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6: Continuidade - O que não é e o que é - Matemática


  • 6.1: Uma definição analítica de continuidade
    Antes da invenção do cálculo, a noção de continuidade era tratada intuitivamente, se é que o era. À primeira vista, parece uma ideia muito simples, baseada solidamente em nossa experiência do mundo real. Parado na margem, vemos um rio que passa por nós continuamente, não por pequenos solavancos. Mesmo quando o fl uxo pode parecer a princípio descontínuo, como quando cai precipitadamente sobre um clí, um exame mais atento mostra que realmente não é. Conforme a água se aproxima do clí, ela acelera.
  • 6.2: Sequências e Continuidade
    Examinaremos uma maneira alternativa de provar que a função não é contínua a ≠ 0 examinando a relação entre nossas definições de convergência e continuidade. As duas idéias estão, na verdade, intimamente ligadas, conforme ilustrado pelo seguinte teorema muito útil.
  • 6.3: A definição do limite de uma função
    Uma vez que atualmente o conceito de limite é geralmente considerado como o ponto de partida para o cálculo, você pode achar um pouco estranho que tenhamos escolhido falar sobre continuidade primeiro. Mas, historicamente, a definição formal de um limite veio depois da definição formal de continuidade. De certa forma, o conceito de limite fazia parte de uma unificação de todas as ideias de cálculo que foram estudadas anteriormente e, posteriormente, tornou-se a base de todas as ideias de cálculo.
  • 6.4: O derivado - uma reflexão tardia
    Junto com a integral, a derivada é um dos objetos matemáticos mais poderosos e úteis já concebidos e temos trabalhado muito para fornecer uma base sólida e rigorosa para ela. Por outro lado, agora que construímos todo o mecanismo de que precisamos para definir e explorar o conceito da derivada, ela parecerá bastante prosaica ao lado de ideias como a convergência de séries de potência, séries de Fourier e as propriedades bizarras de Q e R.
  • 6.E: Continuidade - O que não é e o que é (exercícios)

Miniatura: Cauchy por volta de 1840. (Domínio Público).