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4.2: Existência de SDRs - Matemática


Nesta secção, sdr significa completo sdr. É fácil ver que nem toda coleção de conjuntos tem um sdr. Considerar

$$ A_1 = {a, b }, A_2 = {a, b }, A_3 = {a, b }, A_4 = {b, c, d, e }. $$

Agora, o número total de representantes possíveis é 5, e nós só precisamos de 4. No entanto, isso é impossível, porque os três primeiros conjuntos não têm sdr considerados por si próprios. Portanto, a seguinte condição, chamada Condição de Hall, é claramente necessário para a existência de um sdr: Para cada (k ge1 ), e cada conjunto ( {i_1, i_2, ldots, i_k } subseteq [n] ), (| bigcup_ {j = 1} ^ k A_ { i_j} | ge k ). Ou seja, o número de possíveis representantes em qualquer coleção de conjuntos deve ser pelo menos tão grande quanto o número de conjuntos. Ambos os exemplos falham em ter esta propriedade porque (| A_1 xícara A_2 xícara A_3 | = 2 <3 ).

Notavelmente, essa condição é necessária e suficiente.

Teorema de Hall

Uma coleção de conjuntos (A_1, A_2, ldots, A_n ) tem um sdr se e somente se para cada (k ge1 ), e cada conjunto ( {i_1, i_2, ldots, i_k } subseteq [n] ), (| bigcup_ {j = 1} ^ k A_ {i_j} | ge k ).

Prova

Já sabemos que a condição é necessária, então provamos a suficiência por indução em (n ).

Suponha que (n = 1 ); a condição é simplesmente que (| A_1 | ge 1 ). Se isso for verdade, então (A_1 ) não está vazio e, portanto, há um sdr. Isso estabelece o caso básico.

Agora suponha que o teorema seja verdadeiro para uma coleção de (k sdr.

Suponha primeiro que para todo (k sdr ( {x_1, x_2, ldots, x_ {n-1} } ), e para cada (i sdr para (A_1, A_2, ldots, A_n ).

Se não for verdade que para todo (k sdr, ( {x_1, ldots, x_k } ).

Defina (B_i = A_i barra invertida bigcup_ {j = 1} ^ k A_ {j} ) para (i> k ). Suponha que ( {x_ {k + 1}, ldots, x_ {n} } ) seja um sdr para (B_ {k + 1}, ldots, B_ {n} ); então também é um sdr para (A_ {k + 1}, ldots, A_ {n} ). Além disso, ( {x_1, ldots, x_n } ) é um sdr para (A_ {1}, ldots, A_ {n} ). Assim, para terminar a prova basta mostrar que (B_ {k + 1}, ldots, B_ {n} ) tem um sdr. O número de conjuntos aqui é (n-k

Portanto, considere alguns conjuntos (B_ {i_1}, B_ {i_2},…, B_ {i_l} ). Primeiro, notamos que $$ | A_1 xícara A_2 xícara cdots xícara A_k xícara B_ {i_1} xícara B_ {i_2} xícara cdots B_ {i_l} | = k + | B_ {i_1} xícara B_ { i_2} xícara cdots B_ {i_l} |. $$ Também $$ | A_1 xícara A_2 xícara cdots xícara A_k xícara B_ {i_1} xícara B_ {i_2} xícara cdots B_ {i_l} | = | A_1 xícara A_2 xícara cdots xícara A_k xícara A_ {i_1} xícara A_ {i_2} xícara cdots A_ {i_l} | $$ e $$ | A_1 xícara A_2 xícara cdots xícara A_k xícara A_ {i_1} xícara A_ {i_2} xícara cdots A_ {i_l} | ge k + l. $$ Juntando todos dá $$ eqalign {k + | B_ {i_1} xícara B_ {i_2 } cup cdots cup B_ {i_l} | & ge k + l cr | B_ {i_1} cup B_ {i_2} cup cdots cup B_ {i_l} | & ge l cr. } $$ Assim, (B_ {k + 1}, ldots, B_ {n} ) tem um sdr, que encerra a prova.

(quadrado)


4.2: Existência de SDRs - Matemática

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Índice

1. O que é Combinatória?

1.1 Exemplo: capas perfeitas de tabuleiros de xadrez

1.3 Exemplo: O problema das quatro cores

1.4 Exemplo: O Problema dos 36 Oficiais

1.5 Exemplo: Problema de rota mais curta

1.6 Exemplo: círculos mutuamente sobrepostos

1.7 Exemplo: O Jogo de Nim

2. O Princípio do Pombo

2.1 Princípio de buraco de pombo: forma simples

2.2 Princípio de buraco de pombo: forma forte

3. Permutações e combinações

3.1 Quatro Princípios Básicos de Contagem

3.4 Permutações de Multisets

3.5 Combinações de Multisets

4. Gerando Permutações e Combinações

4.1 Gerando Permutações

4.2 Inversões em Permutações

4.3 Gerando Combinações

4.4 Gerando combinações r

4.5 Pedidos Parciais e Relações de Equivalência

5. Os coeficientes binomiais

5.3 Unimodalidade de Coeficientes Binomiais

5.4 O Teorema Multinomial

5.5 Teorema Binomial de Newton & # 39s

5.6 Mais sobre conjuntos parcialmente encomendados

6. O Princípio de Inclusão-Exclusão e Aplicações

6.1 O Princípio de Inclusão-Exclusão

6.2 Combinações com Repetição

6.4 Permutações com posições proibidas

6.5 Outro Problema de Posição Proibida

7. Relações de recorrência e funções geradoras

7.3 Funções de geração exponencial

7.4 Resolvendo Relações de Recorrência Homogêneas Lineares

7.5 Relações de recorrência não homogêneas

8. Sequências de contagem especial

8.2 Sequências de diferença e números de Stirling

8.5 Caminhos reticulados e números Schr & oumlder

9. Sistemas de Representantes Distintos

9.1 Formulação do Problema Geral

10. Projetos Combinatórios

10.3 Steiner Triple Systems

11. Introdução à Teoria dos Grafos

11.3 Caminhos e ciclos de Hamilton

11.4 Multigrafos Bipartidos

11.6 O jogo de troca de Shannon

12. Mais sobre Teoria de Grafos

12.2 Gráficos Planos e Planares

12.4 Número da Independência e Número da Clique

13. Dígrafos e redes

13.3 Correspondência em gráficos bipartidos revisitados

14.1 Grupos de Permutação e Simetria

14.3 Fórmula de contagem de P & oacutelya & # 39s


3. Objeções ao platonismo matemático

Uma variedade de objeções ao platonismo matemático foi desenvolvida. Aqui estão os mais importantes.

3.1 Acesso epistemológico

A objeção mais influente é provavelmente a inspirada por Benacerraf (1973). O que se segue é uma versão melhorada da objeção de Benacerraf & rsquos devido a Field (1989). [12] Esta versão baseia-se nas três premissas a seguir.

Premissa 1. Os matemáticos são confiáveis, no sentido de que para quase todas as sentenças matemáticas S, se os matemáticos aceitarem S, então S é verdade.
Premissa 2. Para que a crença na matemática seja justificada, deve, pelo menos em princípio, ser possível explicar a confiabilidade descrita na Premissa 1.
Premissa 3. Se o platonismo matemático for verdadeiro, essa confiabilidade não pode ser explicada nem mesmo em princípio.

Se essas três premissas estiverem corretas, seguir-se-á que o platonismo matemático enfraquece nossa justificativa para acreditar na matemática.

Mas as premissas estão corretas? As duas primeiras premissas são relativamente incontroversas. A maioria dos platonistas já está comprometida com a Premissa 1. E a Premissa 2 parece bastante segura. Se a confiabilidade de algum procedimento de formação de crenças não pudesse mesmo em princípio ser explicada, então o procedimento pareceria funcionar puramente por acaso, minando assim qualquer justificativa que temos para as crenças produzidas dessa maneira.

A premissa 3 é muito mais controversa. Field defende essa premissa observando que "os valores de verdade de nossas afirmações matemáticas dependem de fatos envolvendo entidades platônicas que residem em um reino fora do espaço-tempo" (Field 1989, p. 68) e, portanto, estão causalmente isolados de nós, mesmo em princípio. No entanto, esta defesa assume que qualquer explicação adequada da confiabilidade em questão deve envolver alguma correlação causal. Isso foi contestado por uma variedade de filósofos que propuseram explicações mais mínimas para a afirmação da confiabilidade. (Ver Burgess & amp Rosen 1997, pp. 41 & ndash49 e Lewis 1991, pp. 111 & ndash112 cf. também Clarke-Doane 2016. Ver Linnebo 2006 para uma crítica.) [13]

3.2 Uma objeção metafísica

Outro artigo famoso de Benacerraf desenvolve uma objeção metafísica ao platonismo matemático (Benacerraf 1965, cf. também Kitcher 1978). Embora Benacerraf se concentre na aritmética, a objeção naturalmente se generaliza para a maioria dos objetos matemáticos puros.

Benacerraf começa defendendo o que hoje é conhecido como uma visão estruturalista dos números naturais, segundo a qual os números naturais não têm outras propriedades além daquelas que possuem em virtude de serem posições em uma seqüência ômega. Por exemplo, não há nada mais em ser o número 3 do que ter certas propriedades relacionais definidas intraestruturalmente, como suceder 2, ser metade de 6 e ser primo. Não importa o quanto estudemos aritmética e teoria dos conjuntos, nunca saberemos se 3 é idêntico ao quarto ordinal de von Neumann, ou ao ordinal de Zermelo correspondente, ou talvez, como sugeriu Frege, à classe de todas as classes de três membros ( em algum sistema que permite a existência de tais classes).

Benacerraf agora tira a seguinte conclusão:

Em outras palavras, Benacerraf afirma que não pode haver objetos que não tenham nada além de propriedades estruturais. Todos os objetos também devem ter algumas propriedades não estruturais. (Veja Benacerraf 1996 para algumas reflexões posteriores sobre este argumento.)

Ambas as etapas do argumento de Benacerraf & rsquos são controversas. O primeiro passo - que os números naturais têm apenas propriedades estruturais - foi recentemente defendido por uma variedade de estruturalistas matemáticos (Parsons 1990, Resnik 1997 e Shapiro 1997). Mas essa etapa é negada por lógicos e neo-lógicos, que afirmam que os números naturais estão intrinsecamente ligados às cardinalidades das coleções que numeram. E o segundo passo - que não pode haver objetos com apenas propriedades estruturais - é explicitamente rejeitado por todos os estruturalistas que defendem o primeiro passo. (Para algumas vozes simpáticas à segunda etapa, consulte Hellman 2001 e MacBride 2005. Consulte também Linnebo 2008 para discussão.)

3.3 Outras objeções metafísicas

Além de Benacerraf & rsquos, uma variedade de objeções metafísicas ao platonismo matemático foram desenvolvidas. Um dos exemplos mais famosos é um argumento de Nelson Goodman & rsquos contra a teoria dos conjuntos. Goodman (1956) defende o Princípio do Nominalismo, que afirma que, sempre que duas entidades têm os mesmos constituintes básicos, elas são idênticas. Esse princípio pode ser considerado um fortalecimento do familiar axioma teórico da extensionalidade do conjunto. O axioma da extensionalidade afirma que se dois conjuntos x e y têm os mesmos elementos & mdash isto é, if & forallvocê(você &é em x & harr você &é em y) & mdashthen eles são idênticos. O Princípio do Nominalismo é obtido substituindo a relação de adesão com seu fechamento transitivo. [14] O princípio afirma, portanto, que se x e y são suportados & estão * pelos mesmos indivíduos & mdash isto é, se & para todosvocê(você &é em* x & harr você &é em* y) & mdashthen x e y são idênticos. Ao endossar esse princípio, Goodman não permite a formação de conjuntos e classes, permitindo apenas a formação de somas mereológicas e a aplicação às operações mereológicas padrão (conforme descrito por seu & ldquocalculus of indivíduos & rdquo).

No entanto, a defesa de Goodman & rsquos do Princípio do Nominalismo é agora amplamente considerada não convincente, como testemunhado pela aceitação generalizada por filósofos e matemáticos da teoria dos conjuntos como um ramo legítimo e valioso da matemática.


A matemática simples mostra quantos alienígenas podem estar lá fora

Se você diz que acredita que alienígenas do espaço existem, duvido que seus amigos fiquem chocados. Em um universo resplandecente com 2 trilhões de galáxias, você ficaria extremamente presunçoso ao pensar que só a Terra hospeda criaturas inteligentes. Uma pesquisa de 2015 mostrou que 54% dos americanos se sentem confiantes de que alienígenas inteligentes estão por aí.

Talvez esse otimismo venha da ficção científica. Afinal, se não há extraterrestres, não há muita missão para a nave estelar Enterprise ou vagas de emprego para vulcanos. Ficção à parte, muitos cientistas concordam que o cosmos é indubitavelmente salpicado - talvez generosamente salpicado - com vida. Mesmo a vida senciente.

Mas podemos dizer algo sobre essa aspersão? Podemos nos arriscar a adivinhar a que distância os alienígenas mais próximos podem estar?

Este é um negócio incerto, mas não novo. Em 1961, o astrônomo Frank Drake desenvolveu uma equação simples para estimar o número de sociedades "tecnicamente ativas" em nossa galáxia. Essa matemática fácil é conhecida como Equação de Drake e costuma ser considerada a segunda fórmula mais famosa da ciência (a primeira sendo Einstein E = mc2).

Se você pesquisar a fórmula online, verá que ela leva em consideração a probabilidade de que existam planetas habitáveis ​​ao redor de outras estrelas, a probabilidade de surgimento de vida e a probabilidade de que a biologia ocasionalmente evolua para produzir seres inteligentes. Mas mesmo sem lutar com a Equação de Drake, podemos usar um raciocínio semelhante para avaliar a abundância de sociedades alienígenas e quão próximos os Klingons podem estar.

Começamos com uma pesquisa recente que mostra que uma em cada seis estrelas hospeda um planeta hospitaleiro à vida. Não, nem um em um milhão. Um em cada seis. Então, vamos pegar esse número e executá-lo. Em seguida, temos que fazer algumas suposições. Em particular, se você recebesse um milhão de mundos do tamanho da Terra, que fração você acha que geraria habitantes tecnicamente sofisticados?

A vida em nosso planeta começou rapidamente: a atividade química aleatória em 350 milhões de trilhões de galões de água do oceano gerou uma molécula reprodutora em algumas centenas de milhões de anos. Portanto, talvez a biologia não precise de muito estímulo para começar. Não acho que seja irracional imaginar que pelo menos metade de todos os planetas adequados para a vida realmente o produzam.

A inteligência é menos certa. Os dinossauros tinham um bom design, mas não se saíram bem na escola. Mas digamos que um em cada 100 planetas incrustados de biologia acabe tossindo alguns seres pensantes. E, de acordo com Frank Drake, também vamos supor que quaisquer Klingons por aí continuem a sair por 10.000 anos antes de se autodestruir (guerra nuclear, alguém?) Ou encontrar algum outro fim lamentável.

Relacionado

Mach Acabamos de enviar um sinal para os alienígenas. Foi uma má ideia?

Faça a aritmética e você descobrirá que um em cada 100 milhões de sistemas estelares tem habitantes tecnicamente adequados. Isso não é muito diferente da fração dos bilhetes do jackpot na loteria Powerball desta semana.

Então, a que distância estão os extraterrestres de sinalização mais próximos? Se vamos pagar um bom dinheiro para ligar o warp drive e visitar alguns alienígenas de cabeça acidentada, quão longe temos que viajar? Bem, a distância média entre estrelas em nossa parte da galáxia é de 4,2 anos-luz (a distância até Proxima Centauri). Ou seja, para cada cubo de espaço com 4,2 anos-luz de lado, você encontrará (em média) uma estrela. Agora imagine uma caixa maior, 2.000 anos-luz de lado. Ele conterá 100 milhões de caixas estelares e uma civilização sofisticada.

Por esse cálculo aproximado e pronto, os alienígenas mais próximos estão provavelmente entre um e dois mil anos-luz de distância. Em outras palavras, não mais perto do que as três estrelas brilhantes do Cinturão de Órion. Claro, vizinhos estranhos podem estar mais longe - ou mais perto. Mas essa estimativa da ordem de magnitude nos diz que eles não estão ao lado. Eles não ouviram nossas notícias e provavelmente não terão nenhum incentivo para nos visitar. Eles simplesmente não sabem que estamos aqui.

A propósito, provavelmente também não iremos visitá-los. Os foguetes mais rápidos de hoje levariam pelo menos 20 milhões de anos para chegar lá, quando você estará terrivelmente cansado dos pretzels a bordo.

Sim, os alienígenas provavelmente estão por aí, e 10.000 sociedades poderiam habitar nossa galáxia (sem mencionar as outras galáxias!) Eles não são próximos. Mas eles podem ser descobertos. É por isso que continuamos a procurar no céu sinais de rádio lançados no éter há muito tempo por nossos irmãos cósmicos.


4.2: Existência de SDRs - Matemática

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O Artigo pode ser um artigo de pesquisa original, um estudo de pesquisa substancial que frequentemente envolve várias técnicas ou abordagens, ou um artigo de revisão abrangente com atualizações concisas e precisas sobre os últimos avanços no campo que revisa sistematicamente os avanços mais interessantes na área científica literatura. Este tipo de papel fornece uma perspectiva sobre as futuras direções de pesquisa ou possíveis aplicações.

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Papel da autoeficácia para o desempenho dos alunos na capacidade de representação matemática múltipla (MMRA)

Vários estudos mostraram que existem alguns pontos que afetam o desempenho dos alunos, um deles é a autoeficácia em matemática. Autoeficácia é sentimento, confiança e segurança do comportamento afetivo dos alunos em relação à sua capacidade. No processo de aprendizagem, os alunos encontram obstáculos na resolução de seus problemas, como relacionar uma representação a outra representação. Estudos anteriores indicaram que o desempenho dos alunos na habilidade de representação matemática tem obstáculos porque os alunos não entendiam a relação entre conceitos, ideias e materiais a serem representados. Os outros estudos afirmam que quanto maior a autoeficácia dos alunos, maior a capacidade de representação matemática múltipla (MMRA). Isso significa que a autoeficácia tem correlação positiva com a habilidade matemática. Este artigo irá discutir sobre o papel da autoeficácia em matemática para o alcance da habilidade de habilidade de representação matemática múltipla (MMRA) na resolução de problemas matemáticos, a fim de aumentar o desempenho dos alunos.


Raiz quadrada de 2

Vejamos a raiz quadrada de 2 mais de perto.

Quando desenhamos um quadrado de tamanho "1",
qual é a distância na diagonal?

A resposta é a raiz quadrada de 2, qual é 1.4142135623730950. (etc)

Mas não é um número como 3, ou cinco terços, ou algo assim.

. na verdade nós não pode escreva a raiz quadrada de 2 usando uma proporção de dois números

. eu explico Por quê na página Is It Irrational? página,

. e então sabemos que é um número irracional


O exemplo mais simples é provavelmente o polinômio $ X ^ 8 + 1 $, e agora vou explicar o porquê.

É um fato que cada extensão abeliana finita de $ mathbb Q $ está contida em uma extensão ciclotômica $ mathbb Q ( zeta_m) $, $ zeta_m $ sendo uma raiz primitiva $ m $ -ésima da unidade. O grupo de Galois de $ mathbb Q ( zeta_m) $ sobre $ mathbb Q $ é o grupo de unidades do anel $ mathbb Z / m mathbb Z $. Com esta informação, você pode obter qualquer grupo abeliano finito como o quociente de $ ( mathbb Z / m mathbb Z) ^ vezes $, e assim uma extensão de $ mathbb Q $ com aquele grupo de Galois.

Agora, $ mathbb Z / 16 mathbb Z $ tem como unidades os números ímpares módulo $ 16 $, como um grupo multiplicativo, e você verifica facilmente se este tem a forma $ mathbb Z / 2 mathbb Z times mathbb Z / 4 mathbb Z $, sendo os geradores $ -1 $ e $ 5 $. O polinômio para a décima sexta raiz primitiva da unidade é $ (X ^ <16> -1) / (X ^ 8-1) = X ^ 8 + 1 $, e aí está.

Considere o campo de divisão de $ x ^ 5-1 $, $ x ^ 2-2 $ em $ mathbb$.

A) O grupo de Galois de um polinômio de grau $ n $ não precisa ser um subgrupo transitivo de $ S_n $. Por exemplo. o que é o grupo de Galois de extensão biquadrática? O que você tem em mente é que o grupo Galois de um polinômio irredutível é um subgrupo transitivo de $ S_n $, onde $ n $ é o grau do polinômio.

B) Por que um grupo de Galois de ordem 8 tem que ser um subgrupo de $ S_4 $? O que lhe diz que você não pode ter, digamos, um grupo cíclico de ordem 8 como um grupo de Galois (que então seria um subgrupo transitivo de $ S_8 $)?

Portanto, com essas observações em mente, talvez você deva fazer a pergunta precisa que pretendia fazer.

Antecipando qual sua pergunta poderia be: MAGMA me diz que o grupo gerado por $ (1, 4) (2, 5) (3, 8) (6, 7), (1, 5, 6, 8) (2, 7, 3, 4), text (1, 6) (2, 3) (4, 7) (5, 8) $ é um subgrupo transitivo de $ S_8 $ que é isomorfo a $ C_2 vezes C_4 $. Também me diz que não existem tais subgrupos em qualquer $ S_n $ para $ n $ menores que 8.


Assista o vídeo: O wielkościach x i y wiadomo, że są wprost proporcjonalne. (Outubro 2021).