Artigos

3.1: Conjuntos Geradores - Matemática


Agora vimos alguns tipos diferentes de grupos: grupos de simetrias de um objeto geométrico, inteiros sob adição, módulo de inteiros (n ) e permutações. Podemos facilmente visualizar os objetos relacionados ao grupo - como o objeto geométrico, números ou a notação de trança para permutações - mas como podemos visualizar o próprio grupo?

Uma excelente maneira de fazer isso é identificar um conjunto de geradores para o grupo. Em um grupo, sempre podemos combinar alguns elementos usando a operação de grupo para obter outro elemento de grupo. Geradores são alguns elementos especiais que escolhemos e que podem ser usados ​​para chegar a qualquer outro elemento do grupo.

Como exemplo, lembre-se do grupo diédrico, as simetrias de um polígono com (n ) lados. Existem (2n ) simetrias em todos, mas podemos construir qualquer uma das simetrias usando apenas uma pequena rotação e um giro. Para as simetrias do triângulo equilátero, deixamos ( rho ) denotar a rotação em (120 ) graus, e seja (f ) a inversão de um dos eixos do triângulo. Então, os seis elementos do grupo diédrico são dados por: (id, rho, rho ^ 2, f, f rho, f rho ^ 2 ). Assim, ( {f, rho } ) é um conjunto de geradores para o grupo diédrico.

Aqui está a definição formal:

Definição 3.0.0:

Seja (G ) um grupo e (S ) um subconjunto de (G ). Dizemos que (S ) gera (G ) (e que (S ) é um conjunto de geradores para (G )) se cada elemento de (G ) pode ser expresso como um produto dos elementos de (S ) e seus inversos.

Incluímos os inversos dos geradores na definição porque sabemos que cada elemento tem um inverso. Se pensarmos nos inteiros sob adição, podemos escrever cada número positivo como uma soma muitas vezes do número (1 ): por exemplo, (5 ) é apenas (1 + 1 + 1 + 1 + 1 ). Se permitirmos inversos também, podemos obter todos os elementos do grupo de um único gerador: o inverso de (1 ) é (- 1 ), então podemos escrever (por exemplo) (- 4 = (-1) + (- 1) + (- 1) + (- 1) ). (Incluir os inversos também significa que não precisamos incluir a identidade, já que para qualquer (g ), (gg ^ {- 1} = e ).)

Por outro lado, para qualquer grupo (G ), certamente podemos tomar o próprio (G ) como um conjunto gerador! Então, cada elemento é considerado um 'gerador', então cada elemento pode ser escrito como um produto (trivial) de geradores. Isso nos diz que, para qualquer grupo, podemos encontrar um conjunto gerador. Normalmente, tentamos encontrar um conjunto gerador o menor possível. Às vezes, porém, um grupo gerador maior pode ser interessante se nos ajudar a entender melhor o grupo em questão.

Uma vez que temos um conjunto gerador para um gráfico (G ), podemos produzir uma visualização muito boa do grupo denominado gráfico de Cayley. Por gráfico, queremos dizer um número de pontos (chamados vértices) conectados por algumas setas (chamadas arestas). Os gráficos são bons para acompanhar as relações entre as coisas e aparecem em muitos, muitos lugares na matemática e em aplicações.

O gráfico de Cayley de um grupo tem um vértice para cada elemento (x ) no grupo. Cada vértice tem uma seta saindo dele para cada gerador (g ), apontando para o elemento (gx ). (Isso cria o gráfico de Cayley à esquerda. O gráfico de Cayley à direita tem setas apontando de (x ) para (xg ).) Normalmente fazemos as setas de cores diferentes para corresponder aos diferentes geradores; isso é muito útil para podermos visualizar a estrutura do grupo!

Para o grupo diedro, encontramos um conjunto de geradores com dois elementos: a rotação e o flip sobre um dos eixos. Na verdade, o grupo diédrico tem muitos conjuntos diferentes de geradores de tamanho dois! Poderíamos ter escolhido a rotação no sentido horário em vez da rotação no sentido anti-horário, por exemplo. Ou poderíamos ter escolhido qualquer um dos outros flips. Mas o gráfico de Cayley resultante teria sido mais ou menos o mesmo.

Figura 3.1: Gráfico do grupo diédrico de Cayley, gerado por flip e rotação.

Um conjunto bastante diferente de geradores para o grupo diédrico consiste em fazer duas inversões diferentes, em eixos adjacentes um ao outro. Vamos chamá-los de (f_1 ) e (f_2 ). Na verdade, você ainda pode escrever qualquer elemento do grupo diedro como um produto dessas duas inversões. E o gráfico de Cayley resultante parece bem diferente.

Figura. 3.2: O gráfico de Cayley para o grupo diedro com geradores dados por duas inversões diferentes.

Suponha que temos um gerador onde (g ^ 2 = 1 ). É tedioso desenhar flechas em ambas as direções de cada elemento, então às vezes omitimos as pontas das flechas neste caso.

Exercício 3.0.1

Identifique geradores para o grupo de permutação (S_3 ). Faça um gráfico de Cayley.

  • Tom Denton (Fields Institute / York University em Toronto)

3,5. Gemmini¶

O projeto Gemmini está desenvolvendo um gerador de unidade de multiplicação de matriz baseado em matriz sistólica para a investigação das implicações de software / hardware de tais aceleradores SoC integrados. Ele é inspirado nas tendências recentes em aceleradores de aprendizado de máquina para SoCs de borda e móveis.

Gemmini é implementado como um acelerador RoCC com instruções personalizadas RISC-V não padrão. A unidade Gemmini usa a porta RoCC de um Rocket ou bloco BOOM e, por padrão, se conecta ao sistema de memória por meio do Barramento do Sistema (ou seja, diretamente ao cache L2).

Para adicionar uma unidade Gemmini a um SoC, você deve adicionar o fragmento de configuração gemmini.DefaultGemminiConfig às configurações de SoC. Para alterar a configuração da unidade do acelerador Gemmini, você pode escrever uma configuração personalizada para substituir o DefaultGemminiConfig, que você pode ver em generators / gemmini / src / main / scala / configs.scala para ver os parâmetros de configuração possíveis.

O exemplo de configuração do Chipyard inclui a seguinte configuração de SoC de exemplo que inclui Gemmini:

Para construir uma simulação deste exemplo de configuração do Chipyard, execute os seguintes comandos:


TEORIA DA VARIÁVEL ALEATÓRIA

Daniel T. Gillespie, em Markov Processes, 1992

1.8 Procedimentos de geração de números aleatórios

Muitas vezes, é vantajoso ser capaz de construir numericamente valores de amostra de uma variável aleatória com uma função de densidade prescrita ou, mais geralmente, valores de amostra simultâneos de várias variáveis ​​aleatórias com uma função de densidade conjunta prescrita. Os procedimentos para fazer tais construções são chamados algoritmos de geração de números aleatórios. E qualquer cálculo numérico que faça uso explícito de valores de amostra de variáveis ​​aleatórias, ou "números aleatórios", é chamado de Cálculo de Monte Carlo.

Dois tipos de cálculo de Monte Carlo são especialmente úteis na prática. Um é o simulação numérica de processos aleatórios, como o perfil da população em evolução de uma coleção de átomos radioativos ou a trajetória de um elétron passando por uma nuvem de dispersores posicionados aleatoriamente. Em capítulos posteriores deste livro, veremos como certos algoritmos geradores de números aleatórios podem ser empregados para simular numericamente processos aleatórios do tipo “Markov”.

Outro tipo importante de cálculo de Monte Carlo é o avaliação numérica de integrais definidos. A justificativa para esse uso aparentemente incongruente de números aleatórios pode ser encontrada nas duas fórmulas fundamentais para & lt h(X) & gt nas Eqs. (1.3-1) e (1.3-2) juntos, essas duas equações implicam que

Onde x (1) , …, x (N) está N valores de amostra independente da variável aleatória, cuja função de densidade é P. Agora, na disciplina de mecânica estatística, a estratégia usual é calcular a média à direita computando de fato a integral à esquerda. A ideia básica por trás da "integração de Monte Carlo" é simplesmente inverter este procedimento e calcular a integral à esquerda, computando de fato a média à direita, embora para um finito valor de N. Em tomar N para ser finito, entretanto, inevitavelmente incorremos em alguma incerteza em nossa estimativa da integral. Mas se N for considerado grande o suficiente, podemos obter uma estimativa quantitativa dessa incerteza apelando para o corolário do teorema do limite central (1.6-26). Especificamente, se calcularmos para "razoavelmente grande" N os dois N- médias da amostra

Para explicar a justificativa para as fórmulas (1.8-2) e (1.8-3), começamos escrevendo o deixou lado esquerdo da Eq. (1,6-26), com n = N, na forma

Em seguida nós substituir a variável aleatória X pela variável aleatória h(X): A média μ de X é assim substituído pela média ∫ h(x)P(x) dx do h(X) a N- média da amostra UMAN do X é substituído pelo N- média da amostra & lt h& gt N do h(X) e o desvio padrão σ de X é substituído pelo desvio padrão [〈h 2〉 ∞ - 〈h〉 ∞ 2] 1/2 que, no entanto, nós aproximado como [〈h 2〉 N - 〈h〉 N 2] 1/2. Lembrando agora do certo lado esquerdo da Eq. (1.6-26), vemos que a Eq. (1.8-3) deve ser interpretado da seguinte forma: Desde que N seja suficientemente grande, a integral à esquerda ficará no intervalo ± ± indicado sobre & lt h& gt N com probabilidades de 0,683 para γ = 1, 0,954 para y = 2 e 0,997 para γ = 3. Observe que, como o número N de pontos de amostra torna-se maior, o intervalo de incerteza na Eq. (1.8-3) diminui como 1 / √ N. E no limite N→ ∞, Eq. (1.8-3) reduz adequadamente para a Eq. (1.8-1).

O método de integração Monte Carlo prova ser mais útil na prática quando o número m de variáveis ​​de integração excede 1. Nesse caso, o esquema de integração de Monte Carlo ainda é conforme prescrito nas Eqs. (1.8-2) e (1.8-3), exceto que x agora é considerado como o m-componente vetor variável (x1,…,xm) Isso significa que o cálculo das duas somas nas Eqs. (1.8-2) exigirá a geração de N valores de amostra simultâneos x1 (eu) , …, xm (eu) do m variáveis ​​aleatórias X1, …, Xm cuja função de densidade articular é P(x1,…,xm).

A viabilidade dos cálculos de Monte Carlo em geral depende da disponibilidade de algoritmos rápidos e confiáveis ​​para gerar números aleatórios de acordo com funções de densidade especificadas arbitrariamente. Como veremos em breve, a maioria desses algoritmos projetados para uso em computadores digitais requerem um "subprograma" que gera valores de amostra da variável aleatória uniforme da unidade, vocêvocê(0,1). Um valor de amostra de você é normalmente referido como um número aleatório uniforme de unidade, e denotado genericamente por r.

Um procedimento comum para calcular uma sequência r (1) , r (2), ... de números aleatórios uniformes de unidade é Método Lehmer & # x27s: Com N0, C e M sendo três inteiros ‘adequadamente escolhidos’, um primeiro gera uma sequência de inteiros N1, N2, ... por meio da relação de recursão

o que significa simplesmente que Neu é o restante obtido quando CNeu-1 é dividido por M um então pega

Que os números r (1) , r (2), ... produzido por este procedimento recursivo simples pode imitar aproximadamente amostragens independentes da variável aleatória você foi originalmente vista com uma combinação de admiração e ceticismo. Embora a admiração ainda pareça justificada, o ceticismo diminuiu em grande parte com a recente descoberta de que mesmo muito simples não linear relações de recursão podem produzir sequências aparentemente "caóticas". Observe que a relação de recursão na Eq. (1.8-4a) é de fato bastante não linear, devido à operação do módulo.

Um gerador de número aleatório uniforme de unidade de "padrão mínimo" atualmente preferido por muitos especialistas nesta área † é o algoritmo de Lehmer anterior com M = 2 31 − 1 = 2147483647, C = 7 5 = 16807, e N0 (chamado de "semente") qualquer número inteiro entre 1 e M - 1 inclusive. Este gerador tem um período de não repetição de M - 1, nunca produz os dois valores r = 0 e r = 1, e dá pontuações em testes estatísticos de aleatoriedade que, embora não sejam perfeitos, são adequados para a maioria das aplicações. Este gerador também pode ser facilmente codificado para a maioria dos computadores digitais. Deve-se notar, no entanto, que os cálculos nas Eqs. (1.8-4) geralmente devem ser realizados em um modo de 'alta precisão', porque é crucial que a aritmética inteira em Eq. (1.8-4a) ser feito exatamente. Em qualquer caso, isto é o gerador de número aleatório uniforme de unidade que foi usado para todos os cálculos de Monte Carlo relatados em capítulos posteriores deste livro.

Mas nosso objetivo aqui não é mergulhar nos mistérios dos geradores de números aleatórios uniformes de unidade †, devemos simplesmente considerar sua disponibilidade como um fato dado. Nossa principal preocupação aqui será com o problema de usar a saída de tais geradores, ou seja, números aleatórios uniformes unitários, para construir valores de amostra de especificado arbitrariamente variáveis ​​aleatórias.

Considere primeiro o problema de gerar um valor de amostra x de uma variável real aleatória X com uma função de densidade prescrita P. O procedimento mais elegante para fazer isso é o seguinte:


Sobre a complexidade da dualização monótona e geração de transversais de hipergrafo mínimo ☆

Em 1994, Fredman e Khachiyan estabeleceram o notável resultado de que a dualidade de um par de funções booleanas monótonas, em formas normais disjuntivas, pode ser testada em tempo quase polinomial, colocando assim o problema, provavelmente, em algum lugar entre polinomialidade e coNP-completude. Reforçamos esse resultado mostrando que o problema do teste de dualidade pode de fato ser resolvido em tempo polilogarítmico usando um número quase polinomial de processadores (no modelo PRAM). Embora nossa técnica de decomposição possa ser considerada uma generalização daquela de Fredman e Khachiyan, ela produz limites mais fortes na complexidade sequencial do problema no caso em que os tamanhos de f e g são significativamente diferentes e também permitem gerar todos os transversais mínimos de um determinado hipergrafo usando apenas o espaço polinomial.


3.1: Conjuntos Geradores - Matemática

Descrição da palestra

Este vídeo-aula, parte da série Estruturas Matemáticas Discretas pelo Prof. Kamala Krithivasan, não tem atualmente uma descrição detalhada e título da aula de vídeo. Se você assistiu a esta palestra e sabe do que se trata, especialmente sobre quais tópicos de matemática são discutidos, por favor, ajude-nos comentando neste vídeo com sua sugestão Descrição e título. Muito obrigado de,

- A Equipe CosmoLearning

Índice de Curso

  1. Lógica proposicional (parte 1)
  2. Lógica proposicional (parte 2)
  3. Predicados e quantificadores (parte 1)
  4. Predicados e quantificadores (parte 2)
  5. Inferência Lógica
  6. Princípios de resolução e aplicação ao PROLOG
  7. Métodos de Prova
  8. Formas normais
  9. Provando Programas Corretos
  10. Jogos
  11. Indução
  12. Definir operações em cordas sobre um alfabeto
  13. Relações
  14. Gráficos (Parte 1)
  15. Gráficos (Parte 2)
  16. Arvores
  17. Árvores e Gráficos
  18. Propriedades Especiais de Relações
  19. Fechamento de Relações (Parte 1)
  20. Fechamento de Relações (Parte 2)
  21. Relações de Pedidos
  22. Ordem e Relações e Relações de Equivalência
  23. Relações de equivalência e partições
  24. Funções (Parte 1)
  25. Funções (Parte 2)
  26. Funções (Parte 3)
  27. Permutações e combinações (Parte 1)
  28. Permutações e combinações (Parte 2)
  29. Permutações e combinações (Parte 3)
  30. Funções de geração (parte 1)
  31. Funções de geração (parte 2)
  32. Relações de recorrência (Parte 1)
  33. Relações de recorrência (Parte 2)
  34. Relações de recorrência (Parte 3)
  35. Álgebras (Parte 1)
  36. Álgebras (Parte 2)
  37. Álgebras (Parte 3)
  38. Autômato de Estados Finitos (Parte 1)
  39. Autômato de Estados Finitos (Parte 2)
  40. Treliças

Descrição do Curso


Neste curso, o Prof. Kamala Krithivasan ministra 40 vídeo-aulas sobre Estruturas Matemáticas Discretas. Alguns dos tópicos abordados são: lógica proposicional, predicados e quantificadores, inferência lógica, PROLOG, conjuntos, indução, relações, gráficos, árvores, funções, permutações e combinações, álgebra, autômato de estados finitos, reticulados e muitos mais.


Conteúdo

Para qualquer elemento g em qualquer grupo G, pode-se formar o subgrupo de todas as potências inteiras ⟨g⟩ = <g k | kZ>, chamado de subgrupo cíclico do g. A ordem de g é o número de elementos em ⟨g⟩ Ou seja, a ordem de um elemento é igual à ordem de seu subgrupo cíclico.

UMA grupo cíclico é um grupo igual a um de seus subgrupos cíclicos: G = ⟨g⟩ Para algum elemento g, chamado de gerador.

Para grupo cíclico finito G de ordem n temos G = <e, g, g 2 , . , g n-1>, onde e é o elemento de identidade e g eu = g j sempre que euj (mod n) em particular g n = g 0 = e, e g −1 = g n-1. Um grupo abstrato definido por esta multiplicação é freqüentemente denotado Cn, e nós dizemos isso G é isomórfico ao grupo C cíclico padrãon. Esse grupo também é isomórfico a Z/nZ, o grupo de módulo de inteiros n com a operação de adição, que é o grupo cíclico padrão em notação aditiva. Sob o isomorfismo χ definido por χ(g eu ) = eu o elemento de identidade e corresponde a 0, os produtos correspondem a somas e as potências correspondem a múltiplos.

Por exemplo, o conjunto de 6 raízes complexas da unidade

Em vez das notações de quociente Z/nZ, Z/(n), ou Z/n, alguns autores denotam um grupo cíclico finito como Zn, mas isso entra em conflito com a notação da teoria dos números, onde Zp denota um p- anel numérico radical, ou localização em um ideal primo.

Grupos cíclicos infinitos
p1, (* ∞∞) p11g, (22∞)


Dois grupos de frisos são isomórficos para Z. Com um gerador, o p1 tem translações e o p11g tem reflexos de deslizamento.

Por outro lado, em um grupo cíclico infinito G =g, os poderes g k dar elementos distintos para todos os inteiros k, para que G = < . , g −2 , g −1 , e, g, g 2,. >, e G é isomórfico ao grupo padrão C = C e para Z, o grupo aditivo dos inteiros. Um exemplo é o primeiro grupo de frisos. Aqui não há ciclos finitos e o nome "cíclico" pode ser enganoso. [2]

Para evitar essa confusão, Bourbaki introduziu o termo grupo monógeno para um grupo com um único gerador e "grupo cíclico" restrito significa um grupo monógeno finito, evitando o termo "grupo cíclico infinito". [nota 1]

Edição de adição inteira e modular

O conjunto de inteiros Z, com a operação de adição, forma um grupo. [1] É um grupo cíclico infinito, porque todos os inteiros podem ser escritos adicionando ou subtraindo repetidamente o único número 1. Neste grupo, 1 e -1 são os únicos geradores. Cada grupo cíclico infinito é isomórfico a Z.

Para cada número inteiro positivo n, o conjunto de módulo de inteiros n, novamente com a operação de adição, forma um grupo cíclico finito, denotado Z/nZ. [1] Um número inteiro modular eu é um gerador deste grupo se eu é relativamente principal para n, porque esses elementos podem gerar todos os outros elementos do grupo por meio da adição de inteiros. (O número de tais geradores é φ(n), Onde φ é a função totiente de Euler.) Todo grupo cíclico finito G é isomórfico a Z/nZ, Onde n = |G| é a ordem do grupo.

As operações de adição em inteiros e inteiros modulares, usadas para definir os grupos cíclicos, são as operações de adição de anéis comutativos, também denotados Z e Z/nZ ou Z/(n) Se p é um primo, então Z/pZ é um campo finito e geralmente é denotado Fp ou GF (p) para o campo de Galois.

Multiplicação modular Editar

Para cada número inteiro positivo n, o conjunto do módulo de inteiros n que são relativamente primos para n é escrito como (Z/nZ) × forma um grupo sob a operação de multiplicação. Este grupo nem sempre é cíclico, mas o é sempre n é 1, 2, 4, uma potência de um primo ímpar ou duas vezes a potência de um primo ímpar (sequência A033948 no OEIS). [4] [5] Este é o grupo multiplicativo de unidades do anel Z/nZ tem φ(n) deles, onde novamente φ é a função totiente de Euler. Por exemplo, (Z/6Z) × = <1,5>, e como 6 é duas vezes um primo ímpar, este é um grupo cíclico. Em contraste, (Z/8Z) × = <1,3,5,7> é um grupo 4 de Klein e não é cíclico. Quando (Z/nZ) × é cíclico, seus geradores são chamados de módulo de raízes primitivas n.

Para um número primo p, o grupo (Z/pZ) × é sempre cíclico, consistindo nos elementos diferentes de zero do campo finito de ordem p. De maneira mais geral, todo subgrupo finito do grupo multiplicativo de qualquer campo é cíclico. [6]

Simetrias rotacionais Editar

O conjunto de simetrias rotacionais de um polígono forma um grupo cíclico finito. [7] Se houver n diferentes maneiras de mover o polígono para si mesmo por uma rotação (incluindo a rotação nula), então este grupo de simetria é isomórfico para Z/nZ. Em três ou mais dimensões, existem outros grupos de simetria finitos que são cíclicos, mas que nem todos são rotações em torno de um eixo, mas sim rotorreflecções.

O grupo de todas as rotações de um círculo S 1 (o grupo do círculo, também denotado S 1) é não cíclico, porque não existe uma única rotação cujas potências inteiras gerem todas as rotações. Na verdade, o grupo cíclico infinito C é contável, enquanto S 1 não é. O grupo de rotações por ângulos racionais é contável, mas ainda não cíclico.

Teoria de Galois Editar

Um na raiz da unidade é um número complexo cujo na potência é 1, uma raiz do polinômio x n - 1. O conjunto de todos nas raízes da unidade formam um grupo cíclico de ordem n sob multiplicação. [1] Por exemplo, o polinômio z 3 - 1 fatores como (z − 1)(zω)(zω 2), onde ω = e 2πi/ 3 o conjunto <1, ω, ω 2 > = <ω 0 , ω 1 , ω 2> forma um grupo cíclico sob multiplicação. O grupo de Galois da extensão de campo dos números racionais gerados pela nas raízes da unidade formam um grupo diferente, isomorfo ao grupo multiplicativo (Z /nZ) × do pedido φ(n), que é cíclico para alguns, mas não para todos n (Veja acima).

Uma extensão de campo é chamada de extensão cíclica se seu grupo de Galois for cíclico. Para campos de característica zero, tais extensões são o assunto da teoria de Kummer e estão intimamente relacionadas à solvabilidade por radicais. Para uma extensão de campos finitos de característica p, seu grupo Galois é sempre finito e cíclico, gerado por uma potência do mapeamento de Frobenius. [8] Por outro lado, dado um campo finito F e um grupo cíclico finito G, há uma extensão de campo finito de F de quem é o grupo Galois G. [9]

Todos os subgrupos e grupos quocientes de grupos cíclicos são cíclicos. Especificamente, todos os subgrupos de Z são da forma ⟨m⟩ = mZ, com m um número inteiro positivo. Todos esses subgrupos são distintos uns dos outros e separados do grupo trivial <0> = 0Z, todos eles são isomórficos para Z. A rede de subgrupos de Z é isomórfico ao dual da rede de números naturais ordenados por divisibilidade. [10] Assim, uma vez que um número primo p não tem divisores não triviais, pZ é um subgrupo adequado máximo, e o grupo de quociente Z/pZ é simples na verdade, um grupo cíclico é simples se e somente se sua ordem for primo. [11]

Todos os grupos de quociente Z/nZ são finitos, com exceção Z/0Z = Z/ <0>. Para cada divisor positivo d do n, o grupo de quociente Z/nZ tem precisamente um subgrupo de ordem d, gerado pela classe de resíduo de n/d. Não existem outros subgrupos.

Todo grupo cíclico é abeliano. [1] Ou seja, sua operação de grupo é comutativa: gh = hg (para todos g e h em G) Isso é claro para os grupos de adição inteira e modular, uma vez que r + ss + r (mod n), e segue-se para todos os grupos cíclicos, uma vez que são todos isomórficos a esses grupos padrão. Para um grupo cíclico finito de ordem n, g n é o elemento de identidade para qualquer elemento g. Isso novamente segue usando o isomorfismo para adição modular, uma vez que kn ≡ 0 (mod n) para cada número inteiro k. (Isso também é verdadeiro para um grupo geral de ordem n, devido ao teorema de Lagrange.)

Para um poder principal p k, o grupo Z/p k Z é chamado de grupo cíclico primário. O teorema fundamental dos grupos abelianos afirma que todo grupo abeliano finitamente gerado é um produto direto finito de grupos cíclicos primários e grupos cíclicos infinitos.

Como um grupo cíclico é abeliano, cada uma de suas classes de conjugação consiste em um único elemento. Um grupo cíclico de ordem n portanto tem n classes de conjugação.

Se d é um divisor de n, então o número de elementos em Z/nZ que tem ordem d é φ(d), e o número de elementos cuja ordem divide d é exatamente d. Se G é um grupo finito no qual, para cada n & gt 0, G contém no máximo n elementos de divisão de ordem n, então G deve ser cíclico. [nota 2] A ordem de um elemento m em Z/nZ é n/ gcd (n,m).

Se n e m são coprimos, então o produto direto de dois grupos cíclicos Z/nZ e Z/mZ é isomórfico ao grupo cíclico Z/nmZ, e o inverso também é válido: esta é uma forma do teorema do resto chinês. Por exemplo, Z/12Z é isomórfico ao produto direto Z/3Z × Z/4Z sob o isomorfismo (k mod 12) → (k mod 3, k mod 4), mas não é isomórfico a Z/6Z × Z/2Z, em que cada elemento tem ordem no máximo 6.

Se p é um número primo, então qualquer grupo com p elementos é isomórfico ao grupo simples Z/pZ. Um número n é chamado de número cíclico se Z/nZ é o único grupo de ordem n, o que é verdade exatamente quando gcd (n,φ(n)) = 1. [13] Os números cíclicos incluem todos os primos, mas alguns são compostos, como 15. No entanto, todos os números cíclicos são ímpares, exceto 2. Os números cíclicos são:

1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 15, 17, 19, 23, 29, 31, 33, 35, 37, 41, 43, 47, 51, 53, 59, 61, 65, 67, 69, 71, 73, 77, 79, 83, 85, 87, 89, 91, 95, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 115, 119, 123, 127, 131, 133, 137, 139, 141, 143,. (sequência A003277 no OEIS)

A definição implica imediatamente que grupos cíclicos têm apresentação de grupo C = ⟨x | ⟩ e Cn = ⟨x | x n ⟩ Para finito n. [14]

Edição de Representações

A teoria da representação do grupo cíclico é um caso básico crítico para a teoria da representação de grupos finitos mais gerais. No caso complexo, a representação de um grupo cíclico se decompõe em uma soma direta de caracteres lineares, tornando transparente a conexão entre a teoria do caráter e a teoria da representação. No caso de característica positiva, as representações indecomponíveis do grupo cíclico formam um modelo e base indutiva para a teoria de representação de grupos com subgrupos de Sylow cíclicos e, mais geralmente, a teoria de representação de blocos de defeito cíclico.

Edição de gráfico de ciclo

UMA gráfico de ciclo ilustra os vários ciclos de um grupo e é particularmente útil na visualização da estrutura de pequenos grupos finitos. Um grafo de ciclo para um grupo cíclico é simplesmente um grafo circular, onde a ordem do grupo é igual ao número de nós. Um único gerador define o grupo como um caminho direcional no gráfico e o gerador inverso define um caminho para trás. Caminhos triviais (identidade) podem ser desenhados como um loop, mas geralmente são suprimidos. Z2 às vezes é desenhado com duas arestas curvas como um multigrafo. [15]

Um grupo cíclico Zn, com ordem n, corresponde a um único ciclo representado graficamente simplesmente como um npolígono de lados com os elementos nos vértices.

Gráficos de ciclo até o pedido 24
Z1 Z2 Z3 Z4 Z5 Z6 = Z3× Z2 Z7 Z8
Z9 Z10 = Z5× Z2 Z11 Z12 = Z4× Z3 Z13 Z14 = Z7× Z2 Z15 = Z5× Z3 Z16
Z17 Z18 = Z9× Z2 Z19 Z20 = Z5× Z4 Z21 = Z7× Z3 Z22 = Z11× Z2 Z23 Z24 = Z8× Z3

Edição de gráfico Cayley

Um gráfico Cayley é um gráfico definido a partir de um par (G,S) Onde G é um grupo e S é um conjunto de geradores para o grupo ele possui um vértice para cada elemento do grupo, e uma aresta para cada produto de um elemento com um gerador. No caso de um grupo cíclico finito, com seu único gerador, o grafo de Cayley é um grafo de ciclo, e para um grupo cíclico infinito com seu gerador o grafo de Cayley é um grafo de caminho duplamente infinito. No entanto, os gráficos de Cayley também podem ser definidos a partir de outros conjuntos de geradores. Os gráficos de Cayley de grupos cíclicos com grupos geradores arbitrários são chamados de gráficos circulantes. [16] Esses gráficos podem ser representados geometricamente como um conjunto de pontos igualmente espaçados em um círculo ou em uma linha, com cada ponto conectado a vizinhos com o mesmo conjunto de distâncias que cada outro ponto. Eles são exatamente os gráficos transitivos de vértice cujo grupo de simetria inclui um grupo cíclico transitivo. [17]

Edição de endomorfismos

O anel de endomorfismo do grupo abeliano Z/nZ é isomórfico a Z/nZ a si mesma como um anel. [18] Sob este isomorfismo, o número r corresponde ao endomorfismo de Z/nZ que mapeia cada elemento para a soma de r cópias dele. Esta é uma bijeção se e somente se r é coprime com n, então o grupo de automorfismo de Z/nZ é isomórfico ao grupo de unidades (Z/nZ) × . [18]

Da mesma forma, o anel de endomorfismo do grupo aditivo de Z é isomorfo ao anel Z. Seu grupo de automorfismo é isomórfico ao grupo de unidades do anel Z, que é (<−1, +1>, ×) ≅ C2 .

Várias outras classes de grupos foram definidas por sua relação com os grupos cíclicos:

Grupos virtualmente cíclicos Editar

Um grupo é chamado virtualmente cíclico se ele contém um subgrupo cíclico de índice finito (o número de cosets que o subgrupo possui). Em outras palavras, qualquer elemento em um grupo virtualmente cíclico pode ser obtido pela multiplicação de um membro do subgrupo cíclico por um membro de um determinado conjunto finito. Todo grupo cíclico é virtualmente cíclico, assim como todo grupo finito. Um grupo infinito é virtualmente cíclico se e somente se for finitamente gerado e tiver exatamente duas extremidades [nota 3]. Um exemplo de tal grupo é o produto direto de Z/nZ e Z, em que o fator Z tem índice finito n. Cada subgrupo abeliano de um grupo hiperbólico de Gromov é virtualmente cíclico. [20]

Grupos localmente cíclicos Editar

Um grupo localmente cíclico é um grupo no qual cada subgrupo finitamente gerado é cíclico. Um exemplo é o grupo aditivo dos números racionais: todo conjunto finito de números racionais é um conjunto de múltiplos inteiros de uma única fração unitária, o inverso de seu menor denominador comum, e gera como um subgrupo um grupo cíclico de múltiplos inteiros deste fração unitária. Um grupo é localmente cíclico se e somente se sua rede de subgrupos é uma rede distributiva. [21]

Grupos ordenados ciclicamente Editar

Um grupo ordenado ciclicamente é um grupo junto com uma ordem cíclica preservada pela estrutura do grupo. Cada grupo cíclico pode receber uma estrutura como um grupo ordenado ciclicamente, consistente com a ordem dos inteiros (ou os inteiros modulo a ordem do grupo). Cada subgrupo finito de um grupo ordenado ciclicamente é cíclico. [22]

Editar grupos metacíclicos e policíclicos

Um grupo metacíclico é um grupo que contém um subgrupo normal cíclico cujo quociente também é cíclico. [23] Esses grupos incluem os grupos cíclicos, os grupos dicíclicos e os produtos diretos de dois grupos cíclicos. Os grupos policíclicos generalizam grupos metacíclicos, permitindo mais de um nível de extensão de grupo. Um grupo é policíclico se tem uma sequência descendente finita de subgrupos, cada um dos quais é normal no subgrupo anterior com um quociente cíclico, terminando no grupo trivial. Todo grupo abeliano finitamente gerado ou grupo nilpotente é policíclico. [24]


Combinatória introdutória

O Comitê da Lista da Biblioteca Básica recomenda fortemente este livro para aquisição por bibliotecas de matemática de graduação.

Este é um dos poucos livros clássicos de introdução à combinatória para alunos de graduação. O autor de tal livro-texto enfrenta um número excepcionalmente alto de escolhas difíceis de quais tópicos incluir e em que ordem, portanto, a tarefa do revisor é discutir as escolhas que o autor decidiu fazer. Enumeração é o tema privilegiado pelo autor, visto que nove de seus quatorze capítulos têm esse tema em seu centro. Esta é uma escolha apropriada de foco, uma vez que na maioria dos ramos da combinatória, contar é, se não o objetivo, pelo menos uma ferramenta.

A ordem em que os tópicos são discutidos também favorece a enumeração. As técnicas avançadas de enumeração são tratadas relativamente no início do livro. A inversão de M & # 246bius é explicada no Capítulo 6, enquanto as funções de geração são apresentadas no Capítulo 7, portanto, esses tópicos avançados fazem parte da primeira metade do texto. Há um capítulo separado sobre algumas sequências de contagem famosas, como os números catalães e os números Schr & # 246der, e mesmo isso vem antes das partes do livro que não são dedicadas à enumeração.

A próxima parte do livro passou por uma grande mudança desde a última edição. O Capítulo 9 é sobre sistemas de representantes distintos, o Capítulo 10 é sobre Projetos Combinatórios e os três capítulos seguintes são sobre a teoria dos grafos. Isso provavelmente diferencia o livro da maioria dos livros didáticos semelhantes: é fácil ver os dois sistemas de representantes distintos e os projetos combinatórios como generalizações de conceitos na Teoria dos Grafos e, portanto, a maioria dos autores trata os gráficos primeiro. A ordem escolhida neste livro provavelmente tem o efeito de que se você ensinar um curso de dois semestres a partir do livro e cobrir todos os tópicos na ordem em que o livro os cobre, então toda a Teoria de Grafos será discutida no segundo semestre.

O livro termina com um capítulo sobre a teoria P & # 243lya (enumeração sob ação de grupo).

Existem cerca de 40 exercícios no final de cada capítulo, alguns dos quais são, com louvor, desafiadores o suficiente para serem interessantes até mesmo para os instrutores. Quase metade deles tem uma resposta numérica ou uma dica no final do livro, mas nenhum vem com soluções completas.

Mikl & # 243s B & # 243na é ​​professor de matemática na Universidade da Flórida.


Aumentando e diminuindo os expoentes de uma função geradora

Quando temos um função geradora para um determinado problema, podemos manipulá-lo para resolver outros problemas combinatórios.

Usar essa técnica de "método de mudança" nos dá uma solução limpa para o seguinte problema:

If you select exactly one element from , how many ways are there to select a given number? Express your answer as a simplified generating function.


MATH 580 / CS 571

Lec 1, 8/25 Mon, Sec 1.1: Course overview, general principles of enumeration, counting of words & subsets, binomial theorem, multisets/compositions.
Lec 2, 8/27 Wed, Sec 1.2: Lattice paths, basic identities, extended binomial coefficient, summing polynomials, Delannoy numbers.
Lec 3, 8/29 Fri, Sec 1.3: Hamming ball/Delannoy correspondence . Counting graphs and trees, multinomial coefficients (trees by degrees, Fermat's Little Theorem), Ballot problem.
Lec 4, 9/3 Wed, Sec 1.3-2.1: Central binomial convolution, Catalan numbers (generalization, bijections, recurrence), Fibonacci numbers and 1,2-lists.

Lec 5, 9/5 Fri, Sec 2.1-2: Derangements, recurrences in two indices (distribution problems, Delannoy numbers), characteristic equation method (through repeated roots).
Lec 6, 9/8 Mon, Sec 2.2: Characteristic equation method (inhomogeneous terms), generating function method (linear w. constant coefficients, Catalan solution).
Lec 7, 9/10 Wed, Sec 2.3-3.1: Substitution method (Tower of Hanoi, derangements, Stirling's approximation), generating functions (sum/product operations, multisets)

Lec 8, 9/12 Fri, Sec 3.1: Generating functions: multisets with restricted multiplicity, functions in two variables (skipped), permutation statistics (by #inversions, #cycles), Eulerian numbers (#runs, Worpitzky's Identity by barred permutations)
Lec 9, 9/15 Mon, Sec 3.2: Generating function manipulations: sum & product (A(n,k) formula by inversion from Worpitzky), shifted index, differentiation & evaluation at special values, summing initial coefficients, summation by convolutions.
Lec 10, 9/17 Wed, Sec 3.3: Snake Oil, exponential generating functions: products of EGFs (words), examples and applications of EGFs (flags on poles, restricted words, Stirling numbers)
Lec 11, 9/19 Fri, Sec 3.3: EGF applications (binomial inversion, derangements), the Exponential Formula (graphs, partitions, permutations, recurrence), Lagrange Inversion Formula (statement and application to trees).
Lec 12, 9/22 Mon, Sec 3.4: Partitions of integers (basic generating functions, asymptotic number of partitions), combinatorics of partitions (Ferrers diagrams, conjugation, Fallon's Identity (skipped), congruence classes of triangles, Euler's Identity).

Lec 13, 9/24 Wed, Sec 4.1: Basic inclusion-exclusion formula, applications (totients, Stirling numbers, alternating sums, skipped Eulerian numbers)
Lec 14, 9/26 Fri, Sec 4.1: Permutations with restricted positions (rook polynomials), OGF by number of properties (skipped probleme des menages), signed involutions (inclusion-exclusion as special case, (skipped partitions into distinct odd parts).
Lec 15, 9/29 Mon, Sec 4.1-2: Disjoint-path systems in digraphs, application to lattice paths and rhombus tilings. Examples for counting under symmetry, Lagrange's Theorem.
Lec 16, 10/1 Wed, Sec 4.2-3: Burnside's Lemma, Cycle indices, symmetries of cube, pattern inventory (Polya's Theorem), counting isomorphism classes of graphs. Young tableaux (brief presentation of Hook-length formula, RSK correspondence, and consequences of RSK correspondence).

Chapter 5, First Concepts for Graphs, for background reading
Lec 17, 10/3 Fri, Sec 5.1-3 highlights, 6.1: Properties of Petersen graph, degree-sum formula and rectangle partition, characterization of bipartite graphs, Eulerian circuits. Bipartite Matching (Hall's Theorem).
Lec 18, 10/6 Mon, Sec 6.1: Marriage Theorem, orientations with specified outdegrees. Min/max relations (Ore's defect formula, Konig-Egervary Theorem, Gallai's Theorem, Konig's Other Theorem).
Lec 19, 10/8 Wed, Sec 6.2: General Matching: augmenting paths, Tutte's 1-Factor Condition, Berge-Tutte Formula, 1-factors in regular graphs, Petersen's 2-Factor Theorem (via Eulerian circuit and Hall's Theorem--postponed to Friday).

Lec 20, 10/10 Fri, Sec 7.1: Connectivity (definitions, Harary graphs). Connectivity under cartesian product, edge-connectivity definitions, Whitney's Theorem. Edge-connectivity for diameter 2 (mention of edge-cut/degree lemma postponed), . bonds and blocks skipped.
Lec 21, 10/13 Mon, Sec 7.2: k-Connected Graphs (Independent x,y-paths, linkage and blocking sets, Pym's Theorem, Menger's Theorems (8 versions), Ford-Fulkerson CSDR (postponed), Expansion and Fan Lemmas, cycles through specified vertices), ear decomposition and Robbins' Theorem (postponed to Wed).
Lec 22, 10/15 Wed, Sec 7.3: Spanning cycles: necessary condition, Ore & Dirac conditions, closure, statement of Chvatal condition & Chvatal-Erdos Theorem (postponed to Fri).

Lec 23, 10/17 Fri, Sec 8.1: Vertex coloring: examples, easy bounds, greedy coloring, interval graphs, degree bounds, Minty's Theorem (postponed to Mon).
Lec 24, 10/20 Mon, 8.1-2: Triangle-free graphs (Mycielski's construction, &radicn bound), color-critical graphs (minimum degree, edge-connectivity).
Lec 25, 10/22 Wed, Sec 8.2: coloring triangle-free graphs. List coloring (degree choosability and extension of Brooks' Theorem),
Lec 26, 10/24 Fri, Sec 8.3: edge-coloring (complete graphs, Petersen graph, bipartite graphs), color fans and Vizing for graphs, Anderson-Goldberg generalization of Vizing's Theorem (skipped), brief mention of perfect graphs.

Lec 27, 10/27 Mon, Sec 9.1: Planar graphs and their duals, cycles vs bonds, bipartite plane graphs, Euler's Formula and edge bound
Lec 28, 10/29 Wed, Sec 9.2: Kuratowski's Theorem and convex embeddings, 5-coloring of planar graphs
Lec 29, 10/31 Fri, Sec 9.3: Discharging (approach to 4CT, planar graphs with forbidden face lengths), mention of Tait's Theorem (skipped Grinberg's Theorem)

Lec 30, 11/3 Mon, Sec 10.1: Applications of pigeonhole principle (covering by bipartite graphs, divisible pairs, domino tilings, paths in cubes, monotone sublists, increasing trails, girth 6 with high chromatic number).
Lec 31, 11/5 Wed, Sec 10.2: Ramsey's Theorem and applications (convex m-gons, table storage).
Lec 32, 11/7 Fri, Sec 10.3: Ramsey numbers, graph Ramsey theory (tree vs complete graph), Schur's Theorem, Van der Waerden Theorem (statement and example)

Lec 33, 11/10 Mon, Sec 12.1: Partially ordered sets (definitions and examples, comparability graphs and cover graphs), Dilworth's Theorem, equivalence of Dilworth and Konig-Egervary, relation to PGT.
Lec 34, 11/12 Wed, Sec 12.2: graded posets & Sperner property, symmetric chain decompositions for subsets and products, bracketing decomposition, application to monotone Boolean functions.
Lec 35, 11/14 Fri, Sec 12.2: LYM posets (Sperner's Theorem via LYM, equivalence with regular covering and normalized matching, LYM and symmetric unimodal rank-sizes => symmetric chain decomposition, statement of log-concavity & product result).

Lec 36, 11/17 Mon, Sec 14.1: existence arguments (Ramsey number, 2-colorability of k-uniform hypergraphs), pigeonhole property of expectation (linearity and indicator variables, Caro-Wei bound on independence number, application of Caro-Wei to Turan's Theorem, pebbling in hypercubes).
Lec 37, 11/19 Wed, Sec 14.2: Deletion method (Ramsey numbers, dominating sets, sketch for large girth and chromatic number)
Lec 38, 11/21 Fri, Sec 14.2-3: Symmetric Local Lemma & applications (Ramsey number, list coloring, Mutual Independence Principle). Random graph models, almost-always properties, connectedness of the random graph, Markov's Inequality.
Lec 39, 12/1 Mon, Sec 14.3: Second moment method, threshold functions for disappearance of isolated vertices and appearance of balanced graphs, comments on evolution of graphs, lower bound for crossing number of graphs (Chapter 16).

Lec 40, 12/3 Wed, Sec 13.1: Latin squares (4-by-4 example, MOLS(n,k), upper bound, complete families, Moore-MacNeish construction). Block designs (examples, elementary constraints on parameters, Fisher's Inequality).
Lec 41, 12/5 Fri, Sec 13.1: Symmetric designs (Bose), necessary conditions (example of Bruck-Chowla-Ryser), Hadamard matrices (restriction on order, relation to designs, relation to coding theory).
Lec 42, 12/8 Mon, Sec 13.2: Projective planes (equivalence with (q^2+q+1,q+1,1)-designs, relation to Latin squares, polarity graph with application to extremal problems).
Lec 43, 12/10 Wed, Sec 13.2-3: difference sets and multipliers, Steiner triple systems.


Table of Contents

This book is a gentle introduction to the enumerative part of combinatorics suitable for study at the advanced undergraduate or beginning graduate level. In addition to covering all the standard techniques for counting combinatorial objects, the text contains material from the research literature which has never before appeared in print, such as the use of quotient posets to study the Möbius function and characteristic polynomial of a partially ordered set, or the connection between quasisymmetric functions and pattern avoidance.

The book assumes minimal background, and a first course in abstract algebra should suffice. The exposition is very reader friendly: keeping a moderate pace, using lots of examples, emphasizing recurring themes, and frankly expressing the delight the author takes in mathematics in general and combinatorics in particular.


Assista o vídeo: DZIAŁANIA NA ZBIORACH LEKCJE Z FSOREM #1 (Outubro 2021).