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5.7: Coordenadas cilíndricas e esféricas


O sistema de coordenadas cartesianas fornece uma maneira direta de descrever a localização de pontos no espaço. Da mesma forma, coordenadas esféricas são úteis para lidar com problemas envolvendo esferas, como encontrar o volume de estruturas em cúpula.

Coordenadas Cilíndricas

Quando expandimos o sistema de coordenadas cartesiano tradicional de duas para três dimensões, simplesmente adicionamos um novo eixo para modelar a terceira dimensão. Começando com as coordenadas polares, podemos seguir esse mesmo processo para criar um novo sistema de coordenadas tridimensional, chamado sistema de coordenadas cilíndricas. Desta forma, as coordenadas cilíndricas fornecem uma extensão natural das coordenadas polares para três dimensões.

Definição: O Sistema de Coordenadas Cilíndricas

No sistema de coordenadas cilíndricas, um ponto no espaço (Figura ( PageIndex {1} )) é representado pelo triplo ordenado ((r, θ, z) ), onde

  • ((r, θ) ) são as coordenadas polares da projeção do ponto no plano (xy )
  • (z ) é o usual (z ) -coordenada no sistema de coordenadas cartesianas

No plano (xy ) -, o triângulo retângulo mostrado na Figura fornece a chave para a transformação entre as coordenadas cilíndricas e cartesianas, ou retangulares.

Conversão entre coordenadas cilíndricas e cartesianas

As coordenadas retangulares ((x, y, z) ) e as coordenadas cilíndricas ((r, θ, z) ) de um ponto estão relacionadas da seguinte forma:

Essas equações são usadas para converter de coordenadas cilíndricas em coordenadas retangulares.

  • (x = r cos θ )
  • (y = r sin θ )
  • (z = z )

Essas equações são usadas para converter de coordenadas retangulares em coordenadas cilíndricas

  1. (r ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 )
  2. ( tan θ = frac {y} {x} )
  3. (z = z )

Como quando discutimos a conversão de coordenadas retangulares em coordenadas polares em duas dimensões, deve-se notar que a equação ( tan θ = frac {y} {x} ) tem um número infinito de soluções. No entanto, se restringirmos (θ ) a valores entre (0 ) e (2π ), podemos encontrar uma solução única com base no quadrante do plano (xy ) no qual o ponto original ((x, y, z) ) está localizado. Observe que se (x = 0 ), então o valor de (θ ) é ( frac {π} {2}, frac {3π} {2}, ) ou (0 ) , dependendo do valor de (y ).

Observe que essas equações são derivadas de propriedades de triângulos retângulos. Para tornar isso fácil de ver, considere o ponto (P ) no (xy ) - plano com coordenadas retangulares ((x, y, 0) ) e com coordenadas cilíndricas ((r, θ, 0) ), conforme mostrado na Figura ( PageIndex {2} ).

Vamos considerar as diferenças entre as coordenadas retangulares e cilíndricas, olhando para as superfícies geradas quando cada uma das coordenadas é mantida constante. Se (c ) for uma constante, então em coordenadas retangulares, as superfícies da forma (x = c, y = c, ) ou (z = c ) são todas planas. Os planos dessas formas são paralelos ao plano (yz ), ao plano (xz ) e ao plano (xy ), respectivamente. Quando convertemos para coordenadas cilíndricas, a coordenada (z ) - não muda. Portanto, em coordenadas cilíndricas, as superfícies da forma (z = c ) são planos paralelos ao plano (xy ). Agora, vamos pensar sobre as superfícies da forma (r = c ). Os pontos nessas superfícies estão a uma distância fixa do eixo (z ). Em outras palavras, essas superfícies são cilindros circulares verticais. Por último, e quanto a (θ = c )? Os pontos em uma superfície da forma (θ = c ) estão em um ângulo fixo do eixo (x ), o que nos dá um semiplano que começa no eixo (z ) (Figuras ( PageIndex {3} ) e ( PageIndex {4} )).

Exemplo ( PageIndex {1} ): Conversão de coordenadas cilíndricas para retangulares

Trace o ponto com coordenadas cilíndricas ((4 frac {2π} {3}, - 2) ) e expresse sua localização em coordenadas retangulares.

Solução

A conversão de coordenadas cilíndricas para retangulares requer uma aplicação simples das equações listadas na Nota:

[ begin {align *} x & = r cos θ = 4 cos frac {2π} {3} = - 2 [5pt] y & = r sin θ = 4 sin frac {2π} { 3} = 2 sqrt {3} [5pt] z & = - 2 end {alinhar *}. ]

O ponto com coordenadas cilíndricas ((4, frac {2π} {3}, - 2) ) tem coordenadas retangulares ((- 2,2 sqrt {3}, - 2) ) (Figura ( PageIndex {5} )).

Exercício ( PageIndex {1} )

O ponto (R ) possui coordenadas cilíndricas ((5, frac {π} {6}, 4) ). Plote (R ) e descreva sua localização no espaço usando coordenadas retangulares ou cartesianas.

Dica

Os primeiros dois componentes correspondem às coordenadas polares do ponto no plano (xy ).

Responder

As coordenadas retangulares do ponto são (( frac {5 sqrt {3}} {2}, frac {5} {2}, 4). )

Se esse processo parece familiar, é por um bom motivo. Este é exatamente o mesmo processo que seguimos em Introdução às equações paramétricas e coordenadas polares para converter de coordenadas polares em coordenadas retangulares bidimensionais.

Exemplo ( PageIndex {2} ): Conversão de coordenadas retangulares em cilíndricas

Converta as coordenadas retangulares ((1, −3,5) ) em coordenadas cilíndricas.

Solução

Use o segundo conjunto de equações da Nota para traduzir de coordenadas retangulares para cilíndricas:

[ begin {align *} r ^ 2 & = x ^ 2 + y ^ 2 [5pt] r & = ± sqrt {1 ^ 2 + (- 3) ^ 2} [5pt] & = ± sqrt {10}. end {align *} ]

Escolhemos a raiz quadrada positiva, então (r = sqrt {10} ). Agora, aplicamos a fórmula para encontrar (θ ). Neste caso, (y ) é negativo e (x ) é positivo, o que significa que devemos selecionar o valor de (θ ) entre ( frac {3π} {2} ) e (2π ):

[ begin {align *} tan θ & = frac {y} {x} = frac {−3} {1} [5pt] θ & = arctan (−3) ≈5,03 , texto {rad.} end {alinhar *} ]

Neste caso, o z-coordenadas são as mesmas em coordenadas retangulares e cilíndricas:

[z = 5. enhum número]

O ponto com coordenadas retangulares ((1, −3,5) ) tem coordenadas cilíndricas aproximadamente iguais a (( sqrt {10}, 5.03,5). )

Exercício ( PageIndex {2} )

Converta o ponto ((- 8,8, −7) ) de coordenadas cartesianas em coordenadas cilíndricas.

Dica

(r ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 ) e ( tan θ = frac {y} {x} )

Responder

(8 sqrt {2}, frac {3π} {4}, - 7) )

O uso de coordenadas cilíndricas é comum em campos como a física. Os físicos que estudam as cargas elétricas e os capacitores usados ​​para armazená-las descobriram que esses sistemas às vezes têm uma simetria cilíndrica. Esses sistemas têm equações de modelagem complicadas no sistema de coordenadas cartesianas, o que os torna difíceis de descrever e analisar. As equações geralmente podem ser expressas em termos mais simples usando coordenadas cilíndricas. Por exemplo, o cilindro descrito pela equação (x ^ 2 + y ^ 2 = 25 ) no sistema cartesiano pode ser representado pela equação cilíndrica (r = 5 ).

Exemplo ( PageIndex {3} ): Identificação de superfícies no sistema de coordenadas cilíndricas

Descreva as superfícies com as equações cilíndricas fornecidas.

  1. (θ = frac {π} {4} )
  2. (r ^ 2 + z ^ 2 = 9 )
  3. (z = r )

Solução

uma. Quando o ângulo (θ ) é mantido constante enquanto (r ) e (z ) podem variar, o resultado é um semiplano (Figura ( PageIndex {6} )).

b. Substitua (r ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 ) na equação (r ^ 2 + z ^ 2 = 9 ) para expressar a forma retangular da equação: (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 9 ). Esta equação descreve uma esfera centrada na origem com raio 3 (Figura ( PageIndex {7} )).

c. Para descrever a superfície definida pela equação (z = r ), é útil examinar os traços paralelos ao plano (xy ). Por exemplo, o traço no plano (z = 1 ) é círculo (r = 1 ), o traço no plano (z = 3 ) é círculo (r = 3 ) e assim por diante. Cada traço é um círculo. Conforme o valor de (z ) aumenta, o raio do círculo também aumenta. A superfície resultante é um cone (Figura ( PageIndex {8} )).

Exercício ( PageIndex {3} )

Descreva a superfície com a equação cilíndrica (r = 6 ).

Dica

Os componentes (θ ) e (z ) dos pontos na superfície podem assumir qualquer valor.

Responder

Esta superfície é um cilindro com raio (6 ).

Coordenadas Esféricas

No sistema de coordenadas cartesianas, a localização de um ponto no espaço é descrita usando uma tripla ordenada em que cada coordenada representa uma distância. No sistema de coordenadas cilíndricas, a localização de um ponto no espaço é descrita usando duas distâncias ((r ) e (z) ) e uma medida de ângulo ((θ) ). No sistema de coordenadas esféricas, novamente usamos uma tripla ordenada para descrever a localização de um ponto no espaço. Nesse caso, o triplo descreve uma distância e dois ângulos. As coordenadas esféricas facilitam a descrição de uma esfera, assim como as coordenadas cilíndricas facilitam a descrição de um cilindro. As linhas de grade para coordenadas esféricas são baseadas em medidas angulares, como aquelas para coordenadas polares.

Definição: sistema de coordenadas esféricas

No sistema de coordenadas esféricas, um ponto (P ) no espaço (Figura) é representado pelo triplo ordenado ((ρ, θ, φ) ) onde

  • (ρ ) (a letra grega rho) é a distância entre (P ) e a origem ((ρ ≠ 0); )
  • (θ ) é o mesmo ângulo usado para descrever a localização em coordenadas cilíndricas;
  • (φ ) (a letra grega phi) é o ângulo formado pelo eixo positivo (z ) - eixo e segmento de reta ( bar {OP} ), onde (O ) é a origem e ( 0≤φ≤π. )

Por convenção, a origem é representada como ((0,0,0) ) em coordenadas esféricas.

COMO: Convertendo entre coordenadas esféricas, cilíndricas e retangulares

Coordenadas retangulares ((x, y, z) ), coordenadas cilíndricas ((r, θ, z), ) e coordenadas esféricas ((ρ, θ, φ) ) de um ponto estão relacionadas da seguinte forma:

Converter de coordenadas esféricas em coordenadas retangulares

Essas equações são usadas para converter de coordenadas esféricas em coordenadas retangulares.

  • (x = ρ sin φ cos θ )
  • (y = ρ sin φ sin θ )
  • (z = ρ cos φ )

Converter de coordenadas retangulares em coordenadas esféricas

Essas equações são usadas para converter de coordenadas retangulares em coordenadas esféricas.

  • (ρ ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 )
  • ( tan θ = frac {y} {x} )
  • (φ = arccos ( frac {z} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2}}). )

Converter de coordenadas esféricas em coordenadas retangulares

Essas equações são usadas para converter de coordenadas esféricas em coordenadas retangulares.

  • (r = ρ sin φ )
  • (θ = θ )
  • (z = ρ cos φ )

Converter de coordenadas cilíndricas em coordenadas esféricas

Essas equações são usadas para converter de coordenadas cilíndricas em coordenadas esféricas.

  • (ρ = sqrt {r ^ 2 + z ^ 2} )
  • (θ = θ )
  • (φ = arccos ( frac {z} { sqrt {r ^ 2 + z ^ 2}}) )

As fórmulas para converter de coordenadas esféricas em coordenadas retangulares podem parecer complexas, mas são aplicações diretas de trigonometria. Olhando a Figura, é fácil ver que (r = ρ sin φ ). Então, olhando para o triângulo no plano (xy ) com r como sua hipotenusa, temos (x = r cos θ = ρ sin φ cos θ ). A derivação da fórmula para (y ) é semelhante. A figura também mostra que (ρ ^ 2 = r ^ 2 + z ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 ) e (z = ρ cos φ ). Resolver esta última equação para (φ ) e então substituir (ρ = sqrt {r ^ 2 + z ^ 2} ) (da primeira equação) resulta em (yield = arccos ( frac {z} { sqrt {r ^ 2 + z ^ 2}}) ). Além disso, observe que, como antes, devemos ter cuidado ao usar a fórmula ( tan θ = frac {y} {x} ) para escolher o valor correto de (θ ).

Como fizemos com as coordenadas cilíndricas, vamos considerar as superfícies que são geradas quando cada uma das coordenadas é mantida constante. Seja (c ) uma constante e considere as superfícies da forma (ρ = c ). Os pontos nessas superfícies estão a uma distância fixa da origem e formam uma esfera. A coordenada (θ ) no sistema de coordenadas esféricas é a mesma que no sistema de coordenadas cilíndricas, então as superfícies da forma (θ = c ) são semiplanos, como antes. Por último, considere as superfícies da forma (φ = 0 ). Os pontos nessas superfícies estão em um ângulo fixo do eixo (z ) e formam um meio-cone (Figura ( PageIndex {11} )).

Exemplo ( PageIndex {4} ): Convertendo a partir de coordenadas esféricas

Trace o ponto com coordenadas esféricas ((8, frac {π} {3}, frac {π} {6}) ) e expresse sua localização em coordenadas retangulares e cilíndricas.

Solução

Use as equações em Nota para traduzir entre as coordenadas esféricas e cilíndricas (Figura ( PageIndex {12} )):

[ begin {align *} x & = ρ sin φ cos θ [5pt] & = 8 sin ( frac {π} {6}) cos ( frac {π} {3}) [5pt] & = 8 ( frac {1} {2}) frac {1} {2} [5pt] & = 2 [5pt] y & = ρ sin φ sin θ [5pt] & = 8 sin ( frac {π} {6}) sin ( frac {π} {3}) [5pt] & = 8 ( frac {1} {2}) frac { sqrt {3}} {2} [5pt] & = 2 sqrt {3} [5pt] z & = ρ cos φ [5pt] & = 8 cos ( frac {π } {6}) [5pt] & = 8 ( frac { sqrt {3}} {2}) [5pt] & = 4 sqrt {3} end {align *} ]

O ponto com coordenadas esféricas ((8, frac {π} {3}, frac {π} {6}) ) tem coordenadas retangulares ((2,2 sqrt {3}, 4 sqrt {3 }). )

Encontrar os valores em coordenadas cilíndricas é igualmente simples:

[ begin {align *} r = ρsinφ [5pt] & = 8sin frac {π} {6} = 4 end {align *} ]

[θ = θ nonumber ]

[ begin {align *} z = ρ cos φ [5pt] & = 8 cos frac {π} {6} [5pt] & = 4 sqrt {3}. end {align *} ]

Assim, as coordenadas cilíndricas para o ponto são ((4, frac {π} {3}, 4 sqrt {3}) ).

Exercício ( PageIndex {4} )

Trace o ponto com coordenadas esféricas ((2, - frac {5π} {6}, frac {π} {6}) ) e descreva sua localização em coordenadas retangulares e cilíndricas.

Dica

Converter as coordenadas primeiro pode ajudar a encontrar a localização do ponto no espaço com mais facilidade.

Responder

Cartesiano: ((- frac { sqrt {3}} {2}, - frac {1} {2}, sqrt {3}), ) cilíndrico: ((1, - frac {5π } {6}, sqrt {3}) )

Exemplo ( PageIndex {5} ): Convertendo de coordenadas retangulares

Converta as coordenadas retangulares ((- 1,1, sqrt {6}) ) em coordenadas esféricas e cilíndricas.

Solução

Comece convertendo de coordenadas retangulares em esféricas:

(ρ ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = (- 1) ^ 2 + 1 ^ 2 + ( sqrt {6}) ^ 2 = 8 ) (tanθ = frac {1 } {- 1} )

(ρ = 2 sqrt {2} ) (θ = arctan (−1) = frac {3π} {4} ).

Porque ((x, y) = (- 1,1) ), então a escolha correta para θ é ( frac {3π} {4} ).

Na verdade, existem duas maneiras de identificar (φ ). Podemos usar a equação (φ = arccos ( frac {z} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2}}) ). Uma abordagem mais simples, no entanto, é usar a equação (z = ρ cos φ. ) Sabemos que (z = sqrt {6} ) e (ρ = 2 sqrt {2} ), assim

( sqrt {6} = 2 sqrt {2} cos φ, ) então cos (φ = frac { sqrt {6}} {2 sqrt {2}} = frac { sqrt {3}} {2} )

e, portanto, (φ = frac {π} {6} ). As coordenadas esféricas do ponto são ((2 sqrt {2}, frac {3π} {4}, frac {π} {6}). )

Para encontrar as coordenadas cilíndricas do ponto, precisamos apenas encontrar r:

(r = ρ sin φ = 2 sqrt {2} sin ( frac {π} {6}) = sqrt {2}. )

As coordenadas cilíndricas para o ponto são (( sqrt {2}, frac {3π} {4}, sqrt {6}) ).

Exemplo ( PageIndex {6} ): Identificação de superfícies no sistema de coordenadas esféricas

Descreva as superfícies com as equações esféricas fornecidas.

  1. (θ = frac {π} {3} )
  2. (φ = frac {5π} {6} )
  3. (ρ = 6 )
  4. (ρ = sin θsinφ )

Solução

uma. A variável (θ ) representa a medida do mesmo ângulo nos sistemas de coordenadas cilíndricas e esféricas. Pontos com coordenadas ((ρ, frac {π} {3}, φ) ) se encontram no plano que forma o ângulo (θ = frac {π} {3} ) com o positivo (x ) -eixo. Porque (ρ> 0 ), a superfície descrita pela equação (θ = frac {π} {3} ) é o semiplano mostrado na Figura ( PageIndex {13} ).

b. A equação (φ = frac {5π} {6} ) descreve todos os pontos no sistema de coordenadas esféricas que se encontram em uma linha da origem, formando um ângulo medindo ( frac {5π} {6} ) rad com o eixo (z ) positivo. Esses pontos formam um meio cone (Figura). Como há apenas um valor para (φ ) que é medido a partir do eixo (z ) positivo, não obtemos o cone cheio (com duas peças).

Para encontrar a equação em coordenadas retangulares, use a equação (φ = arccos ( frac {z} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2}}). )

( frac {5π} {6} = arccos ( frac {z} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2}}) )

( cos frac {5π} {6} = frac {z} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2}} )

(- frac { sqrt {3}} {2} = frac {z} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2}} )

( frac {3} {4} = frac {z ^ 2} {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2} )

( frac {3x ^ 2} {4} + frac {3y ^ 2} {4} + frac {3z ^ 2} {4} = z ^ 2 )

( frac {3x ^ 2} {4} + frac {3y ^ 2} {4} - frac {z ^ 2} {4} = 0. )

Esta é a equação de um cone centrado no eixo (z ).

c. A equação (ρ = 6 ) descreve o conjunto de todos os pontos (6 ) unidades de distância da origem - uma esfera com raio (6 ) (Figura ( PageIndex {15} )).

d. Para identificar esta superfície, converta a equação de coordenadas esféricas para retangulares, usando as equações (y = ρsinφ sin θ ) e (ρ ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2: )

(ρ = sin θsinφ )

(ρ ^ 2 = ρ sin θ sin φ ) Multiplique ambos os lados da equação por (ρ ).

(x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = y ) Substitua variáveis ​​retangulares usando as equações acima.

(x ^ 2 + y ^ 2 − y + z ^ 2 = 0 ) Subtraia (y ) de ambos os lados da equação.

(x ^ 2 + y ^ 2 − y + frac {1} {4} + z ^ 2 = frac {1} {4} ) Complete o quadrado.

(x ^ 2 + (y− frac {1} {2}) ^ 2 + z ^ 2 = frac {1} {4} ). Reescreva os termos do meio como um quadrado perfeito.

A equação descreve uma esfera centrada no ponto ((0, frac {1} {2}, 0) ) com raio ( frac {1} {2} ).

Exercício ( PageIndex {5} )

Descreva as superfícies definidas pelas seguintes equações.

  1. (ρ = 13 )
  2. (θ = frac {2π} {3} )
  3. (φ = frac {π} {4} )
Dica

Pense no que cada componente representa e o que significa mantê-lo constante.

Responder a

Este é o conjunto de todas as unidades de pontos (13 ) a partir da origem. Este conjunto forma uma esfera com raio (13 ).

Resposta b

Este conjunto de pontos forma um meio plano. O ângulo entre o meio plano e o eixo positivo (x ) é (θ = frac {2π} {3}. )

Resposta c

Seja (P ) um ponto nesta superfície. O vetor posição deste ponto forma um ângulo de (φ = frac {π} {4} ) com o eixo (z ) positivo, o que significa que os pontos mais próximos da origem estão mais próximos do eixo. Esses pontos formam um meio cone.

As coordenadas esféricas são úteis na análise de sistemas que têm algum grau de simetria sobre um ponto, como o volume do espaço dentro de um estádio abobadado ou a velocidade do vento na atmosfera de um planeta. Uma esfera que possui a equação cartesiana (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = c ^ 2 ) possui a equação simples (ρ = c ) em coordenadas esféricas.

Na geografia, latitude e longitude são usadas para descrever locais na superfície da Terra, conforme mostrado na Figura. Embora a forma da Terra não seja uma esfera perfeita, usamos coordenadas esféricas para comunicar a localização dos pontos na Terra. Vamos supor que a Terra tenha a forma de uma esfera com raio (4000 ) mi. Expressamos medidas angulares em graus em vez de radianos porque a latitude e a longitude são medidas em graus.

Deixe o centro da Terra ser o centro da esfera, com o raio do centro através do Pólo Norte representando o eixo (z ) positivo. O meridiano principal representa o traço da superfície conforme ele intercepta o plano (xz ). O equador é o traço da esfera que cruza o plano (xy ).

Exemplo ( PageIndex {7} ): Conversão de latitude e longitude em coordenadas esféricas

A latitude de Columbus, Ohio, é (40 ° ) N e a longitude é (83 ° ) W, o que significa que Colombo está (40 ° ) ao norte do equador. Imagine um raio do centro da Terra através de Colombo e um raio do centro da Terra através do equador diretamente ao sul de Colombo. A medida do ângulo formado pelos raios é (40 ° ). Da mesma forma, medindo a partir do meridiano principal, Colombo está (83 ° ) para o oeste. Expresse a localização de Colombo em coordenadas esféricas.

Solução

O raio da Terra é (4000 ) mi, então (ρ = 4000 ). A intersecção do meridiano principal e do equador encontra-se no eixo positivo (x ). O movimento para o oeste é então descrito com medidas de ângulo negativo, o que mostra que (θ = −83 ° ), porque Colombo está (40 ° ) ao norte do equador, ele fica (50 ° ) ao sul do Pólo Norte, então (φ = 50 ° ). Em coordenadas esféricas, Colombo encontra-se no ponto ((4000, −83 °, 50 °). )

Exercício ( PageIndex {6} )

Sydney, Austrália, está em (34 ° S ) e (151 ° E. ) Expressa localização de Sydney em coordenadas esféricas.

Dica

Como Sydney fica ao sul do equador, precisamos adicionar (90 ° ) para encontrar o ângulo medido a partir do eixo (z ) positivo.

Responder

((4000,151°,124°))

Coordenadas cilíndricas e esféricas nos dão a flexibilidade de selecionar um sistema de coordenadas apropriado para o problema em questão. Uma escolha cuidadosa do sistema de coordenadas pode tornar um problema muito mais fácil de resolver, ao passo que uma escolha inadequada pode levar a cálculos desnecessariamente complexos. No exemplo a seguir, examinamos vários problemas diferentes e discutimos como selecionar o melhor sistema de coordenadas para cada um.

Exemplo ( PageIndex {8} ): Escolhendo o melhor sistema de coordenadas

Em cada uma das seguintes situações, determinamos qual sistema de coordenadas é mais apropriado e descrevemos como orientaríamos os eixos de coordenadas. Pode haver mais de uma resposta certa para como os eixos devem ser orientados, mas selecionamos uma orientação que faz sentido no contexto do problema. Nota: Não há informações suficientes para configurar ou resolver esses problemas; simplesmente selecionamos o sistema de coordenadas (Figura ( PageIndex {17} )).

  1. Encontre o centro de gravidade de uma bola de boliche.
  2. Determine a velocidade de um submarino submetido a uma corrente oceânica.
  3. Calcule a pressão em um tanque de água cônico.
  4. Encontre o volume de óleo fluindo por um oleoduto.
  5. Determine a quantidade de couro necessária para fazer uma bola de futebol.

Solução

  1. Claramente, uma bola de boliche é uma esfera, então as coordenadas esféricas provavelmente funcionariam melhor aqui. A origem deve estar localizada no centro físico da bola. Não há uma escolha óbvia para como os eixos (x ) -, (y ) - e (z ) - devem ser orientados. As bolas de boliche normalmente têm um bloco de peso no centro. Uma escolha possível é alinhar o eixo (z ) - com o eixo de simetria do bloco de peso.
  2. Um submarino geralmente se move em linha reta. Não há simetria rotacional ou esférica que se aplique nesta situação, portanto, as coordenadas retangulares são uma boa escolha. O eixo (z ) - provavelmente deve apontar para cima. Os eixos (x ) - e (y ) - podem ser alinhados para apontar para o leste e norte, respectivamente. A origem deve ser algum local físico conveniente, como a posição inicial do submarino ou a localização de um porto específico.
  3. Um cone possui vários tipos de simetria. Em coordenadas cilíndricas, um cone pode ser representado pela equação (z = kr, ) onde (k ) é uma constante. Em coordenadas esféricas, vimos que as superfícies da forma (φ = c ) são semicones. Por último, em coordenadas retangulares, os cones elípticos são superfícies quádricas e podem ser representados por equações da forma (z ^ 2 = frac {x ^ 2} {a ^ 2} + frac {y ^ 2} {b ^ 2 }. ) Neste caso, podemos escolher qualquer um dos três. No entanto, a equação para a superfície é mais complicada em coordenadas retangulares do que nos outros dois sistemas, portanto, podemos querer evitar essa escolha. Além disso, estamos falando de um tanque de água, e a profundidade da água pode entrar em jogo em algum ponto de nossos cálculos, então pode ser bom ter um componente que represente diretamente a altura e a profundidade. Com base nesse raciocínio, as coordenadas cilíndricas podem ser a melhor escolha. Escolha o eixo (z ) - para alinhar com o eixo do cone. A orientação dos outros dois eixos é arbitrária. A origem deve ser o ponto inferior do cone.
  4. Um pipeline é um cilindro, portanto, as coordenadas cilíndricas seriam a melhor escolha. Neste caso, entretanto, provavelmente escolheríamos orientar nosso eixo (z ) - com o eixo central do pipeline. O eixo (x ) - pode ser escolhido para apontar diretamente para baixo ou para alguma outra direção lógica. A origem deve ser escolhida com base na definição do problema. Observe que isso coloca o (z )-eixo em uma orientação horizontal, que é um pouco diferente do que costumamos fazer. Pode fazer sentido escolher uma orientação incomum para os eixos, se isso fizer sentido para o problema.
  5. Uma bola de futebol tem simetria rotacional em torno de um eixo central, então as coordenadas cilíndricas funcionariam melhor. O eixo (z ) - deve se alinhar com o eixo da bola. A origem pode ser o centro da bola ou talvez uma das pontas. A posição do eixo (x ) é arbitrária.

Exercício ( PageIndex {7} )

Qual sistema de coordenadas é mais apropriado para criar um mapa estelar, visto da Terra (veja a figura a seguir)?

Como devemos orientar os eixos coordenados?

Dica

Que tipo de simetria está presente nesta situação?

Responder

Coordenadas esféricas com a origem localizada no centro da Terra, o eixo (z ) - alinhado com o Pólo Norte, e o eixo (x ) - alinhado com o meridiano principal

Conceitos chave

  • No sistema de coordenadas cilíndricas, um ponto no espaço é representado pelo triplo ordenado ((r, θ, z), ) onde ((r, θ) ) representa as coordenadas polares da projeção do ponto no ( xy ) - plano e z representa a projeção do ponto no eixo (z ).
  • Para converter um ponto de coordenadas cilíndricas em coordenadas cartesianas, use as equações (x = r cos θ, y = r sin θ, ) e (z = z. )
  • Para converter um ponto de coordenadas cartesianas em coordenadas cilíndricas, use as equações (r ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2, tan θ = frac {y} {x}, ) e (z = z. )
  • No sistema de coordenadas esféricas, um ponto (P ) no espaço é representado pelo triplo ordenado ((ρ, θ, φ) ), onde (ρ ) é a distância entre (P ) e o origem ((ρ ≠ 0), θ ) é o mesmo ângulo usado para descrever a localização em coordenadas cilíndricas, e (φ ) é o ângulo formado pelo eixo positivo (z ) e segmento de linha ( bar {OP} ), onde (O ) é a origem e (0≤φ≤π. )
  • Para converter um ponto de coordenadas esféricas em coordenadas cartesianas, use as equações (x = ρ sin φ cos θ, y = ρ sin φ sin θ, ) e (z = ρ cos φ. )
  • Para converter um ponto de coordenadas cartesianas em coordenadas esféricas, use as equações (ρ ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2, tan θ = frac {y} {x}, ) e (φ = arccos ( frac {z} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2}}) ).
  • Para converter um ponto de coordenadas esféricas em coordenadas cilíndricas, use as equações (r = ρ sin φ, θ = θ, ) e (z = ρ cos φ. )
  • Para converter um ponto de coordenadas cilíndricas em coordenadas esféricas, use as equações (ρ = sqrt {r ^ 2 + z ^ 2}, θ = θ, ) e (φ = arccos ( frac {z} { sqrt {r ^ 2 + z ^ 2}}). )

Glossário

sistema de coordenadas cilíndricas
uma maneira de descrever uma localização no espaço com um triplo ordenado ((r, θ, z), ) onde ((r, θ) ) representa as coordenadas polares da projeção do ponto no (xy ) - avião, e z representa a projeção do ponto no eixo (z )
sistema de coordenadas esféricas
uma maneira de descrever uma localização no espaço com um triplo ordenado ((ρ, θ, φ), ) onde (ρ ) é a distância entre (P ) e a origem ((ρ ≠ 0), θ ) é o mesmo ângulo usado para descrever a localização em coordenadas cilíndricas, e (φ ) é o ângulo formado pelo eixo positivo (z ) e segmento de linha ( bar {OP} ), onde (O ) é a origem e (0≤φ≤π )

2.7 Coordenadas cilíndricas e esféricas

O sistema de coordenadas cartesianas fornece uma maneira direta de descrever a localização de pontos no espaço. Algumas superfícies, no entanto, podem ser difíceis de modelar com equações baseadas no sistema cartesiano. Este é um problema familiar, lembre-se de que em duas dimensões, as coordenadas polares freqüentemente fornecem um sistema alternativo útil para descrever a localização de um ponto no plano, particularmente em casos envolvendo círculos. Nesta seção, veremos duas maneiras diferentes de descrever a localização de pontos no espaço, ambas baseadas em extensões de coordenadas polares. Como o nome sugere, as coordenadas cilíndricas são úteis para lidar com problemas que envolvem cilindros, como calcular o volume de um tanque de água redondo ou a quantidade de óleo fluindo em um tubo. Da mesma forma, as coordenadas esféricas são úteis para lidar com problemas envolvendo esferas, como encontrar o volume de estruturas em cúpula.

Coordenadas Cilíndricas

Quando expandimos o sistema de coordenadas cartesiano tradicional de duas para três dimensões, simplesmente adicionamos um novo eixo para modelar a terceira dimensão. Começando com as coordenadas polares, podemos seguir esse mesmo processo para criar um novo sistema de coordenadas tridimensional, chamado sistema de coordenadas cilíndricas. Desta forma, as coordenadas cilíndricas fornecem uma extensão natural das coordenadas polares para três dimensões.

Definição

No sistema de coordenadas cilíndricas, um ponto no espaço (Figura 2.89) é representado pelo triplo ordenado (r, θ, z), (r, θ, z), onde

No xy-plane, o triângulo retângulo mostrado na Figura 2.89 fornece a chave para a transformação entre as coordenadas cilíndricas e cartesianas, ou retangulares.


Coordenadas cilíndricas ( rho, z, phi )

Considere as coordenadas cilíndricas ( rho, z, phi ). Expresso em coordenadas cartesianas

[começar x & amp = rho cos phi y & amp = rho sin phi notag z & amp = z end]

Usando a tabela de apêndice (19.3.3, ) o Lagrangeano pode ser escrito em coordenadas cilíndricas como

Os momentos conjugados são

Suponha uma força conservadora, então (H ) é conservado. Uma vez que a transformação de coordenadas cilíndricas generalizadas cartesianas em não rotativas é independente do tempo, então (H = E. ) Então, usando as Equações ref <8.32> - ref <8.35> dá a Hamiltoniana em coordenadas cilíndricas

Observe que se ( phi ) é cíclico, isto é, ( frac < partial U> < partial phi> = 0, ) então o momento angular sobre o eixo (z ), (p_ < phi> ), é uma constante de movimento. Da mesma forma, se (z ) for cíclico, então (p_) é uma constante de movimento.


Exercícios 17.6

Ex 17.6.3 Avalie $ ds int int int x ^ 2 , dV $ sobre o interior do cilindro $ x ^ 2 + y ^ 2 = 1 $ entre $ z = 0 $ e $ z = 5 $. (responder)

Ex 17.6.4 Avalie $ ds int int int xy , dV $ sobre o interior do cilindro $ x ^ 2 + y ^ 2 = 1 $ entre $ z = 0 $ e $ z = 5 $. (responder)

Ex 17.6.5 Avalie $ ds int int int z , dV $ sobre a região acima do plano $ x $ - $ y $, dentro de $ x ^ 2 + y ^ 2-2x = 0 $ e sob $ x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 4 $. (responder)

Ex 17.6.6 Avalie $ ds int int int yz , dV $ sobre a região no primeiro octante, dentro de $ x ^ 2 + y ^ 2-2x = 0 $ e sob $ x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 4 $. (responder)

Ex 17.6.7 Avalie $ ds int int int x ^ 2 + y ^ 2 , dV $ sobre o interior de $ x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 4 $. (responder)

Ex 17.6.8 Avalie $ ds int int int sqrt, dV $ sobre o interior de $ x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 4 $. (responder)

Ex 17.6.9 Calcule $ ds int int int x + y + z , dV $ sobre a região dentro de $ x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 1 $ no primeiro octante. (responder)

Ex 17.6.10 Encontre a massa de um cone circular direito de altura $ h $ e raio da base $ a $ se a densidade for proporcional à distância da base. (responder)

Ex 17.6.11 Encontre a massa de um cone circular direito de altura $ h $ e raio de base $ a $ se a densidade for proporcional à distância de seu eixo de simetria. (responder)

Ex 17.6.12 Um objeto ocupa a região dentro da esfera unitária na origem e tem densidade igual à distância do eixo $ x $. Encontre a massa. (responder)

Ex 17.6.13 Um objeto ocupa a região dentro da esfera unitária na origem e tem densidade igual ao quadrado da distância da origem. Encontre a massa. (responder)

Ex 17.6.14 Um objeto ocupa a região entre a esfera unitária na origem e uma esfera de raio 2 com centro na origem e tem densidade igual à distância da origem. Encontre a massa. (responder)

Ex 17.6.15 Um objeto ocupa a região no primeiro octante delimitada pelos cones $ phi = pi / 4 $ e $ phi = arctan 2 $, e a esfera $ rho = sqrt <6> $, e tem densidade proporcional à distância da origem. Encontre a massa. (responder)


Fórmula de Curl em Cartesiano

Fórmula de Curl em Cilíndrico

Fórmula de Curl em Esférico

Derivação do curl em cartesiano

A fórmula Curl no sistema de coordenadas cartesianas pode ser derivada da definição básica do Curl de um campo vetorial. Leia este artigo para obter uma derivação intuitiva.


5.7: Coordenadas cilíndricas e esféricas

4577 dias desde
Natal

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Sistemas de coordenadas cilíndricas e esféricas

A ideia dos sistemas de coordenadas cilíndricas e esféricas é baseada no fato de que vivemos na Terra e precisamos saber onde estamos. Um lugar específico na Terra é definido por um endereço, ou geograficamente falando, nós o definimos usando coordenadas geográficas.

SISTEMA DE COORDENAÇÃO ESFÉRICA

  • Este sistema também envolve conjuntos de três superfícies ortogonais mutuamente.
  • As três superfícies são uma esfera, um cone e um plano.
  • The plane surface is the same as the PHI plane in the Cylindrical Coordinate System.
  • The sphere has the origin on its center.
  • The cone has its vertex at the origin and its surface is symmetrical about the z-axis.
  • The three orthogonal surfaces defining the spherical coordinates of a point are:

projection of the point in the x-y plane.

  • Only one of its coordinates is a distance (r) while the other two are angles ( θ e φ ).
  • The origin is given by r = 0, φ = 0, θ = 0 .
  • Differential Length Vector:
    • dl = draγ + rdθaθ + rsinθdφaφ
    • dv = r 2 sinθdrdθdφ

    Globes are probably one of the best representations of a spherical coordinates systems. The geographical version of those coordinates mentioned above replaces (r, θ, φ) into altitude, latitude, and longitude, respectively.

    But in terms of aircraft navigation, it is hard to define a specific point in the air when the Earth is an oblate spheroid. Thus, the cylindrical system of coordinates is useful such that the spherical version of the Earth can be translated into a flat surface by projection. This was the method used by Gerardus Mercator, the first person to create a map of the earth.


    5.7: Cylindrical and Spherical Coordinates

    Remember to immediately save it in your own home directory. Once you've copied and saved the worksheet, read through the background on the internet and the background of the worksheet before starting the exerises.

    To change to cylindrical coordinates from rectangular coordinates use the conversion:

    To change to spherical coordinates from rectangular coordinates use the conversion:

    Using a triple integral to find the volume of a solid translates in the following manner:

    A) Graph the equation using the domain values of , and the range values . B) Find the above equation in cylindrical coordinates and then graph the equation. Write the equation in text in its simplest form. C) Find the above equation in spherical coordinates and graph it. Write the equation of the equation in text in its simplest form. D) Looking at the three equations, which coordinates appear to give the simplest equation?

    A) Graph the equation using the domain values of , and the range values . B) Find the above equation in cylindrical coordinates and then graph the equation. Write the equation in text in its simplest form. C) Find the above equation in spherical coordinates and graph it. Write the equation of the equation in text in its simplest form. D) Looking at the three equations, which coordinates appear to give the simplest equation?


    5.7: Cylindrical and Spherical Coordinates

    Esta página contém as seguintes seções:

    Cylindrical coordinates are obtained from Cartesian coordinates by replacing the x and y coordinates with polar coordinates r and theta and leaving the z coordinate unchanged.

    It is simplest to get the ideas across with an example. Consider an object which is bounded above by the inverted paraboloid z=16-x^2-y^2 and below by the xy-plane. Suppose that the density of the object is given by f(x,y,z)=8+x+y. What is the mass of the object?

    The object is shown above. The mass is given by the triple integral:

    Since z satisfies 0<=z<=16-x^2-y^2, the triple integral becomes

    where the region D is the projection of R onto the xy-plane. It can be shown that D is the disk of radius 4 centered at the origin. (The circle x^2+y^2=16 is the intersection of the paraboloid and the plane z=0.)

    Because of the circular symmetry of the object in the xy-plane it is convenient to convert to polar coordinates. We make the substitutions

    With these substitutions, the paraboloid becomes z=16-r^2 and the region D is given by 0<=r<=4 and 0<=theta<=2*pi. Hence, the triple integral is given by

    Note that we can change the order of integration of r and theta so the integral can also be expressed

    Evaluating the iterated integral, we have find that the mass of the object is 1024*pi.

    In rectangular coordinates the volume element dV is given by dV=dxdydz, and corresponds to the volume of an infinitesimal region between x and x+dx, y and y+dy, and z and z+dz. In cylindrical coordinates, we have dV=rdzdrd(theta), which is the volume of an infinitesimal sector between z and z+dz, r and r+dr, and theta and theta+d(theta). As shown in the picture, the sector is nearly cube-like in shape. The length in the r and z directions is dr and dz, respectively. The length in the theta direction is r*d(theta), and this yields the result for the volume. This result can also derived via the Jacobian.

    For some problems one must integrate with respect to r or theta first. For example, if g_1(theta,z)<=r<=g_2(theta,z), then

    where D is the projection of R onto the theta-z plane. If g_1(r,z)<=theta<=g_2(r,z),

    where D is the projection of R onto the rz plane.

    Recall that in spherical coordinates a point in xyz space characterized by the three coordinates rho, theta, and phi. These are related to x,y, and z by the equations

    or in words: x = rho * sin( phi ) * cos (theta), y = rho * sin( phi ) * sin (theta), and z = rho * cos( phi) ,where

    Consider the following example: a solid lies between a sphere or radius 2 and a sphere or radius 3 in the region y>=0 and z>=0. Find its mass if the density f(x,y,z) is equal to the distance to the origin.

    where R is the region in the xyz space occupied by the solid.

    In spherical coordinates the solid occupies the region with

    The integrand in spherical coordinates becomes rho. Finally, the volume element is given by

    We will not derive this result here. It can be derived via the Jacobian. See a textbook for a geometric derivation. Putting everything together, we get the iterated integral

    In this example, since the limits of integration are constants, the order of integration can be changed. Integrating with respect to rho, phi, and theta, we find that the integral equals 65*pi/4.

    In general integrals in spherical coordinates will have limits that depend on the 1 or 2 of the variables. In these cases the order of integration does matter. We will not go over the details here.

    To convert an integral from Cartesian coordinates to cylindrical or spherical coordinates:

    (1) Express the limits in the appropriate form (2) Express the integrand in terms of the appropriate variables (3) Multiply by the correct volume element


    Energy Fundamentals

    Ibrahim Dincer , Osamah Siddiqui , in Comprehensive Energy Systems , 2018

    1.10.4.1 Heat Conduction Equation

    The heat conduction equation in a Cartesian coordinate system is obtained by applying the energy balance on a differential rectangular element, and it is expressed as:

    Onde k denotes the thermal conductivity, ρ represents the density, and c represents the specific heat of the medium.

    Similarly, for the cylindrical coordinate system, an energy balance is applied on a differential volume in cylindrical coordinates to obtain the heat conduction equation in cylindrical coordinates, and it is expressed as:

    The heat conduction equation for spherical coordinate system is also obtained by applying the energy balance on a differential spherical coordinate volume element. It is expressed as follows:

    A container wall has a thickness of 2 m and a cross-sectional area of 20 m 2 ( Fig. 4 ). It is subjected to a uniform heat generation of 1500 W/m 3 . If the density of the wall is 2000 kg/m 3 , the thermal conductivity is 20 W/mK, and the specific heat is 6 kJ/kg K. Determine the rate of change of temperature with time within the wall at x=0.75 m, when the temperature distribution across the wall is given by

    Fig. 4 . A wall cross-section with a temperature distribution.

    Assumptions: The heat transfer occurring through the wall is considered one-dimensional. And the medium is isotropic with constant (uniform) thermal conductivity.

    Analysis: The temperature distribution within the wall in the x-direction is given, the heat equation for Cartesian coordinates can be used to determine the rate of change of temperature with time at any given location in the x-direction

    For one-dimensional cases, the heat conduction equation can be reduced to

    In the case of constant thermal conductivity, the equation above can be written as

    The temperature distribution is known as

    hence, ∂ 2 T ∂ x 2 can be determined from the above equation as −50°C/m 2 .

    Thus, substituting this value in the one-dimensional heat conduction equation to obtain

    Comments: The temperature in the wall increases with time. In addition, as can be observed from the analysis, the rate of change of temperature with time within the wall is independent of the location x.


    Spherical to Cylindrical Coordinates Calculator

    This cylindrical coordinates converter/calculator converts the spherical coordinates of a unit to its equivalent value in cylindrical coordinates, according to the formulas shown above.

    Spherical coordinates are depicted by 3 values, (r, θ, φ). When converted into cylindrical coordinates, the new values will be depicted as (r, φ, z).

    To use this calculator, a user just enters in the (r, θ, φ) values of the spherical coordinates and then clicks 'Calculate', and the cylindrical coordinates will be automatically computed and shown below.

    By default, the calculator will compute the result in degrees. However, by using the drop-down menu, the option can changed to radians, so that the result will be computed in radians.

    Convert the spherical coordinates (8, 40°, 20°) into its equivalent cylindricals coordinates.


    Assista o vídeo: Coordenadas Polares, Cilíndricas e Esféricas (Outubro 2021).