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3.8: Mudança de Variáveis ​​em Integrais Múltiplos (Jacobianos)


objetivos de aprendizado

  • Determine a imagem de uma região sob uma dada transformação de variáveis.
  • Calcule o Jacobiano de uma dada transformação.
  • Avalie uma integral dupla usando uma mudança de variáveis.
  • Avalie uma integral tripla usando uma mudança de variáveis.

Lembre-se da Regra de Substituição, o método de integração por substituição. Ao avaliar uma integral, como

[ int_2 ^ 3 x (x ^ 2 - 4) ^ 5 dx, ]

substituímos (u = g (x) = x ^ 2 - 4 ). Então (du = 2x , dx ) ou (x , dx = frac {1} {2} du ) e os limites mudam para (u = g (2) = 2 ^ 2 - 4 = 0 ) e (u = g (3) = 9 - 4 = 5 ). Assim, a integral se torna

[ int_0 ^ 5 frac {1} {2} u ^ 5 du ]

e essa integral é muito mais simples de avaliar. Em outras palavras, ao resolver problemas de integração, fazemos substituições apropriadas para obter uma integral que se torna muito mais simples do que a integral original.

Também usamos essa ideia quando transformamos integrais duplas em coordenadas retangulares em coordenadas polares e integrais triplas em coordenadas retangulares em coordenadas cilíndricas ou esféricas para tornar os cálculos mais simples. De forma geral,

[ int_a ^ b f (x) dx = int_c ^ d f (g (u)) g '(u) du, ]

Onde (x = g (u), , dx = g '(u) du ), e (u = c ) e (u = d ) satisfazer (c = g (a) ) e (d = g (b) ).

Um resultado semelhante ocorre em integrais duplos quando substituímos

  • (x = f (r, theta) = r , cos , theta )
  • (y = g (r, theta) = r , sin , theta ), e
  • (dA = dx , dy = r , dr , d theta ).

Então nós temos

[ iint_R f (x, y) dA = iint_S (r , cos , theta, , r , sin , theta) r , dr , d theta ]

onde o domínio (R ) é substituído pelo domínio (S ) em coordenadas polares. Geralmente, a função que usamos para alterar as variáveis ​​para tornar a integração mais simples é chamada de transformação ou mapeamento.

Transformações Planares

Uma transformação plana (T ) é uma função que transforma uma região (G ) em um plano em uma região (R ) em outro plano por uma mudança de variáveis. Ambos (G ) e (R ) são subconjuntos de (R ^ 2 ). Por exemplo, a Figura ( PageIndex {1} ) mostra uma região (G ) no (uv ) - plano transformado em uma região (R ) no (xy ) - plano pelo mudança de variáveis ​​ (x = g (u, v) ) e (y = h (u, v) ), ou às vezes escrevemos (x = x (u, v) ) e (y = y (u, v) ). Devemos tipicamente supor que cada uma dessas funções tem primeiras derivadas parciais contínuas, o que significa que (g_u, , g_v, , h_u, ) e (h_v ) existem e também são contínuas. A necessidade desse requisito ficará clara em breve.

Definição: transformação um para um

Uma transformação (T: , G rightarrow R ), definida como (T (u, v) = (x, y) ), é considerada uma transformação um-para-um se nenhum mapa de dois pontos para o mesmo ponto da imagem.

Para mostrar que (T ) uma transformação um-para-um, assumimos (T (u_1, v_1) = T (u_2, v_2) ) e mostramos que, como consequência, obtemos ((u_1, v_1) = (u_2, v_2) ). Se a transformação (T ) é um-para-um no domínio (G ), então o inverso (T ^ {- 1} ) existe com o domínio (R ) tal que (T ^ {- 1} circ T ) e (T circ T ^ {- 1} ) são funções de identidade.

A Figura ( PageIndex {2} ) mostra o mapeamento (T (u, v) = (x, y) ) onde (x ) e (y ) estão relacionados a (u ) e (v ) pelas equações (x = g (u, v) ) e (y = h (u, v) ). A região (G ) é o domínio de (T ) e a região (R ) é o intervalo de (T ), também conhecido como o imagem de (G ) sob a transformação (T ).

Exemplo ( PageIndex {1A} ): Determinando como a transformação funciona

Suponha que uma transformação (T ) seja definida como (T (r, theta) = (x, y) ) onde (x = r , cos , theta, , y = r , sin , theta ). Encontre a imagem do retângulo polar (G = {(r, theta) | 0 leq r leq 1, , 0 leq theta leq pi / 2 } ) no (r theta ) - plano para uma região (R ) no plano (xy ). Mostre que (T ) é uma transformação um-para-um em (G ) e encontre (T ^ {- 1} (x, y) ).

Solução

Como (r ) varia de 0 a 1 no plano (r theta ), temos um disco circular de raio 0 a 1 no plano (xy ). Como ( theta ) varia de 0 a ( pi / 2 ) no plano (r theta ), acabamos obtendo um quarto de círculo de raio (1 ) no primeiro quadrante de o plano (xy ) - (Figura ( PageIndex {2} )). Portanto, (R ) é um quarto de círculo limitado por (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ) no primeiro quadrante.

Para mostrar que (T ) é uma transformação um-para-um, assuma (T (r_1, theta_1) = T (r_2, theta_2) ) e mostre como consequência que ((r_1, theta_1) = (r_2, theta_2) ). Neste caso, temos

[T (r_1, theta_1) = T (r_2, theta_2), ]

[(x_1, y_1) = (x_1, y_1), ]

[(r_1 cos , theta_1, r_1 sin , theta_1) = (r_2 cos , theta_2, r_2 sin , theta_2), ]

[r_1 cos , theta_1 = r_2 cos , theta_2, , r_1 sin , theta_1 = r_2 sin , theta_2. ]

Dividindo, obtemos

[ frac {r_1 cos , theta_1} {r_1 sin , theta_1} = frac {r_2 cos , theta_2} {r_2 sin , theta_2} ]

[ frac { cos , theta_1} { sin , theta_1} = frac { cos , theta_2} { sin , theta_2} ]

[ tan , theta_1 = tan , theta_2 ]

[ theta_1 = theta_2 ]

uma vez que a função tangente é uma função um-um no intervalo (0 leq theta leq pi / 2 ). Além disso, como (0 leq r leq 1 ), temos (r_1 = r_2, , theta_1 = theta_2 ). Portanto, ((r_1, theta_1) = (r_2, theta_2) ) e (T ) é uma transformação um-para-um de (G ) para (R ).

Para encontrar (T ^ {- 1} (x, y) ) resolva para (r, theta ) em termos de (x, y ). Já sabemos que (r ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 ) e ( tan , theta = frac {y} {x} ). Assim, (T ^ {- 1} (x, y) = (r, theta) ) é definido como (r = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} ) e ( tan ^ { -1} left ( frac {y} {x} right) ).

Exemplo ( PageIndex {1B} ): Encontrando a imagem em (T )

Deixe a transformação (T ) ser definida por (T (u, v) = (x, y) ) onde (x = u ^ 2 - v ^ 2 ) e (y = uv ). Encontre a imagem do triângulo no plano (uv ) - com vértices ((0,0), , (0,1) ) e ((1,1) ).

Solução

O triângulo e sua imagem são mostrados na Figura ( PageIndex {3} ). Para entender como os lados do triângulo se transformam, chame o lado que une ((0,0) ) e ((0,1) ) lado (A ), o lado que une ((0, 0) ) e ((1,1) ) lado (B ), e o lado que une ((1,1) ) e ((0,1) ) lado (C )

  • Para o lado (A: , u = 0, , 0 leq v leq 1 ) se transforma em (x = -v ^ 2, , y = 0 ) então este é o lado (A ') que une ((- 1,0) ) e ((0,0) ).
  • Para o lado (B: , u = v, , 0 leq u leq 1 ) transforma-se em (x = 0, , y = u ^ 2 ) então este é o lado (B ' ) que une ((0,0) ) e ((0,1) ).
  • Para o lado (C: , 0 leq u leq 1, , v = 1 ) transforma-se em (x = u ^ 2 - 1, , y = u ) (portanto (x = y ^ 2 - 1 ) então este é o lado (C ') que faz a metade superior do arco parabólico unindo ((- 1,0) ) e ((0,1) ).

Todos os pontos em toda a região do triângulo no plano (uv ) - são mapeados dentro da região parabólica no plano (xy ).

Exercício ( PageIndex {1} )

Seja uma transformação (T ) definida como (T (u, v) = (x, y) ) onde (x = u + v, , y = 3v ). Encontre a imagem do retângulo (G = {(u, v): , 0 leq u leq 1, , 0 leq v leq 2 } ) do plano (uv ) após a transformação em uma região (R ) no plano (xy ). Mostre que (T ) é uma transformação um-para-um e encontre (T ^ {- 1} (x, y) ).

Dica

Siga as etapas de Exemplo ( PageIndex {1B} ).

Responder

(T ^ {- 1} (x, y) = (u, v) ) onde (u = frac {3x-y} {3} ) e (v = frac {y} {3 } )

Usando a definição, temos

[ Delta A approx J (u, v) Delta u Delta v = left | frac { partial (x, y)} { partial (u, v)} right | Delta u Delta v. ]

Observe que o Jacobiano é frequentemente denotado simplesmente por

[J (u, v) = frac { partial (x, y)} { partial (u, v)}. ]

Observe também que

[ begin {vmatrix} dfrac { partial x} { parcial u} & dfrac { parcial y} { parcial u} não numérico dfrac { parcial x} { parcial v} & dfrac { parcial y} { parcial v} end {vmatrix} = esquerda ( frac { parcial x} { parcial u} frac { parcial y} { parcial v} - frac { parcial x} { parcial v} frac { parcial y} { parcial u} direita) = begin {vmatriz} dfrac { parcial x} { parcial u} & dfrac { parcial x} { parcial v} nonumber dfrac { parcial y} { parcial u} & dfrac { parcial y} { parcial v} end {vmatriz}. ]

Portanto, a notação (J (u, v) = frac { partial (x, y)} { partial (u, v)} ) sugere que podemos escrever o determinante Jacobiano com parciais de (x ) na primeira linha e parciais de (y ) na segunda linha.

Exemplo ( PageIndex {2A} ): Encontrando o Jacobiano

Encontre o Jacobiano da transformação dada em Exemplo ( PageIndex {1A} ).

Solução

A transformação no exemplo é (T (r, theta) = (r , cos , theta, , r , sin , theta) ) onde (x = r , cos , theta ) e (y = r , sin , theta ). Assim, o Jacobiano é

[J (r, theta) = frac { partial (x, y)} { partial (r, theta)} = begin {vmatrix} dfrac { partial x} { partial r} & dfrac { partial x} { partial theta} dfrac { partial y} { partial r} & dfrac { partial y} { partial theta} end {vmatrix} = begin { vmatriz} cos theta & -r sin theta sin theta & r cos theta end {vmatrix} = r , cos ^ 2 theta + r , sin ^ 2 theta = r ( cos ^ 2 theta + sin ^ 2 theta) = r. enhum número]

Exemplo ( PageIndex {2B} ): Encontrando o Jacobiano

Encontre o Jacobiano da transformação dada em Exemplo ( PageIndex {1B} ).

Solução

A transformação no exemplo é (T (u, v) = (u ^ 2 - v ^ 2, uv) ) onde (x = u ^ 2 - v ^ 2 ) e (y = uv ) . Assim, o Jacobiano é

[J (u, v) = frac { partial (x, y)} { partial (u, v)} = begin {vmatrix} dfrac { partial x} { partial u} & dfrac { parcial x} { parcial v} dfrac { parcial y} { parcial u} & dfrac { parcial y} { parcial v} end {vmatrix} = begin {vmatrix} 2u & -2v v & u end {vmatrix} = 2u ^ 2 + 2v ^ 2. enhum número]

Exercício ( PageIndex {2} )

Encontre o Jacobiano da transformação dada no ponto de verificação anterior: (T (u, v) = (u + v, 2v) ).

Dica

Siga as etapas nos dois exemplos anteriores.

Responder

[J (u, v) = frac { partial (x, y)} { partial (u, v)} = begin {vmatrix} dfrac { partial x} { partial u} & dfrac { partial x} { partial v} nonumber dfrac { partial y} { partial u} & dfrac { partial y} { partial v} end {vmatrix} = begin {vmatrix} 1 e 1 não numérico 0 & 2 end {vmatrix} = 2 ]

Exercício ( PageIndex {3} )

Considerando a integral ( int_0 ^ 1 int_0 ^ { sqrt {1-x ^ 2}} (x ^ 2 + y ^ 2) dy , dx, ) use a mudança de variáveis ​​ (x = r , cos , theta ) e (y = r , sin , theta ) e encontre a integral resultante.

Dica

Siga as etapas do exemplo anterior.

Responder

[ int_0 ^ { pi / 2} int_0 ^ 1 r ^ 3 dr , d theta ]

Observe no próximo exemplo que a região sobre a qual devemos integrar pode sugerir uma transformação adequada para a integração. Esta é uma situação comum e importante.

Exemplo ( PageIndex {4} ): Alterando Variáveis

Considere a integral [ iint_R (x - y) dy , dx, ] onde (R ) é o paralelogramo que une os pontos ((1,2), , (3,4), , ( 4,3) ), e ((6,5) ) (Figura ( PageIndex {7} )). Faça as alterações apropriadas nas variáveis ​​e escreva a integral resultante.

Solução

Primeiro, precisamos entender a região na qual devemos nos integrar. Os lados do paralelogramo são (x - y + 1, , x - y - 1 = 0, , x - 3y + 5 = 0 ) e (x - 3y + 9 = 0 ) (Figura ( PageIndex {8} )). Outra maneira de observá-los é (x - y = -1, , x - y = 1, , x - 3y = -5 ) e (x - 3y = 9 ).

Claramente, o paralelogramo é delimitado pelas retas (y = x + 1, , y = x - 1, , y = frac {1} {3} (x + 5) ) e (y = frac {1} {3} (x + 9) ).

Observe que se fôssemos fazer (u = x - y ) e (v = x - 3y ), então os limites da integral seriam (- 1 leq u leq 1 ) e ( -9 leq v leq -5 ).

Para resolver para (x ) e (y ), multiplicamos a primeira equação por (3 ) e subtraímos a segunda equação, (3u - v = (3x - 3y) - (x - 3y) = 2x ). Então temos (x = frac {3u-v} {2} ). Além disso, se simplesmente subtrairmos a segunda equação da primeira, obteremos (u - v = (x - y) - (x - 3y) = 2y ) e (y = frac {uv} {2} )

Assim, podemos escolher a transformação

[T (u, v) = left ( frac {3u - v} {2}, , frac {u - v} {2} right) ] e calcule o Jacobiano (J (u, v) ). Nós temos

[J (u, v) = frac { partial (x, y)} { partial (u, v)} = begin {vmatrix} dfrac { partial x} { partial u} & dfrac { parcial x} { parcial v} dfrac { parcial y} { parcial u} & dfrac { parcial y} { parcial v} end {vmatrix} = begin {vmatrix} 3 / 2 & -1/2 nonumber 1/2 & -1/2 end {vmatrix} = - frac {3} {4} + frac {1} {4} = - frac {1} { 2} nonumber ]

Portanto, (| J (u, v) | = frac {1} {2} ). Além disso, o integrando original torna-se

[x - y = frac {1} {2} [3u - v - u + v] = frac {1} {2} [3u - u] = frac {1} {2} [2u] = você. enhum número]

Portanto, pelo uso da transformação (T ), a integral muda para

[ iint_R (x - y) dy , dx = int _ {- 9} ^ {- 5} int _ {- 1} ^ 1 J (u, v) u , du , dv = int_ { -9} ^ {- 5} int _ {- 1} ^ 1 left ( frac {1} {2} right) u , du , dv, nonumber ] que é muito mais simples de calcular.

Exercício ( PageIndex {4} )

Faça as mudanças apropriadas nas variáveis ​​na integral [ iint_R frac {4} {(x - y) ^ 2} dy , dx, nonumber ] onde (R ) é o trapézio delimitado pelas linhas ( x - y = 2, , x - y = 4, , x = 0 ) e (y = 0 ). Escreva a integral resultante.

Dica

Siga as etapas do exemplo anterior.

Responder

(x = frac {1} {2} (v + u) ) e (y = frac {1} {2} (v - u) )

e

[ int_ {2} ^ 4 int _ {- u} ^ u left ( frac {1} {2} right) cdot frac {4} {u ^ 2} , dv , du. enhum número]

Estamos prontos para dar uma estratégia de resolução de problemas para a mudança de variáveis.

No próximo exemplo, encontramos uma substituição que torna o integrando muito mais simples de calcular.

Exemplo ( PageIndex {5} ): Avaliando um Integral

Usando a mudança de variáveis ​​ (u = x - y ) e (v = x + y ), avalie a integral [ iint_R (x - y) e ^ {x ^ 2-y ^ 2} dA, ] onde (R ) é a região limitada pelas linhas (x + y = 1 ) e (x + y = 3 ) e as curvas (x ^ 2 - y ^ 2 = -1 ) e (x ^ 2 - y ^ 2 = 1 ) (veja a primeira região na Figura ( PageIndex {9} )).

Solução

Como antes, primeiro encontre a região (R ) e imagine a transformação para que seja mais fácil obter os limites de integração após as transformações serem feitas (Figura ( PageIndex {9} )).

Dados (u = x - y ) e (v = x + y ), temos (x = frac {u + v} {2} ) e (y = frac {vu} { 2} ) e, portanto, a transformação a ser usada é (T (u, v) = left ( frac {u + v} {2}, , frac {vu} {2} right) ). As linhas (x + y = 1 ) e (x + y = 3 ) tornam-se (v = 1 ) e (v = 3 ), respectivamente. As curvas (x ^ 2 - y ^ 2 = 1 ) e (x ^ 2 - y ^ 2 = -1 ) tornam-se (uv = 1 ) e (uv = -1 ), respectivamente.

Assim, podemos descrever a região (S ) (ver a segunda região Figura ( PageIndex {9} )) como

[S = left {(u, v) | 1 leq v leq 3, , frac {-1} {v} leq u leq frac {1} {v} right }. enhum número]

O Jacobiano para esta transformação é

[J (u, v) = frac { partial (x, y)} { partial (u, v)} = begin {vmatrix} dfrac { partial x} { partial u} & dfrac { partial x} { partial v} dfrac { partial y} { partial u} & dfrac { partial y} { partial v} end {vmatrix} = begin {vmatrix} 1 / 2 e 1/2 -1/2 & 1/2 end {vmatrix} = frac {1} {2}. enhum número]

Portanto, ao usar a transformação (T ), a integral muda para

[ iint_R (x - y) e ^ {x ^ 2-y ^ 2} dA = frac {1} {2} int_1 ^ 3 int _ {- 1 / v} ^ {1 / v} ue ^ {uv} du , dv. enhum número]

Fazendo a avaliação, temos

[ frac {1} {2} int_1 ^ 3 int _ {- 1 / v} ^ {1 / v} ue ^ {uv} du , dv = frac {2} {3e} aproximadamente 0,245. enhum número]

Exercício ( PageIndex {5} )

Usando as substituições (x = v ) e (y = sqrt {u + v} ), avalie a integral ( displaystyle iint_R y , sin (y ^ 2 - x) , dA, ) onde (R ) é a região limitada pelas linhas (y = sqrt {x}, , x = 2 ) e (y = 0 ).

Dica

Esboce uma imagem e encontre os limites da integração.

Responder

( frac {1} {2} ( sin 2 - 2) )

Vamos tentar outro exemplo com uma substituição diferente.

Exemplo ( PageIndex {6B} ): Avaliando um Triplo Integral com uma Mudança de Variáveis

Avalie o integral triplo

[ int_0 ^ 3 int_0 ^ 4 int_ {y / 2} ^ {(y / 2) +1} left (x + frac {z} {3} right) dx , dy , dz ]

Em (xyz ) - espaço usando a transformação

(u = (2x - y) / 2, , v = y / 2 ) e (w = z / 3 ).

Em seguida, integre sobre uma região apropriada no (uvw ) - espaço.

Solução

Como antes, algum tipo de esboço da região (G ) em (xyz ) - espaço sobre o qual devemos realizar a integração pode ajudar a identificar a região (D ) em (uvw ) - espaço ( Figura ( PageIndex {13} )). Claramente (G ) in (xyz ) - o espaço é limitado pelos planos (x = y / 2, , x = (y / 2) + 1, , y = 0, , y = 4 , , z = 0 ) e (z = 4 ). Também sabemos que temos que usar (u = (2x - y) / 2, , v = y / 2 ) e (w = z / 3 ) para as transformações. Precisamos resolver para (x, y ) e (z ). Aqui encontramos que (x = u + v, , y = 2v ) e (z = 3w ).

Usando álgebra elementar, podemos encontrar as superfícies correspondentes para a região (G ) e os limites de integração no (uvw ) - espaço. É conveniente listar essas equações em uma tabela.

Equações em (xyz ) para a região (D )Equações correspondentes em (uvw ) para a região (G )Limites para a integração em (uvw )
(x = y / 2 ) (u + v = 2v / 2 = v ) (u = 0 )
(x = y / 2 ) (u + v = (2v / 2) + 1 = v + 1 ) (u = 1 )
(y = 0 ) (2v = 0 ) (v = 0 )
(y = 4 ) (2v = 4 ) (v = 2 )
(z = 0 ) (3w = 0 ) (w = 0 )
(z = 3 ) (3w = 3 ) (w = 1 )

Agora podemos calcular o Jacobiano para a transformação:

[J (u, v, w) = begin {vmatrix} dfrac { partial x} { partial u} & dfrac { partial x} { partial v} & dfrac { partial x} { parcial w} dfrac { parcial y} { parcial u} & dfrac { parcial y} { parcial v} & dfrac { parcial y} { parcial w} dfrac { parcial z} { parcial u} & dfrac { parcial z} { parcial v} & dfrac { parcial z} { parcial w} end {vmatrix} = begin {vmatrix} 1 & 1 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 3 end {vmatrix} = 6. nonumber ]

A função a ser integrada torna-se

[f (x, y, z) = x + frac {z} {3} = u + v + frac {3w} {3} = u + v + w. ]

Agora estamos prontos para colocar tudo junto e resolver o problema.

[ begin {align *} int_0 ^ 3 int_0 ^ 4 int_ {y / 2} ^ {(y / 2) +1} left (x + frac {z} {3} right) dx , dy , dz & = int_0 ^ 1 int_0 ^ 2 int_0 ^ 1 (u + v + w) | J (u, v, w) | du , dv , dw [4pt]
& = int_0 ^ 1 int_0 ^ 2 int_0 ^ 1 (u + v + w) | 6 | du , dv , dw [4pt]
& = 6 int_0 ^ 1 int_0 ^ 2 int_0 ^ 1 (u + v + w) , du , dv , dw [4pt]
& = 6 int_0 ^ 1 int_0 ^ 2 left [ frac {u ^ 2} {2} + vu + wu right] _0 ^ 1 , dv , dw [4pt]
& = 6 int_0 ^ 1 int_0 ^ 2 left ( frac {1} {2} + v + u right) dv , dw [4pt]
& = 6 int_0 ^ 1 left [ frac {1} {2} v + frac {v ^ 2} {2} + wv right] _0 ^ 2 dw [4pt]
& = 6 int_0 ^ 1 (3 + 2w) , dw = 6 Grande [3w + w ^ 2 Grande] _0 ^ 1 = 24. end {alinhar *} ]

Exercício ( PageIndex {6} )

Seja (D ) a região em (xyz ) - espaço definido por (1 leq x leq 2, , 0 leq xy leq 2 ), e (0 leq z leq 1 ).

Avalie ( iiint_D (x ^ 2 y + 3xyz) , dx , dy , dz ) usando a transformação (u = x, , v = xy ) e (w = 3z ) .

Dica

Faça uma tabela para cada superfície das regiões e decida os limites, conforme mostra o exemplo.

Responder

[ int_0 ^ 3 int_0 ^ 2 int_1 ^ 2 left ( frac {v} {3} + frac {vw} {3u} right) du , dv , dw = 2 + ln 8 ]

Conceitos chave

  • Uma transformação (T ) é uma função que transforma uma região (G ) em um plano (espaço) em uma região (R ). em outro plano (espaço) por uma mudança de variáveis.
  • Uma transformação (T: G rightarrow R ) definida como (T (u, v) = (x, y) ) (ou (T (u, v, w) = (x, y, z) ) ) é considerada uma transformação um-para-um se não houver dois pontos mapeados para o mesmo ponto da imagem.
  • Se (f ) é contínuo em (R ), então [ iint_R f (x, y) dA = iint_S f (g (u, v), , h (u, v)) left | frac { partial (x, y)} { partial (u, v)} right | du , dv. ]
  • Se (F ) é contínuo em (R ), então [ begin {alinhar *} iiint_R F (x, y, z) , dV & = iiint_G F (g (u, v, w ), , h (u, v, w), , k (u, v, w) left | frac { partial (x, y, z)} { partial (u, v, w)} right | , du , dv , dw. [4pt] & = iint_G H (u, v, w) | J (u, v, w) | , du , dv , dw. end {align *} ]

[T] Ovais lamé (ou superelipses) são curvas planas de equações ( left ( frac {x} {a} right) ^ n + left ( frac {y} {b} right) ^ n = 1 ), onde uma, b, e n são números reais positivos.

uma. Use um CAS para representar graficamente as regiões (R ) delimitadas por ovais de Lamé para (a = 1, , b = 2, , n = 4 ) e (n = 6 ) respectivamente.

b. Encontre as transformações que mapeiam a região (R ) delimitada pelo oval de Lamé (x ^ 4 + y ^ 4 = 1 ) também chamada de esquilo e representada graficamente na figura a seguir, no disco unitário.

c. Use um CAS para encontrar uma aproximação da área (A (R) ) da região (R ) limitada por (x ^ 4 + y ^ 4 = 1 ). Arredonde sua resposta para duas casas decimais.

Ovais [T] Lamé têm sido usados ​​de forma consistente por designers e arquitetos. Por exemplo, Gerald Robinson, um arquiteto canadense, projetou um estacionamento em um shopping center em Peterborough, Ontário, no formato de um superelipse da equação ( left ( frac {x} {a} right) ^ n + left ( frac {y} {b} right) ^ n = 1 ) com ( frac {a} {b} = frac {9} {7} ) e (n = e ). Use um CAS para encontrar uma aproximação da área da garagem no caso (a = 900 ) jardas, (b = 700 ) jardas e (n = 2,72 ) jardas.

[Ocultar solução]

(A (R) simeq 83.999,2 )

Exercícios de revisão de capítulo

Verdadeiro ou falso? Justifique sua resposta com uma prova ou contra-exemplo.

[ int_a ^ b int_c ^ d f (x, y) , dy , dx = int_c ^ d int_a ^ b f (x, y) , dy , dx ]

O teorema de Fubini pode ser estendido para três dimensões, desde que (f ) seja contínuo em todas as variáveis.

[Ocultar solução]

Verdadeiro.

O integral [ int_0 ^ {2 pi} int_0 ^ 1 int_0 ^ 1 dz , dr , d theta ] representa o volume de um cone direito.

O Jacobiano da transformação para (x = u ^ 2 - 2v, , y = 3v - 2uv ) é dado por (- 4u ^ 2 + 6u + 4v ).

[Ocultar solução]

Falso.

Avalie os seguintes integrais.

[ iint_R (5x ^ 3y ^ 2 - y ^ 2) , dA, , R = {(x, y) | 0 leq x leq 2, , 1 leq y leq 4 } ]

[ iint_D frac {y} {3x ^ 2 + 1} dA, , D = {(x, y) | 0 leq x leq 1, , -x leq y leq x } ]

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(0)

[ iint_D sin (x ^ 2 + y ^ 2) dA ] onde (D ) é um disco de raio (2 ) centrado na origem [ int_0 ^ 1 int_0 ^ 1 xye ^ {x ^ 2} dx , dy ]

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( frac {1} {4} )

[ int _ {- 1} ^ 1 int_0 ^ z int_0 ^ {x-z} 6dy , dx , dz ]

[ iiint_R 3y , dV, ] onde (R = {(x, y, z) | 0 leq x leq 1, , 0 leq y leq x, , 0 leq z leq sqrt {9 - y ^ 2} } )

[Ocultar solução]

(1.475)

[ int_0 ^ 2 int_0 ^ {2 pi} int_r ^ 1 r , dz , d theta , dr ]

[ int_0 ^ {2 pi} int_0 ^ { pi / 2} int_1 ^ 3 rho ^ 2 , sin ( varphi) d rho , d varphi, , d theta ]

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( frac {52} {3} pi )

[ int_0 ^ 1 int _ {- sqrt {1-x ^ 2}} ^ { sqrt {1-x ^ 2}} int _ {- sqrt {1-x ^ 2-y ^ 2}} ^ { sqrt {1-x ^ 2-y ^ 2}} dz , dy , sx ]

Para os problemas a seguir, encontre a área ou volume especificado.

A área da região delimitada por uma pétala de (r = cos (4 theta) ).

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( frac { pi} {16} )

O volume do sólido que fica entre o parabolóide (z = 2x ^ 2 + 2y ^ 2 ) e o plano (z = 8 ).

O volume do sólido delimitado pelo cilindro (x ^ 2 + y ^ 2 = 16 ) e de (z = 1 ) a (z + x = 2 ).

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(93.291)

O volume da intersecção entre duas esferas de raio 1, a parte superior cujo centro é ((0,0,0.25) ) e a parte inferior, que está centrada em ((0,0,0) ).

Para os problemas a seguir, encontre o centro de massa da região.

( rho (x, y) = xy ) no círculo com raio (1 ) apenas no primeiro quadrante.

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( left ( frac {8} {15}, frac {8} {15} right) )

( rho (x, y) = (y + 1) sqrt {x} ) na região delimitada por (y = e ^ x, , y = 0 ) e (x = 1 )

( rho (x, y, z) = z ) no cone invertido com raio (2 ) e altura (2 ).

( left (0,0, frac {8} {5} right) )

O volume de uma casquinha de sorvete que é dado pelo sólido acima (z = sqrt {(x ^ 2 + y ^ 2)} ) e abaixo (z ^ 2 + x ^ 2 + y ^ 2 = z )

Os problemas a seguir examinam o Monte Holly, no estado de Michigan. Mount Holly é um aterro que foi convertido em uma estação de esqui. A forma do Monte Holly pode ser aproximada por um cone circular direito de altura (1100 ) pés e raio (6000 ) pés.

Se o lixo compactado usado para construir o Monte Holly em média tiver uma densidade (400 , lb / ft ^ 3 ), encontre a quantidade de trabalho necessária para construir a montanha.

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(1.452 pi times 10 ^ {15} ) ft-lb

Na realidade, é muito provável que o lixo no sopé do Monte Holly tenha ficado mais compactado com todo o peso do lixo acima. Considere uma função de densidade com respeito à altura: a densidade no topo da montanha ainda é densidade (400 , lb / ft ^ 3 ) e a densidade aumenta. A cada (100 ) pés de profundidade, a densidade dobra. Qual é o peso total do Monte Holly?

Os problemas a seguir consideram a temperatura e a densidade das camadas da Terra.

[T] A temperatura das camadas da Terra é exibida na tabela abaixo. Use sua calculadora para ajustar um polinômio de grau (3 ) à temperatura ao longo do raio da Terra. Em seguida, encontre a temperatura média da Terra. (Dica: começa em (0 ) no núcleo interno e aumenta para fora em direção à superfície)

CamadaProfundidade do centro (km)Temperatura (^ oC )
Rocky Crust0 a 400
Manto superior40 a 150870
Manto400 a 650870
Mantel Interior650 a 2700870
Núcleo Externo Derretido2890 a 51504300
Núcleo Interno5150 a 63787200

Fonte: http://www.enchantedlearning.com/sub...h/Inside.shtml

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(y = -1,238 vezes 10 ^ {- 7} x ^ 3 + 0,001196 x ^ 2 - 3,666x + 7208 ); temperatura média de aproximadamente (2800 ^ oC )

[T] A densidade das camadas da Terra é exibida na tabela abaixo. Usando sua calculadora ou um programa de computador, encontre a equação quadrática que melhor se ajusta à densidade. Usando esta equação, encontre a massa total da Terra.

CamadaProfundidade do centro (km)Densidade ((g / cm ^ 3) )
Núcleo Interno012.95
Núcleo externo122811.05
Manto34885.00
Manto superior63383.90
crosta63782.55

Fonte: http: //hyperphysics.phy-astr.gsu.edu...rthstruct.html

Os problemas a seguir dizem respeito ao Teorema de Pappus (veja Momentos e Centros de Massa para uma atualização), um método para calcular o volume usando centróides. Assumindo uma região (R ), quando você gira em torno do eixo (x ), o volume é dado por (V_x = 2 pi A bar {y} ), e quando você gira em torno do ( y ) - eixo o volume é dado por (V_y = 2 pi A bar {x} ), onde (A ) é a área de (R ). Considere a região limitada por (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ) e acima de (y = x + 1 ).

Encontre o volume ao girar a região em torno do eixo (x ).

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( frac { pi} {3} )

Encontre o volume ao girar a região em torno do eixo (y ).

Glossário

Jacobiano

o Jacobiano (J (u, v) ) em duas variáveis ​​é um determinante (2 vezes 2 ):

[J (u, v) = begin {vmatrix} frac { partial x} { partial u} frac { partial y} { partial u} nonumber frac { partial x} { partial v} frac { partial y} { partial v} end {vmatrix}; ]

o Jacobiano (J (u, v, w) ) em três variáveis ​​é um determinante (3 vezes 3 ):

[J (u, v, w) = begin {vmatrix} frac { partial x} { partial u} frac { partial y} { partial u} frac { partial z} { partial u} nonumber frac { partial x} { partial v} frac { partial y} { partial v} frac { partial z} { partial v} nonumber frac { parcial x} { parcial w} frac { parcial y} { parcial w} frac { parcial z} { parcial w} end {vmatriz} ]

transformação um para um
uma transformação (T: G rightarrow R ) definida como (T (u, v) = (x, y) ) é considerada um-para-um se não houver dois pontos mapeados para o mesmo ponto da imagem
transformação planar
uma função (T ) que transforma uma região (G ) em um plano em uma região (R ) em outro plano por uma mudança de variáveis
transformação
uma função que transforma uma região GG em um plano em uma região RR em outro plano por uma mudança de variáveis


Assista o vídeo: Mudança de Variáveis e Jacobiano - Cálculo lll (Outubro 2021).