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7.1: Análise Dimensional


Pensando alto

A pizza pequena tem 20 cm e a pizza grande tem 16 cm. Estaremos recebendo a mesma quantidade de pizza se pedirmos duas pizzas pequenas em vez de uma grande?

Todos nós já enfrentamos uma situação em que precisamos ser capazes de mudar de uma unidade de medida para outra. Nesta seção, discutimos um método de conversão de unidades denominado análise dimensional.

Tempo

1 dia = 24 horas,

1 hora = 60 minutos, e
1 minuto = 60 segundos.

Comprimento

Medição imperial

1 polegada

1 pé = 12 polegadas

1 jarda = 3 pés = 36 polegadas

1 milha = 5289 pés

Métrica

milímetro (mm)

centímetro (cm), 1 cm = 10 mm

metro (m), 1m = 100 cm = 1000 mm

quilômetro (km). 1 km = 1000 m

Área

Volume

Capacidade

Peso

Definição

Uma proporção de unidade é uma fração com valor 1 se o numerador e o denominador forem expressos nas mesmas unidades.

Exemplo ( PageIndex {1} ):

Se o limite de velocidade diz 90 quilômetros por hora, qual é a velocidade em milhas por hora?

Podemos usar a análise dimensional para converter essa velocidade em milhas por hora. Também podemos usar o raciocínio para deduzir que precisamos dividir 90 por 1,6.

Área

Exemplo ( PageIndex {1} ):

John e James decidiram puxar seu tapete velho e comprar um tapete novo. A sala mede 15 pés por 11 pés, então a área é de 165 pés quadrados. No entanto, quando vão à loja de tapetes, descobrem que os preços estão em metros quadrados. Quantos metros quadrados tem o chão?

Temperatura

Temperatura: Em 1714, um fabricante de instrumentos alemão chamado Gabriel Fahrenheit fez o primeiro termômetro de mercúrio. Ele designou a temperatura mais baixa que poderia criar no laboratório como 0 ° e a temperatura normal do corpo como 98 °. Em sua escala, o ponto de congelamento da água é 32 ° e o ponto de ebulição da água é 212 °.


7.1: Movimento Contínuo Unidimensional

  • Contribuição de Jacob Moore e colaboradores amp
  • Professor Associado (Engenharia) na Pennsylvania State University Mont Alto
  • Fonte do Mapa de Mecânica

Imagine que temos uma partícula que se move ao longo de um único eixo. Em qualquer momento, essa partícula terá uma posição, que podemos quantificar com um único número que chamaremos de (x ). Este valor medirá a distância de algum ponto de origem definido até a posição da partícula. Se a partícula está se movendo ao longo do tempo, precisaremos de uma função para descrever a posição ao longo do tempo (x (t) ). Esta é uma equação em que se inserirmos um valor para (t ), isso nos dará a posição naquele momento.

Figura ( PageIndex <1> ): A posição de uma partícula em uma dimensão pode ser descrita com um único número. Se a posição estiver mudando com o tempo, usaremos a função (x (t) ) para descrever a posição em qualquer ponto no tempo.

A velocidade da partícula é então a taxa de mudança da posição ao longo do tempo. Se a partícula não se move, a posição não muda com o tempo e a velocidade é zero. Se a partícula está se movendo, primeiro precisaremos encontrar a equação para a posição (x (t) ) e, em seguida, tirar a derivada da equação da posição para encontrar a equação da velocidade (v (t) ). A velocidade difere da velocidade porque tem uma direção (positiva ou negativa por enquanto), enquanto a velocidade é simplesmente a magnitude da velocidade (sempre um número positivo).

A seguir vem a aceleração, que é a taxa de variação da velocidade ao longo do tempo. Se a velocidade não mudar, a aceleração será zero. Se a velocidade mudar com o tempo, precisaremos tirar a derivada da equação da velocidade (v (t) ) para encontrar a equação de aceleração (a (t) ). A aceleração também é a derivada dupla da equação de posição ao longo do tempo. Como a velocidade, a aceleração tem uma magnitude e uma direção.

Para simplificar a notação, geralmente usamos um ponto no topo da variável para indicar uma derivada de tempo. Isso torna a velocidade (a derivada de (x )) ( ponto) e a aceleração (a derivada da derivada de (x )) ( ddot). Essas relações e suas notações abreviadas são mostradas a seguir.

Se, em vez disso, começarmos com a equação para aceleração, podemos tomar a integral dessa equação (a (t) ) para encontrar a equação para a velocidade, (v (t) ). Mas, ao contrário das derivadas, teremos uma etapa extra neste processo porque sempre que integramos acabamos com uma constante de integração (que normalmente chamaremos de (C )). Quando integramos a equação de aceleração para encontrar a equação da velocidade, esta constante será a velocidade inicial (a velocidade no tempo = 0).

Em seguida, podemos obter a integral da equação de velocidade (v (t) ) para encontrar a equação de posição (x (t) ). Com esta integração terminaremos novamente com uma constante de integração, que neste caso será a posição inicial (a posição no tempo = 0). Essas relações são mostradas a seguir.

começar exto quad & amp , a (t) text quad & amp , v (t) = int a (t) text quad & amp , x (t) = int v (t) = iint a (t) end


7.1 Pré-processamento

Por “pré-processamento” queremos dizer extrair informações de dados brutos para que métodos de análise comuns possam ser aplicados. “Dados brutos” podem significar qualquer forma de dados, mesmo se processados ​​de alguma forma, que ainda precisam ter informações extraídas para que as tarefas de análise comuns sejam aplicadas, como PCA, clustering e DE. O pré-processamento para técnicas baseadas em array que usam NGS é semelhante ao pré-processamento para scRNA-seq. Os mesmos alinhadores podem ser usados ​​para alinhar leituras com o genoma ou pseudoalinhar com o transcriptoma, e os códigos de barras pontuais podem ser desmultiplexados exatamente como em scRNA-seq, ST e Visium, os pipelines de pré-processamento ST Pipeline e Space Ranger envolvem o alinhador STAR. Como as técnicas baseadas em microdissecção também usam NGS, o pré-processamento não seria muito diferente daquele de scRNA-seq ou dados de bulk RNA-seq. No entanto, o pré-processamento dos dados smFISH e ISS é muito diferente dos dados baseados em NGS, e este seria o foco desta seção.

Os dados brutos são imagens. Conforme mencionado anteriormente, o pré-processamento de imagens era normalmente executado com código MATLAB mal documentado e difícil de decifrar pelos usuários. Embora alguns tenham mudado para Python recentemente, como em MERlin para MERFISH, a ferramenta de pré-processamento ainda é específica para a técnica de interesse. Além disso, a linguagem proprietária MATLAB ainda é bastante usada, como para o pré-processamento de dados HybISS e ISS (Gyllborg et al. 2020 Qian et al. 2020). Alguns grupos usaram ferramentas baseadas em GUI, como Fiji, ImageJ e CellProfiler (Shah et al. 2018 Chen et al. 2020 Sountoulidis et al. 2020). No entanto, como as análises baseadas em GUI não são registradas e compartilhadas ou são manuais, é difícil reproduzir tais análises.

Para fornecer uma ferramenta de pré-processamento gratuita, de código aberto e bem documentada aplicável a dados de várias técnicas, a Chan Zuckerberg Initiative desenvolveu o pacote Python starfish implementando registro de imagem, chamada de spot, chamada de código de barras, segmentação de célula e etc. com processamento de imagem clássico métodos como limiarização, registro de imagem por tradução, filtragem de cartola, laplaciano de gaussiano, segmentação de bacias hidrográficas e etc. Embora seja um bom começo, não está claro como aplicar estrela do mar a vários FOVs com base em seus tutoriais. Para melhorar a estrela-do-mar, outro pipeline Python, SMART-Q foi desenvolvido, com mais modularidade e melhorias na estrela-do-mar, como parâmetro adicional para mitigar a supersegmentação (célula individual ou núcleo dividido em muitos pedaços) pela bacia hidrográfica e integração com imagens de imunofluorescência do marcador genes (Yang et al. 2020). No entanto, SMART-Q só foi demonstrado em dados de RNAscope sem código de barras combinatório, com um FOV de cada vez. Outro pipeline de smFISH baseado no processamento de imagem clássico é dotdotdot, que é escrito em MATLAB, mas as funções estão bem documentadas (Maynard et al. 2020). Novamente, dotdotdot só foi demonstrado em RNAscope sem código de barras combinatório. Existem outras ferramentas de código aberto para uma ou mais das etapas de pré-processamento, mas não pretendem ser um canal abrangente. Abaixo, revisamos cada etapa do pré-processamento de dados brutos smFISH e ISS, como isso foi feito nos documentos originais de conjuntos de dados com processamento de imagem clássico e abordagens alternativas e aprimoradas, como aquelas baseadas em aprendizado profundo ou estatísticas Bayesianas.

Os pacotes mencionados nesta seção estão resumidos na Tabela 7.1. Os nomes dos pacotes vinculam ao repositório de código, se disponível, e os títulos vinculam ao papel associado ao pacote. Cada seção deste capítulo possui uma tabela como esta. Existem pacotes relevantes não mencionados neste livro, eles podem ser encontrados no banco de dados.

Tabela 7.1: Pacotes mencionados para processamento de imagens smFISH e ISS
Nome Língua Título Data de publicação
corrFISH MATLAB Perfil de transcrição densa em células individuais por decodificação de correlação de imagem 2016-06-06
gráfico-ISS Pitão Identificação de compartimentos espaciais em tecido a partir de dados de sequenciamento in situ 2019-09-18
pciSeq MATLAB A tipagem probabilística de células permite o mapeamento preciso de tipos de células intimamente relacionados in situ 2019-11-18
SMART-Q Pitão SMART-Q: um pipeline integrativo que quantifica a transcrição de RNA específico do tipo de célula 2020-04-29
JSTA Python C Segmentação de célula conjunta e anotação de tipo de célula para transcriptômica espacial 2020-09-20
spage2vec Pitão Spage2vec: detecção não supervisionada de constelações de expressão gênica espacial 2020-09-25
Baysor Julia Segmentação bayesiana de dados transcriptômicos resolvidos espacialmente 2020-10-06
deepBlink Pitão deepBlink: detecção independente de limiar e localização de pontos limitados por difração 2020-12-15
ISTDECO Pitão ISTDECO: decodificação da transcriptômica in situ por deconvolução 2021-03-02
BarDensr Pitão DEmixação de código de barras por meio de regressão espacial não negativa (BarDensr) 2021-03-08
SSAM Python C ++ Inferência livre de segmentação celular de tipos de células a partir de dados transcriptômicos in situ 2021-06-10

7.1.1 Registro de imagem

Primeiro, as imagens de cada FOV de diferentes rodadas de hibridização devem ser alinhadas neste é o registro da imagem. As imagens podem ser alinhadas a uma referência de grânulos fiduciais ou coloração DAPI, que é especialmente útil quando "sem fluorescência" faz parte do código de barras (K. H. Chen et al. 2015 Eng et al. 2019). Se "nenhuma fluorescência" não estiver envolvida, a referência pode ser uma rodada particular de hibridização (Shah et al. 2016 Wang, Moffitt e Zhuang 2018). O registro da imagem geralmente é afim, ou seja, as imagens são traduzidas, dimensionadas ou giradas para corresponder à referência e, muitas vezes, apenas a tradução é usada. No entanto, o registro não linear foi usado no caso de a amostra não ficar plana e a aberração cromática mudar os pontos em canais diferentes (Qian et al. 2020).

7.1.2 Chamadas spot e por código de barras

Em seguida, os pontos que representam as transcrições individuais são identificados (chamada de spot). O fundo de autofluorescência e hibridização não específica é frequentemente removido por limiar ou filtragem superior, preservando apenas os pixels mais brilhantes. Os pontos podem ser identificados com ajuste multi-Gaussiano com largura fixa, que pode distinguir entre pontos parcialmente sobrepostos (KH Chen et al. 2015), ou estreitados pela deconvolução de Lucy-Richardson (Moffitt et al. 2018), ou pela identificação de máximos locais em intensidade após a identificação de pontos potenciais com Laplaciano de Gaussiano (Shah et al. 2016 Wang, Moffitt e Zhuang 2018). Os pontos também podem ser identificados com aprendizado profundo. No Python package graph-ISS (Partel et al. 2019), uma rede neural convolucional (CNN) é pré-treinada em pontos de sinal candidatos anotados manualmente de outro conjunto de dados, e a probabilidade de que um novo candidato obtido após a filtragem superior e a transformação h-maxima seja um sinal é retornado pela última camada softmax do CNN. Outra ferramenta de chamada local baseada na CNN é o deepBlink (Eichenberger et al. 2020), que se baseia na popular arquitetura U-net.

Uma vez que os pontos são chamados em cada rodada de hibridização, os pontos que provavelmente correspondem à mesma transcrição são lidos como código de barras e decodificados para identificar o gene codificado pelo código de barras (chamada de código de barras). Como o registro da imagem é imperfeito, o ponto proveniente da mesma transcrição ainda pode ser ligeiramente deslocado entre as rodadas de hibridização. Para identificar o código de barras das rodadas de hibridização, o ponto em uma rodada de hibridização é normalmente identificado com um ponto em outra rodada se a distância espacial entre os dois for suficientemente pequena, como menor que entre 1 e 3 pixels, ou menor que a distância para um código de barras que contém erro (Shah et al. 2016 Wang, Moffitt e Zhuang 2018 Moffitt et al. 2016 Eng et al. 2019).

No gráfico-ISS (Partel et al. 2019), os pontos identificados do CNN de diferentes rodadas de hibridização são conectados em um gráfico, com cada ponto em cada rodada de hibridização um nó e o peso da borda diminui com o aumento da distância entre os pontos ao longo dos rodadas a uma distância máxima. As bordas conectando pontos não de rodadas consecutivas são removidas. O código de barras é denominado por fluxo máximo de custos mínimos entre o coletor e a fonte do gráfico. Em seguida, uma pontuação de qualidade é calculada para o código de barras de acordo com a probabilidade de pontos da CNN e a distância entre os pontos de diferentes rodadas. Embora o Graph-ISS tenha sido originalmente projetado para dados ISS, ele pode ser adaptado para seqFISH, HybISS, STARmap e SCRINSHOT também. No entanto, para MERFISH e seqFISH +, nos quais um transcrito pode não ter sinal em algumas rodadas de hibridização, o gráfico-ISS precisaria ser alterado. A alteração também seria necessária para decodificar a codificação de 2 bases do STARmap.

Para MERFISH especificamente, as contagens de transcrição foram estatisticamente modeladas no pacote Rust MERFISHtools, que leva em conta os erros na chamada de código de barras (Köster, Brown e Liu 2019). Embora a correção de erro embutida do MERFISH (HD4) seja responsável por erros de 1 a 0, o que é mais comum, erros de 0 a 1 ainda podem ocorrer e ainda há códigos de barras com tantos erros que não podem ser correspondidos aos genes (dropout). Os erros são modelados como uma distribuição multinomial com probabilidades de evento como probabilidades de identificar transcrições de um gene corretamente com e sem a correção embutida, identificar erroneamente as transcrições de um gene como aquelas de outro gene com e sem a correção embutida, e desistências, com contagens de transcrições, número de identificações corretas e incorretas e desistências como variáveis ​​latentes a serem estimadas por inferência bayesiana. O plano anterior é usado por enquanto.

Os métodos computacionais para superar o aglomerado óptico e deconvoluir os pontos foram resumidos na Seção 5.2.3: corrFISH, BarDensr e ISTDECO. Todos os métodos de chamada de spot mencionados acima tratam a detecção e decodificação de spot como tarefas separadas. Em contraste, tanto no BarDensr quanto no ISTDECO, as duas tarefas relacionadas são realizadas em conjunto.

7.1.3 Segmentação celular

Para atribuir pontos de transcrição às células, as células precisam ser segmentadas e os pontos dentro do limite segmentado de uma célula devem ser atribuídos a essa célula. Para os neurônios, a coloração de Nissl, que cora o corpo celular e os dendritos, mas não os axônios, foi usada para segmentação celular (Shah et al. 2016 Wang, Moffitt e Zhuang 2018). Sem a coloração de Nissl, a coloração de poli-A total pode ser usada em vez disso, e segmentada com transformação de divisor de águas, embora a coloração de poli-a se concentre no corpo celular e perca processos celulares, como dendritos (Moffitt et al. 2018). Isso perde algumas informações biológicas interessantes. Os dendritos podem ter diferentes transcriptomas do corpo celular do mesmo neurônio, tanto in vitro quanto in vivo (Middleton, Eberwine e Kim 2019 Ciolli Mattioli et al. 2019 Farris et al. 2019). A segmentação de células pode ser feita manualmente, pois métodos automatizados podem não ser suficientemente confiáveis ​​e ainda requerem inspeção e correção manual, ou automatizados com modelos de aprendizado de máquina treinados por segmentação manual de um número menor de células, como o modelo de floresta aleatório em Ilastik (Wang, Moffitt e Zhuang 2018 Lohoff et al. 2020) e modelos CNN, como DeepCell (Van Valen et al. 2016) e U-net (Ronneberger, Fischer e Brox 2015). A segmentação de bacias hidrográficas é mais comumente usada.

Sem ver a real extensão da célula, a qualidade da segmentação manual é questionável, especialmente em regiões com alta densidade celular, limitando assim o desempenho dos modelos de aprendizado de máquina. Às vezes, métodos problemáticos foram usados ​​para segmentar células, como a tesselação 3D Voroni (Shah et al. 2016) e o casco convexo da segmentação baseada na coloração de Nissl (Wang, Moffitt e Zhuang 2018). Esses são problemáticos porque as células não precisam assumir uma forma convexa assim, tal segmentação pode atribuir incorretamente transcrições de outras células ou, para ser conservador quanto à atribuição incorreta de transcritos de outras células, transcrições incorretas que de fato pertencem à célula de interesse. No entanto, um estudo corou especificamente para proteínas ligadas à membrana para a extensão real da membrana plasmática e segmentação celular precisa (Lohoff et al. 2020).

Para enfrentar os desafios da segmentação de células, métodos de segmentação utilizando dados de scRNA-seq com tipos de células anotados foram desenvolvidos recentemente. Um desses métodos é o pacote Python JSTA (Littman et al. 2020), no qual uma rede neural profunda (DNN) aprende uma segmentação e anotação de tipo de célula usando as informações de uma referência de scRNA-seq com anotações de tipo de célula. Em primeiro lugar, a bacia hidrográfica é usada para uma segmentação celular inicial, os dados MERFISH e scRNA-seq são escalados e centralizados. Em seguida, um DNN é treinado nos dados de scRNA-seq para prever o tipo de célula a partir da expressão do gene. Em seguida, um DNN separado é treinado para refinar os limites da célula iterativamente com maximização de expectativa (EM): O classificador de tipo de célula é aplicado nos dados MERFISH segmentados da bacia hidrográfica para classificar células putativas (E). Em seguida, um subconjunto aleatório de pixels é usado para treinar o classificador de pixels, maximizando uma função de perda comparando as novas probabilidades de tipo de célula de pixel com a atribuição inicial / anterior (M). As novas probabilidades de tipo de célula são então dimensionadas por pixel de acordo com a distância dos núcleos. Apenas probabilidades de tipos de células de células vizinhas são mantidas e os outros tipos de células são atribuídos à probabilidade 0. As novas probabilidades de tipo de célula de cada pixel são então usadas como probabilidades de evento de uma distribuição multinomial e atribuem aleatoriamente um novo rótulo de tipo de célula ao pixel. Em seguida, a nova atribuição de tipo de célula aos pixels é usada para treinar o classificador de pixels novamente, até que as atribuições de tipo de célula convirjam. Isso pode refinar os limites entre células vizinhas de diferentes tipos, e os limites iniciais da bacia hidrográfica são mantidos para células vizinhas do mesmo tipo. Um problema com este pacote é que a localização não homogênea da transcrição não é levada em consideração.

7.1.4 Alternativas para segmentação celular

Devido aos desafios na segmentação precisa de células, alguns métodos de análise eliminaram totalmente a segmentação de células, usando diretamente os locais de transcrição. No pacote Julia Baysor (Petukhov et al. 2020), com base no campo aleatório de Markov (MRF), que incentiva as transcrições próximas a levarem o mesmo rótulo. Um gráfico de vizinhança espacial é construído com triangulação de Delaunay com cada transcrição como um nó. A probabilidade de cada transcrição obter cada rótulo é modelada com um MRF e os pesos iniciais das bordas diminuem com a distância. Este pacote primeiro distingue entre transcrições intracelulares e fundo extracelular. Em seguida, ele também pode atribuir transcrições a tipos de células sem segmentação de células, com uma referência de scRNA-seq com anotações de tipo de célula conforme as localizações das transcrições são conhecidas, o que equivale a anotar regiões de tecido com tipos de células. Ele também pode segmentar células, com segmentação e coloração existentes (por exemplo, Nissl, DAPI e poli-A) como anteriores. A segmentação celular também pode ser informada por rótulos de tipo de célula, de forma que as transcrições de diferentes tipos de células não sejam atribuídas às mesmas células. Cada uma das três funcionalidades, identificação de transcritos intracelulares, anotação de tipo de célula de transcritos e segmentação de célula, é baseada em um modelo MRF diferente. Os parâmetros do modelo, como pesos de borda, rótulos de outras transcrições, etc. são estimados com EM. As desvantagens deste pacote são que sua implementação atual é limitada a 2D e não leva em consideração a localização de transcrição subcelular não homogênea.

Além da anotação de tipo de célula de transcrições com base em MRF, outro método livre de segmentação também é descrito no artigo de Baysor (Petukhov et al. 2020), em que os (k ) vizinhos mais próximos de cada transcrição são considerados um pseudo- célula e analisado por métodos de análise de dados scRNA-seq padrão, como clustering, PCA e UMAP. Para ISS, os transcritos podem ser atribuídos probabilisticamente a células e células a tipos de células, com pciSeq (Qian et al. 2020). Resumidamente, as localizações espaciais das transcrições são modeladas por um processo de ponto de Poisson cuja intensidade é escalonada por um termo seguindo a distribuição Gama para dar a distribuição binomial negativa das contagens de transcrições nas células. A intensidade para cada gene e cada célula também é informada pela distância entre os transcritos e os centróides do núcleo (do DAPI), os dados de scRNA-seq do tipo de célula a que esta célula pertence e a eficiência de detecção do ISS. Os dados consistem em localizações de transcrições e os genes de onde vêm. Os parâmetros desconhecidos, como a probabilidade de cada transcrição vir de cada célula e cada célula de cada tipo de célula, são estimados por inferência bayesiana variacional. Tipos de células e domínios espaciais também podem ser identificados sem anotações de tipo de célula scRNA-seq também.

No pacote SSAM do Python (Park et al. 2019), a densidade da transcrição é primeiro estimada com a densidade do kernel gaussiano, que é então projetada em uma rede quadrada. Máximos locais de densidade de transcrição são tomados como pseudocélulas e agrupados para inferir de novo tipos de células. Em seguida, os domínios do tecido são identificados por agrupamento de janelas deslizantes de mapas de tipos de células espaciais. Os domínios do tecido também podem ser identificados sem apelar para os tipos de células.

No pacote Python spage2vec (Partel e Wählby 2020), os gráficos são construídos conectando cada ponto de transcrição a seus vizinhos dentro de uma certa distância, de modo que 97% de todos os pontos de transcrição estejam conectados a pelo menos um vizinho. Em seguida, os pontos de transcrição com esses gráficos são projetados por uma rede neural de grafos (GNN) em um espaço de 50 dimensões que é informado pelos gráficos e, portanto, pelas vizinhanças locais das transcrições. Os pontos de transcrição no espaço de 50 dimensões podem então ser agrupados ou projetados em 2 ou 3 dimensões com UMAP para mostrar os domínios do tecido.


Análise dimensional

A análise dimensional é simplesmente uma forma de testar se as unidades básicas de uma determinada equação funcionam. Ele opera com base em um princípio simples: as unidades que você tem em um lado de uma equação devem corresponder às que você tem no outro lado.

É análogo a assar um bolo. Seu bolo só pode ter os ingredientes que você colocou nele.

Considere a seguinte equação:

A força em unidades básicas é # kg * m / s ^ 2 #
A massa é de apenas # kg #
A aceleração é # m / s ^ 2 #

Portanto, agora vamos avaliar isso inserindo essas unidades na equação:

Essa equação funciona, portanto, pode ser classificada como dimensionalmente correta.

Vejamos outra equação:

# Deltax # é uma distância, medida em metros (# m #)
# v_o # é uma velocidade, medida em metros por segundo (# m / s #)
# a # é a aceleração, medida em metros por segundo ao quadrado (# m / s ^ 2 #)
# t # é o tempo, medido em segundos (# s #)

Agora vamos apenas conectar tudo em:

Observe que não incluí o # 1/2 #. Isso ocorre porque os coeficientes não importam na análise dimensional porque eles realmente não mudam a dimensão (ou seja, meia massa ainda é uma massa).

Como essa equação não funciona, ela não é dimensionalmente correta.

A Análise Dimensional é usada na engenharia como uma forma simples de verificar o trabalho de alguém.

Depois que alguém resolve um problema, especialmente uma conversão, ele precisa de alguma forma para verificar se está correto. Uma maneira fácil de fazer isso é verificar as unidades que você recebeu e ver se elas fazem sentido para o que você recebeu.

Por exemplo, se você tem # 13 cor (branco) (0) kg xx 15 cor (branco) (0) m / s ^ 2 # e você diz que é igual a # 195 N #

Para verificar o seu trabalho, vamos apenas com as unidades:

Você deseja que os dois lados da equação tenham a mesma aparência. Mas eles não, mas vamos quebrar a unidade Newton # (N) # em suas partes de base - # (kg xx m) / s ^ 2 #. Agora vamos ver:

Pronto, agora eles têm a mesma aparência! Portanto, essa é uma indicação de que fizemos as contas certas. Não garante que estamos corretos, mas se a análise dimensional mostrar que cometemos um erro, nos dá a chance de detectá-lo


7.1: Análise Dimensional

A Análise Dimensional (também chamada de Método de Rótulo de Fator ou Método de Fator de Unidade) é um método de solução de problemas que usa o fato de que qualquer número ou expressão pode ser multiplicado por um sem alterar seu valor. É uma técnica útil. O único perigo é que você pode acabar pensando que a química é simplesmente um problema matemático - o que definitivamente não é.

Fatores de unidade podem ser feitos de quaisquer dois termos que descrevam as mesmas ou "quantidades" equivalentes daquilo em que estamos interessados. Por exemplo, sabemos que
1 polegada = 2,54 centímetros Observação: ao contrário da maioria das conversões inglês-métricas, esta é exata. Existem exatamente 2,540000000. centímetros em 1 polegada.

Podemos fazer dois fatores de unidade a partir dessas informações: Agora, podemos resolver alguns problemas. Configure cada problema escrevendo o que você precisa encontrar com um ponto de interrogação. Em seguida, defina-o igual às informações que você recebe. O problema é resolvido multiplicando os dados fornecidos e suas unidades pelos fatores de unidade apropriados, de modo que apenas as unidades desejadas estejam presentes no final.

(1) Quantos centímetros tem em 6,00 polegadas? (2) Expressa 24,0 cm em polegadas.


7.1: Prelúdio à Cinemática Unidimensional

  • Contribuição de Paul Flowers, Klaus Theopold e Richard Langley et al.
  • Química Geral no OpenStax CNX

Os objetos estão em movimento em todos os lugares que olhamos. Tudo, desde um jogo de tênis até um sobrevôo da sonda espacial no planeta Netuno, envolve movimento. Quando você está descansando, seu coração faz o sangue circular pelas veias. E mesmo em objetos inanimados, há um movimento contínuo nas vibrações dos átomos e moléculas. As perguntas sobre o movimento são interessantes por si mesmas: Quanto tempo vai demorar para uma sonda espacial chegar a Marte? Onde uma bola de futebol vai parar se for lançada em um determinado ângulo? Mas a compreensão do movimento também é fundamental para a compreensão de outros conceitos da física. A compreensão da aceleração, por exemplo, é crucial para o estudo da força.

Figura ( PageIndex <1> ): O movimento de um francelho americano no ar pode ser descrito pelo deslocamento, velocidade, velocidade e aceleração do pássaro. Quando ele voa em linha reta sem qualquer mudança de direção, seu movimento é considerado unidimensional. (crédito: Vince Maidens, Wikimedia Commons)

Nosso estudo formal da física começa com a cinemática, que é definida como o estudo do movimento sem considerar suas causas. A palavra & ldquokinematics & rdquo vem de um termo grego que significa movimento e está relacionada a outras palavras em inglês, como & ldquocinema & rdquo (filmes) e & ldquokinesiology & rdquo (o estudo do movimento humano). Na cinemática unidimensional e na cinemática bidimensional, estudaremos apenas a movimento de uma bola de futebol, por exemplo, sem se preocupar com que forças causam ou alteram seu movimento. Essas considerações aparecem em outros capítulos. Neste capítulo, examinamos o tipo mais simples de movimento - basicamente, movimento ao longo de uma linha reta ou movimento unidimensional. Na cinemática bidimensional, aplicamos os conceitos desenvolvidos aqui para estudar o movimento ao longo de caminhos curvos (movimento bidimensional e tridimensional), por exemplo, o de um carro contornando uma curva.


7.1: Análise Dimensional

Qual é a grande ideia, afinal?

25 problemas práticos e descubra o que você pode fazer.

Aprenda a análise dimensional trabalhando com as respostas.

Copie e faça sua própria folha de dicas.

Ou como passei a postar tantas coisas neste site.

O guia de uma página com tudo que você realmente precisa saber.

Uma abordagem unificada, 4ª ed.

Alguns exemplos gerais aqui.

Teste de cálculo de drogas que fiz para conseguir meu primeiro emprego.

Arquivos e programas do Palm que você pode usar.

Quando você está fazendo matemática aplicada, os números têm unidades de medida, ou & quotdimensões, & quot anexadas a eles. Existem muitas fórmulas por aí, mas aqui está a grande ideia: quando você insere valores em uma fórmula e presta muita atenção ao que acontece com as unidades conforme a fórmula é simplificada, você verá que todas as unidades se cancelam, exceto aquelas unidades que acabam em sua resposta. Isso sempre acontece se a fórmula estiver correta e você inserir os fatores apropriados.

Então, o que alguém descobriu é que você não precisa de fórmulas. Para cada problema, você pode simplesmente pegar os fatores associados a ele e organizá-los de forma que todas as unidades que você não deseja cancelar. Você fica então com apenas as unidades que você deseja (aquelas em sua resposta). Esse processo é bastante trivial e, com apenas uma ligeira atenção aos detalhes, você sempre obtém a resposta certa, bing-bang-boom, todas as vezes.

A técnica foi ensinada a alunos de ciências aplicadas por mais tempo do que eu fui capaz de determinar e pela única razão de que os alunos que a usam cometem menos erros. Você presta atenção nas unidades de medida e, se elas não estiverem sendo canceladas da maneira certa, você sabe que está fazendo algo errado e que sua resposta certamente estará errada.

Como enfermeiras fazem cálculos, o erro não é uma opção. Para passar na aula de matemática médica, pode ser necessário acertar apenas 80% dos problemas do teste, mas chegar à resposta certa em apenas quatro das cinco vezes não é bom o suficiente quando pacientes reais estão em risco. Embora ainda possam ser cometidos erros usando qualquer técnica, a análise dimensional faz o melhor trabalho de minimizá-los. A única falha está no nome. Talvez a técnica Math-Weenie-No-Brainer fosse mais apropriada. De qualquer forma, experimente a análise dimensional. No final de um turno de 12 horas, quando você está cansado, as coisas estão loucas e você tem que fazer um cálculo de matemática médica, você ficará feliz por ter feito.

Ainda não li isso, mas agora existe um livro (Dimensional Analysis for Meds). Se o editor me enviar uma cópia, eu estaria disposto a revisá-la.

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OS de 3-subalgebras

Nesta seção, obtemos OS de 3 subálgebras para BS. Para encontrar 3-subálgebras, devemos considerar uma 3-subálgebra como (< mathrm> = langle X, Y, Z rangle ) do grupo de simetria, de modo que (Z = sum_^ <5> c_< mathbf>_) .

Para classificar 3-subálgebras, precisamos escolher dois dos geradores do SO de 2-subálgebras, e outro gerador deve ser considerado arbitrário, então devemos verificar se ([X, Z] ) e ([Y , Z] ) são fechados sob o colchete de Lie.

Teorema 6.1

O sistema operacional de 3-subálgebra do BS são


Análise Dimensional | Pergunta da entrevista sobre mecânica dos fluidos

A análise dimensional é uma técnica matemática que utiliza o estudo das dimensões como auxílio na solução de diversos problemas de engenharia. Ele desempenha um papel importante no trabalho de pesquisa.

2. Escreva os usos da análise dimensional?

• Ajuda a testar a homogeneidade dimensional de qualquer equação de movimento de fluidos.
• Ajuda a derivar equações expressas em termos de parâmetros adimensionais.
• Auxilia no planejamento de testes de modelos e na apresentação de resultados experimentais de maneira sistemática.

3. List the primary and derived quantities.

Primary or Fundamental quantities: The various physical quantities used to describe a given phenomenon can be described by a set of quantities which are independent of each other. These quantities are known as fundamental quantities or primary quantities. Mass (M), Length (L), Time (T) and Temperature (θ) are the fundamental quantities.

Secondary or Derived quantities: All other quantities such as area, volume, velocity, acceleration, energy, power, etc are termed as derived quantities or secondary quantities because they can be expressed by primary quantities.

4. Write the dimensions for the followings.

Dynamic viscosity (μ) – ML-1T-2 , Force (F) – MLT-2 , Mass density (ρ) – ML-3 , Power (P) -ML2T-3

5. Define dimensional homogeneity.

An equation is said to be dimensionally homogeneous if the dimensions of the terms on its LHS are same as the dimensions of the terms on its RHS.

6. Mention the methods available for dimensional analysis.

Rayleigh method, Buckinghum π method

7. State Buckingham’s π theorem.

It states that “if there are ‘n’ variables (both independent & dependent variables) in a physical phenomenon and if these variables contain ‘m’ functional dimensions and are related by a dimensionally homogeneous equation, then the variables are arranged into n-m dimensionless terms. Each term is called π term”.

8. List the repeating variables used in Buckingham π theorem.

Geometrical Properties – l, d, H, h, etc,
Flow Properties – v, a, g, ω, Q, etc,
Fluid Properties – ρ, μ, γ, etc.

9. Define model and prototype.

The small scale replica of an actual structure or the machine is known as its Model, while the actual structure or machine is called as its Prototype. Mostly models are much smaller than the corresponding prototype.

10. Write the advantages of model analysis.

• Model test are quite economical and convenient.
• Alterations can be continued until most suitable design is obtained.
• Modification of prototype based on the model results.
• The information about the performance of prototype can be obtained well in advance.

11. List the types of similarities or similitude used in model anlaysis.

Geometric similarities, Kinematic similarities, Dynamic similarities

12. Define geometric similarities

It exists between the model and prototype if the ratio of corresponding lengths, dimensions in the model and the prototype are equal. Such a ratio is known as “Scale Ratio”.

13. Define kinematic similarities

It exists between the model and prototype if the paths of the homogeneous moving particles are geometrically similar and if the ratio of the flow properties is equal.

14. Define dynamic similarities

It exits between model and the prototype which are geometrically and kinematically similar and if the ratio of all forces acting on the model and prototype are equal.

15. Mention the various forces considered in fluid flow.

Inertia force, Viscous force, Gravity force,
Pressure force, Surface Tension force, Elasticity force

16. Define model law or similarity law.

The condition for existence of completely dynamic similarity between a model and its prototype are denoted by equation obtained from dimensionless numbers. The laws on which the models are designed for dynamic similarity are called Model laws or Laws of Similarity.

17. List the various model laws applied in model analysis.

Reynold’s Model Law, Froude’s Model Law,
Euler’s Model Law, Weber Model Law, Mach Model Law

20. State Euler’s model law

In a fluid system where supplied pressures are the controlling forces in addition to inertia forces and other forces are either entirely absent or in-significant the Euler’s number for both the model and prototype which known as Euler Model Law.

21. State Weber’s model law

When surface tension effect predominates in addition to inertia force then the dynamic similarity is obtained by equating the Weber’s number for both model and its prototype, which is called as Weber Model Law.

22. State Mach’s model law

If in any phenomenon only the forces resulting from elastic compression are significant in addition to inertia forces and all other forces may be neglected, then the dynamic similarity between model and its prototype may be achieved by equating the Mach’s number for both the systems. This is known Mach Model Law.

23. Classify the hydraulic models.

The hydraulic models are classified as: Undistorted model & Distorted model

24. Define undistorted model

An undistorted model is that which is geometrically similar to its prototype, i.e. the scale ratio for corresponding linear dimensions of the model and its prototype are same.

25. Define distorted model

Distorted models are those in which one or more terms of the model are not identical with their counterparts in the prototype.

26. Define Scale effect

An effect in fluid flow that results from changing the scale, but not the shape, of a body around which the flow passes.

27. List the advantages of distorted model.

• The results in steeper water surface slopes and magnification of wave heights in model can be obtained by providing true vertical structure with accuracy.
• The model size can be reduced to lower down the cast.
• Sufficient tractate force can be developed to produce bed movement with a small model.

28. Write the dimensions for the followings.

Quantities and dimension chart


7.1: Dimensional Analysis

Term one, two or three dimensional flow refers to the number of space coordinated required to describe a flow. It appears that any physical flow is generally three-dimensional. But these are difficult to calculate and call for as much simplification as possible. This is achieved by ignoring changes to flow in any of the directions, thus reducing the complexity. It may be possible to reduce a three-dimensional problem to a two-dimensional one, even an one-dimensional one at times.

Figure 3.2 : Example of one-dimensional flow

Consider flow through a circular pipe. This flow is complex at the position where the flow enters the pipe. But as we proceed downstream the flow simplifies considerably and attains the state of a fully developed flow. A characteristic of this flow is that the velocity becomes invariant in the flow direction as shown in Fig.3.2. Velocity for this flow is given by

It is readily seen that velocity at any location depends just on the radial distance from the centreline and is independent of distance, x or of the angular position . This represents a typical one-dimensional flow.

Now consider a flow through a diverging duct as shown in Fig. 3.3. Velocity at any location depends not only upon the radial distance but also on the x-distance. This is therefore a two-dimensional flow .

Figure 3.3: Example of a two-dimensional flow

Concept of a uniform flow is very handy in analysing fluid flows. A uniform flow is one where the velocity and other properties are constant independent of directions. we usually assume a uniform flow at the entrance to a pipe, far away from a aerofoil or a motor car as shown in Fig. 3.4.

(c) Aerospace, Mechanical & Mechatronic Engg. 2005
University of Sydney


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