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11.4: O conjunto de funções integráveis ​​de Riemann - matemática


Oscilação e continuidade

Seja (S subset { mathbb {R}} ^ n ) um conjunto e (f dois pontos S para { mathbb {R}} ) uma função. Para qualquer ( delta> 0 ) defina a oscilação de (f ) na ( delta ) - bola na topologia de subconjunto que é (B_S (x, delta) = B _ {{ mathbb { R}} ^ n} (x, delta) cap S ) as [o (f, x, delta): = { sup_ {y in B_S (x, delta)} f (y) } - { inf_ {y in B_S (x, delta)} f (y)} = sup_ {y_1, y_2 in B_S (x, delta)} bigl (f (y_1) -f (y_2 ) bigr). ] Ou seja, (o (f, x, delta) ) é o comprimento do menor intervalo que contém a imagem (f bigl (B_S (x, delta) bigr) ). Claramente (o (f, x, delta) geq 0 ) e observe (o (f, x, delta) leq o (f, x, delta ') ) sempre que ( delta < delta'). Portanto, o limite como ( delta a 0 ) da direita existe e definimos o oscilação de uma função (f ) em (x ) como [o (f, x): = lim _ { delta a 0 ^ +} o (f, x, delta) = inf _ { delta> 0} o (f, x, delta). ]

(f dois pontos S a { mathbb {R}} ) é contínuo em (x em S ) se e somente se (o (f, x) = 0 ).

Primeiro, suponha que (f ) seja contínuo em (x em S ). Então, dado qualquer ( epsilon> 0 ), existe um ( delta> 0 ) tal que para (y in B_S (x, delta) ) temos ( left lvert {f (x) -f (y)} right rvert < epsilon ). Portanto, se (y_1, y_2 in B_S (x, delta) ) então [f (y_1) -f (y_2) = f (y_1) -f (x) - bigl (f (y_2) -f (x) bigr) < epsilon + epsilon = 2 epsilon. ] Tomamos o supremo sobre (y_1 ) e (y_2 ) [o (f, x, delta) = sup_ { y_1, y_2 in B_S (x, delta)} bigl (f (y_1) -f (y_2) bigr) leq 2 epsilon. ] Portanto, (o (x, f) = 0 ) .

Por outro lado, suponha que (o (x, f) = 0 ). Dado qualquer ( epsilon> 0 ), encontre um ( delta> 0 ) tal que (o (f, x, delta) < epsilon ). Se (y in B_S (x, delta) ) então [ left lvert {f (x) -f (y)} right rvert leq sup_ {y_1, y_2 in B_S (x , delta)} bigl (f (y_1) -f (y_2) bigr) = o (f, x, delta) < epsilon. qedhere ]

[prop: seclosed] Seja (S subset { mathbb {R}} ^ n ) fechado, (f dois pontos S para { mathbb {R}} ), e ( epsilon> 0 ). O conjunto ( {x in S: o (f, x) geq epsilon } ) está fechado.

Da mesma forma, queremos mostrar que (G = {x in S: o (f, x) < epsilon } ) está aberto na topologia de subconjunto. Como ( inf _ { delta> 0} o (f, x, delta) < epsilon ), encontre a ( delta> 0 ) tal que [o (f, x, delta) < epsilon ] Pegue qualquer ( xi in B_S (x, nicefrac { delta} {2}) ). Observe que (B_S ( xi, nicefrac { delta} {2}) subconjunto B_S (x, delta) ). Portanto, [o (f, xi, nicefrac { delta} {2}) = sup_ {y_1, y_2 in B_S ( xi, nicefrac { delta} {2})} bigl (f (y_1) -f (y_2) bigr) leq sup_ {y_1, y_2 in B_S (x, delta)} bigl (f (y_1) -f (y_2) bigr) = o (f, x , delta) < epsilon. ] Então (o (f, xi) < epsilon ) também. Como isso é verdade para todos os ( xi in B_S (x, nicefrac { delta} {2}) ), obtemos que (G ) está aberto na topologia do subconjunto e (S setminus G ) é fechado conforme reivindicado.

O conjunto de funções integráveis ​​de Riemann

Vimos que as funções contínuas são integráveis ​​de Riemann, mas também sabemos que certos tipos de descontinuidades são permitidos. Acontece que, desde que as descontinuidades ocorram em um conjunto de medida zero, a função é integrável e vice-versa.

Seja (R subset { mathbb {R}} ^ n ) um retângulo fechado e (f dois pontos R para { mathbb {R}} ) uma função limitada. Então (f ) é Riemann integrável se e somente se o conjunto de descontinuidades de (f ) é de medida zero (um conjunto nulo).

Seja (S subset R ) o conjunto de descontinuidades de (f ). Isso é (S = {x in R: o (f, x)> 0 } ). O truque para essa prova é isolar o conjunto defeituoso em um pequeno conjunto de sub-retângulos de uma partição. Existem apenas um número finito de sub-retângulos de uma partição, portanto, desejaremos usar compactação. Se (S ) for fechado, então seria compacto e poderíamos cobri-lo por pequenos retângulos, pois é de medida zero. Infelizmente, em geral (S ) não é fechado, então precisamos trabalhar um pouco mais.

Para cada ( epsilon> 0 ), defina [S_ epsilon: = {x in R: o (f, x) geq epsilon }. ] Por (S_ epsilon ) é fechado e como é um subconjunto de (R ) que é limitado, (S_ epsilon ) é compacto. Além disso, (S_ epsilon subset S ) e (S ) é de medida zero. Via existem finitamente muitos retângulos abertos (S_1, S_2, ldots, S_k ) que cobrem (S_ epsilon ) e ( sum V (S_j) < epsilon ).

O conjunto (T = R setminus (S_1 cup cdots cup S_k) ) é fechado, limitado e, portanto, compacto. Além disso, para (x em T ), temos (o (f, x) < epsilon ). Portanto, para cada (x em T ), existe um pequeno retângulo fechado (T_x ) com (x ) no interior de (T_x ), tal que [ sup_ {y em T_x } f (y) - inf_ {y in T_x} f (y) <2 epsilon. ] Os interiores dos retângulos (T_x ) cobrem (T ). Como (T ) é compacto, existem finitamente muitos desses retângulos (T_1, T_2, ldots, T_m ) que cobre (T ).

Agora pegue todos os retângulos (T_1, T_2, ldots, T_m ) e (S_1, S_2, ldots, S_k ) e construa uma partição de seus pontos finais. Isso é construir uma partição (P ) com sub-retângulos (R_1, R_2, ldots, R_p ) de modo que cada (R_j ) esteja contido em (T_ ell ) para algum ( ell ) ou o fechamento de (S_ ell ) para algum ( ell ). Suponha que ordenamos os retângulos de forma que (R_1, R_2, ldots, R_q ) sejam aqueles que estão contidos em algum (T_ ell ), e (R_ {q + 1}, R_ {q + 2} , ldots, R_ {p} ) são o resto. Em particular, temos [ sum_ {j = 1} ^ q V (R_j) leq V (R) qquad text {e} qquad sum_ {j = q + 1} ^ p V (R_j) leq epsilon. ] Seja (m_j ) e (M_j ) o inf e sup sobre (R_j ) como antes. Se (R_j subconjunto T_ ell ) para algum ( ell ), então ((M_j-m_j) <2 epsilon ). Seja (B in { mathbb {R}} ) tal que ( left lvert {f (x)} right rvert leq B ) para todos (x in R ), então ((M_j-m_j) <2B ) sobre todos os retângulos. Então [ begin {split} U (P, f) -L (P, f) & = sum_ {j = 1} ^ p (M_j-m_j) V (R_j) & = left ( sum_ {j = 1} ^ q (M_j-m_j) V (R_j) direita) + esquerda ( sum_ {j = q + 1} ^ p (M_j-m_j) V (R_j) direita) & leq left ( sum_ {j = 1} ^ q 2 epsilon V (R_j) right) + left ( sum_ {j = q + 1} ^ p 2 BV (R_j) right) & leq 2 epsilon V (R) + 2B epsilon = epsilon (2V (R) + 2B). end {split} ] Claramente, podemos fazer o lado direito tão pequeno quanto quisermos e, portanto, (f ) é integrável.

Para a outra direção, suponha que (f ) seja Riemann integrável sobre (R ). Seja (S ) o conjunto de descontinuidades novamente e agora seja [S_k: = {x in R: o (f, x) geq nicefrac {1} {k} }. ] Corrija um (k in { mathbb {N}} ). Dado um ( epsilon> 0 ), encontre uma partição (P ) com sub-retângulos (R_1, R_2, ldots, R_p ) tal que [U (P, f) -L (P, f) = sum_ {j = 1} ^ p (M_j-m_j) V (R_j) < epsilon ] Suponha que (R_1, R_2, ldots, R_p ) sejam ordenados de modo que os interiores de (R_1, R_2 , ldots, R_ {q} ) se cruzam (S_k ), enquanto os interiores de (R_ {q + 1}, R_ {q + 2}, ldots, R_p ) são disjuntos de (S_k ) Se (x in R_j cap S_k ) e (x ) estiver no interior de (R_j ) de forma que bolas suficientemente pequenas estejam completamente dentro de (R_j ), então, por definição de (S_k ) temos (M_j-m_j geq nicefrac {1} {k} ). Então [ epsilon> sum_ {j = 1} ^ p (M_j-m_j) V (R_j) geq sum_ {j = 1} ^ q (M_j-m_j) V (R_j) geq frac {1 } {k} sum_ {j = 1} ^ q V (R_j) ] Em outras palavras ( sum_ {j = 1} ^ q V (R_j)

O Riemann Integral

Seja $ f $ uma função limitada definida no intervalo fechado e limitado $ [a, b] $. Seja $ P = $ seja uma partição de $ [a, b] $ com:

Seja $ mathcal P [a, b] $ o conjunto de todas as partições em $ [a, b] $. Para cada $ i in <1, 2,. n > $ nós definimos:

Com a notação acima, podemos definir as somas de Riemann superiores e inferiores associadas à partição $ P $ para a função $ f $.

Definição: Seja $ f $ uma função limitada no intervalo fechado e limitado $ [a, b] $ e seja $ P in mathcal wp [a, b] $. O Soma superior de Riemann associada à partição $ P $ para $ f $ é $ displaystyle^ M_i Delta x_i> $. O Soma de Riemann inferior associada à partição $ P $ para $ f $ é $ displaystyle^ m_i Delta x_i> $.

Pode ser mostrado que para quaisquer partições $ P_1, P_2 in mathcal wp [a, b] $ com $ P_1 subseteq P_2 $ temos que:

Portanto, à medida que consideramos as partições que são cada vez mais finas, $ U (P, f) $ diminui e $ L (P, f) $ aumenta. Também pode ser mostrado que para quaisquer partições $ P, P ' in wp [a, b] $:

Ou seja, o conjunto de todas as somas de Riemann superiores é limitado abaixo por qualquer soma de Riemann inferior, e o conjunto de todas as somas de Riemann inferiores é limitado acima por qualquer soma de Riemann superior. Agora definimos as integrais de Riemann superiores e inferiores de uma função limitada $ f $ em $ [a, b] $.

Definição: Seja $ f $ uma função limitada no intervalo fechado e limitado $ [a, b] $. O Integral de Riemann superior de $ f $ é definido como $ displaystyle <(R) overline < int_a ^ b> f (x) : dx = inf > $ e o Integral de Riemann inferior de $ f $ é definido como $ displaystyle <(R) underline < int_a ^ b> f (x) : dx = sup > $.

Outra maneira de definir as integrais de Riemann superiores e inferiores de $ f $ é por meio de funções de passo. Se $ varphi $ é uma função degrau definida em $ [a, b] $, então é fácil mostrar que as integrais de Riemann superior e inferior de $ varphi $ existem e definir as integrais de Riemann superior e inferior de $ f $ para também ser:

Finalmente podemos definir o que significa para uma função limitada $ f $ definida em um intervalo fechado e limitado $ [a, b] $ ser Riemann integrável.


Análise Real Interativa

Primeiro, como de costume, precisamos definir a integração antes de discutir suas propriedades. Começaremos com a definição da integral de Riemann e passaremos para a integral de Lebesgue mais técnica, mas também mais flexível, posteriormente.

Definição 7.1.1: Partição de um intervalo
Uma partição P do intervalo fechado [a, b] é um conjunto finito de pontos P = tal que
  • Qual é a norma de uma partição de 10 subintervalos igualmente espaçados no intervalo [0, 2] ?
  • Qual é a norma de uma partição de n subintervalos igualmente espaçados no intervalo [a, b] ?
  • Mostre que se P ' é um refinamento de P então | P '| | P |.
Definição 7.1.3: Soma de Riemann
Se P = é uma partição do intervalo fechado [a, b] e f é uma função definida nesse intervalo, então o n-ésima soma de Riemann de f com respeito à partição P é definido como:
Nota: Se a função f é positivo, uma soma de Riemann corresponde geometricamente a uma soma de áreas de retângulos com comprimento x j - x j-1 e altura f (t j).
  1. a quinta soma de Riemann para uma partição igualmente espaçada, tomando sempre o ponto final esquerdo de cada subintervalo
  2. a quinta soma de Riemann para uma partição igualmente espaçada, tomando sempre o ponto final direito de cada subintervalo
  3. a n-ésima soma de Riemann para uma partição igualmente espaçada, tomando sempre o ponto final correto de cada subintervalo.
  • para a soma superior: c 1 = f (1), c 2 = f (1,5), e c 3 = f (1,5)
  • para a soma mais baixa: d 1 = f (0,5), d 2 = f (1), e d 3 = f (2)
  • Suponha f (x) = x 2 -1 para x no intervalo [-1, 1]. Encontrar:
    1. A soma da esquerda e da direita onde o intervalo [-1, 1] é subdividido em 10 subintervalos igualmente espaçados.
    2. As somas superior e inferior onde o intervalo [-1, 1] é subdividido em 10 subintervalos igualmente espaçados.
    3. As somas superior e inferior onde o intervalo [-1,1] é subdividido em n subintervalos igualmente espaçados.
  • Por que, em geral, uma soma superior (ou inferior) não é um caso especial de uma soma de Riemann? Encontre uma condição para uma função f de modo que as somas superior e inferior são, na verdade, casos especiais de somas de Riemann.
  • Encontre condições para uma função para que a soma superior possa ser calculada sempre considerando o ponto final esquerdo de cada subintervalo da partição, ou condições para sempre poder obter os pontos finais certos.
  • Suponha f é a função de Dirichlet, ou seja, a função que é igual a 1 para cada número racional e 0 para cada número irracional. Encontre as somas superiores e inferiores no intervalo [0, 1] para uma partição arbitrária.
  • A soma mais baixa está aumentando em relação aos refinamentos das partições, ou seja, L (f, P ') L (f, P) para cada refinamento P 'da partição P
  • A soma superior está diminuindo em relação aos refinamentos das partições, ou seja, U (f, P ') U (f, P) para cada refinamento P ' da partição P
  • L (f, P) R (f, P) U (f, P) para cada partição P

Em outras palavras, a soma inferior é sempre menor ou igual à soma superior, e a soma superior está diminuindo em relação a um refinamento da partição, enquanto a soma inferior está aumentando em relação a um refinamento da partição. Portanto, uma questão natural é: as duas quantidades coincidirão algum dia?

Definição 7.1.8: O Integral de Riemann
Suponha f é uma função limitada definida em um intervalo fechado e limitado [a, b]. Defina a superior e diminuir Integrais de Riemann, respectivamente, como
  • Mostre que a função constante f (x) = c é Riemann integrável em qualquer intervalo [a, b] e encontre o valor da integral.
  • É a função f (x) = x 2 Riemann integrável no intervalo [0,1] ? Nesse caso, encontre o valor da integral de Riemann. Faça o mesmo para o intervalo [-1, 1].
  • A função de Dirichlet Riemann é integrável no intervalo [0, 1] ?
Lema 7.1.10: Lema de Riemann
Suponha f é uma função limitada definida no intervalo fechado e limitado [a, b]. Então f Riemann é integrável se e somente se para cada & gt 0 existe pelo menos uma partição P de tal modo que
  1. c f (x) + d g (x) dx = c f (x) dx + d g (x) dx
  2. Se a & lt c & lt b então f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx
  3. | f (x) dx | | f (x) | dx
  4. Se g é outra função definida em [a, b] de tal modo que g (x) & lt f (x) em [a, b], então g (x) dx f (x) dx
  5. Se g é outra função integrável de Riemann em [a, b] então f (x). g (x) é integrável em [a, b]
Teorema 7.1.14: Integrais de Riemann de funções contínuas
Cada função contínua em um intervalo fechado e limitado é Riemann integrável. O inverso é falso.

Observe que este teorema não diz nada sobre o valor real da integral de Riemann. Além disso, temos como condição extra gratuita que f é limitada, pois cada função contínua em um conjunto compacto é automaticamente limitada.

Uma vez que as funções diferenciáveis ​​são contínuas, este resultado implica que

  • Encontre uma função que não seja integrável, uma função que seja integrável, mas não contínua, e uma função que seja contínua, mas não diferenciável.
Teorema 7.1.16: Teorema de Lebesgue
Se f é uma função limitada definida em um intervalo fechado e limitado [a, b] então f é Riemann integrável se e somente se o conjunto de pontos onde f é descontínuo e tem medida zero.
Corolário 7.1.17: Integral de Riemann de função quase contínua
Se f é uma função limitada definida em um intervalo fechado e limitado [a, b] e f é contínuo, exceto por no máximo contáveis ​​pontos, então f é Riemann integrável.

O inverso não é bem verdade: se f é uma função limitada definida em um intervalo fechado e limitado [a, b] e f é Riemann integrável, então f é contínuo em [a, b] exceto possivelmente em um conjunto de medida zero, mas um conjunto de medida zero não consiste necessariamente em muitos pontos contáveis.


Integral múltiplo


Uma integral definida de uma função de várias variáveis. Existem vários conceitos diferentes de uma integral múltipla (integral de Riemann, integral de Lebesgue, integral de Lebesgue – Stieltjes, etc.).

A integral múltipla de Riemann é baseada no conceito de uma medida Jordan $ mu $. Seja $ E $ um conjunto mensurável de Jordan no espaço euclidiano $ n $ dimensional $ mathbf R ^ $, deixe $ mu _ $ seja a medida de Jordan $ n $ - dimensional e seja $ tau = > _ ^ $ seja uma partição de $ E $, ou seja, um sistema de conjuntos mensuráveis ​​de Jordan $ E _ $ tal que $ cup _ ^ E _ = E $ e $ mu _ (E _ capa _ ) = 0 $, $ i neq j $, $ i, j = 1 pontos n $. A quantidade

$ delta _ tau = max _ d (E _ ), $

onde $ d (E _ ) $ é o diâmetro de $ E _ $, é chamada de malha da partição $ tau $. Se $ f (x) $, $ x = (x _ <1> dots x _ ) $, é uma função definida em $ E $, então qualquer soma do tipo

$ sigma _ tau = sigma _ tau (f xi ^ <(> 1) dots xi ^ <(> k)) = sum _ ^ f ( xi ^ <(> i)) mu _ (E _ ), $

é chamada de soma integral de Riemann da função $ f $. Se $ f $ tem a propriedade de que $ lim limits _ < delta _ tau rightarrow 0> sigma _ tau $ existe, independentemente da sequência específica de partições, então esse limite é chamado de $ n $ - tupla integral de Riemann de $ f $ sobre $ E $, e é denotada por

A própria função $ f $ é então considerada Riemann integrável ou, mais resumidamente, R-integrável.

Quando $ n = 1 $, o conjunto $ E $ sobre o qual a integração ocorre geralmente é um intervalo e $ tau $ é uma partição que consiste exclusivamente em intervalos (ver integral de Riemann). Portanto, tanto o conjunto sobre o qual a integração é realizada quanto os elementos da partição são conjuntos mensuráveis ​​de Jordan de uma forma muito especial - intervalos. É por isso que nem todas as propriedades de funções que são R-integráveis ​​em um intervalo são válidas para funções que são R-integráveis ​​em conjuntos arbitrários mensuráveis ​​de Jordan. Por exemplo, uma vez que qualquer função definida em um conjunto de medida zero de Jordan é R-integrável nesse conjunto, segue-se que as funções R-integráveis ​​não precisam ser limitadas. Isso é impossível para funções R integráveis ​​em intervalos. Se alguém deseja R-integrabilidade de uma função em algum conjunto para implicar que a função é limitada, certas condições adicionais devem ser impostas ao conjunto, por exemplo, pode-se exigir que o conjunto tenha partições arbitrariamente finas, todos os elementos dos quais têm medida Jordan positiva . A classe definida por esta condição inclui todos os conjuntos abertos mensuráveis ​​da Jordan e seus fechamentos, em particular todos os domínios abertos mensuráveis ​​da Jordan e seus fechamentos. Esses são precisamente os conjuntos para os quais múltiplas integrais de Riemann são usadas com mais frequência. Quando $ n = 2 $ ($ n = 3 $), uma integral múltipla é chamada de integral dupla (tripla) (cf. também integral dupla).

Uma vez que uma integral de Riemann múltipla pode ser avaliada apenas sobre conjuntos mensuráveis ​​de Jordan (se $ n = 2 $ tal conjunto também é chamado de quadrável se $ n = 3 $ também é chamado de cubável), integrais de Riemann duplos (triplos) são considerados em conjuntos (geralmente domínios ou fechamentos de domínios) com limites da área de Jordão (volume) zero.

A integral de Riemann de uma função limitada de $ n $ variáveis ​​($ n geq 1 $) possui as propriedades usuais de uma integral (linearidade, aditividade em relação ao conjunto de integração, preservação de desigualdades não estritas sob integração, integrabilidade de o produto de funções integráveis, etc.).

Uma integral de Riemann múltipla pode ser reduzida a uma integral repetida. Seja $ x = (x ^ prime, x ^ < prime prime>) in mathbf R ^ $,

$ x ^ prime = (x _ <1> dots x _ ) in mathbf R ^ , $

$ x ^ < prime prime> = (x _ dots x _ ) in mathbf R ^ , E subset mathbf R ^ , $

onde $ E $ é um conjunto mensurável de Jordan em $ mathbf R ^ $, $ E (x _ <0> ^ prime) = E cap ^ prime > $ é a interseção de $ E $ com $ (n - m ) $ - hiperplano dimensional $ x ^ prime = x _ <0> ^ prime $, $ E _ > $ é a projeção de $ E $ no hiperplano $ mathbf R ^ = < : = 0> > $, com $ E (x ^ prime) $ e $ E _ > $ mensurável no sentido da medida de Jordan $ (n - m) $ - dimensional e $ m $ - dimensional, respectivamente. Se $ f $ é uma função R-integrável em $ E $ e se para todos $ x ^ prime em E _ > $ the $ (n - m) $ - integrais múltiplas das restrições de $ f $ ao conjunto $ E (x ^ prime) $ existem, então a integral repetida

onde a integral externa é uma integral de Riemann $ m $ - tupla, existe, e

Para $ n = 3 $, isso implica nas seguintes fórmulas:

1) Se $ E subset mathbf R _ ^ <3> $, se $ E _ $ é a projeção de $ E $ no plano $ xy $, e se $ phi (x, y) $ e $ psi (x, y) $, $ x, y em E _ $, são funções com gráficos limitados pelo conjunto $ E $ na direção $ z $, ou seja,

$ = int limits _ > dx dy int limits _ < phi (x, y)> ^ < psi (x, y)> f (x, y, z) dz. $

2) Seja a projeção de $ E $ no eixo $ x $ um intervalo $ [a, b] $, e seja $ E (x) $ a interseção de $ E $ com o plano através do ponto $ x $ paralelo ao plano $ yz $ - então

No caso de $ G $ ser um domínio mensurável de Jordan no espaço $ mathbf R _ ^ $ e $ phi $ também são continuamente diferenciáveis ​​no fechamento $ overline $ de $ G $ em $ mathbf R ^ $, tem-se a seguinte fórmula para substituição de variáveis ​​na integral de uma função $ f $ que é integrável em $ Gamma = phi (G) $:

$ tag <1> int limits _ < phi (G)> f (x) dx = int limits _ f ( phi (t)) | J (t) | dt, $

onde $ J (t) $ é o Jacobiano do mapeamento $ phi $.

O significado geométrico da integral múltipla de Riemann de uma função de $ n $ variáveis ​​está conectado com o conceito de $ (n + 1) $ - medida Jordan dimensional $ mu _ $: Se $ f $ é integrável em um conjunto $ E subset mathbf R _ ^ $, $ f (x) geq 0 $ em $ E $ e se

$ tag <2> int limits _ f (x) dx = mu _ ( UMA). $

Uma integral de Lebesgue múltipla é a integral de Lebesgue de uma função de várias variáveis, a definição é baseada no conceito da medida de Lebesgue no espaço euclidiano $ n $ - dimensional. Uma integral de Lebesgue múltipla pode ser reduzida a uma integral repetida (ver teorema de Fubini). Para mapeamentos um a um continuamente diferenciáveis ​​de domínios, a fórmula (1) para substituição de variáveis ​​é válida, bem como a fórmula (2), que transmite o significado geométrico da integral múltipla de Lebesgue, com $ mu _ $ agora sendo interpretado como a medida de Lebesgue $ (n + 1) $ dimensional.

O conceito de integral múltipla é transportado para funções integráveis ​​em um subconjunto $ A $ do produto $ X vezes Y $ de dois conjuntos $ X $ e $ Y $, em cada um dos quais $ sigma $ - não completo finito -medida negativa, $ mu _ $ e $ mu _ $, respectivamente, foi dado nesta integração de situação sobre $ A $ envolve a medida $ mu $ que é o produto de $ mu _ $ e $ mu _ $.

Para funções de várias variáveis, também se tem o conceito de integral múltipla imprópria (consulte Integral imprópria). O conceito de integral múltipla também é aplicado a integrais indefinidas de funções de várias variáveis: Uma integral múltipla indefinida é uma função de conjunto

$ F (E) = int limits _ f (x) dx, $

onde $ E $ é um conjunto mensurável. Por exemplo, se $ f $ é Lebesgue integrável em algum conjunto, então é a derivada simétrica de sua integral indefinida $ F (E) $ quase em todo o conjunto. Nesse sentido (em analogia ao caso das funções de uma variável), a avaliação de uma integral indefinida é a operação inversa à diferenciação de funções de conjunto.


4 respostas 4

Seja $ f $ limitado e descontínuo exatamente no conjunto Cantor $ C $ (por exemplo, a função característica de $ C $). Seja $ g $ aumentando continuamente em $ [0,1] $ e mapeie um conjunto de medidas positivas (por exemplo, um conjunto de Cantor gordo) em $ C $. Então $ f circ g $ é descontínuo em um conjunto de medidas positivas. Portanto, $ f $ é Riemann integrável, $ g $ é contínuo e $ f circ g $ não é Riemann integrável. Claro, um aluno de cálculo do Freshman não saberá sobre a "medida zero", então este exemplo não é bom para um curso elementar.

Aviso: não é uma resposta. Em vez disso, alguns comentários e alguns links.

Eu mesmo me deparei com esse problema quando dava uma aula de análise real em um curso de graduação, há alguns anos. O ponto é que no desenvolvimento da integral de Riemann / Darboux, um resultado técnico padrão é que se $ f: [a, b] rightarrow [c, d] $ é integrável e $ varphi: [c, d] rightarrow mathbb$ é contínuo, então $ varphi circ f $ é integrável. Segue-se facilmente que o produto de duas funções integráveis ​​é integrável (o que não é tão óbvio de outra forma). Este resultado aparece, por exemplo, como Teorema 6.11 em Rudin Princípios de Análise Matemática.

É fácil ver que a composição das funções integráveis ​​não precisa ser integrável. Portanto, é natural perguntar se isso funciona ao contrário. Surpreendentemente, não conheço nenhum texto padrão que trate dessa questão. Rudin imediatamente faz uma pergunta muito mais ambiciosa e depois passa para outra coisa.

Na época, me convenci da existência de $ f $ contínuos e $ varphi $ integráveis ​​de forma que $ varphi circ f $ não era integrável. No entanto, para fazer isso, precisei usar ideias mais avançadas do que eu poderia explicar em meu curso. Pelo menos, é o que diz na p. 7 das minhas notas de aula:

Infelizmente não escrevi o contra-exemplo que tinha em mente (suponho que naquela época eu estava me agarrando ingenuamente à ideia de que as anotações de aula eram para os alunos e não para preservar meu próprio conhecimento do material nos próximos anos), então não sei agora o que era.

O exemplo no artigo do mês de 1999 de Jitan Lu, ao qual Qiaochu se referiu, parece elementar o suficiente para que deva ser pelo menos referenciado em textos e cursos, e possivelmente incluído explicitamente. Para quem não conseguiu o artigo completo no link anterior, agora também está disponível aqui:

Claro, não acredito por um segundo que um exemplo desse tipo (ou seja, para mostrar que $ circ $ contínuo integrável não precisa ser integrável) foi construído pela primeira vez em 1999. Alguém pode fornecer uma referência anterior? (Eu nunca sei como resolver problemas de história da matemática como este.) Devo dizer que estou impressionado que Qiaochu foi capaz de rastrear este papel. A revisão do MathSciNet é bastante inútil. Diz:

Nesta nota, o seguinte resultado é dado. Se $ f $ é uma função integrável de Riemann definida em $ [a, b], g $ é uma função diferenciável com derivada contínua diferente de zero em $ [c, d] $ e o intervalo de $ g $ está contido em $ [a, b] $, então $ f circ g $ é Riemann integrável em $ [c, d] $.

Este não é o resultado principal dado no artigo, ao contrário, é uma proposição apresentada (sem prova!) No final.


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11.4: O conjunto de funções integráveis ​​de Riemann - matemática

A Teoria de
Integração Riemann

Por meio do trabalho de cálculo, particularmente da integração, e sua aplicação ao longo do século foi formidável, não havia nenhuma "teoria" real para isso.

As aplicações de cálculo a problemas de física, ou seja, equações diferenciais parciais, e as idéias incipientes de representação de função por séries trigonométricas exigiam esclarecimento do que era uma função. Correspondingly, this challenged the notion that an integral is just an antiderivative.

Let's trace this development of the integral as a rough and ready way to solve problems of physics to a full-fledged theory.

1. Leonhard Euler (1707-1783) and Jean d'Alembert (1717-1783) argue in 1730-1750's over the ``type'' of solutions that should be admitted as solutions to the wave equation

D'Alembert showed that a solution must have the form

For t =0 we have the initial shape f ( x ).

Note: Here a function is just that. The new notation and designation are fixed.

But just what kinds of functions f can be admitted?

2. D'Alembert argued f must be ``continuous'', i.e. given by a single equation. Euler argued the restriction to be unnecessary and that f could be ``discontinuous'', i.e. it could be formed of many curves.

In the modern sense though both are continuous.

3. Daniel Bernoulli (1700-1782) entered the fray by announcing that solutions must be expressible in a series of the form

where L is the length of the string.

Euler, d'Alembert and Joseph Lagrange (1736-1813) strongly reject this.

4. In the 19 century the notion of arbitrary function again took center stage when Joseph Fourier (1768-1830) presented his celebrated paper on heat conduction to the Paris Academy (1807). In its most general form, Fourier's proposition states:

Any (bounded) function f defined on (- a , a ) can be expressed as

5. For Fourier the notion of function was rooted in the 18 century. In spite of the generality of his statements a ``general" function for him was still continuous in the modern sense. For example, he would call

6. Fourier believed that arbitrary functions behaved very well, that any f ( x ) must have the form

which is of course meaningless.

7. For Fourier, a general function was one whose graph is smooth except for a finite number of exceptional points.

8. Fourier believed and attempted to validate that if the coefficients could be determined then the representation must be valid.

His original proof involved a power series representation and some manipulations with an infinite system of equations.

Lagrange improved things using a more modern appearing argument:

(a) multiply by , (b) integrate between - a and a , term-by-term, (c) interchange to . With the ``orthogonality" of the trig functions the Fourier coefficients are achieved.

The interchange to was not challenged until 1826 by Niels Henrik Abel (1802-1829).

The validity of term-by-term integration was lacking until until Cauchy proved conditions for it to hold.

Nonetheless, even granting the Lagrange program, the points were still thought to be lacking validity until Henri Lebesgue (1875-1941) gave a proper definition of area from which these issues are simple consequences.

9. Gradually, the integral becomes area based rather than antiderivative based. Thus area is again geometrically oriented. Remember though. ß

Area is not yet properly defined. ß

And this issue is to become central to the concept of integral.

10. It is Augustin Cauchy (1789-1857) who gave us the modern definition of continuity and defined the definite integral as a limit of a sum. He began this work in 1814.

11. In his Cours d'analyse (1821) he gives the modern definition of continuity at a point (but uses it over an interval). Two years later he defines the limit of the Cauchy sum

as the definite integral for a continuous function. Moreover, he showed that for any two partitions, the sums could be made arbitrarily small provided the norms of the partitions are sufficiently small. By taking the limit, Cauchy obtains the definite integral.

The basic refinement argument is this: For continuous (i.e. uniformily continuous) functions, the difference of sums and can be made arbitrarily small as a function of the maximum of the norms of the partitions.

This allowed Cauchy to consider primitive functions,

  • Theorem I. F is a primitive function that is F '= f
  • Theorem II. All primitive functions have the form .
  • Theorem III. If G is a function such that G '( x )=0 for all x in [ a , b ], then G ( x ) remains constant there.

Theorems I, II and III form the Fundamental Theorem of Calculus. The proof depends on the then remarkable results about partition refinement. Here he (perhaps unwittingly) envokes uniform continuity.

12. Nonetheless Cauchy still regards functions as equations, that is y = f ( x ) or f ( x , y )=0.

13. Real discontinuous functions finally emerge as those having the form

where is a partition of [ a , b ] and each is a continuous (18 century) function on . Cauchy's theory works for such functions with suitable adjustments. For this notion, the meaning of Fourier's and is resolved.

14. Peter Gustav Lejeune-Dirichlet (1805-1859) was the first mathematician to call attention to the existence of functions discontinuous at an infinite number of points. He gave the first rigorous proof of convergence of Fourier series under general conditions by considering partial sums

(Is there a hint of Vieta here?)

In his proof, he assumes a finite number of discontinuities (Cauchy sense). He obtains convergence to the midpoint of jumps. He needed the continuity to gain the existence of the integral. His proof requires a monotonicity of f .

15. He believed his proof would adapt to an infinite number of discontinuities which in modern terms would be no where dense . He promised the proof but it never came. Had he thought of extending Cauchy's integral as Riemann would do, his monotonicity condition would suffice.

16. In 1864 Rudolf Lipschitz (1831-1904) attempted to extend Dirichlet's analysis. He noted that an expanded notion of integral was needed. He also believed that the nowhere dense set had only a finite set of limit points. (There was no set theory at this time.) He replaced the monotonicity condition with piecewise monotonicity and what is now called a Lipschitz condition .

Recall, a function f ( x ), defined on some interval [ a , b ] is said to satisfy a Lipschitz condition of order if for every x and y in [ a , b ]

for some fixed constant c . Of course, Lipschitz was considering .

Every function with a bounded derivative on an interval, J , satisfies a Lipschitz condition of order 1 on that interval. Simply take

17. In fact Dirichlet's analysis carries over to the case when is finite ( D = set, D ':= limit points of D), and by induction to . (Such sets were introduced by George Cantor (1845-1918) in 1872.)

Example. Consider the set . Then .ß

Example. Consider the set , of all rationals. Then , where R is the set of reals.

Dirichlet may have thought for his set of discontinuities is finite for some n . From Dirichlet we have the beginnings of the distinction between continuous function and integrable function.

18. Dirichlet introduced the salt-pepper function in 1829 as an example of a function defined neither by equation nor drawn curve.

Note. Riemann's integral cannot handle this function. To integrate this function we require the Lebesgue integral.

By way of background, another question was raging during the 19th century, that of continuity vs. differentiability. As late as 1806, the great mathematician A-M Ampere (1775-1836) tried without success to establish the differentiability of an arbitrary function except at ``particular and isolated" values of the variable.

In fact, progress on this front did not advance during the most of the century until in 1875 P. DuBois-Reymond (1831-1889) gave the first conterexample of a continuous function without a derivative.

Bernhard Riemann (1826-66) no doubt acquired his interest in problems connected with trigonometric series through contact with Dirichlet when he spent a year in Berlin. He almost certainly attended Dirichlet's lectures.

For his Habilitationsschrift (1854) Riemann under-took to study the representation of functions by trigonometric functions.

He concluded that continuous functions are represented by Fourier series. He also concluded that functions not covered by Dirichlet do not exist in nature. But there were new applications of trigonometric series to number theory and other places in pure mathematics. This provided impetus to pursue these foundational questions.

Riemann began with the question: when is a function integrable? By that he meant, when do the Cauchy sums converge ?

He assumed this to be the case if and only if

where P is a partition of [ a , b ] with the lengths of the subintervals and the are the corresponding oscillations of f ( x ):

For a given partition P and , define

Riemann proved that the following is a necessary and sufficient condition for integrability (R2): Corresponding to every pair of positive numbers
and there is a positive d such that
if P is any partition with norm
, then S(P,)<.

These conditions and are germs of the idea of Jordan measurability and outer content. But the time was not yet ready for measure theory.

Thus, with and Riemann has integrability without explicit continuity conditions. Yet it can be proved that R -integrability implies f ( x ) is continuous almost everywhere .

Riemann gives this example: Define m ( x ) to be the integer that minimizes | x - m ( x )|. Let

( x ) is discontinuous at x = n /2 when n is odd. Now define

This series converges and f ( x ) is discontinuous at every point of the form x = m /2 n , where ( m , n ) = 1. This is a dense set. At such points the left and right limiting values of this function are

This function satisfies and thus f is R -integrable.

The R -integral lacks important properties for limits of sequences and series of functions. The basic theorem for the limit of integrals is:

Theorem. Let J be a closed interval [ a , b ], and let be a sequence of functions such that

and such that tends uniformily to f ( x ) in J as . Then

That this is unsatisfactory is easily seen from an example. Consider the sequence of functions defined on [0,1] by . Clearly, as , pointwise on [0,1) and , for all n . Because the convergence is not uniform, we cannot conclude from the above theorem that

What is needed is something stronger. Specifically if and , g are integrable and if then f may not be R -integrable.

This is a basic flaw that was finally resolved with Lebesgue integration .

The (incomplete) theory of trigonometric series, particularly the question of representability, continued to drive analysis. The most difficult question was this: what functions are Riemann integrable? To this one and the many other questions that arose we owe the foundations of set theory and transfinite induction as proposed by Georg Cantor. Cantor also sought conditions for convergence and defined the derived sets . He happened on sets

and so on, which formed the basis of his transfinite sets. Another aspect was the development of function spaces and ultimately the functional analysis that was needed to understand them. In a not uncommon reversal we see so much in mathematics, these spaces have played a major role in the analysis of solutions of the partial differentials equations and trigonometric series that initiated their invention. Some of the most active research areas today are direct decendents of this question of integrability.

I might add that these pursuits were fully in concordance with the fundamental philosophy laid down by the Pythagorean school more than two millenia ago.


11.4: The set of Riemann Integrable Functions - Mathematics

18.116: Riemann Surfaces

This is the course website for the course 18.116 Fall 2016 with material and information relevant to the course.
The class meets 9:00-10:00AM on MWF at 2-136.

In the first part of the course we follow the differential geometric approach presented in the textbook by S. Donaldson, with several additions emphasizing examples and applications.

  1. Classification of smooth surfaces
  2. Riemann's Existence Theorem
  3. Solution to Poisson's equation
  4. Riemann-Roch Formula
  5. Uniformization Theorem
  6. Abel-Jacobi Theorem
  1. Hyperbolic surfaces, Fuchsian groups
  2. Differential Equations, Riemann-Hilbert
  3. Moduli space of curves, Teichmuller theory
  4. Dessins d'enfants, Belyi's Theorem
  5. Jacobians and Theta functions
  6. Moduli space of vector bundles
    , M.F. Atiyah, Ann. Sci. de l'ENS (1971). , S. Donaldson, J. Diff. Geom. 18 (1983). , M. F. Atiyah and R. Bott, Phil. Trans. R. Soc. Lond. A (1983).
  1. Linearizing Flows and a Cohomological Interpretation of Lax Equations, Phillip A. Griffiths, American Journal of Mathematics 107 (1985). , N. Hitchin, Duke Math. J. 54 (1987). , A. Beauville, Sém. Bourbaki 35 (1993). , J. Oesterlé, Sém. Bourbaki 44 (2001).
    , D. Mumford, The University of Michigan Press (1975). , H.M. Farkas, I. Kra, Springer Verlag (1980). , N. Hitchin, G. Segal, R. Ward, Oxford Clarendon Press (1999). , Henri Paul de Saint Gervais, ENS Éditions (2010).

Problem Set 2: posted on Sep 19, due to Sep 26.

Problem Set 3: posted on Sep 26, due to Oct 3.

Problem Set 4: posted on Oct 11, due to Oct 19.

Problem Set 5: posted on Oct 21, due to Oct 28.

Midterm Exam: posted on Nov 2, due to Nov 7.

Problem Set 6: posted on Nov 20, due to Nov 30.

Final Exam: posted on Dec 15, due to Dec 22.

    Sep 7: Introduction to 18.116.

Discussion on Elliptic Integrals and Differential Equations as motivation for the study of Riemann Surfaces.
Solved the motion of a pendulum by using periodicity, leading to Weierstrass rho-function.
Modern viewpoint on solving elliptic integrals via integration of a non-vanishing holomorphic 1-form.
Statement of the Uniformization Theorem.

Proof of the classification theorem II: index 1 and T #RP =RP #RP #RP .
Construction of surfaces as quotients of polygons.
Space of oriented lines. Pairs of points in circle.

Definition of a Riemann surface. Maps between Riemann surfaces.
Automorphisms of the complex plane C and the disk D .
Polygons and upper half plane H: Schwarz maps.
The modulus is a holomorphic invariant of annuli.
Holomorphic structure on S .

Metrics on surfaces. Hyperbolic plane.
Gauss Theorem. Isothermal coordinates.
Beltrami Equation. Elliptic coordinates.

Implicit Function Theorem. Local algebraic functions.
Complex projective space. Smooth plane curves.
The twisted cubic. Projective questions.


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Assista o vídeo: Operações com Funções Integráveis (Outubro 2021).