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3. 10: Derivadas de funções de gatilho inverso


Nesta seção, exploramos a relação entre a derivada de uma função e a derivada de sua inversa. Esta fórmula também pode ser usada para estender a regra de potência aos expoentes racionais.

A derivada de uma função inversa

Nota: O Teorema da Função Inversa é um "extra" para nosso curso, mas pode ser muito útil. Existem outros métodos para derivar (provar) as derivadas das funções trigonométricas inversas. Certifique-se de ver a Tabela de derivados de funções trigonométricas inversas.

Começamos considerando uma função e sua inversa. Se (f (x) ) é invertível e diferenciável, parece razoável que o inverso de (f (x) ) também seja diferenciável. A figura mostra a relação entre uma função (f (x) ) e sua inversa (f ^ {- 1} (x) ). Observe o ponto ((a, f ^ {- 1} (a)) ) no gráfico de (f ^ {- 1} (x) ) tendo uma reta tangente com uma inclinação de

[(f − 1) ′ (a) = dfrac {p} {q}. ]

Este ponto corresponde a um ponto ((f ^ {- 1} (a), a) ) no gráfico de (f (x) ) tendo uma reta tangente com uma inclinação de

[f ′ (f ^ {- 1} (a)) = dfrac {q} {p}. ]

Assim, se (f ^ {- 1} (x) ) é diferenciável em (a ), então deve ser o caso que

((f ^ {- 1}) ′ (a) = dfrac {1} {f ′ (f ^ {- 1} (a))} ).

Figura ( PageIndex {1} ):As linhas tangentes de uma função e sua inversa estão relacionadas; o mesmo ocorre com os derivados dessas funções.

Também podemos derivar a fórmula para a derivada do inverso, primeiro lembrando que (x = f (f ^ {- 1} (x)) ). Então, diferenciando ambos os lados desta equação (usando a regra da cadeia à direita), obtemos

(1 = f ′ (f ^ {- 1} (x)) (f ^ {- 1}) ′ (x)) ).

Resolvendo para ((f ^ {- 1}) ′ (x) ), obtemos

((f ^ {- 1}) ′ (x) = dfrac {1} {f ′ (f ^ {- 1} (x))} ).

Resumimos esse resultado no seguinte teorema.

Teorema da Função Inversa

Seja (f (x) ) uma função que pode ser invertida e diferenciável. Seja (y = f ^ {- 1} (x) ) o inverso de (f (x) ). Para todos os (x ) satisfazendo (f ′ (f ^ {- 1} (x)) ≠ 0 ),

[ dfrac {dy} {dx} = dfrac {d} {dx} (f ^ {- 1} (x)) = (f ^ {- 1}) ′ (x) = dfrac {1} { f ′ (f ^ {- 1} (x))}. ]

Alternativamente, se (y = g (x) ) é o inverso de (f (x) ), então

[g (x) = dfrac {1} {f ′ (g (x))}. ]

Exemplo ( PageIndex {1} ): Aplicando o Teorema da Função Inversa

Use o teorema da função inversa para encontrar a derivada de (g (x) = dfrac {x + 2} {x} ). Compare a derivada resultante àquela obtida diferenciando a função diretamente.

Solução

O inverso de (g (x) = dfrac {x + 2} {x} ) é (f (x) = dfrac {2} {x − 1} ).

Uma vez que [g ′ (x) = dfrac {1} {f ′ (g (x))}, ]

comece encontrando (f ′ (x) ). Desse modo,

(f ′ (x) = dfrac {−2} {(x − 1) ^ 2} ) e (f ′ (g (x)) = dfrac {−2} {(g (x) - 1) ^ 2} = dfrac {−2} {( dfrac {x + 2} {x} −1) ^ 2} = - dfrac {x ^ 2} {2} ).

Finalmente,

(g ′ (x) = dfrac {1} {f ′ (g (x))} = - dfrac {2} {x ^ 2} ).

Podemos verificar que esta é a derivada correta aplicando a regra de quociente para (g (x) ) para obter

(g ′ (x) = - dfrac {2} {x ^ 2} ).

Exercício ( PageIndex {1} )

Use o teorema da função inversa para encontrar a derivada de (g (x) = dfrac {1} {x + 2} ). Compare o resultado obtido diferenciando (g (x) ) diretamente.

Dica

Use o exemplo anterior como guia.

Responder

(g ′ (x) = - dfrac {1} {(x + 2) ^ 2} )

Exemplo ( PageIndex {2} ): Aplicando o Teorema da Função Inversa

Use o teorema da função inversa para encontrar a derivada de (g (x) = sqrt [3] {x} ).

Solução

A função (g (x) = sqrt [3] {x} ) é o inverso da função (f (x) = x ^ 3 ). Como (g ′ (x) = dfrac {1} {f ′ (g (x))} ), comece encontrando (f ′ (x) ). Desse modo,

[f ′ (x) = 3x ^ 3 ]

e

[f ′ (g (x)) = 3 ( sqrt [3] {x}) ^ 2 = 3x ^ {2/3} ]

Finalmente,

[g ′ (x) = dfrac {1} {3x ^ {2/3}} = dfrac {1} {3} x ^ {- 2/3}. ]

Exercício ( PageIndex {2} )

Encontre a derivada de (g (x) = sqrt [5] {x} ) aplicando o teorema da função inversa.

Dica

(g (x) ) é o inverso de (f (x) = x ^ 5 ).

Responder

(g (x) = dfrac {1} {5} x ^ {- 4/5} )

A partir do exemplo anterior, vemos que podemos usar o teorema da função inversa para estender a regra de potência aos expoentes da forma ( dfrac {1} {n} ), onde (n ) é um número inteiro positivo. Esta extensão nos permitirá diferenciar (x ^ q ), onde (q ) é qualquer número racional.

Estendendo a regra de potência para expoentes racionais

A regra de potência pode ser estendida a expoentes racionais. Ou seja, se (n ) for um número inteiro positivo, então

[ dfrac {d} {dx} (x ^ {1 / n}) = dfrac {1} {n} x ^ {(1 / n) −1}. ]

Além disso, se (n ) for um número inteiro positivo e (m ) for um número inteiro arbitrário, então

( dfrac {d} {dx} (x ^ {m / n}) = dfrac {m} {n} x ^ {(m / n) −1} ).

Prova

A função (g (x) = x ^ {1 / n} ) é o inverso da função (f (x) = x ^ n ). Desse modo,

(f ′ (x) = nx ^ {n − 1} ) e (f ′ (g (x)) = n (x ^ {1 / n}) ^ {n − 1} = nx ^ {( n − 1) / n} ).

Finalmente,

(g ′ (x) = dfrac {1} {nx ^ {(n − 1) / n}} = dfrac {1} {n} x ^ {(1 − n) / n} = dfrac { 1} {n} x ^ {(1 / n) −1} ).

Para diferenciar (x ^ {m / n} ) devemos reescrever como ((x ^ {1 / n}) ^ m ) e aplicar a regra da cadeia. Desse modo,

[ dfrac {d} {dx} (x ^ {m / n}) = dfrac {d} {dx} ((x ^ {1 / n}) ^ m) = m (x ^ {1 / n }) ^ {m − 1} ⋅ dfrac {1} {n} x ^ {(1 / n) −1} = dfrac {m} {n} x ^ {(m / n) −1}. ]

Exemplo ( PageIndex {3} ): Aplicando a regra de potência a um poder racional

Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de (y = x ^ {2/3} ) em (x = 8 ).

Solução

Primeiro encontre ( dfrac {dy} {dx} ) e avalie-o em (x = 8 ). Desde

( dfrac {dy} {dx} = dfrac {2} {3} x ^ {- 1/3} ) e ( dfrac {dy} {dx} ∣_ {x = 8} = dfrac {1} {3} )

a inclinação da linha tangente ao gráfico em (x = 8 ) é ( dfrac {1} {3} ).

Substituindo (x = 8 ) na função original, obtemos (y = 4 ). Assim, a reta tangente passa pelo ponto ((8,4) ). Substituindo uma linha na fórmula de inclinação do ponto, obtemos a linha tangente

(y = dfrac {1} {3} x + dfrac {4} {3} ).

Exercício ( PageIndex {3} )

Encontre a derivada de (s (t) = sqrt {2t + 1} ).

Dica

Use a regra da corrente.

Responder

(s ′ (t) = (2t + 1) ^ {- 1/2} )

Derivados de funções trigonométricas inversas

Agora voltamos nossa atenção para encontrar derivados de funções trigonométricas inversas. Esses derivados serão inestimáveis ​​no estudo da integração posteriormente neste texto. As derivadas das funções trigonométricas inversas são bastante surpreendentes, pois suas derivadas são, na verdade, funções algébricas. Anteriormente, as derivadas de funções algébricas provaram ser funções algébricas e as derivadas de funções trigonométricas demonstraram ser funções trigonométricas. Aqui, pela primeira vez, vemos que a derivada de uma função não precisa ser do mesmo tipo que a função original.

Exemplo ( PageIndex {4} ): Derivada da Função Seno Inversa

Use o teorema da função inversa para encontrar a derivada de (g (x) = sin ^ {- 1} x ).

Solução

Já que para (x ) no intervalo ([- dfrac {π} {2}, dfrac {π} {2}], f (x) = sin x ) é o inverso de (g (x) = sin ^ {- 1} x ), comece encontrando (f ′ (x) ). Desde

(f ′ (x) = cos x ) e (f ′ (g (x)) = cos ( sin ^ {- 1} x) = sqrt {1 − x ^ 2} ),

nós vemos que

(g ′ (x) = dfrac {d} {dx} ( sin ^ {- 1} x) = dfrac {1} {f ′ (g (x))} = dfrac {1} { sqrt {1 − x ^ 2}} ).

Análise

Para ver que ( cos ( sin ^ {- 1} x) = sqrt {1 − x ^ 2} ), considere o seguinte argumento. Defina ( sin ^ {- 1} x = θ ). Neste caso, ( sin θ = x ) onde (- dfrac {π} {2} ≤θ≤ dfrac {π} {2} ). Começamos considerando o caso em que (0 <θ < dfrac {π} {2} ). Como (θ ) é um ângulo agudo, podemos construir um triângulo retângulo com um ângulo agudo (θ ), uma hipotenusa de comprimento (1 ) e o lado oposto do ângulo (θ ) tendo comprimento (x ). Do teorema de Pitágoras, o lado adjacente ao ângulo (θ ) tem comprimento ( sqrt {1 − x ^ 2} ). Este triângulo é mostrado na Figura. Usando o triângulo, vemos que ( cos ( sin ^ {- 1} x) = cos θ = sqrt {1 − x ^ 2} ).

Figura ( PageIndex {2} ): Usando um triângulo retângulo com ângulo agudo (θ ), uma hipotenusa de comprimento (1 ), e o lado oposto do ângulo (θ ) tendo comprimento (x ), podemos ver que ( cos ( sin ^ {- 1} x) = cos θ = sqrt {1 − x ^ 2} ).

No caso em que (- dfrac {π} {2} <θ <0 ), fazemos a observação que (0 <−θ < dfrac {π} {2} ) e, portanto,

( cos ( sin ^ {- 1} x) = cos θ = cos (−θ) = sqrt {1 − x ^ 2} ).

Agora, se (θ = dfrac {π} {2} ) ou (θ = - dfrac {π} {2}, x = 1 ) ou (x = −1 ), e desde que em qualquer caso ( cos θ = 0 ) e ( sqrt {1 − x ^ 2} = 0 ), temos

( cos ( sin ^ {- 1} x) = cos θ = sqrt {1 − x ^ 2} ).

Consequentemente, em todos os casos, ( cos ( sin ^ {- 1} x) = sqrt {1 − x ^ 2} ).

Exemplo ( PageIndex {5} ): Aplicando a Regra da Cadeia à Função Seno Inversa

Aplique a regra da cadeia à fórmula derivada no Exemplo para encontrar a derivada de (h (x) = sin ^ {- 1} (g (x)) ) e use este resultado para encontrar a derivada de (h (x ) = sin ^ {- 1} (2x ^ 3). )

Solução

Aplicando a regra da cadeia a (h (x) = sin ^ {- 1} (g (x)) ), temos

(h ′ (x) = dfrac {1} { sqrt {1− (g (x)) ^ 2}} g ′ (x) ).

Agora, seja (g (x) = 2x ^ 3, ) então (g ′ (x) = 6x. ) Substituindo no resultado anterior, obtemos

(h ′ (x) = dfrac {1} { sqrt {1−4x ^ 6}} ⋅6x = dfrac {6x} { sqrt {1−4x ^ 6}} )

Exercício ( PageIndex {4} )

Use o teorema da função inversa para encontrar a "derivação" da derivada de (g (x) = tan ^ {- 1} x ).

Dica

O inverso de (g (x) ) é (f (x) = tan x ). Use Example ( PageIndex {5} ) como um guia.

Responder

(g ′ (x) = dfrac {1} {1 + x ^ 2} )

As derivadas das funções trigonométricas inversas restantes também podem ser encontradas usando o teorema da função inversa. Essas fórmulas são fornecidas no teorema a seguir.

Tabela de derivados de funções trigonométricas inversas

( dfrac {d} {dx} sin ^ {- 1} x = dfrac {1} { sqrt {1− (x) ^ 2}} )

( dfrac {d} {dx} cos ^ {- 1} x = dfrac {−1} { sqrt {1− (x) ^ 2}} )

( dfrac {d} {dx} tan ^ {- 1} x = dfrac {1} {1+ (x) ^ 2} )

( dfrac {d} {dx} cot ^ {- 1} x = dfrac {−1} {1+ (x) ^ 2} )

( dfrac {d} {dx} sec ^ {- 1} x = dfrac {1} {| x | sqrt {(x) ^ 2−1}} )

( dfrac {d} {dx} csc ^ {- 1} x = dfrac {−1} {| x | sqrt {(x) ^ 2−1}} )

Exemplo ( PageIndex {6} ): Aplicando Fórmulas de Diferenciação a uma Função Tangente Inversa

Encontre a derivada de (f (x) = tan ^ {- 1} (x ^ 2). )

Solução

(Seja g (x) = x ^ 2 ), então (g ′ (x) = 2x. ) Substituindo na Equação, obtemos

(f ′ (x) = dfrac {1} {1+ (x ^ 2) ^ 2} ⋅ (2x). )

Simplificando, temos

(f ′ (x) = dfrac {2x} {1 + x ^ 4} ).

Exemplo ( PageIndex {7} ): Aplicando Fórmulas de Diferenciação a uma Função Seno Inversa

Encontre a derivada de (h (x) = x ^ 2 sin ^ {- 1} x. )

Solução

Ao aplicar a regra do produto, temos

(h ′ (x) = 2x sin ^ {- 1} x + dfrac {1} { sqrt {1 − x ^ 2}} ⋅x2 )

Exercício ( PageIndex {5} )

Encontre a derivada de (h (x) = cos ^ {- 1} (3x − 1). )

Dica

Use a equação. com (g (x) = 3x − 1 )

Responder

(h ′ (x) = dfrac {−3} { sqrt {6x − 9x ^ 2}} )

Exemplo ( PageIndex {8} ): Aplicando a função tangente inversa

A posição de uma partícula no tempo (t ) é dada por (s (t) = tan ^ {- 1} ( dfrac {1} {t}) ) para (t≥ dfrac {1 } {2} ). Encontre a velocidade da partícula no tempo (t = 1 ).

Solução

Comece diferenciando (s (t) ) para encontrar (v (t) ). Assim,

(v (t) = s ′ (t) = dfrac {1} {1 + ( dfrac {1} {t}) ^ 2} ⋅ dfrac {−1} {t ^ 2} ).

Simplificando, temos

(v (t) = - dfrac {1} {t ^ 2 + 1} ).

Assim, (v (1) = - dfrac {1} {2}. )

Exercício ( PageIndex {6} )

Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de (f (x) = sin ^ {- 1} x ) em (x = 0. )

Dica

(f ′ (0) ) é a inclinação da reta tangente.

Responder

(y = x )

Conceitos chave

  • O teorema da função inversa nos permite calcular derivadas de funções inversas sem usar a definição de limite da derivada.
  • Podemos usar o teorema da função inversa para desenvolver fórmulas de diferenciação para as funções trigonométricas inversas.

Equações Chave

  • Teorema da função inversa

((f − 1) ′ (x) = dfrac {1} {f ′ (f ^ {- 1} (x))} ) sempre que (f ′ (f ^ {- 1} (x)) ≠ 0 ) e (f (x) ) é diferenciável.

  • Regra de potência com expoentes racionais

( dfrac {d} {dx} (x ^ {m / n}) = dfrac {m} {n} x ^ {(m / n) −1}. )

  • Derivada da função seno inversa

( dfrac {d} {dx} sin ^ {- 1} x = dfrac {1} { sqrt {1− (x) ^ 2}} )

  • Derivada da função cosseno inversa

( dfrac {d} {dx} cos ^ {- 1} x = dfrac {−1} { sqrt {1− (x) ^ 2}} )

Derivada da função tangente inversa

( dfrac {d} {dx} tan ^ {- 1} x = dfrac {1} {1+ (x) ^ 2} )

Derivada da função cotangente inversa

( dfrac {d} {dx} cot ^ {- 1} x = dfrac {−1} {1+ (x) ^ 2} )

Derivada da função secante inversa

( dfrac {d} {dx} sec ^ {- 1} x = dfrac {1} { sqrt {| x | (x) ^ 2−1}} )

Derivada da função cossecante inversa

( dfrac {d} {dx} csc ^ {- 1} x = dfrac {−1} {| x | sqrt {(x) ^ 2−1}} )

Contribuidores

  • Gilbert Strang (MIT) e Edwin “Jed” Herman (Harvey Mudd) com muitos autores contribuintes. Este conteúdo da OpenStax é licenciado com uma licença CC-BY-SA-NC 4.0. Baixe gratuitamente em http://cnx.org.


Exercícios em aula

Calcule a derivada de cada uma das seguintes funções:

Mostre que a derivada de cada uma das funções a seguir é a dada.

(y = x inverse cos (x) - sqrt <1-x ^ 2> ) ( displaystyle dfdx= inverso cos (x) )

(y = inverse tan left ( sqrt direita) + inverse csc (x) ) ( displaystyle dfdx=0)

(y = inverse cot left ( frac1x right) + inverse tan (x) ) ( displaystyle dfdx= frac <2> <1 + x ^ 2> )

(y = x inverse sin (x) + sqrt <1-x ^ 2> ) ( displaystyle dfdx= inverse sin (x) )

20 Pares de funções incomuns.

Mostre que os seguintes pares de funções diferem por um valor constante, independentemente do valor de (x text <.> ) Em cada caso, encontre a constante.

(f (x) = inverse sin left ( frac right) ) e (g (x) = 2 inverse tan left ( sqrt direita) text <.> )

Lembre-se de que " (f (x) ) e (g (x) ) diferem por uma constante" significa que (f (x) -g (x) ) é uma constante. Qual é a derivada de uma constante?

(f (x) = inverse sin left ( frac <1> < sqrt> right) ) e (g (x) = inverse tan left ( frac <1> direita) text <.> )


3. 10: Derivadas de funções de gatilho inverso

Nesta seção, veremos as derivadas das funções trigonométricas inversas. Para derivar as derivadas das funções trigonométricas inversas, precisaremos da fórmula da última seção que relaciona as derivadas das funções inversas. Se (f left (x right) ) e (g left (x right) ) são funções inversas, então,

Lembre-se também de que duas funções são inversas se (f left ( right) = x ) e (g left ( right) = x ).

Vamos passar pelo seno inverso, cosseno inverso e tangente inversa em detalhes aqui e deixar os outros três para você derivar, se desejar.

Seno Inverso

Vamos começar com o seno inverso. Aqui está a definição do seno inverso.

Portanto, avaliar uma função trigonométrica inversa é o mesmo que perguntar em qual ângulo (ou seja, (y )) conectamos na função seno para obter (x ). As restrições em (y ) fornecidas acima existem para garantir que obtenhamos uma resposta consistente do seno inverso. Sabemos que há de fato um número infinito de ângulos que funcionarão e queremos um valor consistente quando trabalhamos com o seno inverso. Usar a faixa de ângulos acima fornece todos os valores possíveis da função seno exatamente uma vez. Se você não tiver certeza desse esboço, faça um círculo unitário e verá que essa gama de ângulos (os (y ) 's) cobrirá todos os valores possíveis de seno.

Observe também que, como (- 1 le sin left (y right) le 1 ), também temos (- 1 le x le 1 ).

Vamos trabalhar um exemplo rápido.

Então, estamos realmente perguntando qual ângulo (y ) resolve a seguinte equação.

e estamos restritos aos valores de (y ) acima.

De um círculo unitário, podemos ver rapidamente que (y = frac < pi> <6> ).

Temos a seguinte relação entre a função seno inversa e a função seno.

Em outras palavras, eles são inversos um do outro. Isso significa que podemos usar o fato acima para encontrar a derivada do seno inverso. Vamos começar com,

[f left (x right) = sin x hspace <0,5in> g left (x right) = < sin ^ <- 1 >> x ]

Esta não é uma fórmula muito útil. Vamos ver se conseguimos uma fórmula melhor. Vamos começar relembrando a definição da função seno inversa.

[y = < sin ^ <- 1 >> left (x right) hspace <0.5in> Rightarrow hspace <0.5in> x = sin left (y right) ]

Usando a primeira parte desta definição, o denominador na derivada torna-se,

[ cos left (<<< sin> ^ <- 1 >> x> right) = cos left (y right) ]

Usando isso, o denominador é agora,

[ cos left (<<< sin> ^ <- 1 >> x> right) = cos left (y right) = sqrt <1 - << sin> ^ 2> y> ]

Agora, use a segunda parte da definição da função inversa do seno. O denominador é então,

Juntar tudo isso dá a seguinte derivada.

Cosseno Inverso

Agora vamos dar uma olhada no cosseno inverso. Aqui está a definição para o cosseno inverso.

Tal como acontece com o seno inverso, temos uma restrição nos ângulos, (y ), que obtemos da função cosseno inversa. Novamente, se você gostaria de verificar isso, um esboço rápido de um círculo unitário deve convencê-lo de que este intervalo cobrirá todos os valores possíveis de cosseno exatamente uma vez. Além disso, também temos (- 1 le x le 1 ) porque (- 1 le cos left (y right) le 1 ).

Tal como acontece com o seno inverso, estamos apenas perguntando o seguinte.

onde (y ) deve atender aos requisitos fornecidos acima. De um círculo unitário, podemos ver que devemos ter (y = frac << 3 pi >> <4> ).

Para encontrar a derivada, faremos o mesmo tipo de trabalho que fizemos com o seno inverso acima. Se começarmos com

[f left (x right) = cos x hspace <0,5in> g left (x right) = < cos ^ <- 1 >> x ]

Simplificar o denominador aqui é quase idêntico ao trabalho que fizemos para o seno inverso e, portanto, não é mostrado aqui. Ao simplificar, obtemos a seguinte derivada.

Portanto, a derivada do cosseno inverso é quase idêntica à derivada do seno inverso. A única diferença é o sinal negativo.

Tangente Inversa

Aqui está a definição da tangente inversa.

Novamente, temos uma restrição em (y ), mas observe que não podemos deixar (y ) ser qualquer um dos dois pontos finais na restrição acima, uma vez que a tangente nem mesmo é definida nesses dois pontos. Para se convencer de que esta faixa cobrirá todos os valores possíveis da tangente, faça um rápido esboço da função tangente e podemos ver que nesta faixa cobrimos de fato todos os valores possíveis da tangente. Além disso, neste caso não há restrições em (x ) porque a tangente pode assumir todos os valores possíveis.

onde (y ) satisfaz as restrições fornecidas acima. De um círculo unitário, podemos ver que (y = frac < pi> <4> ).

Como não há nenhuma restrição em (x ), podemos pedir os limites da função tangente inversa à medida que (x ) vai para mais ou menos infinito. Para fazer isso, precisamos do gráfico da função tangente inversa. Isso é mostrado abaixo.

A partir deste gráfico, podemos ver que

As funções tangente e tangente inversa são funções inversas, portanto,

Portanto, para encontrar a derivada da função tangente inversa, podemos começar com

[f left (x right) = tan x hspace <0,5in> g left (x right) = < tan ^ <- 1 >> x ]

Simplificar o denominador é semelhante ao seno inverso, mas diferente o suficiente para garantir a exibição dos detalhes. Começaremos com a definição da tangente inversa.

[y = < tan ^ <- 1 >> x hspace <0,5in> Rightarrow hspace <0,5in> tan y = x ]

Agora, se começarmos com o fato de que

e divida cada termo por cos 2 (y ) que obteremos,

Finalmente, usando a segunda parte da definição da função tangente inversa nos dá,

A derivada da tangente inversa é então,

Existem mais três funções trigonométricas inversas, mas as três mostradas aqui são as mais comuns. As fórmulas para os três restantes podem ser derivadas por um processo semelhante ao que fizemos acima. Aqui estão as derivadas de todas as seis funções trigonométricas inversas.

Provavelmente agora devemos fazer algumas derivadas rápidas aqui, antes de passar para a próxima seção.

Não há muito a ver com este além de diferenciar cada termo.

Não se esqueça de converter os expoentes radicais em fracionários antes de usar a regra do produto.

Notação Alternativa

Existe alguma notação alternativa que é usada ocasionalmente para denotar as funções trigonométricas inversas. Esta notação é,


3. 10: Derivadas de funções de gatilho inverso

Clique AQUI para ver uma solução detalhada para o problema 1.

Clique AQUI para ver uma solução detalhada para o problema 2.

Clique AQUI para ver uma solução detalhada para o problema 3.

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Alguns dos problemas a seguir requerem o uso da regra da cadeia.

Clique AQUI para ver uma solução detalhada para o problema 7.

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Seus comentários e sugestões são bem vindos. Envie qualquer correspondência por e-mail para Duane Kouba clicando no seguinte endereço:


Palavra chave

Getting Triggy With It (É improvável que seus alunos existissem em 1993, mas eles certamente podem conhecer a música de Will Smith ou mesmo a versão Phish) orienta os alunos através de muitos conceitos algébricos e trigonométricos importantes: funções inversas, identidades trigonométricas, propriedades do triângulo retângulo e mais. A maioria dos alunos será capaz de lembrar as relações necessárias para completar a atividade inteira. Além disso, os problemas 2 e 3 repetem os conceitos e procedimentos do problema 1, permitindo que os alunos usem seus trabalhos anteriores para obter ajuda. Esta é uma descoberta guiada pelo aluno das derivadas para as funções arcsin (x), arccos (x) e arctan (x).

Dicas de Ensino

O CED exige que os alunos conheçam as derivadas de seis funções trigonométricas inversas. Derivados para arcsin (u), arccos (u), arctan (u) e arccot ​​(u), onde u é uma função de x, provavelmente aparecerão mais tarde quando os alunos encontrarem antidiferenciação, então essas formas devem ser enfatizadas sobre as outras três. Depois de demonstrar aos alunos que as derivadas de cofunções inversas são opostas, eles podem lembrar mais facilmente todas as seis formas. E embora as derivadas de arcsec (u) e arccsc (u) raramente apareçam como integrantes, pode ser valioso apresentar um efeito dramático. O AP Calculus CED não lista explicitamente quais das funções trigonométricas inversas aparecerão em testes AP futuros. Ainda assim, somos pressionados a encontrar MCQs ou FRQs que utilizem as derivadas arcsec (u) ou arccsc (u).

Insights do exame

Esses derivados podem aparecer na seção MCQ do teste ou estar embutidos em um FRQ.

Equívocos do aluno

As aplicações incorretas da regra da cadeia e os desafios da manipulação da notação de raiz quadrada são os problemas mais comuns associados a esta lição. Os alunos não serão solicitados a derivar essas fórmulas. A memorização é o método mais eficiente de lidar com esses derivados.


3. 10: Derivadas de funções de gatilho inverso

Uma das notações mais comuns para funções trigonométricas inversas pode ser muito confusa. Primeiro, independentemente de como você está acostumado a lidar com exponenciação, tendemos a denotar uma função trigonométrica inversa com um “expoente” de “-1”. Em outras palavras, o cosseno inverso é denotado como (< cos ^ <- 1 >> left (x right) ). É importante notar que, neste caso, o "-1" NÃO é um expoente e, portanto,

Nas funções trigonométricas inversas, o "-1" parece um expoente, mas não é, é simplesmente uma notação que usamos para denotar o fato de que estamos lidando com uma função trigonométrica inversa. É uma notação que usamos neste caso para denotar funções trigonométricas inversas. Se eu realmente quisesse que a exponenciação denotasse 1 sobre o cosseno, usaria o seguinte.

Há outra notação para funções trigonométricas inversas que evita essa ambigüidade. É o seguinte.

[começar< cos ^ <- 1 >> left (x right) & = arccos left (x right) < sin ^ <- 1 >> left (x right) & = arcsin esquerda (x direita) < tan ^ <- 1 >> esquerda (x direita) & = arctan esquerda (x direita) fim]

Portanto, tome cuidado com a notação para funções trigonométricas inversas!

Existem, é claro, funções inversas semelhantes para as três funções trigonométricas restantes, mas essas são as três principais que você verá em uma aula de cálculo, então vou me concentrar nelas.

Para avaliar funções trigonométricas inversas, lembre-se de que as seguintes instruções são equivalentes.

[começar theta & = < cos ^ <- 1 >> left (x right) & hspace <0.5in> & Leftrightarrow & hspace <0.5in> x & = cos left ( theta right) theta & = < sin ^ <- 1 >> left (x right) & hspace <0.5in> & Leftrightarrow & hspace <0.5in> x & = sin left ( theta direita) theta & = < tan ^ <- 1 >> left (x right) & hspace <0.5in> & Leftrightarrow & hspace <0.5in> x & = tan left ( theta right) end]

Em outras palavras, quando avaliamos uma função trigonométrica inversa, estamos perguntando qual ângulo, ( theta ), inserimos na função trigonométrica (regular, não inversa!) Para obter (x ).

Então, vamos resolver alguns problemas para ver como isso funciona. Avalie cada um dos seguintes. Mostrar todas as soluções Ocultar todas as soluções

No Problema 1 da seção Resolvendo Equações de Trig, resolvemos a seguinte equação.

Em outras palavras, perguntamos quais ângulos, (x ), precisamos conectar ao cosseno para obter ( frac << sqrt 3 >> <2> )? Isso é essencialmente o que estamos perguntando aqui quando somos solicitados a calcular a função trigonométrica inversa.

No entanto, há uma grande diferença. No Problema 1, estávamos resolvendo uma equação que gerou um número infinito de soluções. Estes foram,

No caso de funções trigonométricas inversas, buscamos um único valor. Não queremos ter que adivinhar qual das infinitas respostas possíveis que queremos. Portanto, para ter certeza de obter um único valor da função inversa do cosseno trigonométrico, usamos as seguintes restrições no inverso do cosseno.

[ theta = < cos ^ <- 1 >> left (x right) hspace <0.25in> hspace <0.25in> - 1 le x le 1 hspace <0.25in> < rm> hspace <0.25in> 0 le theta le pi ]

A restrição no ( theta ) garante que obteremos apenas um ângulo de valor único e, uma vez que não podemos obter valores de (x ) do cosseno que são maiores que 1 ou menores que -1, também podemos não conecte esses valores em uma função trigonométrica inversa.

Então, usando essas restrições na solução do Problema 1, podemos ver que a resposta neste caso é

Em geral, não precisamos realmente resolver uma equação para determinar o valor de uma função trigonométrica inversa. Tudo o que precisamos fazer é olhar para um círculo unitário. Então, neste caso, estamos atrás de um ângulo entre 0 e ( pi ) para o qual o cosseno terá o valor (- frac << sqrt 3 >> <2> ). Então, verifique o seguinte círculo unitário

Disto podemos ver que

As restrições que colocamos em ( theta ) para a função inversa do cosseno não funcionarão para a função inversa do seno. Basta olhar para o círculo unitário acima e você verá que entre 0 e ( pi ) existem na verdade dois ângulos para os quais o seno seria ( frac <1> <2> ) e isso não é o que nós quer. Tal como acontece com a função cosseno inversa, queremos apenas um único valor. Portanto, para a função seno inversa, usamos as seguintes restrições.

Verificando o círculo unitário

A restrição para tangente inversa é

Observe que não há restrição em (x ) neste momento. Isso ocorre porque ( tan left ( theta right) ) pode assumir qualquer valor de infinito negativo a infinito positivo. Se isso for verdade, também podemos inserir qualquer valor na função tangente inversa. Observe também que não incluímos os dois pontos de extremidade na restrição em ( theta ). A tangente não é definida nesses dois pontos, então não podemos inseri-los na função tangente inversa.

Neste problema, estamos procurando o ângulo entre (- frac < pi> <2> ) e ( frac < pi> <2> ) para o qual ( tan left ( theta right) = 1 ), ou ( sin left ( theta right) = cos left ( theta right) ). Isso só pode ocorrer em ( theta = frac < pi> <4> ) então,

Recordando a resposta ao Problema 1 nesta seção, a solução para este problema é muito mais fácil do que parece na superfície.

Este problema leva a alguns fatos interessantes sobre o cosseno inverso

Este problema também não é muito difícil (espero ...).

Tal como acontece com o cosseno inverso, também temos os seguintes fatos sobre o seno inverso.

Assim como o cosseno inverso e o seno inverso têm alguns fatos interessantes sobre eles, o mesmo acontece com a tangente inversa. Aqui está o fato

Usar esse fato torna este um problema muito fácil, pois eu não poderia fazer (< tan ^ <- 1 >> left (4 right) ) manualmente! Uma calculadora poderia fazer isso facilmente, mas eu não consegui obter uma resposta exata de um círculo unitário.


Derivados trigonométricos inversos

Nesta lição, veremos como encontrar as derivadas das funções trigonométricas inversas.

Tabela de derivados de funções trigonométricas inversas

A tabela a seguir fornece a fórmula para as derivadas das funções trigonométricas inversas. Role a página para baixo para obter mais exemplos e soluções sobre como usar as fórmulas.


Exemplo:
Distinguir

Solução:
Podemos usar a fórmula acima e a regra da cadeia.

Exemplo:
Distinguir

Solução:
Usamos a regra do produto e a regra da cadeia.

Funções trigonométricas inversas - derivados

Fórmulas para as derivadas das seis funções trigonométricas inversas e exemplos de derivadas.

Exemplos:
Encontre as derivadas das seguintes funções

Funções trigonométricas inversas - derivados - exemplo mais difícil

Exemplo:
Encontre os derivados de
y = seg -1 √ (1 + x 2)

Funções trigonométricas inversas - derivados - exemplo mais difícil

Exemplo:
Encontre os derivados de
y = sen -1 (cos x / (1 + senx))

Derivadas de funções de gatilho inverso

Um exemplo não requer a regra da cadeia e um exemplo requer a regra da cadeia.

Exemplos:
Encontre as derivadas de cada função dada.

Derivadas de funções de gatilho inverso

Exemplos:
Encontre as derivadas de cada função dada.

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Como diferenciar com funções de gatilho inverso

$ begin frac d left ( sin ^ <-1> x right) = displaystyle frac 1 < sqrt <1-x ^ 2 >> &&&& frac d left ( cos ^ <-1> x right) = displaystyle frac <-1> < sqrt <1-x ^ 2 >> [18pt] frac d left ( tan ^ <-1> x right) = displaystyle frac 1 <1 + x ^ 2> &&&& frac d left ( cot ^ <-1> x right) = displaystyle frac <-1> <1 + x ^ 2> [18pt] frac d left ( sec ^ <-1> x right) = displaystyle frac 1 <| x | sqrt> &&&& frac d left ( csc ^ <-1> x right) = displaystyle frac <-1> <| x | sqrt> end $

Notação Alternativa

Às vezes, as funções trigonométricas inversas são notadas com "arco" na frente de seus nomes, em vez do sobrescrito "-1". A tabela abaixo mostra os dois nomes de cada função.

$ begin sin ^ <-1> x = arcsin x &&&& cos ^ <-1> x = arccos x [6pt] tan ^ <-1> x = arctan x &&&& cot ^ <-1> x = arccot ​​x [6pt] sec ^ <-1> x = arcsec x &&&& csc ^ <-1> x = arccsc x [6pt] end $


Antes de falarmos sobre funções trigonométricas inversas, vamos revisar as funções inversas em geral. Se quisermos encontrar o inverso de uma função, basta substituir todos os. x. Está com. y. 'Se todos os. y. Está com. x. 'S. Portanto, se quisermos encontrar o inverso de. y = sin. invertemos as variáveis ​​e obtemos. x = sin. Então resolvemos esta equação para. y. tomando o seno inverso (. sin ^ <-1>. ou. arcsin.) de ambos os lados, porque o. sin ^ <-1>. e a . pecado. irá cancelar no lado direito.

. sin ^ <-1>. e . arcsin. ambos indicam o inverso do. pecado. função e podem ser usados ​​indistintamente. Lembre-se disso

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Porque algumas pessoas pensam incorretamente que a regra do expoente negativo pode ser aplicada a funções trigonométricas inversas, outros argumentam isso. arcsin. é mais claro e sempre deve ser usado no lugar de. sin ^ <-1>. para indicar a função trigonométrica inversa. Você deve usar qualquer notação com a qual se sinta confortável, a menos que seu professor espere que você use uma delas de forma consistente. O fato é que você geralmente vê os dois usados, então você deve estar familiarizado com ambos e lembrar que eles significam a mesma coisa.

As duas primeiras colunas do gráfico abaixo mostram as seis funções trigonométricas inversas e suas derivadas, quando a função “dentro” é justa. x. A terceira e a quarta colunas levam em consideração a regra da cadeia e nos lembram de multiplicar pela derivada da função interna.


Assista o vídeo: Derivada das Funções Hiperbólicas Inversas - Cálculo 1 #25 (Outubro 2021).