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3.2: Soluções em Série Perto de um Ponto I Ordinário - Matemática


Muitas aplicações físicas dão origem a equações diferenciais lineares homogêneas de segunda ordem da forma

begin {equation} label {eq: 3.2.1}
P_0 (x) y '' + P_1 (x) y '+ P_2 (x) y = 0,
end {equação}

onde (P_0 ), (P_1 ) e (P_2 ) são polinômios. Normalmente, as soluções dessas equações não podem ser expressas em termos de funções elementares familiares. Portanto, vamos considerar o problema de representar soluções de eqref {eq: 3.2.1} com séries.

Assumimos que (P_0 ), (P_1 ) e (P_2 ) não têm fatores comuns. Então dizemos que (x_0 ) é um ( textcolor {blue} { mbox {ponto comum}} ) de eqref {eq: 3.2.1} if (P_0 (x_0) ne0 ), ou um ( textcolor {azul} { mbox {ponto singular}} ) se (P_0 (x_0) = 0 ). Para a equação de Legendre,

begin {equation} label {eq: 3.2.2}
(1-x ^ 2) y '' - 2xy '+ alpha ( alpha + 1) y = 0,
end {equação}

(x_0 = 1 ) e (x_0 = -1 ) são pontos singulares e todos os outros pontos são pontos comuns. Para a equação de Bessel,

begin {eqnarray *}
x ^ 2y '' + xy '+ (x ^ 2- nu ^ 2) y = 0,
end {eqnarray *}

(x_0 = 0 ) é um ponto singular e todos os outros pontos são pontos comuns. Se (P_0 ) é uma constante diferente de zero como na equação de Airy,

begin {equation} label {eq: 3.2.3}
y '' - xy = 0,
end {equação}

então, cada ponto é um ponto comum.

Como os polinômios são contínuos em todos os lugares, (P_1 / P_0 ) e (P_2 / P_0 ) são contínuos em qualquer ponto (x_0 ) que não seja zero de (P_0 ). Portanto, se (x_0 ) é um ponto comum de eqref {eq: 3.2.1} e (a_0 ) e (a_1 ) são números reais arbitrários, então o problema do valor inicial

begin {equation} label {eq: 3.2.4}
P_0 (x) y '' + P_1 (x) y '+ P_2 (x) y = 0, quad y (x_0) = a_0, quad y' (x_0) = a_1
end {equação}

tem uma solução única no maior intervalo aberto que contém (x_0 ) e não contém nenhum zeros de (P_0 ). Para ver isso, reescrevemos a equação diferencial em eqref {eq: 3.2.4} como

begin {eqnarray *}
y '' + {P_1 (x) sobre P_0 (x)} y '+ {P_2 (x) sobre P_0 (x)} y = 0
end {eqnarray *}

e aplique o Teorema ((2.1.1) ) com (p = P_1 / P_0 ) e (q = P_2 / P_0 ). Nesta seção e na próxima, consideramos o problema de representar soluções de eqref {eq: 3.2.1} por séries de potências que convergem para valores de (x ) próximo a um ponto comum (x_0 ).

Declaramos o próximo teorema sem prova.

Teorema ( PageIndex {1} )

Suponha que (P_0 ), (P_1 ) e (P_2 ) sejam polinômios sem fator comum e (P_0 ) não seja igual a zero. Seja (x_0 ) um ponto tal que (P_0 (x_0) ne0, ) e seja ( rho ) a distância de (x_0 ) ao zero mais próximo de (P_0 ) em o plano complexo. (Se (P_0 ) for constante, então ( rho = infty ).) Então, cada solução de

begin {equation} label {eq: 3.2.5}
P_0 (x) y '' + P_1 (x) y '+ P_2 (x) y = 0
end {equação}

pode ser representado por uma série de potências

begin {equation} label {eq: 3.2.6}
y = sum_ {n = 0} ^ infty a_n (x-x_0) ^ n
end {equação}

que converge pelo menos no intervalo aberto ((x_0- rho, x_0 + rho) ). (Se (P_0 ) for não constante, de modo que ( rho ) é necessariamente finito, então o intervalo aberto de convergência de eqref {eq: 3.2.6} pode ser maior do que ((x_0- rho, x_0 + rho). ) Se (P_0 ) for constante, então ( rho = infty ) e ((x_0- rho, x_0 + rho) = (- infty, infty) ). )

Prova

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Chamamos eqref {eq: 3.2.6} a ( textcolor {blue} { mbox {solução da série de potências em (x-x_0 )}} ) de eqref {eq: 3.2.5}. Iremos agora desenvolver um método para encontrar soluções de séries de potência de eqref {eq: 3.2.5}. Para este propósito, escrevemos eqref {eq: 3.2.5} como (Ly = 0 ), onde

begin {equation} label {eq: 3.2.7}
Ly = P_0y '' + P_1y '+ P_2y.
end {equação}

O teorema ((3.2.1) ) implica que cada solução de (Ly = 0 ) em ((x_0- rho, x_0 + rho) ) pode ser escrita como

begin {eqnarray *}
y = sum_ {n = 0} ^ infty a_n (x-x_0) ^ n.
end {eqnarray *}

Configuração (x = x_0 ) nesta série e na série

begin {eqnarray *}
y '= sum_ {n = 1} ^ infty na_n (x-x_0) ^ {n-1}
end {eqnarray *}

mostra que (y (x_0) = a_0 ) e (y '(x_0) = a_1 ). Uma vez que cada problema de valor inicial eqref {eq: 3.2.4} tem uma solução única, isso significa que (a_0 ) e (a_1 ) podem ser escolhidos arbitrariamente, e (a_2 ), (a_3 ) , ( dots ) ​​são determinados exclusivamente por eles.

Para encontrar (a_2 ), (a_3 ), ( pontos ), escrevemos (P_0 ), (P_1 ) e (P_2 ) em potências de (x-x_0 ), substituto

begin {eqnarray *}
y = sum ^ infty_ {n = 0} a_n (x-x_0) ^ n,
end {eqnarray *}

begin {eqnarray *}
y '= sum ^ infty_ {n = 1} na_n (x-x_0) ^ {n-1},
end {eqnarray *}

begin {eqnarray *}
y '' = sum ^ infty_ {n = 2} n (n-1) a_n (x-x_0) ^ {n-2}
end {eqnarray *}

em eqref {eq: 3.2.7}, e coletar os coeficientes de potências semelhantes de (x-x_0 ). Isso produz

begin {equation} label {eq: 3.2.8}
Ly = sum ^ infty_ {n = 0} b_n (x-x_0) ^ n,
end {equação}

onde ( {b_0, b_1, dots, b_n, dots } ) são expressos em termos de ( {a_0, a_1, dots, a_n, dots } ) e os coeficientes de ( P_0 ), (P_1 ) e (P_2 ), escritos em potências de (x-x_0 ). Uma vez que eqref {eq: 3.2.8} e a parte (a) do Teorema ((3.1.6) ) implicam que (Ly = 0 ) se e somente se (b_n = 0 ) para (n ge0 ), todas as soluções de série de potências em (x-x_0 ) de (Ly = 0 ) podem ser obtidas escolhendo (a_0 ) e (a_1 ) arbitrariamente e computando (a_2 ), (a_3 ), ( pontos ), sucessivamente de forma que (b_n = 0 ) para (n ge0 ). Para simplificar, chamamos a série de potências obtida desta forma ( textcolor {blue} { mbox {a série de potências em (x-x_0 ) para a solução geral}} ) de (Ly = 0 ), sem identificar explicitamente o intervalo aberto de convergência das séries.

Exemplo ( PageIndex {1} )

Seja (x_0 ) um número real arbitrário. Encontre a série de potências em (x-x_0 ) para a solução geral de

begin {equation} label {eq: 3.2.9}
y '' + y = 0.
end {equação}

Responder

Aqui

begin {eqnarray *}
Ly = y '' + y.
end {eqnarray *}

Se

begin {eqnarray *}
y = sum_ {n = 0} ^ infty a_n (x-x_0) ^ n,
end {eqnarray *}

então

begin {eqnarray *}
y '' = sum_ {n = 2} ^ infty n (n-1) a_n (x-x_0) ^ {n-2},
end {eqnarray *}

assim

begin {eqnarray *}
Ly = sum_ {n = 2} ^ infty n (n-1) a_n (x-x_0) ^ {n-2} + sum_ {n = 0} ^ infty a_n (x-x_0) ^ n.
end {eqnarray *}

Para coletar coeficientes de potências semelhantes de (x-x_0 ), mudamos o índice de soma na primeira soma. Isso produz

begin {eqnarray *}
Ly = sum ^ infty_ {n = 0} (n + 2) (n + 1) a_ {n + 2} (x-x_0) ^ n + sum ^ infty_ {n = 0} a_n (x- x_0) ^ n = sum ^ infty_ {n = 0} b_n (x-x_0) ^ n,
end {eqnarray *}

com

begin {eqnarray *}
b_n = (n + 2) (n + 1) a_ {n + 2} + a_n.
end {eqnarray *}

Portanto (Ly = 0 ) se e somente se

begin {equation} label {eq: 3.2.10}
a_ {n + 2} = {- a_n over (n + 2) (n + 1)}, quad n ge0,
end {equação}

onde (a_0 ) e (a_1 ) são arbitrários. Uma vez que os índices nos lados esquerdo e direito de eqref {eq: 3.2.10} diferem em dois, escrevemos eqref {eq: 3.2.10} separadamente para (n ) mesmo ((n = 2m) ) e (n ) ímpar ((n = 2m + 1) ). Isso produz

begin {eqnarray}
a_ {2m + 2} & = & {- a_ {2m} over (2m + 2) (2m + 1)}, quad m ge0, label {eq: 3.2.11} \% dummy eqref {eq: 3.2.14}
a_ {2m + 3} & = & {- a_ {2m + 1} over (2m + 3) (2m + 2)}, quad m ge0. label {eq: 3.2.12}
end {eqnarray}

Calculando os coeficientes das potências pares de (x-x_0 ) de eqref {eq: 3.2.11} resulta

begin {eqnarray *}
a_2 & = & - {a_0 over2 cdot1}
a_4 & = & - {a_2 over4 cdot3} = - {1 over4 cdot3} left (- {a_0 over2 cdot1} right) = {a_0 over4 cdot3 cdot2 cdot1},
a_6 & = & - {a_4 over6 cdot5} = - {1 over6 cdot5} left ({a_0 over4 cdot3 cdot2 cdot1} right) = - {a_0 over6 cdot5 cdot4 cdot3 cdot 2 cdot1},
end {eqnarray *}

e, em geral,

begin {equation} label {eq: 3.2.13}
a_ {2m} = (- 1) ^ m {a_0 over (2m)!} ; , quad m ge0.
end {equação}

Calculando os coeficientes das potências ímpares de (x-x_0 ) de eqref {eq: 3.2.12} resulta

begin {eqnarray *}
a_3 & = & - {a_1 over3 cdot2}
a_5 & = & - {a_3 over5 cdot4} = - {1 over5 cdot4} left (- {a_1 over3 cdot2} right) = {a_1 over5 cdot4 cdot3 cdot2},
a_7 & = & - {a_5 over7 cdot6} = - {1 over7 cdot6} left ({a_1 over5 cdot4 cdot3 cdot2} right) = - {a_1 over7 cdot6 cdot5 cdot4 cdot 3 cdot2},
end {eqnarray *}

e, em geral,

begin {equation} label {eq: 3.2.14}
a_ {2m + 1} = {(- 1) ^ ma_1 over (2m + 1)!} quad m ge0.
end {equação}

Assim, a solução geral de eqref {eq: 3.2.9} pode ser escrita como

begin {eqnarray *}
y = sum_ {m = 0} ^ infty a_ {2m} (x-x_0) ^ {2m} + sum_ {m = 0} ^ infty a_ {2m + 1} (x-x_0) ^ {2m +1},
end {eqnarray *}

ou, de eqref {eq: 3.2.13} e eqref {eq: 3.2.14}, como

begin {equation} label {eq: 3.2.15}
y = a_0 sum_ {m = 0} ^ infty (-1) ^ m {(x-x_0) ^ {2m} over (2m)!} + a_1 sum_ {m = 0} ^ infty (- 1) ^ m {(x-x_0) ^ {2m + 1} over (2m + 1)!}.
end {equação}

Se nos lembrarmos do cálculo que

begin {eqnarray *}
sum_ {m = 0} ^ infty (-1) ^ m {(x-x_0) ^ {2m} over (2m)!} = cos (x-x_0) quad mbox {e} quad sum_ {m = 0} ^ infty (-1) ^ m {(x-x_0) ^ {2m + 1} over (2m + 1)!} = sin (x-x_0),
end {eqnarray *}

então eqref {eq: 3.2.15} torna-se

begin {eqnarray *}
y = a_0 cos (x-x_0) + a_1 sin (x-x_0),
end {eqnarray *}

que deve parecer familiar.

Equações como eqref {eq: 3.2.10}, eqref {eq: 3.2.11} e eqref {eq: 3.2.12}, que definem um dado coeficiente na sequência ( {a_n } ) em termos de um ou mais coeficientes com índices menores são chamados de ( textcolor {blue} { mbox {relações de recorrência}} ). Quando usamos uma relação de recorrência para calcular os termos de uma sequência, estamos computando ( textcolor {blue} { mbox {recursivamente}} ).

No restante desta seção, consideramos o problema de encontrar soluções de séries de potências em (x-x_0 ) para equações da forma

begin {equation} label {eq: 3.2.16}
left (1+ alpha (x-x_0) ^ 2 right) y '' + beta (x-x_0) y '+ gamma y = 0.
end {equação}

Muitas equações importantes que surgem nas aplicações são desta forma com (x_0 = 0 ), incluindo a equação de Legendre eqref {eq: 3.2.2}, a equação de Airy eqref {eq: 3.2.3}, a equação de Chebyshev,

begin {eqnarray *}
(1-x ^ 2) y '' - xy '+ alpha ^ 2 y = 0,
end {eqnarray *}

e a equação de Hermite,

begin {eqnarray *}
y '' - 2xy '+ 2 alpha y = 0.
end {eqnarray *}

Desde

begin {eqnarray *}
P_0 (x) = 1 + alpha (x-x_0) ^ 2
end {eqnarray *}

em eqref {eq: 3.2.16}, o ponto (x_0 ) é um ponto comum de eqref {eq: 3.2.16}, e o Teorema ((3.2.1) ) implica que as soluções de eqref {eq: 3.2.16} pode ser escrito como séries de potências em (x-x_0 ) que convergem no intervalo ((x_0-1 / sqrt | alpha |, x_0 + 1 / sqrt | alpha |) ) se ( alpha ne0 ), ou em ((- infty, infty) ) se ( alpha = 0 ). Veremos que os coeficientes nestas séries de potências podem ser obtidos por métodos semelhantes ao usado no Exemplo ((3.2.1) ).

Para simplificar a localização dos coeficientes, apresentamos algumas notações para produtos:

begin {eqnarray *}
prod ^ s_ {j = r} b_j = b_rb_ {r + 1} cdots b_s quad mbox {if} quad s ge r.
end {eqnarray *}

Desse modo,

begin {eqnarray *}
prod ^ 7_ {j = 2} b_j = b_2b_3b_4b_5b_6b_7,
end {eqnarray *}

begin {eqnarray *}
prod ^ 4_ {j = 0} (2j + 1) = (1) (3) (5) (7) (9) = 945,
end {eqnarray *}

e

begin {eqnarray *}
prod ^ 2_ {j = 2} j ^ 2 = 2 ^ 2 = 4.
end {eqnarray *}

Nós definimos

begin {eqnarray *}
prod ^ s_ {j = r} b_j = 1 quad mbox {if} quad s end {eqnarray *}

não importa qual seja a forma de (b_j ).

Exemplo ( PageIndex {2} )

Encontre a série de potências em (x ) para a solução geral de

begin {equation} label {eq: 3.2.17}
(1 + 2x ^ 2) y '' + 6xy '+ 2y = 0.
end {equação}

Responder

Aqui

begin {eqnarray *}
Ly = (1 + 2x ^ 2) y '' + 6xy '+ 2y.
end {eqnarray *}

Se

begin {eqnarray *}
y = sum_ {n = 0} ^ infty a_nx ^ n
end {eqnarray *}

então

begin {eqnarray *}
y '= sum_ {n = 1} ^ infty na_nx ^ {n-1} quad mbox {e} quad y' '= sum_ {n = 2} ^ infty n (n-1) a_nx ^ {n-2},
end {eqnarray *}

assim

begin {eqnarray *}
Ly & = & (1 + 2x ^ 2) sum ^ infty_ {n = 2} n (n-1) a_nx ^ {n-2} + 6x sum ^ infty_ {n = 1} na_nx ^ {n- 1} +2 sum ^ infty_ {n = 0} a_nx ^ n
& = & sum_ {n = 2} ^ infty n (n-1) a_nx ^ {n-2} + sum_ {n = 0} ^ infty left [2n (n-1) + 6n + 2 right] a_nx ^ n
& = & sum_ {n = 2} ^ infty n (n-1) a_nx ^ {n-2} +2 sum_ {n = 0} ^ infty (n + 1) ^ 2a_nx ^ n.
end {eqnarray *}

Para coletar coeficientes de (x ^ n ), mudamos o índice de soma na primeira soma. Isso produz

begin {eqnarray *}
Ly = sum_ {n = 0} ^ infty (n + 2) (n + 1) a_ {n + 2} x ^ n + 2 sum_ {n = 0} ^ infty (n + 1) ^ 2a_nx ^ n = sum_ {n = 0} ^ infty b_nx ^ n,
end {eqnarray *}

com

begin {eqnarray *}
b_n = (n + 2) (n + 1) a_ {n + 2} +2 (n + 1) ^ 2a_n, quad n ge0.
end {eqnarray *}

Para obter soluções de eqref {eq: 3.2.17}, definimos (b_n = 0 ) para (n ge0 ). Isso é equivalente à relação de recorrência

begin {equation} label {eq: 3.2.18}
a_ {n + 2} = - 2 {n + 1 sobre n + 2} a_n, quad n ge0.
end {equação}

Uma vez que os índices à esquerda e à direita diferem em dois, escrevemos eqref {eq: 3.2.18} separadamente para (n = 2m ) e (n = 2m + 1 ), como no Exemplo ((3.2 .1) ). Isso produz

begin {eqnarray}
a_ {2m + 2} & = & - 2 {2m + 1 over2m + 2} a_ {2m} = - {2m + 1 over m + 1} a_ {2m}, quad m ge0, label { eq: 3.2.19}
a_ {2m + 3} & = & - 2 {2m + 2 over2m + 3} a_ {2m + 1} = - 4 {m + 1 over2m + 3} a_ {2m + 1}, quad m ge0 . label {eq: 3.2.20}
end {eqnarray}

Calculando os coeficientes de potências pares de (x ) de eqref {eq: 3.2.19} resulta

begin {eqnarray *}
a_2 & = & - {1 over1} a_0,
a_4 & = & - {3 over2} a_2 = left (- {3 over2} right) left (- {1 over1} right) a_0 = {1 cdot3 over1 cdot2} a_0,
a_6 & = & - {5 over3} a_4 = - {5 over3} left (1 cdot3 over1 cdot2 right) a_0 = - {1 cdot3 cdot5 over1 cdot2 cdot3} a_0,
a_8 & = & - {7 over4} a_6 = - {7 over4} left (- {1 cdot3 cdot5 over1 cdot2 cdot3} right) a_0 = {1 cdot3 cdot5 cdot7 over1 cdot2 cdot3 cdot4} a_0.
end {eqnarray *}

Em geral,

begin {equation} label {eq: 3.2.21}
a_ {2m} = (- 1) ^ m { prod_ {j = 1} ^ m (2j-1) sobre m!} a_0, quad m ge0.
end {equação}

(Observe que eqref {eq: 3.2.21} está correto para (m = 0 ) porque definimos ( prod_ {j = 1} ^ 0b_j = 1 ) para qualquer (b_j ).)

Calculando os coeficientes de potências ímpares de (x ) a partir de eqref {eq: 3.2.20} resulta

begin {eqnarray *}
a_3 & = & - 4 , {1 over3} a_1,
a_5 & = & - 4 , {2 over5} a_3 = -4 , {2 over5} left (-4 {1 over3} right) a_1 = 4 ^ 2 {1 cdot2 over3 cdot5} a_1,
a_7 & = & - 4 , {3 over7} a_5 = -4 , {3 over7} left (4 ^ 2 {1 cdot2 over3 cdot5} right) a_1 = -4 ^ 3 {1 cdot2 cdot3 over3 cdot5 cdot7} a_1,
a_9 & = & - 4 , {4 over9} a_7 = -4 , {4 over9} left (4 ^ 3 {1 cdot2 cdot3 over3 cdot5 cdot7} right) a_1 = 4 ^ 4 {1 cdot2 cdot3 cdot4 over3 cdot5 cdot7 cdot9} a_1.
end {eqnarray *}

Em geral,

begin {equation} label {eq: 3.2.22}
a_ {2m + 1} = {(- 1) ^ m4 ^ m m! over prod_ {j = 1} ^ m (2j + 1)} a_1, quad m ge0.
end {equação}

De eqref {eq: 3.2.21} e eqref {eq: 3.2.22},

begin {eqnarray *}
y = a_0 sum ^ infty_ {m = 0} (- 1) ^ m { prod_ {j = 1} ^ m (2j-1) sobre m!} x ^ {2m}
+ a_1 sum ^ infty_ {m = 0} (- 1) ^ m {4 ^ mm! over prod_ {j = 1} ^ m (2j + 1)} x ^ {2m + 1}.
end {eqnarray *}

é a série de potências em (x ) para a solução geral de eqref {eq: 3.2.17}. Uma vez que (P_0 (x) = 1 + 2x ^ 2 ) não tem zeros reais, o Teorema ((2.1.1) ) implica que cada solução de eqref {eq: 3.2.17} é definida em (( - infty, infty) ). No entanto, uma vez que (P_0 ( pm i / sqrt2) = 0 ), o Teorema ((3.2.1) ) implica apenas que a série de potências converge em ((- 1 / sqrt2,1 / sqrt2 ) ) para qualquer escolha de (a_0 ) e (a_1 ).

Os resultados nos Exemplos ((3.2.1) ) e ((3.2.2) ) são consequências do seguinte teorema geral.

Teorema ( PageIndex {2} )

Os coeficientes ( {a_n } ) em qualquer solução (y = sum_ {n = 0} ^ infty a_n (x-x_0) ^ n ) de

begin {equation} label {eq: 3.2.23}
left (1+ alpha (x-x_0) ^ 2 right) y '' + beta (x-x_0) y '+ gamma y = 0
end {equação}

satisfazer a relação de recorrência

begin {equation} label {eq: 3.2.24}
a_ {n + 2} = - {p (n) over (n + 2) (n + 1)} a_n, quad n ge0,
end {equação}

Onde

begin {equation} label {eq: 3.2.25}
p (n) = alpha n (n-1) + beta n + gamma.
end {equação}

Além disso, os coeficientes das potências pares e ímpares de (x-x_0 ) podem ser calculados separadamente como

begin {eqnarray}
a_ {2m + 2} & = & - {p (2m) over (2m + 2) (2m + 1)} a_ {2m}, quad m ge0 label {eq: 3.2.26}
a_ {2m + 3} & = & - {p (2m + 1) over (2m + 3) (2m + 2)} a_ {2m + 1}, quad m ge0, label {eq: 3.2. 27}
end {eqnarray}

onde (a_0 ) e (a_1 ) são arbitrários.

Prova

Aqui

begin {eqnarray *}
Ly = left (1+ alpha (x-x_0 right) ^ 2) y '' + beta (x-x_0) y '+ gamma y.
end {eqnarray *}

Se

begin {eqnarray *}
y = sum_ {n = 0} ^ infty a_n (x-x_0) ^ n,
end {eqnarray *}

então

begin {eqnarray *}
y '= sum_ {n = 1} ^ infty na_n (x-x_0) ^ {n-1} quad mbox {e} quad y' '= sum_ {n = 2} ^ infty n ( n-1) a_n (x-x_0) ^ {n-2}.
end {eqnarray *}

Por isso,

begin {eqnarray *}
begin {array} {ccl}
Ly & = & displaystyle { sum_ {n = 2} ^ infty n (n-1) a_n (x-x_0) ^ {n-2} +
sum_ {n = 0} ^ infty left [ alpha
n (n-1)
+ beta n + gamma right] a_n (x-x_0) ^ n}
& = & displaystyle { sum_ {n = 2} ^ infty n (n-1) a_n (x-x_0) ^ {n-2} + sum_ {n = 0} ^ infty
p (n) a_n (x-x_0) ^ n},
end {array}
end {eqnarray *}

de eqref {eq: 3.2.25}. Para coletar coeficientes de potências de (x-x_0 ), mudamos o índice de soma na primeira soma. Isso produz

begin {eqnarray *}
Ly = sum_ {n = 0} ^ infty left [(n + 2) (n + 1) a_ {n + 2} + p (n) a_n right] (x-x_0) ^ n.
end {eqnarray *}

Assim, (Ly = 0 ) se e somente se

begin {eqnarray *}
(n + 2) (n + 1) a_ {n + 2} + p (n) a_n = 0, quad n ge0,
end {eqnarray *}

que é equivalente a eqref {eq: 3.2.24}. Escrever eqref {eq: 3.2.24} separadamente para os casos em que (n = 2m ) e (n = 2m + 1 ) resulta em eqref {eq: 3.2.26} e eqref {eq: 3.2. 27}.

Exemplo ( PageIndex {3} )

Encontre a série de potências em (x-1 ) para a solução geral de

begin {equation} label {eq: 3.2.28}
(2 + 4x-2x ^ 2) y '' - 12 (x-1) y'-12y = 0.
end {equação}

Responder

Devemos primeiro escrever o coeficiente (P_0 (x) = 2 + 4x-x ^ 2 ) em potências de (x-1 ). Para fazer isso, escrevemos (x = (x-1) +1 ) em (P_0 (x) ) e, em seguida, expandimos os termos, coletando poderes de (x-1 ); portanto,

begin {eqnarray *}
2 + 4x-2x ^ 2 & = & 2 + 4 [(x-1) +1] -2 [(x-1) +1] ^ 2
& = & 4-2 (x-1) ^ 2.
end {eqnarray *}

Portanto, podemos reescrever eqref {eq: 3.2.28} como

begin {eqnarray *}
left (4-2 (x-1) ^ 2 right) y '' - 12 (x-1) y'-12y = 0,
end {eqnarray *}

ou equivalente,

begin {eqnarray *}
left (1- {1 over2} (x-1) ^ 2 right) y '' - 3 (x-1) y'-3y = 0.
end {eqnarray *}

Tem o formato eqref {eq: 3.2.23} com ( alpha = -1 / 2 ), ( beta = -3 ) e ( gamma = -3 ). Portanto, de eqref {eq: 3.2.25}

begin {eqnarray *}
p (n) = - {n (n-1) over2} -3n-3 = - {(n + 2) (n + 3) over2}.
end {eqnarray *}

Portanto, o Teorema ((3.2.2) ) implica que

begin {eqnarray *}
a_ {2m + 2} & = & - {p (2m) over (2m + 2) (2m + 1)} a_ {2m}
& = & {(2m + 2) (2m + 3) over2 (2m + 2) (2m + 1)} a_ {2m} = {2m + 3 over2 (2m + 1)} a_ {2m}, quad m ge0
a_ {2m + 3} & = & - {p (2m + 1) over (2m + 3) (2m + 2)} a_ {2m + 1}
& = & {(2m + 3) (2m + 4) over2 (2m + 3) (2m + 2)} a_ {2m + 1} = {m + 2 over2 (m + 1)} a_ {2m + 1}, quad m ge0.
end {eqnarray *}

Deixamos isso para você mostrar que

begin {eqnarray *}
a_ {2m} = {2m + 1 over2 ^ m} a_0 quad mbox {e} quad a_ {2m + 1} = {m + 1 over2 ^ m} a_1, quad m ge0,
end {eqnarray *}

o que implica que a série de potências em (x-1 ) para a solução geral de eqref {eq: 3.2.28} é

begin {eqnarray *}
y = a_0 sum_ {m = 0} ^ infty {2m + 1 over2 ^ m} (x-1) ^ {2m} + a_1 sum_ {m = 0} ^ infty {m + 1 over2 ^ m} (x-1) ^ {2m + 1}.
end {eqnarray *}

Nos exemplos considerados até agora conseguimos obter fórmulas fechadas para os coeficientes nas soluções das séries de potências. Em alguns casos, isso é impossível e devemos nos contentar em calcular um número finito de termos na série. O próximo exemplo ilustra isso com um problema de valor inicial.

Exemplo ( PageIndex {4} )

Calcule (a_0 ), (a_1 ), ( dots ), (a_7 ) na solução em série (y = sum_ {n = 0} ^ infty a_nx ^ n ) do problema de valor inicial

begin {equation} label {eq: 3.2.29}
(1 + 2x ^ 2) y '' + 10xy '+ 8y = 0, quad y (0) = 2, quad y' (0) = - 3.
end {equação}

Responder

Uma vez que ( alpha = 2 ), ( beta = 10 ) e ( gamma = 8 ) em eqref {eq: 3.2.29},

begin {eqnarray *}
p (n) = 2n (n-1) + 10n + 8 = 2 (n + 2) ^ 2.
end {eqnarray *}

Portanto

begin {eqnarray *}
a_ {n + 2} = - 2 {(n + 2) ^ 2 over (n + 2) (n + 1)} a_n = -2 {n + 2 over n + 1} a_n, quad n ge0.
end {eqnarray *}

Escrever esta equação separadamente para (n = 2m ) e (n = 2m + 1 ) resulta

begin {eqnarray}
a_ {2m + 2} & = & - 2 {(2m + 2) over2m + 1} a_ {2m} = - 4 {m + 1 over2m + 1} a_ {2m}, quad m ge 0 rótulo {eq: 3.2.30}
a_ {2m + 3} & = & - 2 {2m + 3 over2m + 2} a_ {2m + 1} = - {2m + 3 over m + 1} a_ {2m + 1}, quad m ge0 . label {eq: 3.2.31}
end {eqnarray}

Começando com (a_0 = y (0) = 2 ), calculamos (a_2, a_4 ) e (a_6 ) de eqref {eq: 3.2.30}:

begin {eqnarray *}
a_2 & = & - 4 , {1 over1} 2 = -8,
a_4 & = & - 4 , {2 over3} (- 8) = {64 over3},
a_6 & = & - 4 , {3 over5} left (64 over3 right) = - {256 over5}.
end {eqnarray *}

Começando com (a_1 = y '(0) = - 3 ), calculamos (a_3, a_5 ) e (a_7 ) de eqref {eq: 3.2.31}:

begin {eqnarray *}
a_3 & = & - {3 over1} (- 3) = 9,
a_5 & = & - {5 over2} 9 = - {45 over2},
a_7 & = & - {7 over3} left (- {45 over2} right) = {105 over2}.
end {eqnarray *}

Portanto, a solução de eqref {eq: 3.2.29} é

begin {eqnarray *}
y = 2-3x-8x ^ 2 + 9x ^ 3 + {64 over3} x ^ 4- {45 over2} x ^ 5- {256 over5} x ^ 6 + {105 over2} x ^ 7 + cdots ; .
end {eqnarray *}

Calcular coeficientes recursivamente como no Exemplo ((3.2.4) ) é tedioso. Recomendamos que você faça esse tipo de cálculo escrevendo um pequeno programa para implementar a relação de recorrência apropriada em uma calculadora ou computador. Você pode querer fazer isso em
verificar exemplos e fazer exercícios (identificados pelo símbolo Cex) neste capítulo que exigem o cálculo numérico dos coeficientes em soluções de série. Obtivemos as respostas a esses exercícios usando um software que pode produzir respostas na forma de números racionais. No entanto, é perfeitamente aceitável - e mais prático - obter suas respostas na forma decimal. Você sempre pode verificá-los convertendo nossas frações em decimais.

Se você estiver interessado em realmente usar séries para calcular aproximações numéricas para soluções de uma equação diferencial, então se há ou não uma forma fechada simples para os coeficientes é essencialmente irrelevante. Para fins computacionais, geralmente é mais eficiente começar com os coeficientes dados (a_0 = y (x_0) ) e (a_1 = y '(x_0) ), calcular (a_2 ), ( pontos ), (a_N ) recursivamente e, em seguida, calcule os valores aproximados da solução do polinômio de Taylor

begin {eqnarray *}
T_N (x) = sum_ {n = 0} ^ Na_n (x-x_0) ^ n.
end {eqnarray *}

O truque é decidir como escolher (N ) para que a aproximação (y (x) aprox T_N (x) ) seja suficientemente precisa no subintervalo do intervalo de convergência em que você está interessado. exercícios computacionais nesta e nas próximas duas seções, muitas vezes você será solicitado a obter a solução de um determinado problema por integração numérica com o software de sua escolha (consulte a Seção (3.1) ) para uma breve discussão de um desses métodos), e comparar a solução obtida desta forma com as aproximações obtidas com (T_N ) para vários valores de (N ). Este é um tipo de exercício típico de livro didático, projetado para lhe dar uma ideia de como a precisão da aproximação (y (x) approx T_N (x) ) se comporta como uma função de (N ) e o intervalo que você está trabalhando. Na vida real, você escolheria um ou outro dos dois métodos (integração numérica ou solução em série). Se você escolher o método de solução em série, um procedimento prático para determinar um valor adequado de (N ) é continuar aumentando (N ) até o máximo de (| T_N-T_ {N-1} | ) no intervalo de interesse está dentro da margem de erro que você deseja aceitar.

Ao resolver problemas computacionais que exigem solução numérica de equações diferenciais, você deve escolher o procedimento de integração numérica mais preciso que seu software suporta e experimentar o tamanho do passo até ter certeza de que os resultados numéricos são suficientemente precisos para o problema em questão.


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