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2.2: Relações de recorrência - Matemática


87. Dica online.

88. Explique por que o número de bijeções de um conjunto de elementos (n ) para um conjunto de elementos (n ) é igual a (n ) vezes o número de bijeções de um ( (n) - 1 )) - subconjunto de elementos para um ( (n - 1 )) - conjunto de elementos. O que isso tem a ver com o Problema 27?

Podemos resumir essas observações da seguinte maneira. Se (s_ {n} ) representa o número de subconjuntos de um conjunto de elementos (n ), então

[s_ {n} = 2s_ {n-1} ]

e se (b_ {n} ) representa o número de bijeções de um conjunto de n elementos para um conjunto de elementos (n ), então

[b_ {n} = nb_ {n-1} ]

As equações 2.1 e 2.2 são exemplos de equações de recorrência ou relações de recorrência. Uma relação de recorrência ou simplesmente uma recorrência é uma equação que expressa o (n ) ésimo termo de uma sequência (a_ {n} ) em termos de valores de (a_ {i} ) para (i

Outros exemplos de recorrências são

[a_ {n} = a_ {n} -1 + 7 ],

[a_ {n} = 3a_ {n} −1 + 2n ],

[a_ {n} = a_ {n} −1 + 3a_ {n} −2 ], e

[a_ {n} = a_ {1} a_ {n − 1} + a2a_ {n − 2} + dotsi + a_ {n − 1} a_ {1} ].

Uma solução para uma relação de recorrência é uma sequência que satisfaça a relação de recorrência. Assim, uma solução para a recorrência 2.1 é a sequência dada por (s_ {n} = 2 ^ {n} ). Observe que (s_ {n} = 17 cdot 2 ^ {n} ) e (s_ {n} = −13 cdot 2 ^ {n} ) também são soluções para a recorrência 2.1. O que isso mostra é que uma recorrência pode ter infinitas soluções. Em um determinado problema, geralmente existe uma solução que nos interessa. Por exemplo, se estamos interessados ​​no número de subconjuntos de um conjunto, então a solução para a recorrência 2.1 que nos interessa é (s_ {n} = 2 ^ {n} ). Observe que esta é a única solução mencionada que satisfaz (s_ {0} = 1 ).

89. Mostre que há apenas uma solução para a recorrência 2.1 que satisfaz (s_ {0} = 1 ).

90. Uma relação de recorrência de primeira ordem é aquela que expressa um em termos de (a_ {n − 1} ) e outras funções de (n ), mas que não inclui nenhum dos termos (a_ {i } ) para (i

  1. Quais das recorrências 2.1 a 2.6 são recorrências de primeira ordem?
  2. Mostre que há uma e apenas uma sequência (a_ {n} ) que é definida para cada inteiro não negativo (n ), satisfaz uma determinada recorrência de primeira ordem e satisfaz (a_ {0} = a ) para alguma constante fixa a. Dica online.

( rightarrow ) 91. O quebra-cabeça “Torres de Hanói” tem três hastes subindo de uma base retangular com (n ) anéis de tamanhos diferentes empilhados em ordem decrescente de tamanho em uma haste. Um movimento legal consiste em mover um anel de uma barra para outra, de modo que não caia em cima de um anel menor. Se (m_ {n} ) é o número de movimentos necessários para mover todos os anéis da barra inicial para outra barra de sua escolha, dê uma recorrência para (m_ {n} ). Dica online.

( rightarrow ) 92. Nós desenhamos (n ) círculos que se cruzam mutuamente no plano para que cada
um se cruza exatamente duas vezes e nenhum três se cruza no mesmo ponto. (Como exemplos, pense nos diagramas de Venn com dois ou três conjuntos que se cruzam mutuamente.) Encontre uma recorrência para o número (r_ {n} ) de regiões nas quais o plano é dividido por (n ) círculos. (Um círculo divide o plano em duas regiões, a interna e a externa.) Encontre
o número de regiões com (n ) círculos. Para quais valores de (n ) você pode desenhar um diagrama de Venn mostrando todas as possíveis interseções de (n ) conjuntos usando círculos para representar cada um dos conjuntos? Dica online.

93. Uma criança guarda dois dólares de sua mesada toda semana. Se ela começar com vinte dólares, dê uma recorrência para a quantia e dinheiro que ela tem depois de (n ) semanas e descubra quanto dinheiro ela tem no final de (n ) semanas.

94. Uma sequência que satisfaz uma recorrência da forma (a_ {n} = a_ {n − 1} + c ) é chamada de progressão aritmética. Encontre uma fórmula em termos do valor inicial (a_ {0} ) e a diferença comum (c ) para o termo an em uma progressão aritmética e prove que você está certo.

95. Uma pessoa que está ganhando $ 50.000 por ano recebe um aumento de $ 3.000 por ano por (n ) anos consecutivos. Encontre uma recorrência para a quantidade de dinheiro que a pessoa ganha em (n + 1 ) anos. Qual é a quantia total de dinheiro que a pessoa ganha em um período de (n + 1 ) anos? (Em (n + 1 ) anos, há (n ) aumentos.)

96. Uma série aritmética é uma sequência (s_ {n} ) igual à soma dos termos (a_ {0} ) por meio de uma progressão aritmética. Encontre uma recorrência para a soma (s_ {n} ) de uma progressão aritmética com valor inicial (a_ {0} ) e diferença comum (c ) (usando a linguagem do Problema 94). Encontre uma fórmula para o termo geral sn de uma série aritmética.

As recorrências, como as das Equações 2.1 a 2.5, são chamadas de recorrências lineares, assim como as recorrências dos Problemas 91 e 92. A recorrência linear é aquele em que an é expresso como uma soma das funções de (n ) vezes os valores de (alguns dos termos) (a_ {i} ) para (i

97. Classifique as recorrências nas Equações 2.1 a 2.5 e Problemas 91 e 92 de acordo com se são ou não coeficientes constantes, e se são ou não homogêneos.

( bullet ) 98. Como você pode ver no Problema 97, algumas sequências interessantes satisfazem as recorrências lineares de primeira ordem, incluindo muitas que têm coeficientes constantes, têm termo de condução constante ou são homogêneas. Encontre uma fórmula em termos de (b, d, a_ {0} ) e (n ) para o termo geral an de uma sequência que satisfaça um coeficiente constante de recorrência linear de primeira ordem (a_ {n} = ba_ { n − 1} + d ) e provar que você está correto. Se sua fórmula envolver um somatório, tente substituir o somatório por uma expressão mais compacta. Dica online.

Uma sequência que satisfaz uma recorrência da forma (a_ {n} = ba_ {n − 1} ) é chamada de progressão geométrica. Assim, a sequência que satisfaz a Equação 2.1, a recorrência para o número de subconjuntos de um conjunto de elementos (n ), é um exemplo de progressão geométrica. De sua solução para o Problema 98, uma progressão geométrica tem a forma (a_ {n} = a_ {0} b ^ {n} ). Em sua solução para o Problema 98, você pode ter que lidar com a soma de uma progressão geométrica em notação ligeiramente diferente, a saber ( sum ^ {n-1} _ {i = 0} db ^ {i} ). Uma soma desta forma é chamada de série geométrica (finita).

99. Faça este problema apenas se sua resposta final (até agora) para o Problema 98 contiver
a soma ( sum ^ {n-1} _ {i = 0} db ^ {i} ).

  1. Expanda ((1 - x) (1 + x) ). Expanda ((1 - x) (1 + x + x ^ {2}) ). Expanda ((1 - x) (1 + x + x ^ {2} + x ^ {3}) ).
  2. O que você espera que ((1 - b) sum ^ {n-1} _ {i = 0} db ^ {i} ) seja? Que fórmula para ( sum ^ {n-1} _ {i = 0} db ^ {i} ) isso dá a você? Prove que você está correto.

No Problema 98 e talvez 99, você provou um teorema importante. Embora o teorema não tenha um nome, a fórmula que afirma é chamada de soma de uma série geométrica finita.

Teorema 2 (Se b neq 1 e a_ {n} = ba_ {n − 1} + d, então a_ {n} = a_ {0} b ^ {n} + d frac {1-b ^ {n}} {1-b}, então a_ {n} = a_ {0} + nd ).

Corolário 1 (Se b neq 1, então sum {n-1} {i = 0} b ^ {i} = frac {1-b ^ {n}} {1-b}. Se b = 1, soma {n-1} {i-0} b ^ {i} = n ).


Conteúdo

UMA Relação de recorrência é uma equação que expressa cada elemento de uma sequência em função das anteriores. Mais precisamente, no caso em que apenas o elemento imediatamente anterior está envolvido, uma relação de recorrência tem a forma

É fácil modificar a definição para obter sequências a partir do termo de índice 1 ou superior.

Isso define a relação de recorrência de primeira ordem. Uma relação de recorrência de pedido k tem a forma

Edição Fatorial

O fatorial é definido pela relação de recorrência

e a condição inicial

Mapa logístico Editar

Um exemplo de relação de recorrência é o mapa logístico:

com uma dada constante r dado o termo inicial x0 cada termo subsequente é determinado por esta relação.

Resolver uma relação de recorrência significa obter uma solução de forma fechada: uma função não recursiva de n.

Edição de números de Fibonacci

A recorrência da ordem dois satisfeita pelos números de Fibonacci é o arquétipo de uma relação de recorrência linear homogênea com coeficientes constantes (ver abaixo). A sequência de Fibonacci é definida usando a recorrência

Explicitamente, a recorrência produz as equações

Obtemos a sequência de números de Fibonacci, que começa

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, .

A recorrência pode ser resolvida pelos métodos descritos abaixo, gerando a fórmula de Binet, que envolve potências das duas raízes do polinômio característico t 2 = t + 1 a função geradora da sequência é a função racional

Coeficientes binomiais Editar

com os casos básicos (n 0) = (n n) = 1 < displaystyle < tbinom <0>> = < tbinom > = 1>. Usar esta fórmula para calcular os valores de todos os coeficientes binomiais gera uma matriz infinita chamada triângulo de Pascal. Os mesmos valores também podem ser calculados diretamente por uma fórmula diferente que não é uma recorrência, mas que requer multiplicação e não apenas adição para calcular: (n k) = n! k! (n - k)! . < displaystyle < binom > = < frac >.>

que pode ser simplificado para

Mais genericamente: o k-ésima diferença da sequência uman escrito como Δ k (a n) < displaystyle Delta ^(uma_)> é definido recursivamente como

(A sequência e suas diferenças estão relacionadas por uma transformação binomial.) A definição mais restritiva de equação de diferença é uma equação composta por uman e os seus k ª diferenças. (Uma definição mais ampla amplamente utilizada trata "equação de diferença" como sinônimo de "relação de recorrência". Veja, por exemplo, equação de diferença racional e equação de diferença de matriz.)

Na verdade, é fácil ver que,

Assim, uma equação de diferença pode ser definida como uma equação que envolve uman, uman−1, uman−2 etc. (ou de forma equivalente uman, uman+1, uman+2 etc.)

Como as equações de diferença são uma forma muito comum de recorrência, alguns autores usam os dois termos alternadamente. Por exemplo, a equação da diferença

é equivalente à relação de recorrência

Assim, pode-se resolver muitas relações de recorrência reformulando-as como equações de diferença e, em seguida, resolvendo a equação de diferença, de forma análoga a como se resolve equações diferenciais ordinárias. No entanto, os números de Ackermann são um exemplo de relação de recorrência que não mapeia para uma equação de diferença, muito menos pontos na solução de uma equação diferencial.

Veja o cálculo da escala de tempo para uma unificação da teoria das equações diferenciais com a das equações diferenciais.

As equações de soma se relacionam a equações de diferença como equações integrais se relacionam a equações diferenciais.

Das sequências às grades Editar

As relações de recorrência unidimensionais ou de variável única são sobre sequências (ou seja, funções definidas em grades unidimensionais). Relações de recorrência multi-variáveis ​​ou n-dimensionais são sobre grades n-dimensionais. Funções definidas em n-grids também podem ser estudadas com equações de diferença parcial. [2]

Resolvendo relações homogêneas de recorrência linear com coeficientes constantes Editar

Raízes da edição polinomial característica

Uma ordem-d recorrência linear homogênea com coeficientes constantes é uma equação da forma

onde o d coeficientes ceu (para todos eu) são constantes e c d ≠ 0 < displaystyle c_ neq 0>.

Uma sequência recursiva constante é uma sequência que satisfaz uma recorrência desta forma. Existem d graus de liberdade para soluções para esta recorrência, ou seja, os valores iniciais a 0, ..., a d - 1 < displaystyle a_ <0>, dots, a_> pode ser considerado qualquer valor, mas a recorrência determina a sequência de maneira exclusiva.

Os mesmos coeficientes produzem o polinômio característico (também "polinômio auxiliar")

cujo d raízes desempenham um papel crucial em encontrar e compreender as sequências que satisfazem a recorrência. Se as raízes r1, r2,. são todos distintos, então cada solução para a recorrência assume a forma

onde os coeficientes keu são determinados para se adequar às condições iniciais da recorrência. Quando as mesmas raízes ocorrem várias vezes, os termos nesta fórmula correspondentes à segunda e às ocorrências posteriores da mesma raiz são multiplicados por potências crescentes de n. Por exemplo, se o polinômio característico pode ser fatorado como (xr) 3, com a mesma raiz r ocorrendo três vezes, então a solução tomaria a forma

Assim como os números de Fibonacci, outras sequências recursivas constantes incluem os números de Lucas e as sequências de Lucas, os números de Jacobsthal, os números de Pell e, mais geralmente, as soluções para a equação de Pell.

Para o pedido 1, a recorrência

tem a solução uman = r n com uma0 = 1 e a solução mais geral é uman = kr n com uma0 = k. O polinômio característico igualado a zero (a equação característica) é simplesmente tr = 0.

Soluções para tais relações de recorrência de ordem superior são encontradas por meios sistemáticos, muitas vezes usando o fato de que uman = r n é uma solução para a recorrência exatamente quando t = r é uma raiz do polinômio característico. Isso pode ser abordado diretamente ou usando funções geradoras (séries de potências formais) ou matrizes.

Considere, por exemplo, uma relação de recorrência do formulário

Quando é que tem uma solução da mesma forma geral que uman = r n ? Substituindo esta suposição (ansatz) na relação de recorrência, descobrimos que

deve ser verdade para tudo n & gt 1.

Dividindo por r n-2, obtemos que todas essas equações se reduzem à mesma coisa:

que é a equação característica da relação de recorrência. Resolva para r para obter as duas raízes λ1, λ2: essas raízes são conhecidas como raízes características ou autovalores da equação característica. Diferentes soluções são obtidas dependendo da natureza das raízes: Se essas raízes são distintas, temos a solução geral

enquanto se eles forem idênticos (quando UMA 2 + 4B = 0), temos

Esta é a solução mais geral para as duas constantes C e D pode ser escolhido com base em duas condições iniciais uma0 e uma1 para produzir uma solução específica.

No caso de autovalores complexos (o que também dá origem a valores complexos para os parâmetros da solução C e D), o uso de números complexos pode ser eliminado reescrevendo a solução na forma trigonométrica. Nesse caso, podemos escrever os autovalores como λ 1, λ 2 = α ± β i. < displaystyle lambda _ <1>, lambda _ <2> = alpha pm beta i.> Então, pode-se mostrar que

pode ser reescrito como [4]: ​​576-585

Aqui E e F (ou equivalente, G e δ) são constantes reais que dependem das condições iniciais. Usando

pode-se simplificar a solução dada acima como

Onde uma1 e uma2 são as condições iniciais e

Desta forma, não há necessidade de resolver para λ1 e λ2.

Em todos os casos - autovalores reais distintos, autovalores reais duplicados e autovalores conjugados complexos - a equação é estável (ou seja, a variável uma converge para um valor fixo [especificamente, zero]) se e somente se Ambas os autovalores são menores do que um em valor absoluto. Neste caso de segunda ordem, esta condição nos autovalores pode ser mostrada [5] como sendo equivalente a |UMA| & lt 1 - B & lt 2, que é equivalente a |B| & lt 1 e |UMA| & lt 1 - B.

A equação no exemplo acima era homogênea, pois não havia termo constante. Se alguém começa com a recorrência não homogênea

com termo constante K, isso pode ser convertido em uma forma homogênea da seguinte forma: O estado estacionário é encontrado definindo bn = bn−1 = bn−2 = b* obter

Em seguida, a recorrência não homogênea pode ser reescrita de forma homogênea como

que pode ser resolvido como acima.

A condição de estabilidade declarada acima em termos de valores próprios para o caso de segunda ordem permanece válida para o caso geral n Caso da ordem: a equação é estável se e somente se todos os autovalores da equação característica forem menores que um em valor absoluto.

Dada uma relação de recorrência linear homogênea com coeficientes de ordem constantes d, deixar p(t) ser o polinômio característico (também "polinômio auxiliar")

tal que cada ceu corresponde a cada ceu na relação de recorrência original (veja a forma geral acima). Suponha que λ seja uma raiz de p(t) tendo multiplicidade r. Isso quer dizer que (t−λ) r divide p(t) As duas propriedades a seguir são válidas:

Como resultado deste teorema, uma relação de recorrência linear homogênea com coeficientes constantes pode ser resolvida da seguinte maneira:

  1. Encontre o polinômio característico p(t).
  2. Encontre as raízes de p(t) contando a multiplicidade.
  3. Escreva uman como uma combinação linear de todas as raízes (contando a multiplicidade como mostrado no teorema acima) com coeficientes desconhecidos beu. an = (b 1 λ 1 n + b 2 n λ 1 n + b 3 n 2 λ 1 n + ⋯ + brnr - 1 λ 1 n) + ⋯ + (bd - q + 1 λ ∗ n + ⋯ + bdnq - 1 λ ∗ n) < displaystyle a_= left (b_ <1> lambda _ <1> ^+ b_ <2> n lambda _ <1> ^+ b_ <3> n ^ <2> lambda _ <1> ^+ cdots + b_n ^ lambda _ <1> ^ direita) + cdots + esquerda (b_ lambda _ <*> ^+ cdots + b_n ^ lambda _ <*> ^ right)> Esta é a solução geral para a relação de recorrência original. (q é a multiplicidade de λ*)
  4. Equacione cada um a 0, a 1,…, a d < displaystyle a_ <0>, a_ <1>, dots, a_> da parte 3 (conectando n = 0, . d na solução geral da relação de recorrência) com os valores conhecidos a 0, a 1,…, a d < displaystyle a_ <0>, a_ <1>, dots, a_> da relação de recorrência original. No entanto, os valores uman da relação de recorrência original usada geralmente não tem que ser contígua: excluindo casos excepcionais, apenas d deles são necessários (ou seja, para uma relação de recorrência linear homogênea original de ordem 3, pode-se usar os valores uma0, uma1, uma4) Este processo irá produzir um sistema linear de d equações com d desconhecidos. Resolvendo essas equações para os coeficientes desconhecidos b 1, b 2,…, b d < displaystyle b_ <1>, b_ <2>, dots, b_> da solução geral e conectar esses valores de volta à solução geral produzirá a solução particular para a relação de recorrência original que se ajusta às condições iniciais da relação de recorrência original (bem como todos os valores subsequentes a 0, a 1, a 2, ... < displaystyle a_ <0>, a_ <1>, a_ <2>, dots> da relação de recorrência original).

O método para resolver equações diferenciais lineares é semelhante ao método acima - a "suposição inteligente" (ansatz) para equações diferenciais lineares com coeficientes constantes é e λx onde λ é um número complexo que é determinado substituindo a estimativa na equação diferencial.

Isto não é uma coincidência. Considerando a série de Taylor da solução para uma equação diferencial linear:

pode-se ver que os coeficientes da série são dados pelo n derivada de f(x) avaliado no ponto uma. A equação diferencial fornece uma equação de diferença linear relacionando esses coeficientes.

Essa equivalência pode ser usada para resolver rapidamente a relação de recorrência dos coeficientes na solução de série de potências de uma equação diferencial linear.

A regra prática (para equações em que o polinômio que multiplica o primeiro termo é diferente de zero em zero) é que:

Exemplo: A relação de recorrência para os coeficientes da série de Taylor da equação:

n (n - 1) f [n + 1] + 3 nf [n + 2] - 4 f [n + 3] - 3 nf [n + 1] - f [n + 2] + 2 f [n] = 0

- 4 f [n + 3] + 2 n f [n + 2] + n (n - 4) f [n + 1] + 2 f [n] = 0.

Este exemplo mostra como problemas geralmente resolvidos usando o método de solução de série de potências ensinado em classes de equações diferenciais normais podem ser resolvidos de uma maneira muito mais fácil.

Exemplo: A equação diferencial

A conversão da equação diferencial em uma equação de diferença dos coeficientes de Taylor é

a f [n + 2] + b f [n + 1] + c f [n] = 0.

É fácil ver que o nderivada de e machado avaliado em 0 é uma n .

Resolução via álgebra linear Editar

Uma sequência linearmente recursiva y de ordem n

Expandido com n-1 identidades do tipo y n - k = y n - k < displaystyle y_= y_>, este n-a equação de ordem é traduzida em um sistema de equação de diferença de matriz de n equações lineares de primeira ordem,

Esta descrição realmente não difere do método geral acima, porém é mais sucinta. Também funciona bem para situações como

onde há várias recorrências vinculadas. [6]

Resolvendo com z-transformações Editar

Certas equações de diferença - em particular, equações de diferença de coeficiente constante linear - podem ser resolvidas usando transformadas z. O z-transforms são uma classe de transformações integrais que levam a manipulações algébricas mais convenientes e soluções mais diretas. Há casos em que obter uma solução direta seria quase impossível, mas resolver o problema por meio de uma transformada integral cuidadosamente escolhida é simples.

Resolvendo relações de recorrência linear não homogêneas com coeficientes constantes Editar

Se a recorrência for não homogênea, uma solução particular pode ser encontrada pelo método dos coeficientes indeterminados e a solução é a soma da solução do homogêneo e das soluções particulares. Outro método para resolver uma recorrência não homogênea é o método de diferenciação simbólica. Por exemplo, considere a seguinte recorrência:

Esta é uma recorrência não homogênea. Se substituirmos nn+1, obtemos a recorrência

Subtraindo a recorrência original desta equação resulta

Esta é uma recorrência homogênea, que pode ser resolvida pelos métodos explicados acima. Em geral, se uma recorrência linear tem a forma

é a função geradora da não homogeneidade, a função geradora

da recorrência não homogênea

com coeficientes constantes ceu é derivado de

Se P(x) é uma função geradora racional, UMA(x) também é um. O caso discutido acima, onde pn = K é uma constante, surge como um exemplo desta fórmula, com P(x) = K/(1−x) Outro exemplo, a recorrência a n = 10 a n - 1 + n < displaystyle a_= 10a_+ n> com inomogeneidade linear, surge na definição dos números esquizofrênicos. A solução de recorrências homogêneas é incorporada como p = P = 0.

Resolvendo relações de recorrência não homogêneas de primeira ordem com coeficientes variáveis ​​Editar

Além disso, para a relação de recorrência linear não homogênea de primeira ordem geral com coeficientes variáveis:

há também um bom método para resolvê-lo: [7]

Se aplicarmos a fórmula a n + 1 = (1 + h f n h) a n + h g n h < displaystyle a_= (1 + hf_)uma_+ hg_> e tomando o limite h → 0, obtemos a fórmula para equações diferenciais lineares de primeira ordem com coeficientes variáveis, a soma se torna uma integral e o produto se torna a função exponencial de uma integral.

Resolvendo relações gerais de recorrência linear homogênea Editar

Muitas relações homogêneas de recorrência linear podem ser resolvidas por meio da série hipergeométrica generalizada. Casos especiais desses levam a relações de recorrência para os polinômios ortogonais e muitas funções especiais. Por exemplo, a solução para

a série hipergeométrica confluente. As sequências que são as soluções de equações de diferenças lineares com coeficientes polinomiais são chamadas de P-recursivas. Para essas equações de recorrência específicas, são conhecidos algoritmos que encontram soluções polinomiais, racionais ou hipergeométricas.

Resolvendo equações de diferença racionais de primeira ordem Editar

Estabilidade de recorrências lineares de ordem superior Editar

A recorrência linear da ordem d,

A recorrência é estável, o que significa que as iterações convergem assintoticamente para um valor fixo, se e somente se os valores próprios (ou seja, as raízes da equação característica), sejam reais ou complexos, são todos menores que a unidade em valor absoluto.

Estabilidade de recorrências de matriz linear de primeira ordem Editar

Na equação de diferença da matriz de primeira ordem

com vetor de estado x e matriz de transição UMA, x converge assintoticamente para o vetor de estado estacionário x* se e somente se todos os valores próprios da matriz de transição UMA (seja real ou complexo) têm um valor absoluto que é menor que 1.

Estabilidade de recorrências não lineares de primeira ordem Editar

Considere a recorrência não linear de primeira ordem

Esta recorrência é localmente estável, o que significa que converge para um ponto fixo x* de pontos suficientemente próximos de x*, se a inclinação de f na vizinhança de x* é menor do que a unidade em valor absoluto: ou seja,

Uma recorrência não linear pode ter vários pontos fixos, caso em que alguns pontos fixos podem ser localmente estáveis ​​e outros localmente instáveis ​​para f dois pontos fixos adjacentes não podem ser ambos localmente estáveis.

Uma relação de recorrência não linear também pode ter um ciclo de período k para k & gt 1. Tal ciclo é estável, o que significa que atrai um conjunto de condições iniciais de medida positiva, se a função composta

com f aparecendo k times é localmente estável de acordo com o mesmo critério:

Onde x* é qualquer ponto do ciclo.

Em uma relação de recorrência caótica, a variável x permanece em uma região limitada, mas nunca converge para um ponto fixo ou um ciclo de atração, quaisquer pontos fixos ou ciclos da equação são instáveis. Consulte também mapa logístico, transformação diádica e mapa de barraca.

Ao resolver uma equação diferencial ordinária numericamente, normalmente se encontra uma relação de recorrência. Por exemplo, ao resolver o problema do valor inicial

com o método de Euler e um tamanho de passo h, calcula-se os valores

Sistemas de equações diferenciais lineares de primeira ordem podem ser discretizados exatamente analiticamente usando os métodos mostrados no artigo de discretização.

Biologia Editar

Algumas das equações de diferença mais conhecidas têm suas origens na tentativa de modelar a dinâmica populacional. Por exemplo, os números de Fibonacci já foram usados ​​como modelo para o crescimento de uma população de coelhos.

O mapa logístico é usado diretamente para modelar o crescimento populacional ou como ponto de partida para modelos mais detalhados de dinâmica populacional. Nesse contexto, as equações de diferenças acopladas são frequentemente usadas para modelar a interação de duas ou mais populações. Por exemplo, o modelo de Nicholson-Bailey para uma interação parasita-hospedeiro é dado por

com Nt representando os hosts, e Pt os parasitas, às vezes t.

Equações de integrodiferença são uma forma de relação de recorrência importante para a ecologia espacial. Estas e outras equações de diferença são particularmente adequadas para modelar populações univoltinas.

Ciência da computação Editar

As relações de recorrência também são de fundamental importância na análise de algoritmos. [8] [9] Se um algoritmo é projetado de forma a quebrar um problema em subproblemas menores (dividir e conquistar), seu tempo de execução é descrito por uma relação de recorrência.

Um exemplo simples é o tempo que um algoritmo leva para encontrar um elemento em um vetor ordenado com n < displaystyle n> elementos, no pior caso.

Um algoritmo ingênuo pesquisará da esquerda para a direita, um elemento de cada vez. O pior cenário possível é quando o elemento necessário é o último, então o número de comparações é n < displaystyle n>.

Um algoritmo melhor é chamado de pesquisa binária. No entanto, requer um vetor classificado. Ele verificará primeiro se o elemento está no meio do vetor. Caso contrário, ele verificará se o elemento do meio é maior ou menor que o elemento procurado. Nesse ponto, metade do vetor pode ser descartada e o algoritmo pode ser executado novamente na outra metade. O número de comparações será dado por

Processamento de sinal digital Editar

No processamento de sinal digital, as relações de recorrência podem modelar feedback em um sistema, onde as saídas de uma vez se tornam entradas para o tempo futuro. Assim, eles surgem em filtros digitais de resposta a impulso infinito (IIR).

Por exemplo, a equação para um filtro comb IIR "feedforward" de atraso T é:

Economia Editar

As relações de recorrência, especialmente as relações de recorrência linear, são amplamente utilizadas na economia teórica e empírica. [10] [11] Em particular, na macroeconomia pode-se desenvolver um modelo de vários setores amplos da economia (o setor financeiro, o setor de bens, o mercado de trabalho, etc.) em que a ação de alguns agentes depende de variáveis ​​defasadas. O modelo seria então resolvido para os valores atuais das variáveis-chave (taxa de juros, PIB real, etc.) em termos de valores passados ​​e atuais de outras variáveis.


Questionários de tópicos

Esses questionários de revisão passam por perguntas em Relações de Recorrência.

Relações de recorrência - Revisão do questionário 1

Os questionários de tópico a seguir fazem parte do Relações de Recorrência tema. Cada questionário de tópico contém 4-6 perguntas.

Como usar:

  1. Aprenda a começar as perguntas - se você não tem absolutamente nenhuma ideia por onde começar ou está bloqueado em certas questões, use as soluções totalmente trabalhadas
  2. Prática Adicional - teste seus conhecimentos e execute estes questionários de tópicos para confirmar o aprendizado e a compreensão
  3. Revisão - Se você tem um questionário ou teste futuro na escola, analise rapidamente os questionários de tópicos como uma revisão rápida

Matemática Discreta para Ciência da Computação

Antes de definir a terminologia, vamos experimentar os seguintes problemas. Exceto quando direcionado, você deve escrever o código para realizar os cálculos, então nos concentramos nos resultados ao invés dos cálculos.

Ponto de verificação 5.7.1.

O seguinte é chamado de radical continuado.

  1. Avalie usando a tecnologia (a_1 = sqrt <2> ) para produzir uma aproximação.
  2. Pegue esse resultado e calcule (a_2 = sqrt <2 + a_1>. )
  3. Pegue esse resultado e calcule (a_3 = sqrt <2 + a_2>. )
  4. Repita mais sete (7) vezes.
  5. Existe um padrão para os números? O que você acha que acontecerá se continuar este processo?
Ponto de verificação 5.7.2.

O seguinte é chamado de fração contínua.

  1. Let (a_1 = 1 text <.> )
  2. Calcular manualmente (a_2 = displaystyle frac <1> <1 + a_1>. )
  3. Calcular manualmente (a_3 = displaystyle frac <1> <1 + a_2>. )
  4. Repita mais sete (7) vezes.
  5. Existe um padrão para os números? O que você acha que acontecerá se continuar este processo?
  6. Peça ao instrutor para fornecer um número para comparar.

Às vezes, calcular diretamente o valor de uma função pode ser difícil. Nos exemplos acima, cada valor da função é baseado no anterior. O primeiro exemplo foi (f (n) = sqrt <2 + f (n-1)>. ) O segundo exemplo foi (g (n) = frac <1> <1 + g (n-1 )>. ) Isso é conhecido como definição.

Subseção 5.7.2 Relações de recorrência

Exemplo 5.7.3. Sequência de Fibonacci.

Um exemplo famoso vem do Liber Abaci de Fibonacci.

No primeiro mês havia um par de coelhos. No segundo mês, ainda havia um par de coelhos. A partir do terceiro mês e continuando a cada mês daí em diante, o número de pares de coelhos é a soma dos dois meses anteriores. Assim, no terceiro mês, há (1 + 1 = 2 ) pares de coelhos. No quarto mês, há (1 + 2 = 3 ) pares de coelhos. Isso produz a seguinte seqüência.

A sequência de Fibonacci em notação padrão é

Exemplo 5.7.4. Contando: Strings restritas.

Também é possível contar usando funções recursivas. Considere o número de palavras do alfabeto ( <) a, b, c, d, e (> ) sem dois as consecutivos. Para palavras de comprimento um, não há restrições, portanto, existem 5. Para palavras de comprimento dois, todas as combinações, exceto 'aa', são aceitáveis. Portanto, existem (25-1 = 24 ) palavras de comprimento dois. Para palavras de comprimento três, todas as combinações, exceto ‘aaa’, ‘aaX,’ e ‘Xaa’ são permitidas. Isso remove (1 + 4 + 4 = 9 ) palavras, deixando (5 ^ 3-9 = 116 ) palavras aceitáveis.

Para palavras de comprimento mais longo (n text <,> ) note que remover a última letra produz uma palavra de comprimento aceitável (n-1. ) Anexando b, c, d, e ao final deste comprimento (n-1 ) palavras produzem outra palavra aceitável. Isso constrói (4a_) palavras de comprimento aceitáveis ​​ (n. )

As únicas palavras às quais um 'a' pode ser anexado são aquelas que terminam em b, c, d ou e. Estes poderiam ter sido anexados a qualquer palavra de comprimento (n-2. ) Assim, anexar 'a' constrói um (4a_.)

Assim, o número total de palavras aceitáveis ​​de comprimento (n ) é

Embora seja possível produzir uma função que forneça o (n ) o termo, isso geralmente não é fácil. Para relações de recorrência lineares, a técnica demonstrada aqui sempre funcionará.

Encontre uma forma fechada para a relação de recorrência

Subsection 5.7.3 Practice

Checkpoint 5.7.5 .

Guido is superstitious and will not take food from two, adjacent bins at a buffet. If the buffet is a line having (n) bins each containing distinct food, how many different combinations of food can he choose? Note he can eat as many items as he wants.

Checkpoint 5.7.6 .

Guido walks up stairs taking one or two steps at a time. Find a recursive formula for the number of ways he could end up at step (n.) Note he starts at step 0 (not on the stairs).


Higher Maths Resources

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1. About Recurrence Relations

To learn about Recurrence Relations please click on the Sequences Theory (HSN) link. Please also find in Sections 2 & 3 below video 1 – Introduction to Recurrence Relations, video 2 – Limit of a Sequence , video 3 – Recurrence Relation from a Sequence, mind maps (see under Sequences) and worksheets on this topic to help your understanding. The Essential Skills 15 & 24 worksheets, along with worksheets including actual SQA Exam Questions, are highly recommended.

If you would like more help understanding Recurrence Relations there are clear, easy to follow, step-by-step worked solutions to dozens of Higher Maths Past & Practice exam questions on all topics in the Online Study Pack. Please give yourself every opportunity for success, speak with your parents, and subscribe to the exam focused Online Study Pack today.

Recurrence Relations

  • The two equations above mean exactly the same thing
  • If – 1 < a < 1 then a linear relationship will have a limit

2. Sequences – Worksheets

Thanks to the SQA and authors for making the excellent resources below freely available. Please use regularly for revision prior to assessments, tests and the final exam. Clear, easy to follow, step-by-step worked solutions to all worksheets below are available in the Online Study Pack.

Worksheets
__________________________
Topic
__________________________
Respostas
________
Essential Skills Exam Practice 10Recurrence RelationsRespostas
Essential Skills 15Limit of a Recurrence RelationRespostas
Essential Skills 24Recurrence: Consecutive TermsRespostas
Higher Exam QuestionsRecurrence Relations - 1Respostas
Higher Exam QuestionsRecurrence Relations - 2Respostas

3. Sequences – Videos, Theory Guides & Mind Maps

Thanks to the authors for making the excellent resources below freely available. Please use regularly for revision prior to assessments, tests and the final exam.

Larbert Maths Videos
__________________________________
maths180.com Videos
____________________
HSN Theory Guide
__________________
Mind Maps
____________________
Introduction to Recurrence RelationsSequencesSequencesSequences (HSN)
Limit of a Sequence Recurrence Relations 1
Recurrence Relation from a Sequence Recurrence Relations 2

4. Higher Maths Essential Skills

Thanks to Mr G Rennie for making the excellent resources below freely available. The Essential Skills Worksheets can be used for general revision, homework, consolidation of a topic or preparation for assessments, tests and exams. Clear, easy to follow, step-by-step worked solutions to all 33 Essential Skills worksheets below are available in the Online Study Pack.

Essential Skills
__________________
Topic
________________________________
Respostas
________
Essential Skills
_______________
Topic
_________________________
Respostas
___________
Exam Practice BookletExam Practice Booklet, With AnswersRespostasEssential Skills 17Graphs of Derived FunctionsRespostas
Essential Skills 1Median of a TriangleRespostasEssential Skills 18Logarithmic EquationsRespostas
Essential Skills 2Perpendicular BisectorsRespostasEssential Skills 19Proving Trig IdentitiesRespostas
Essential Skills 3Altitude of a TriangleRespostasEssential Skills 20Related GraphsRespostas
Essential Skills 4Equation of a Tangent to a CurveRespostasEssential Skills 21Scalar ProductRespostas
Essential Skills 5Stationary PointsRespostasEssential Skills 22Further DifferentiationRespostas
Essential Skills 6Quadratic InequalitiesRespostasEssential Skills 23Further IntegrationRespostas
Essential Skills 7Completando o quadradoRespostasEssential Skills 24Recurrence: Consecutive TermsRespostas
Essential Skills 8Tangent to a CircleRespostasEssential Skills 25Differential EquationsRespostas
Essential Skills 9Intersection of Lines & CirclesRespostasEssential Skills 26Definite IntegralsRespostas
Essential Skills 10Fórmula da SeçãoRespostasEssential Skills 27Composite FunctionsRespostas
Essential Skills 11Trig FormulaRespostasEssential Skills 28Inverse FunctionsRespostas
Essential Skills 12Related AnglesRespostasEssential Skills 29Angle between Line & x-axisRespostas
Essential Skills 13Trig Equations (Double Angle Formula)RespostasEssential Skills 30Angle between VectorsRespostas
Essential Skills 14Synthetic DivisionRespostasEssential Skills 31Natural LogarithmsRespostas
Essential Skills 15Limit of a Recurrence RelationRespostasEssential Skills 32Logs: Connecting 2 VariablesRespostas
Essential Skills 16The Wave FunctionRespostasEssential Skills 33Using the DiscriminantRespostas

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5. Higher Maths Exam Worksheets by Topic

Thanks to the SQA and authors for making the excellent resources below freely available. The worksheets by topic are a fantastic study resource since they are actual past paper exam questions. Clear, easy to follow, step-by-step worked solutions to all new CfE Higher Maths Questions below are available in the Online Study Pack.

Number
______
Topic
___________________________
Respostas
____________
Number
______
Topic
___________________________
Respostas
_____________
1Circles Respostas21PolynomialsRespostas
2Circles (Old Higher)Ans Included22Polynomials (Old Higher)Ans Included
3Differentiation - 1Respostas23QuadraticsRespostas
4Differentiation - 2Respostas24Quadratics (Old Higher)Ans Included
5Differentiation (Optimisation)Respostas25Recurrence Relations - 1Respostas
6Differentiation (Old Higher)Ans Included26Recurrence Relations - 2Respostas
7Exponentials & LogsRespostas27Recurrence Relations (Old Higher)Ans Included
8Exponentials & Logs (Old Higher)Ans Included28Straight Lines - 1Respostas
9FunçõesRespostas29Straight Lines - 2Respostas
10Functions & GraphsRespostas30Straight Lines (Old Higher)Ans Included
11Functions (Old Higher)Ans Included31Trig Formulae & Equations - 1Respostas
12Further CalculusRespostas32Trig Formulae & Equations - 2Respostas
13Further Calculus (Old Higher)Ans Included33Trig Addition Formula (Old Higher)Ans Included
14Graphs of FunctionsRespostas34Trig Graphs & Eqns (Old Higher)Ans Included
15Graphs of Functions (Old Higher)Ans Included35VectorsRespostas
16Integration - 1Respostas36Vectors (Old Higher)Ans Included
17Integration - 2Respostas37Wave FunctionRespostas
18Integration - Area under a CurveRespostas38Wave Function (Old Higher)Ans Included
19Integration (Old Higher)Ans Included39Prelim Revision SpecialRespostas
20Polynomials & QuadraticsRespostas

6. Higher Maths Past & Practice Papers by Topic

Thanks to the SQA for making the excellent resources below freely available. Questions and answers have been split up by topic for your ease of reference. Clear, easy to follow, step-by-step worked solutions to all questions below are available in the Online Study Pack.

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7. Higher Maths Videos, Theory Guides, Mind Maps & Worksheets

Dozens of Higher Maths Videos provide quality lessons by topic. Also included are excellent Theory Guides, Mind Maps and Revision Worksheets with actual Higher Maths exam questions. Please click on our new Higher Maths Videos & Worksheets by topic dedicated page.

8. Higher Maths Past & Practice Papers

Thanks to the SQA for making the excellent resources below freely available. Clear, easy to follow, step-by-step worked solutions to all CfE Higher Papers below are available in the Online Study Pack.

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9. 40 Non-Calculator Higher Maths Questions & Answers

Thanks to the SQA and authors for making the excellent resources below freely available. Start with these questions to help build your confidence. Once finished, you may like to move onto the 200 Higher Maths Exam Questions in the next section checking your answers as you go. If stuck, always ask your teacher for help as soon as possible. Clear, easy to follow, step-by-step worked solutions to all 40 questions below are available in the Online Study Pack.

Exam Questions
_______________________
Respostas
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Sheet A - 10 QuestionsRespostas
Sheet B - 10 QuestionsRespostas
Sheet C - 10 QuestionsRespostas
Sheet D - 10 QuestionsRespostas
Whole Booklet for PrintingRespostas

10. 200 Higher Maths Questions & Answers

Thanks to the SQA and authors for making the excellent resources below freely available. Please try to do as many questions as possible, checking your answers as you go. If stuck, always ask your teacher for help as soon as possible. Clear, easy to follow, step-by-step worked solutions to all 200 questions below are available in the Online Study Pack.

Exam Questions
_____________________
Respostas
___________
Exam Questions 1 - 20Respostas
Exam Questions 21 - 40Respostas
Exam Questions 41 - 60Respostas
Exam Questions 61 - 80Respostas
Exam Questions 81 - 100Respostas
Exam Questions 101 - 120Respostas
Exam Questions 121 - 140Respostas
Exam Questions 141 - 160Respostas
Exam Questions 161 - 180Respostas
Exam Questions 181 - 200Respostas
Whole Booklet for PrintingRespostas

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11. Practice Exam Papers A to H – Answers Included

Thanks to the SQA and Larkhall Academy for making the excellent resources below freely available. Please use regularly for revision prior to assessments, tests and the final exam. Clear, easy to follow, step-by-step worked solutions to Practice Papers A to E are available in the Online Study Pack.

Practice Paper
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Paper 1
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Paper 2
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Papers 1 & 2
_____________________
Respostas
_____________
Paper APaper 1Paper 2Papers 1 & 2Respostas
Paper BPaper 1Paper 2Papers 1 & 2Respostas
Paper CPaper 1Paper 2Papers 1 & 2Respostas
Paper DPaper 1Paper 2Papers 1 & 2Respostas
Paper EPaper 1Paper 2Papers 1 & 2Respostas
Paper FPaper 1Paper 2Papers 1 & 2Respostas
Paper GPaper 1Paper 2Papers 1 & 2Respostas
Paper HPaper 1Paper 2Papers 1 & 2Respostas
Prelim SpecialQuestões Questions & AnswersRespostas
Prelim SpecialX-Mas Theme Questions & AnswersRespostas

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12. 264 SQA Exam Multiple Choice Questions & Answers

Thanks to the SQA and authors for making the excellent resources below freely available. Multiple choice are primarily C level questions and a great place to start your revision. If stuck, always ask your teacher for help as soon as possible.

Questões
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Year
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Exam Multiple Choice
__________________
Exam Multiple Choice
__________________
Exam Multiple Choice
__________________
1 - 202015Questions OnlyQuestions & AnswersAnswers Only
21 - 402014Questions OnlyQuestions & AnswersAnswers Only
41 - 602013Questions OnlyQuestions & AnswersAnswers Only
61 - 802012Questions OnlyQuestions & AnswersAnswers Only
81 - 1002011Questions OnlyQuestions & AnswersAnswers Only
101 - 1202010Questions OnlyQuestions & AnswersAnswers Only
121 - 264MixedQuestions OnlyQuestions & AnswersAnswers Only


13. Higher Maths Exam Check Lists

Thanks to the SQA and authors for making the excellent resources below freely available. These are fantastic check lists to assess your Higher Maths knowledge. Please try to use these regularly for revision prior to tests, prelims and the final exam.

Description
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Link
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Acknowledgements
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Higher Maths Course DescriptionAQUI
SQA Higher Maths Exam Formulae ListAQUICourtesy of SQA
Check List 1 - Higher Maths Exam Whole Course
AQUICourtesy of Zeta Maths
Check List 2 - Higher Maths Formulae List Not Given in ExamAQUI
Check List 3 - Higher Maths Exam Whole CourseAQUI
Check List 4 - Higher Maths Exam Trig Revision SheetAQUI
Check List 5 - One Page Summary Guide Unit 1 (HSN)AQUICourtesy of HSN
Check List 6 - One Page Summary Guide Unit 2 (HSN)AQUICourtesy of HSN
Check List 7 - One Page Summary Guide Unit 3 (HSN)AQUICourtesy of HSN

14. Old Higher Maths Exam Questions by Topic

Thanks to the SQA for making the excellent resources below freely available. The worksheets by topic are a fantastic additional study resource.

Topic
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Topic Name
___________________________
Link
________
Notas
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Topic 1CirclesAQUIAnswers Included
Topic 2DifferentiationAQUIAnswers Included
Topic 3Exponentials & LogarithmsAQUIAnswers Included
Topic 4FunçõesAQUIAnswers Included
Topic 5Further CalculusAQUIAnswers Included
Topic 6Graphs of FunctionsAQUIAnswers Included
Topic 7IntegrationAQUIAnswers Included
Topic 8PolynomialsAQUIAnswers Included
Topic 9QuadraticsAQUIAnswers Included
Topic 10Recurrence RelationsAQUIAnswers Included
Topic 11Straight LineAQUIAnswers Included
Topic 12Trig Addition FormulaeAQUIAnswers Included
Topic 13Trig Graphs & EquationsAQUIAnswers Included
Topic 14VectorsAQUIAnswers Included
Topic 15Wave FunctionAQUIAnswers Included

15. Higher Maths Text Book Solutions

Thanks to the AHS for providing the Heinemann Higher Maths text book solutions below. These will prove extremely useful in helping to progress your Higher Maths knowledge. Please note that there may be the odd arithmetic error.

Topic
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Topic Name
____________________
Topic 1Straight Line1A1B1D1E1F1G1I1K1M1N1O1O
Topic 2Functions & Graphs 12A2B2C2D2F2G2I
Topic 3Functions & Graphs 2 3A3C3K3N3O3P
Topic 4Recurrence5A5B5B5C5D5F5H5I
Topic 5Differentiation6A6C6D6E6F6G6H6I6J6L6M6N6O6P6Q6R6S
Topic 6Polynomials7B7C7D7E7F7G7H7I7J
Topic 7Quadratics8C8D8E8F8H8I8J8K
Topic 8Integration9G9H9I9L9N9P9Q
Topic 9Trigonometria11B11C11D11E11F11G11H
Topic 10Circles12B12D12F12H12J12K12L
Topic 11Vectors13A13C13D13E13F13G13I13K13L13M13N13O13P13Q13R13S13U
Topic 12Further Calculus14B14C14C14E14G14H14I14J14K
Topic 13Exp's & Logs15C15D15E15F15G15H15I15I15J15K15L
Topic 14Wave Function16A16C16D16E16F16G16H

16. Higher Maths Theory Guides

Thanks to HSN for making the excellent Higher Maths Theory Guides freely available for all to use. These will prove a fantastic resource in helping you consolidate your understanding of Higher Maths.

Theory Guides
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Topic
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Link
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Theory Guide 1All Topics Unit 1 Theory (HSN)AQUI
Theory Guide 2All Topics Unit 1 - One Page Summary Guide (HSN)AQUI
Theory Guide 3All Topics Unit 2 Theory (HSN)AQUI
Theory Guide 4All Topics Unit 2 - One Page Summary Guide (HSN)AQUI
Theory Guide 5All Topics Unit 3 Theory (HSN)AQUI
Theory Guide 6All Topics Unit 3 - One Page Summary Guide (HSN)AQUI
Theory Guide 7All Topics Units 1,2 & 3 Theory (HSN)AQUI
Theory Guide 8Circles Theory (HSN)AQUI
Theory Guide 9Differentiation Theory (HSN)AQUI
Theory Guide 10Exponentials & Logarithms Theory (HSN)AQUI
Theory Guide 11Functions & Graphs Theory (HSN)AQUI
Theory Guide 12Further Calculus Theory (HSN)AQUI
Theory Guide 13Graphs Transformations Theory (Movement & Reflection)AQUI
Theory Guide 14Graphs Transformations Summary SheetAQUI
Theory Guide 15Integration Theory (HSN)AQUI
Theory Guide 16Polynomials & Quadratics Theory (HSN)AQUI
Theory Guide 17Sequences Theory (HSN)AQUI
Theory Guide 18Straight Line Theory (HSN)AQUI
Theory Guide 19Trigonometry Theory (HSN)AQUI
Theory Guide 19Vectors Theory (HSN)AQUI
Theory Guide 20Wave Function Theory (HSN)AQUI

17. Higher Maths Mind Maps

Thanks to the authors for providing the excellent resources below. These will prove a fantastic resource in helping you prepare for assessments, tests and the final exam.

Mind Map
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Topic
____________________________
Mind Map
___________
Topic
____________________________
Mind Map 1Circle 1 Mind Map 16Polynomials & Quadratics
Mind Map 2Circle 2Mind Map 17Polynomials
Mind Map 3Composite FunctionsMind Map 18Quadratics
Mind Map 4Compound Angle FormulaMind Map 19Recurrence Relations 1
Mind Map 5Differentiation (Preparing For)Mind Map 20Recurrence Relations 2
Mind Map 6Differentiation 1Mind Map 21Straight Lines 1
Mind Map 7Differentiation 2Mind Map 22Straight Lines 2
Mind Map 8Differentiation (Further)Mind Map 23Trigonometry 1
Mind Map 9Functions & GraphsMind Map 24Trigonometry 2
Mind Map 10Graph TransformationsMind Map 25Vectors 1
Mind Map 11Integration (Preparing For)Mind Map 26Vectors 2
Mind Map 12Integration 1Mind Map 27Vectors 3
Mind Map 13Integration 2Mind Map 28Wave Function 1
Mind Map 14Logs & Exponentials 1Mind Map 29Wave Function 2
Mind Map 15Logs & Exponentials 2

18. Higher Maths Practice Unit Assessments – Solutions Included

Thanks to the authors for making the excellent resources below freely available for all to use. Please use regularly for revision prior to assessments, tests and the final exam.

Unit
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Paper
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Solutions
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Unit OnePractice ASolutions
Unit OnePractice BSolutions
Unit TwoPractice ASolutions
Unit TwoPractice BSolutions
Unit ThreePractice ASolutions
Unit ThreePractice BSolutions
Unit FourPractice ASolutions

19. Higher Maths Past Paper Video Solutions

Please click DLB Maths to view Higher Maths Past Paper video solutions. This will prove an excellent resource in helping you prepare for assessments, tests and the final exam.

20. Higher Maths Recommended Text Book

Please find below our highly recommended text book which can be ordered by clicking on the book/link.

21. Higher Maths Online Study Pack

Through step-by-step worked solutions to exam questions available in the Online Study Pack we cover everything you need to know about Recurrence Relations to pass your final exam.

For students looking for a ‘good’ pass at Higher Maths you may wish to consider subscribing to the fantastic additional exam focused resources available in the Online Study Pack. Subscribing could end up being one of your best ever investments.

Please give yourself every opportunity for success, speak with your parents, and subscribe to the exam focused Online Study Pack today.

We hope the resources on this website prove useful and wish you the very best of success with your Higher Maths course in 2022.

My daughter says the Higher website was really helpful. She achieved an ‘A’ for Higher Maths this year and is now undertaking Advanced Higher Maths for which she would like me to subscribe to your AH website . I shall go and do that now – Thanks again.


What is Linear Recurrence Relations?

A linear recurrence equation of degree k or order k is a recurrence equation which is in the format (An is a constant and Ak&ne0) on a sequence of numbers as a first-degree polynomial.

Some of the examples of linear recurrence equations are as follows:


A solution to a recurrence relation gives the value of x n x_n x n ​ in terms of n n n , and does not require the value of any previous terms.

Geometric series (or combinations, as we will see) are usually the solutions to recurrences. Now, let us say we have a recurrence x n = c 1 x n − 1 + c 2 x n − 2 + ⋯ + c k x n − k x_n=c_1x_+c_2x_+cdots+c_kx_ x n ​ = c 1 ​ x n − 1 ​ + c 2 ​ x n − 2 ​ + ⋯ + c k ​ x n − k ​ and a solution x n = a r n x_n=ar^n x n ​ = a r n .

Also, note that if two geometric series satisfy a recurrence, the sum of them also satisfies the recurrence. Then, we can find the following method for solving recurrences:

The sequence x n x_n x n ​ is defined by x 0 = 1 x_0=1 x 0 ​ = 1 , x 1 = 3 x_1=3 x 1 ​ = 3 , and x n = 5 x n − 1 + 6 x n − 2 x_n=5x_+6x_ x n ​ = 5 x n − 1 ​ + 6 x n − 2 ​ for all n ≥ 2 nge 2 n ≥ 2 . Find a closed-form expression for x n x_n x n ​ .

Problems:
1. Make up your own recurrences and solve them!

In the wiki Linear Recurrence Relations, linear recurrence is defined and a method to solve the recurrence is described in the case when its characteristic polynomial has only roots of multiplicity one. This wiki will introduce you to a method for solving linear recurrences when its characteristic polynomial has repeated roots. That is, when some of the roots can have multiplicities higher than one.


You're right this can be solved using linear algebra. What I've done below is a simple hard-coded translation. Your equations for p(0) to p(3) are coded up by rearranging them so that the right hand side is =0 . For p(4) and p(5) which appear in the recurrence relations as base cases, there is an =1 on the right hand side.

p(i-1)/2 - p(i) + p(i+2)/2 = 0 for i > 0 and i < x

Here is the program hardcoded for n=4

Editar, here is the code which constructs the matrix programmatically, only tested for n=4 !

which matches the solution in your comment under your question.

The issue here is that you end up in an infinite recursion regardless of where you start, because the recursion isn't explicit, but rather ends up yielding systems of linear equations to solve. If this were a problem you had to solve using Python, I would use Python to calculate the coefficients of this system of equations and use Cramer's rule to solve it.

Edit: Specifically, your unknowns are p(0), . p(x-1). One coefficient row vector right off the bat is (1, 0, -1/2, 0, . 0) (from p(0)-p(2)/2=0), and all the others are of the form (. -1/2, 1, 0, -1/2, . ). There are x-1 of these (one for each of p(1), . p(x-1)) so the system either has a unique solution or none at all. Intuitively, it seems like there should always be a unique solution.

The two last equations would be unique since they would feature p(x) and p(x+1), so those terms would be ommitted the column vector for the RHS of Cramer's rule would then be (0, 0, . 0, 1/2, 1/2), I believe.


CSC 202 - Discrete Mathematics for Computer Scientists II

Exames: There will be 6 quizzes (25%), the lowest grade will be dropped, and one final examination (35%). The final examination will be May 7, Thursday, 11:00 AM.

Teaching Assistant: Bridget Frasier There will be help sessions weekly, Tuesday 2:30-3:30.

Assignments: Homework assignments are worth 40% of your grade. You may do these with a partner, and one grade will be given to both people in the group. Read our department's academic integrity guidelines before you hand in any written work.

Classificação: Your grade is 25% quizzes, 40% homework, and 35% exam. You can guarantee an A- or better with 90%, a B- or better with 80% etc. I may curve these numbers in your favor, if I feel it is warranted.

Goals: To understand the mathematics that underlies computer science, and to appreciate where it is used. Last semester concentrated on functions, number theory, recurrence equations, recursion, combinatorics, and their applications. This semester concentrates on sets, graphs, Boolean algebra, linear algebra, and their applications.


Assista o vídeo: O pojęciu relacji (Outubro 2021).