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10: Vetores


Este capítulo apresenta um novo objeto matemático, o vetor. Um exemplo simples de tal quantidade é a força: ao aplicar uma força, geralmente se está interessado em quanta força é aplicada (ou seja, a magnitude da força) e a direção em que a força foi aplicada. Os vetores desempenharão um papel importante em muitos dos capítulos subsequentes deste texto. Este capítulo começa movendo nossa matemática para fora do plano e para o "espaço". Ou seja, começamos a pensar matematicamente não apenas em duas dimensões, mas em três. Com essa base, podemos explorar vetores tanto no plano quanto em espaço.

  • 10.1: Introdução às Coordenadas Cartesianas no Espaço
    Nesta seção, apresentamos as coordenadas cartesianas no espaço e exploramos as superfícies básicas. Isso estabelecerá uma base para muito do que fazemos no restante do texto. Cada ponto P no espaço pode ser representado com um triplo ordenado, P = (a, b, c), onde a, bec representam a posição relativa de PP ao longo dos eixos x, y e z, respectivamente. Cada eixo é perpendicular aos outros dois.
  • 10.2: Uma introdução aos vetores
    Muitas quantidades que pensamos diariamente podem ser descritas por um único número: temperatura, velocidade, custo, peso e altura. Existem também muitos outros conceitos que encontramos diariamente que não podem ser descritos com apenas um número. Por exemplo, um meteorologista freqüentemente descreve o vento com sua velocidade e direção. Ao aplicar uma força, estamos preocupados com a magnitude e a direção dessa força. Em ambos os exemplos, a direção é importante.
  • 10.3: O Produto Interno
    A seção anterior apresentou os vetores e descreveu como adicioná-los e como multiplicá-los por escalares. Esta seção apresenta uma multiplicação de vetores chamada produto escalar.
  • 10.4: O produto cruzado
    A "ortogonalidade '' é imensamente importante. Dados dois vetores não paralelos e não nulos uev no espaço, é muito útil encontrar um vetor w que é perpendicular a u e v. Há uma operação, chamada de produto vetorial , que cria esse vetor. Esta seção define o produto vetorial e, em seguida, explora suas propriedades e aplicações.
  • 10.5: Linhas
    Para encontrar a equação de uma reta no plano x-y, precisamos de duas informações: um ponto e a inclinação. A inclinação transmite informações de direção. Como as linhas verticais têm uma inclinação indefinida, a seguinte afirmação é mais precisa: "Para definir uma linha, é necessário um ponto na linha e a direção da linha."
  • 10.6: Aviões
    Qualquer superfície plana, como uma parede, tampo de mesa ou pedaço de papelão rígido, pode ser considerada como representando parte de um avião.
  • 10.E: Aplicações de Vetores (Exercícios)

Representação gráfica de vetores

Os vetores são desenhados como setas. Uma seta tem uma magnitude (quanto tempo é) e uma direção (a direção para a qual ela aponta). O ponto de partida de um vetor é conhecido como o cauda e o ponto final é conhecido como cabeça.

Figura 20.1: Exemplos de vetores

Figura 20.2: Partes de um vetor

Rota (ESAGL)

Existem muitos métodos aceitáveis ​​de escrever vetores. Contanto que o vetor tenha uma magnitude e uma direção, é mais provável que seja aceitável. Esses diferentes métodos vêm dos diferentes métodos de representação de uma direção para um vetor.

Direções relativas

A maneira mais simples de mostrar a direção é com direções relativas: para a esquerda, para a direita, para frente, para trás, para cima e para baixo.

Direções da bússola

Outro método comum de expressar direções é usar os pontos de uma bússola: Norte, Sul, Leste e Oeste. Se um vetor não apontar exatamente em uma das direções da bússola, usamos um ângulo. Por exemplo, podemos ter um vetor apontando ( text <40> ) ( text <& # 176> ) para o norte do oeste. Comece com o vetor apontando na direção oeste (observe a seta tracejada abaixo) e gire o vetor em direção ao norte até que haja um ângulo ( text <40> ) ( text <& # 176> ) entre o vetor e a direção oeste (a seta sólida abaixo). A direção desse vetor também pode ser descrita como: W ( text <40> ) ( text <& # 176> ) N (Oeste ( text <40> ) ( text <& # 176> ) Norte) ou N ( text <50> ) ( text <& # 176> ) W (Norte ( text <50> ) ( text <& # 176> ) Oeste).

Consequência

Um outro método de expressar a direção é usar um consequência. Um rumo é uma direção relativa a um ponto fixo. Dado apenas um ângulo, a convenção é definir o ângulo no sentido horário em relação ao Norte. Portanto, um vetor com direção ( text <110> ) ( text <& # 176> ) foi girado no sentido horário ( text <110> ) ( text <& # 176> ) em relação ao Norte. Um rumo é sempre escrito como um número de três dígitos, por exemplo ( text <275> ) ( text <& # 176> ) ou ( text <080> ) ( text <& # 176> ) (para ( text <80> ) ( text <& # 176> )).


O vetor é definido como a quantidade que possui magnitude e direção. Os vetores são representados pela linha direta apontada em que o comprimento representa o vetor e a magnitude e a orientação representa a direção do vetor. O vetor é usado em matemática e há vários tipos de vetores que incluem vetor zero, vetor unitário, vetor co-inicial, vetor colinear, vetor igual, vetor negativo e muitos mais. Os vetores são usados ​​para representar os objetos físicos, pois eles têm tanto magnitudes quanto direção.

Os 10 principais tipos de vetores

Existem diferentes tipos de vetores. Alguns deles são descritos abaixo:

Hadoop, ciência de dados, estatística e outros

1. Vetores co-iniciais

Os vetores co-iniciais são o tipo de vetores em que dois ou mais de dois vetores separados têm os pontos iniciais semelhantes. Nesse tipo de vetor, todos os vetores se originam da mesma posição. O ponto de origem é o mesmo para os vetores e são chamados de vetores co-iniciais. Por exemplo, se tivermos dois AB→ e AC→ então esses vetores são chamados de vetores co-iniciais, pois ambos têm um ponto inicial semelhante que é A.

No diagrama acima, os vetores co-iniciais são representados.

2. Vetores colineares

O colinear é o outro tipo de vetor em que existem dois ou mais de dois vetores paralelos entre si, independentemente da magnitude ou da direção. O paralelo na natureza significa que eles nunca se cruzam. A direção de ambos os vetores é a mesma na natureza. Por exemplo, se o vetor a está na direção x e b também está na mesma direção, eles são conhecidos como vetores colineares. As coordenadas de ambos os vetores são da mesma natureza. A outra propriedade do vetor colinear é que o produto vetorial de ambos os vetores colineares é sempre igual a zero. O outro nome para os vetores colineares é vetores paralelos.

No diagrama acima, os dois vetores são mostrados um na cor vermelha e o outro na cor azul. Ambos os vetores são conhecidos como vetores colineares.

3. Zero Vector

O vetor zero é outro tipo de vetor em que a magnitude do vetor é igual a zero e o ponto de origem do vetor coincide com o ponto terminal. Por exemplo, se o vetor AB- & gt se as coordenadas de A e as coordenadas de B forem iguais, o vetor é conhecido como vetor zero. A direção do vetor zero é indeterminada e a magnitude é sempre zero. O vetor zero não aponta em nenhuma direção e também tem todos os componentes iguais a zero.

No diagrama acima, o vetor zero é mostrado acima.

4. Vetor de unidade

O vetor unitário é o tipo de vetor que tem magnitude igual ao comprimento unitário que é um. Todos os vetores de magnitude igual a um são conhecidos como vetores unitários. Suponha que haja o vetor x- & gt que tem a magnitude x, então o vetor unitário é mostrado por que tem a mesma direção do vetor xe magnitude um.

A fórmula para o vetor unitário é dada por:

Os dois vetores não são considerados iguais se tiverem a mesma magnitude até que ambos tenham a mesma direção também.

5. Vetor de posição

O vetor de posição é outro tipo de vetor em que o ponto de origem é considerado 0 e há um ponto arbitrário denominado A no espaço. Então o vetor OA- & gt é conhecido como o vetor posição tendo a origem de referência 0. O vetor posição é usado principalmente para denotar a localização ou a posição do ponto no sistema cartesiano de dimensão 3D. E a posição é determinada a partir de qualquer origem de referência.

6. Vetores coplanares

Os vetores coplanares são o tipo de vetores em que três ou mais de três vetores estão no mesmo plano ou podem estar no plano paralelo, então os vetores são conhecidos como vetores coplanares. Sempre existe a possibilidade de encontrar dois vetores aleatórios no mesmo plano e conhecidos como vetores coplanares. A outra propriedade para vetores coplanares é que o produto triplo escalar para os três vetores é sempre igual a zero. Os vetores coplanares são sempre vetores linearmente dependentes.

No diagrama acima, os vetores coplanares são representados.

7. Vetores semelhantes e diferentes

Os vetores semelhantes são os tipos de vetores que têm a mesma direção e são conhecidos como vetores semelhantes. Os vetores que têm direções opostas, independentemente uns dos outros, são conhecidos como vetores, ao contrário.

8. Equal Vector

Vetores iguais são o tipo de vetor em que os dois vetores ou mais de dois vetores com a mesma magnitude, bem como a mesma direção, são conhecidos como vetores iguais.

No diagrama acima, os vetores AB- & gt e PQ- & gt são os vetores iguais, pois ambos têm a mesma magnitude e a mesma direção.

9. Vetores de deslocamento

O vetor de deslocamento é o tipo de vetor quando um vetor é deslocado de sua posição, então o vetor é conhecido como vetor de deslocamento. Por exemplo, se houver algum objeto que está presente no ponto A no tempo = 0 e depois de algum tempo, ele está no ponto B no tempo = t. O deslocamento pode ser calculado como a distância vetorial entre o ponto inicial do objeto e o ponto final.

No diagrama acima, o deslocamento é calculado como o comprimento da linha AB na cor vermelha. A direção é do ponto A ao ponto B.

10. Vetor negativo

O vetor negativo é o tipo de vetor em que os dois vetores têm a mesma magnitude, mas a direção de ambos é exatamente oposta. Esse tipo de vetor é conhecido como vetores negativos. Suponha que temos dois vetores aeb que são vetores negativos, então ele pode ser mostrado como

Conclusão

Os vetores são as grandezas físicas que possuem a magnitude e também a direção. Os vetores são o conceito matemático e existem vários tipos de vetores como vetores colineares, vetores coplanares, vetores semelhantes e diferentes, vetor de deslocamento, vetor unitário e muitos mais definidos acima.

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Este é um guia para tipos de vetores. Aqui, discutimos os 10 principais tipos de vetores para um entendimento detalhado. Você também pode ler nossos outros artigos relacionados para saber mais & # 8211


Vetores

UMA vetor é um objeto matemático que possui magnitude e direção. Em outras palavras, é uma linha de determinado comprimento e apontando ao longo de uma determinada direção. A magnitude do vetor é seu comprimento e é denotada por ||.

Se dois vetores estão na mesma direção, então = n. onde n é um número real.

se 0 & lt n & lt 1, então || & lt ||
se 1 & lt n, então || & gt ||
se n & lt 0, então || e a direção de é oposta à direção de

A adição de dois vetores é realizada colocando os vetores de ponta a ponta em sequência para criar um triângulo, como é mostrado na figura.

Um vetor pode ser resolvido ao longo de quaisquer duas direções em um plano que o contém. A figura mostra como a regra do paralelogramo é usada para construir vetores e que somam.

Produto escalar vetorial

Vamos ter dois vetores. O produto escalar do vetor é a fórmula:

outras notações para produto escalar são ou (,)
O resultado do produto escalar de dois vetores é sempre um número real.

Propriedades do produto escalar

Se o ângulo entre dois verctores, é 90 & deg, então = 0, porque cos (90 & deg) = 0
= || 2 porque o ângulo entre 2 vetores é 180 & deg e cos (180 & deg) = 1

Problemas de vetores

1) Se = -1. o que podemos dizer sobre esses dois vetores?
Solução: Esses dois vetores são paralelos, com a mesma magnitude e apontam para direções contrárias.

2) Qual é o produto escalar se || = 5, || = 7 e o ângulo entre os dois vetores é 30 & deg

3) Prove com vetores que para cada triângulo o comprimento de um lado é menor que a soma dos outros dois lados.


Helmintos e doenças helmínticas

Dr. Martin Walker é professor de Epidemiologia no Royal Veterinary College, Reino Unido, e professor honorário do Departamento de Epidemiologia de Doenças Infecciosas no Imperial College London. Ele é um membro ativo do London Centre for Neglected Tropical Disease Research, do Neglected Tropical Disease Modeling Consortium e lidera o tema de pesquisa de esquistossomose e helmintíases transmitidas pelo solo no Infectious Disease Data Observatory. Os interesses de pesquisa de Martin estão amplamente no uso de técnicas matemáticas, incluindo modelos de transmissão de doenças, para auxiliar na tomada de decisões de saúde pública sobre intervenções que visam eliminar as helmintíases humanas e outras doenças tropicais. Ele também está interessado em abordagens estatísticas para identificar a resistência a medicamentos antiparasitários e o uso de modelagem para apoiar o desenvolvimento de medicamentos.


Como Encontrar o Ângulo Entre Dois Vetores

O wikiHow é um “wiki”, semelhante à Wikipedia, o que significa que muitos de nossos artigos são co-escritos por vários autores. Para criar este artigo, 38 pessoas, algumas anônimas, trabalharam para editá-lo e aprimorá-lo ao longo do tempo.

Existem 7 referências citadas neste artigo, que podem ser encontradas no final da página.

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Em matemática, um vetor é qualquer objeto que tenha um comprimento definível, conhecido como magnitude e direção. Uma vez que os vetores não são iguais às linhas ou formas padrão, você precisará usar algumas fórmulas especiais para encontrar os ângulos entre eles.

  • || vc || 2 = u1 2 + u2 2 Se um vetor tem mais de dois componentes, simplesmente continue adicionando + u3 2 + u4 2 + .
  • Portanto, para um vetor bidimensional, || vc || = √ (u1 2 + u2 2 ).
  • Em nosso exemplo, || u → < displaystyle < overrightarrow >> || = √(2 2 + 2 2 ) = √(8) = 2√2 . || v → < displaystyle < overrightarrow >> || = √(0 2 + 3 2 ) = √(9) = 3 .

Encontrando cosseno com comprimentos de produto escalar e vetor
Em nosso exemplo, cosθ = 6 / (2√2

Encontrando um Ângulo com Coseno
Em nosso exemplo, cosθ = √2 / 2. Digite "arccos (√2 ​​/ 2)" em sua calculadora para obter o ângulo. Alternativamente, encontre o ângulo θ no círculo unitário onde cosθ = √2 / 2. Isso é verdadeiro para θ = π /4 ou 45º.
Juntando tudo, a fórmula final é:
ângulo θ = arco cosseno ((u → < displaystyle < overrightarrow >> • v → < displaystyle < overrightarrow >>) / (|| u → < displaystyle < overrightarrow >> || || v → < displaystyle < overrightarrow >> || ))


Os 10 principais vetores de ataque digital a serem observados

Proteger contra ataques cibernéticos também não é tão fácil, ao que parece. Em 2017, apenas os custos de danos de ransomware ultrapassou US $ 5 bilhões , e os danos causados ​​por ataques cibernéticos em geral são projetados para atingiu $ 6 trilhões por ano até 2021. De acordo com o Gartner, os gastos com segurança da informação chegaram a mais de US $ 86 bilhões em 2017 e estima-se que cheguem $ 93 bilhões em 2018 . Organizações de saúde, financeiras e governamentais são principais alvos para cibercriminosos. Bruce Carnegie-Brown, presidente do Lloyds, resume quando disse em um entrevista em junho de 2018 que o crime cibernético "é provavelmente o risco de desenvolvimento mais rápido em todo o mundo".

"É uma armadilha!" - Almirante Ackbar no Retorno dos Jedi

Muitos ataques cibernéticos são, de fato, projetados para prender usuários desavisados. Muitos vetores de ataque têm como alvo o elo mais fraco da cadeia de segurança - o elemento humano. Seja enganando um usuário para fornecer credenciais ou ransomware, toda organização deve saber quais ataques cibernéticos são mais impactantes hoje e o que fazer a respeito.

Dê uma olhada em quatro ataques de nossa lista dos 10 principais:

Um ataque de phishing tem como alvo pessoas por e-mail em que o perpetrador tenta provocar medo, curiosidade ou um senso de urgência para coagir o alvo a abrir um anexo, clicar em um link e fornecer informações confidenciais. Nesse caso, a vítima é "enganada 'em fornecer esses dados. De acordo com o Relatório DBIR ( Relatório de investigações de violação de dados da Verizon ), 30% das mensagens de phishing são abertas pelo alvo e 12% desses usuários abrem o anexo ou link malicioso.

Engenharia social

A engenharia social inclui uma ampla gama de atividades maliciosas que dependem de erro humano em vez de vulnerabilidades em software e sistemas operacionais. Erros cometidos por usuários legítimos ou internos que, de outra forma, seriam induzidos a entregar dados confidenciais são menos previsíveis e mais difíceis de detectar ou prevenir do que uma invasão baseada em malware. Os ataques são comumente direcionados a um indivíduo e ocorrem cara a cara, por telefone ou por e-mail. Surpreendentemente, 63% das violações de dados se originam de fontes internas.

Cadeia de mantimentos

Esses ataques ocorrem quando alguém se infiltra em um sistema por meio de um parceiro ou provedor externo com acesso aos sistemas e dados. A superfície de ataque de uma organização muda e é potencialmente mais vulnerável se a postura de segurança do parceiro for fraca. De acordo com um pesquisa realizada em 2017 pelo Ponemon Institute , 56 por cento das organizações tiveram uma violação causada por um de seus fornecedores.

Crimeware (Ransomware)

Dos 10 tipos de crimeware citados no relatório DBIR da Verizon, o vetor de ataque esmagador é o ransomware. Normalmente, isso é feito pelo invasor enviando um e-mail com um anexo ou link da web. Projetado para parecer autêntico, o destinatário abre o anexo ou link. Isso resulta na criptografia dos dados da vítima ou de outra forma inacessíveis e só podem ser descriptografados mediante o pagamento de um resgate ao invasor. O ransomware compreende quase metade dos incidentes de crimeware e é a ameaça de malware mais significativa atualmente.

"Use a força, Luke." - Obi-Wan Kenobi em Star Wars - Uma Nova Esperança

Embora não possamos usar 'a força' contra ataques cibernéticos, é extremamente importante tomar medidas para permanecer seguro. À medida que os ataques evoluem e se tornam mais sofisticados, as organizações precisam neutralizá-los com soluções sofisticadas e avançadas de prevenção de ameaças. Além dos quatro ataques mencionados acima, o e-book analisa seis outros vetores de ataque dos quais todas as organizações devem estar cientes.

As organizações que são os principais alvos (saúde, finanças e governo) são especialmente incentivadas a investir em segurança cibernética. Os especialistas prevêem que ataques de ransomware contra a saúde vão quadruplicar em 2020 . Estatísticas como essa destacam o aumento exponencial dos ataques, assim como a sofisticação requer uma solução igualmente dinâmica.

Os serviços MDR (detecção e resposta gerenciada) devem ser uma das principais prioridades na proteção das empresas contra ataques cibernéticos. As soluções de MDR fornecem às organizações especialistas em segurança experientes e soluções de segurança com base no cenário de ameaças mais recente, e podem adapte-se continuamente para proteger sua organização de perdas graves .

“Viradores de páginas, eles não eram.” - Yoda em Star Wars - O Último Jedi

Yoda pode não ter pensado que os textos Jedi eram de leitura interessante, mas o e-book da CyberInt sobre os 10 principais vetores de ataque digital está cheio das estatísticas e detalhes mais recentes sobre os ataques mais prevalentes enfrentados pelas empresas atualmente. Também estão incluídos conselhos de especialistas sobre os métodos mais eficazes de defesa contra essas ameaças. Baixe o e-book hoje para obter detalhes completos sobre os 10 principais ataques mais relevantes da atualidade.

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Oportunidades e vulnerabilidades: enfrentando os muitos vetores de ataque de hoje


10: Vetores

E se eu quiser contar o número de x para os quais sin (x) é> 0? A função sum () converte os T's e F's lógicos em 1's e 0's, respectivamente, em seguida, somar esses valores para contar os T's.

R tem várias maneiras de subscrever (ou seja, extrair elementos específicos de um vetor). A maneira mais comum é diretamente, usando o operador de colchetes: neste exemplo, o usuário disse "dê-me o quarto elemento" e R disse, "você obtém um vetor cujo primeiro (e único) elemento é 4."

Aqui está uma pergunta semelhante: "quais são o segundo e o quinto elementos de x?" Aqui, o c (), é claro, constrói o vetor (2,5) a ser usado como o índice, em seguida, extraímos a segunda e a quinta entradas de x.

Podemos usar um lógico vetor, do mesmo comprimento que seus dados, como um índice e R extrairá os elementos do vetor de dados para os quais os índices correspondentes são VERDADEIROS. Por exemplo, considere um novo vetor x consistindo em 2, 4, 6, 8 e 10. Vamos usar um subscrito lógico para extrair a segunda e a quinta entradas. Isso diz "dê-me o segundo e o quinto elementos de x, não o primeiro, o terceiro ou o quarto." Qual desses xs tem senos positivos? Quais são os valores de x cujos senos são positivos? Aqui, o sin (x)> 0 no interior dos colchetes produz um vetor lógico de comprimento 5 com dois T's, então esses dois T's, na primeira e na quarta posição, nos dão o primeiro e o quarto elementos de x.

Aqui está uma pergunta semelhante: "quais são os índices dos elementos de x para os quais o seno é> 0?" Neste exemplo, o (1: comprimento (x)) produz o vetor (1,2,3,4,5) e desse vetor extraímos o primeiro e o quarto itens (uma vez que sin (x)> 0 para o primeiro e quartos elementos de x).

Subscrito negativo

Outra coisa útil é um subscrito negativo que diz "dê-me tudo, exceto esses valores". Por exemplo: você não pode misturar subscritos positivos e negativos. Um subscrito "0" não retorna nada, o que é útil em um exemplo específico.

Mais sobre operações vetoriais

Assim como a função sin () opera em cada elemento de um vetor, o mesmo ocorre com muitas outras funções R. Na verdade, funções que operam em um vetor e produzem um escalar são bastante incomuns. Exemplos importantes incluem soma(), que dá a soma de um vetor significar() mediana() var () e SD(), que fornecem a variação da amostra e o desvio padrão prod (), que dá ao produto e comprimento(), que informa quantos elementos o vetor possui.

A maioria das funções opera em conjunto com os elementos. Isso inclui os operadores aritméticos simples. Por exemplo, lembre-se de que x é c (2,4,6,8,10): (Observe a formatação diferente. Esta é apenas a maneira de R de garantir que todos os elementos em um vetor possam ser representados por cadeias de caracteres do mesmo comprimento. Não se preocupe com isso.)

Vamos criar outro vetor chamado, digamos, y: E se os comprimentos não corresponderem? Em seguida, R recicla os elementos do mais curto. Você receberá uma mensagem de aviso se o comprimento do menor não dividir o comprimento do maior. Por exemplo: Essa vetorização dá a R muito de sua potência. Você raramente precisará escrever um loop explícito em R. Uma grande exceção é quando o i-ésimo elemento de um vetor depende explicitamente do (i-1) ésimo, como em algumas simulações.


Vetores - Aulas e Recursos

Temos uma coleção de lições introdutórias sobre vetores, igualdade de vetores, operações básicas em vetores, geometria vetorial, vetores de posição, etc., bem como lições mais avançadas sobre vetores e equações paramétricas, componentes de vetores, produto escalar de vetores, 3 vetores dimensionais e muito mais.



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Introdução ao Vetor

Uma quantidade vetorial tem magnitude e direção.

Problemas envolvendo velocidades, deslocamentos, forças e navegação são freqüentemente facilitados quando vetores são usados.

Os tópicos abordados nestas lições introdutórias sobre vetores são:

Vídeos de vetores e equações paramétricas

Calculadora de vetores

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