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6.7: Regra de L'Hopital - Matemática


Embora este capítulo seja dedicado ao aprendizado de técnicas de integração, esta seção não é sobre integração. Em vez disso, trata-se de uma técnica de avaliação de certos limites que será útil na seção seguinte, onde a integração é mais uma vez discutida.

Nosso tratamento de limites nos expôs a "0/0", uma forma indeterminada. Se ( lim_ {x para c} f (x) = 0 ) e ( lim_ {x para c} g (x) = 0 ), não concluímos que ( lim_ {x a c} f (x) / g (x) ) é (0/0 ); em vez disso, usamos (0/0 ) como notação para descrever o fato de que tanto o numerador quanto o denominador se aproximam de 0. A expressão 0/0 não tem valor numérico; outro trabalho deve ser feito para avaliar o limite.

Existem outras formas indeterminadas; eles são: ( infty / infty ), (0 cdot infty ), ( infty- infty ), (0 ^ 0 ), (1 ^ infty ) e ( infty ^ 0 ). Assim como "0/0" não significa "dividir 0 por 0", a expressão " ( infty / infty )" não significa "dividir infinito por infinito". Em vez disso, significa que "uma quantidade está crescendo sem limites e está sendo dividida por outra quantidade que está crescendo sem limites". Não podemos determinar a partir de tal declaração qual valor, se houver, resulta no limite. Da mesma forma, " (0 cdot infty )" não significa "multiplique zero por infinito." Em vez disso, significa que "uma quantidade está diminuindo a zero e está sendo multiplicada por uma quantidade que está crescendo sem limites". Não podemos determinar a partir de tal descrição qual será o resultado de tal limite.

Esta seção apresenta a Regra de L'Hôpital, um método de resolução de limites que produzem as formas indeterminadas 0/0 e ( infty / infty ). Também mostraremos como a manipulação algébrica pode ser usada para converter outras expressões indeterminadas em uma dessas duas formas para que nossa nova regra possa ser aplicada.

Teorema ( PageIndex {1} ): Regra de L'Hôpital

Seja ( lim_ {x para c} f (x) = 0 ) e ( lim_ {x para c} g (x) = 0 ), onde (f ) e (g ) são funções diferenciáveis ​​em um intervalo aberto (I ) contendo (c ), e (g '(x) neq 0 ) em (I ), exceto possivelmente em (c ). Então

$$ lim_ {x para c} frac {f (x)} {g (x)} = lim_ {x para c} frac {f '(x)} {g' (x)}. ]

Demonstramos o uso da Regra de L'Hôpital nos exemplos a seguir; frequentemente usaremos "LHR" como uma abreviatura de "L'Hôpital's"

Exemplo ( PageIndex {1} ): Usando a regra de L'Hôpital

Avalie os seguintes limites, usando a regra de L'Hôpital conforme necessário.

  1. ( lim_ {x to0} frac { sin x} x )
  2. ( lim_ {x to 1} frac { sqrt {x + 3} -2} {1-x} )
  3. ( lim_ {x to0} frac {x ^ 2} {1- cos x} )
  4. ( lim_ {x to 2} frac {x ^ 2 + x-6} {x ^ 2-3x + 2} )

Solução

  1. Provamos que este limite é 1 no Exemplo ref {ex_limit_sinx_prove} usando o Teorema do Aperto. Aqui usamos a Regra de L'Hôpital para mostrar seu poder. $$ lim_ {x to0} frac { sin x} x stackrel { text {por LHR} } {=} lim_ {x to0} frac { cos x} {1} = 1 . $$
  2. ( lim_ {x para 1} frac { sqrt {x + 3} -2} {1-x} stackrel { text {por LHR} } {=} lim_ {x para 1 } frac { frac12 (x + 3) ^ {- 1/2}} {- 1} = - frac 14. )
  3. ( lim_ {x to 0} frac {x ^ 2} {1- cos x} stackrel { text {por LHR}} {=} lim_ {x to 0} frac {2x} { sin x}. )
    Este último limite também avalia para a forma indeterminada 0/0. Para avaliá-lo, aplicamos a Regra de L'Hôpital novamente. $$ lim_ {x to 0} frac {2x} { sin x} stackrel { text {por LHR}} {=} frac {2} { cos x} = 2. $$ Assim ( lim_ {x to0} frac {x ^ 2} {1- cos x} = 2. )
  4. Já sabemos como avaliar esse limite; primeiro fator o numerador e denominador. Temos então: $$ lim_ {x to 2} frac {x ^ 2 + x-6} {x ^ 2-3x + 2} = lim_ {x to 2} frac {(x-2 ) (x + 3)} {(x-2) (x-1)} = lim_ {x to 2} frac {x + 3} {x-1} = 5. $$ Agora mostramos como resolva isso usando a regra de L'Hôpital. $$ lim_ {x to 2} frac {x ^ 2 + x-6} {x ^ 2-3x + 2} stackrel { text {por LHR}} {= } lim_ {x to 2} frac {2x + 1} {2x-3} = 5. $$

Observe que em cada etapa em que a regra de L'Hôpital foi aplicada, foi necessário: o limite inicial retornou a forma indeterminada de " (0/0 )." Se o limite inicial retornar, por exemplo, 1/2, a regra de L'Hôpital não se aplica.

O teorema a seguir estende nossa versão inicial da Regra de L'Hôpital de duas maneiras. Permite que a técnica seja aplicada à forma indeterminada ( infty / infty ) e aos limites onde (x ) se aproxima de ( pm infty ).

Teorema ( PageIndex {2} ): Regra de L'Hôpital, Parte 2

  1. Seja ( lim_ {x a} f (x) = pm infty ) e ( lim_ {x a} g (x) = pm infty ), onde (f ) e (g ) são diferenciáveis ​​em um intervalo aberto (I ) contendo (a ). Então $$ lim_ {x para a} frac {f (x)} {g (x)} = lim_ {x para a} frac {f '(x)} {g' (x)} . $$
  2. Sejam (f ) e (g ) funções diferenciáveis ​​no intervalo aberto ((a, infty) ) para algum valor (a ), onde (g '(x) neq 0 ) em ((a, infty) ) e ( lim_ {x a infty} f (x) / g (x) ) retorna 0/0 ou ( infty / infty ) . Então $$ lim_ {x to infty} frac {f (x)} {g (x)} = lim_ {x to infty} frac {f '(x)} {g' (x )}. $$ Uma declaração semelhante pode ser feita para limites onde (x ) se aproxima de (- infty ).

Exemplo ( PageIndex {2} ): Regra de L'Hôpital com limites envolvendo ( infty )

Avalie os seguintes limites.

$$ 1. lim_ {x to infty} frac {3x ^ 2-100x + 2} {4x ^ 2 + 5x-1000} qquad qquad 2. lim_ {x to infty} frac {e ^ x} {x ^ 3}. ]

Solução

  1. Podemos avaliar este limite já usando o Teorema ref {thm: lim_rational_fn_at_infty}; a resposta é 3/4. Aplicamos a regra de L'Hôpital para demonstrar sua aplicabilidade. $$ lim_ {x to infty} frac {3x ^ 2-100x + 2} {4x ^ 2 + 5x-1000} stackrel { text {por LHR} } {=} lim_ {x to infty} frac {6x-100} {8x + 5} stackrel { text {por LHR} } {=} lim_ {x to infty} frac68 = frac34. $$
  2. $$ lim_ {x to infty} frac {e ^ x} {x ^ 3} stackrel { text {por LHR} } {=} lim_ {x to infty} frac { e ^ x} {3x ^ 2} stackrel { text {por LHR} } {=} lim_ {x para infty} frac {e ^ x} {6x} stackrel { text { por LHR} } {=} lim_ {x to infty} frac {e ^ x} {6} = infty. $$ Lembre-se de que isso significa que o limite não existe; conforme (x ) se aproxima de ( infty ), a expressão (e ^ x / x ^ 3 ) cresce sem limites. Podemos inferir disso que (e ^ x ) cresce "mais rápido" do que (x ^ 3 ); conforme (x ) fica grande, (e ^ x ) é muito maior do que (x ^ 3 ). (Isso tem implicações importantes na computação ao considerar a eficiência dos algoritmos.)

A regra de L'Hôpital só pode ser aplicada a proporções de funções. Quando nos deparamos com uma forma indeterminada como (0 cdot infty ) ou ( infty- infty ), às vezes podemos aplicar a álgebra para reescrever o limite para que a regra de L'Hôpital possa ser aplicada. Demonstramos a ideia geral no próximo exemplo.

Exemplo ( PageIndex {3} ): Aplicando a regra de L'Hôpital a outras formas indeterminadas

Avalie os seguintes limites.

  1. ( lim_ {x to0 ^ +} x cdot e ^ {1 / x} )
  2. ( lim_ {x to0 ^ -} x cdot e ^ {1 / x} )
  3. ( lim_ {x to infty} ln (x + 1) - ln x )
  4. ( lim_ {x to infty} x ^ 2-e ^ x )

Solução

  1. Como (x rightarrow 0 ^ + ), (x rightarrow 0 ) e (e ^ {1 / x} rightarrow infty ). Portanto, temos a forma indeterminada (0 cdot infty ). Reescrevemos a expressão (x cdot e ^ {1 / x} ) como ( frac {e ^ {1 / x}} {1 / x} ); agora, como (x rightarrow 0 ^ + ), obtemos a forma indeterminada ( infty / infty ) à qual a regra de L'Hôpital pode ser aplicada. $$ lim_ {x to0 ^ +} x cdot e ^ {1 / x} = lim_ {x to 0 ^ +} frac {e ^ {1 / x}} {1 / x} stackrel { text {por LHR} } {=} lim_ {x a 0 ^ +} frac {(- 1 / x ^ 2) e ^ {1 / x}} {- 1 / x ^ 2} = lim_ {x to 0 ^ +} e ^ {1 / x} = infty. $$ Interpretação: (e ^ {1 / x} ) cresce "mais rápido" do que (x ) diminui para zero , o que significa que seu produto cresce sem limites.
  2. Como (x rightarrow 0 ^ - ), (x rightarrow 0 ) e (e ^ {1 / x} rightarrow e ^ {- infty} rightarrow 0 ). O limite avalia para (0 cdot 0 ) que não é uma forma indeterminada. Concluímos então que $$ lim_ {x to 0 ^ -} x cdot e ^ {1 / x} = 0. ]
  3. Este limite avalia inicialmente para a forma indeterminada ( infty- infty ). Ao aplicar uma regra logarítmica, podemos reescrever o limite como
    $$ lim_ {x to infty} ln (x + 1) - ln x = lim_ {x to infty} ln left ( frac {x + 1} x right). $ $ Como (x rightarrow infty ), o argumento do termo ( ln ) se aproxima de ( infty / infty ), ao qual podemos aplicar a regra de L'Hôpital. $$ lim_ {x to infty} frac {x + 1} x stackrel { text {por LHR} } {=} frac11 = 1. $$ Desde (x rightarrow infty ) implica ( frac {x + 1} x rightarrow 1 ), segue-se que $$ x rightarrow infty quad text {implica} quad ln left ( frac {x + 1} x right) rightarrow ln 1 = 0. ]

    Assim, $$ lim_ {x to infty} ln (x + 1) - ln x = lim_ {x to infty} ln left ( frac {x + 1} x right) = 0. $$ Interpretação: uma vez que este limite é avaliado como 0, significa que para grande (x ), não há essencialmente nenhuma diferença entre ( ln (x + 1) ) e ( ln x ); sua diferença é essencialmente 0.

  4. O limite ( lim_ {x to infty} x ^ 2-e ^ x ) inicialmente retorna a forma indeterminada ( infty- infty ). Podemos reescrever a expressão fatorando (x ^ 2 ); (x ^ 2-e ^ x = x ^ 2 left (1- frac {e ^ x} {x ^ 2} right). ) Precisamos avaliar como (e ^ x / x ^ 2 ) se comporta como (x rightarrow infty ): $$ lim_ {x to infty} frac {e ^ x} {x ^ 2} stackrel { text {por LHR} } { =} lim_ {x to infty} frac {e ^ x} {2x} stackrel { text {por LHR} } {=} lim_ {x to infty} frac {e ^ x} {2} = infty. ]

    Assim, ( lim_ {x to infty} x ^ 2 (1-e ^ x / x ^ 2) ) avalia como ( infty cdot (- infty) ), que não é uma forma indeterminada ; em vez disso, ( infty cdot (- infty) ) avalia para (- infty ). Concluímos que ( lim_ {x to infty} x ^ 2-e ^ x = - infty. )

    Interpretação: conforme (x ) fica grande, a diferença entre (x ^ 2 ) e (e ^ x ) fica muito grande.

Formas indeterminadas (0 ^ 0 ), (1 ^ infty ) e ( infty ^ 0 )

Quando confrontado com uma forma indeterminada que envolve um poder, muitas vezes ajuda empregar a função logarítmica natural. A seguinte ideia-chave expressa o conceito, que é seguida por um exemplo que demonstra seu uso.

Ideia-chave 20: Avaliação de limites envolvendo formulários indeterminados (0 ^ 0 ), (1 ^ infty ) e ( infty ^ 0 )

Se ( lim_ {x a c} ln big (f (x) big) = L ), então ( lim_ {x a c} f (x) = lim_ {x a c} e ^ { ln (f (x))} = e , ^ L. )

Exemplo ( PageIndex {4} ): Usando a regra de L'Hôpital com formas indeterminadas envolvendo expoentes

Avalie os seguintes limites.

(1. lim_ {x to infty} left (1+ frac1x right) ^ x qquad qquad 2. lim_ {x to0 ^ +} x ^ x. )

Solução

  1. Isso equivale a um limite especial dado no Teorema ref {thm: lim_continuous}; esses limites têm aplicações importantes em matemática e finanças. Observe que o expoente se aproxima de ( infty ) enquanto a base se aproxima de 1, levando à forma indeterminada (1 ^ infty ). Seja (f (x) = (1 + 1 / x) ^ x ); o problema pede para avaliar ( lim_ {x to infty} f (x) ). Vamos primeiro avaliar ( lim_ {x to infty} ln big (f (x) big) ). [ begin {align} lim_ {x to infty} ln big (f (x) big) & = lim_ {x to infty} ln left (1+ frac1x right ) ^ x & = lim_ {x a infty} x ln left (1+ frac1x right) & = lim_ {x to infty} frac { ln left ( 1+ frac1x right)} {1 / x} end {align} ] Isso produz a forma indeterminada 0/0, então aplicamos a regra de L'Hôpital. [ begin {align} & = lim_ {x to infty} frac { frac {1} {1 + 1 / x} cdot (-1 / x ^ 2)} {(- 1 / x ^ 2)} & = lim_ {x to infty} frac {1} {1 + 1 / x} & = 1. end {align} ] Assim ( lim_ {x to infty} ln big (f (x) big) = 1. ) Voltamos ao limite original e aplicamos a ideia-chave 20. $$ lim_ {x to infty} left (1+ frac1x right) ^ x = lim_ {x to infty} f (x) = lim_ {x to infty} e ^ { ln (f (x))} = e ^ 1 = e. ]
  2. Este limite leva à forma indeterminada (0 ^ 0 ). Seja (f (x) = x ^ x ) e considere primeiro ( lim_ {x to0 ^ +} ln big (f (x) big) ). [ begin {align} lim_ {x to0 ^ +} ln big (f (x) big) & = lim_ {x to0 ^ +} ln left (x ^ x right) & = lim_ {x to0 ^ +} x ln x & = lim_ {x to0 ^ +} frac { ln x} {1 / x}. end {align} ] Isso produz a forma indeterminada (- infty / infty ), então aplicamos a regra de L'Hôpital. [ begin {align} & = lim_ {x to0 ^ +} frac {1 / x} {- 1 / x ^ 2} & = lim_ {x to0 ^ +} -x & = 0. end {align} ] Assim, ( lim_ {x to0 ^ +} ln big (f (x) big) = 0 ). Voltamos ao limite original e aplicamos a ideia-chave 20. $$ lim_ {x to0 ^ +} x ^ x = lim_ {x to0 ^ +} f (x) = lim_ {x to0 ^ +} e ^ { ln (f (x))} = e ^ 0 = 1. $$ Este resultado é suportado pelo gráfico de (f (x) = x ^ x ) dado na Figura ( PageIndex {1 } ).

Figura ( PageIndex {1} ): Um gráfico de (f (x) = x ^ x ) apoiando o fato de que como (x a 0 ^ + ), (f (x) a 1 ).

Nossa breve revisão dos limites será recompensada na próxima seção, onde consideramos integração imprópria. Até agora, consideramos apenas integrais definidos onde os limites são números finitos, como ( int_0 ^ 1 f (x) dx ). A integração inadequada considera integrais onde um ou ambos os limites são "infinitos". Essas integrais têm muitos usos e aplicações, além de gerar ideias que são esclarecedoras.


Assista o vídeo: Obliczanie granic regułą de lHospitala (Outubro 2021).