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4.1: Sequências de Números Reais


Habilidades para desenvolver

  • Explique as sequências de números reais

No Capítulo 2, desenvolvemos a equação (1 + x + x ^ 2 + x ^ 3 + cdots = frac {1} {1-x} ) e mencionamos que havia limitações para esta representação de série de potências. Por exemplo, substituir (x = 1 ) e (x = -1 ) nesta expressão leva a

[1 + 1 + 1 + cdots = frac {1} {0} ; ; text {e} 1 - 1 + 1 - 1 + cdots = frac {1} {2} ]

que são bastante difíceis de aceitar. Por outro lado, se substituirmos (x = frac {1} {2} ) na expressão, obtemos (1 + left ( frac {1} {2} right) + left ( frac {1} {2} right) ^ 2 + left ( frac {1} {2} right) ^ 3 + cdots = 2 ) que parece mais palatável até que pensemos sobre isso. Podemos somar dois números pelo método que todos aprendemos na escola primária. Mas infinitamente muitos? Afinal, o que isso quer dizer? Antes de podermos somar infinitos números juntos, devemos encontrar uma maneira de dar significado à ideia.

Para fazer isso, examinamos uma soma infinita pensando nela como uma sequência de somas parciais finitas. Em nosso exemplo, teríamos a seguinte seqüência de somas parciais.

[ left (1, 1 + frac {1} {2}, 1 + frac {1} {2} + left ( frac {1} {2} right) ^ 2, 1 + frac {1} {2} + left ( frac {1} {2} right) ^ 3, cdots, sum_ {j = 0} ^ {n} left ( frac {1} {2} direita) ^ j direita) ]

Podemos plotar essas somas em uma linha numérica para ver a que tendência elas tendem à medida que (n ) fica grande.

Figura ( PageIndex {1} ): Gráfico de linha numérica.

Como cada soma parcial está localizada no ponto médio entre a soma parcial anterior e (2 ), é razoável supor que essas somas tendem para o número (2 ). Na verdade, você provavelmente já viu uma expressão como ( lim_ {n to infty} left ( sum_ {j = 0} ^ {n} left ( frac {1} {2} right) ^ j right) = 2 ) justi fi cado por um argumento semelhante. Claro, confiar em tais imagens e palavras é ótimo se estivermos satisfeitos com a intuição. No entanto, devemos ser capazes de tornar essas intuições rigorosas sem depender de imagens ou palavras nebulosas como “aproximações.”

Sem dúvida, você está se perguntando “O que há de errado com a palavra "abordagens"? Parece bastante claro para mim.”Isso geralmente é um ponto crítico. Mas se pensarmos cuidadosamente sobre o que queremos dizer com a palavra “aproximação"Vemos que há uma suposição implícita que nos causará algumas dificuldades mais tarde, se não a expormos.

Para ver isso, considere a sequência ( left (1, frac {1} {2}, frac {1} {3}, frac {1} {4}, cdots right) ). Claramente, “aproximações”Zero, certo? Mas, também não “aproximação” (- 1 )? Sim, no sentido de que cada termo fica mais próximo de (- 1 ) do que o anterior. Mas também “aproximações” (- 2 ), (- 3 ), ou mesmo (- 1000 ) no mesmo sentido. Esse é o problema com a palavra “aproximações. ” Apenas diz que estamos chegando mais perto de algo do que na etapa anterior. Não nos diz que estamos realmente chegando perto. Uma vez que a lua se move em uma órbita elíptica em torno da terra durante parte de cada mês, é “Aproximando" a Terra. A lua se aproxima da terra, mas, felizmente, não se aproxima da terra. A suposição implícita a que aludimos anteriormente é esta: Quando dizemos que a sequência ( left ( frac {1} {n} right) _ {n = 1} ^ infty ) “aproximações”Zero, significa que está chegando perto, não mais perto. Normalmente, esse tipo de imprecisão em nossa linguagem é bastante inócuo. Quando dizemos “aproximações”Em uma conversa casual, geralmente podemos dizer a partir do contexto da conversa se queremos dizer“chegando perto de" ou "chegando mais perto de.“Mas, ao falar matematicamente, precisamos ser mais cuidadosos, mais explícitos, na linguagem que usamos.

Então, como podemos mudar a linguagem que usamos para que essa ambigüidade seja eliminada? Vamos começar reconhecendo, rigorosamente, o que queremos dizer quando dizemos que uma sequência converge para zero. Por exemplo, você provavelmente gostaria de dizer que a sequência ( left (1, frac {1} {2}, frac {1} {3}, frac {1} {4}, cdots right ) = left ( frac {1} {n} right) _ {n = 1} ^ infty ) converge para zero. Existe uma maneira de dar esse significado sem depender de imagens ou intuição?

Uma maneira seria dizer que podemos tornar ( frac {1} {n} ) tão próximo de zero quanto desejarmos, desde que tornemos (n ) grande o suficiente. Mas mesmo isso precisa ser mais específico. Por exemplo, podemos obter ( frac {1} {n} ) a uma distância de (0,1 ) de (0 ) desde que façamos (n> 10 ), podemos obter ( frac {1} {n} ) a uma distância de (0,01 ) de (0 ) desde que façamos (n> 100 ), etc. Depois de alguns exemplos, é evidente que, dado qualquer distância arbitrária (ε> 0 ), podemos obter ( frac {1} {n} ) para dentro de (ε ) de (0 ) desde que façamos (n> frac {1} { varepsilon} ). Isso leva à seguinte definição.

Definição ( PageIndex {1} )

Seja ((s_n) = (s_1, s_2, s_3, ...) ) uma sequência de números reais. Dizemos que ((s_n) ) converge para (0 ) e escreve ( lim_ {n to infty} s_n = 0 ) fornecido para qualquer (ε> 0 ), há um real número (N ) tal que se (n> N ), então (| s_n | <ε ).

Notas sobre definição ( PageIndex {1} ):

  1. Essa definição é a versão formal da ideia sobre a qual acabamos de falar; isto é, dada uma distância arbitrária (ε ), devemos ser capazes de encontrar um número específico (N ) tal que (s_n ) esteja dentro de (ε ) de (0 ), sempre que (n> N ). O (N ) é a resposta à pergunta de quão grande é “grande o suficiente”Para colocar (s_n ) assim perto de (0 ).
  2. Mesmo não sendo necessário no exemplo ( left ( frac {1} {n} right) ), o valor absoluto aparece na definição porque precisamos fazer a distância de (s_n ) a (0 ) menor que (ε ). Sem o valor absoluto na definição, seríamos capazes de “provar”Declarações ultrajantes como ( lim_ {n to infty} -n = 0 ), que obviamente não queremos.
  3. A instrução (| sn | <ε ) também pode ser escrita como (- ε
  4. Sempre que um (N ) pode ser encontrado que funciona para um determinado (ε ), qualquer número (M> N ) irá funcionar para aquele (ε ) também, uma vez que se (n> M ) então (n> N ).

Exercício ( PageIndex {1} )

Sejam (a ) e (b ) números reais com (b> 0 ). Prove (| a |

Para ilustrar como essa definição torna as ideias acima rigorosas, vamos usá-la para provar que ( lim_ {n to infty} left ( frac {1} {n} right) = 0 ).

prova:

Seja (ε> 0 ) fornecido. Seja (N = frac {1} { varepsilon} ). Se (n> N ), então (n> frac {1} { varepsilon} ) e então ( left | frac {1} {n} right | = frac {1} { n} < varepsilon ). Portanto, por definição, ( lim_ {n to infty} frac {1} {n} = 0 ).

Observe que esta prova é rigorosa e não faz referência a noções vagas como “ficando menor" ou "se aproximando do infinito.”Tem três componentes:

  1. fornecer o desafio de uma distância (ε> 0 )
  2. identificar um número real (N )
  3. mostrar que este (N ) funciona para este (ε ) fornecido.

Também não há explicação sobre a origem de (N ). Embora seja verdade que esta escolha de (N ) não é surpreendente à luz do “scrapwork”Fizemos antes da definição, a motivação de como o obtivemos não está na prova formal nem é exigida. Na verdade, esse tipo de sucata normalmente não é incluído em uma prova formal. Por exemplo, considere o seguinte.

Exemplo ( PageIndex {1} ):

Use a definição de convergência para zero para provar ( lim_ {n to infty} frac { sin} {n} = 0 ).

Prova:

Seja (ε> 0 ). Se (n> N ), então (n> frac {1} { varepsilon} ) e ( frac {1} {n} < varepsilon ). Assim, ( left | frac { sin n} {n} right | leq frac {1} {n} < varepsilon ). Portanto, por definição, ( lim_ {n to infty} frac { sin} {n} = 0 ).

Observe que (N ) surgiu do nada, mas você provavelmente pode ver o processo de pensamento que levou a essa escolha: precisamos usar a desigualdade (| sin n | ≤ 1 ). Novamente, esse trabalho de recorte não faz parte da prova formal, mas é normalmente necessário para encontrar o que (N ) deve ser. Você pode ser capaz de resolver o próximo problema sem fazer qualquer scrapwork primeiro, mas não hesite em fazer scrapwork se precisar.

Exercício ( PageIndex {2} )

Use a definição de convergência para zero para provar o seguinte.

  1. ( lim_ {n a infty} frac {1} {n ^ 2} = 0 )
  2. ( lim_ {n to infty} frac {1} { sqrt {n}} = 0 )

À medida que as sequências ficam mais complicadas, fazer scrapwork com antecedência se tornará mais necessário.

Exemplo ( PageIndex {2} ):

Use a definição de convergência para zero para provar ( lim_ {n to infty} frac {n + 4} {n ^ 2 + 1} = 0 ).

Sucata:

Dado um (ε> 0 ), precisamos ver o quão grande fazer (n ) para garantir que ( left | frac {n + 4} {n ^ 2 + 1} right | < varejpsilon ). Primeiro observe que (( frac {n + 4} {n ^ 2 + 1} < frac {n + 4} {n ^ 2} ). Além disso, observe que se (n> 4 ), então (n + 4 4 ), temos ( frac {n + 4} {n ^ 2 + 1} < frac {n + 4} {n ^ 2} < frac {2n} {n ^ 2} < frac {2} {n} ). Podemos tornar isso menor que (ε ) se fizermos (n> frac {2} { varepsilon} ). Isso significa que precisamos fazer (n> 4 ) e (n> frac {2} { varejpsilon} ), simultaneamente. Isso pode ser feito se permitirmos (N ) seja o máximo desses dois números. Esse tipo de coisa surge regularmente, então a notação (N = max left (4, frac {2} { varejpsilon} right) ) foi desenvolvida para significar o máximo desses dois números. Observe que se (N = max left (4, frac {2} { varepsilon} right) ) then (N ≥ 4 ) e (N geq frac {2} { varepsilon} ). Agora estamos prontos para a prova formal.

Prova:

Seja (ε> 0 ). Seja (N = max left (4, frac {2} { varepsilon} right) ). Se (n> N ), então (n> 4 ) e (n> frac {2} { varepsilon} ). Assim, temos (n> 4 ) e ( frac {2} {n} < varepsilon ). Portanto

[ left | frac {n + 4} {n ^ 2 + 1} right | = frac {n + 4} {n ^ 2 + 1} < frac {n + 4} {n ^ 2} < frac {2n} {n ^ 2} = frac {2} {n} < varejpsilon ]

Portanto, por definição, ( lim_ {n to infty} frac {n + 4} {n ^ 2 + 1} = 0 ).

Mais uma vez, enfatizamos que a sucata é NÃO parte da prova formal e o leitor não a verá. No entanto, se você olhar com atenção, poderá ver o retalho na prova formal.

Exercício ( PageIndex {3} )

Use a definição de convergência para zero para provar ( lim_ {n to infty} frac {n ^ 2 + 4n + 1} {n ^ 3} = 0 ).

Exercício ( PageIndex {4} )

Seja b um número real diferente de zero com (| b | <1 ) e seja (ε> 0 ).

  1. Resolva a desigualdade (| b | ^ n <ε ) para (n ).
  2. Use a parte (a) para provar ( lim_ {n to infty} b ^ n = 0 ).

Podemos negar essa definição para provar que uma sequência particular não converge para zero.

Exemplo ( PageIndex {3} ):

Use a definição para provar que a sequência ((1 + (-1) ^ n) _ {n = 0} ^ { infty} = (2,0,2,0,2, cdots) ) não convergem para zero.

Antes de fornecermos esta prova, vamos analisar o que significa para uma sequência ((s_n) ) não convergir para zero. Convergência para zero significa que sempre que uma distância (ε> 0 ) for dada, devemos ser capazes de responder com um número (N ) tal que (| s_n | <ε ) para cada (n> N ). Para que isso não aconteça, devemos ser capazes de encontrar algum (ε> 0 ) de forma que nenhuma escolha de (N ) funcione. Claro, se encontrarmos tal (ε ), então qualquer menor não terá tal (N ), mas só precisamos de um para nos bagunçar. Se você olhar para o exemplo por tempo suficiente, verá que qualquer (ε ) com (0 <ε ≤ 2 ) causará problemas. Para nossos propósitos, vamos deixar (ε = 2 ).

Prova:

Seja (ε = 2 ) e (N ∈ mathbb {N} ) qualquer número inteiro. Se deixarmos (k ) ser qualquer inteiro não negativo com (k> frac {N} {2} ), então (n = 2k> N ), mas (| 1 + (-1) ^ n | = 2 ). Assim, nenhuma escolha de (N ) irá satisfazer as condições da definição para este (ε ), (nomeadamente que (| 1 + (-1) ^ n | <2 ) para todos (n> N )) e assim ( lim_ {n to infty} (1 + (-1) ^ n) neq 0 ).

Exercício ( PageIndex {5} )

Negue a definição de ( lim_ {n to infty} s_n = 0 ) para fornecer uma definição formal para ( lim_ {n to infty} s_n neq 0 ).

Exercício ( PageIndex {6} )

Use a definição para provar ( lim_ {n to infty} frac {n} {n + 100} neq 0 ).

Agora que sabemos como provar rigorosamente que uma sequência converge para zero, vamos generalizar isso para uma definição formal de uma sequência convergindo para outra coisa. Basicamente, queremos dizer que uma seqüência ((s_n) ) converge para um número real (s ), desde que a diferença ((s_n - s) ) converta para zero. Isso leva à seguinte definição:

Definição ( PageIndex {2} )

Seja ((s_n) = (s_1, s_2, s_3, ...) ) uma sequência de números reais e seja (s ) um número real. Dizemos que ((s_n) ) converge para (s ) e escreve ( lim_ {n to infty} s_n = s ) fornecido para qualquer (ε> 0 ), há um real número (N ) tal que se (n> N ), então (| s_n - s | <ε ).

Notas sobre DEfinition ( PageIndex {2} )

  1. Claramente ( lim_ {n to infty} s_n = s ) se e somente se ( lim_ {n to infty} (s_n - s) = 0 ).
  2. Observe novamente que isso diz que podemos tornar (s_n ) tão próximo de (s ) quanto desejarmos (dentro de (ε )) tornando (n ) grande o suficiente ( (> N )) . Como antes, essa definição torna essas noções muito específicas.
  3. Observe que (| s_n - s | <ε ) pode ser escrito nas seguintes formas equivalentes
    1. (| s_n - s | <ε )
    2. (- ε
    3. (s - ε
    4. (s_n ∈ (s - ε, s + ε) )

e temos a liberdade de usar qualquer um deles que seja conveniente no momento.

Como exemplo, vamos usar esta definição para provar que a sequência no Problema ( PageIndex {6} ), de fato, converge para (1 ).

Exemplo ( PageIndex {4} ):

Prove ( lim_ {n a infty} frac {n} {n + 100} = 1 ).

Sucata:

Dado um (ε> 0 ), precisamos obter ( left | frac {n} {n + 100} - 1 right | < varepsilon ). Isso nos leva a fazer alguma álgebra.

[ left | frac {n} {n + 100} - 1 right | = left | frac {n- (n + 100)} {n + 100} - 1 right | leq frac {100} {n} ]

Isso, por sua vez, parece sugerir que (N = frac {100} { varepsilon} ) deve funcionar.

Prova:

Seja (ε> 0 ). Seja (N = frac {100} { varepsilon} ). Se (n> N ), então (n> frac {100} { varepsilon} ) e assim ( frac {100} {n} < varepsilon ). Por isso

[ left | frac {n} {n + 100} - 1 right | = left | frac {n- (n + 100)} {n + 100} - 1 right | = frac {100} {n + 100} < frac {100} {n} < varepsilon ]

Assim, por definição ( lim_ {n to infty} frac {n} {n + 100} = 1 )

Observe novamente que o scrapwork não faz parte da prova formal e o autor de uma prova não é obrigado a dizer de onde veio a escolha de (N ) (embora o processo de pensamento geralmente possa ser visto na prova formal). A prova formal contém apenas as três partes necessárias: fornecer o desafio de um (ε> 0 ) arbitrário, fornecer um (N ) específico e mostrar que este (N ) funciona para o (ε )

Observe também que dada uma sequência específica como ( frac {n} {n + 100} ), a definição não indica qual seria o limite se, de fato, ele existisse. Uma vez que uma suposição fundamentada é feita sobre qual deveria ser o limite, a definição apenas verifica se essa intuição está correta.

Isso leva à seguinte questão: se a intuição é necessária para determinar qual deve ser o limite de uma sequência, qual é o propósito dessa definição complicada e relativamente não intuitiva?

Lembre-se de que, quando essas formulações rigorosas foram desenvolvidas, noções intuitivas de convergência já existiam e haviam sido usadas com grande sucesso. Esta definição foi desenvolvida para abordar as questões fundamentais. Poderiam nossas intuições ser verificadas de uma forma concreta que fosse irrepreensível? Esse foi o propósito desta definição não intuitiva. Devia ser usado para verificar se nossa intuição estava, de fato, correta e fazê-lo de uma maneira muito prescrita. Por exemplo, se (b> 0 ) é um número fixo, então você provavelmente diria que (n ) se aproxima do infinito, (b ^ {( frac {1} {n})} ) se aproxima de (b ^ 0 = 1 ). Afinal, já provamos que ( lim_ {n to infty} frac {1} {n} = 0 ). Devemos ser capazes de respaldar essa intuição com nossa definição rigorosa.

Exercício ( PageIndex {7} )

Let (b> 0 ). Use a definição para provar ( lim_ {n to infty} b ^ {( frac {1} {n})} = 1 ). [Dica: Você provavelmente precisará separar isso em dois casos: (0

Exercício ( PageIndex {8} )

  1. Fornece uma definição rigorosa para ( lim_ {n to infty} s_n neq s ).
  2. Use sua definição para mostrar que, para qualquer número real (a ), ( lim_ {n to infty} ((- 1) ^ n) neq a ). [Dica: Escolha (ε = 1 ) e use o fato de que ( left | a - (-1) ^ n right | <1 ) é equivalente a ((- 1) ^ n - 1

Contribuinte


Aqui está como obter $ 1 / ln 2 $. É uma modificação da construção de Harald. Pegamos a sequência $ 1/2 $, $ 1/4 $, $ 3/4 $, etc. e aplicamos a transformação $ x a ln (1 + x) / ln 2 $.

Portanto, a sequência é $ ln (3/2) / ln (2), ln (5/4) / ln (2), ln (7/4) / ln (2), dots $

Os termos gerais são $ x_n $ para $ n = 2 ^ a + b $ com $ b & lt2 ^ a $ é

Então, depois de $ n = 2 ^ a + b $ passos para $ b & lt2 ^ a $, teremos apenas adicionado o corte $ (2 b + 1) / (2 ^) $, o maior intervalo será

Se multiplicarmos por $ 2 ^ a + b + 1 $, o $ lim sup $ é $ 1 / ln 2 $.

Para mostrar que isso é ótimo, forme uma árvore binária onde os vértices são intervalos que aparecem em qualquer ponto de uma sequência. Cada intervalo em algum ponto se divide em dois intervalos, o que dá a estrutura em árvore. Rotule cada vértice com a etapa em que ele se divide. Para qualquer $ beta & gt lim sup n a_n $, para todos os vértices, exceto um número finito, o comprimento do intervalo rotulado $ n $ é no máximo $ beta / n $. A soma dos comprimentos dos intervalos em cada linha é $ 1 $, então a soma das primeiras $ k $ linhas é $ k $.

Assim, $ k $ é no máximo a soma de $ 2 ^ k-1 $ números distintos $ n $ de $ beta / n $ mais uma constante proveniente de muitos vértices finitos onde o comprimento não é no máximo $ beta / n $ . Portanto, $ k $ é no máximo a soma dos primeiros $ 2 ^ k-1 $ números de $ beta / n $ mais uma constante, que é no máximo $ beta k ln 2 $ mais uma constante. Portanto, $ beta geq 1 / ln 2 $.

Portanto, $ lim sup n a_n geq 1 / ln 2 $.

Adicionado: Como John Bentin menciona, é de fato conhecido que o resultado que mencionei abaixo para a dispersão e, portanto, o $ 1 / log 2 $ de OP (mencionado nos comentários agora excluídos) é ótimo.

Isso aparece originalmente em Niederreiter, Em uma medida de densidade para sequências. In: Tópicos na teoria clássica dos números, North-Holland, Amsterdam, 1984.

Uma fonte de acesso mais fácil é o livro de Niederreiter 'Random Number Generation and Quasi Monte Carlo Methods' (SIAM, 1992). Aí está o Teorema 6.7.

Que não pode haver uma sequência melhor é devido a Niederreiter, mas o exemplo dado ali mostrando que é ótima é atribuído a Ruzsa. O exemplo é $ x_1 = 1 $ e então $ x_n = left < frac < log (2n-3)> < log 2> right >. $

O livro mencionado acima está disponível como uma varredura no espaço web de Niederreiter (a nota tem cerca de 10 MB).

Em um comentário, mencionei a palavra-chave baixo discrepância sequência, que de fato está relacionada, mas a melhor palavra-chave e realmente o que é pedido é um baixo dispersão seqüência.

A dispersão de um ponto finito $ P = $ definido em algum espaço ambiente $ S $ é definido como o supremo sobre todos $ x em S $ de $ min_i d (x, x_i) $ onde no artigo eu cito $ d $ é a norma infinita (mas já que estão em 1-d, não importa tanto).

E, então, para uma sequência, considera-se a dispersão dos segmentos iniciais. Assim, os limes superiores a $ n $ vezes a dispersão dos primeiros $ n $ elementos da sequência é apenas metade do que é perguntado aqui (na verdade, pode-se ter que ser levemente cuidadoso para incluir 0 e 1 para ser salvo e, portanto, multiplique por $ n + 2 $, mas assinticamente isso não muda nada).

Esta noção de disperson, ao que parece, foi introduzida por Niederreiter e em seu artigo 'Sequências de baixa discrepância e baixa dispersão' (J. Number Th., 1987), veja no final, ele relata que a então melhor construção de uma sequência de baixa dispersão resulta em $ 1 / log 4 $ que, na verdade, é apenas metade de $ 1 / log 2 $ que o OP informa. (A construção não está neste artigo de Niederreiter, mas ele a cita, devo acrescentar que o resultado é para uma dimensão arbitrária o caso 1-d pode ou não ser mais antigo).

Parece haver vários trabalhos relacionados, então pode-se encontrar mais com pesquisas mais extensas.

Editar: aqui está uma prova simples de que $ alpha: = inf limsup n a_n geq 1 / ln 2 $. Observe que esta edição é feita após as soluções terem sido fornecidas em outras respostas.

Vamos considerar a sequência de comprimentos dos subintervalos em algum passo $ n $, em ordem decrescente: $ ell_0 geq ell_1 geq dots geq ell_n $ de forma que $ ell_0 = a_n $. Suponha que observamos uma das piores etapas, de modo que $ k a_k leq n a_n $ para todos os $ k & gtn $. Então $ j $ passo depois, há pelo menos um subintervalo de comprimento $ ell_j $, visto que nem todo o mais longo pode ter sido subdividido. Isso implica $ ell_j leq ell_0 frac = a_n frac <1> <1 + j / n> $

Além disso, a soma de $ ell_ ast $ deve ser $ 1 $, de modo que $ 1 = sum ell_j leq a_n sum_j frac <1> <1 + j / n> sim a_n cdot n int_0 ^ 1 frac < mathrmt> <1 + t> = na_n ln 2 $ Isso prova $ limsup n a_n geq 1 / ln 2 $.

Também temos uma dica de como realizá-lo: a cada passo, divida o intervalo mais longo de uma forma que torne a distribuição de comprimento mais próxima do perfil $ t mapsto frac1 <1 + t> $ sobre $ [0,1 ] $.

Esta não é uma resposta completa, mas os limites superior e inferior não coincidentes para $ alpha: = inf limsup n a_n $ (onde o mínimo está em $ $ e o limite supremo em $ n $):

$ frac12 + frac1 < sqrt <2>> simeq 1.207 leq alpha leq frac <1+ sqrt <5>> 2 simeq 1.618 $

Para o limite inferior: let $ $ seja corrigido e suponha que para $ n $ grandes o suficiente, todas as peças têm comprimento máximo de $ a / n $ (onde $ a geq1 $). Seja $ psi $ um número menor que $ 1 $ a ser otimizado mais tarde, deixe-me ignorar os erros de arredondamento que são insignificantes e olhar para a $ n psi $ -ésima peça maior na etapa $ n $. Denote seu comprimento por $ ell $: o comprimento total das peças é $ 1 $ e também é no máximo $ a / n cdot n psi + ell n (1- psi) $, de modo que $ ell geq frac <1-a psi> <1- psi> cdot frac1n. $ Uma vez que existem pelo menos $ psi n $ peças de pelo menos $ ell $, em um passo da ordem de $ n + psi n $ haverá uma peça restante. Portanto, temos $ frac a geq frac <1-a psi> <1- psi> cdot frac1n $ de onde vem $ a geq frac <1+ psi> <1+ psi ^ 2>. $ Otimizando em $ psi $ fornece o limite inferior desejado.

Para o limite superior: buscamos uma maneira de alcançar $ limsup n a_n = phi $ onde $ phi = frac <1+ sqrt <5>> 2 $ é a proporção áurea.

Corrija $ lambda leq 1/2 $ e construa $ $ indutivamente de modo a cortar a cada passo o maior intervalo em duas partes de comprimentos na proporção $ lambda: 1- lambda $. Para simplificar a análise, escolha $ lambda $ de modo que $ (1- lambda) ^ 2 = lambda $ (ou seja, tome $ lambda = frac <3- sqrt <5>> 2 $). Com esta escolha, obtemos que em cada passo $ n $ todas as peças têm comprimentos $ lambda ^ k $ ou $ lambda ^(1- lambda) $, para alguns $ k $ que depende apenas de $ n $.

Em vez de expressar $ k $ em função de $ n $, vamos considerar o pior caso: existem $ n $ peças de comprimento $ lambda ^ k $ e apenas uma de comprimento $ lambda ^(1- lambda) $. Então, como a soma dos comprimentos é $ 1 $, escrevendo $ ell = lambda ^ k $ e percebendo $ phi = frac <1- lambda> < lambda> $, podemos calcular $ ell = frac <1>$ de modo que (para aqueles $ n $ quando estamos no pior cenário): $ n a_n = frac to phi. $


Conteúdo

Uma sequência pode ser considerada uma lista de elementos com uma ordem específica. [2] [3] As sequências são úteis em várias disciplinas matemáticas para estudar funções, espaços e outras estruturas matemáticas usando as propriedades de convergência das sequências. Em particular, as sequências são a base para as séries, que são importantes em equações diferenciais e análises. As sequências também têm interesse por si mesmas e podem ser estudadas como padrões ou quebra-cabeças, como no estudo dos números primos.

Existem várias maneiras de denotar uma sequência, algumas das quais são mais úteis para tipos específicos de sequências. Uma maneira de especificar uma sequência é listar todos os seus elementos. Por exemplo, os primeiros quatro números ímpares formam a sequência (1, 3, 5, 7). Essa notação também é usada para sequências infinitas. Por exemplo, a sequência infinita de inteiros ímpares positivos é escrita como (1, 3, 5, 7,.). Como notar sequências com reticências leva à ambigüidade, a listagem é mais útil para sequências infinitas habituais, que podem ser facilmente reconhecidas a partir de seus primeiros elementos. Outras maneiras de denotar uma sequência são discutidas após os exemplos.

Exemplos Editar

Os números primos são os números naturais maiores do que 1, que não possuem divisores, exceto 1 e eles próprios. Tomando-os em sua ordem natural, obtém-se a sequência (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,.). Os números primos são amplamente usados ​​em matemática, particularmente na teoria dos números, onde existem muitos resultados relacionados a eles.

Os números de Fibonacci compreendem a sequência inteira cujos elementos são a soma dos dois elementos anteriores. Os primeiros dois elementos são 0 e 1 ou 1 e 1 de modo que a sequência seja (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,.). [2]

Outros exemplos de sequências incluem aquelas compostas de números racionais, números reais e números complexos. A sequência (.9, .99, .999, .9999,.), Por exemplo, se aproxima do número 1. Na verdade, todo número real pode ser escrito como o limite de uma sequência de números racionais (por exemplo, por meio de sua expansão decimal ) Como outro exemplo, π é o limite da sequência (3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415,.), Que está aumentando. Uma sequência relacionada é a sequência de dígitos decimais de π, ou seja, (3, 1, 4, 1, 5, 9,.). Ao contrário da sequência anterior, esta sequência não tem nenhum padrão que seja facilmente discernível por inspeção.

A Enciclopédia On-Line de Sequências Inteiras compreende uma grande lista de exemplos de sequências inteiras. [4]

Edição de indexação

Outras notações podem ser úteis para sequências cujo padrão não pode ser facilmente adivinhado ou para sequências que não possuem um padrão como os dígitos de π. Uma dessas notações é escrever uma fórmula geral para calcular o no termo em função de n, coloque-o entre parênteses e inclua um subscrito indicando o conjunto de valores que n pode levar. Por exemplo, nesta notação, a sequência de números pares pode ser escrita como (2 n) n ∈ N < displaystyle (2n) _>>. A sequência de quadrados pode ser escrita como (n 2) n ∈ N < displaystyle (n ^ <2>) _ >>. A variável n é chamado de índice e o conjunto de valores que ele pode assumir é chamado de conjunto de índice.

Freqüentemente, é útil combinar essa notação com a técnica de tratar os elementos de uma sequência como variáveis ​​individuais. Isso produz expressões como (a n) n ∈ N < displaystyle (a_)_ >>, que denota uma sequência cujo no elemento é dado pela variável a n < displaystyle a_>. Por exemplo:

Nos casos em que o conjunto de números de indexação é compreendido, os subscritos e sobrescritos geralmente são omitidos. Ou seja, basta escrever (a k) < displaystyle (a_)> para uma sequência arbitrária. Freqüentemente, o índice k entende-se que vai de 1 a ∞. No entanto, as sequências são frequentemente indexadas a partir de zero, como em

Em alguns casos, os elementos da sequência estão relacionados naturalmente a uma sequência de inteiros cujo padrão pode ser facilmente inferido. Nesses casos, o conjunto de índices pode estar implícito em uma listagem dos primeiros elementos abstratos. Por exemplo, a sequência de quadrados de números ímpares pode ser denotada de qualquer uma das seguintes maneiras.

Além disso, os subscritos e sobrescritos poderiam ter sido omitidos na terceira, quarta e quinta notações, se o conjunto de indexação fosse entendido como os números naturais. No segundo e terceiro marcadores, há uma sequência bem definida (a k) k = 1 ∞ < displaystyle (a_)_^ < infty >>, mas não é o mesmo que a sequência denotada pela expressão.

Definindo uma sequência por edição de recursão

As sequências cujos elementos estão relacionados aos elementos anteriores de maneira direta geralmente são definidas por meio de recursão. Isso contrasta com a definição de sequências de elementos como funções de suas posições.

Para definir uma sequência por recursão, é necessária uma regra, chamada Relação de recorrência para construir cada elemento em termos dos anteriores. Além disso, elementos iniciais suficientes devem ser fornecidos para que todos os elementos subsequentes da sequência possam ser calculados por aplicações sucessivas da relação de recorrência.

A sequência de Fibonacci é um exemplo clássico simples, definido pela relação de recorrência

Um exemplo complicado de sequência definida por uma relação de recorrência é a sequência de Recamán, [5] definida pela relação de recorrência

UMA recorrência linear com coeficientes constantes é uma relação de recorrência do formulário

Uma sequência holonômica é uma sequência definida por uma relação de recorrência da forma

onde c 1,…, c k < displaystyle c_ <1>, dots, c_> são polinômios em n. Para a maioria das sequências holonômicas, não existe uma fórmula explícita para expressar explicitamente um n < displaystyle a_> em função de n. No entanto, as sequências holonômicas desempenham um papel importante em várias áreas da matemática. Por exemplo, muitas funções especiais têm uma série de Taylor cuja sequência de coeficientes é holonômica. O uso da relação de recorrência permite um cálculo rápido dos valores de tais funções especiais.

Nem todas as sequências podem ser especificadas por uma relação de recorrência. Um exemplo é a sequência de números primos em sua ordem natural (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,.).

Existem muitas noções diferentes de sequências em matemática, algumas das quais (por exemplo., seqüência exata) não são cobertos pelas definições e notações apresentadas abaixo.

Edição de Definição

Neste artigo, uma sequência é formalmente definida como uma função cujo domínio é um intervalo de inteiros. Esta definição cobre vários usos diferentes da palavra "sequência", incluindo sequências infinitas unilaterais, sequências bi-infinitas e sequências finitas (veja abaixo as definições desses tipos de sequências). No entanto, muitos autores usam uma definição mais restrita, exigindo que o domínio de uma sequência seja o conjunto de números naturais. Essa definição mais restrita tem a desvantagem de excluir as sequências finitas e as sequências bi-infinitas, ambas geralmente chamadas de sequências na prática matemática padrão. Outra desvantagem é que, se removermos os primeiros termos de uma sequência, será necessário reindexar os termos restantes para se adequar a essa definição. Em alguns contextos, para encurtar a exposição, o codomínio da sequência é fixado pelo contexto, por exemplo, exigindo que seja o conjunto R de números reais, [6] o conjunto C de números complexos, [7] ou um espaço topológico. [8]

Embora as sequências sejam um tipo de função, geralmente são diferenciadas notacionalmente das funções, pois a entrada é escrita como um subscrito em vez de entre parênteses, ou seja, uman ao invés de uma(n) Também existem diferenças terminológicas: o valor de uma sequência na entrada mais baixa (geralmente 1) é chamado de "primeiro elemento" da sequência, o valor na segunda entrada menor (geralmente 2) é chamado de "segundo elemento", etc. Além disso, enquanto uma função abstraída de sua entrada é geralmente denotada por uma única letra, por exemplo, f, uma sequência abstraída de sua entrada é geralmente escrita por uma notação como (a n) n ∈ A < displaystyle (a_)_>, ou apenas como (a n). < displaystyle (a_).> Aqui UMA é o domínio, ou conjunto de índices, da sequência.

Sequências e seus limites (veja abaixo) são conceitos importantes para estudar espaços topológicos. Uma importante generalização das sequências é o conceito de redes. UMA internet is a function from a (possibly uncountable) directed set to a topological space. The notational conventions for sequences normally apply to nets as well.

Finite and infinite Edit

O comprimento of a sequence is defined as the number of terms in the sequence.

A sequence of a finite length n is also called an n-tuple. Finite sequences include the empty sequence ( ) that has no elements.

Normally, the term infinite sequence refers to a sequence that is infinite in one direction, and finite in the other—the sequence has a first element, but no final element. Such a sequence is called a singly infinite sequence or a one-sided infinite sequence when disambiguation is necessary. In contrast, a sequence that is infinite in both directions—i.e. that has neither a first nor a final element—is called a bi-infinite sequence, two-way infinite sequence, ou doubly infinite sequence. A function from the set Z of tudo integers into a set, such as for instance the sequence of all even integers ( . −4, −2, 0, 2, 4, 6, 8, . ), is bi-infinite. This sequence could be denoted ( 2 n ) n = − ∞ ∞ ^> .

Increasing and decreasing Edit

The terms nondecreasing e nonincreasing are often used in place of increasing e decreasing in order to avoid any possible confusion with strictly increasing e strictly decreasing, respectively.

Bounded Edit

If the sequence of real numbers (uman) is such that all the terms are less than some real number M, then the sequence is said to be bounded from above. In other words, this means that there exists M such that for all n, umanM. Any such M is called an upper bound. Likewise, if, for some real m, umanm for all n greater than some N, then the sequence is bounded from below and any such m is called a lower bound. If a sequence is both bounded from above and bounded from below, then the sequence is said to be bounded.

Subsequences Edit

UMA subsequence of a given sequence is a sequence formed from the given sequence by deleting some of the elements without disturbing the relative positions of the remaining elements. For instance, the sequence of positive even integers (2, 4, 6, . ) is a subsequence of the positive integers (1, 2, 3, . ). The positions of some elements change when other elements are deleted. However, the relative positions are preserved.

Other types of sequences Edit

Some other types of sequences that are easy to define include:

  • An integer sequence is a sequence whose terms are integers.
  • UMA polynomial sequence is a sequence whose terms are polynomials.
  • A positive integer sequence is sometimes called multiplicative, if umanm = umanumam for all pairs n, m de tal modo que n e m are coprime. [9] In other instances, sequences are often called multiplicative, if uman = na1 for all n. Moreover, a multiplicative Fibonacci sequence [10] satisfies the recursion relation uman = uman−1uman−2.
  • A binary sequence is a sequence whose terms have one of two discrete values, e.g. base 2 values (0,1,1,0, . ), a series of coin tosses (Heads/Tails) H,T,H,H,T, . the answers to a set of True or False questions (T, F, T, T, . ), and so on.

An important property of a sequence is convergence. If a sequence converges, it converges to a particular value known as the limit. If a sequence converges to some limit, then it is convergent. A sequence that does not converge is divergent.

Formal definition of convergence Edit

Applications and important results Edit

  • lim n → ∞ ( a n ± b n ) = lim n → ∞ a n ± lim n → ∞ b n (a_pm b_) = lim _a_pm lim _b_>
  • lim n → ∞ c a n = c lim n → ∞ a n ca_=clim _a_> for all real numbers c
  • lim n → ∞ ( a n b n ) = ( lim n → ∞ a n ) ( lim n → ∞ b n ) (a_b_)=left(lim _a_ ight)left(lim _b_ ight)>
  • lim n → ∞ a n b n = lim n → ∞ a n lim n → ∞ b n < frac <>><>>>=a_>b_>>> , provided that lim n → ∞ b n ≠ 0 b_ eq 0>
  • lim n → ∞ a n p = ( lim n → ∞ a n ) p a_^

    =left(lim _a_ direita) ^

    > for all p > 0 and a n > 0 >0>

  • If a n ≤ b n leq b_> for all n greater than some N , then lim n → ∞ a n ≤ lim n → ∞ b n a_leq lim _b_> . [a]
  • (Squeeze Theorem)
    If ( c n ) )> is a sequence such that a n ≤ c n ≤ b n leq c_leq b_> for all n > N and lim n → ∞ a n = lim n → ∞ b n = L a_=lim _b_=L> ,
    then ( c n ) )> is convergent, and lim n → ∞ c n = L c_=L> .
  • If a sequence is bounded and monotonic then it is convergent.
  • A sequence is convergent if and only if all of its subsequences are convergent.

Cauchy sequences Edit

A Cauchy sequence is a sequence whose terms become arbitrarily close together as n gets very large. The notion of a Cauchy sequence is important in the study of sequences in metric spaces, and, in particular, in real analysis. One particularly important result in real analysis is Cauchy characterization of convergence for sequences:

A sequence of real numbers is convergent (in the reals) if and only if it is Cauchy.

Metric spaces that satisfy the Cauchy characterization of convergence for sequences are called complete metric spaces and are particularly nice for analysis.

Infinite limits Edit

In calculus, it is common to define notation for sequences which do not converge in the sense discussed above, but which instead become and remain arbitrarily large, or become and remain arbitrarily negative. If a n > becomes arbitrarily large as n → ∞ , we write

In this case we say that the sequence diverges, or that it converges to infinity. An example of such a sequence is uman = n .

and say that the sequence diverges ou converges to negative infinity.


Interactive Real Analysis

It is important to try to develop a more intuitive understanding about lim sup e lim inf. The next results will attempt to make these concepts somewhat more clear.

  1. there is a subsequence converging to c
  2. there is a subsequence converging to d
  3. d lim inf lim sup c for any subsequence <>
  • A j picks out the greatest lower bound for the truncated sequences . Therefore A j tends to the smallest possible limit of any convergent subsequence.
  • Similarmente, B j picks the smallest upper bound of the truncated sequences, and hence tends to the greatest possible limit of any convergent subsequence.
  • If is the sequence of all rational numbers in the interval [0, 1], enumerated in any way, find the lim sup e lim inf of that sequence.

The final statement relates lim sup e lim inf with our usual concept of limit.

To see that even simple concepts like lim inf e lim sup can result in interesting math consider the following unproven conjecture:

The first equation is a conjecture, not yet proven, called the twin prime conjecture. In fact, it is not even known if the lim inf is finite. On the other hand, the second equation involving lim sup is known to be infinite because of arbitrary spaces between two primes.


2 Completeness

The main reason for introducing the reals is that the reals contain all limits. More technically, the reals are complete (in the sense of metric spaces or uniform spaces, which is a different sense than the Dedekind completeness of the order in the previous section ). This means the following:

A sequence ( x n ) of real numbers is called a Cauchy sequence if for any ε > 0 there exists an integer N (possibly depending on ε ) such that the distance | x n - x m | is less than ε provided that n and m are both greater than N . In other words, a sequence is a Cauchy sequence if its elements x n eventually come and remain arbitrarily close to each other.

A sequence ( x n ) converges to the limit x if for any ε > 0 there exists an integer N (possibly depending on ε ) such that the distance | x n - x | is less than ε provided that n is greater than N . In other words, a sequence has limit x if its elements eventually come and remain arbitrarily close to x .

It is easy to see that every convergent sequence is a Cauchy sequence. Now the important fact about the real numbers is that the converse is true:

Every Cauchy sequence of real numbers is convergent .

That is, the reals are complete.

Note that the rationals are not complete. For example, the sequence 1 , 1.4 , 1.41 , 1.414 , 1.4142 , 1.41421 , … is Cauchy but it does not converge to a rational number. (In the real numbers, in contrast, it converges to the square root of 2 .)

The existence of limits of Cauchy sequences is what makes calculus work and is of great practical use. The standard numerical test to determine if a sequence has a limit is to test if it is a Cauchy sequence, as the limit is typically not known in advance.

For example the standard series of the exponential function

converges to a real number because for every x the sums

can be made arbitrarily small by choosing N sufficiently large. This proves that the sequence is Cauchy, so we know that the sequence converges even if we don’t know ahead of time what the limit is.


Completeness in (R^n)

Recall that the set of real numbers is complete - if we have a sequence of real numbers where the terms get closer together, then the sequence has a real number as a limit. This property is not true in the set of rational numbers, for example, which originally motivated the construction of the reals. Unfortunately, the characterization of completeness from first-year calculus, that nonempty subsets of real numbers which are bounded above have least upper bounds, does not translate easily to (R^n) .

The fundamental issue is that since (R) is a line it makes sense to ask which of any two elemets is bigger. In other words, given any two numbers (x,yin R) , it is always the case that either (xleq y) or (yleq x) . That is, (R) is totally ordered.

On the other hand, given two vectors (,inR^2) (or more generally in (R^n) for (ngeq 2) ), it doesn’t make sense to ask which of the two vectors is bigger. We could try defining an order by saying (leq ) whenever (| |leq| |) but this turns out to not satisfy some nice properties that we would expect of an order, for example there are many nonequal vectors of the same magnitude, so with this definition (leq ) and (leq ) does not imply that (=) .

There is no way of ordering elements of (R^n) for our purposes, so we can’t generalize the definition of least upper bound to (R^n) . This means the first-year calculus characterization of completeness does not help us directly.

When trying to generalize a concept to (R^n) , we will try to find equivalent formulations of the statement until we have a statement that makes sense in (R^n) . Then we will use this as the definition of the concept in (R^n) .

For example, in (R) we saw above that the Bounded Sequence Theorem follows from the Monotone Convergence Theorem, and the Monotone Convergence Theorem follows from the completeness of (R) : [ ext R implies ext implies ext]

You can check that these are all actually equivalences, in other words, that you can prove the completeness of (R) (the least upper bound property) from the Monotone Convergence Theorem and that you can prove the Monotone Convergence Theorem from the Bounded Sequence Theorem: [ ext R iff ext iff ext] Hence in (R) the notion of completeness is equivalent to the Bounded Sequence Theorem. Finally notice that the statement of the Bounded Sequence Theorem no longer requires the definition of a least upper bound (or an order between vectors) and has a generalization to the Bounded Sequence Theorem in (R^n) as above.

This allows us to define completeness of (R^n) in terms of the bounded sequence theorem. The analogue of the completeness axiom in higher dimensions thus becomes

For (n=1) this notion of completeness is equivalent to the usual single-variable calculus completeness axiom so we have arrived at a generalization of completeness which now works in any dimension, since it does not rely on a least upper bound property in higher dimensions. We could also show that completeness is equivalent to the Intermediate Value Theorem, or to the statement that every absolutely convergent sequence converges.


No doubt, most readers of this book think of real numbers as values on a number line, which has long been accepted by scientists and engineers as a model for measurements of length, mass, and time.

Although there is nothing wrong with this intuitive interpretation, it is the goal of this section to show how the real numbers can be logically created from more primitive number systems like the natural numbers, as well as introducing aspects of the real numbers decimal expansions, the least upper bound property, types of real numbers like rational, irrational, algebraic, and transcendental, and completeness properties.

Without going into the history of how numbers went from 1, 2, 3, … to the real numbers, there are two fundamental approaches to how to define the real numbers. First, we can state axioms that we believe characterize our interpretation of the real numbers. This is the here they are, the real numbers. This approach is called the synthetic approach, whereby axioms hopefully embody what we believe a “continuum” should be.

On the other hand, we can “construct” .

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Problem 10

A basketball team's players were successful on 50% of their two-point shots and 40% of their three-point shots, which resulted in 54 points. They attempted 50% more two-point shots than three-point shots. How many three-point shots did they attempt?


Number Sequences Examples & Types

Number sequences consist of a finite row of numbers of which one of the numbers is missing in the sequence. As the term sequence already indicates, it is an ordered row of numbers in which the same number can appear multiple times. On his page the most common number sequences examples are presented.

Practice the number sequence tests used by employers with JobTestPrep.

Arithmetic Sequences

An arithmetic sequence is a mathematical sequence consisting of a sequence in which the next term originates by adding a constant to its predecessor. When the first term x1 and the difference of the sequence d is known, the whole sequence is fixed, or in formula:

An example of this type of number sequence could be the following:

This sequence has a difference of 5 between each number. The pattern is continued by adding the constant number 5 to the last number each time. The value added each time is called the “common difference”. The common difference could also be negative, like this:

This common difference is -2. The pattern is continued by subtracting 2 each time.


I would start by thinking about why the cardinality of ##[0,1)^2## is equal to the cardinality ##[0,1)##. To do this you think realize that any element of ##[0,1)^2## can be written as ##(x,y)## where ##x## and ##y## have infinite decimal expansions ##x = a_1 a_2 a_3 . ## and ##y = b_1 b_2 b_3 . ##, then you can combine these into a unique real number ##z = a_1 b_1 a_2 b_2 a_3 b_3 . ## .

From here, you can generalize this proof to show that ##|[0,1)^mathbb| = |[0,1)|## by recalling the proof that the rational and natural numbers have the same cardinality. At this point you should be almost home.

Great point, jbunniii, we should definitely make sure to deal with multiple expansions.

(By the way, I'm sorry that I have edited and updated my post multiple times. I'm still trying to figure out how to use the Tex features properly.)

Sure, but the number of elements in the sequences is.

"the cardinality of the set of ([countable] infinite) sequences of real numbers"
I added "()" to clarify the structure.


Assista o vídeo: Aula 14 Sequências de Números Reais (Outubro 2021).