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11.2: Integrais Iterados e teorema de Fubini - Matemática


Integrais iterados e teorema de Fubini

A integral de Riemann em várias variáveis ​​é difícil de calcular a partir da definição. No entanto, se (f dois pontos [0,1] ^ 2 to { mathbb {R}} ) é uma função integrável de Riemann, não é imediatamente claro se as três expressões [ int _ {[0,1 ] ^ 2} f, qquad int_0 ^ 1 int_0 ^ 1 f (x, y) , dx , dy, qquad text {e} qquad int_0 ^ 1 int_0 ^ 1 f (x, y) , dy , dx ] são iguais, ou se os dois últimos são bem definidos.

Defina [f (x, y): = begin {cases} 1 & text {if $ x = nicefrac {1} {2} $ e $ y in { mathbb {Q}} $,} 0 & text {caso contrário.} End {casos} ] Então (f ) é Riemann integrável em (R: = [0,1] ^ 2 ) e ( int_R f = 0 ) . Além disso, ( int_0 ^ 1 int_0 ^ 1 f (x, y) , dx , dy = 0 ). No entanto [ int_0 ^ 1 f ( nicefrac {1} {2}, y) , dy ] não existe, então não podemos nem escrever ( int_0 ^ 1 int_0 ^ 1 f (x, y) , dy , dx ).

Prova: vamos começar com a integrabilidade de (f ). Simplesmente pegamos a partição de ([0,1] ^ 2 ) onde a partição na direção (x ) é ( {0, nicefrac {1} {2} - epsilon, nicefrac { 1} {2} + epsilon, 1 } ) e na direção (y ) ( {0, 1 } ). Os sub-retângulos da partição são [R_1: = [0, nicefrac {1} {2} - epsilon] times [0,1], qquad R_2: = [ nicefrac {1} {2} - epsilon, nicefrac {1} {2} + epsilon] times [0,1], qquad R_3: = [ nicefrac {1} {2} + epsilon, 1] times [0,1]. ] Temos (m_1 = M_1 = 0 ), (m_2 = 0 ), (M_2 = 1 ) e (m_3 = M_3 = 0 ). Portanto, [L (P, f) = m_1 ( nicefrac {1} {2} - epsilon) cdot 1 + m_2 (2 epsilon) cdot 1 + m_3 ( nicefrac {1} {2} - epsilon) cdot 1 = 0, ] e [U (P, f) = M_1 ( nicefrac {1} {2} - epsilon) cdot 1 + M_2 (2 epsilon) cdot 1 + M_3 ( nicefrac {1} {2} - epsilon) cdot 1 = 2 epsilon. ] A soma superior e inferior são arbitrariamente próximas e a soma inferior é sempre zero, portanto a função é integrável e ( int_R f = 0 ).

Para qualquer (y ), a função que leva (x ) a (f (x, y) ) é zero, exceto talvez em um único ponto (x = nicefrac {1} {2} ) . Sabemos que tal função é integrável e ( int_0 ^ 1 f (x, y) , dx = 0 ). Portanto, ( int_0 ^ 1 int_0 ^ 1 f (x, y) , dx , dy = 0 ).

No entanto, se (x = nicefrac {1} {2} ), a função que leva (y ) para (f ( nicefrac {1} {2}, y) ) é a função não integrável que é 1 nos racionais e 0 nos irracionais. Ver .

Resolveremos este problema de integrais indefinidos dentro de usar os integrais superiores e inferiores, que são sempre definidos.

Dividimos ({ mathbb {R}} ^ {n + m} ) em duas partes. Ou seja, escrevemos as coordenadas em ({ mathbb {R}} ^ {n + m} = { mathbb {R}} ^ n vezes { mathbb {R}} ^ m ) como (( x, y) ) onde (x in { mathbb {R}} ^ n ) e (y in { mathbb {R}} ^ m ). Para uma função (f (x, y) ), escrevemos [f_x (y): = f (x, y) ] quando (x ) é fixo e desejamos falar da função em termos de (y ). Escrevemos [f ^ y (x): = f (x, y) ] quando (y ) é fixo e desejamos falar da função em termos de (x ).

[mv: fubinivA] Seja (R times S subset { mathbb {R}} ^ n times { mathbb {R}} ^ m ) ser um retângulo fechado e (f dois pontos R times S para { mathbb {R}} ) ser integrável. As funções (g dois pontos R para { mathbb {R}} ) e (h dois pontos R para { mathbb {R}} ) definidas por [g (x): = underline { int_S} f_x qquad text {e} qquad h (x): = overline { int_S} f_x ] são integráveis ​​sobre (R ) e [ int_R g = int_R h = int_ { R vezes S} f. ]

Em outras palavras [ int_ {R times S} f = int_R left ( underline { int_S} f (x, y) , dy right) , dx = int_R left ( overline { int_S} f (x, y) , dy right) , dx. ] Se for descoberto que (f_x ) é integrável para todos (x ), por exemplo quando (f ) é contínuo, então obtemos o mais familiar [ int_ {R times S} f = int_R int_S f (x, y) , dy , dx. ]

Seja (P ) uma partição de (R ) e (P ') uma partição de (S ). Sejam (R_1, R_2, ldots, R_N ) os sub-retângulos de (P ) e (R'_1, R'_2, ldots, R'_K ) os sub-retângulos de (P ' ) Então (P times P ') é a partição cujos sub-retângulos são (R_j times R'_k ) para todos (1 leq j leq N ) e todos (1 leq k leq K ).

Seja [m_ {j, k}: = inf _ {(x, y) in R_j times R'_k} f (x, y). ] Notamos que (V (R_j times R'_k ) = V (R_j) V (R'_k) ) e, portanto, [L (P vezes P ', f) = sum_ {j = 1} ^ N sum_ {k = 1} ^ K m_ {j , k} , V (R_j vezes R'_k) = sum_ {j = 1} ^ N left ( sum_ {k = 1} ^ K m_ {j, k} , V (R'_k) right) V (R_j). ] Se deixarmos [m_k (x): = inf_ {y in R'_k} f (x, y) = inf_ {y in R'_k} f_x ( y), ] então é claro se (x em R_j ) então (m_ {j, k} leq m_k (x) ). Portanto [ sum_ {k = 1} ^ K m_ {j, k} , V (R'_k) leq sum_ {k = 1} ^ K m_k (x) , V (R'_k) = L (P ', f_x) leq underline { int_S} f_x = g (x). ] Como temos a desigualdade para todos (x em R_j ) temos [ sum_ {k = 1} ^ K m_ {j, k} , V (R'_k) leq inf_ {x in { mathbb {R}} _ j} g (x). ] Obtemos assim [L (P vezes P ', f) leq sum_ {j = 1} ^ N left ( inf_ {x in { mathbb {R}} _ j} g (x) right) V (R_j) = L (P, g). ]

Da mesma forma (U (P vezes P ', f) geq U (P, h) ), e a prova dessa desigualdade é deixada como um exercício.

Juntando isso, temos [L (P vezes P ', f) leq L (P, g) leq U (P, g) leq U (P, h) leq U (P vezes P' , f). ] E como (f ) é integrável, deve ser que (g ) seja integrável como [U (P, g) - L (P, g) leq U (P times P ', f) - L (P vezes P', f), ] e podemos fazer o lado direito arbitrariamente pequeno. Além disso, como (L (P vezes P ', f) leq L (P, g) leq U (P vezes P', f) ) devemos ter que ( int_R g = int_ {R times S} f ).

Da mesma forma, temos [L (P vezes P ', f) leq L (P, g) leq L (P, h) leq U (P, h) leq U (P vezes P', f ), ] e, portanto, [U (P, h) - L (P, h) leq U (P vezes P ', f) - L (P vezes P', f). ] Portanto, se (f ) é integrável, então é (h ), e como (L (P vezes P ', f) leq L (P, h) leq U (P vezes P', f) ) devemos ter isso ( int_R h = int_ {R times S} f ).

Também podemos fazer a integração iterada na ordem oposta. A prova desta versão é quase idêntica à versão A, e a deixamos como um exercício para o leitor.

[mv: fubinivB] Seja (R times S subset { mathbb {R}} ^ n times { mathbb {R}} ^ m ) ser um retângulo fechado e (f dois pontos R times S para { mathbb {R}} ) ser integrável. As funções (g dois pontos S para { mathbb {R}} ) e (h dois pontos S para { mathbb {R}} ) definidas por [g (x): = underline { int_S} f ^ y qquad text {e} qquad h (x): = overline { int_S} f ^ x ] são integráveis ​​sobre (S ) e [ int_S g = int_S h = int_ {R vezes S} f. ]

Ou seja, também temos [ int_ {R times S} f = int_S left ( underline { int_R} f (x, y) , dx right) , dy = int_S left ( overline { int_R} f (x, y) , dx right) , dy. ]

Em seguida, suponha que (f_x ) e (f ^ y ) sejam integráveis ​​para simplificar. Por exemplo, suponha que (f ) seja contínuo. Então, colocando as duas versões juntas, obtemos o familiar [ int_ {R times S} f = int_R int_S f (x, y) , dy , dx = int_S int_R f (x, y) , dx , dy. ]

Freqüentemente, o teorema de Fubini é declarado em duas dimensões para uma função contínua (f colon R to { mathbb {R}} ) em um retângulo (R = [a, b] times [c, d] ) Então, o teorema de Fubini afirma que [ int_R f = int_a ^ b int_c ^ df (x, y) , dy , dx int_c ^ d int_a ^ bf (x, y) , dx , dy . ] E o teorema de Fubini é comumente considerado como o teorema que nos permite trocar a ordem das integrais iteradas.

Podemos também obter o teorema de Fubini repetidamente aplicando o seguinte corolário: Let (R: = [a ^ 1, b ^ 1] times [a ^ 2, b ^ 2] times cdots times [a ^ n, b ^ n] subset { mathbb {R}} ^ n ) seja um retângulo fechado e deixe (f dois pontos R para { mathbb {R}} ) ser contínuo. Então [ int_R f = int_ {a ^ 1} ^ {b ^ 1} int_ {a ^ 2} ^ {b ^ 2} cdots int_ {a ^ n} ^ {b ^ n} f ( x ^ 1, x ^ 2, ldots, x ^ n) , dx ^ n , dx ^ {n-1} cdots dx ^ 1. ]

Obviamente, também podemos mudar a ordem de integração para qualquer ordem que desejarmos. Também podemos relaxar o requisito de continuidade certificando-nos de que todas as funções intermediárias são integráveis ​​ou usando integrais superiores ou inferiores.

Exercícios

Prove a asserção (U (P vezes P ', f) geq U (P, h) ) da prova de.

Prove.

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Assista o vídeo: INTEGRAL POR PARTES - Cálculo 1 #43 Agora ficou fácil! (Outubro 2021).