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6.6: Funções hiperbólicas


O funções hiperbólicas são um conjunto de funções que têm muitas aplicações em matemática, física e engenharia. Entre muitas outras aplicações, eles são usados ​​para descrever a formação de anéis de satélites ao redor de planetas, para descrever a forma de uma corda pendurada em dois pontos e têm aplicações na teoria da relatividade especial. Esta seção define as funções hiperbólicas e descreve muitas de suas propriedades, especialmente sua utilidade para o cálculo.

Essas funções às vezes são chamadas de "funções trigonométricas hiperbólicas", pois há muitas, muitas conexões entre elas e as funções trigonométricas padrão. A figura ( PageIndex {1} ) demonstra uma dessas conexões. Assim como cosseno e seno são usados ​​para definir pontos no círculo definido por (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ), as funções cosseno hiperbólico e seno hiperbólico são usados ​​para definir pontos na hipérbole (x ^ 2-y ^ 2 = 1 ).

Figura ( PageIndex {1} ): Usando funções trigonométricas para definir pontos em um círculo e funções hiperbólicas para definir pontos em uma hipérbole. A área das regiões sombreadas estão incluídas nelas.

Começamos com sua definição.

Definição ( PageIndex {1} ): Funções hiperbólicas

  1. ( cosh x = frac {e ^ x + e ^ {- x}} 2 )
  2. ( sinh x = frac {e ^ x-e ^ {- x}} 2 )
  3. ( tanh x = frac { sinh x} { cosh x} )
  4. ( text {sech} x = frac {1} { cosh x} )
  5. ( text {csch} x = frac {1} { sinh x} )
  6. ( coth x = frac { cosh x} { sinh x} )

Essas funções hiperbólicas são representadas graficamente na Figura ( PageIndex {2} ). Nos gráficos de ( cosh x ) e ( sinh x ), os gráficos de (e ^ x / 2 ) e (e ^ {- x} / 2 ) são incluídos com linhas tracejadas. À medida que (x ) fica "grande", ( cosh x ) e ( sinh x ) cada um age como (e ^ x / 2 ); quando (x ) é um grande número negativo, ( cosh x ) age como (e ^ {- x} / 2 ) enquanto $ sinh x $ age como (- e ^ {- x} / 2 ).

Observe que os domínios de ( tanh x ) e ( text {sech} x ) são ((- infty, infty) ), enquanto ambos ( coth x ) e ( text {csch} x ) tem assíntotas verticais em (x = 0 ). Observe também os intervalos dessas funções, especialmente ( tanh x ): como (x to infty ), ambos ( sinh x ) e ( cosh x ) se aproximam (e ^ { -x} / 2 ), portanto, ( tanh x ) se aproxima de (1 ).

O exemplo a seguir explora algumas das propriedades dessas funções que apresentam notável semelhança com as propriedades de suas contrapartes trigonométricas.

Nota de pronúncia: "cosh" rima com "gosh", "sinh" rima com "pinch" e "tanh" rima com "ranch".

Figura ( PageIndex {2} ): Gráficos das funções hiperbólicas.

Exemplo ( PageIndex {1} ): Explorando propriedades de funções hiperbólicas

Use Definition ( PageIndex {1} ) para reescrever as seguintes expressões.

  1. ( cosh ^ 2 x- sinh ^ 2x )
  2. ( tanh ^ 2 x + text {sech} ^ 2 x )
  3. (2 cosh x sinh x )
  4. ( frac {d} {dx} big ( cosh x big) )
  5. ( frac {d} {dx} big ( sinh x big) )
  6. ( frac {d} {dx} big ( tanh x big) )

Solução

  1. [ begin {align} cosh ^ 2x- sinh ^ 2x & = left ( frac {e ^ x + e ^ {- x}} 2 right) ^ 2 - left ( frac {e ^ xe ^ {- x}} 2 right) ^ 2 & = frac {e ^ {2x} + 2e ^ xe ^ {- x} + e ^ {- 2x}} 4 - frac {e ^ { 2x} -2e ^ xe ^ {- x} + e ^ {- 2x}} 4 & = frac44 = 1. End {align} ] Então ( cosh ^ 2 x- sinh ^ 2x = 1 ).
  2. [ begin {align} tanh ^ 2 x + text {sech} ^ 2 x & = frac { sinh ^ 2x} { cosh ^ 2 x} + frac {1} { cosh ^ 2 x} & = frac { sinh ^ 2x + 1} { cosh ^ 2 x} qquad text {Agora use a identidade de # 1.} & = frac { cosh ^ 2 x} { cosh ^ 2 x} = 1. end {align} ] Então ( tanh ^ 2 x + text {sech} ^ 2 x = 1 ).
  3. [ begin {align} 2 cosh x sinh x & = 2 left ( frac {e ^ x + e ^ {- x}} 2 right) left ( frac {e ^ xe ^ {- x}} 2 direita) & = 2 cdot frac {e ^ {2x} - e ^ {- 2x}} 4 & = frac {e ^ {2x} - e ^ {- 2x} } 2 = sinh (2x). end {alinhar} ] Assim, (2 cosh x sinh x = sinh (2x) ).
  4. [ begin {align} frac {d} {dx} big ( cosh x big) & = frac {d} {dx} left ( frac {e ^ x + e ^ {- x} } 2 right) & = frac {e ^ xe ^ {- x}} 2 & = sinh x. end {align} ] Então ( frac {d} {dx} big ( cosh x big) = sinh x. )
  5. [ begin {align} frac {d} {dx} big ( sinh x big) & = frac {d} {dx} left ( frac {e ^ xe ^ {- x}} 2 right) & = frac {e ^ x + e ^ {- x}} 2 & = cosh x. end {align} ] Então ( frac {d} {dx} big ( sinh x big) = cosh x. )
  6. [ begin {align} frac {d} {dx} big ( tanh x big) & = frac {d} {dx} left ( frac { sinh x} { cosh x} direita) & = frac { cosh x cosh x - sinh x sinh x} { cosh ^ 2 x} & = frac {1} { cosh ^ 2 x} & = text {sech} ^ 2 x. end {align} ] Então ( frac {d} {dx} big ( tanh x big) = text {sech} ^ 2 x. )

A seguinte ideia-chave resume muitas das identidades importantes relacionadas às funções hiperbólicas. Cada um pode ser verificado consultando Definição ( PageIndex {1} ).

Ideia-chave 16: Propriedades úteis da função hiperbólica

Identidades Básicas

  1. ( cosh ^ 2x- sinh ^ 2x = 1 )
  2. ( tanh ^ 2x + text {sech} ^ 2x = 1 )
  3. ( coth ^ 2x- text {csch} ^ 2x = 1 )
  4. ( cosh 2x = cosh ^ 2x + sinh ^ 2x )
  5. ( sinh 2x = 2 sinh x cosh x )
  6. ( cosh ^ 2x = frac { cosh 2x + 1} {2} )
  7. ( sinh ^ 2x = frac { cosh 2x-1} {2} )

Derivados

  1. ( frac {d} {dx} big ( cosh x big) = sinh x )
  2. ( frac {d} {dx} big ( sinh x big) = cosh x )
  3. ( frac {d} {dx} big ( tanh x big) = text {sech} ^ 2 x )
  4. ( frac {d} {dx} big ( text {sech} x big) = - text {sech} x tanh x )
  5. ( frac {d} {dx} big ( text {csch} x big) = - text {csch} x coth x )
  6. ( frac {d} {dx} big ( coth x big) = - text {csch} ^ 2x )

Integrais

  1. ( int cosh x dx = sinh x + C )
  2. ( int sinh x dx = cosh x + C )
  3. ( int tanh x dx = ln ( cosh x) + C )
  4. ( int coth x dx = ln | sinh x , | + C )

Praticamos usando a ideia-chave 16

Exemplo ( PageIndex {2} ): Derivadas e integrais de funções hiperbólicas

Avalie as seguintes derivadas e integrais.

  1. ( frac {d} {dx} big ( cosh 2x big) )
  2. ( int text {sech} ^ 2 (7t-3) dt )
  3. ( int_0 ^ { ln 2} cosh x dx )

Solução

  1. Usando a regra da cadeia diretamente, temos ( frac {d} {dx} big ( cosh 2x big) = 2 sinh 2x ).
    Apenas para demonstrar que funciona, vamos usar também a Identidade Básica encontrada na Ideia-Chave 16: ( cosh 2x = cosh ^ 2x + sinh ^ 2x ).
    [ begin {align} frac {d} {dx} big ( cosh 2x big) = frac {d} {dx} big ( cosh ^ 2x + sinh ^ 2x big) & = 2 cosh x sinh x + 2 sinh x cosh x & = 4 cosh x sinh x. end {alinhar} ] Usando outra Identidade Básica, podemos ver que (4 cosh x sinh x = 2 sinh 2x ). Recebemos a mesma resposta de qualquer maneira.
  2. Empregamos substituição, com (u = 7t-3 ) e (du = 7dt ). Aplicando as idéias-chave 10 e 16, temos:
    $$ int text {sech} ^ 2 (7t-3) dt = frac17 tanh (7t-3) + C. $$
  3. $$ int_0 ^ { ln 2} cosh x dx = sinh x Big | _0 ^ { ln 2} = sinh ( ln 2) - sinh 0 = sinh ( ln 2). $$
    Podemos simplificar esta última expressão como ( sinh x ) é baseado em exponenciais:
    $$ sinh ( ln 2) = frac {e ^ { ln 2} -e ^ {- ln 2}} 2 = frac {2-1 / 2} {2} = frac34. $$

Funções hiperbólicas inversas

Assim como as funções trigonométricas inversas são úteis em certas integrações, as funções hiperbólicas inversas são úteis em outras. A Figura 16 mostra as restrições nos domínios para tornar cada função um a um e os domínios e intervalos resultantes de suas funções inversas. Seus gráficos são mostrados na Figura ( PageIndex {3} )

Porque as funções hiperbólicas são definidas em termos de funções exponenciais, seus inversos podem ser expressos em termos de logaritmos, como mostrado na ideia-chave 17. Muitas vezes é mais conveniente referir-se a ( sinh ^ {- 1} x ) do que ( ln big (x + sqrt {x ^ 2 + 1} big) ), especialmente quando se está trabalhando na teoria e não precisa calcular os valores reais. Por outro lado, quando cálculos são necessários, a tecnologia geralmente é útil, mas muitas calculadoras portáteis não têm um botão textit {convenient} ( sinh ^ {- 1} x ). (Freqüentemente, pode ser acessado em um sistema de menu, mas não convenientemente.) Em tal situação, a representação logarítmica é útil. O leitor não é encorajado a memorizá-los, mas sim saber que existem e saber como usá-los quando necessário.

Tabela ( PageIndex {1} ): Gráficos de ( cosh x ), ( sinh x ) e seus inversos.

Figura ( PageIndex {3} ): Gráficos das funções hiperbólicas e suas inversas.

As seguintes idéias-chave fornecem as derivadas e integrais relacionadas às funções hiperbólicas inversas. Na Ideia-Chave 19, ambas as representações da função hiperbólica inversa e logarítmica da antiderivada são dadas, com base na Ideia-Chave 17. Novamente, essas últimas funções são frequentemente mais úteis do que as primeiras. Observe como as funções hiperbólicas inversas podem ser usadas para resolver integrais que usamos a Substituição trigonométrica para resolver na Seção 6.4.

IDea 17: Definições logarítmicas das funções hiperbólicas inversas.

  1. ( cosh ^ {- 1} x = ln big (x + sqrt {x ^ 2-1} big); x geq1 )
  2. ( tanh ^ {- 1} x = frac12 ln left ( frac {1 + x} {1-x} right); | x | <1 )
  3. ( text {sech} ^ {- 1} x = ln left ( frac {1+ sqrt {1-x ^ 2}} x right); 0
  4. ( sinh ^ {- 1} x = ln big (x + sqrt {x ^ 2 + 1} big) )
  5. ( coth ^ {- 1} x = frac12 ln left ( frac {x + 1} {x-1} right); | x |> 1 )
  6. ( text {csch} ^ {- 1} x = ln left ( frac1x + frac { sqrt {1 + x ^ 2}} {| x |} right); x neq0 )

Ideia-chave 18: Derivados que envolvem funções hiperbólicas inversas

  1. ( frac {d} {dx} big ( cosh ^ {- 1} x big) = frac {1} { sqrt {x ^ 2-1}}; x> 1 )
  2. ( frac {d} {dx} big ( sinh ^ {- 1} x big) = frac {1} { sqrt {x ^ 2 + 1}} )
  3. ( frac {d} {dx} big ( tanh ^ {- 1} x big) = frac {1} {1-x ^ 2}; | x | <1 )
  4. ( frac {d} {dx} big ( text {sech} ^ {- 1} x big) = frac {-1} {x sqrt {1-x ^ 2}}; 0
  5. ( frac {d} {dx} big ( text {csch} ^ {- 1} x big) = frac {-1} {| x | sqrt {1 + x ^ 2}}; x neq0 )
  6. ( frac {d} {dx} big ( coth ^ {- 1} x big) = frac {1} {1-x ^ 2}; | x |> 1 )

Ideia-chave 19: Integrais que envolvem funções hiperbólicas inversas

  1. ( int frac {1} { sqrt {x ^ 2-a ^ 2}} dx ) (= qquad cosh ^ {- 1} left ( frac xa right) + C; 0
  2. ( int frac {1} { sqrt {x ^ 2 + a ^ 2}} dx ) (= qquad sinh ^ {- 1} left ( frac xa right) + C; a> 0 ) ( qquad = ln Big | x + sqrt {x ^ 2 + a ^ 2} Big | + C )
  3. ( int frac {1} {a ^ 2-x ^ 2} dx ) (= qquad left { begin {array} {ccc} frac1a tanh ^ {- 1} left ( frac xa right) + C & & x ^ 2
  4. ( int frac {1} {x sqrt {a ^ 2-x ^ 2}} dx ) (= qquad - frac1a text {sech} ^ {- 1} left ( frac xa right) + C; 0
  5. ( int frac {1} {x sqrt {x ^ 2 + a ^ 2}} dx ) (= qquad - frac1a text {csch} ^ {- 1} left | frac xa right | + C; x neq 0, a> 0 ) ( quad = frac1a ln left | frac {x} {a + sqrt {a ^ 2 + x ^ 2}} right | + C )

Praticamos o uso das fórmulas derivada e integral no exemplo a seguir.

Exemplo ( PageIndex {3} ): Derivadas e integrais envolvendo funções hiperbólicas inversas

Avalie o seguinte.

  1. ( frac {d} {dx} left [ cosh ^ {- 1} left ( frac {3x-2} {5} right) right] )
  2. ( int frac {1} {x ^ 2-1} dx )
  3. ( int frac {1} { sqrt {9x ^ 2 + 10}} dx )

Solução

  1. A aplicação da ideia-chave 18 com a regra da cadeia dá:
    $$ frac {d} {dx} left [ cosh ^ {- 1} left ( frac {3x-2} 5 right) right] = frac {1} { sqrt { left ( frac {3x-2} 5 right) ^ 2-1}} cdot frac35. $$
  2. Multiplicando o numerador e o denominador por ((- 1) ) resulta: ( int frac {1} {x ^ 2-1} dx = int frac {-1} {1-x ^ 2} dx ). A segunda integral pode ser resolvida com uma aplicação direta do item # 3 da ideia-chave 19, com (a = 1 ). Assim, [ begin {align} int frac {1} {x ^ 2-1} dx & = - int frac {1} {1-x ^ 2} dx & = left { begin {array} {ccc} - tanh ^ {- 1} left (x right) + C & & x ^ 2 <1 - coth ^ {- 1} left (x direita) + C & & 1 Devemos observar que esse problema exato foi resolvido no início da Seção 6.5. Nesse exemplo, a resposta foi dada como ( frac12 ln | x-1 | - frac12 ln | x + 1 | + C. ) Observe que isso é equivalente à resposta dada na Equação ( PageIndex { 29} ), como ( ln (a / b) = ln a - ln b ).

  3. Isso requer uma substituição, então o item nº 2 da Ideia-Chave 19 pode ser aplicado.

    Seja (u = 3x ), portanto (du = 3dx ). Nós temos
    [ int frac {1} { sqrt {9x ^ 2 + 10}} dx = frac13 int frac {1} { sqrt {u ^ 2 + 10}} du. ]
    Observe (a ^ 2 = 10 ), portanto (a = sqrt {10}. ) Agora aplique a regra integral.
    [ begin {align} & = frac13 sinh ^ {- 1} left ( frac {3x} { sqrt {10}} right) + C & = frac13 ln Big | 3x + sqrt {9x ^ 2 + 10} Big | + C. end {align} ]

Esta seção cobre muito terreno. Novas funções foram introduzidas, junto com algumas de suas identidades fundamentais, seus derivados e antiderivadas, seus inversos e os derivados e antiderivados desses inversos. Quatro ideias-chave foram apresentadas, cada uma incluindo um pouco de informação.

Não veja esta seção como uma fonte de informação a ser memorizada, mas sim como uma referência para a resolução de problemas futuros. A Ideia-chave 19 contém talvez as informações mais úteis. Conhecer as formas de integração ajuda a avaliar e entender como usar a resposta hiperbólica inversa e a resposta logarítmica.

A próxima seção faz uma breve pausa na demonstração de novas técnicas de integração. Em vez disso, demonstra uma técnica de avaliação de limites que retornam formas indeterminadas. Esta técnica será útil na Seção 6.8, onde os limites surgirão na avaliação de certos integrais definidos.


6.6: Funções hiperbólicas

Se as equações diferenciais parciais de segunda ordem são classificadas com a ajuda de suas características, uma equação hiperbólica em um domínio bidimensional terá duas características reais, enquanto uma parabólica tem uma e a equação elíptica tem apenas características complexas. Como em qualquer ponto do domínio essas duas características são ortogonais na direção (uma é chamada de característica à esquerda e a outra é chamada de característica à direita), essas curvas podem ser usadas como uma malha para encontrar soluções de equações hiperbólicas e o esquema é chamado de método de características.

Visto que uma equação diferencial parcial de primeira ordem também tem uma característica real existente em cada ponto do domínio semelhante à equação hiperbólica de segunda ordem, essas equações também são chamadas de equações hiperbólicas. Portanto, o PDE de primeira ordem também vem do tipo hiperbólico e é importante para entender o método das características e a aplicação dos métodos de diferença finita a essas equações de primeira ordem.

Na presente seção, os métodos numéricos e o método das características para o PDE de primeira ordem são considerados primeiro e, em seguida, esses métodos são estendidos para o PDE de segunda ordem nas seções subsequentes.

Considere o PDE de primeira ordem


. (6.6.1)

Onde uma, b e c são funções de x, y e u, mas não de e, de modo que a equação (6.6.1) é chamada de quase-linear. (É linear se forem funções de xey apenas e não linear se também forem funções de e).

Uma forma equivalente de (6.6.1) é


. (6.6.2)

Onde p= e q=.

Se considerarmos uma curva C no plano xy diferente da curva em que as condições iniciais de você foram especificados, então em direções tangenciais a C dos pontos em C. Temos


. (6.6.3)

Eliminando p de (6.4.2) e (6.4.3) obtemos,


. (6.6.4)

Agora, se escolhermos a curva C de modo que


. (6.6.5)

em C então


. (6.6.6)

A curva C é chamada de curva característica e ao longo desta curva temos de (6.6.5) e (6.6.6)


. (6.6.7)

ou


. (6.6.8)

você pode ser obtido em qualquer C integrando (6.6.8).

Exemplo 6.6.1: Encontre a solução você satisfatória e a condição inicial.

Solução: A família de características da equação (6.6.5) é

(Onde k é uma constante.)

Agora, os valores de kao longo das duas características que passam pelos pontos finais (0,0) e (0,1) da curva inicial são k = 0 e k = 1respectivamente. Para a característica por meio de (0, yc). Nós temos k = yc, portanto, esta característica pode ser escrita como

A solução ao longo desta característica é (da equação (6.6.8))

u = 5x + UMA

onde A é uma constante.

Se u = uc no (0, yc) então uma = vocêce ao longo das características. Nós temos a solução

desde você é conhecido apenas no segmento de linha, a solução também é definida apenas nesta região com características delimitadoras e.

Nesta região, a solução é única e não é definida fora da região. Se a curva inicial for dada ao longo de qualquer uma das características, então os valores iniciais não podem ser fixados arbitrariamente, pois a solução deve satisfazer a equação característica

.

No entanto, a curva inicial difere de qualquer característica, então a solução ao longo desta curva pode ser fixada arbitrariamente. Além disso, se as condições iniciais são fornecidas ao longo de qualquer característica, diga ao longo, então, a equação

também é uma solução em qualquer ponto do domínio. Ou seja, neste caso, a solução não é única em nenhum ponto fora da característica escolhida.


6.9 Cálculo das Funções Hiperbólicas

Fomos apresentados às funções hiperbólicas em Introdução a funções e gráficos, junto com algumas de suas propriedades básicas. Nesta seção, veremos as fórmulas de diferenciação e integração para as funções hiperbólicas e suas inversas.

Derivados e integrais das funções hiperbólicas

Lembre-se de que o seno hiperbólico e o cosseno hiperbólico são definidos como

É fácil desenvolver fórmulas de diferenciação para as funções hiperbólicas. Por exemplo, olhando para sinh x sinh x temos

Essas fórmulas de diferenciação para as funções hiperbólicas levam diretamente às seguintes fórmulas integrais.

Exemplo 6.47

Diferenciando funções hiperbólicas

Avalie os seguintes derivados:

Solução

Usando as fórmulas na Tabela 6.2 e a regra da cadeia, obtemos

Avalie os seguintes derivados:

Exemplo 6.48

Integrais que envolvem funções hiperbólicas

Avalie os seguintes integrais:

Solução

Podemos usar você-substituição em ambos os casos.

Avalie os seguintes integrais:

Cálculo de funções hiperbólicas inversas

Olhando para os gráficos das funções hiperbólicas, vemos que, com as restrições de intervalo apropriadas, todas elas têm inversas. A maioria das restrições de intervalo necessárias podem ser discernidas examinando atentamente os gráficos. Os domínios e intervalos das funções hiperbólicas inversas estão resumidos na tabela a seguir.

Os gráficos das funções hiperbólicas inversas são mostrados na figura a seguir.

Para encontrar as derivadas das funções inversas, usamos a diferenciação implícita. Nós temos

Podemos derivar fórmulas de diferenciação para as outras funções hiperbólicas inversas de maneira semelhante. Essas fórmulas de diferenciação estão resumidas na tabela a seguir.

Exemplo 6.49

Diferenciando funções hiperbólicas inversas

Avalie os seguintes derivados:

Solução

Usando as fórmulas na Tabela 6.4 e a regra da cadeia, obtemos os seguintes resultados:

Avalie os seguintes derivados:

Exemplo 6.50

Integrais que envolvem funções hiperbólicas inversas

Avalie os seguintes integrais:

Solução

Avalie os seguintes integrais:

Formulários

Uma aplicação física das funções hiperbólicas envolve cabos pendurados. Se um cabo de densidade uniforme for suspenso entre dois suportes sem nenhuma carga além de seu próprio peso, o cabo forma uma curva chamada catenária. Linhas de alta tensão, correntes penduradas entre dois postes e fios de uma teia de aranha formam catenárias. A figura a seguir mostra correntes penduradas em uma fileira de postes.

As funções hiperbólicas podem ser usadas para modelar catenárias. Especificamente, as funções da forma y = a cosh (x / a) y = a cosh (x / a) são catenárias. A Figura 6.84 mostra o gráfico de y = 2 cosh (x / 2). y = 2 cosh (x / 2).

Exemplo 6.51

Usando uma catenária para encontrar o comprimento de um cabo

Solução

Agora lembre-se que 1 + sinh 2 x = cosh 2 x, 1 + sinh 2 x = cosh 2 x, então temos

Seção 6.9 Exercícios

Use a regra de quociente para verificar que tanh (x) ′ = sech 2 (x). tanh (x) ′ = sech 2 (x).

Faça a derivada da expressão anterior para encontrar uma expressão para sinh (2 x). sinh (2 x).

Faça a derivada da expressão anterior para encontrar uma expressão para cosh (x + y). cosh (x + y).

Para os exercícios a seguir, encontre as derivadas das funções fornecidas e gráfico junto com a função para garantir que sua resposta esteja correta.

[T] cosh (3 x + 1) cosh (3 x + 1)

[T] sinh (x 2) sinh (x 2)

[T] 1 cosh (x) 1 cosh (x)

[T] sinh (ln (x)) sinh (ln (x))

[T] cosh 2 (x) + sinh 2 (x) cosh 2 (x) + sinh 2 (x)

[T] cosh 2 (x) - sinh 2 (x) cosh 2 (x) - sinh 2 (x)

[T] tanh (x 2 + 1) tanh (x 2 + 1)

[T] 1 + tanh (x) 1 - tanh (x) 1 + tanh (x) 1 - tanh (x)

[T] sinh 6 (x) sinh 6 (x)

[T] ln (sech (x) + tanh (x)) ln (sech (x) + tanh (x))

Para os exercícios a seguir, encontre as antiderivadas para as funções fornecidas.

Para os exercícios a seguir, encontre as derivadas das funções.

Para os exercícios a seguir, encontre as antiderivadas para as funções.

Para os exercícios a seguir, use o fato de que um corpo em queda com atrito igual à velocidade ao quadrado obedece à equação d v / d t = g - v 2. d v / d t = g - v 2.

Derive a expressão anterior para v (t) v (t) integrando d v g - v 2 = d t. d v g - v 2 = d t.

[T] Estime a distância que um corpo caiu em 12 a 12 segundos, encontrando a área abaixo da curva de v (t). v (t).

Para os exercícios a seguir, use este cenário: Um cabo pendurado sob seu próprio peso tem uma inclinação S = d y / d x S = d y / d x que satisfaz d S / d x = c 1 + S 2. d S / d x = c 1 + S 2. A constante c c é a relação entre a densidade do cabo e a tensão.

Esboce o cabo e determine a que distância ele afunda em x = 0. x = 0.

Para os exercícios a seguir, resolva cada problema.

[T] Uma corrente pende de dois postes separados por quatro metros para formar uma catenária descrita pela equação y = 4 cosh (x / 4) - 3. y = 4 cosh (x / 4) - 3. Encontre o comprimento total da catenária (comprimento do arco).

[T] Uma linha de alta tensão é uma catenária descrita por y = 10 cosh (x / 10). y = 10 cosh (x / 10). Encontre a relação entre a área sob a catenária e o comprimento do arco. O que você percebe?

Prove a fórmula para a derivada de y = cosh −1 (x) y = cosh −1 (x) diferenciando x = cosh (y). x = cosh (y).

(Dica: Use identidades trigonométricas hiperbólicas.)

Prove que (cosh (x) + sinh (x)) n = cosh (n x) + sinh (n x). (cosh (x) + sinh (x)) n = cosh (n x) + sinh (n x).

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    • Autores: Gilbert Strang, Edwin “Jed” Herman
    • Editor / site: OpenStax
    • Título do livro: Cálculo Volume 1
    • Data de publicação: 30 de março de 2016
    • Local: Houston, Texas
    • URL do livro: https://openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/1-introduction
    • URL da seção: https://openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/6-9-calculus-of-the-hyperbolic-functions

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    STPM Matemática Adicional T

    O funções hiperbólicas, dos quais há seis, recebem esse nome porque estão relacionados às equações paramétricas de uma hipérbole.

    As 2 principais funções hiperbólicas são sinh x e cosh x (e agora você sabe para que serve o botão & # 8216hyp & # 8217 da calculadora). As funções hiperbólicas são, na verdade, funções dos expoentes naturais e x por meio das seguintes equações:

    Agora relacionamos as funções hiperbólicas com a hipérbole. A equação da hipérbole é

    Nós deixamos
    x = um cosh u
    y = b sinh u

    Nós encontramos isso cosh 2 u & # 8211 sinh 2 u = 1, o que é verdade (isso pode ser provado substituindo o e x na equação). Agora que temos 2 funções hiperbólicas, usamos para derivar ainda mais algumas outras funções seguindo uma convenção semelhante que o função trigonométrica usa:

    Todas essas 6 funções hiperbólicas têm sua pronúncia especial. sinh é lido como & # 8216shine & # 8217, cosh como & # 8216cosh & # 8217, tanh como & # 8216do que & # 8217, sech como & # 8216sheck & # 8217, csch como & # 8216co-sheck & # 8217 e coth como & # 8216tosse & # 8217.

    Agora veremos os gráficos das 6 funções hiperbólicas. Observe que todos são derivados da função exponencial:

    cosh x sinh x tanh x

    />
    sech x csch x coth x

    Seus domínios e intervalos são os seguintes:

    Agora que você conhece as informações básicas dessas funções, é hora de memorizar as fórmulas. Mas antes de começar, preciso apresentar uma regra especial que torna a memorização mais fácil.

    O Regra Osborne & # 8217s afirma que, para alterar as identidades trigonométricas comuns padrão para a identidade hiperbólica padrão equivalente, altere o sinal do termo que é o produto de dois senos e substitua as funções hiperbólicas correspondentes. Isso significa que, se você se lembrar de todas as identidades trigonométricas, poderá se lembrar das identidades hiperbólicas. Observe que todas as fórmulas trigonométricas que têm o características periódicas (por exemplo, a fórmula R e as mudanças de fase) não se aplicam a funções hiperbólicas, pois não são periódicas.

    Para cada caso, você deve ser capaz de derivá-los. Prová-los é simples, basta conectar o e x relação nele e você tem certeza de entendê-lo.

    As fórmulas e identidades são as seguintes:

    Fórmula de Ângulo Duplo

    Além de todas essas fórmulas, você também deve conhecer as relações entre funções hiperbólicas e funções trigonométricas. Use o seguinte para derivar aqueles para tanh x, sech x, csch x e coth x também. Ter em mente que i & # 215 i = & # 82111.


    Para provar isso, você precisará esperar até aprender Power Series no Capítulo 7.

    Fácil de memorizar, não é? As questões do exame normalmente se concentram em provar coisas e, provavelmente, em esboçar gráficos também. Tenha muito cuidado para não cometer erros. & # 9786


    6.6 Momentos e centros de massa

    Nesta seção, consideramos centros de massa (também chamados de centróides, sob certas condições) e momentos. A ideia básica do centro de massa é a noção de um ponto de equilíbrio. Muitos de nós já vimos artistas que giram pratos nas pontas de palitos. Os performers tentam manter vários deles girando sem permitir que nenhum deles caia. Se olharmos para um único prato (sem girá-lo), há um ponto ideal no prato onde ele se equilibra perfeitamente no palito. Se colocarmos o palito em qualquer lugar diferente daquele ponto ideal, o prato não se equilibra e cai no chão. (É por isso que os artistas giram os pratos - o giro ajuda a evitar que os pratos caiam, mesmo que a vareta não esteja exatamente no lugar certo.) Matematicamente, esse ponto ideal é chamado de centro de massa do prato.

    Nesta seção, primeiro examinamos esses conceitos em um contexto unidimensional e, em seguida, expandimos nosso desenvolvimento para considerar centros de massa de regiões bidimensionais e simetria. Por último, usamos centróides para encontrar o volume de certos sólidos aplicando o teorema de Pappus.

    Centro de Missas e Momentos

    Vamos começar olhando para o centro de massa em um contexto unidimensional. Considere um fio ou haste longa e fina de massa desprezível apoiada em um fulcro, conforme mostrado na Figura 6.62 (a). Agora suponha que colocamos objetos com massas m 1 m 1 e m 2 m 2 a distâncias d 1 d 1 ed 2 d 2 do fulcro, respectivamente, como mostrado na Figura 6.62 (b).

    O exemplo mais comum da vida real de um sistema como esse é uma gangorra de playground, ou gangorra, com crianças de pesos diferentes sentadas a distâncias diferentes do centro. Em uma gangorra, se uma criança se sentar em cada extremidade, a criança mais pesada afunda e a mais leve é ​​erguida no ar. Se a criança mais pesada deslizar em direção ao centro, porém, a gangorra se equilibra. Aplicando este conceito às massas na barra, notamos que as massas se equilibram se e somente se m 1 d 1 = m 2 d 2. m 1 d 1 = m 2 d 2.

    No exemplo da gangorra, equilibramos o sistema movendo as massas (crianças) em relação ao fulcro. No entanto, estamos realmente interessados ​​em sistemas nos quais as massas não podem se mover e, em vez disso, equilibramos o sistema movendo o fulcro. Suponha que temos duas massas de pontos, m 1 m 1 e m 2, m 2, localizadas em uma reta numérica nos pontos x 1 x 1 ex 2, x 2, respectivamente (Figura 6.63). O centro de massa, x -, x -, é o ponto onde o fulcro deve ser colocado para fazer o equilíbrio do sistema.

    Centro de massa de objetos em uma linha

    e o centro de massa do sistema é dado por

    Aplicamos esse teorema no exemplo a seguir.

    Exemplo 6.29

    Encontrando o centro de massa dos objetos ao longo de uma linha

    Suponha que as massas de quatro pontos sejam colocadas em uma reta numérica da seguinte forma:

    Encontre o momento do sistema em relação à origem e encontre o centro de massa do sistema.

    Solução

    Primeiro, precisamos calcular o momento do sistema:

    Agora, para encontrar o centro de massa, precisamos da massa total do sistema:

    O centro de massa está localizado 1/2 m à esquerda da origem.

    Suponha que as massas de quatro pontos sejam colocadas em uma reta numérica da seguinte forma:

    Encontre o momento do sistema em relação à origem e encontre o centro de massa do sistema.

    Se tivermos várias massas pontuais no xy- avião, podemos usar os momentos em relação ao x- e y-axes para calcular o x- e y-coordenadas do centro de massa do sistema.

    Centro de massa de objetos em um avião

    Além disso, as coordenadas do centro de massa (x -, y -) (x -, y -) do sistema são

    O próximo exemplo demonstra como aplicar este teorema.

    Exemplo 6.30

    Encontrando o Centro de Massa dos Objetos em um Plano

    Suponha que três pontos de massa sejam colocados no xy- plano da seguinte forma (suponha que as coordenadas são fornecidas em metros):

    Encontre o centro de massa do sistema.

    Solução

    Primeiro, calculamos a massa total do sistema:

    Em seguida, encontramos os momentos em relação ao x- e y-eixos:

    O centro de massa do sistema é (1, 1/3), (1, 1/3), em metros.

    Suponha que três massas de pontos sejam colocadas em uma reta numérica da seguinte forma (suponha que as coordenadas são fornecidas em metros):

    Encontre o centro de massa do sistema.

    Centro de massa de placas finas

    Até agora, vimos sistemas de massas pontuais em uma linha e em um plano. Agora, em vez de ter a massa de um sistema concentrada em pontos discretos, queremos olhar para sistemas nos quais a massa do sistema é distribuída continuamente por uma fina folha de material. Para nossos propósitos, presumimos que a folha é fina o suficiente para que possa ser tratada como se fosse bidimensional. Essa folha é chamada de lâmina. Em seguida, desenvolvemos técnicas para encontrar o centro de massa de uma lâmina. Nesta seção, também assumimos que a densidade da lâmina é constante.

    As lâminas são frequentemente representadas por uma região bidimensional em um plano. O centro geométrico dessa região é denominado centróide. Uma vez que assumimos que a densidade da lâmina é constante, o centro de massa da lâmina depende apenas da forma da região correspondente no plano, não depende da densidade. Nesse caso, o centro de massa da lâmina corresponde ao centróide da região delineada no plano. Tal como acontece com os sistemas de massas pontuais, precisamos encontrar a massa total da lâmina, bem como os momentos da lâmina em relação ao x- e y-eixos.

    Primeiro consideramos uma lâmina em forma de retângulo. Lembre-se de que o centro de massa de uma lâmina é o ponto onde a lâmina se equilibra. Para um retângulo, esse ponto é o centro horizontal e vertical do retângulo. Com base nesse entendimento, fica claro que o centro de massa de uma lâmina retangular é o ponto onde as diagonais se cruzam, o que é resultado do princípio da simetria, e é afirmado aqui sem comprovação.

    O Princípio da Simetria

    Se uma região R é simétrico em relação a uma linha eu, então o centróide de R encontra-se em eu.

    Vamos voltar para lâminas mais gerais. Suponha que temos uma lâmina limitada acima pelo gráfico de uma função contínua f (x), f (x), abaixo pelo x-eixo, e à esquerda e à direita pelas linhas x = a x = a e x = b, x = b, respectivamente, conforme mostrado na figura a seguir.

    As with systems of point masses, to find the center of mass of the lamina, we need to find the total mass of the lamina, as well as the moments of the lamina with respect to the x- and y-axes. As we have done many times before, we approximate these quantities by partitioning the interval [ a , b ] [ a , b ] and constructing rectangles.

    To get the approximate mass of the lamina, we add the masses of all the rectangles to get

    This is a Riemann sum. Taking the limit as n → ∞ n → ∞ gives the exact mass of the lamina:

    We derive the moment with respect to the y-axis similarly, noting that the distance from the center of mass of the rectangle to the y-axis is x i * . x i * . Then the moment of the lamina with respect to the y-axis is given by

    We find the coordinates of the center of mass by dividing the moments by the total mass to give x – = M y / m and y – = M x / m . x – = M y / m and y – = M x / m . If we look closely at the expressions for M x , M y , and m , M x , M y , and m , we notice that the constant ρ ρ cancels out when x – x – and y – y – are calculated.


    Hyperbolic Functions

    The hyperbolic functions enjoy properties similar to the trigonometric functions their definitions, though, are much more straightforward:

    Here are their graphs: the (pronounce: "kosh") is pictured in red, the function (rhymes with the "Grinch") is depicted in blue.

    As their trigonometric counterparts, the function is even, while the function is odd.

    Their most important property is their version of the Pythagorean Theorem.

      The verification is straightforward:

    While , , parametrizes the unit circle, the hyperbolic functions , , parametrize the standard hyperbola , x >1.

    In the picture below, the standard hyperbola is depicted in red, while the point for various values of the parameter t is pictured in blue.

    The other hyperbolic functions are defined the same way, the rest of the trigonometric functions is defined:

    For every formula for the trigonometric functions, there is a similar (not necessary identical) formula for the hyperbolic functions:


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    Feature Details

    64-bit Integer Atomic Operations

    Shader Model 6.6 will introduce the ability to perform atomic arithmetic, bitwise, and exchange/store operations on 64-bit values.

    All the following atomic intrinsic functions and methods will take 64-bit values when used on RWByteAddressBuffer and RWStructuredBuffer types in all shader stages:

    Where RWByteAddressBuffer methods are concerned, each of these will have a *64 suffix to indicate the expected type.

    Shader Model 6.6 will include optional support for other resource and variable types. Typed resources, including writeable typed buffers and textures, will be supported where AtomicInt64OnTypedResourceSupported option is set. Shared memory groupshared variables will be supported where AtomicInt64OnGroupSharedSupported is set.

    Integer Atomics on Float-Typed Resources

    Shader Model 6.6 will introduce support for using floating point values in the existing integer compare and exchange intrinsic functions. The functions that use compares use bitwise compares and not true floating point compares:

    InterlockedExchange was an existing intrinsic function extended to include floats since it involved no compare, no new suffix was needed. The ByteAddressBuffer version was given a *Float suffix to indicate the intended type.

    Dynamic Resource Binding

    Shader Model 6.6 will introduce the ability to create resources from descriptors by directly indexing into the CBV_SRV_UAV heap or the Sampler heap. This resource creation method eliminates the need for root signature descriptor table mapping but requires new global root signature flags to indicate the use of each heap.

    The feature is exposed as two new builtin global indexable objects: ResourceDescriptorHeap and SamplerDescriptorHeap . Indexing these global objects returns an internal handle object. This object can be assigned to temporary resource or sampler objects without requiring resource binding locations or mapping through root signature descriptor tables.

    The assigned variable must match the heap type of the indexed array.

    Compute Shader Derivatives and Samples

    Shader Model 6.6 will introduce derivative and sample intrinsic functions to compute shaders. Previous shader models restricted these functions to pixel shaders.

    Derivative operations depend on 2ࡨ quads. Compute shaders don’t have quads. So in order to map these functions to a compute shader which views data as a serial sequence, we’ve defined the quads these functions operate on according to the compute shader lane index. One quad consists of the first four elements in the land index sequence in left-to-right and then top-to-bottom order. Another quad similarly consists of the next four and so on. This gives the 2ࡨ quads that the following intrinsic functions operate on.

    The derivative functions added:

    The sample functions added:

    These operations will be optionally available for Amplification and Mesh shader stages where the D erivativesInMeshAndAmplificationShadersSupported capability bit is set.

    Packed 8-Bit Operations

    Shader Model 6.6 will add a new set of intrinsic functions for processing packed 8-bit data. These are useful to reduce bandwidth usage where lower precision calculations are acceptable.

    These are the new data types representing a vector of packed 8-bit values:

    These new types can be cast to and from uint32_t values without a change in the bitwise representation.

    The pack intrinsic functions allow packing a vector of 4 signed or unsigned values into a packed 32-bit value represented by the new packed data types. One version performs a datatype clamp and the other simply drops the unused bits.

    To unpack 32-bit values representing 4 8-bit values into a vector of 16 bit or 32 bit signed or unsigned values:

    Wave Size

    Shader Model 6.6 will introduce a new compute shader attribute that allows the shader author to specify a wave size that the compute shader is compatible with.

    This feature allows the application to guarantee that a shader will be run at the required wave size. With this attribute, DirectX 12 runtime validation will fail if shaders in a pipeline state object have a required wave size that is not in the range reported by the driver. Because use of this feature limits shader flexibility, we only recommended it for shaders compatible with only one wave size.

    The required wave size is specified by an attribute before the entry function. The allowed wave sizes that an HLSL shader may specify are the powers of 2 between 4 and 128, inclusive. In other words, the set: [4, 8, 16, 32, 64, 128] .

    <numLanes> must be an immediate integer value of an allowed wave size.


    Worked example 12: Sketching a hyperbola

    Use horizontal and vertical shifts to sketch the graph of (f(x) = frac<1> + 3).

    Examine the equation of the form (y = frac + q)

    We notice that (a > 0), therefore the graph will lie in the first and third quadrants.

    Sketch the standard hyperbola (y = frac)

    Start with a sketch of the standard hyperbola (g(x) = frac<1>).

    The vertical asymptote is (x = 0) and the horizontal asymptote is (y = 0).

    Determine the vertical shift

    From the equation we see that (q = 3), which means (g(x)) must shifted ( ext<3>) units up.

    The horizontal asymptote is also shifted ( ext<3>) units up to (y = 3) .

    Determine the horizontal shift

    From the equation we see that (p = -2), which means (g(x)) must shifted ( ext<2>) units to the right.

    The vertical asymptote is also shifted ( ext<2>) units to the right.

    Determine the (y)-intercept

    The (y)-intercept is obtained by letting (x = 0): egin y &= frac<1> <0 - 2>+ 3 &= 2frac<1> <2>end This gives the point ((02frac<1><2>)).

    Determine the (x)-intercept

    The (x)-intercept is obtained by letting (y = 0): egin 0 &= frac<1> + 3 -3 &= frac<1> -3(x - 2) &= 1 -3x + 6 &= 1 -3x &= -5 x &= frac<5> <3>end This gives the point ((frac<5><3>0)).

    Determine the domain and range


    Johnivan Johnivan took Further Mathematics T as his 5th subject in STPM 2009. With limited resources, and without a teacher, he worked really hard in order to score well in Further Mathematics T. In the end, he was one of the 2 who passed the paper in 2009, in which he obtained an A-.

    Johnivan studied Physics (specialized in Astrophysics) in the National University of Singapore. He then pursued his PhD in University College London, specializing in the field of cosmology. Currently he is a senior lecturer in Universiti Sains Malaysia.

    He created this blog in 2010 to assist and help those who would like to take this subject. Sad to say that the syllabus of the subject was changed in 2012, and later eliminated from STPM in 2014, so now this blog will act as an archive for the old syllabus. Nevertheless, the contents will still be helpful to high school and college students.


    Assista o vídeo: Funções hiperbólicas parte 1 - Introdução (Outubro 2021).