf j}, vecs b = hat { mathbf i} +3 hat { mathbf j} )

Responder:
(a. , vecs a + vecs b = ⟨3,4⟩, quad vecs a + vecs b = 3 hat { mathbf i} +4 hat { mathbf j} )
(b. , vecs a− vecs b = ⟨1, −2⟩, quad vecs a− vecs b = hat { mathbf i} −2 hat { mathbf j} )
(c. ) As respostas irão variar
(d. , 2 vecs a = ⟨4,2⟩, quad 2 vecs a = 4 hat { mathbf i} +2 hat { mathbf j}, quad - vecs b = ⟨ −1, −3⟩, quad - vecs b = - hat { mathbf i} −3 hat { mathbf j}, quad 2 vecs a− vecs b = ⟨3, −1⟩, quad 2 vecs a− vecs b = 3 hat { mathbf i} - hat { mathbf j} )

16) ( vecs a = 2 hat { mathbf i}, vecs b = −2 hat { mathbf i} +2 hat { mathbf j} )

17) Seja ( vecs a ) um vetor de posição padrão com ponto terminal ((- 2, −4) ). Seja ( vecs b ) um vetor com ponto inicial ((1,2) ) e ponto terminal ((- 1,4) ). Encontre a magnitude do vetor (- 3 vecs a + vecs b − 4 hat { mathbf i} + hat { mathbf j}. )

Responder:
(15)

18) Seja ( vecs a ) um vetor de posição padrão com ponto terminal em ((2,5) ). Seja ( vecs b ) um vetor com ponto inicial ((- 1,3) ) e ponto terminal ((1,0) ). Encontre a magnitude do vetor ( vecs a − 3 vecs b + 14 hat { mathbf i} −14 hat { mathbf j}. )

19) Sejam ( vecs u ) e ( vecs v ) dois vetores diferentes de zero que não são equivalentes. Considere os vetores ( vecs a = 4 vecs u + 5 vecs v ) e ( vecs b = vecs u + 2 vecs v ) definidos em termos de ( vecs u ) e ( vecs v ). Encontre o escalar (λ ) de forma que os vetores ( vecs a + λ vecs b ) e ( vecs u− vecs v ) sejam equivalentes.

Responder:
(λ = −3 )

20) Sejam ( vecs u ) e ( vecs v ) dois vetores diferentes de zero que não são equivalentes. Considere os vetores ( vecs a = 2 vecs u − 4 vecs v ) e ( vecs b = 3 vecs u − 7 vecs v ) definidos em termos de ( vecs u ) e ( vecs v ). Encontre os escalares (α ) e (β ) de forma que os vetores (α vecs a + β vecs b ) e ( vecs u− vecs v ) sejam equivalentes.

21) Considere o vetor ( vecs a (t) = ⟨ cos t, sin t⟩ ) com componentes que dependem de um número real (t ). Como o número (t ) varia, os componentes de ( vecs a (t) ) também mudam, dependendo das funções que os definem.

uma. Escreva os vetores ( vecs a (0) ) e ( vecs a (π) ) em forma de componente.

b. Mostre que a magnitude (∥ vecs a (t) ∥ ) do vetor ( vecs a (t) ) permanece constante para qualquer número real (t ).

c. Como (t ) varia, mostre que o ponto terminal do vetor ( vecs a (t) ) descreve um círculo centrado na origem do raio (1 ).

Responder:
(a. , vecs a (0) = ⟨1,0⟩, quad vecs a (π) = ⟨− 1,0⟩ )
(b. ) As respostas podem variar
(c. ) As respostas podem variar

22) Considere o vetor ( vecs a (x) = ⟨x, sqrt {1 − x ^ 2}⟩ ) com componentes que dependem de um número real (x∈ [−1,1] ). Como o número (x ) varia, os componentes de ( vecs a (x) ) também mudam, dependendo das funções que os definem.

uma. Escreva os vetores ( vecs a (0) ) e ( vecs a (1) ) em forma de componente.

b. Mostre que a magnitude (∥ vecs a (x) ∥ ) do vetor ( vecs a (x) ) permanece constante para qualquer número real (x ).

c. Como (x ) varia, mostre que o ponto terminal do vetor ( vecs a (x) ) descreve um círculo centrado na origem do raio (1 ).

23) Mostre que os vetores ( vecs a (t) = ⟨ cos t, sin t⟩ ) e ( vecs a (x) = ⟨x, sqrt {1 − x ^ 2}⟩ ) são equivalentes para (x = 1 ) e (t = 2kπ ), onde (k ) é um inteiro.

Responder: As respostas podem variar

24) Mostre que os vetores ( vecs a (t) = ⟨ cos t, sin t⟩ ) e ( vecs a (x) = ⟨x, sqrt {1 − x ^ 2}⟩ ) são opostos para (x = 1 ) e (t = π + 2kπ ), onde (k ) é um inteiro.

Para os exercícios 25-28, encontre um vetor ( vecs v ) com a magnitude dada e na mesma direção do vetor ( vecs u ).

25) ( | vecs v | = 7, quad vecs u = ⟨3,4⟩ )

Responder:
( vecs v = ⟨ frac {21} {5}, frac {28} {5}⟩ )

26) (‖ vecs v‖ = 3, quad vecs u = ⟨− 2,5⟩ )

27) (‖ vecs v‖ = 7, quad vecs u = ⟨3, −5⟩ )

Responder:
( vecs v = ⟨ frac {21 sqrt {34}} {34}, - frac {35 sqrt {34}} {34}⟩ )

28) (‖ vecs v‖ = 10, quad vecs u = ⟨2, −1⟩ )

Para os exercícios 29-34, encontre a forma componente do vetor ( vecs u ), dada sua magnitude e o ângulo que o vetor faz com o eixo (x ) positivo. Dê respostas exatas quando possível.

29) (‖ vecs u‖ = 2, θ = 30 ° )

Responder:
( vecs u = ⟨ sqrt {3}, 1⟩ )

30) (‖ vecs u‖ = 6, θ = 60 ° )

31) (‖ vecs u‖ = 5, θ = frac {π} {2} )

Responder:
( vecs u = ⟨0,5⟩ )

32) (‖ vecs u‖ = 8, θ = π )

33) (‖ vecs u‖ = 10, θ = frac {5π} {6} )

Responder:
( vecs u = ⟨− 5 sqrt {3}, 5⟩ )

34) (‖ vecs u‖ = 50, θ = frac {3π} {4} )

Para os exercícios 35 e 36, o vetor ( vecs u ) é fornecido. Encontre o ângulo (θ∈ [0,2π) ) que o vetor ( vecs u ) faz com a direção positiva do eixo (x ) -, no sentido anti-horário.

35) ( vecs u = 5 sqrt {2} hat { mathbf i} −5 sqrt {2} hat { mathbf j} )

Responder:
(θ = frac {7π} {4} )

36) ( vecs u = - sqrt {3} hat { mathbf i} - hat { mathbf j} )

37) Sejam ( vecs a = ⟨a_1, a_2⟩, vecs b = ⟨b_1, b_2⟩ ), e ( vecs c = ⟨c_1, c_2⟩ ) três vetores diferentes de zero. Se (a_1b_2 − a_2b_1 ≠ 0 ), então mostre que existem dois escalares, (α ) e (β ), tais que ( vecs c = α vecs a + β vecs b. )

Responder: As respostas podem variar

38) Considere os vetores ( vecs a = ⟨2, −4⟩, vecs b = ⟨− 1,2⟩, ) e ( vecs c = vecs 0 ) Determine os escalares (α ) e (β ) tal que ( vecs c = α vecs a + β vecs b ).

39) Seja (P (x_0, f (x_0)) ) um ponto fixo no gráfico da função diferenciável (f ) com um domínio que é o conjunto de números reais.

uma. Determine o número real (z_0 ) de forma que o ponto (Q (x_0 + 1, z_0) ) esteja situado na reta tangente ao gráfico de (f ) no ponto (P ).

b. Determine o vetor unitário ( vecs u ) com ponto inicial (P ) e ponto terminal (Q ).

Responder:
(a. quad z_0 = f (x_0) + f ′ (x_0); quad b. quad vecs u = frac {1} { sqrt {1+ [f ′ (x_0)] ^ 2} } ⟨1, f ′ (x_0)⟩ )

40) Considere a função (f (x) = x ^ 4, ) onde (x∈R ).

uma. Determine o número real (z_0 ) tal que o ponto (Q (2, z_0) ) s situado na reta tangente ao gráfico de (f ) no ponto (P (1,1) ).

b. Determine o vetor unitário ( vecs u ) com ponto inicial (P ) e ponto terminal (Q ).

41) Considere (f ) e (g ) duas funções definidas no mesmo conjunto de números reais (D ). Sejam ( vecs a = ⟨x, f (x)⟩ ) e ( vecs b = ⟨x, g (x)⟩ ) dois vetores que descrevem os gráficos das funções, onde (x∈ D ). Mostre que se os gráficos das funções (f ) e (g ) não se cruzam, então os vetores ( vecs a ) e ( vecs b ) não são equivalentes.

42) Encontre (x∈R ) de forma que os vetores ( vecs a = ⟨x, sin x⟩ ) e ( vecs b = ⟨x, cos x⟩ ) sejam equivalentes.

43) Calcule as coordenadas do ponto (D ) de modo que (ABCD ) seja um paralelogramo, com (A (1,1), B (2,4) ), e (C (7,4) ) ).

Responder:
(D (6,1) )

44) Considere os pontos (A (2,1), B (10,6), C (13,4) ), e (D (16, −2) ). Determine a forma do componente do vetor ( vecd {AD} ).

45) O Rapidez de um objeto é a magnitude de seu vetor de velocidade relacionado. Uma bola de futebol jogada por um quarterback tem uma velocidade inicial de (70 ) mph e um ângulo de elevação de (30 ° ). Determine o vetor de velocidade em mph e expresse-o na forma de componentes. (Arredonde para duas casas decimais.)

Responder:
(⟨60.62,35⟩)

46) Um jogador de beisebol arremessa a bola em um ângulo de (30 ° ) com a horizontal. Se a velocidade inicial da bola for (100 ) mph, encontre os componentes horizontal e vertical do vetor de velocidade inicial da bola de beisebol. (Arredonde para duas casas decimais.)

47) Uma bala é disparada com uma velocidade inicial de (1500 ) pés / seg em um ângulo de (60 ° ) com a horizontal. Encontre os componentes horizontal e vertical do vetor de velocidade do marcador. (Arredonde para duas casas decimais.)

Responder:
Os componentes horizontal e vertical são (750 ) pés / seg e (1299,04 ) pés / seg, respectivamente.

48) [T] Um velocista de 65 kg exerce uma força de (798 ) N em um ângulo de (19 ° ) em relação ao solo no bloco de partida no instante em que a corrida começa. Encontre o componente horizontal da força. (Arredonde para duas casas decimais.)

49) [T] Duas forças, uma força horizontal de (45 ) lb e outra de (52 ) lb, atuam no mesmo objeto. O ângulo entre essas forças é (25 ° ). Encontre a magnitude e o ângulo de direção do eixo positivo (x ) da força resultante que atua sobre o objeto. (Arredonde para duas casas decimais.)

Responder:
A magnitude da força resultante é (94,71 ) lb; o ângulo de direção é (13,42 ° ).

50) [T] Duas forças, uma força vertical de (26 ) lb e outra de (45 ) lb, atuam no mesmo objeto. O ângulo entre essas forças é (55 ° ). (Arredonde para duas casas decimais.)

51) [T] Três forças atuam no objeto. Duas das forças têm as magnitudes (58 ) N e (27 ) N, e fazem ângulos (53 ° ) e (152 ° ), respectivamente, com o eixo (x ) positivo . Encontre a magnitude e o ângulo de direção do eixo positivo (x ) da terceira força de forma que a força resultante atuando no objeto seja zero. (Arredonde para duas casas decimais.)

Responder:
A magnitude do terceiro vetor é (60.03 ) N; o ângulo de direção é (259,38 ° ).

52) Três forças com magnitudes 80 Libra, 120 lb, e 60 lb agir em um objeto em ângulos de (45 °, 60 ° ) e (30 ° ), respectivamente, com o eixo (x ) positivo. Encontre a magnitude e o ângulo de direção do eixo positivo (x ) da força resultante. (Arredonde para duas casas decimais.)

53) [T] Um avião está voando na direção de (43 ° ) a leste do norte (também abreviado como (N43E ) a uma velocidade de (550 ) mph. Um vento com velocidade (25 ) mph vem do sudoeste em uma direção de (N15E ). Quais são a velocidade de solo e a nova direção do avião?

Responder:
A nova velocidade de solo do avião é de (572,19 ) mph; a nova direção é (N41.82E. )

54) [T] Um barco está navegando na água a (30 ) mph na direção de (N20E ) (ou seja, (20 ° ) a leste do norte). Uma forte corrente está se movendo a (15 ) mph na direção de (N45E ). Quais são a nova velocidade e direção do barco?

55) [T] Um peso de 50 lb é pendurado por um cabo de modo que as duas partes do cabo façam ângulos de (40 ° ) e (53 ° ), respectivamente, com a horizontal. Encontre as magnitudes das forças de tensão ( vecs T_1 ) e ( vecs T_2 ) nos cabos se a força resultante atuando no objeto for zero. (Arredonde para duas casas decimais.)

Responder:
( | vecs T_1 | = 30,13 , lb, quad | vecs T_2 | = 38,35 , lb )

56) [T] Um peso de 62 lb está pendurado em uma corda que faz os ângulos de (29 ° ) e (61 ° ), respectivamente, com a horizontal. (Arredonde para duas casas decimais.)

57) [T] Um barco de 1.500 lb está estacionado em uma rampa que faz um ângulo de (30 ° ) com a horizontal. O vetor de peso do barco aponta para baixo e é uma soma de dois vetores: um vetor horizontal ( vecs v_1 ) que é paralelo à rampa e um vetor vertical ( vecs v_2 ) que é perpendicular à superfície inclinada. As magnitudes dos vetores ( vecs v_1 ) e ( vecs v_2 ) são os componentes horizontal e vertical, respectivamente, do vetor de peso do barco. Encontre as magnitudes de ( vecs v_1 ) e ( vecs v_2 ). (Arredonde para o número inteiro mais próximo).

Responder:
( | vecs v_1 | = 750 , lb, quad | vecs v_2 | = 1299 , lb )

58) [T] Uma caixa de 85 lb está em repouso em uma inclinação de (26 ° ). Determine a magnitude da força paralela à inclinação necessária para evitar que a caixa deslize. (Arredonde para o número inteiro mais próximo).

59) Um cabo de sustentação sustenta um poste de (75 ) pés de altura. Uma extremidade do fio é presa ao topo do poste e a outra extremidade é ancorada ao solo a (50 ) pés da base do poste. Determine os componentes horizontal e vertical da força de tensão no fio se sua magnitude for (50 ) lb. (Arredonde para o inteiro mais próximo).

Responder:
Os dois componentes horizontais e verticais da força de tensão são (28 ) lb e (42 ) lb, respectivamente.

60) Um fio de sustentação de poste telefônico tem um ângulo de elevação de (35 ° ) em relação ao solo. A força de tensão no arame de sustentação é (120 ) lb. Encontre os componentes horizontal e vertical da força de tensão. (Arredonde para o número inteiro mais próximo).

Contribuidores

Gilbert Strang (MIT) e Edwin “Jed” Herman (Harvey Mudd) com muitos autores contribuintes. Este conteúdo da OpenStax é licenciado com uma licença CC-BY-SA-NC 4.0. Baixe gratuitamente em http://cnx.org.


EXERCÍCIOS PROBLEMAS VETORES

A solução está no Manual de Soluções do Aluno.
A solução www está disponível na World Wide Web em:
http://www.wiley.com/college/hrW
A solução está disponível no Interactive Learning Ware.

Adicionando Vetores Geometricamente

1E. Considere dois deslocamentos, um de magnitude 3 me outro de magnitude 4 m. Mostre como os vetores de deslocamento podem ser combinados para obter um deslocamento resultante de magnitude (a) 7 m, (b) I m e (c) 5 m.

2P. Um banco no centro de Boston é assaltado (veja o mapa em). Para iludir a polícia, os ladrões escapam de helicóptero, realizando três voos sucessivos descritos pelos seguintes deslocamentos: 32 km, 45 ° ao sul de 53 km, 26 ° ao norte de 26 km ao oeste, ISO ao leste do sul. No final do terceiro vôo, eles são capturados. Em qual cidade eles são presos? (Use o método geométrico para adicionar esses deslocamentos no mapa.)

3-3 Componentes 0f Vetores

3E. Quais são (a) o componente x e (b) o componente y de um vetor a no plano Joy se sua direção for 2500 no sentido anti-horário

da direção positiva do eixo x e sua magnitude é 7,3 m?

4E. Expresse os seguintes ângulos em radianos: (a) 20,0 ·, (b) 50,0 (c) 100 ·. Converta os seguintes ângulos em graus: (d) 0,330 rad, (e) 2,10 rad, (f) 7,70 rad. SE. O componente x do vetor A é -25,0 m e o componente y é 40,0 m. (a) Qual é o módulo de A? (b) Qual é o ângulo entre a direção de A e a direção positiva de x?

6E. Um vetor de deslocamento r em qualquer plano tem 15 m de comprimento e é direcionado como mostrado em. Determine (a) o componente xe (b) o componente y do vetor.

7P. Uma roda com raio de 45,0 cm rola sem escorregar no piso horizontal. No tempo 110, o ponto P pintado no aro da roda está no ponto de contato entre a roda e o chão. Posteriormente 2, a roda girou metade de uma revolução. Quais são (a) a magnitude e (b) o ângulo (em relação ao chão) do deslocamento de P durante este intervalo?

8P. As falhas nas rochas são rupturas ao longo das quais faces opostas da rocha deslizaram uma sobre a outra. os pontos A e B coincidiram antes da rocha em primeiro plano deslizar para a direita. O deslocamento líquido AB está ao longo do plano da falha. O componente horizontal de AB é o AC strike-slip. O componente de AB que está diretamente abaixo do plano da falha é o escorregamento AD. (a) Qual é o módulo do deslocamento líquido AB se o deslizamento é de 22,0 me o deslizamento é de 17,0 m? (b) Se o plano da falha está inclinado 52,00 em relação à horizontal, qual é a componente vertical de AB?

9P. Uma sala tem dimensões de 3,00 m (altura) X 3,70 m X 4,30 m. Uma mosca começando em um canto voa ao redor, terminando no canto diagonalmente oposto. (a) Qual é a magnitude de seu deslocamento? (b) O comprimento de seu caminho poderia ser menor do que essa magnitude? (c) Maior do que esta magnitude? (d) Igual a esta magnitude? (e) Escolha um sistema de coordenadas adequado e encontre os componentes do vetor de deslocamento nesse sistema. (f) Se a mosca anda em vez de voar, qual é o comprimento do caminho mais curto que ela pode percorrer?
(Dica: isso pode ser respondido sem cálculos. A sala é como uma caixa. Desdobre suas paredes para achatá-las em um plano.)

Adicionando Vetores por Componentes

10E.Um carro é conduzido para o leste por uma distância de 50 km, depois para o norte por 30 km e, então, em uma direção 30 · leste do norte por 25 km. Esboce o diagrama vetorial e determine (a) a magnitude e (b) o ângulo do deslocamento total do carro em relação ao seu ponto inicial.

11E. Uma mulher caminha 250 m na direção 300 a leste do norte, a seguir 175 m diretamente a leste. Encontre (a) a magnitude e (b) o ângulo de seu deslocamento final do ponto inicial. (c) Encontre a distância que ela anda. (d) Qual é maior, a distância ou a magnitude de seu deslocamento?

12E.Uma pessoa anda no seguinte padrão: 3,1 km ao norte, 2,4 km ao oeste e, finalmente, 5,2 km ao sul. (a) Esboce o diagrama vetorial que representa esse movimento. (b) A que distância e (c) em que direção um pássaro voaria em linha reta desde o mesmo ponto de partida até o mesmo ponto final?


3 respostas 3

Os valores das tabelas de pecado usam o comprimento dos lados, não a força aplicada.

Tomando os componentes no bloco de massa m, encontramos que Mg se divide em dois componentes, Mgsin30 paralelo ao plano da cunha e Mgcos30, perpendicular ao plano.

Para entender o resultado, você precisa desenhar um conjunto de eixos coordenados nos quais decompor o "vetor". O que estamos fazendo quando aplicamos a segunda lei de Newton é igualar os componentes do vetor nas direções independentes do espaço. Neste problema, sem movimento para fora da página, temos 2 dimensões, então cada vetor terá 2 componentes, um dos quais pode ser zero.

Para este tipo de problema, é comum decompor as forças que atuam no bloco "inclinado" em um sistema de coordenadas com um eixo ao longo da rampa e o outro perpendicular a essa rampa. A maioria dos livros dirá que isso é "mais fácil" porque a força normal tem apenas um componente (na direção perpendicular à rampa) e, se houver atrito, também terá apenas um componente (paralelo à rampa). O peso do bloco deve ser decomposto em dois componentes, paralelos e perpendiculares à rampa. Aqui é onde você precisa desenhar os triângulos gerados por suas coordenadas com cuidado e descobrir qual direção obtém o seno e qual o cosseno. Isso é determinado pela geometria da cunha E pela sua escolha de coordenadas. Não posso enfatizar isso o suficiente, você obterá componentes completamente diferentes para diferentes escolhas de coordenadas. Por esse motivo, não acho razoável citar "uma resposta". Se você postar novamente a imagem com um conjunto de coordenadas desenhadas, qualquer um de nós pode dizer quais são os componentes de mg nesse conjunto de coordenadas. A resposta final deve ser a mesma, independentemente das coordenadas que você escolher.

Além disso, você parece estar confuso sobre a aplicação da lei de Newton a este problema, pois "a força no bloco" não é o que está sendo decomposto. Seria útil seguir as etapas com cuidado.


1.1E: Exercícios para Vetores no Plano

Na seção anterior, vimos como poderíamos usar a primeira derivada de uma função para obter algumas informações sobre o gráfico de uma função. Nesta seção, vamos dar uma olhada nas informações que a segunda derivada de uma função pode nos dar a respeito do gráfico de uma função.

Antes de fazermos isso, precisaremos de algumas definições fora do caminho. O principal conceito que discutiremos nesta seção é a concavidade. A concavidade é mais fácil de ver com um gráfico (daremos a definição matemática em breve).

Então, uma função é côncavo para cima se "abre" e a função é côncavo para baixo se “abre” para baixo. Observe também que a concavidade não tem nada a ver com aumentar ou diminuir. Uma função pode ser côncava para cima e aumentar ou diminuir. Da mesma forma, uma função pode ser côncava para baixo e aumentar ou diminuir.

Provavelmente não é a melhor maneira de definir a concavidade dizendo de que maneira ela "abre", pois esta é uma definição um tanto nebulosa. Aqui está a definição matemática de concavidade.

Definição 1

Dada a função (f left (x right) ) então

    (f left (x right) ) é côncavo para cima em um intervalo (I ) se todas as tangentes à curva em (I ) estiverem abaixo do gráfico de (f left (x right) ).

Para mostrar que os gráficos acima têm de fato a concavidade reivindicada acima, aqui está o gráfico novamente (ampliado um pouco para tornar as coisas mais claras).

Então, como você pode ver, nos dois gráficos superiores todas as linhas tangentes esboçadas estão todas abaixo do gráfico da função e estas são côncavas para cima. Nos dois gráficos inferiores, todas as retas tangentes estão acima do gráfico da função e são côncavas para baixo.

Novamente, observe que a concavidade e o aspecto crescente / decrescente da função são completamente separados e não têm nada a ver um com o outro. É importante notar isso porque os alunos geralmente misturam os dois e usam informações sobre um para obter informações sobre o outro.

Há mais uma definição que precisamos sair do caminho.

Definição 2

Um ponto (x = c ) é chamado de ponto de inflexão se a função é contínua no ponto e a concavidade do gráfico muda nesse ponto.

Agora que temos todas as definições de concavidade fora do caminho, precisamos trazer a segunda derivada para a mistura. Afinal, começamos esta seção dizendo que usaríamos a segunda derivada para obter informações sobre o gráfico. O seguinte fato relaciona a segunda derivada de uma função à sua concavidade. A prova desse fato está na seção Provas de aplicativos derivados do capítulo Extras.

Dada a função (f left (x right) ) então,

    Se (f '' left (x right) & gt 0 ) para todos (x ) em algum intervalo (I ) então (f left (x right) ) é côncavo em (EU).

Então, o que esse fato nos diz é que os pontos de inflexão serão todos os pontos onde o sinal da segunda derivada muda. Vimos no capítulo anterior que uma função pode mudar de sinal se for zero ou não existir. Observe que estávamos trabalhando com a primeira derivada na seção anterior, mas o fato de que uma função possivelmente mudando os sinais onde é zero ou não existe não tem nada a ver com a primeira derivada. É simplesmente um fato que se aplica a todas as funções, independentemente de serem ou não derivadas.

Isso, por sua vez, nos diz que uma lista de possíveis pontos de inflexão serão aqueles pontos onde a segunda derivada é zero ou não existe, pois esses são os únicos pontos onde a segunda derivada pode mudar de sinal.

No entanto, tome cuidado para não fazer a suposição de que só porque a segunda derivada é zero ou não existe, o ponto será um ponto de inflexão. Só saberemos que é um ponto de inflexão quando determinarmos a concavidade em ambos os lados. Só será um ponto de inflexão se a concavidade for diferente em ambos os lados do ponto.

Agora que sabemos sobre a concavidade, podemos usar essas informações, bem como as informações de aumento / diminuição da seção anterior para ter uma boa ideia de como um gráfico deve ser. Vamos dar uma olhada em um exemplo disso.

Ok, vamos precisar dos dois primeiros derivados, então vamos pegá-los primeiro.

[começarh ' left (x right) & = 15 - 15 = 15deixou( direita esquerda( direita) h '' esquerda (x direita) & = 60 - 30x = 30x left (<2- 1> right) end]

Vamos começar com as informações crescentes / decrescentes, uma vez que devemos estar bastante confortáveis ​​com isso após a última seção.

Existem três pontos críticos para esta função: (x = - 1 ), (x = 0 ) e (x = 1 ). Abaixo está a linha numérica para as informações crescentes / decrescentes.

Então, parece que temos os seguintes intervalos de aumento e diminuição.

Observe que, a partir do teste da primeira derivada, também podemos dizer que (x = - 1 ) é um máximo relativo e que (x = 1 ) é um mínimo relativo. Além disso, (x = 0 ) não é um mínimo ou máximo relativo.

Agora vamos obter os intervalos em que a função é côncava para cima e côncava para baixo. Se você pensar bem, esse processo é quase idêntico ao processo que usamos para identificar os intervalos de aumento e diminuição. Essa única diferença é que usaremos a segunda derivada em vez da primeira derivada.

A primeira coisa que precisamos fazer é identificar os possíveis pontos de inflexão. Será onde a segunda derivada é zero ou não existe. A segunda derivada, neste caso, é um polinômio e, portanto, existirá em qualquer lugar. Será zero nos pontos seguintes.

Tal como acontece com a parte crescente e decrescente, podemos traçar uma linha numérica e usar esses pontos para dividir a linha numérica em regiões. Nessas regiões sabemos que a segunda derivada terá sempre o mesmo sinal, visto que esses três pontos são os únicos lugares onde a função poderia mudar o sinal. Portanto, tudo o que precisamos fazer é escolher um ponto de cada região e inseri-lo na segunda derivada. A segunda derivada terá aquele sinal em toda a região de onde veio o ponto

Aqui está a reta numérica para esta segunda derivada.

Então, parece que temos os seguintes intervalos de concavidade.

são todos pontos de inflexão.

Todas essas informações podem ser um pouco opressivas quando vamos esboçar o gráfico. A primeira coisa que devemos fazer é obter alguns pontos de partida. Os pontos críticos e pontos de inflexão são bons pontos de partida. Então, primeiro faça um gráfico desses pontos.

A partir deste ponto, existem várias maneiras de prosseguir com o esboço do gráfico. A maneira que achamos ser a mais fácil (embora você não possa e isso é perfeitamente normal ...) é começar com as informações crescentes / decrescentes e começar a esboçar o gráfico apenas a partir dessas informações, como fizemos na seção anterior. No entanto, ao contrário da seção anterior, desta vez, ao desenharmos uma parte crescente ou decrescente da curva, também prestaremos atenção à concavidade da curva enquanto fazemos isso.

Portanto, se começarmos com (x & lt - 1 ), sabemos que temos uma função crescente. Ao mesmo tempo, sabemos que também devemos ser côncavos para baixo nesta faixa. Portanto, podemos começar esboçando uma curva crescente que também é côncava para baixo até chegarmos a (x = - 1 ).

Nesse ponto, o gráfico começa a diminuir e continuará diminuindo até atingirmos (x = 1 ). No entanto, conforme diminuímos, a concavidade precisa mudar para côncavo para cima em (x approx - 0,707 ) e depois voltar para côncavo para baixo em (x = 0 ) com uma mudança final para côncavo para cima em (x aproximadamente 0,707 ).

Assim que atingirmos (x = 1 ), o gráfico começa a aumentar e ainda é côncavo e ambos os comportamentos continuam para o resto do gráfico.

A junção de todas essas informações nos dará o seguinte gráfico da função.

Podemos usar o exemplo anterior para ilustrar outra maneira de classificar alguns dos pontos críticos de uma função como máximos ou mínimos relativos.

Observe que (x = - 1 ) é um máximo relativo e que a função é côncava para baixo neste ponto. Isso significa que (f '' left (<- 1> right) ) deve ser negativo. Da mesma forma, (x = 1 ) é um mínimo relativo e a função é côncava para cima neste ponto. Isso significa que (f '' left (1 right) ) deve ser positivo.

Como veremos em breve, precisaremos ser muito cuidadosos com (x = 0 ). Neste caso, a segunda derivada é zero, mas isso não significa que (x = 0 ) não é um mínimo ou máximo relativo. Veremos alguns exemplos disso em breve, mas precisamos cuidar de algumas outras informações primeiro.

Também é importante notar aqui que todos os pontos críticos neste exemplo eram pontos críticos em que a primeira derivada era zero e isso é necessário para que isso funcione. Não poderemos usar este teste em pontos críticos onde a derivada não existe.

Aqui está o teste que pode ser usado para classificar alguns dos pontos críticos de uma função. A prova desse teste está na seção Provas de aplicativos derivados do capítulo Extras.

Teste de Segunda Derivada

Suponha que (x = c ) seja um ponto crítico de (f left (x right) ) tal que (f ' left (c right) = 0 ) e que (f' ' left (x right) ) é contínuo em uma região ao redor de (x = c ). Então,

    Se (f '' left (c right) & lt 0 ) então (x = c ) é um máximo relativo.

É importante observar a terceira parte do teste da segunda derivada. Se a segunda derivada for zero, o ponto crítico pode ser qualquer coisa. Abaixo estão os gráficos de três funções, todas as quais têm um ponto crítico em (x = 0 ), a segunda derivada de todas as funções é zero em (x = 0 ) e ainda assim todas as três possibilidades são exibidas.

O primeiro é o gráfico de (f left (x right) = ). Este gráfico tem um mínimo relativo em (x = 0 ).

A seguir está o gráfico de (f left (x right) = - ) que tem um máximo relativo em (x = 0 ).

Finalmente, existe o gráfico de (f left (x right) = ) e este gráfico não teve um mínimo relativo ou um máximo relativo em (x = 0 ).

Portanto, podemos ver que devemos ter cuidado se cairmos no terceiro caso. Para aqueles momentos em que cairmos neste caso, teremos que recorrer a outros métodos de classificação do ponto crítico. Isso geralmente é feito com o primeiro teste de derivada.

Vamos voltar e dar uma olhada nos pontos críticos do primeiro exemplo e usar o segundo teste derivado neles, se possível.

Observe que tudo o que estamos fazendo aqui é verificar os resultados do primeiro exemplo. A segunda derivada é,

Os três pontos críticos ( (x = - 1 ), (x = 0 ) e (x = 1 )) desta função são todos pontos críticos onde a primeira derivada é zero, então sabemos que estamos em menos tem uma chance de que o segundo teste derivado funcione. O valor da segunda derivada para cada um deles é,

[h '' left (<- 1> right) = - 30 hspace <0.5in> h '' left (0 right) = 0 hspace <0.5in> h '' left (1 direita) = 30 ]

A segunda derivada em (x = - 1 ) é negativa, então pelo segundo teste de derivada este ponto crítico é um máximo relativo, como vimos no primeiro exemplo. A segunda derivada em (x = 1 ) é positiva e, portanto, temos um mínimo relativo aqui pelo Segundo Teste de Derivada, como também vimos no primeiro exemplo.

No caso de (x = 0 ) a segunda derivada é zero e, portanto, não podemos usar o Teste da Segunda Derivada para classificar este ponto crítico. Observe, no entanto, que sabemos a partir do primeiro teste derivado que usamos no primeiro exemplo que nesse caso o ponto crítico não é um extremo relativo.

Vamos trabalhar mais um exemplo.

Precisaremos do primeiro e do segundo derivados para começar. Deixaremos que você verifique essas derivadas, mas esteja ciente de que simplificamos um pouco depois de tirar cada derivada.

Observe também que não seremos capazes de usar o teste da segunda derivada em (t = 6 ) para classificar este ponto crítico, uma vez que a derivada não existe neste ponto. Para classificar isso, precisaremos das informações crescentes / decrescentes que obteremos para esboçar o gráfico.

Podemos, no entanto, usar o segundo teste derivado para classificar o outro ponto crítico, então vamos fazer isso antes de prosseguirmos com o trabalho de esboço. Aqui está o valor da segunda derivada em (t = 3,6 ).

Portanto, de acordo com o teste da segunda derivada, (t = 3,6 ) é um máximo relativo.

Agora vamos prosseguir com o trabalho para obter o esboço do gráfico e notar que, uma vez que tenhamos as informações crescentes / decrescentes, poderemos classificar (t = 6 ).

Aqui está a reta numérica para a primeira derivada.

Assim, de acordo com o teste da primeira derivada, podemos verificar que (t = 3,6 ) é de fato um máximo relativo. Também podemos ver que (t = 6 ) é um mínimo relativo.

Tenha cuidado para não assumir que um ponto crítico que não pode ser usado no teste de segunda derivada não será um extremo relativo. Vimos claramente agora, com este exemplo e na discussão depois de termos o teste, que só porque não podemos usar o segundo teste derivado ou o segundo teste derivado não nos diz nada sobre um ponto crítico, não significa que o ponto crítico não será um extremo relativo. Este é um erro comum que muitos alunos cometem, por isso tome cuidado ao usar o Teste de Segunda Derivada.

Ok, vamos resolver o problema. Precisaremos da lista de possíveis pontos de inflexão. Estes são,

Aqui está a reta numérica para a segunda derivada. Observe que precisaremos disso para ver se os dois pontos acima são de fato pontos de inflexão.

Portanto, a concavidade só muda em (t = 7,2 ) e, portanto, este é o único ponto de inflexão para esta função.

Aqui está o esboço do gráfico.

A mudança de concavidade em (t = 7,2 ) é difícil de ver, mas está lá é apenas uma mudança muito sutil na concavidade.


O papel pode ser aproximado como um objeto bidimensional (ou um plano). Portanto, a superfície do papel representa o plano. A área desse plano é um vetor que aponta a normal para a superfície do plano.

Agora, qualquer vetor que aponte para o papel estará em uma direção anti-paralela ao vetor área do plano do papel. Qualquer coisa que aponte para fora do papel estará em uma direção paralela ao plano do papel. Esta convenção vale para qualquer uma das superfícies de cada vez. Essa superfície é dada pelo plano que você pode ver, de modo que o vetor de área aponta para você.

Portanto, sempre que houver algo escrito como "pontos na página", basta olhar para o plano do papel. Essa é a direção do vetor. Se disser "aponta para fora do papel", simplesmente olhe diretamente para cima da superfície do papel. Em ambos os casos, você deve considerar apenas uma superfície de cada vez.


1.1E: Exercícios para Vetores no Plano

1. Quais são as características das letras comumente usadas para representar vetores?

2. Como um vetor é mais específico do que um segmento de linha?

3. O que são eu e j, e o que eles representam?

5. Quando um vetor unitário é expresso como [latex] langle a, b rangle [/ latex], cuja letra é o coeficiente do eu e qual o j?

6. Dado um vetor com ponto inicial (5,2) e ponto terminal (−1, −3), encontre um vetor equivalente cujo ponto inicial seja (0,0). Escreva o vetor na forma de componente [latex] langle a, b rangle [/ latex].

7. Dado um vetor com ponto inicial (−4,2) e ponto terminal (3, −3), encontre um vetor equivalente cujo ponto inicial seja (0,0). Escreva o vetor na forma de componente [latex] langle a, b rangle [/ latex].

8. Dado um vetor com ponto inicial (7, −1) e ponto terminal (−1, −7), encontre um vetor equivalente cujo ponto inicial seja (0,0). Escreva o vetor na forma de componente [latex] langle a, b rangle [/ latex].

Para os exercícios a seguir, determine se os dois vetores você e v são iguais, onde você tem um ponto inicial [latex] P_ <1> [/ latex] e um ponto terminal [latex] P_ <2> [/ latex] e v tem um ponto inicial [latex] P3 [/ latex] e um ponto terminal [latex] P4 [/ latex].

9. [latex] P_ <1> = left (5,1 right) text <,> P_ <2> = left (3, −2 right), P_ <3> = left (−1 , 3 right) [/ latex] e [latex] P_ <4> = left (9, −4 right) [/ latex]

10. [latex] P_ <1> = left (2, −3 right), P_ <2> = left (5,1 right), P_ <3> = left (6, −1 right) ) [/ latex] e [latex] P_ <4> = left (9,3 right) [/ latex]

11. [latex] P_ <1> = left (−1, −1 right), P_ <2> = left (−4,5 right), P_ <3> = left (−10,6 right) [/ latex] e [latex] P_ <4> = left (−13,12 right) [/ latex]

12. [latex] P_ <1> = left (3,7 right), P_ <2> = left (2,1 right), P_ <3> = left (1,2 right) [ / latex] e [latex] P_ <4> = left (−1, −4 right) [/ latex]

13. [latex] P_ <1> = left (8,3 right), P_ <2> = left (6,5 right), P_ <3> = left (11,8 right) [ / latex] e [latex] P_ <4> = left (9,10 right) [/ latex]

14. Dado o ponto inicial [latex] P_ <1> = left (−3,1 right) [/ latex] e ponto terminal [latex] P_ <2> = left (5,2 right) [/ latex ], escreva o vetor v em termos de eu e j.

15. Dado o ponto inicial [latex] P_ <1> = left (6,0 right) [/ latex] e ponto terminal [latex] P_ <2> = left (−1, −3 right) [/ latex], escreva o vetor v em termos de eu e j.

Para os exercícios a seguir, use os vetores [latex] boldsymbol= boldsymbol+5 boldsymbol[/ latex], [latex] boldsymbol= −2 boldsymbol-3 boldsymbol[/ latex] e [latex] boldsymbol= 4 boldsymbol- boldsymbol[/látex].

16. Encontre [latex] u + left ( boldsymbol- boldsymbol right) [/ latex]

17. Encontre [latex] 4 boldsymbol+2 boldsymbol[/látex]

Para os exercícios a seguir, use os vetores fornecidos para calcular [latex] boldsymbol+ boldsymbol[/ latex], [latex] boldsymbol- boldsymbol[/ latex] e [latex] 2 boldsymbol-3 boldsymbol[/látex].

18. [latex] boldsymbol= langle 2, −3 rangle, boldsymbol= langle 1,5 rangle [/ latex]

20. Deixe [latex] boldsymbol= −4 boldsymbol+3 boldsymbol[/látex]. Encontre um vetor com metade do comprimento e pontos na mesma direção que v.

21. Deixe [latex] boldsymbol= 5 boldsymbol+2 boldsymbol[/látex]. Encontre um vetor com o dobro do comprimento e aponta na direção oposta como v.

Para os exercícios a seguir, encontre um vetor unitário na mesma direção do vetor fornecido.

23. [latex] boldsymbol= −2 boldsymbol+5 boldsymbol[/látex]

24. [latex] boldsymbol= 10 boldsymbol- boldsymbol[/látex]

25. [latex] boldsymbol= - frac <1> <3> boldsymbol+ frac <5> <2> boldsymbol[/látex]

26. [latex] boldsymbol= 100 boldsymbol+200 boldsymbol[/látex]

27. [latex] boldsymbol= –14 boldsymbol+2 boldsymbol[/látex]

Para os exercícios a seguir, encontre a magnitude e a direção do vetor, [latex] 0 leq theta & lt2 pi [/ latex].

28. [latex] langle 0,4 rangle [/ latex]

29. [latex] langle 6,5 rangle [/ latex]

30. [latex] langle 2, –5 rangle [/ latex]

31. [latex] langle –4, –6 rangle [/ latex]

32. Dado [latex] boldsymbol= 3 boldsymbol−4 boldsymbol[/ latex] e [latex] boldsymbol= −2 boldsymbol+3 boldsymbol[/ latex], calcule [latex] boldsymbol cdot boldsymbol[/látex].

33. Dado [latex] boldsymbol= - boldsymbol- boldsymbol[/ latex] e [latex] boldsymbol= boldsymbol+5 boldsymbol[/ latex], calcule [latex] boldsymbol cdot boldsymbol[/látex].

34. Dado [latex] boldsymbol= langle − 2,4 rangle [/ latex] e [latex] boldsymbol= langle − 3,1 rangle [/ latex], calcular [latex] boldsymbol cdot boldsymbol[/látex].

35. Dado [latex] boldsymbol= langle − 1,6 rangle [/ latex] e [latex] boldsymbol= langle 6, −1 rangle [/ latex], calcule [latex] boldsymbol cdot boldsymbol[/látex].

Para os exercícios a seguir, v, empate v, 3v, e [latex] frac <1> <2> boldsymbol[/látex].

36. [latex] langle 2, −1 rangle [/ latex]

37. [latex] langle −1,4 rangle [/ latex]

Para os exercícios a seguir, use os vetores mostrados para esboçar [latex] boldsymbol+ boldsymbol[/ latex], [latex] boldsymbol- boldsymbol[/ latex] e [latex] 2 boldsymbol[/látex].

39.

40.

41.

Para os exercícios a seguir, use os vetores mostrados para esboçar [latex] 2 boldsymbol+ boldsymbol[/látex].

42.

43.

Para os exercícios a seguir, use os vetores mostrados para esboçar [latex] boldsymbol-3 boldsymbol[/látex].

44.

45.

Para os exercícios a seguir, escreva o vetor mostrado na forma de componente.

46.

47.

48. Dado o ponto inicial [latex] P_ <1> = left (2,1 right) [/ latex] e ponto terminal [latex] P_ <2> = left (−1,2 right) [/ latex ], escreva o vetor v em termos de eu e je desenhe o vetor no gráfico.

49. Dado o ponto inicial [latex] P_ <1> = left (4, −1 right) [/ latex] e ponto terminal [latex] P_ <2> = left (−3,2 right) [/ latex], escreva o vetor v em termos de eu e j. Desenhe os pontos e o vetor no gráfico.

50. Dado o ponto inicial [latex] P_ <1> = left (3,3 right) [/ latex] e ponto terminal [latex] P_ <2> = left (−3,3 right) [/ latex ], escreva o vetor v em termos de eu e j. Desenhe os pontos e o vetor no gráfico.

Para os exercícios a seguir, use a magnitude e a direção fornecidas na posição padrão e escreva o vetor na forma de componente.

55. Uma caixa de 60 libras está apoiada em uma rampa com 12 ° de inclinação. Arredondando para o décimo mais próximo,

56. Uma caixa de 25 libras está apoiada em uma rampa inclinada 8 °. Arredondando para o décimo mais próximo,

57. Encontre a magnitude das componentes horizontal e vertical de um vetor com magnitude 8 libras apontada em uma direção de [latex] 27 ^ < circ> [/ latex] acima da horizontal. Rodada para o centésimo mais próximo.

58. Encontre a magnitude das componentes horizontal e vertical do vetor com magnitude 4 libras apontada em uma direção de [latex] 127 ^ < circ> [/ latex] acima da horizontal. Rodada para o centésimo mais próximo.

59. Encontre a magnitude das componentes horizontal e vertical do vetor com magnitude 5 libras apontada em uma direção de [latex] 55 ^ < circ> [/ latex] acima da horizontal. Rodada para o centésimo mais próximo.

60. Encontre a magnitude das componentes horizontal e vertical do vetor com magnitude 1 libra apontada na direção de [latex] 8 ^ < circ> [/ latex] acima da horizontal. Rodada para o centésimo mais próximo.

61. Uma mulher sai de casa e anda 3 milhas a oeste, depois 2 milhas a sudoeste. A que distância ela está de casa e em que direção ela deve caminhar para ir diretamente para casa?

62. Um barco sai da marina e navega 6 milhas ao norte, depois 2 milhas ao nordeste. A que distância está o barco da marina e em que direção ele deve navegar para voltar diretamente para a marina?

63. Um homem começa a andar de casa e anda 4 milhas a leste, 2 milhas a sudeste, 5 milhas ao sul, 6,4 milhas a sudoeste e 2 milhas a leste. Quão longe ele caminhou? Se ele fosse direto para casa, quão longe ele teria que andar?

64. Uma mulher começa a andar de casa e anda 4 milhas a leste, 7 milhas a sudeste, 6 milhas ao sul, 5 milhas a sudoeste e 3 milhas a leste. Quão longe ela caminhou? Se ela fosse direto para casa, quão longe ela teria que andar?

65. Um homem começa a andar de casa e caminha 3 milhas em [latex] 20 ^ < circ> [/ latex] ao norte do oeste, a seguir 5 milhas em [latex] 10 ^ < circ> [/ latex] a oeste de sul , então 4 milhas em [latex] 15 ^ < circ> [/ latex] ao norte de leste. Se ele fosse direto para casa, quão longe ele teria de caminhar e em que direção?

66. Uma mulher começa a andar de casa e caminha 6 milhas em [latex] 40 ^ < circ> [/ latex] ao norte do leste, a seguir 2 milhas em [latex] 15 ^ < circ> [/ latex] a leste de sul e, em seguida, 5 milhas em [latex] 30 ^ < circ> [/ latex] ao sul do oeste. Se ela fosse direto para casa, quão longe ela teria que andar e em que direção?

67. Um avião está rumando para o norte a uma velocidade no ar de 600 km / h, mas há um vento soprando de sudoeste a 80 km / h. Quantos graus fora do curso o avião acabará voando, e qual é a velocidade do avião em relação ao solo?

68. Um avião está se dirigindo para o norte a uma velocidade no ar de 500 km / h, mas há um vento soprando de noroeste a 50 km / h. Quantos graus fora do curso o avião acabará voando, e qual é a velocidade do avião em relação ao solo?

69. Um avião precisa seguir para o norte, mas há um vento soprando de sudoeste a 60 km / h. O avião voa com velocidade de 550 km / h. Para acabar voando para o norte, quantos graus a oeste do norte o piloto precisará para pilotar o avião?

70. Um avião precisa seguir para o norte, mas há um vento soprando de noroeste a 80 km / h. O avião voa com velocidade de 500 km / h. Para acabar voando para o norte, quantos graus a oeste do norte o piloto precisará para pilotar o avião?

71. Como parte de um videogame, o ponto (5,7) é girado no sentido anti-horário em torno da origem através de um ângulo de [latex] 35 ^ < circ> [/ latex]. Encontre as novas coordenadas deste ponto.

72. Como parte de um videogame, o ponto (7,3) é girado no sentido anti-horário em torno da origem através de um ângulo de [latex] 40 ^ < circ> [/ latex]. Encontre as novas coordenadas deste ponto.

73. Duas crianças estão jogando uma bola para a frente e para trás direto no banco de trás de um carro. A bola está sendo lançada a 10 mph em relação ao carro, e o carro está viajando a 40 mph na estrada. Se uma criança não pega a bola e ela sai voando pela janela, em que direção a bola voa (ignorando a resistência do vento)?

74. Duas crianças estão jogando uma bola para a frente e para trás direto no banco de trás de um carro. A bola está sendo lançada a 13 km / h em relação ao carro, e o carro está viajando a 72 km / h na estrada. Se uma criança não pega a bola e ela sai voando pela janela, em que direção a bola voa (ignorando a resistência do vento)?

75. Um objeto de 50 libras repousa sobre uma rampa com 19 ° de inclinação. Encontre a magnitude dos componentes da força paralela e perpendicular à (normal) rampa com precisão de décimo de libra.

76. Suponha que um corpo tenha uma força de 10 libras atuando sobre ele para a direita, 25 libras atuando sobre ele para cima e 5 libras atuando sobre ele a 45 ° da horizontal. Que força única é a força resultante agindo sobre o corpo?

77. Suponha que um corpo tenha uma força de 10 libras agindo sobre ele para a direita, 25 libras agindo sobre ele ─135 ° da horizontal e 5 libras agindo sobre ele direcionadas a 150 ° da horizontal. Que força única é a força resultante atuando no corpo?

78. A condição de equilíbrio é quando a soma das forças que atuam sobre um corpo é o vetor zero. Suponha que um corpo tenha uma força de 2 libras atuando sobre ele para a direita, 5 libras atuando sobre ele para cima e 3 libras atuando sobre ele a 45 ° da horizontal. Que força única é necessária para produzir um estado de equilíbrio no corpo?

79. Suponha que um corpo tenha uma força de 3 libras atuando sobre ele para a esquerda, 4 libras atuando nele para cima e 2 libras atuando sobre ele [latex] 30 ^ < circ> [/ latex] a partir da horizontal. Que força única é necessária para produzir um estado de equilíbrio no corpo? Desenhe o vetor.


Vetores

  • Visualize vetores geometricamente.
  • Encontre magnitude e direção.
  • Execute a adição de vetores e a multiplicação escalar.
  • Encontre a forma componente de um vetor.
  • Encontre o vetor unitário na direção de v

Um avião está voando a uma velocidade no ar de 200 milhas por hora com rumo SE de 140 °. Um vento norte (de norte a sul) está soprando a 26,2 milhas por hora, conforme mostrado em [link]. Quais são a velocidade de solo e a direção real do avião?

A velocidade do solo se refere à velocidade de um avião em relação ao solo. A velocidade no ar se refere à velocidade que um avião pode viajar em relação à massa de ar circundante. Essas duas quantidades não são iguais devido ao efeito do vento. Em uma seção anterior, usamos triângulos para resolver um problema semelhante envolvendo o movimento dos barcos. Posteriormente nesta seção, encontraremos a velocidade de solo e o rumo do avião, enquanto investigamos outra abordagem para problemas desse tipo. Primeiro, no entanto, vamos examinar os conceitos básicos de vetores.

Uma Visão Geométrica de Vetores

UMA vetor é uma quantidade específica desenhada como um segmento de linha com uma ponta de seta em uma extremidade. Tem um ponto inicial, onde começa, e um ponto final, onde termina. Um vetor é definido por seu magnitude, ou o comprimento da linha e sua direção, indicada por uma ponta de seta no ponto terminal. Assim, um vetor é um segmento de linha direcionado. Existem vários símbolos que distinguem vetores de outras quantidades:

    Letras minúsculas, em negrito, com ou sem uma seta no topo, como v, u, w, v →, u →, w →.

um vetor pode ser representado como

A ponta da seta no topo é o que indica que não é apenas uma linha, mas um segmento de linha direcionado.

um vetor pode ser representado como

tem um significado especial. É chamado de posição padrão. O Vetor de posição tem um ponto inicial (0, 0)

e um ponto terminal 〈a, b〉.

Para transformar qualquer vetor no vetor posição, pensamos sobre a mudança no x-coordenadas e a mudança no y-coordenadas. Assim, se o ponto inicial de um vetor C D →

e o ponto terminal é D (x 2, y 2),

então o vetor posição é encontrado calculando

Em [link], vemos o vetor original C D →

e o vetor posição A B →.

Um vetor é um segmento de linha direcionado com um ponto inicial e um ponto terminal. Os vetores são identificados pela magnitude, ou o comprimento da linha, e direção, representada pela ponta da seta apontando em direção ao ponto terminal. O vetor posição tem um ponto inicial em (0, 0)

e é identificado por seu ponto terminal 〈a, b〉.

Considere o vetor cujo ponto inicial é P (2, 3)

e o ponto terminal é Q (6, 4).

O vetor posição é encontrado subtraindo um x-coordenar com o outro x-coordenar e um y-coordenar com o outro y-coordenada. Desse modo

O vetor de posição começa em (0, 0)

Os gráficos de ambos os vetores são mostrados em [link].

Vemos que o vetor posição é 〈4, 1〉.

Encontre o vetor de posição dado aquele vetor

& lt / math & gt & lt / strong & gt tem um ponto inicial em (- 3, 2)

e um ponto terminal em (4, 5),

a seguir, represente graficamente os dois vetores no mesmo plano.

O vetor de posição é encontrado usando o seguinte cálculo:

Assim, o vetor posição começa em (0, 0)

& lt / math & gt & lt / strong & gttque conecta da origem ao ponto (3, 5).

Encontrando Magnitude e Direção

Para trabalhar com um vetor, precisamos ser capazes de encontrar sua magnitude e sua direção. Encontramos sua magnitude usando o Teorema de Pitágoras ou a fórmula da distância, e encontramos sua direção usando a função tangente inversa.

a magnitude é encontrada por | v | = a 2 + b 2.

A direção é igual ao ângulo formado com o x-eixo, ou com o y-eixo, dependendo do aplicativo. Para um vetor de posição, a direção é encontrada por tan θ = (b a) ⇒ θ = tan - 1 (b a),

Dois vetores v e você são considerados iguais se tiverem a mesma magnitude e a mesma direção. Além disso, se ambos os vetores tiverem o mesmo vetor de posição, eles serão iguais.

Encontre a magnitude e a direção do vetor com o ponto inicial P (- 8, 1)

e ponto terminal Q (- 2, - 5).

Primeiro, encontre o Vetor de posição.

Usamos o Teorema de Pitágoras para encontrar a magnitude.

A direção é dada como

No entanto, o ângulo termina no quarto quadrante, então adicionamos 360 ° para obter um ângulo positivo. Assim, - 45 ° + 360 ° = 315 °.

Mostre aquele vetor v com ponto inicial em (5, −3)

e ponto final em (-1, 2)

é igual ao vetor você com ponto inicial em (−1, −3)

e ponto terminal em (−7, 2).

Desenhe o vetor de posição na mesma grade que v e você. Em seguida, encontre a magnitude e a direção de cada vetor.

Conforme mostrado em [link], desenhe o vetor v

começando no inicial (5, −3)

Encontre a posição padrão para cada um.

Em seguida, encontre e esboce o vetor de posição para v e você. Nós temos

Uma vez que os vetores de posição são os mesmos, v e você são os mesmos.

Uma forma alternativa de verificar a igualdade do vetor é mostrar que a magnitude e a direção são as mesmas para os dois vetores. Para mostrar que as magnitudes são iguais, use o Teorema de Pitágoras.

Como as magnitudes são iguais, agora precisamos verificar a direção. Usando a função tangente com o vetor posição dá

No entanto, podemos ver que o vetor posição termina no segundo quadrante, então adicionamos 180 °.

Assim, a direção é - 39,8 ° + 180 ° = 140,2 °.

Realizando Adição de Vetor e Multiplicação Escalar

Agora que entendemos as propriedades dos vetores, podemos realizar operações que os envolvem. Embora seja conveniente pensar no vetor ** u

como uma seta ou segmento de linha direcionado da origem ao ponto (x, y),

os vetores podem estar situados em qualquer parte do plano. A soma de dois vetores você e v, ou adição de vetor, produz um terceiro vetor você+ v, a resultante vetor.

Encontrar você + v, primeiro desenhamos o vetor você, e da extremidade terminal de você, desenhamos o vetor v. Em outras palavras, temos o ponto inicial de v encontrar o final do terminal de você. Esta posição corresponde à noção de que nos movemos ao longo do primeiro vetor e, a partir de seu ponto terminal, nos movemos ao longo do segundo vetor. A soma você + v é o vetor resultante porque resulta da adição ou subtração de dois vetores. O vetor resultante viaja diretamente desde o início do você até o fim de v em um caminho reto, conforme mostrado em [link].

A subtração de vetores é semelhante à adição de vetores. Encontrar vocêv, veja como você + (−v) Adicionando -v está invertendo a direção de v e adicioná-lo ao final de você. O novo vetor começa no início de você e para no ponto final de -v. Veja [link] para um visual que compara adição e subtração de vetores usando paralelogramos.


Adição de vetor gráfico

Adicionar dois vetores A e B graficamente pode ser visualizado como dois passeios sucessivos, com a soma do vetor sendo a distância do vetor do ponto inicial ao ponto final. Representando os vetores por setas desenhadas em escala, o início do vetor B é colocado no final do vetor A. A soma do vetor R pode ser desenhada como o vetor do ponto inicial ao ponto final.

O processo pode ser feito matematicamente encontrando os componentes de A e B, combinando para formar os componentes de R e, em seguida, convertendo para a forma polar.


1.1E: Exercícios para Vetores no Plano

A equação de uma linha na forma ax + by = c pode ser escrita como um produto escalar:

(a, b) . (x, y) = c ou A . X = c,

A equação de uma linha na forma ax + by + cz = d pode ser escrita como um produto escalar:

(a, b, c) . (x, y, z) = d ou A . X = d,

onde A = (a, b, c) e X = (x, y, z).

Vetor normal A

Se P e Q estão no plano com a equação A . X = d, então A . P = d e A . Q = d, então

Isso significa que o vetor A é ortogonal a qualquer vetor PQ entre os pontos P e Q do plano.

Mas o vetor PQ pode ser pensado como um vetor tangente ou vetor de direção do plano. Isso significa que o vetor A é ortogonal ao plano, o que significa que A é ortogonal a todos os vetores de direção do plano.

Um vetor diferente de zero que é ortogonal aos vetores de direção do plano é chamado de vetor normal para o avião. Então, o O vetor de coeficiente A é um vetor normal para o avião.

Isso também significa que o vetor OA é ortogonal ao plano, de modo que a linha OA é perpendicular ao plano.

Cuidadoso: NÃO é verdade que para qualquer ponto P no plano, A é ortogonal a P (a menos que d = 0).

Exercício: Mostre que se A é um vetor normal para um plano ek é uma constante diferente de zero, então kA também é um vetor normal para o mesmo plano.

Debate: Para qualquer plano, o vetor 0 é ortogonal a todos os vetores de direção do plano?

Exercício em linhas no plano: O mesmo raciocínio funciona para as linhas. No papel gráfico, trace a linha m com a equação 2x + 3y = 6 e também trace o ponto A = (2,3). Verifique se as linhas OA e m são perpendiculares. Plote também a linha 2x + 3y = 0. Como esta linha está relacionada com me OA? Finalmente, encontre uma equação para a linha OA. O que é um vetor normal para esta linha?

Exemplo: Encontrar um plano quando o normal é conhecido. Suponha que A = (1, 2, 3). Encontre a equação do plano através de P = (1, -1, 4) com o vetor normal A.

Solução: A equação deve ser (1, 2, 3) . X = d para alguma constante d. Mas, como P está no plano, se definirmos X = P, devemos obter o valor correto de d. Assim, d = (1, 2, 3) . (1, -1, 4) = 1 -2 + 12 = 11. A equação é A . X = 11.

Vetor normal da unidade

UMA vetor unitário é um vetor de comprimento 1. Qualquer vetor diferente de zero pode ser dividido por seu comprimento para formar um vetor unitário. Assim, para um plano (ou uma linha), um vetor normal pode ser dividido por seu comprimento para obter um vetor normal unitário.

Exemplo: Para a equação, x + 2y + 2z = 9, o vetor A = (1, 2, 2) é um vetor normal. | A | = raiz quadrada de (1 + 4 + 4) = 3. Assim, o vetor (1/3) A é um vetor normal unitário para este plano. Além disso, (-1/3) A é um vetor unitário.

Vetores normais da unidade: (1/3, 2/3, 2/3) e (-1/3, -2/3, -2/3)

Exercício: Encontre um vetor normal unitário para o plano com a equação -2x -4y -4z = 0. Como isso está relacionado ao exemplo? Você poderia usar o exemplo para encontrar a unidade normal neste caso?

Exercício em linhas no plano: Continuando com a linha m com a equação 2x + 3y = 6, encontre os vetores normais unitários para esta linha. Além disso, encontre um vetor normal unitário para a linha OA. Procure relacionamentos.

Equações de linhas no espaço

Vimos que uma equação da forma A . X = h define uma linha no plano ou um plano no espaço 3. Em cada caso, podemos motivar isso informalmente, dizendo que o espaço de soluções tem dimensão um a menos que a dimensão do espaço que contém.

Esta ideia intuitiva torna-se rigorosa em todas as dimensões em um curso de álgebra linear.

Uma linha no espaço não pode ser dada por uma equação linear, uma vez que para qualquer vetor diferente de zero A, tal equação tem um plano como solução.

Mas uma linha é a interseção de dois planos, então, se tivermos dois desses planos, com duas equações A . X = h e B . X = k, então o conjunto de solução de ambas as equações juntas é a reta. Por outro lado, se tivermos duas dessas equações, teremos dois planos. Os dois planos podem se cruzar em uma linha, ou podem ser paralelos ou até mesmo o mesmo plano.

Os vetores normais A e B são ambos ortogonais aos vetores de direção da linha e, de fato, todo o plano através de O que contém A e B é um plano ortogonal à linha.

Vetores normais e produto cruzado

Dados dois vetores A e B, o produto vetorial A x B é ortogonal a A e a B. Isso é muito útil para construir normais.

Exemplo (Exemplo de equação plana revisitado) Dado, P = (1, 1, 1), Q = (1, 2, 0), R = (-1, 2, 1). Encontre a equação do plano por meio desses pontos.

Primeiro, o vetor normal é o produto vetorial de dois vetores de direção no plano (não ambos na mesma direção!).

Seja um vetor PQ = Q - P = (0, 1, -1) e o outro PR = R - P = (-2, 1, 0). O produto cruzado

(Q - P) x (R - P) = (1, 2, 2) = vetor normal A e a equação é A . X = d para algum d

Usando o método do exemplo acima, podemos encontrar d = A . P = 5. Assim, a equação é A . X = 5, que é igual a uma das equações do exemplo anterior.

Exercício. Verifique se para este A, A . Q e A . R também = 5. Por que isso acontece?

Exercício. Encontre uma unidade normal para este plano. Qual é a equação se A for escolhido para ser a unidade normal?

Ângulos diédricos e vetores normais

Dados dois planos, a medida do ângulo diedro entre os dois planos é definida como a medida de um ângulo formado pela intersecção dos dois planos com outro plano ortogonal à linha de intersecção. (Existem dois ângulos - um par de ângulos suplementares.)

A medida do ângulo entre as direções normais dos dois planos é a mesma que a medida dos ângulos diédricos, portanto, o ângulo diedro pode ser medido tomando o produto escalar das direções normais e usando o Teorema do Cosseno para Produtos Internos.


Problemas de amostra:

Octaedro

Dado I, J, K, o triângulo IJK é um dos 8 triângulos que são faces de um octaedro com vértices nos eixos coordenados.

Quais são as equações dos planos dos grandes círculos através dos vértices adjacentes do octaedro? Quais são os centros esféricos desses grandes círculos?

Qual é a equação do plano do círculo embora I, J, K? Qual é o centro deste círculo no avião? Quais são os centros esféricos deste círculo?

Qualquer cubo pode ser inscrito em uma esfera. Se o cubo está inscrito com arestas paralelas aos eixos coordenados dentro da esfera unitária (uma esfera de raio 1), quais são as vértices do cubo? (Dica: pense em simetria. Pense também nos centros esféricos do círculo através de I, J, K.)

Quais são as equações dos grandes círculos contendo pares de vértices do cubo (as arestas esféricas serão os arcos desses grandes círculos)? Quantos desses círculos existem?

Quais são os pólos dos grandes círculos acima?

Calcule os ângulos entre os grandes círculos usando o produto escalar. Compare com a & quot prova visual & quot observando como o cubo tesseallates a esfera.

Quais são as distâncias 3D entre vértices adjacentes deste cubo?

Quais são as distâncias esféricas entre vértices adjacentes deste cubo? )

Tetraedro

Se alguém escolhe alguns 4 vértices de um cubo, esses 4 pontos são os vértices de um tetraedro regular. Quais são as distâncias espaciais e esféricas entre os pares desses vértices?

Quais são as equações dos planos dos grandes círculos através dos vértices adjacentes do tetraedro?

Quais são as equações dos planos dos círculos que passam por 3 dos vértices do tetraedro?

Figura octaédrica do ponto médio

Quais são as coordenadas espaciais desses pontos médios dos segmentos no espaço: ponto médio M do segmento KI, ponto médio N do segmento KJ, ponto médio L do segmento IJ?

Quais são as coordenadas espaciais do ponto médio esférico M 'do segmento KI, do ponto médio esférico N' de KJ e do ponto médio esférico L 'de IJ na esfera?

Qual é a distância esférica entre cada par desses pontos médios esféricos?