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1.2E: Exercícios para Vetores no Espaço - Matemática


1) Considere uma caixa retangular com um dos vértices na origem, como mostra a figura a seguir. Se o ponto (A (2,3,5) ) é o vértice oposto à origem, então encontre

uma. as coordenadas dos outros seis vértices da caixa e

b. o comprimento da diagonal da caixa determinado pelos vértices (O ) e (A ).

Responder:
uma. ((2,0,5), (2,0,0), (2,3,0), (0,3,0), (0,3,5), (0,0,5) ) b. ( sqrt {38} )

2) Encontre as coordenadas do ponto (P ) e determine sua distância à origem.

Para os exercícios 3 a 6, descreva e represente graficamente o conjunto de pontos que satisfaz a equação dada.

3) ((y − 5) (z − 6) = 0 )

Responder:
Uma união de dois planos: (y = 5 ) (um plano paralelo ao (xz ) - plano) e (z = 6 ) (um plano paralelo ao (xy ) - plano)

4) ((z − 2) (z − 5) = 0 )

5) ((y − 1) ^ 2 + (z − 1) ^ 2 = 1 )

Responder:
Um cilindro de raio (1 ) centrado na linha (y = 1, z = 1 )

6) ((x − 2) ^ 2 + (z − 5) ^ 2 = 4 )

7) Escreva a equação do plano passando pelo ponto ((1,1,1) ) que é paralelo ao plano (xy ).

Responder:
(z = 1 )

8) Escreva a equação do plano passando pelo ponto ((1, −3,2) ) que é paralelo ao plano (xz ) -.

9) Encontre uma equação do plano passando pelos pontos ((1, −3, −2), (0,3, −2), ) e ((1,0, −2). )

Responder:
(z = −2 )

10) Encontre uma equação do plano passando pelos pontos ((1,9,2), (1,3,6), ) e ((1, −7,8). )

Para os exercícios 11-14, encontre a equação da esfera na forma padrão que satisfaz as condições fornecidas.

11) Centro (C (−1,7,4) ) e raio (4 )

Responder:
((x + 1) ^ 2 + (y − 7) ^ 2 + (z − 4) ^ 2 = 16 )

12) Centro (C (−4,7,2) ) e raio (6 )

13) Diâmetro (PQ, ) onde (P (−1,5,7) ) e (Q (−5,2,9) )

Responder:
(x + 3) ^ 2 + (y − 3,5) ^ 2 + (z − 8) ^ 2 = dfrac {29} {4} )

14) Diâmetro (PQ, ) onde (P (−16, −3,9) ) e (Q (−2,3,5) )

Para os exercícios 15 e 16, encontre o centro e o raio da esfera com uma equação na forma geral fornecida.

15) (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2−4z + 3 = 0 )

Responder:
Centro (C (0,0,2) ) e raio (1 )

16) (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2−6x + 8y − 10z + 25 = 0 )

Para os exercícios 17-20, expressar vetor ( vecd {PQ} ) com o ponto inicial em (P ) e o ponto terminal em (Q )

(a. ) em forma de componente e

(b. ) usando vetores de unidade padrão.

17) (P (3,0,2) ) e (Q (−1, −1,4) )

Responder:
(a. vecd {PQ} = ⟨− 4, −1,2⟩ )
(b. vecd {PQ} = - 4 hat { mathbf i} - hat { mathbf j} +2 hat { mathbf k} )

18) (P (0,10,5) ) e (Q (1,1, −3) )

19) (P (−2,5, −8) ) e (M (1, −7,4) ), onde (M ) é o ponto médio do segmento de linha ( overline {PQ } )

Responder:
(a. vecd {PQ} = ⟨6, −24,24⟩ )
(b. vecd {PQ} = 6 hat { mathbf i} −24 hat { mathbf j} +24 hat { mathbf k} )

20) (Q (0,7, −6) ) e (M (−1,3,2) ), onde (M ) é o ponto médio do segmento de linha ( overline {PQ} )

21) Encontre o ponto terminal (Q ) do vetor ( vecd {PQ} = ⟨7, −1,3⟩ ) com o ponto inicial em (P (−2,3,5). )

Responder:
(Q (5,2,8) )

22) Encontre o ponto inicial (P ) do vetor ( vecd {PQ} = ⟨− 9,1,2⟩ ) com o ponto terminal em (Q (10,0, −1). )

Para os exercícios 23-26, use os vetores dados ( vecs a ) e ( vecs b ) para encontrar e expressar os vetores ( vecs a + vecs b, , 4 vecs a ), e (- 5 vecs a + 3 vecs b ) em forma de componente.

23) ( quad vecs a = ⟨− 1, −2,4⟩, quad vecs b = ⟨− 5,6, −7⟩ )

Responder:
( vecs a + vecs b = ⟨− 6,4, −3⟩, 4 vecs a = ⟨− 4, −8,16⟩, −5 vecs a + 3 vecs b = ⟨− 10,28 , −41⟩ )

24) ( quad vecs a = ⟨3, −2,4⟩, quad vecs b = ⟨− 5,6, −9⟩ )

25) ( quad vecs a = - hat { mathbf k}, quad vecs b = - hat { mathbf i} )

Responder:
( vecs a + vecs b = ⟨− 1,0, −1⟩, 4 vecs a = ⟨0,0, −4⟩, −5 vecs a + 3 vecs b = ⟨− 3,0, 5⟩ )

26) ( quad vecs a = hat { mathbf i} + hat { mathbf j} + hat { mathbf k}, quad vecs b = 2 hat { mathbf i} −3 hat { mathbf j} +2 hat { mathbf k} )

Para os exercícios 27-30, os vetores ( vecs u ) e ( vecs v ) são fornecidos. Encontre as magnitudes dos vetores ( vecs u− vecs v ) e (- 2 vecs u ).

27) ( quad vecs u = 2 hat { mathbf i} +3 hat { mathbf j} +4 hat { mathbf k}, quad vecs v = - hat { mathbf i } +5 hat { mathbf j} - hat { mathbf k} )

Responder:
( | vecs u− vecs v | = sqrt {38}, quad | −2 vecs u | = 2 sqrt {29} )

28) ( quad vecs u = hat { mathbf i} + hat { mathbf j}, quad vecs v = hat { mathbf j} - hat { mathbf k} )

29) ( quad vecs u = ⟨2 cos t, −2 sin t, 3⟩, quad vecs v = ⟨0,0,3⟩, quad ) onde (t ) é um número real.

Responder:
( | vecs u− vecs v | = 2, quad | −2 vecs u | = 2 sqrt {13} )

30) ( quad vecs u = ⟨0,1, sinh t⟩, quad vecs v = ⟨1,1,0⟩, quad ) onde (t ) é um número real.

Para os exercícios 31-36, encontre o vetor unitário na direção do vetor dado ( vecs a ) e expresse-o usando vetores unitários padrão.

31) ( quad vecs a = 3 hat { mathbf i} −4 hat { mathbf j} )

Responder:
( frac {3} {5} hat { mathbf i} - frac {4} {5} hat { mathbf j} )

32) ( quad vecs a = ⟨4, −3,6⟩ )

33) ( quad vecs a = vecd {PQ} ), onde (P (−2,3,1) ) e (Q (0, −4,4) )

Responder:
( frac { sqrt {62}} {31} hat { mathbf i} - frac {7 sqrt {62}} {62} hat { mathbf j} + frac {3 sqrt { 62}} {62} hat { mathbf k} )

34) ( quad vecs a = vecd {OP}, ) onde (P (−1, −1,1) )

35) ( quad vecs a = vecs u− vecs v + vecs w, ) onde ( vecs u = hat { mathbf i} - hat { mathbf j} - hat { mathbf k}, quad vecs v = 2 hat { mathbf i} - hat { mathbf j} + hat { mathbf k}, quad ) e ( vecs w = - hat { mathbf i} + hat { mathbf j} +3 hat { mathbf k} )

Responder:
(- frac { sqrt {6}} {3} hat { mathbf i} + frac { sqrt {6}} {6} hat { mathbf j} + frac { sqrt {6 }} {6} hat { mathbf k} )

36) ( quad vecs a = 2 vecs u + vecs v− vecs w, quad ) onde ( vecs u = hat { mathbf i} - hat { mathbf k}, quad vecs v = 2 hat { mathbf j} quad ), e ( vecs w = hat { mathbf i} - hat { mathbf j} )

37) Determine se ( vecd {AB} ) e ( vecd {PQ} ) são vetores equivalentes, onde (A (1,1,1), , B (3,3,3), , P (1,4,5), ) e (Q (3,6,7). )

Responder:
Vetores equivalentes

38) Determine se os vetores ( vecd {AB} ) e ( vecd {PQ} ) são equivalentes, onde (A (1,4,1), , B (−2,2,0 ), , P (2,5,7), ) e (Q (−3,2,1) ).

Para os exercícios 39-42, encontre o vetor ( vecs u ) com uma magnitude que é dada e satisfaz as condições fornecidas.

39) ( quad vecs v = ⟨7, −1,3⟩, , ‖ vecs u‖ = 10 ), e ( vecs u ) e ( vecs v ) têm o mesmo direção

Responder:
( vecs u = ⟨ frac {70 sqrt {59}} {59}, - frac {10 sqrt {59}} {59}, frac {30 sqrt {59}} {59}⟩ )

40) ( quad vecs v = ⟨2,4,1⟩, , ‖ vecs u‖ = 15 ), e ( vecs u ) e ( vecs v ) têm a mesma direção

41) ( quad vecs v = ⟨2 sin t, , 2 cos t, 1⟩, ‖ vecs u ”= 2, vecs u ) e ( vecs v ) têm direções opostas para qualquer (t ), onde (t ) é um número real

Responder:
( vecs u = ⟨− frac {4 sqrt {5}} {5} sin t, - frac {4 sqrt {5}} {5} cos t, - frac {2 sqrt {5}} {5}⟩ )

42) ( quad vecs v = ⟨3 sinh t, 0,3⟩, , ‖ vecs u‖ = 5 ), e ( vecs u ) e ( vecs v ) têm direções opostas para qualquer (t ), onde (t ) é um número real

43) Determine um vetor de magnitude (5 ) na direção do vetor ( vecd {AB} ), onde (A (2,1,5) ) e (B (3,4, - 7). )

Responder:
(⟨ Frac {5 sqrt {154}} {154}, frac {15 sqrt {154}} {154}, - frac {30 sqrt {154}} {77}⟩ )

44) Encontre um vetor de magnitude (2 ) que aponta na direção oposta do vetor ( vecd {AB} ), onde (A (−1, −1,1) ) e (B ( 0,1,1). ) Expresse a resposta na forma de componentes.

45) Considere os pontos (A (2, α, 0), , B (0,1, β), ) e (C (1,1, β) ), onde (α ) e (β ) são números reais negativos. Encontre (α ) e (β ) de modo que ( | vecd {OA} - vecd {OB} + vecd {OC} | = | vecd {OB} | = 4. )

Responder:
(α = - sqrt {7}, , β = - sqrt {15} )

46) Considere os pontos (A (α, 0,0), , B (0, β, 0), ) e (C (α, β, β), ) onde (α ) e (β ) são números reais positivos. Encontre (α ) e (β ) de modo que ( | overline {OA} + overline {OB} | = sqrt {2} ) e ( | overline {OC} | = sqrt {3} ).

47) Seja (P (x, y, z) ) um ponto situado a uma distância igual dos pontos (A (1, −1,0) ) e (B (−1,2,1) ). Mostre que o ponto (P ) está no plano da equação (- 2x + 3y + z = 2. )

48) Seja (P (x, y, z) ) um ponto situado a uma distância igual da origem e do ponto (A (4,1,2) ). Mostre que as coordenadas do ponto P satisfazem a equação (8x + 2y + 4z = 21. )

49) Os pontos (A, B, ) e (C ) são colineares (nesta ordem) se a relação ({ | vecd {AB} | + | vecd {BC} | = | vecd {AC} |} ) está satisfeito. Mostre que (A (5,3, −1), , B (−5, −3,1), ) e (C (−15, −9,3) ) são pontos colineares.

50) Mostre que os pontos (A (1,0,1), , B (0,1,1), ) e (C (1,1,1) ) não são colineares.

51) [T] Uma força ( vecs F ) de (50 , N ) atua sobre uma partícula na direção do vetor ( vecd {OP} ), onde (P (3, 4,0). )

uma. Expresse a força como um vetor na forma de componente.

b. Encontre o ângulo entre a força ( vecs F ) e a direção positiva do eixo (x ). Expresse a resposta em graus arredondados para o número inteiro mais próximo.

Responder:
(a. vecs F = ⟨30,40,0⟩; quad b. 53 ° )

52) [T] Uma força ( vecs F ) de (40 , N ) atua sobre uma caixa na direção do vetor ( vecd {OP} ), onde (P (1, 0,2). )

uma. Expresse a força como um vetor usando vetores unitários padrão.

b. Encontre o ângulo entre a força ( vecs F ) e a direção positiva do eixo (x ).

53) Se ( vecs F ) é uma força que move um objeto do ponto (P_1 (x_1, y_1, z_1) ) para outro ponto (P_2 (x_2, y_2, z_2) ), então o deslocamento vetor é definido como (D = (x_2 − x_1) hat { mathbf i} + (y_2 − y_1) hat { mathbf j} + (z_2 − z_1) hat { mathbf k} ). Um recipiente de metal é levantado (10 ​​) m verticalmente por uma força constante ( vecs F ). Expresse o vetor de deslocamento (D ) usando vetores unitários padrão.

Responder:
( vecs D = 10 hat { mathbf k} )

54) Uma caixa é puxada (4 ) yd horizontalmente na direção (x ) - por uma força constante ( vecs F ). Encontre o vetor de deslocamento na forma de componente.

55) A soma das forças agindo sobre um objeto é chamada de força resultante ou rede. Diz-se que um objeto está em equilíbrio estático se a força resultante das forças que atuam sobre ele for zero. Sejam ( vecs F_1 = ⟨10,6,3⟩, vecs F_2 = ⟨0,4,9⟩ ) e ( vecs F_3 = ⟨10, −3, −9⟩ ) três forças atuando em uma caixa. Encontre a força ( vecs F_4 ) atuando na caixa de forma que a caixa esteja em equilíbrio estático. Expresse a resposta em forma de componente.

Responder:
( vecs F_4 = ⟨− 20, −7, −3⟩ )

56) [T] Sejam ( vecs F_k = ⟨1, k, k ^ 2⟩, k = 1, ..., n ) ser (n ) forças agindo sobre uma partícula, com (n≥ 2. )

uma. Encontre a força resultante ( vecs F = sum_ {k = 1} ^ n vecs F_k. ) Expresse a resposta usando vetores unitários padrão.

b. Use um sistema de álgebra computacional (CAS) para encontrar (n ) de modo que ( | vecs F | <100. )

57) A força da gravidade ( vecs F ) agindo sobre um objeto é dada por ( vecs F = m vecs g ), onde (m ) é a massa do objeto (expressa em quilogramas) e ( vecs g ) é a aceleração resultante da gravidade, com ( | vecs g | = 9,8 , N / kg. ) Uma bola de discoteca de 2 kg está pendurada por uma corrente no teto de uma sala .

uma. Encontre a força da gravidade ( vecs F ) atuando na bola de discoteca e encontre sua magnitude.

b. Encontre a força de tensão ( vecs T ) na corrente e sua magnitude.

Expresse as respostas usando vetores unitários padrão.

Responder:
(a. vecs F = −19,6 hat { mathbf k}, quad | vecs F | = 19,6 , N )
(b. vecs T = 19,6 hat { mathbf k}, quad | vecs T | = 19,6 , N )

58) Um lustre pendente de 5 kg é projetado de forma que a tigela de alabastro seja sustentada por quatro correntes de igual comprimento, conforme mostrado na figura a seguir.

uma. Encontre a magnitude da força da gravidade atuando no lustre.

b. Encontre as magnitudes das forças de tensão para cada uma das quatro cadeias (suponha que as cadeias sejam essencialmente verticais).

59) [T] Um bloco de cimento de 30 kg é suspenso por três cabos de igual comprimento que são ancorados nos pontos (P (−2,0,0), Q (1, sqrt {3}, 0), ) e (R (1, - sqrt {3}, 0) ). A carga está localizada em (S (0,0, −2 sqrt {3}) ), conforme mostrado na figura a seguir. Sejam ( vecs F_1, vecs F_2 ) e ( vecs F_3 ) as forças de tensão resultantes da carga nos cabos (RS, QS, ) e (PS, ) respectivamente.

uma. Encontre a força gravitacional ( vecs F ) agindo sobre o bloco de cimento que contrabalança a soma ( vecs F_1 + vecs F_2 + vecs F_3 ) das forças de tensão nos cabos.

b. Encontre as forças ( vecs F_1, vecs F_2, ) e ( vecs F_3 ). Expresse a resposta em forma de componente.

Responder:
uma. ( vecs F = −294 hat { mathbf k} ) N;
b. ( vecs F_1 = ⟨− frac {49 sqrt {3}} {3}, 49, −98⟩, vecs F_2 = ⟨− frac {49 sqrt {3}} {3}, - 49 , −98⟩ ), e ( vecs F_3 = ⟨ frac {98 sqrt {3}} {3}, 0, −98⟩ ) (cada componente é expresso em newtons)

60) Dois jogadores de futebol estão treinando para um próximo jogo. Um deles corre 10 m do ponto A ao ponto B. Ela então vira à esquerda em (90 ° ) e corre 10 m até chegar ao ponto C. Em seguida, ela chuta a bola com uma velocidade de 10 m / seg para cima ângulo de (45 ° ) para seu companheiro de equipe, que está localizado no ponto A. Escreva a velocidade da bola na forma do componente.

61) Seja ( vecs r (t) = ⟨x (t), , y (t), , z (t)⟩ ) o vetor posição de uma partícula no momento (t∈ [0 , T] ), onde (x, y, ) e (z ) são funções suaves em ([0, T] ). A velocidade instantânea da partícula no tempo (t ) é definida pelo vetor ( vecs v (t) = ⟨x '(t), , y' (t), , z '(t)⟩ ), com componentes que são as derivadas em relação a (t ), das funções (x, y ) e (z ), respectivamente. A magnitude (∥ vecs v (t) ∥ ) do vetor velocidade instantânea é chamada de velocidade da partícula no tempo (t ). Vetor ( vecs a (t) = ⟨x '' (t), , y '' (t), , z '' (t)⟩ ), com componentes que são as segundas derivadas em relação a (t ), das funções (x, y, ) e (z ), respectivamente, dá a aceleração da partícula no tempo (t ). Considere ( vecs r (t) = ⟨ cos t, , sin t, , 2t⟩ ) o vetor posição de uma partícula no tempo (t∈ [0,30], ) onde os componentes de ( vecs r ) são expressos em centímetros e o tempo é expresso em segundos.

uma. Encontre a velocidade, velocidade e aceleração instantâneas da partícula após o primeiro segundo. Arredonde sua resposta para duas casas decimais.

b. Use um CAS para visualizar o caminho da partícula - ou seja, o conjunto de todos os pontos de coordenadas (( cos t, sin t, 2t), ) onde (t∈ [0,30]. )

Responder:
(a. vecs v (1) = ⟨− 0,84,0.54,2⟩ ) (cada componente é expresso em centímetros por segundo); (∥ vecs v (1) ∥ = 2,24 ) (expresso em centímetros por segundo); ( vecs a (1) = ⟨− 0,54, −0,84,0⟩ ) (cada componente expresso em centímetros por segundo ao quadrado);

(b. )

62) [T] Seja ( vecs r (t) = ⟨t, 2t ^ 2,4t ^ 2⟩ ) o vetor posição de uma partícula no tempo (t ) (em segundos), onde ( t∈ [0,10] ) (aqui os componentes de ( vecs r ) são expressos em centímetros).

uma. Encontre a velocidade instantânea, velocidade e aceleração da partícula após os primeiros dois segundos. Use um CAS para visualizar o caminho da partícula definido pelos pontos ((t, , 2t ^ 2, , 4t ^ 2), ) onde (t∈ [0, , 60]. )

Contribuidores

Gilbert Strang (MIT) e Edwin “Jed” Herman (Harvey Mudd) com muitos autores contribuintes. Este conteúdo da OpenStax é licenciado com uma licença CC-BY-SA-NC 4.0. Baixe gratuitamente em http://cnx.org.


Encontre a forma do componente do vetor. O vetor do ponto A = (2, 3) para a origem

Q: Complete a tabela para determinar a quantidade de dinheiro P que deve ser investida à taxa r para produzir a.

R: Clique para ver a resposta

A: gx = 5x2 + 1Ex = exgxEx = 5x2 + 1ex Quando x = 5 g5E5 = 5 × 52 + 1e5 = 0,848

Q: dv du ute u = 8 cos x, = - cos x na fórmula da Regra do Quociente e simplifique o resultado dx -8 sen x, v.

R: Clique para ver a resposta

P: O que deve ser feito para resolver isso?

Um olá. Visto que sua pergunta tem várias sub-partes, resolveremos as três primeiras sub-partes para você. Se y.

Q: O custo total (em dólares) de fabricação x chassis de carroceria é C (x) = 50.000 + 700x. (A) Encontre th.

R: Clique para ver a resposta

Q: Represente graficamente a função dada fazendo uma tabela de coordenadas. fox) = 5 Complete a tabela de coordenadas.

R: Clique para ver a resposta

Q: Questão Encontre a equação da reta tangente à função f (x) = -x² - 4x + 4 no ponto onde.

R: Clique para ver a resposta

Q: Revisão da integração Avalie os seguintes integrais.

R: Dado: ∫01x.3x2 + 1dx para avaliar a integral dada, substituímos x2 + 1 = t.

Q: Usando a equação y = A sen Bx, se eu substituir A ou B por seu oposto, o gráfico do resu.


Exemplos de espaços vetoriais

Exemplo 1 A seguir estão exemplos de espaços vetoriais:

  1. O conjunto de todos os números reais ( mathbb ) associado à adição e multiplicação escalar de números reais.
  2. O conjunto de todos os números complexos ( mathbb ) associado à adição e multiplicação escalar de números complexos.
  3. O conjunto de todos os polinômios (R_n (x) ) com coeficientes reais associados à adição e multiplicação escalar de polinômios.
  4. O conjunto de todos os vetores de dimensão (n ) escritos como ( mathbb^ n ) associado à adição e multiplicação escalar conforme definido para os vetores 3-d e 2-d, por exemplo.
  5. O conjunto de todas as matrizes de dimensão (m vezes n ) associadas à adição e multiplicação escalar conforme definido para as matrizes.
  6. O conjunto de todas as funções ( textbf ) satisfazendo a equação diferencial ( textbf = textbf )

Exemplo 2
Prove que o conjunto de todas as matrizes 2 por 2 associadas à adição de matrizes e à multiplicação escalar de matrizes é um espaço vetorial.
Solução do Exemplo 2
Seja (V ) o conjunto de todas as matrizes 2 por 2.
1) A adição de matrizes dá
( começar a & b c & d end + begin a '& b' c '& d' end = begin a + a '& b + b' c + c '& d + d' end )
Adicionar quaisquer matrizes 2 por 2 dá uma matriz 2 por 2 e, portanto, o resultado da adição pertence a (V ).

2) A multiplicação escalar de matrizes dá
(r begin a & b c & d end = begin r a & r b r c & r d end )
Multiplique qualquer matriz 2 por 2 por um escalar e o resultado será uma matriz 2 por 2 que é um elemento de (V ).

3) Comutatividade
( começar a & b c & d end + begin a '& b' c '& d' end = começo a + a '& b + b' c + c '& d + d' end = começo a '+ a & b' + b c '+ c & d' + d end = begin a '& b' c '& d' end + begin a & b c & d end )

4) Associatividade da adição de vetores
( left ( begin a & b c & d end + begin a '& b' c '& d' end direita) + começar a '' & b '' c '' & d '' end = começar a + a '& b + b' c + c '& d + d' end + begin a '' & b '' c '' & d '' end = begin (a + a ') + a' '& (b + b') + b '' (c + c ') + c' '& (d + d') + d '' end = começo a + (a '+ a' ') & b + (b' + b '') c + (c '+ c' ') & d + (d' + d '') end = começo a & b c & d end + left ( begin a '& b' c '& d' end + begin a '' & b '' c '' & d '' end certo) )

5) Associatividade de multiplicação
(r left (s begin a & b c & d end right) = r left ( begin s a & s b s c & s d end right) = begin r s a & r s b r s c & r s d end = begin (r s) a & (r s) b (r s) c & (r s) d end = (r s) começo a & b c & d end )

6) Vetor zero
( começar a & b c & d end + begin 0 e 0 0 e 0 fim = começo a + 0 & b + 0 c + 0 & d + 0 end = begin a & b c & d end )

7) Vetor negativo
( começar a & b c & d end + begin - a & - b - c & - d end = começo a + (- a) & b + (- b) c + (- c) & d + (- d) end = começo 0 e 0 0 e 0 fim )

8) Distributividade das somas das matrizes:
(r left ( begin a & b c & d end + begin a '& b' c '& d' end right) = begin r (a + a ') & r (b + b') r (c + c ') & r (d + d') end = começo r a + r a '& r b + r b r c + r c' & r d + r d end = r left ( begin a & b c & d end direita) + r esquerda ( começo a '& b' c '& d' end certo) )

9) Distributividade de somas de números reais:
((r + s) begin a & b c & d end = begin (r + s) a & (r + s) b (r + s) c & (r + s) d end = começo r a + s a & r b + s b r c + s c & r d + s d end = começo r a & r b r c & r d end + begin s a & s b s c & s d end = r begin a & b c & d end + s begin a & b c & d end )

10) Multiplicação por 1.
(1 começo a & b c & d end = begin 1 a e 1 b 1 c e 1 d fim = begin a & b c & d end )

Exemplo 3
Mostre que o conjunto de todas as funções reais contínuas em ((- infty, infty) ) associadas à adição de funções e à multiplicação de matrizes por um escalar formam um espaço vetorial.
Solução do Exemplo 3
A partir do cálculo, sabemos se ( textbf ) e ( textbf ) são funções contínuas reais em ((- infty, infty) ) e (r ) é um número real, então
(( textbf + textbf) (x) = textbf(x) + textbf(x) ) também é contínuo em ((- infty, infty) )
e
(r textbf(x) ) também é contínuo em ((- infty, infty) )
Portanto, o conjunto de funções contínuas em ((- infty, infty) ) é fechado sob adição e multiplicação escalar (as duas primeiras condições acima).
As 8 regras restantes são satisfeitas automaticamente, pois as funções são funções reais.

Exemplo 4
Mostre que o conjunto de todos os polinômios reais com um grau (n le 3 ) associado com a adição de polinômios e a multiplicação de polinômios por um escalar forma um espaço vetorial.
Solução do Exemplo 4
A adição de dois polinômios de grau menor ou igual a 3 é um polinômio de grau menor ou igual a 3.
A multiplicação de um polinômio de grau menor ou igual a 3 por um número real resulta em um polinômio de grau menor ou igual a 3
Portanto, o conjunto de polinômios de grau menor ou igual a 3 é fechado sob adição e multiplicação escalar (as duas primeiras condições acima).
As 8 regras restantes são satisfeitas automaticamente, uma vez que os polinômios são reais.

Exemplo 5 Mostre que o conjunto de polinômios com um grau (n = 4 ) associado com a adição de polinômios e a multiplicação de polinômios por um número real NÃO É um espaço vetorial.
Solução do Exemplo 5
A adição de dois polinômios de grau 4 pode não resultar em um polinômio de grau 4.
Exemplo: Let ( textbf

(x) = -2 x ^ 4 + 3x ^ 2- 2x + 6 ) e ( textbf(x) = 2 x ^ 4 - 5x ^ 2 + 10 )
( textbf

(x) + textbf(x) = (-2 x ^ 4 + 3x ^ 2- 2x + 6) + (2 x ^ 4 - 5x ^ 2 + 10) = - 5x ^ 2 - 2 x + 16 )
O resultado não é um polinômio de grau 4. Portanto, o conjunto não é fechado sob adição e, portanto, NÃO é um espaço vetorial.

Exemplo 6
Mostre que o conjunto de inteiros associados à adição e multiplicação por um número real NÃO É um espaço vetorial
Solução do Exemplo 6
A multiplicação de um número inteiro por um número real pode não ser um número inteiro.
Exemplo: Let (x = - 2 )
Se você multiplicar (x ) pelo número real ( sqrt 3 ), o resultado NÃO é um inteiro.

Mais referências e links

  1. Álgebra Linear e suas Aplicações - 5ª Edição - David C. Lay, Steven R. Lay, Judi J. McDonald
  2. Álgebra Linear Elementar - 7ª Edição - Howard Anton e Chris Rorres
  3. Matrizes com exemplos e perguntas com soluções
  4. Polinômios
  5. Matrizes de adição, subtração e multiplicação escalar de números complexos

Exercícios 12.2

Ex 12.2.1 Desenhe o vetor $ langle 3, -1 rangle $ com sua cauda na origem.

Ex 12.2.2 Desenhe o vetor $ langle 3, -1,2 rangle $ com sua cauda na origem.

Ex 12.2.3 Seja $ < bf A> $ o vetor com cauda na origem e cabeça em $ (1,2) $ seja $ < bf B> $ o vetor com cauda na origem e cabeça em $ (3,1 ) $. Desenhe $ < bf A> $ e $ < bf B> $ e um vetor $ < bf C> $ com cauda em $ (1,2) $ e cabeça em $ (3,1) $. Desenhe $ bf C $ com sua cauda na origem.

Ex 12.2.4 Seja $ < bf A> $ o vetor com cauda na origem e cabeça em $ (- 1,2) $ seja $ < bf B> $ o vetor com cauda na origem e cabeça em $ (3, 3) $. Desenhe $ < bf A> $ e $ < bf B> $ e um vetor $ < bf C> $ com cauda em $ (- 1,2) $ e cabeça em $ (3,3) $. Desenhe $ bf C $ com sua cauda na origem.

Ex 12.2.5 Seja $ < bf A> $ o vetor com cauda na origem e cabeça em $ (5,2) $ seja $ < bf B> $ o vetor com cauda na origem e cabeça em $ (1,5 ) $. Desenhe $ < bf A> $ e $ < bf B> $ e um vetor $ < bf C> $ com cauda em $ (5,2) $ e cabeça em $ (1,5) $. Desenhe $ bf C $ com sua cauda na origem.

Ex 12.2.11 Seja $ P = (4,5,6) $, $ Q = (1,2, -5) $. Encontre $ ds overrightarrow < strut PQ> $. Encontre um vetor com a mesma direção de $ ds overrightarrow < strut PQ> $, mas com comprimento 1. Encontre um vetor com a mesma direção de $ ds overrightarrow < strut PQ> $, mas com comprimento 4. (resposta )

Ex 12.2.12 Se $ A, B $ e $ C $ são três pontos, encontre $ ds overrightarrow < strut AB> + overrightarrow < strut BC> + overrightarrow < strut CA> $. (responder)

Ex 12.2.13 Considere os 12 vetores que têm suas caudas no centro de um relógio e suas respectivas cabeças em cada um dos 12 dígitos. Qual é a soma desses vetores? E se removermos o vetor correspondente às 4 horas? E se, em vez disso, todos os vetores tiverem suas caudas às 12 horas e as cabeças nos dígitos restantes? (responder)

Ex 12.2.14 Sejam $ bf a $ e $ bf b $ vetores diferentes de zero em duas dimensões que não são paralelas ou antiparalelas. Mostre, algebricamente, que se $ bf c $ é qualquer vetor bidimensional, existem escalares $ s $ e $ t $ tais que $ < bf c> = s < bf a> + t < bf b> $ .

Ex 12.2.15 A afirmação do exercício anterior é válida se os vetores $ bf a $, $ bf b $ e $ bf c $ são vetores tridimensionais? Explique.


Viagem prática do vetor de atividades!

As unidades servem como guias para um determinado conteúdo ou área de assunto. Aninhadas nas unidades estão as aulas (em roxo) e atividades práticas (em azul).

Observe que nem todas as aulas e atividades existirão em uma unidade e, em vez disso, podem existir como currículo "independente".

  • Trace Seu Curso - Navegação
    • Onde é aqui?
      • Nidy-Gridy: Usando grades e coordenadas
      • Northward Ho! Crie e use bússolas simples
      • Encontre sua própria direção
      • Como ser um Grande Navegador!
        • Vector Voyage!
        • A Estrela do Norte (Parede)
        • Navegando pelos Números
          • Fique em forma
          • Rio Trig
          • Exatidão, precisão e erros na navegação: como fazer a coisa certa!
            • Perto o suficiente? Ângulos e precisão de medição na navegação
            • Precisão do computador
            • Soluções Sextantes
            • Topo Map Mania!
              • Onde está seu professor?
              • O problema com Topos
              • Chegando ao ponto
                • Triângulos de sala de aula
                • Topo Triangulação
                • Triangulate: Topos, Compasses and Triangles, Oh My!
                • Você tem triângulos!
                • Técnicas de navegação por terra, mar, ar e espaço
                  • Navegação Náutica
                  • Navegando na velocidade dos satélites
                    • Declare sua posição
                    • Está na hora
                    • GPS em movimento
                      • Noções básicas do receptor GPS
                      • Fazendo arte GPS: Desenhe, Caminhe, Registre, Exiba!
                      • Caça ao tesouro GPS
                      • Não tão perdido no espaço
                        • Uma Rotatória Caminho para Marte
                        • Rastreador de satélite

                        Boletim Informativo da TE

                        Resumo

                        Os alunos exploram a análise vetorial

                        Conexão de Engenharia

                        Embora descrito pela primeira vez por matemáticos, quase todos os ramos da engenharia usam vetores como uma ferramenta hoje, especialmente para calcular força e tensão. Engenheiros mecânicos, aeroespaciais, civis e químicos que projetam usando conceitos de dinâmica de fluidos usam vetores em seus cálculos para descrever forças do mundo real, como o movimento do vento e da água. Os engenheiros elétricos também os usam para descrever as forças dos campos magnéticos e elétricos.

                        Objetivos de aprendizado

                        Após esta atividade, os alunos devem ser capazes de:

                        • Explique que os vetores podem representar distâncias e direções e são uma boa maneira de rastrear o movimento nos mapas.
                        • Use vetores para entender direções, distâncias e tempos associados ao movimento e velocidade.

                        Padrões Educacionais

                        Cada Ensino de Engenharia a aula ou atividade está correlacionada a um ou mais padrões educacionais de ciência, tecnologia, engenharia ou matemática (STEM) do ensino fundamental e médio.

                        Todos os mais de 100.000 padrões K-12 STEM cobertos em Ensino de Engenharia são coletados, mantidos e embalados pelo Rede de Padrões de Conquista (ASN), um projeto de D2L (www.achievementstandards.org).

                        No ASN, os padrões são estruturados hierarquicamente: primeiro pela fonte por exemplo., por estado dentro da fonte por tipo por exemplo., ciências ou matemática dentro de tipo por subtipo, depois por série, etc.

                        Padrões Estaduais de Núcleo Comum - Matemática
                        • (+) Reconhece as grandezas vetoriais como tendo magnitude e direção. Representar quantidades vetoriais por segmentos de linha direcionados e usar símbolos apropriados para vetores e suas magnitudes (por exemplo, v, | v |, || v ||, v). (Classes 9 - 12) Mais detalhes

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                        Associação Internacional de Educadores de Tecnologia e Engenharia - Tecnologia
                        • Os alunos desenvolverão uma compreensão das relações entre as tecnologias e as conexões entre a tecnologia e outros campos de estudo. (Séries K - 12) Mais detalhes

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                        • Aplique o Teorema de Pitágoras para encontrar a distância entre dois pontos em um sistema de coordenadas. (8ª série) Mais detalhes

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                        Lista de Materiais

                        Planilhas e anexos

                        Mais currículos como este

                        Os alunos aprendem que as técnicas de navegação mudam quando as pessoas viajam para lugares diferentes - terra, mar, ar e espaço. Por exemplo, um explorador viajando por terra usa métodos e ferramentas de navegação diferentes de um marinheiro ou astronauta.

                        Nesta lição, os alunos aprendem como os grandes navegadores do passado permaneceram no curso - ou seja, os métodos históricos de navegação. Os conceitos de contagem de mortos e navegação celestial são discutidos.

                        Nesta lição, os alunos investigam os conceitos fundamentais da tecnologia GPS - trilateração e uso da velocidade da luz para calcular distâncias.

                        Os alunos aprendem que a matemática é importante na navegação e na engenharia. Eles usam o Teorema de Pitágoras para resolver problemas do mundo real.

                        Introdução / Motivação

                        Você pode descrever a velocidade e a distância? (Resposta: distância = velocidade x tempo escreva isso no quadro.) Lembre-se de que, para que essa relação funcione, as unidades devem ser iguais. Por exemplo, se a velocidade é medida em milhas por hora, o tempo deve ser convertido em horas para que a resposta seja correta.

                        Como os antigos capitães do mar mantiveram seus navios em curso durante suas viagens? (Veja se os alunos têm alguma ideia.) Eles usaram acerto de contas para descobrir para onde eles estavam indo. Você acha que eles seguiram o sol, a costa ou mesmo as estrelas? (Espere algumas respostas dos alunos.) Sim, eles fizeram. Porém, conhecendo a velocidade, o tempo e o curso de sua viagem, eles puderam determinar onde e aproximadamente quando chegariam, o que foi uma grande vantagem!

                        Colombo - e a maioria dos outros marinheiros de sua época - usava o cálculo morto para navegar. Com o cálculo morto, os navegadores encontram suas posições estimando o curso e a distância que navegaram de pontos conhecidos. Começando de um ponto conhecido, como uma porta, um navegador mede o curso e a distância desse ponto em uma carta, perfurando a carta com um alfinete para marcar a nova posição. Esses primeiros navegadores usavam a matemática para ajudá-los a encontrar o caminho e permanecer no curso quando o vento, a corrente e outros fatores afetavam suas viagens. Infelizmente, Colombo nunca alcançou o destino onde ele pensou que iria terminar. Por que voce acha que isso aconteceu? Quão preciso é o cálculo morto?

                        Procedimento

                        Acerto de contas é o processo de navegação pelo avanço de uma posição conhecida usando curso, velocidade, tempo e distância a ser percorrida. Em outras palavras, descobrir onde você estará em um determinado momento se você segurar o velocidade, tempo e curso você planeja viajar.

                        Figura 1. Ilustração gráfica de uma viagem de navio & # 39s usando vetores.

                        O curso é a direção em que você pretende dirigir a embarcação. Para este exercício, o "curso" ou direção é sempre para oeste (270 graus medidos no sentido horário a partir de 0 graus ao norte). Um rumo é a direção em que a embarcação está indo em um determinado ponto. A trilha realmente seguida pode ser muito tortuosa devido à ação das ondas, correnteza, vento e do timoneiro (a pessoa responsável por dirigir a embarcação). "Curso feito bom" é o curso realmente percorrido.

                        Vectors are arrows that represent two pieces of information: a magnitude value (the length of the arrow) and a directional value (the way the arrow is pointed). In terms of movement, the information contained in the vector is the distance traveled and the direction traveled. Vectors give us a graphical method to calculate the sum of several simultaneous movements. If movement is affected by only one variable (represented by vector A or B), then a vessel would arrive at the end of that vector. If movement is affected by two variables (represented by the sum of A and B), then a vessel's final position can be found by linking the two vectors together.

                        Figure 2. Vectors illustrate the final position of vessel's voyage.

                        • Make copies of the Vector Voyage Worksheet 1 and Vector Voyage Worksheet 2, one each per student.
                        • Print out the Vector Voyage Worksheet 1, 2 and 3 Answer Keys for yourself.
                        • Provide students with a brief introduction to vectors.

                        Ask the students: Should sailors worry about wind and current when traveling long distances? (Answer: Yes. Wind and currents can take a ship far from the course it would follow otherwise. If the navigator is not keeping track of the affects of the wind and current, the ship could become hopelessly lost.)

                        Ask the students: How are vectors related to speed? (Answer: A [velocity] vector tells both speed and direction [N, S, E, W], while speed alone does not tell you direction.)

                        1. Give each student a Vector Voyage Worksheet 1.
                        2. Using the specified color of pencil, have students draw the 10 square movement vectors straight across the map and answer the worksheet questions.
                        3. Have students redraw the 10 square movement vectors on the map while adding the wind vector corrections for each month. Each month's movement vector must start from the end of the previous month's wind vector (refer to Vector Voyage Worksheet 1 Answer Key). Have students answer the worksheet questions.
                        4. Have students redraw the 10 square movement vectors e wind correction vectors on the map while adding the current vector corrections for each month. Each month's current vector now starts from the end of the previous month's wind vector. Each month's movement vector must now start from the end of the previous month's current vector (refer to Vector Voyage Worksheet 2 Answer Key). Have students answer the Vector Voyage Worksheet 2 questions.
                        5. Once they are done, point out how they would have landed on the U.S. without the effects of wind or ocean currents. However, because of wind and ocean currents, they ended up in Cuba.
                        6. Inform students that each square is 100 miles in length. Then have them calculate the distance for Part 1. (Answer: 3,500 miles.)

                        Vocabulary/Definitions

                        dead reckoning: The process of navigating by calculating one's current position by using a previously determined position, and advancing that position based upon known or estimated speeds over elapsed time and course.

                        Assessment

                        Discussion Question: Solicit, integrate and summarize student responses.

                        • Should sailors worry about wind and current when traveling long distances? (Answer: Yes. Wind and currents can take a ship far from the course it would otherwise follow.
                        • Should a navigator pay attention to wind? To current? (Answer: Yes. If the navigator is not keeping track of the affects of the wind and current, the ship could become hopelessly lost.)

                        Activity Embedded Assessment

                        Worksheets: As directed in the Procedure > With the Students section, have students complete the activity worksheets and answer the worksheet questions.Review their answers to gauge their mastery of the subject.

                        Student-Generated Questions: Have each student pick a spot on the African coast and then determine the wind and current correction vectors that would take a ship there after 1 month of sailing east 10 squares. Have them exchange these corrections with a partner (without letting the partners see their sheets), and calculate where they would arrive in Africa using their partner's corrections on their own sheets.

                        Troubleshooting Tips

                        Getting started drawing vectors may be confusing for students. If necessary, help them by drawing the first two vectors on the chalkboard so the entire class can see, or in small groups.

                        The wind correction vector is added to the end of the first vector arrow for month 1. The vectors for Part 3 of the worksheets must build off of the added vectors in Part 2. Both the wind and the ocean affect the landfall this is represented accurately only by building off the wind correction vectors.

                        Vector Voyage Worksheet 3 Answer Key offers a summary of this activity and clearly illustrates the vector movement directly. This answer key is an excellent teacher reference for students who are having difficulty with this exercise.

                        Activity Extensions

                        With students using the Blank Vector Voyage Worksheet, have them plot their own courses, recording movements, directions and corrections along the way. Have them give the new course instructions to a partner to determine if they can sail to the new spot.


                        Welcome to Problems in Mathematics

                        I post problems and their solutions/proofs in mathematics.

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                        Resumo

                        With tuple representations for vectors and matrix representations for linear transformations, we have a unifying framework for computations over all finite-dimensional vector spaces. In other words, thinking about an (n)-dimensional vector space is essentially thinking about (n)-tuples and thinking about linear transformations is essentially thinking about matrices. The usefulness of this fact cannot be overstated, especially when it comes to developing computer software that works with vector spaces.


                        1.2E: Exercises for Vectors in Space - Mathematics

                        Finding Velocity and Acceleration Vectors in Space In Exercises 11-20, the position vector r describes the path or an object moving in space.

                        (a) Kind the velocity vector, speed, and acceleration vector of the object.

                        (b) Evaluate the velocity vector and acceleration vector of the object at the given value of t.

                        Position Vector Time

                        Finding Velocity and Acceleration Vectors in Space In Exercises 11-20, the position vector r describes the path or an object moving in space.

                        (a) Kind the velocity vector, speed, and acceleration vector of the object.

                        (b) Evaluate the velocity vector and acceleration vector of the object at the given value of t.

                        Position Vector Time

                        Finding Velocity and Acceleration Vectors in Space In Exercises 11-20, the position vector r describes the path or an object moving in space.

                        (a) Kind the velocity vector, speed, and acceleration vector of the object.

                        (b) Evaluate the velocity vector and acceleration vector of the object at the given value of t.


                        1.2E: Exercises for Vectors in Space - Mathematics

                        Finding Velocity and Acceleration Vectors in Space In Exercises 11-20, the position vector r describes the path or an object moving in space.

                        (a) Kind the velocity vector, speed, and acceleration vector of the object.

                        (b) Evaluate the velocity vector and acceleration vector of the object at the given value of t.

                        Position Vector Time

                        Finding Velocity and Acceleration Vectors in Space In Exercises 11-20, the position vector r describes the path or an object moving in space.

                        (a) Kind the velocity vector, speed, and acceleration vector of the object.

                        (b) Evaluate the velocity vector and acceleration vector of the object at the given value of t.

                        Position Vector Time

                        Finding Velocity and Acceleration Vectors in Space In Exercises 11-20, the position vector r describes the path or an object moving in space.

                        (a) Kind the velocity vector, speed, and acceleration vector of the object.

                        (b) Evaluate the velocity vector and acceleration vector of the object at the given value of t.


                        Scalar Multiplication of a Vector

                        Example 2: Vectors v and u are given by their components as follows
                        v = < -2 , 3> and u = < 4 , 6>
                        Find each of the following vectors.
                        1 : v + 2 u
                        2 : u - 4 v
                        Solution to example 2:
                        First carry out the scalar multiplication 2 u then the addition

                        1 : v + 2 u = <-2 , 3> + 2 <4 , 6> = <-2 , 3> + <8 , 12>
                        = <6 , 15>
                        2 : u - 4 v = <4 , 6> + (- 4) <-2 , 3> = <4 , 6> + <8 , -12>
                        = <12 , -6>

                        Example 3: v and u are vectors given by
                        v = < 1 , -2> and u = < u1 , u2>
                        Find components u1 and u2 of vector u so that v + 3 u = 0.
                        Solution to example 3:
                        We first obtain v + 3 u in terms of u1 and u2

                        = <1 , -2> + <3 u1 , 3 u2>
                        = <1 + 3 u1 , -2 + 3 u2>
                        For the above vector to be equal to vector 0, its two components have to be equal to 0, hence
                        1 + 3 u1 = 0 and -2 + 3 u2 = 0
                        Solve the first equation for u1 and the second equation for u2
                        u1 = -1 / 3 and u2 = 2 / 3

                        Exercícios
                        1. Given vectors
                        v = <-3 , 2> and u = <-2 , 0>,
                        find the following vectors.
                        - v + 2 u , v - (1/2) u
                        2. Vectors v and u are given by
                        v = <4 , 1> and u = <u1 , u2>,
                        find components u1 and u2 so that 2 v - 3 u = 0 .

                        Answers to above exercises
                        1.
                        - v + 2 u = <- 1 , -2>,
                        v - (1/2) = <- 2 , 2>,
                        2.
                        u1 = 8 / 3
                        u2 = 2 / 3

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