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5.2: Sistemas Homogêneos de Equações Diferenciais


Nesta discussão iremos investigar como resolver certos sistemas homogêneos de equações diferenciais lineares. Também veremos um esboço das soluções.

Exemplo ( PageIndex {1} )

Considere o sistema de equações diferenciais

[x '= x + y não numérico ]

[y '= -2x + 4y. enhum número ]

Este é um sistema de equações diferenciais. Claramente, a solução trivial ( (x = 0 ) e (y = 0 )) é uma solução, que é chamada de para este sistema. Queremos investigar o comportamento das outras soluções. Eles se aproximam da origem ou são repelidos dela? Podemos representar graficamente o sistema traçando setas de direção. Vamos calcular algumas dessas setas e então usar um computador para terminar o gráfico.

Considere o ponto ((0,1) ). Nós temos

[x '= 1 ; ; ; text {e} ; ; ; y '= 4 não numérico ]

de modo a

[ dfrac {dy} {dx} = dfrac {4} {1} = 4. nonumber ]

Traçamos uma pequena seta emanando de ((0,1) ) com inclinação 4.

Considere o ponto ((1,0) ). Nós temos

[x '= 1 ; ; ; text {e} ; ; ; y '= -2 não numérico ]

de modo a

[ dfrac {dy} {dx} = dfrac {-2} {1} = -2. nonumber ]

Traçamos uma pequena seta emanando de ((1,0) ) com inclinação -2. Abaixo está um gráfico gerado por computador. Chamamos o plano xy de plano de fase para a equação diferencial e o gráfico do retrato de fase.

Observe que todas as soluções são repelidas desde a origem. A origem é chamada de ponto de equilíbrio instável.

Nossa próxima tarefa é encontrar uma solução explícita para o sistema. Nós escrevemos o sistema como

[ textbf {x} '= A textbf {x} nonumber ]

Onde

[A = begin {pmatrix} 1 e 1 -2 & 4 end {pmatrix}. enhum número ]

Assim como com as equações diferenciais de ordem superior, assumimos que a solução está na forma

[ textbf {x} = textbf {z} e ^ {rt} nonumber ]

Onde x é uma solução vetorial e z é um vetor constante. Nós temos

[ textbf {x} '= r textbf {z} e ^ {rt} nonumber ]

de modo a

[r textbf {z} e ^ {rt} = A textbf {z} e ^ {rt}. enhum número ]

Podemos dividir por (e ^ {rt} ) para obter

[A textbf {z} = r textbf {z}. Não numérico ]

Encontrar uma solução é equivalente a encontrar um valor próprio da matriz. Podemos usar uma calculadora para descobrir que os valores próprios são

[r = 2 ; ; ; text {e} ; ; ; r = 3. não numérico ]

Para encontrar as constantes, podemos inserir os valores próprios em

[A - rI. enhum número ]

Conectar (r = 2 ) dá

[A-2I = begin {pmatrix} -1 & -1 -2 & 2 end {pmatrix}. enhum número ]

A primeira linha nos diz que

[-x + y = 0 não numérico ]

e o vetor próprio é

[z_2 = begin {pmatrix} 1 1 end {pmatrix}. enhum número ]

Conectar (r = 3 ) dá

[A-3I = begin {pmatrix} -2 & 1 -2 & 1 end {pmatrix}. enhum número ]

A primeira linha nos diz que

[- 2x + y = 0 não numérico ]

e o vetor próprio é

[z_3 = begin {pmatrix} 1 2 end {pmatrix}. enhum número ]

Podemos concluir que a solução geral é

[ begin {pmatrix} x y end {pmatrix} = c_1 begin {pmatrix} 1 1 end {pmatrix} e ^ {2t} + c_2 begin {pmatrix} 1 2 end {pmatrix} e ^ {3t} nonumber ]

ou aquilo

[x = c_1e ^ {2t} + c_2e ^ {3t} não numérico ]

[y = c_1e ^ {2t} + 2c_2e ^ {3t}. enhum número ]

Existe uma relação de direção entre o tipo de nó da origem e os autovalores da matriz. No exemplo acima, os valores próprios são positivos, portanto, xey são repelidos da origem conforme (t ) se torna grande. Em particular, se qualquer um dos autovalores for positivo, então as trajetórias se repelem da origem. Se os valores próprios fossem negativos, então (x ) e (y ) se aproximam de zero enquanto (t ) se aproxima de 0. Portanto, todas as trajetórias viajam em direção à origem para (t ).

Os casos em que os autovalores são complexos serão estudados na próxima discussão.


Uma equação diferencial de primeira ordem é Homogêneo quando pode ser desta forma:

tingir dx = F ( y x )

Podemos resolvê-lo usando Separação de Variáveis, mas primeiro criamos uma nova variável v = y x

Usando y = vx e tingir dx = v + x dv dx podemos resolver a equação diferencial.

Um exemplo mostrará como tudo é feito:

Exemplo: Resolva tingir dx = x 2 + y 2 xy

Podemos obtê-lo em F ( y x ) estilo?

Sim, temos uma função de yx .

Agora substitua v = y x

A parte positiva tem a seguinte aparência:

Exemplo: Resolva tingir dx = y (x − y) x 2

Podemos obtê-lo em F ( y x ) estilo?

Agora substitua de volta v = y x

Aqui estão alguns exemplos de valores k:

Exemplo: Resolva tingir dx = x − y x + y

Podemos obtê-lo em F ( y x ) estilo?

Agora substitua de volta v = y x

Estamos quase lá. é bom separar y embora!
Podemos tentar fatorar x 2 −2xy − y 2, mas devemos fazer alguns rearranjos primeiro:


Como os coeficientes da equação diferencial e sua equação característica são reais, qualquer raiz complexa aparece no par conjugado complexo a ± b i, a pm bi, a ± b i, onde a a a e b b b são reais e i = - 1. sqrt <-1>. - 1

Qual é a solução geral para a equação diferencial y ′ ′ - 4 y ′ + 13 y = 0 y & # x27 & # x27-4y & # x27 + 13y = 0 y ′ ′ - 4 y ′ + 1 3 y = 0?

Quando há raízes complexas repetidas, elas podem ser explicadas da mesma forma que com raízes reais repetidas.


5.2: Sistemas Homogêneos de Equações Diferenciais

Resolva um sistema de várias equações diferenciais ordinárias em várias variáveis ​​usando a função dsolve, com ou sem condições iniciais. Para resolver uma única equação diferencial, consulte Resolver equação diferencial.

Resolva o sistema de equações diferenciais

Resolva este sistema de equações diferenciais lineares de primeira ordem.

d u d t = 3 u + 4 v, d v d t = - 4 u + 3 v.

Primeiro, represente você e v usando símbolos para criar as funções simbólicas u (t) e v (t).

Defina as equações usando == e represente a diferenciação usando a função diff.

Resolva o sistema usando a função dsolve que retorna as soluções como elementos de uma estrutura.

Se dsolve não puder resolver sua equação, tente resolver a equação numericamente. Consulte Resolver uma equação diferencial de segunda ordem numericamente.

Para acessar u (t) ev (t), indexe na estrutura S.

Como alternativa, armazene u (t) ev (t) diretamente, fornecendo vários argumentos de saída.

As constantes C1 e C2 aparecem porque nenhuma condição foi especificada. Resolva o sistema com as condições iniciais u (0) == 0 e v (0) == 0. A função dsolve encontra valores para as constantes que satisfazem essas condições.

Visualize a solução usando fplot.

Resolva equações diferenciais na forma de matriz

Resolva equações diferenciais em forma de matriz usando dsolve.

Considere este sistema de equações diferenciais.

d x d t = x + 2 y + 1, d y d t = - x + y + t.

A forma matricial do sistema é

[x 'y'] = [1 2 - 1 1] [x y] + [1 t].

Y = [x y], A = [1 2 - 1 1], B = [1 t].

Defina essas matrizes e a equação da matriz.

Resolva a equação da matriz usando dsolve. Simplifique a solução usando a função simplify.

As constantes C1 e C2 aparecem porque nenhuma condição foi especificada.

Resolva o sistema com as condições iniciais você(0) = 2 e v(0) = & # 82111. Ao especificar equações na forma de matriz, você deve especificar as condições iniciais também na forma de matriz. dsolve encontra valores para as constantes que satisfazem essas condições.


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R: Observação: como você fez várias perguntas, resolveremos a primeira para você. Se você quiser .

P: Você pode resolver esta questão rapidamente, por favor

R: Clique para ver a resposta

Q: Encontre as dimensões do maior cone circular direito que pode ser inscrito em uma esfera de raio 1.

R: Para determinar as dimensões do cone circular direito que está inscrito na esfera de raio r, abeto.

Q: Encontre a solução geral da equação diferencial. Insira os termos transitórios, se houver. x ^ 2y & # x27 + xy = 7

R: Aqui descobriremos a solução geral necessária para dada equação diferencial.

Q: A ordem do elemento 16+ em Z24 / é nenhuma das opções 1 4 8.

R: A ordem de um elemento a em um grupo G é o número de elementos no subgrupo cíclico de G. Também.

Q: Mostre que uma solução implícita de 2x sen? (Y) dx - (x2 + 17) cos (y) dy = 0 é dada por In (x? + 17) +.

R: Clique para ver a resposta

Q: Seja G = Z24 e N =. Então, | Z24 / [é nenhuma das opções 3 24 9.

R: Clique para ver a resposta

Q: Seja G = U (15) e N = U3 (15) e seja Ur (n) = . O grupo de fatores G / N.

R: Clique para ver a resposta

Q: Sejam (x, y) e (z, w) dois pontos em R? indique qual dos seguintes não define a métrica em R? .


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Sobre este curso

As equações diferenciais são a linguagem dos modelos que usamos para descrever o mundo que nos rodeia. A maioria dos fenômenos requer não uma única equação diferencial, mas um sistema de equações diferenciais acopladas. Neste curso, desenvolveremos o conjunto de ferramentas matemáticas necessário para entender sistemas 2x2 de equações diferenciais lineares e não lineares de primeira ordem. Usaremos sistemas 2x2 e matrizes para modelar:

  • populações de predadores-presas em um ecossistema,
  • competição pelo turismo entre dois estados,
  • o perfil de temperatura de um ovo fervendo macio,
  • suspensões de automóveis para uma viagem tranquila,
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  • Foto do coelho por Marit & amp Toomas Hinnosaar no Flickr (CC BY 2.0)

Más información sobre este curso

Lo que aprenderás

  • Como modelar problemas do mundo real por sistemas 2x2 de equações diferenciais
  • Como usar métodos matriciais para resolver sistemas homogêneos de 2 equações diferenciais lineares de primeira ordem
  • Como usar métodos gráficos para compreender o comportamento qualitativo de sistemas lineares e não lineares e como aplicar a aproximação linear a sistemas 2x2 não lineares (autônomos)

Ampliar lo que aprenderás

Plan de estudios

Unidade 1: sistemas lineares 2x2
1. Introdução aos sistemas de equações diferenciais
2. Resolução de sistemas lineares homogêneos 2x2 de equações diferenciais
3. Autovalores complexos, retratos de fase e energia
4. O plano determinante do traço e a estabilidade

Unidade 2: Sistemas 2x2 não lineares

5. Aproximação linear de sistemas autônomos
6. Estabilidade de sistemas autônomos
7. Pêndulo não linear


5.2: Sistemas Homogêneos de Equações Diferenciais

Use a eliminação de Gauss para resolver o seguinte sistema homogêneo de equações.

Solução: Por transformações elementares, a matriz de coeficiente pode ser reduzida à forma escalonada de linha

A classificação dessa matriz é igual a 3 e, portanto, o sistema com quatro incógnitas tem um número infinito de soluções, dependendo de uma variável livre. Se escolhermos x 4 como a variável livre e definirmos x 4 = c, as principais incógnitas devem ser expressas por meio do parâmetro c. A matriz acima corresponde ao seguinte sistema homogêneo

A última equação implica

Usando o método de substituição reversa, obtemos

Portanto, a solução geral do sistema dado é dada pela seguinte fórmula:

Para obter uma solução particular x 1, devemos atribuir algum valor ao parâmetro c. Se c = 4 então

Verificação da solução: Mostre que o conjunto de valores das incógnitas

reduz todas as equações do sistema linear dado a identidades:

Deixar . Encontre a solução do sistema homogêneo de equações lineares

Solução: Transforme a matriz de coeficientes para a forma escalonada de linha:

Desde então, temos que considerar duas incógnitas como incógnitas principais e atribuir valores paramétricos às outras incógnitas. Definindo x 2 = c 1 e x 3 = c 2, obtemos o seguinte sistema linear homogêneo:

Assim, o determinado sistema tem a seguinte solução geral:

Em vista das propriedades da matriz, a solução geral também pode ser expressa como a combinação linear de soluções particulares:

formam o sistema fundamental de soluções.

Deixar . Resolva o seguinte sistema homogêneo de equações lineares

Explique por que não há soluções, um número infinito de soluções ou exatamente uma solução.

Solução: Observe que qualquer sistema homogêneo é consistente e tem pelo menos a solução trivial.

Transforme a matriz de coeficientes para a forma triangular ou escalonada de linhas.

A classificação de A é igual a 3. Portanto, não existem variáveis ​​livres e o sistema


Assista o vídeo: Studia Rozwiązania, Wykresy Równań Różniczkowych 2 Rzędu Liniowych rozwiązanych metodą Przewidywań (Outubro 2021).