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10.2: Construindo os Números Reais - Matemática


Habilidades para desenvolver

  • Mostre por que construir números reais é logicamente necessário

Ao contrário do título desta seção, não construiremos rigorosamente os números reais aqui. Em vez disso, nosso objetivo é mostrar por que tal construção é logicamente necessária e dar uma ideia de como isso foi feito no passado. Isso pode parecer estranho, dada nossa ênfase uniforme no rigor matemático, especialmente na terceira parte do texto, mas há boas razões para isso.

Um é a praticidade simples. O fato é que construir rigorosamente os números reais e depois mostrar que eles têm as propriedades exigidas é um trabalho extraordinariamente detalhado, mesmo para a matemática. Se quisermos manter este texto em um tamanho administrável (queremos), simplesmente não temos espaço.

A segunda razão é que, pelo que sabemos, há muito pouco para você ganhar com isso. Quando terminarmos, teremos os números reais. Os mesmos números reais que você tem usado durante toda a sua vida. Eles têm as mesmas propriedades e peculiaridades de sempre. Com certeza, eles não terão perdido nada de seu charme; Eles serão a mesma mistura deliciosa do mundano e do bizarro, e ainda valem a pena explorar e conhecer melhor. Mas nada do que fizermos no curso de construí-los logicamente a partir de ideias mais simples ajudará nessa exploração.

Uma pergunta razoável, então, é, “Porque se importar?“Se o processo é opressivamente, tediosamente detalhado (é) e não nos dá nada de novo para nossos esforços, por que fazê-lo?

Fazer matemática foi comparado1 para entrar em um quarto escuro. No início, você está perdido. O layout da sala e os móveis são desconhecidos, então você tateia um pouco e aos poucos tem uma noção de seus arredores imediatos, talvez uma vaga noção da organização da sala como um todo. Eventualmente, depois de muitas explorações, muitas vezes tediosas, você se torna bastante confortável em seu quarto. Mas sempre haverá cantos escuros; áreas escondidas que você ainda não explorou. Essa área escura pode esconder qualquer coisa; as travas de portas fechadas que você não sabia que estavam lá; uma braçadeira cuja presença explica por que você não conseguia mover aquela pequena mesa no canto; até mesmo o interruptor de luz que permitiria a você iluminar uma área com mais clareza do que você poderia imaginar.

Mas, e este é o ponto, não há como saber o que você vai encontrar lá até que você entre naquele canto escuro e comece a explorar. Talvez nada. Mas talvez algo maravilhoso.

Foi o que aconteceu no final do século XIX. Os números reais foram usados ​​desde que os pitagóricos aprenderam que ( sqrt {2} ) era irracional. Mas, na verdade, a maioria dos cálculos foi (e ainda é) feita apenas com os números racionais. Além disso, uma vez que ( mathbb {Q} ) forma um “conjunto de medida zero, ”É claro que a maioria dos números reais ficaram completamente sem uso. O conjunto de números reais era, portanto, um daqueles “cantos escuros”Da matemática. Isso precisava ser explorado.

Mas mesmo que isso seja verdade, ”Você pode perguntar,“ Eu não tenho interesse nos fundamentos lógicos dos números reais, especialmente se tal conhecimento não vai me dizer nada que eu já não saiba. Por que eu preciso saber todos os detalhes da construção de ( mathbb {R} ) de ( mathbb {Q} )? "

A resposta para isso é muito simples: você não.

Esse é o outro motivo pelo qual não cobrimos todos os detalhes deste material. Explicaremos o suficiente para iluminar, talvez vagamente, este pequeno canto da matemática. Mais tarde, se você precisar (ou quiser) voltar a isso e explorar mais, terá uma base para começar. Nada mais.

Até o século XIX, a geometria de Euclides, conforme apresentada em seu livro Os Elementos, era universalmente considerada a pedra de toque da perfeição matemática. Essa crença estava tão profundamente enraizada na cultura ocidental que, recentemente, em 1923, Edna St. Vincent Millay abriu um dos poemas em seu livro The Harp Weaver and Other Poems com a linha “Somente Euclides olhou para a beleza nua.

Euclides começa seu livro afirmando (5 ) axiomas simples e prossegue, passo a passo lógico, para construir sua geometria. Embora longe da perfeição real, seus métodos são limpos, precisos e e fi cientes - ele chega ao Teorema de Pitágoras em apenas (47 ) etapas (teoremas) - e mesmo hoje os Elementos de Euclides ainda estabelecem um padrão muito alto de exposição matemática e parcimônia.

O objetivo de começar com o que é claro e simples e prosseguir lógica e rigorosamente até o que é complexo ainda é um princípio orientador de toda a matemática por uma variedade de razões. No final do século XIX, esse princípio foi aplicado aos números reais. Isto é, algumas propriedades dos números reais que a princípio parecem simples e intuitivamente claras revelam-se, em um exame mais detalhado, como vimos, bastante contra-intuitivo. Isso por si só não é realmente um problema. Podemos ter propriedades contra-intuitivas em nossa matemática - na verdade, esta é uma grande parte do que torna a matemática interessante - contanto que cheguemos a elas logicamente, partindo de suposições simples da mesma forma que Euclides o fez.

Tendo chegado a uma visão dos números reais que é comparável à de nossos colegas do século XIX, deve ficar claro agora que os números reais e suas propriedades devem ser construídos a partir de conceitos mais simples, como sugerido por nossos amigos italianos na seção anterior.

Além das propriedades que descobrimos até agora, tanto ( mathbb {Q} ) e ( mathbb {R} ) compartilham outra propriedade que será útil. Nós o usamos ao longo deste texto, mas até agora não o tornamos explícito. Ambos são ordenados linearmente. Agora vamos tornar essa propriedade explícita.

Definição ( PageIndex {1} )

Um campo de número é dito ser linearmente ordenado se houver uma relação, denotada " (<)," nos elementos do campo que satisfaz todos os seguintes para todos (x ), (y ), e (z ) no campo.

  1. Para todos os números (x ) e (y ) no campo, exatamente um dos seguintes é válido:
    1. (x
    2. (x = y )
    3. (y
  2. Se (x
  3. Se (x
  4. Se (x

Qualquer campo numérico com tal relação é chamado de campo numérico ordenado linearmente e, como mostra o seguinte problema, nem todo campo numérico é ordenado linearmente.

Exercício ( PageIndex {1} )

  1. Prove que o seguinte deve ser válido em qualquer campo numérico ordenado linearmente.
    1. (0
    2. Se (x
    3. Para todos (x neq 0 ), (0
    4. (0 < 1).
  2. Mostre que o conjunto de números complexos ( ( mathbb {C} )) não é um campo ordenado linearmente.

Em uma apresentação completa e rigorosa, assumiríamos agora a existência dos números naturais ( ( mathbb {N} )), e suas propriedades e usá-los para definir os inteiros, ( ( mathbb {Z} )) . Em seguida, usaríamos os inteiros para definir os números racionais, ( ( mathbb {Q} )). Poderíamos então mostrar que os racionais satisfazem os axiomas de campo elaborados na seção anterior e que são ordenados linearmente.

Então - finalmente - usaríamos ( mathbb {Q} ) para definir os números reais ( ( mathbb {R} )), mostrar que estes também satisfazem os axiomas de campo e também têm as outras propriedades que esperamos : Continuidade, a propriedade do intervalo aninhado, a propriedade do limite superior mínimo, o teorema de Bolzano-Weierstrass, a convergência de todas as sequências de Cauchy e ordenação linear.

Começaríamos com os números naturais porque eles parecem ser simples o suficiente para que possamos simplesmente assumir suas propriedades. Como Leopold Kronecker (1823-1891) disse: “Deus fez os números naturais, tudo o mais é obra do homem.

Infelizmente, isso é muito para se encaixar neste epílogo, então teremos que abreviar o processo de forma bastante severa.

Assumiremos a existência e as propriedades dos números racionais. Construir ( mathbb {Q} ) a partir dos inteiros não é especialmente difícil e é fácil mostrar que eles satisfazem os axiomas trabalhados por Salviati, Sagredo e Simplicio na seção anterior. Mas o nível de detalhe exigido para o rigor rapidamente se torna oneroso.

Mesmo começando nessa posição bastante avançada na cadeia da lógica, ainda há um nível considerável de detalhes necessário para concluir o processo. Portanto, nossa exposição será necessariamente incompleta.

Em vez de mostrar, com total rigor, como os números reais podem ser construídos a partir dos racionais, mostraremos, em termos bastante amplos, três maneiras como isso foi feito no passado. Forneceremos referências posteriormente, caso você queira acompanhar e aprender mais.

A Expansão Decimal

Este é de longe o método mais simples que examinaremos. Como começamos com ( mathbb {Q} ), já temos alguns números cuja expansão decimal é infinita. Por exemplo, ( frac {1} {3} = 0,333 .... ) Também sabemos que se (x ∈ mathbb {Q} ) então expressar (x ) como um decimal dá um finito ou um decimal infinito de repetição.

Mais simplesmente, podemos dizer que ( mathbb {Q} ) consiste no conjunto de todas as expressões decimais que eventualmente se repetem. (Se eventualmente repetir zeros, é o que chamamos de decimal finito.)

Em seguida, definimos os números reais como o conjunto de todos os decimais infinitos, repetidos ou não.

Pode parecer que tudo o que temos a fazer é definir adição e multiplicação da maneira óbvia e estaremos prontos. Esse conjunto com essas definições obviamente satisfaz todos os axiomas de campo elaborados por nossos amigos italianos na seção anterior. Além disso, parece claro que todos os nossos axiomas de completude equivalentes são satisfeitos.

No entanto, as coisas não são tão claras quanto parecem.

A principal dificuldade dessa abordagem é que a representação decimal dos números reais é tão familiar que tudo o que precisamos mostrar parece óbvio. Mas pare e pense por um momento. É realmente óbvio como definir adição e multiplicação de decimais infinitos? Considere o algoritmo de adição que todos nós aprendemos na escola primária. Esse algoritmo requer que alinhemos dois números em suas casas decimais:

[d_1d_2 cdot d_3d_4 + delta _1 delta _2 cdot delta _3 delta _4 ]

Em seguida, começamos a adicionar na coluna mais à direita e prosseguimos para a esquerda. Mas se nossos decimais são infinitos, não podemos começar porque não existe uma coluna mais à direita!

Um problema semelhante ocorre com a multiplicação.

Portanto, nosso primeiro problema é definir adição e multiplicação em ( mathbb {R} ) de uma maneira que recapture adição e multiplicação em ( mathbb {Q} ).

Esta não é uma tarefa trivial.

Uma maneira de proceder é reconhecer que a notação decimal que usamos todas as nossas vidas é, na verdade, uma forma abreviada para a soma de uma série infinita. Ou seja, se (x = 0 cdot d_1d_2d_3 ... ) onde (0 ≤ d_i ≤ 9 ) para todos (i ∈ N ) então

[x = sum_ {i = 1} ^ { infty} frac {d_i} {10 ^ i} ]

A adição agora é aparentemente fácil de definir: If (x = sum_ {i = 1} ^ { infty} frac {d_i} {10 ^ i} ) e (y = sum_ {i = 1} ^ { infty} frac { delta _i} {10 ^ i} ) então

[x + y = sum_ {i = 1} ^ { infty} frac {e_i} {10 ^ i} text {onde} e_i = d_i + delta _i ]

Mas há um problema. Suponha que para algum (j ∈ mathbb {N} ), (e_j = d_i + δ_i> 10 ). Nesse caso, nossa soma não satisfaz a condição (0 ≤ e_i ≤ 9 ), então nem mesmo está claro que a expressão ( sum_ {i = 1} ^ { infty} frac {e_i} {10 ^ i} ) representa um número real. Ou seja, podemos não ter a propriedade de fechamento de um campo numérico. Teremos que definir algum tipo de “carregando”Operação para lidar com isso.

Exercício ( PageIndex {2} )

Defina a adição em decimais infinitos de uma maneira que seja fechada.

Dica

Encontre um apropriado “carregar”Operação para nossa definição.

Uma dificuldade semelhante surge quando tentamos definir a multiplicação. Uma vez que tenhamos a noção de carregar no lugar, poderíamos definir a multiplicação apenas como a multiplicação de séries. Especificamente, poderíamos definir

[ begin {align *} (0 cdot a_1a_2a_3 cdots) cdot (0 cdot b_1b_2b_3 cdots) & = left ( frac {a_1} {10} + frac {a_2} {10 ^ 2} + cdots right) cdot left ( frac {b_1} {10} + frac {b_2} {10 ^ 2} + cdots right) & = frac {a_1b_1} {10 ^ 2} + frac {a_1b_2 + a_2b_1} {10 ^ 3} + frac {a_1b_3 + a_2b_2 + a_3b_1} {10 ^ 4} + cdots end {align *} ]

Poderíamos então converter isso para um “apropriado”Decimal usando nossa operação de transporte.

Mais uma vez, o diabo está nos detalhes para mostrar que tais operações algébricas satisfazem tudo o que desejamos. Mesmo assim, precisamos nos preocupar em ordenar linearmente esses números e nosso axioma de completude.

Outra maneira de ver isso é pensar em uma representação decimal infinita como uma sequência (de Cauchy) de aproximações decimais finitas. Como sabemos somar e multiplicar representações decimais finitas, podemos simplesmente somar e multiplicar os termos individuais nas sequências. Claro, não há razão para nos restringirmos apenas a esses tipos específicos de sequências de Cauchy, como veremos em nossa próxima abordagem.

Sequências de Cauchy

Como vimos, Georg Cantor começou sua carreira estudando a série Fourier e rapidamente passou para questões mais fundamentais na teoria dos conjuntos infinitos.

Mas ele não perdeu o fascínio pela análise real quando mudou. Como muitos matemáticos de seu tempo, ele percebeu a necessidade de construir ( mathbb {R} ) a partir de ( mathbb {Q} ). Ele e seu amigo e mentor Richard Dedekind (cuja abordagem veremos na próxima seção) encontraram maneiras diferentes de construir ( mathbb {R} ) a partir de ( mathbb {Q} ).

Cantor começou com sequências de Cauchy em ( mathbb {Q} ).

Ou seja, consideramos o conjunto de todas as sequências de números racionais de Cauchy. Gostaríamos de definir cada uma dessas sequências como um número real. O objetivo deve ser claro. Se ( left (s_n right) _ {n = 1} ^ { infty} ) é uma sequência em ( mathbb {Q} ) que converge para ( sqrt {2} ) então nós irá chamar ( (s_n )) o número real ( sqrt {2} ).

Isso provavelmente parece um pouco assustador no início. Existem muitos números em ( (s_n )) (contáveis, infinitos, para ser mais preciso) e estamos propondo colocar todos eles em um grande saco, amarrá-lo em uma fita e chamar a coisa toda ( sqrt {2} ). Parece algo muito estranho de propor, mas lembre-se da discussão na seção anterior que deixamos o conceito de “número”Indefinido. Assim, se pudermos tomar qualquer conjunto de objetos e definir adição e multiplicação de modo que os axiomas de campo sejam satisfeitos, então esses objetos são legitimamente números. Para mostrar que eles são, de fato, os números reais, também precisaremos da propriedade de completude.

Um saco cheio de números racionais funciona tão bem quanto qualquer coisa se pudermos definir adição e multiplicação de maneira apropriada.

Nosso problema imediato, entretanto, não é adição ou multiplicação, mas unicidade. Se tomarmos uma sequência ( (s_n )) que converge para ( sqrt {2} ) e definirmos como ( sqrt {2} ), o que faremos com todas as outras sequências que converge para ( sqrt {2} )?

Além disso, devemos ter cuidado para não nos referir a nenhum número real, como a raiz quadrada de dois, por exemplo, conforme definimos os números reais. Esta seria uma definição circular - e portanto inútil. Obviamente, porém, podemos nos referir a números racionais, uma vez que essas são as ferramentas que usaremos.

A solução é clara. Pegamos todas as sequências de números racionais que convergem para ( sqrt {2} ), jogamos em nossa bolsa e chamamos isso de ( sqrt {2} ). Nossa bolsa está ficando bem cheia agora.

Mas precisamos fazer isso sem usar ( sqrt {2} ) porque é um número real. As duas definições a seguir satisfazem todas as nossas necessidades.

Definição ( PageIndex {2} )

Seja (x = left (s_n right) _ {k = 1} ^ { infty} ) e (y = left ( sigma _n right) _ {k = 1} ^ { infty} ) ser sequências de Cauchy em ( mathbb {Q} ). (x ) e (y ) são considerados equivalentes se satisfizerem a seguinte propriedade: Para cada (ε> 0 ), (ε ∈ mathbb {Q} ), existe um número racional ( mathbb {N} ) de modo que para todos (n> N ), (n ∈ mathbb {N} ),

[| s_n - σ_n | <ε ]

Iremos denotar equivalência escrevendo, (x ≡ y ).

Exercício ( PageIndex {3} )

Mostre que:

  1. (x ≡ x )
  2. (x ≡ y ⇒ y ≡ x )
  3. (x ≡ y ) e (y ≡ z ⇒ x ≡ z )

Definição ( PageIndex {3} )

Cada conjunto de todas as sequências de Cauchy equivalentes define um número real.

Uma característica muito interessante do método de Cantor é que é muito claro como a adição e a multiplicação devem ser definidas.

Definição ( PageIndex {4} )

Se

[x = left { left (s_n right) _ {k = 1} ^ { infty} mid left (s_n right) _ {k = 1} ^ { infty} text {is Cauchy em} mathbb {Q} right } ]

e

[y = left { left ( sigma _n right) _ {k = 1} ^ { infty} mid left ( sigma _n right) _ {k = 1} ^ { infty} text {é Cauchy em} mathbb {Q} right } ]

então definimos o seguinte:

Adição:

[x + y = left { left (t_n right) _ {k = 1} ^ { infty} mid t_k = s_k + sigma _k, forall (s_n) epsilon ; x, text {e} ( sigma _n) epsilon ; y right } ]

Multiplicação:

[x cdot y = left { left (t_n right) _ {k = 1} ^ { infty} mid t_k = s_k sigma _k, forall (s_n) epsilon ; x, text {e} ( sigma _n) epsilon ; y right } ]

A notação usada na Definição ( PageIndex {3} ) pode ser difícil de ler no início, mas basicamente ela diz que a adição e a multiplicação são feitas em componentes.No entanto, uma vez que (x ) e (y ) consistem em todas as sequências equivalentes, temos que tomar todas as opções possíveis de ((s_n) ∈ x ) e ((σ_n) ∈ y ), formar o ( text {sum (produto)} left (s_n + sigma _n right) _ {n = 1} ^ { infty} ( left (s_n sigma _n right) _ {n = 1} ^ { infty}) ) e então mostrar que todas essas text {somas (produtos)} ) são equivalentes. Caso contrário, text {adição (multiplicação)} ) não está bem de fi nida: Dependeria de qual sequência escolhermos representar (x ) e (y ).

Exercício ( PageIndex {4} )

Sejam (x ) e (y ) números reais em ( mathbb {Q} ) (ou seja, sejam eles conjuntos de sequências de Cauchy equivalentes). Se ( (s_n )) e ( (t_n )) estão em (x ) e ( (σ_n )) e ( (τ_n )) estão em (y ), então

[ left (s_n + t_n right) _ {n = 1} ^ { infty} equiv left ( sigma _n + tau _n right) _ {n = 1} ^ { infty} ]

Teorema ( PageIndex {1} )

Seja (0 ∗ ) o conjunto de sequências de Cauchy em ( mathbb {Q} ) que são todas equivalentes à sequência ((0, 0, 0, ...) ). Então

[0 ∗ + x = x ]

Prova

Do Problema ( PageIndex {4} ) é claro que na formação (0 ∗ + x ) podemos escolher qualquer sequência em (0 ∗ ) para representar (0 ∗ ) e qualquer sequência em (x ) para representar (x ). (Isso ocorre porque qualquer outra escolha produzirá uma sequência equivalente a (0 ∗ + x ).)

Assim, escolhemos ((0,0,0, ...) ) para representar (0 ∗ ) e qualquer elemento de (x ), digamos ((x_1, x_2, ...) ) , para representar (x ). Então

[ begin {align *} (0,0,0, ...) + (x_1, x_2, x_3, ...) & = (x_1, x_2, x_3, ...) & = x fim {alinhar *} ]

Uma vez que quaisquer outras sequências tiradas de (0 ∗ ) e (x ) respectivamente, resultarão em uma soma equivalente a (x ) (veja o Problema ( PageIndex {3} )), concluímos que

[0 ∗ + x = x ]

Exercício ( PageIndex {5} )

Identifique o conjunto de sequências de Cauchy equivalentes, (1 ∗ ), de modo que (1 ∗ cdot x = x ).

Exercício ( PageIndex {6} )

Sejam (x ), (y ) e (z ) números reais (conjuntos equivalentes de sequências de Cauchy). Mostre que com adição e multiplicação definidas como acima temos:

  1. (x + y = y + x )
  2. ((x + y) + z = x + (y + z) )
  3. (x cdot y = y cdot x )
  4. ((x cdot y) cdot z = x cdot (y cdot z) )
  5. (x cdot (y + z) = x cdot y + x cdot z )

Uma vez que a existência de inversos aditivos e multiplicativos é estabelecida 2 a coleção de todos os conjuntos de sequências de Cauchy equivalentes, com adição e multiplicação definida como acima satisfazem todos os axiomas de campo. É claro que eles formam um campo numérico e, portanto, merecem ser chamados de números.

No entanto, isso não mostra necessariamente que eles formam ( mathbb {R} ). Também precisamos mostrar que eles são completos no sentido do Capítulo 7. Talvez não seja muito surpreendente que, quando construímos os números reais usando sequências de Cauchy equivalentes, a propriedade de completude mais natural que podemos mostrar é que se uma sequência de números reais é Cauchy então converge.

No entanto, não estamos em posição de mostrar que as sequências de Cauchy em ( mathbb {R} ) convergem. Para fazer isso, primeiro precisaríamos mostrar que esses conjuntos de classes de equivalência de sequências de Cauchy (números reais) são ordenados linearmente.

Infelizmente, mostrar a ordem linear, embora não seja especialmente difícil, é demorado. Portanto, invocaremos novamente as prerrogativas do professor e deixaremos todas as dificuldades de lado com a afirmação de que é direto mostrar que os números reais, conforme os construímos nesta seção, são linearmente ordenados e estão completos. Se deseja ver esta construção com todo o rigor recomendamos o livro, O Sistema Numérico de H. A. Thurston [16].3

Dedekind Cuts

Uma vantagem de construir os reais por meio de sequências de Cauchy na seção anterior é que, uma vez que identificamos sequências equivalentes com números reais, é muito claro como a adição e a multiplicação devem ser definidas.

Por outro lado, antes mesmo de começarmos a entender essa construção, precisamos ter um senso bastante forte do que significa uma sequência convergir e experiência suficiente com sequências para nos sentirmos confortáveis ​​com a noção de uma sequência de Cauchy. Portanto, uma boa parte da matemática de alto nível deve ser dominada antes mesmo de começarmos.

O método de “Dedekind corta”Desenvolvido pela primeira vez por Richard Dedekind (embora ele apenas os chamasse de“cortes”) Em seu livro de 1872, Continuity and the Irrational Numbers compartilha a vantagem do método de sequência de Cauchy em que, uma vez que os candidatos para os números reais tenham sido identificados, é muito claro4 como a adição e a multiplicação devem ser definidas. Também é fácil mostrar que a maioria dos axiomas de campo está satisfeita.

Além disso, o método de Dedekind também tem a vantagem de que muito pouco conhecimento matemático é necessário para começar. Isso é intencional. No prefácio da primeira edição de seu livro, Dedekind afirma:

Este livro de memórias pode ser compreendido por qualquer pessoa que possua o que normalmente é chamado de bom senso; nenhum conhecimento técnico filosófico ou matemático é exigido no mínimo grau. (citado em [5])

Embora ele possa ter exagerado um pouco, está claro que sua intenção era argumentar a partir de princípios iniciais muito simples, assim como fez Euclides.

Seu ponto de partida foi a observação que fizemos no Capítulo 1: A reta numérica racional está cheia de buracos. Mais precisamente, podemos “cortar”A linha racional de duas maneiras distintas:

  1. Podemos escolher um número racional, (r ). Esta escolha divide todos os outros números racionais em duas classes: aqueles maiores que (r ) e aqueles menores que (r ).
  2. Podemos escolher um dos buracos na reta numérica racional. Nesse caso, todos os racionais se enquadram em duas classes: os maiores do que o buraco e os menores.

Mas falar de números racionais como menores ou maiores do que algo que não existe é um total absurdo. Precisaremos de uma definição melhor (ou seja, rigorosa).

Como antes, desenvolveremos um sentido geral dessa construção, em vez de uma apresentação totalmente detalhada, já que a última seria muito longa para ser incluída.

Nossa apresentação seguirá de perto a de Edmund Landau em seu clássico texto de 1951, Foundations of Analysis [7]. Fazemos isso para que, se você decidir seguir essa construção com mais detalhes, possa acompanhar a apresentação de Landau com mais facilidade.

Definição ( PageIndex {5} ): Corte Dedekind

Um conjunto de positivos5 números racionais são chamados de corte se

Propriedade: Ele contém um número racional positivo, mas não contém todos os números racionais positivos.

Propriedade II: Cada número racional positivo no conjunto é menor do que cada número racional positivo que não está no conjunto.

Propriedade III: Não há nenhum elemento do conjunto que seja maior do que qualquer outro elemento do conjunto.

Dado o seu público-alvo, Dedekind e Landau evitavam usar muita notação. No entanto, incluiremos o seguinte para aqueles que se sentem mais confortáveis ​​com o simbolismo, pois pode ajudar a fornecer mais perspectiva. Especificamente, as propriedades que definem um corte de Dedekind (α ) podem ser escritas como segue.

Propriedade I: (α neq ∅ ) e ( mathbb {Q} ^ + - α neq ∅ ).

Propriedade II: Se (x ∈ α ) e (y ∈ mathbb {Q} ^ + - α ), então (x

Propriedade III: Se (x ∈ α ), então (∃ z ∈ α ) tal que (x

Propriedades I-III realmente dizem que os cortes de Dedekind são intervalos abertos limitados de números racionais começando em (0 ). Por exemplo, ((0,3) ∩ mathbb {Q} ^ + ) é um corte Dedekind (que eventualmente será o número real (3 )). Da mesma forma, ( {x | x ^ 2 <2 } ∩ mathbb {Q} ^ + ) é um corte de Dedekind (que eventualmente será o número real ( sqrt {2} )). Observe que deve-se tomar cuidado para não se referir realmente a números irracionais nas propriedades, já que o objetivo é construí-los a partir de números racionais, mas pode ajudar você a se basear para antecipar o que acontecerá.

Observe especialmente os três fatos a seguir:

  1. É necessário muito pouco conhecimento matemático para entender essa definição. Precisamos saber o que é um conjunto, precisamos saber o que é um número racional e precisamos saber que dados dois números racionais positivos ou eles são iguais ou um é maior.
  2. A linguagem que Landau usa é muito precisa. Isso é necessário para evitar tolices como tentar comparar algo com nada, como fizemos alguns parágrafos acima.
  3. Estamos usando apenas os números racionais positivos para nossa construção. A razão para isso ficará clara em breve. Por uma questão prática, por enquanto, isso significa que os cortes que acabamos de definir corresponderão (eventualmente) aos números reais positivos.

Definição ( PageIndex {6} )

Sejam (α ) e (β ) cortes. Então dizemos que (α ) é menor que (β ), e escrevemos [α <β ] se existe um número racional em (β ) que não está em (α ).

Observe que, à luz do que dissemos antes da Definição ( PageIndex {1} ) (que foi tirado diretamente de Landau), notamos o seguinte.

Teorema ( PageIndex {2} )

Sejam (α ) e (β ) cortes. Então (α <β ) se e somente se (α ⊂ β ).

Exercício ( PageIndex {7} )

Prove o teorema ( PageIndex {2} ) e use-o para concluir que se (α ) e (β ) são cortes, então exatamente um dos seguintes é verdadeiro:

  1. (α = β )
  2. (α <β )
  3. (β <α )

Precisaremos primeiro definir adição e multiplicação para nossos cortes e, eventualmente, estes precisarão ser estendidos de ( mathbb {R} ) (uma vez que os reais não positivos também foram construídos). Será necessário mostrar que as definições estendidas satisfazem os axiomas de campo. Como você pode ver, há muito o que fazer.

Como fizemos com as sequências de Cauchy e com decimais infinitos, pararemos bem antes da construção completa. Se você estiver interessado em explorar os detalhes da construção de Dedekind, o livro de Landau [7] é muito completo e foi escrito com a intenção explícita de ser acessível aos alunos. No dele "Prefácio para o professor" ele diz

Espero ter escrito este livro, depois de uma preparação que se estende por décadas, de forma que um aluno normal possa lê-lo em dois dias.

Isso pode esticar as coisas. Dê a si mesmo pelo menos uma semana e certifique-se de não ter mais nada para fazer naquela semana.

Adição e multiplicação são definidas de maneira óbvia.

Definição ( PageIndex {7} ): Adição em cortes

Sejam (α ) e (β ) cortes. Vamos denotar o conjunto ( {x + y | x ∈ α, y ∈ β } ) por (α + β ).

Definição ( PageIndex {8} ): Multiplicação em cortes

Sejam (α ) e (β ) cortes. Vamos denotar o conjunto ( {xy | x ∈ α, y ∈ β } ) por (αβ ) ou (α cdot β ).

Se quisermos ter esperança de que esses objetos sirvam como nossos números reais, devemos ter um fechamento no que diz respeito à adição e multiplicação. Mostraremos o fechamento em relação à adição.

Teorema ( PageIndex {3} ): Fechamento com respeito à adição

Se (α ) e (β ) são cortes, então (α + β ) é um corte.

Prova

Precisamos mostrar que o conjunto (α + β ) satisfaz todas as três propriedades de um corte.

Prova de Propriedade I

Seja (x ) qualquer número racional em (α ) e seja (x_1 ) um número racional que não esteja em (α ). Então, pela Propriedade II (x

Seja (y ) qualquer número racional em (β ) e seja (y_1 ) um número racional que não esteja em (β ). Em seguida, pela Propriedade II (y

Assim, uma vez que (x + y ) representa um elemento genérico de (α + β ) e (x + y

Prova de Propriedade II

Mostraremos que a contrapositiva da Propriedade II é verdadeira: Se (x ∈ α + β ) e (y

Primeiro, seja (x ∈ α + β ). Então existem (x_α ∈ α ) e (x_β ∈ β ) tais que (y

[x_ alpha left ( frac {y} {x_ alpha + x_ beta} right)

e

[x_ beta left ( frac {y} {x_ alpha + x_ beta} right)

Portanto (x_ alpha left ( frac {y} {x_ alpha + x_ beta} right) epsilon ; alpha ) e (x_ beta left ( frac {y} {x_ alpha + x_ beta} right) epsilon ; beta ).

Portanto

[y = x_ alpha left ( frac {y} {x_ alpha + x_ beta} right) + x_ beta left ( frac {y} {x_ alpha + x_ beta} right) ) epsilon ; alpha + beta ]

Prova de Propriedade III

Seja (z ∈ α + β ). Precisamos encontrar (w> z ), (w ∈ α + β ). Observe que para alguns (x ∈ α ) e (y ∈ β )

[z = x + y ]

Como (α ) é um corte, existe um número racional (x_1 ∈ α ) tal que (x_1> x ). Pegue (w = x_1 + y ∈ α + β ). Então

[w = x1 + y> x + y = z ]

Isso completa a prova deste teorema.

Exercício ( PageIndex {8} )

Mostre que se (α ) e (β ) são cortes, então (α cdot β ) também é um corte.

Neste ponto, construímos nossos cortes e definimos adição e multiplicação para cortes. No entanto, como observado anteriormente, os cortes que teremos (muito em breve) corresponderão apenas aos números reais positivos. Isso pode parecer um problema, mas realmente não é porque os números reais não positivos podem ser definidos em termos de positivos, ou seja, em termos de nossos cortes. Citamos Landau [7]:

Esses cortes passarão a ser chamados de “números positivos;” .

Criamos um novo número (0 ) (para ser lido “zero”), Distinto dos números positivos.

Também criamos números que são distintos dos números positivos e também distintos de zero, e que chamaremos de números negativos, de forma que a cada (ξ ) (ou seja, a cada número positivo) atribuímos um número negativo denotado por (- ξ ) (- para ser lido “menos”). Nesse caso, (- ξ ) e (- ν ) serão considerados o mesmo número (como iguais) se e somente se (ξ ) e (ν ) forem o mesmo número.

A totalidade consistindo de todos os números positivos, de (0 ), e de todos os números negativos, será chamada de números reais.

Claro que não é suficiente simplesmente postular a existência de números reais não negativos. Tudo o que temos até agora é um conjunto de objetos que chamamos de números reais.

Para alguns deles (os reais positivos6) definimos adição e multiplicação. Essas definições acabarão por corresponder à adição e multiplicação com as quais estamos familiarizados.

No entanto, não temos nenhuma operação para todo o nosso conjunto de números reais propostos. Antes de fazermos isso, primeiro precisamos definir o valor absoluto de um número real. Este é um conceito com o qual você está muito familiarizado e provavelmente já viu a seguinte definição: Let (α ∈ mathbb {R} ). Então

[ left | alpha right | = begin {cases} alpha & text {if} alpha geq 0 - alpha & text {if} alpha <0 end {cases} ]

Infelizmente, não podemos usar esta definição porque ainda não temos uma ordenação linear em ( mathbb {R} ), então a afirmação (α ≥ 0 ) não tem sentido. Na verdade, será nossa definição de valor absoluto que ordenará os números reais. Nós devemos ser cuidadosos.

Observe que, por definição, um número real negativo é denotado com o traço ('-') em frente. Ou seja, (χ ) é positivo enquanto (- χ ) é negativo. Portanto, se (A ) for qualquer número real, uma das seguintes opções é verdadeira:

  1. (A = χ ) para algum (χ ∈ mathbb {R} ) ( (A ) é positivo)
  2. (A = -χ ) para algum (χ ∈ mathbb {R} ) ( (A ) é negativo)
  3. (A = 0 )

Definimos o valor absoluto da seguinte forma:

Definição ( PageIndex {9} )

Seja (A ∈ mathbb {R} ) como acima. Então

[ left | A right | = begin {cases} chi & text {if} A = chi 0 & text {if} A = 0 chi & text {if} A = - chi end {cases} ]

Com esta definição no lugar, é possível mostrar que (mathbb {R} ) é linearmente ordenado. Não faremos isso explicitamente. Em vez disso, vamos simplesmente assumir que os símbolos “ (<)” “ (> )” e “ (= )” foram definidos e têm todas as propriedades que aprendemos a esperar deles.

Agora estendemos nossas definições de adição e multiplicação dos números reais positivos (cortes) para todos eles. Curiosamente, a multiplicação é a mais simples das duas.

Definição ( PageIndex {10} ): Multiplicação

Seja (α ), (β ∈ mathbb {R} ). Então

[ alpha cdot beta = begin {cases} - left | alpha right | left | beta right | & text {if} alpha> 0, beta <0 text {ou} alpha <0, beta> 0 left | alpha right | left | beta right | & text {if} alpha <0, beta> 0 0 & text {if} alpha = 0 text {ou} beta = 0 end {cases} ]

Observe que o caso em que (α ) e (β ) são ambos positivos já foi tratado pela Definição ( PageIndex {8} ) porque, nesse caso, ambos são cortes.

Em seguida, definimos adição.

Definição ( PageIndex {11} ): Adição

Seja (α ), (β ∈ mathbb {R} ). Então

[ alpha + beta = begin {cases} - ( left | alpha right | + left | beta right |) & text {if} alpha <0, beta <0 left | alpha right | - left | beta right | & text {if} alpha> 0, beta <0, left | alpha right | > left | beta right | 0 & text {if} alpha> 0, beta <0, left | alpha right | = left | beta right | - ( left | alpha right | - left | beta right |) & text {if} alpha> 0, beta <0, left | alpha right | < left | beta right | beta + alpha & text {if} alpha <0, beta> 0 beta & text {if} alpha = 0 alpha & text {if} beta = 0 end {casos} ]

Mas espere! No segundo e quarto casos de nossa definição, nós realmente definimos adição em termos de subtração. 7 Mas ainda não definimos a subtração! Ops!

Isso é tratado com a definição abaixo, mas ilumina muito claramente o cuidado que deve ser tomado nessas construções. Os números reais são tão familiares para nós que é extraordinariamente fácil fazer suposições injustificadas.

Uma vez que as subtrações no segundo e quarto casos acima são feitas com números positivos, só precisamos dar significado à subtração de cortes.

Definição ( PageIndex {12} )

Se (α ), (β ) e (δ ) são cortes, então a expressão

[α − β = δ ]

é definido como significando

[α = δ + β ]

Claro, há o detalhe de mostrar que existe tal corte (δ ). (Avisamos sobre o tédio de tudo isso.) Landau conta os detalhes para mostrar que tal corte existe. Apresentaremos uma alternativa definindo o corte (α - β ) diretamente (assumindo (β <α )). Para motivar essa definição, considere algo com o qual estamos familiarizados: (3 - 2 = 1 ). Em termos de cortes, queremos dizer que o intervalo de abertura de (0 ) a (3 ) “menos”O intervalo de abertura de (0 ) a (2 ) deve nos dar o intervalo de abertura de (0 ) a (1 ). Pegar elementos de ((0,3) ) e subtrair elementos de ((0,2) ) não fará isso, pois teríamos diferenças como (2,9 - 0,9 = 2 ) que não está em o corte ((0,1) ). Um momento de reflexão nos diz que o que precisamos fazer é pegar todos os elementos de ((0,3) ) e subtrair todos os elementos de ((2, ∞) ), restringindo-nos apenas aos que são positivos números racionais. Isso leva à seguinte definição.

Definição ( PageIndex {13} )

Sejam (α ) e (β ) cortes com (β <α ). Defina (α - β ) da seguinte forma:

[α - β = {x - y | x ∈ α text {and} y not {∈} β } ∩ Q ^ + ]

Para mostrar que, de fato, (β + (α - β) = α ), o seguinte lema técnico será útil.

Lemma ( PageIndex {1} )

Sejam (β ) um corte, (y ) e (z ) números racionais positivos não em (β ) com (y 0 ) ser qualquer número racional. Então existem números racionais positivos (r ) e (s ) com (r ∈ β ), e (s não {∈} β ), tais que (s

Exercício ( PageIndex {9} )

Prove Lemma ( PageIndex {1} ).

Dica

Como (β ) é um corte, existe (r_1 ∈ β ). Seja (s_1 = y não {∈} β ). Nós sabemos disso (r_1

Exercício ( PageIndex {10} )

Sejam (α ) e (β ) cortes com (β <α ). Prove que (β + (α - β) = α ).

Dica

É bastante simples mostrar que (β + (α - β) ⊆ α ). Para mostrar que (α ⊆ β + (α - β) ), utilizamos (x ∈ α ). Como (β <α ), temos (y ∈ α ) com (y not {∈} β ). Podemos assumir sem perda de generalidade que (x

Terminaremos dizendo que não importa como você construa o sistema de números reais, na verdade existe apenas um. Mais precisamente, temos o seguinte teorema, que afirmamos sem prova.8

Teorema ( PageIndex {4} )

Qualquer campo completo, linearmente ordenado é isomórfico9 para ( mathbb {R} ).

Lembre-se de que avisamos que essas construções eram repletas de detalhes técnicos que não são necessariamente esclarecedores. No entanto, neste ponto, você tem tudo de que precisa para mostrar que o conjunto de todos os números reais, conforme definido acima, é linearmente ordenado e satisfaz a propriedade Least Upper Bound.

Mas vamos parar aqui para, parafraseando Descartes, deixar para vocês a alegria de novas descobertas.

Referências

1 Por Andrew Wiles, o homem que provou o Último Teorema de Fermat.

2 Não abordaremos esse problema aqui, mas você deve pensar um pouco sobre como isso pode ser feito.

3 Thurston primeiro constrói R como indicamos nesta seção. Então, como uma observação final, ele mostra que os números reais devem ser exatamente os decimais infinitos que vimos na seção anterior.

4 “Limpar” não significa “fácil de fazer”, como veremos.

5 Observe especialmente que não estamos usando os números racionais negativos ou zero para construir nossos cortes. A razão para isso ficará clara em breve.

6 Ou seja, os cortes.

7 Observe também que o quinto caso se refere à adição conforme definida no segundo caso.

8 Na verdade, não provar esse resultado parece ser o padrão em referências de análises reais. Na maioria das vezes, é simplesmente declarado como fizemos aqui. No entanto, uma prova pode ser encontrada em http://math.ucr.edu/ res / math205A / uniqreals.pdf.

9 Dois campos numéricos ordenados linearmente são considerados isomórficos se houver um um para um, no mapeamento entre eles (tal mapeamento é chamado de bijeção) que preserva adição, multiplicação e ordem. Mais precisamente, se ( mathcal {F} _1 ) e ( mathcal {F} _2 ) são ambos campos ordenados linearmente, (x ), (y ∈ mathcal {F} _1 ) e ( varphi: mathcal {F} _1 rightarrow mathcal {F} _2 ) é o mapeamento então

  1. (φ (x + y) = φ (x) + φ (y) )
  2. (φ (x cdot y) = φ (x) cdot φ (y) )
  3. (x

Contribuinte

  • Eugene Boman (Pennsylvania State University) e Robert Rogers (SUNY Fredonia)


Como funciona a matemática

Os números representam uma dificuldade para os humanos. Claro, alguns de nós têm mais dom para a matemática do que outros, mas cada um de nós chega a um ponto em nossa educação matemática em que as coisas ficam difíceis. Aprender a tabuada é difícil porque o cérebro humano nunca evoluiu para lidar com cálculos avançados como 17 x 32 = 544. Depois de certo ponto, nossa educação matemática é em grande parte um exercício de reajustar circuitos cerebrais mal adaptados [fonte: Dehaene].

O senso numérico pode vir naturalmente para nós, mas a alfabetização matemática só vem com o tempo. Da mesma forma, o uso da matemática pela humanidade tem crescido constantemente ao longo dos tempos. Como a própria ciência, a matemática não é o produto de uma mente, mas sim um acúmulo constante de conhecimento ao longo da história humana.

Pense na matemática como uma torre. A altura humana natural é finita, portanto, se quisermos chegar mais alto no ar e ver mais além da paisagem, precisaremos construir algo externo a nós mesmos. Nossas habilidades mentais para entender a matemática são igualmente finitas, então construímos uma grande torre de sistemas numéricos e subimos até as estrelas.

Para quebrar a estrutura básica desta torre, vamos primeiro olhar para as matérias-primas. Estes são os tipos básicos de números:

Inteiros: Você provavelmente os conhece como números inteiros, e eles vêm em formas positivas e negativas. Os inteiros incluem os números básicos de contagem (1-9), números negativos (-1) e zero.

Números racionais incluem inteiros, mas também englobam frações simples que podem ser expressas como uma proporção de dois inteiros. Por exemplo, 0,5 é racional porque também podemos escrever como 1/2.

Números irracionais: Esses números não podem ser escritos como uma proporção de dois inteiros. Pi (a razão entre a circunferência de um círculo e seu diâmetro) é um exemplo clássico, pois não pode ser escrito com precisão como uma proporção de dois inteiros e foi calculado para diminuir as casas decimais até trilhões.

Números racionais e irracionais caem na categoria de numeros reais ou números complexos. E sim, também há números imaginários que existem fora da linha de número real, e números transcendentais, como pi. Existem muitos outros tipos de números diferentes e também desempenham um papel na estrutura de nossa torre.

Na próxima página, veremos alguns dos ramos centrais da matemática.


Características do Manual de Laboratório da Classe 10 de Matemática

As atividades ministradas no Manual do Laboratório de Matemática para a Aula 10 têm como objetivo construir a mente analítica dos alunos. Alguns dos recursos são fornecidos a seguir:

  • Os experimentos abrangem muitos conceitos básicos.
  • Antes da seção de experimento, o livro fornece uma visão geral rápida, permitindo que os alunos saibam sobre o objetivo do experimento e como alcançar o resultado com a máxima eficiência.
  • Perguntas de base prática são fornecidas para aumentar seu escopo de aprendizagem.
  • Soluções interativas são fornecidas juntamente com a cobertura de algumas das questões importantes do ponto de vista do exame.

Os alunos devem praticar essas questões baseadas em práticas que os ajudarão a obter uma boa compreensão dos conceitos com muito mais rapidez.

Lista de diferentes manuais de laboratório, livro de matemática para a classe 10

Existem muitos livros do Manual do Laboratório de Matemática para alunos da 10ª classe. No entanto, os especialistas acadêmicos da Embibe identificaram alguns dos livros essenciais disponíveis no mercado e os listaram:

Nome do livroPublicação
Laboratório Manual de Matemática - Aula 10 Arihant
Juntamente com o Manual do Laboratório de Matemática Rachna Sagar
Manual de laboratório de matemática para a classe 10 Blueprint Education

Programa do Manual do Laboratório de Matemática da Aula 10

O programa do Manual de Laboratório da Classe 10 de Matemática é preparado com base nos conceitos abordados nos livros didáticos. Analisamos o manual completo e fornecemos uma visão geral do programa abaixo:

b) Triângulos Similares e sua Razão das Áreas com base no Teorema da Proporcionalidade

f) Soma de números naturais ímpares / pares

g) Progressões Aritméticas

i) Área do círculo com a ajuda de recorte e colagem de papel

l) Tangentes extraídas de diferentes pontos

m) Cilindro Circular Direito e Cone

n) Área de Superfície do Cilindro e Cone

o) Volume do cilindro e cone

p) Comparação da superfície curva e áreas da superfície total de dois cilindros circulares direitos diferentes

q) Área de Superfície e Volume das Esferas

Se você quiser examinar os detalhes da cobertura do plano de estudos ou a solução desses capítulos, pode verificar em nosso CBSE Class 10 Syllabus for Maths.

Lista de atividades do manual do laboratório de matemática da classe 10

Conforme prescrito pelo CBSE, as seguintes atividades devem ser concluídas como parte do programa do Manual de Laboratório da Classe 10 de Matemática. Como essas avaliações e avaliações abrangem 20% do sistema de classificação geral, é essencial que você conclua essas atividades para garantir boas notas no exame.

  1. Encontrar o HCF de dois números praticamente com base no Lema da Divisão de Euclides & # 8217s.
  2. Desenhar o gráfico de um polinômio quadrático e descobrir sua forma, bem como o coeficiente de x 2.
  3. Verificar as condições de consistência / inconsistência para diferentes pares de equações lineares em duas variáveis ​​através do método gráfico.
  4. Obter a solução da equação quadrática correspondente (x 2 + 4x = 60) ao completar o quadrado geometricamente.
  5. Identificando as progressões aritméticas usando alguns padrões / números.
  6. Encontrar a soma dos primeiros n números naturais.
  7. Encontrar experimentalmente a soma dos primeiros ‘n’ números naturais ímpares.
  8. Encontrar experimentalmente a soma dos primeiros ‘n’ números naturais pares.
  9. Estabelecer a fórmula para a adição dos primeiros 'n' termos de uma Progressão Aritmética.
  10. Verificando a fórmula da distância usando o método gráfico.
  11. Verificando a área da fórmula de um triângulo.
  12. Estabelecendo os critérios para triângulos semelhantes.
  13. Verificando a fórmula da seção usando o método gráfico.
  14. Desenhar um sistema de quadrados semelhantes com a ajuda de duas tiras que se cruzam com pregos.
  15. Desenhar um sistema de triângulos semelhantes por meio de tiras em forma de Y com pregos.
  16. Verificar o Teorema de Tales (Teorema da Proporcionalidade Básica).
  17. Descobrir a relação entre áreas e lados de triângulos semelhantes.
  18. Verificar experimentalmente a proporção de dois triângulos semelhantes com a proporção de seus quadrados no lado correspondente.
  19. Desenhar um quadrilátero de acordo com o fator de escala fornecido.
  20. Verificando o Teorema de Pitágoras.
  21. Verificação experimental do Teorema de Pitágoras usando o Método de Bhaskara.
  22. Verificar experimentalmente se a tangente de um ponto externo a um círculo é perpendicular ao raio.
  23. Encontrar o número de tangentes de um ponto específico a um círculo.
  24. Verificar experimentalmente se os comprimentos das tangentes dos pontos específicos a um círculo são iguais.
  25. Encontrar a altura de um edifício usando o Clinômetro.
  26. Obtenção experimental da área de um círculo.
  27. Formando um tronco de cone.
  28. Obtenção experimental das fórmulas para a área superficial e o volume de um tronco do cone.
  29. Desenhar uma curva de frequência cumulativa (ou uma ogiva) menor que o tipo.
  30. Desenhar uma curva de frequência cumulativa (ou uma ogiva) de mais do que tipo.

Projeto de matemática para a classe 10

Uma das partes importantes do Programa do Manual do Laboratório é o Projeto de Matemática para a Classe 10. CBSE declarou o trabalho do projeto como um aspecto crucial da aprendizagem e construção do conhecimento do aluno. Os alunos devem levar a sério seu Projeto de Matemática da Classe 10.

Então, agora você sabe tudo sobre o Manual do Laboratório de Matemática para a Aula 10. Esperamos que ajude você.

Perguntas frequentes relacionadas ao Manual de laboratório PDF Matemática da Classe 10

As atividades ministradas no Manual do Laboratório de Matemática para a Aula 10 têm como objetivo construir o conhecimento analítico dos alunos.

Nesta página, fornecemos os detalhes completos do PDF do Manual do Laboratório da Classe 10 de Matemática para que você possa baixá-lo facilmente nesta página do Embibe.

O Manual de Laboratório está disponível para o programa de Matemática e Ciências para melhorar o conhecimento prático e analítico dos alunos.

Sim, todos os anos a CBSE realiza exames práticos para CBSE Classe 10, 12 exames de banca. É conduzido na própria escola por professores da escola ou por professores externos designados pela CBSE.

CBSE Class 10 Science Practicals Compreende um total de 15 práticas no programa conforme dado.

Na Embibe, você também pode resolver CBSE Class 10 questões de matemática e pegue Simulação de testes de matemática CBSE Class 10. Eles estão disponíveis gratuitamente e serão de grande ajuda para você na sua preparação.

Se você tiver alguma dúvida relacionada ao Manual de Laboratório da Classe 10 de Matemática, pergunte nas seções de comentários abaixo. Entraremos em contato com você o mais rápido possível.


O universo é feito de matemática? [Excerto]

Qual é a resposta para a questão fundamental da vida, do universo e de tudo? Na paródia de ficção científica de Douglas Adams & ldquoThe Hitchhiker & # 39s Guide to the Galaxy & rdquo, a resposta foi 42. A parte mais difícil acabou sendo encontrar a verdadeira questão. Acho muito apropriado que Douglas Adams tenha brincado com 42, porque a matemática desempenhou um papel notável em nossa compreensão crescente de nosso Universo.

O Bóson de Higgs foi previsto com a mesma ferramenta do planeta Netuno e da onda de rádio: com matemática. Galileu declarou que nosso Universo é um & ldquogrand livro & rdquo escrito na linguagem da matemática. Então, por que nosso universo parece tão matemático e o que isso significa? Em meu novo livro & ldquoOur Mathematical Universe & rdquo, argumento que isso significa que nosso universo não é apenas descrito pela matemática, mas que é matemática no sentido de que nós & rsquore todas as partes de um objeto matemático gigante, que por sua vez é parte de um multiverso tão grande que faz com que os outros multiversos debatidos nos últimos anos pareçam insignificantes em comparação.

Matemática, matemática em todos os lugares!
Mas onde está toda essa matemática que estamos falando? A matemática não envolve apenas números? Se você olhar em volta agora, provavelmente poderá ver alguns números aqui e ali, por exemplo, os números das páginas em sua última cópia da Scientific American, mas esses são apenas símbolos inventados e impressos por pessoas, então dificilmente se pode dizer que refletem nosso Universo sendo matemático de alguma forma profunda.

Por causa de nosso sistema educacional, muitas pessoas equiparam matemática com aritmética. No entanto, os matemáticos estudam estruturas abstratas muito mais diversas do que números, incluindo formas geométricas. Você vê algum padrão ou forma geométrica ao seu redor? Aqui, novamente, designs feitos por humanos, como a forma retangular deste livro, não contam. Mas experimente jogar uma pedra e observe a bela forma que a natureza faz em sua trajetória! As trajetórias de qualquer coisa que você jogue têm a mesma forma, chamada de parábola de cabeça para baixo. Quando observamos como as coisas se movem em órbitas no espaço, descobrimos outra forma recorrente: a elipse. Além disso, essas duas formas estão relacionadas: a ponta de uma elipse muito alongada tem a forma quase exata de uma parábola, então, na verdade, todas essas trajetórias são simplesmente partes de elipses.

Nós, humanos, descobrimos gradualmente muitas formas e padrões recorrentes adicionais na natureza, envolvendo não apenas movimento e gravidade, mas também áreas tão díspares como eletricidade, magnetismo, luz, calor, química, radioatividade e partículas subatômicas. Esses padrões são resumidos pelo que chamamos de nossas leis da física. Assim como a forma de uma elipse, todas essas leis podem ser descritas por meio de equações matemáticas.

As equações não são as únicas dicas da matemática embutidas na natureza: também existem os números.
Ao contrário das criações humanas como os números das páginas deste livro, estou agora falando sobre números que são propriedades básicas de nossa realidade física.Por exemplo, quantos lápis você pode organizar de modo que fiquem todos perpendiculares (a 90 graus) entre si? 3 & ndash, colocando-os ao longo das 3 bordas que emanam de um canto de sua sala, por exemplo. De onde veio aquele número 3? Chamamos esse número de dimensionalidade de nosso espaço, mas por que existem 3 dimensões em vez de 4, 2 ou 42? E por que existem, até onde podemos dizer, exatamente 6 tipos de quarks em nosso Universo? Existem também números codificados na natureza que requerem decimais para escrever & ndash, por exemplo, o próton cerca de 1836,15267 vezes mais pesado que o elétron. A partir de apenas 32 desses números, nós, físicos, podemos, em princípio, calcular todas as outras constantes físicas já medidas.

Há algo muito matemático em nosso Universo, e quanto mais cuidadosamente olhamos, mais matemática parecemos encontrar. Então, o que fazemos com todas essas dicas da matemática em nosso mundo físico? A maioria dos meus colegas de física entende que significa que a natureza é, por algum motivo, descrita pela matemática, pelo menos aproximadamente, e deixa por isso mesmo. Mas estou convencido de que há mais nisso, e vamos ver se faz mais sentido para você do que para aquele professor que disse que isso arruinaria minha carreira.

A hipótese matemática do universo
Fiquei bastante fascinado por todas essas pistas matemáticas na época da pós-graduação. Uma noite em Berkeley em 1990, enquanto meu amigo Bill Poirier e eu estávamos sentados especulando sobre a natureza última da realidade, de repente tive uma ideia do que tudo isso significava: que nossa realidade não é apenas descrita pela matemática & ndash é matemática, em um sentido muito específico. Não apenas em alguns aspectos, mas em tudo, incluindo você.

Minha suposição inicial, a hipótese da realidade externa, afirma que existe uma realidade física externa completamente independente de nós, humanos. Quando derivamos as consequências de uma teoria, introduzimos novos conceitos e palavras para elas, como & ldquoprotons & rdquo, & ldquoatoms & rdquo, & ldquomolecules & rdquo, & ldquocells & rdquo e & ldquostars & rdquo, porque são convenientes É importante lembrar, entretanto, que somos nós, humanos, que criamos esses conceitos, em princípio, tudo poderia ser calculado sem essa bagagem.

Mas se assumirmos que a realidade existe independentemente dos humanos, então para uma descrição ser completa, ela também deve ser bem definida de acordo com entidades não-humanas & ndash alienígenas ou supercomputadores, digamos & ndash que carecem de qualquer compreensão dos conceitos humanos. Isso nos leva à hipótese matemática do universo, que afirma que nossa realidade física externa é uma estrutura matemática.

Por exemplo, suponha que a trajetória de um basquete seja a de uma bela buzina que ganha o jogo e que mais tarde você deseja descrever a um amigo como ela era. Como a bola é feita de partículas elementares (quarks e elétrons), você poderia, em princípio, descrever seu movimento sem fazer qualquer referência a bolas de basquete:

A partícula 1 se move em uma parábola.
A partícula 2 se move em uma parábola.
e inferno
Partícula 138.314.159.265.358.979.323.846.264 movimentos em uma parábola.

Isso seria um pouco inconveniente, entretanto, porque você demoraria mais do que a idade do nosso Universo para dizê-lo. Também seria redundante, uma vez que todas as partículas estão grudadas e se movem como uma única unidade. É por isso que nós, humanos, inventamos a palavra & ldquoball & rdquo para se referir à unidade inteira, o que nos permite economizar tempo simplesmente descrevendo o movimento de toda a unidade de uma vez por todas.
A bola foi projetada por humanos, mas é bastante análoga para objetos compostos que não são feitos pelo homem, como moléculas, rochas e estrelas: inventar palavras para elas é conveniente tanto para economizar tempo quanto para fornecer conceitos em termos de que entender o mundo de forma mais intuitiva. Embora úteis, essas palavras são uma bagagem opcional.

Tudo isso levanta a questão: é realmente possível encontrar tal descrição da realidade externa que não envolve bagagem? Se assim for, tal descrição de objetos nesta realidade externa e as relações entre eles teriam que ser completamente abstratas, forçando quaisquer palavras ou símbolos a serem meros rótulos sem qualquer significado preconcebido. Em vez disso, as únicas propriedades dessas entidades seriam aquelas incorporadas pelas relações entre elas.

Para responder a essa pergunta, precisamos dar uma olhada mais de perto na matemática. Para um lógico moderno, uma estrutura matemática é precisamente esta: um conjunto de entidades abstratas com relações entre elas. Isso está em total contraste com a maneira como a maioria de nós percebe a matemática pela primeira vez, seja como uma forma sádica de punição ou como um saco de truques para manipular números.

A matemática moderna é o estudo formal de estruturas que podem ser definidas de forma puramente abstrata, sem qualquer bagagem humana. Pense nos símbolos matemáticos como meros rótulos sem significado intrínseco. Não importa se você escreve & ldquotwo mais dois é igual a quatro & rdquo, & ldquo2 + 2 = 4 & rdquo ou & ldquodos mas dos igual a cuatro & rdquo. A notação usada para denotar as entidades e as relações é irrelevante; as únicas propriedades dos inteiros são aquelas incorporadas pelas relações entre eles. Ou seja, nós não inventamos estruturas matemáticas & ndash nós as descobrimos, e inventamos apenas a notação para descrevê-las.

Em resumo, há dois pontos-chave a serem retirados: A Hipótese da Realidade Externa implica que uma & ldquotheory of Everything & rdquo (uma descrição completa de nossa realidade física externa) não tem bagagem, e algo que tem uma descrição completa sem bagagem é precisamente um matemático estrutura. Tomados em conjunto, isso implica a Hipótese Matemática do Universo, ou seja, que a realidade física externa descrita pela teoria de tudo é uma estrutura matemática. Portanto, o ponto principal é que, se você acredita em uma realidade externa independente dos humanos, também deve acreditar que nossa realidade física é uma estrutura matemática. Tudo em nosso mundo é puramente matemático e ndash incluindo você.


Um jogo abstrato de xadrez é independente das cores e formas das peças, e se seus movimentos são descritos em um tabuleiro fisicamente existente, por imagens estilizadas renderizadas por computador ou pela chamada notação algébrica de xadrez & ndash ainda é o mesmo jogo de xadrez. Analogamente, uma estrutura matemática é independente dos símbolos usados ​​para descrevê-la.
Imagem: Cortesia de Max Tegmark

Vida sem bagagem
Acima, descrevemos como nós, humanos, adicionamos bagagem às nossas descrições. Agora, vejamos o oposto: como a abstração matemática pode remover a bagagem e reduzir as coisas à sua essência. Considere a sequência de movimentos de xadrez que se tornou conhecida como & ldquoThe Immortal Game & rdquo, onde o branco sacrifica espetacularmente ambas as torres, um bispo e a rainha para dar xeque-mate com as três peças menores restantes. Quando os aficionados do xadrez chamam de belo o Jogo Imortal, eles não estão se referindo à atratividade dos jogadores, o tabuleiro ou as peças, mas a uma entidade mais abstrata, que podemos chamar de jogo abstrato, ou sequência de jogadas.

O xadrez envolve entidades abstratas (diferentes peças de xadrez, diferentes casas no tabuleiro, etc.) e as relações entre elas. Por exemplo, uma relação que uma peça pode ter com um quadrado é que o primeiro está no segundo. Outra relação que uma peça pode ter com um quadrado é que ela pode se mover ali. Existem muitas maneiras equivalentes de descrever essas entidades e relações, por exemplo, com um tabuleiro físico, por meio de descrições verbais em inglês ou espanhol, ou usando a chamada notação algébrica do xadrez. Então, o que resta quando você tira toda essa bagagem? O que é isso descrito por todas essas descrições equivalentes? O próprio Jogo Immortal, 100% puro, sem aditivos. Existe apenas uma estrutura matemática única que é descrita por todas essas descrições equivalentes.

A hipótese matemática do universo implica que vivemos em uma realidade relacional, no sentido de que as propriedades do mundo ao nosso redor derivam não das propriedades de seus blocos de construção finais, mas das relações entre esses blocos de construção. A realidade física externa é, portanto, mais do que a soma de suas partes, no sentido de que pode ter muitas propriedades interessantes, enquanto suas partes não têm nenhuma propriedade intrínseca. Essa minha crença que soa maluca de que nosso mundo físico não é apenas descrito pela matemática, mas que é matemática, nos torna partes autoconscientes de um objeto matemático gigante. Como eu descrevo no livro, isso em última análise rebaixa noções familiares como aleatoriedade, complexidade e até mesmo mudança para o status de ilusões, também implica uma coleção nova e definitiva de universos paralelos tão vastos e exóticos que toda a bizarrice acima mencionada empalidece em comparação , forçando-nos a renunciar a muitas de nossas noções mais profundamente arraigadas da realidade.

É fácil sentir-se pequeno e impotente diante dessa vasta realidade. Na verdade, nós, humanos, já tivemos essa experiência antes, descobrindo repetidamente que o que pensávamos ser tudo era apenas uma pequena parte de uma estrutura maior: nosso planeta, nosso sistema solar, nossa galáxia, nosso universo e talvez uma hierarquia de universos paralelos , aninhados como bonecos russos. No entanto, também acho isso fortalecedor, porque repetidamente subestimamos não apenas o tamanho de nosso cosmos, mas também o poder de nossa mente humana para compreendê-lo. Nossos ancestrais que moravam em cavernas tinham cérebros tão grandes quanto nós e, como não passavam as noites assistindo TV, tenho certeza de que fizeram perguntas como & ldquoO que é toda aquela coisa lá no céu? & Rdquo e & ldquoOnde tudo vem? & rdquo. Eles ouviram belos mitos e histórias, mas mal sabiam que tinham o poder de descobrir por si mesmos as respostas para essas perguntas. E que o segredo não estava em aprender a voar ao espaço para examinar os objetos celestes, mas em permitir que suas mentes humanas voassem. Quando nossa imaginação humana decifrou e começou a decifrar os mistérios do espaço, isso foi feito com o poder mental, em vez do poder do foguete.

Acho essa busca por conhecimento tão inspiradora que decidi me juntar a ela e me tornar um físico, e eu escrevi este livro porque quero compartilhar essas jornadas estimulantes de descoberta, especialmente nos dias de hoje, quando é tão fácil me sentir impotente. Se você decidir lê-lo, então não será apenas uma busca minha e de meus colegas físicos, mas nossa busca.

SOBRE OS AUTORES)

Conhecido como "Mad Max" por suas idéias pouco ortodoxas e paixão pela aventura, os interesses científicos de Max Tegmark variam da cosmologia de precisão à natureza definitiva da realidade, todas exploradas em seu novo livro popular, "Our Mathematical Universe". Ele é um professor de física do MIT com mais de 200 artigos técnicos de crédito e já apareceu em dezenas de documentários científicos. Seu trabalho com a colaboração SDSS no agrupamento de galáxias dividiu o primeiro prêmio em Ciência "Revelação do ano: 2003" da revista.


Construindo os Números Reais¶

Já temos os números racionais. Observamos as sequências de números racionais de Cauchy. Sejam (a_n ) e (b_n ) sequências de Cauchy de números racionais. Se (b_n-a_n ) converge para (0 ), iremos chamá-los de equivalentes. É fácil ver que esta é uma relação de equivalência. Definimos adição e multiplicação como (a_n + b_n ) e (a_nb_n ). É fácil ver que essas definições respeitam a relação de equivalência. Notamos também que se identificarmos um número racional, (q ) com a seqüência (q, q. ), Então diferentes números racionais não são equivlanet distintos e uma seqüência (a_n ) é equivalente a (q ) se e somente se (a_n ) converge para (q ).

Definimos os números reais como as classes de equivalência das sequências de Cauchy de números racionais. Para provar que é um campo, precisamos mostrar que se (a_n ) não for equivalente a (0 ), ele possui um inverso. Não ser equivalente a (0 ) significa que existe um ( epsilon ) tal que para cada (N ) existe um (n & gtN ) tal que (| a_n | & gt epsilon ). Como (a_n ) é Cauchy, seja N tal que (| a_n-a_m | N ). Uma vez que existe um (n & gtN ), (| a_n | & gt epsilon ). Suponha que (a_n & gt epsilon ), então se (m & gtN ), a_m & gt = a_n- | a_n-a_m | & gta_n-epsilon / 2 & gtepsilon / 2. Em particular, se m & gtN, (a_m neq 0 ). Deixe & # 8217s definir uma sequência, (b_n ) para ser (1 / a_n ) se (n & gtN ) e (0 ) caso contrário. Então (a_nb_n = 1 ) if (n & gtN ), e assim (a_nb_n ) é equivalente a (1 ) & # 8211, portanto (b_n ) é o inverso de (a_n ).

Definimos (a_n leq b_n ) se (b_n-a_n ) tem uma cauda limitada de baixo por ( epsilon ) para cada ( epsilon ). A definição é sutil porque queremos ((1 / n) leq 0 ). Verificar se, com essa relação de ordenação, o campo torna-se ordenado é direto.

Seja (a_n ) uma seqüência de racionais de Cauchy. Escolha (N ) que corresponde a (1 ) para esta sequência. Então uma_) é um número racional, e se (n & gtN ), (a_n & lta_+1 ). Dado que para cada número racional existe um maior número natural (M ), (a_nN ) e (M & gta_). Portanto, (a_n leq M ) de acordo com a definição acima.

Agora suponha que (m ) seja um número natural e (a ) seja um número real. Existe um número natural, (n & gtma ) e então (a0 ). Para cada número natural (n ) há um número natural (m ) tal que (m / 2 ^ n & gtb ). Como (b ) é um limite superior, isso significa que para cada (a ) em (A ), (a leq m / 2 ^ n ). Para cada (n ), pegamos o menor (m ) que satisfaça a propriedade (uma vez que qualquer conjunto de números naturais tem um elemento mínimo). Agora, notamos que se (m / 2 ^ n ) satisfaz essa propriedade, então, para (n + 1 ), pode ser 2m / 2 ^ satisfaça a propriedade, ou (2m-1) / 2 ^ porque if (2m-2) / 2 ^ é um limite superior, então ((m-1) / 2 ^) em contradição com a minimalidade. Em particular, se definirmos esta sequência como (c_n ), então (| c_n-c_| & lt1 / 2 ^). Por indução, podemos ver que (| c_n-c_m | n ). Portanto, (c_n ) é uma seqüência de racionais de Cauchy. Podemos ver que (c_n & gta ) para cada (a ) em (A ), então (c ) é um limite superior para (A ). Notamos também que (c leq c_n ) para todo (n ), uma vez que (c ) é uma seqüência decrescente.

É um limite superior mínimo? Suponha que (d0 ). Nesse caso, (1 / (c-d) & gt0 ). Tomemos um número natural, (N & gt1 / (c-d) ) e, portanto, (2 ^ N & gtN & gt1 / (c-d) ). Portanto, (c-d & gt1 / 2 ^ N ) ou (c & gtd + 1/2 ^ N ). Mas como (d ) é um limite superior, (c-1/2 ^ N geq a ) para todos (a ) em (A ). (c_N-1/2 ^ N geq c-1/2 ^ N geq a ), e assim para o estágio (N ), (m ) não foi minimamente escolhido, em contradição. Portanto, (c ) é o limite superior mínimo.

Para um (A ) geral, seja (a_0 ) um membro em (A ), e seja (A ') o conjunto de todos os números expressos como a-a_0 + 1 para (a ) em um) . se (A ) é limitado de cima, então é (A '), e como (1 ) está em (A' ), (A ') tem um limite superior mínimo (c ). Mas se (a-a_0 + 1 leq c ), (a leq c + a_0-1 ) e então (c + a_0-1 ) é o menor limite superior para (A ).

Isso mostra que as sequências de Cauchy racionais sob a relação de equivalência correta são um campo ordenado completo e, portanto, existe um campo ordenado completo.


10 exemplos surpreendentes de arquitetura inspirada na matemática

A ligação entre matemática e arquitetura remonta aos tempos antigos, quando as duas disciplinas eram praticamente indistinguíveis. Pirâmides e templos foram alguns dos primeiros exemplos de princípios matemáticos em ação. Hoje, a matemática continua a ocupar um lugar de destaque no design de edifícios. Não estamos falando apenas de meras medições - embora elementos como esses sejam parte integrante da arquitetura. Graças à tecnologia moderna, os arquitetos podem explorar uma variedade de opções de design empolgantes com base em linguagens matemáticas complexas, permitindo-lhes construir formas inovadoras. Dê uma olhada em várias estruturas após a quebra que foram modeladas com base na matemática. Mesmo que sua ideia de matemática seja digitar mensagens juvenis de cabeça para baixo em uma calculadora ou pedir ao Siri para descobrir para você, prometemos que você encontrará algo para se surpreender aqui.

Templo de Mobius Strip

Você provavelmente fez uma Mobius Strip na aula de matemática da escola primária, então deve se lembrar que a forma geométrica é única por não haver orientação. Uma forma sinuosa semelhante é aplicada ao projeto de edifícios budistas. O templo tem uma forma semelhante a um monte conhecido como stupa - semelhante a um pagode - e contém uma torre central onde os budistas se reúnem. Um arquiteto queria modernizá-lo para um templo a ser construído em breve na China e baseou o projeto atualizado na Mobius Strip - que também simboliza a reencarnação.

Igreja em forma de tetraedro

O tetraedro é um poliedro convexo com quatro faces triangulares. Basicamente, é uma pirâmide complexa. Você viu o mesmo princípio geométrico usado em RPGs, porque os dados têm o mesmo formato. O famoso arquiteto Walter Netsch aplicou o conceito à Capela de Cadetes da Academia da Força Aérea dos Estados Unidos em Colorado Springs, Colorado. É um exemplo clássico e impressionante de arquitetura modernista, com sua fileira de 17 torres e uma moldura de tetraedro maciça que se estende por mais de 50 metros no céu. A igreja do início dos anos 1960 custou US $ 3,5 milhões para ser construída.

Pentagonal, estufa filotática e centro educacional

O Projeto Éden da Cornualha, na Inglaterra, abriga a maior estufa do mundo, composta de cúpulas geodésicas compostas por células hexagonais e pentagonais. O centro social, ambiental e de artes / educação tem tudo a ver com vida ecológica e considera isso em todos os aspectos de seu design e programação. Seu centro de educação interativo apelidado de “The Core” incorporou números de Fibonacci (uma sequência matemática que também se relaciona com a ramificação, floração ou arranjo das coisas na natureza) e filotaxia (o arranjo das folhas) em seu design.

Um pepino com inclinação matemática no céu

Com 591 pés de altura e 41 andares está o arranha-céu de Londres conhecido como The Gherkin (sim, como o pepino). A torre moderna foi cuidadosamente construída com a ajuda de modelagem paramétrica entre outras fórmulas matemáticas para que os arquitetos pudessem prever como minimizar redemoinhos em torno de sua base. O topo cônico e o centro abaulado do projeto maximizam a ventilação. O prédio usa metade da energia de outras torres do mesmo tamanho. Qualquer matemático ficaria satisfeito em reivindicar o crédito pelo edifício, mas o escritório de arquitetura Foster and Partners pode ter algo a dizer sobre isso.

Pavilhão Experimental de Matemática e Música

Imagine caminhar até o Pavilhão Philips na Feira Mundial de 1958 e ver essa construção maluca de parabolóides hiperbólicos assimétricos e cabos de tensão de aço. Mente. Queimado. Este incrível edifício surgiu na primeira Expo após a Segunda Guerra Mundial, então foi um momento importante que permitiu aos seus criadores mostrar o progresso tecnológico que o mundo havia feito desde a batalha devastadora. A Philips Electronics Company queria criar uma experiência única para os visitantes, então eles colaboraram com um grupo internacional de arquitetos, artistas e compositores renomados para criar o espaço experimental. ArchDaily escreveu sobre o edifício inovador e temporário, chamando-o de “primeiro ambiente espacial eletrônico a combinar arquitetura, filme, luz e música para uma experiência total feita para funções no tempo e no espaço. Foi por meio desses conceitos inspirados visualmente que elevaram o Pavilhão Philips a uma experiência completa, onde se podiam visualizar seus movimentos especiais por meio de um espaço de som, luz e tempo. ” Poeme Electronique foi uma das obras mais destacadas da época.

Home Música Moderna-Matemática

Um violinista clássico encomendou uma casa excêntrica de US $ 24 milhões localizada na beira de uma ravina de Toronto. A estrutura curva e elegante - que também serve como um incrível espaço para shows para 200 pessoas - foi batizada de Casa Integral. (Geeks de cálculo, representem!) O dono da casa, Jim Stewart, era um professor de cálculo que escrevia livros e queria incorporar o sinal matemático ao nome e design da casa. Paredes ondulantes de vidro e madeira também lembram a forma de um violino.

Feitiçaria de Algoritmo Solar

O Pavilhão Endesa de Barcelona usou algoritmos matemáticos para alterar a geometria do edifício cúbico, com base na inclinação solar e na orientação proposta da estrutura. Algoritmos podem ser usados ​​para criar o edifício perfeito para algum localização com o programa de computador certo. Para a Endesa, o movimento do sol foi rastreado no local antes de um arquiteto do Instituto de Arquitetura Avançada da Catalunha intervir para completar o quadro. O algoritmo essencialmente fez todo o planejamento para ele, calculando a forma ideal do edifício para aquele local específico.

Cube Village

Bem-vindo ao Cube Village, construído pelo arquiteto holandês Piet Blom. Suas casas inclinadas e geométricas - construídas no topo de uma ponte de pedestres para imitar uma floresta abstrata - são divididas em três níveis. A parte superior tem janelas em todas as fachadas e parece uma estrutura inteiramente separada.

Catedral da Praça Mágica

A catedral da Sagrada Família em Barcelona projetada por Antoni Gaudí é o sonho de um matemático. Estruturas parabolóides hiperbólicas são apresentadas por toda parte. Você já comeu Pringles? Então você definitivamente sabe o que é uma estrutura parabolóide hiperbólica. Os arcos catenários (uma curva geométrica) são abundantes. A catedral também contém um Quadrado Mágico - um arranjo de números que são iguais em todas as colunas, linhas e diagonais. O número mágico no caso da Sagrada Família é 33, que alude a vários símbolos religiosos. Por exemplo, Jesus realizou 33 milagres registrados, e a maioria dos cristãos acredita que ele foi crucificado aos 33 anos em 33 d.C.

Reforma do posto de gasolina Fractal

Um fractal é uma forma geométrica fragmentada que é dividida em várias partes, mas cada um desses componentes é apenas uma cópia em tamanho menor da forma geral. Muitos arquitetos aplicam esse princípio matemático aos projetos de seus edifícios, como este posto de gasolina de Los Angeles que recentemente passou por uma reforma "ecológica". Tudo foi despojado - incluindo os sinais do posto de gasolina, que são símbolos sutis - e a fachada espelhada embeleza noventa painéis solares que alimentam a estação. Materiais reciclados e um telhado coberto de plantas completam a reforma ecológica.


Compreendendo o mundo por meio da matemática

O corpo de conhecimento e prática conhecido como matemática é derivado das contribuições de pensadores ao longo dos tempos e de todo o mundo. Isso nos dá uma maneira de entender padrões, quantificar relacionamentos e prever o futuro. A matemática nos ajuda a entender o mundo - e usamos o mundo para entender a matemática.

O mundo está interconectado. A matemática cotidiana mostra essas conexões e possibilidades. Quanto mais cedo os jovens aprendizes puderem colocar essas habilidades em prática, maior será a probabilidade de continuarmos sendo uma sociedade e economia inovadoras.

A álgebra pode explicar a rapidez com que a água se torna contaminada e quantas pessoas em um país do terceiro mundo que bebem dessa água podem ficar doentes anualmente. Um estudo da geometria pode explicar a ciência por trás da arquitetura em todo o mundo. Estatísticas e probabilidade podem estimar o número de mortos em terremotos, conflitos e outras calamidades em todo o mundo. Também pode prever lucros, como as ideias se espalham e como animais antes ameaçados de extinção podem se repovoar. A matemática é uma ferramenta poderosa para compreensão e comunicação global. Usando-o, os alunos podem entender o mundo e resolver problemas complexos e reais. Repensar a matemática em um contexto global oferece aos alunos uma variação do conteúdo típico que torna a matemática em si mais aplicável e significativa para os alunos.

Para que os alunos funcionem em um contexto global, o conteúdo de matemática precisa ajudá-los a chegar à competência global, que é compreender diferentes perspectivas e condições mundiais, reconhecer que as questões estão interconectadas em todo o mundo, bem como comunicar-se e agir de forma adequada. Em matemática, isso significa reconsiderar o conteúdo típico de maneiras atípicas e mostrar aos alunos como o mundo consiste em situações, eventos e fenômenos que podem ser resolvidos usando as ferramentas matemáticas certas.

Quaisquer contextos globais usados ​​em matemática devem contribuir para uma compreensão da matemática, bem como do mundo. Para fazer isso, os professores devem manter o foco no ensino de um conteúdo matemático bom, sólido, rigoroso e apropriado e usar exemplos globais que funcionem. Por exemplo, os alunos encontrarão pouca relevância em resolver um problema de palavras na Europa usando quilômetros em vez de milhas quando os instrumentos já convertem os números facilmente. Não contribui para uma compreensão complexa do mundo.

A matemática é frequentemente estudada como ciência pura, mas é normalmente aplicada a outras disciplinas, estendendo-se muito além da física e da engenharia. Por exemplo, estudar o crescimento exponencial e a decadência (a taxa em que as coisas crescem e morrem) dentro do contexto de crescimento populacional, disseminação de doenças ou contaminação da água é significativo. Isso não apenas dá aos alunos um contexto do mundo real para usar a matemática, mas os ajuda a compreender fenômenos globais - eles podem ouvir sobre uma doença se espalhando na Índia, mas não podem fazer a conexão sem entender a rapidez com que algo como a cólera pode se espalhar em uma população densa. Na verdade, adicionar um estudo de crescimento e decadência à álgebra de nível inferior - é mais frequentemente encontrado na álgebra II - pode dar a mais alunos a chance de estudá-lo no contexto global do que se fosse reservado para matemática de nível superior que nem todos os alunos fazem .

Na mesma linha, um estudo de estatística e probabilidade é a chave para a compreensão de muitos dos eventos do mundo e geralmente é reservado para alunos em um nível superior de matemática, se for possível estudar no ensino médio. Mas muitos eventos e fenômenos mundiais são imprevisíveis e só podem ser descritos usando modelos estatísticos, portanto, um programa matemático com foco global precisa considerar a inclusão de estatísticas. A probabilidade e as estatísticas podem ser usadas para estimar o número de mortos em desastres naturais, como terremotos e tsunamis, a quantidade de ajuda que pode ser necessária para ajudar nas consequências e o número de pessoas que seriam deslocadas.

Compreender o mundo também significa valorizar as contribuições de outras culturas. Na álgebra, os alunos podem se beneficiar do estudo de sistemas de números que estão enraizados em outras culturas, como os sistemas maia e babilônico, um sistema de base 20 e 60, respectivamente. Eles nos deram elementos que ainda funcionam nos sistemas matemáticos atuais, como os 360 graus em um círculo e a divisão da hora em intervalos de 60 minutos, e incluir este tipo de conteúdo pode ajudar a desenvolver uma apreciação pelas contribuições de outras culturas para a nossa compreensão da matemática.

É importante, no entanto, incluir apenas exemplos que sejam relevantes para a matemática e ajudem os alunos a entender o mundo. Na geometria, por exemplo, as tesselações islâmicas - formas organizadas em um padrão artístico - podem ser usadas como um contexto para desenvolver, explorar, ensinar e reforçar os importantes entendimentos geométricos de simetria e transformações. Os alunos podem estudar os diferentes tipos de polígonos que podem ser usados ​​para pavimentar o plano (cobrir o espaço sem buracos ou sobreposições) e até mesmo como os artistas islâmicos abordaram sua arte. Aqui, o conteúdo e o contexto contribuem para a compreensão do outro.

Se os alunos receberem o conteúdo e o contexto corretos para um currículo de matemática infundido globalmente, eles serão capazes de fazer conexões globais usando matemática e criar um modelo matemático que reflita a complexidade e a inter-relação de situações e eventos globais. Eles serão capazes de aplicar estratégias matemáticas para resolver problemas e desenvolver e explicar o uso de um determinado conceito matemático no sentido global. E eles serão capazes de usar as ferramentas matemáticas certas nas situações certas, explicar por que um modelo matemático que escolheram é relevante. Mais importante, os alunos serão capazes de usar os dados para tirar conclusões defensáveis ​​e usar o conhecimento e as habilidades matemáticas para causar impacto na vida real.

No momento em que um aluno conclui o ensino médio, ele ou ela deve ser capaz de usar ferramentas e procedimentos matemáticos para explorar problemas e oportunidades no mundo, e usar modelos matemáticos para fazer e defender conclusões e ações.

Os exemplos aqui são apenas uma amostra de como isso poderia ser feito e podem ser usados ​​para iniciar conversas focadas no conteúdo para professores de matemática. Também não pretendem ser cursos separados de estudo, mas elementos sobrepostos e inter-relacionados que as escolas terão que decidir usar de maneiras que atendam às suas necessidades individuais.

No cerne de qualquer discussão sobre um currículo global por meio da matemática, é importante considerar como a matemática ajuda os alunos a dar sentido ao mundo, o que, na experiência de um aluno, permite que eles usem a matemática para fazer contribuições à comunidade global e em que matemática o conteúdo que os alunos precisam para resolver problemas complexos em um mundo complexo. Então, o desafio é encontrar exemplos genuínos, relevantes e significativos de contextos globais ou culturais que aprimorem, aprofundem e ilustrem a compreensão da matemática.

A era global exigirá essas habilidades de seus cidadãos - o sistema educacional deve fornecer aos alunos os recursos para serem proficientes nelas.

Nas Escolas de Estudos Internacionais da Asia Society, espera-se que todos os graduados do ensino médio demonstrem domínio da matemática. Os alunos desenvolvem habilidades e projetos durante o ensino médio. Na graduação, os alunos têm um portfólio de trabalhos que inclui evidências de:


Números romanos

O sistema numérico representado por números romanos originado na Roma antiga (753 AC - 476 DC) e permaneceu a maneira usual de escrever números em toda a Europa até o final da Idade Média (geralmente compreendendo os séculos 14 e 15 (c. 1301-1500)). Os números neste sistema são representados por combinações de letras do alfabeto latino. Os algarismos romanos, como usados ​​hoje, são baseados em sete símbolos:

Símbolo eu V X eu C D M
Valor 1 5 10 50 100 500 1,000

O uso de algarismos romanos continuou muito depois do declínio do Império Romano. A partir do século 14, os algarismos romanos começaram a ser substituídos na maioria dos contextos pelos algarismos hindu-arábicos mais convenientes. No entanto, esse processo foi gradual e o uso de algarismos romanos persiste em algumas aplicações menores até hoje.

Os números de 1 a 10 são geralmente expressos em algarismos romanos da seguinte forma:

I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X .

Os números são formados combinando símbolos e somando os valores, então II é dois (dois uns) e XIII é treze (um dez e três uns). Porque cada numeral tem um valor fixo em vez de representar múltiplos de dez, cem e assim por diante, de acordo com posição, não há necessidade de & # 8220 guardar no lugar & # 8221 zeros, pois em números como 207 ou 1066 esses números são escritos como CCVII (duzentos, cinco e dois uns) e MLXVI (mil, cinquenta, dez, um cinco e um).

Os símbolos são colocados da esquerda para a direita em ordem de valor, começando pelo maior. No entanto, em alguns casos específicos, para evitar que quatro caracteres sejam repetidos em sucessão (como IIII ou XXXX), a notação subtrativa é usada: como nesta tabela:


Matemática. Método Log10 (Duplo)

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Retorna o logaritmo de base 10 de um número especificado.

Parâmetros

Um número cujo logaritmo deve ser encontrado.

Devoluções

Um dos valores da tabela a seguir.

parâmetro d Valor de retorno
Positivo O log de base 10 de d, ou seja, log 10 d.
Zero NegativeInfinity
Negativo NaN
Igual a NaNNaN
Igual a PositiveInfinityPositiveInfinity


Lugares diversos, divertidos e estranhos para encontrar os números Phi e Fibonacci

Estações de TV em Halifax, Canadá

Estação de energia de Turku, Finlândia

Joerg Wiegels, de Düsseldorf, disse-me que ficou surpreso ao ver os números de Fibonacci brilhando intensamente no céu noturno em uma visita a Turku, na Finlândia. A chaminé da estação de energia de Turku tem os números de Fibonacci em luzes de néon de 2 metros de altura! Foi a primeira encomenda do Projeto de Arte Ambiental da Cidade de Turku em 1994. O artista, Mario Merz (Itália) chama isso Sequência de Fibonacci 1-55 e diz que "é uma metáfora da busca humana por ordem e harmonia entre o caos."

A foto aqui foi tirada pelo Dr. Ching-Kuang Shene da Michigan Technological University e é reproduzida aqui com sua gentil permissão de sua página de fotos de sua viagem à Finlândia.

Projetado em?

  • Se você medir um cartão de crédito, verá que é um cartão perfeito retângulo dourado.
  • O ícone do retângulo dourado da National Geographic também parece ser um retângulo de seção dourada.
  • Brian Agron de Fairfax, Califórnia, encontrou a seção dourada no projeto de sua mountain bike, uma Trek Fuel 90 mostrada acima com seções douradas marcadas.
  • Brian também diz que o formato das grandes portas dos hospitais parece um retângulo dourado.
  • John Harrison MA encontrou um retângulo dourado na forma de um wafer de chocolate Kit-Kat - a barra maior de 4 dedos em sua embalagem mais antiga, conforme mostrado acima.

Dois mitos sobre relógios e tempo de proporção áurea

  • medimos as horas como um decimal para que 2:30 seja 2,5 horas e 12:00 e 0:00 sejam 0,0 horas e
  • se medirmos os ângulos das 12 horas em frações de volta e não em radianos ou graus de forma que, por exemplo, o ponteiro das horas esteja em 0,25 de volta às 3 horas

Coisas para fazer

  1. Quais os outros logotipos você pode descobrir que são retângulos dourados?
  2. Onde mais você encontrou o retângulo dourado?

1 & # 18361803 39887 49894 84820 45868 34365 63811 77203 09179 80576 .. Mais ..


Assista o vídeo: matte 3-term: (Outubro 2021).