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Teorema do resto


Vamos calcular o resto da divisão de :

R(x) = 3

A raiz do divisor é .
Note que:

Ou seja, quando B(x) é um polinômio de grau 1, o resto é igual ao valor numérico de P(x) quando x assume o valor da raiz de B(x).

Para demonstrar esse fato, vamos efetuar:

Note que o grau do resto é 0, pois é menor que o grau do divisor, que é 1. Assim, o resto é uma constante r.

Efetuando , temos:

Assim, podemos enunciar o seguinte teorema:

Teorema do resto

O resto da divisão de um polinômio P(x) pelo binômio ax + b é igual ao valor numérico desse polinômio para , ou seja, .

Exemplo

Calcule o resto da divisão de P(x) = x² + 5x - 1 por B(x) = x + 1:

Resolução

Achamos a raiz do divisor:

x + 1= 0   x = - 1

Pelo teorema do resto, sabemos que o resto é igual a P(-1):

P(-1) = (-1)² + 5.(-1) -1   P(- 1) = - 5 = r

Portanto, o resto da divisão de x² + 5x - 1 por x + 1 é - 5.

Note que P(x) é divisível por ax + b quando r = 0, ou seja, quando . Daí vem o enunciado do seguinte teorema:

Teorema de D'Alembert

Um polinômio P(x) é divisível pelo binômio 1 se e somente se .

O caso mais importante da divisão de um polinômio P(x) é aquele em que o divisor é da forma (x - ).

Note que é a raiz do divisor. Então o resto da divisão de P(x) por (x -) é:

r = P()

Assim:

P(x) é divisível por (x - ) quando r = 0, ou seja, quando P() = 0.

Exemplo

Determine o valor de p, para que o polinômio seja divisível por x - 2:

Resolução

Para que P(x) seja divisível por x - 2 devemos ter P(2) = 0, pois 2 é a raiz do divisor:

Assim, para que seja divisível por x - 2 devemos ter p = 19.

Próximo: Divisão de um polinômio por (x-a)(x-b)

Video: POLINÔMIOS TEOREMA DO RESTO 512 (Outubro 2020).