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3.2: Provas Diretas


Para mostrar que uma afirmação (q ) é verdadeira, siga estas etapas:

  • Encontre um resultado que indique (p Rightarrow q ) ou prove que (p Rightarrow q ) é verdadeiro.
  • Mostre ou verifique se (p ) é verdadeiro.
  • Conclua que (q ) deve ser verdadeiro.

A lógica é válida porque se (p Rightarrow q ) for verdadeiro e (p ) for verdadeiro, então (q ) deve ser verdadeiro. Simbolicamente, estamos dizendo que a fórmula lógica [[(p Rightarrow q) wedge p] Rightarrow q ] é uma tautologia (podemos facilmente verificar isso com uma tabela verdade). Simbolicamente, apresentamos o argumento como [ begin {array} {cl} & p Rightarrow q & p hline portanto & q end {array} ] Tal argumento é chamado modus ponens ou o lei de desapego.

Exemplo ( PageIndex {1} label {eg: directpf-01} )

O argumento

(b ^ 2> 4ac Rightarrow ax ^ 2 + bx + c = 0 ) tem duas soluções reais.
(x ^ 2-5x + 6 ) satisfaz (b ^ 2> 4ac ).
(portanto) (x ^ 2-5x + 6 = 0 ) tem duas soluções reais.

é um exemplo de modus ponens.

É claro que as implicações desempenham um papel importante nas provas matemáticas. Se tivermos uma sequência de implicações, poderíamos juntá-las "cabeça com cauda" para formar outra implicação: [ begin {array} {cl} & p Rightarrow q & q Rightarrow r hline portanto & p Rightarrow r end {array} ] Isso é chamado de lei do silogismo.

.

Exemplo ( PageIndex {2} label {ex: directpf-02} )

O argumento

Os pastores alemães são cães.
Os cães são mamíferos.
Os mamíferos são vertebrados.
(portanto)Os pastores alemães são vertebrados.

é válido por causa da lei do silogismo.

A grande questão é: como podemos provar uma implicação? A abordagem mais básica é a prova direta:

Suponha que (p ) seja verdadeiro.

Deduza de (p ) que (q ) é verdadeiro.

O importante a lembrar é: use as informações derivadas de (p ) para mostrar que (q ) é verdadeiro. Esta é a aparência de uma prova direta típica:

Prova: Suponha que ) p ) seja verdadeiro. Então . .

Por causa de (p ), encontramos. .

. Portanto, (q ) é verdadeiro.

Exemplo ( PageIndex {3} label {eg: directpf-03} )

Prove que se um (m vezes n ) tabuleiro de xadrez pode ser totalmente coberto por dominós não sobrepostos, então (mn ) deve ser par.

Solução

Suponha que o tabuleiro de xadrez possa ser coberto por dominós não sobrepostos e seja (t ) o número de dominós que cobrem o tabuleiro. Então o tabuleiro de xadrez deve conter (2t ) quadrados. Portanto, (mn = 2t ), o que significa que (mn ) deve ser um número par.

Antes de continuarmos com mais exemplos, gostaríamos de apresentar a definição formal de inteiros pares e ímpares.

Definição

Um inteiro é até se pode ser escrito como (2q ) para algum inteiro (q ), e chance se pode ser escrito como (2q + 1 ) para algum inteiro (q ).

Não precisamos usar (q ) para denotar o inteiro que, quando multiplicado por 2, produz um inteiro par. Qualquer carta funcionará, desde que mencionemos que é um número inteiro. Por exemplo, se (n ) é um inteiro par, então podemos escrever (n = 2t ) para algum inteiro (t ). A noção de números inteiros pares pode ser mais generalizada.

Definição

Seja (m ) um número inteiro diferente de zero. Um número inteiro é considerado um múltiplo de (m ) se puder ser escrito como (mq ) para algum inteiro (q ).

Agora estamos prontos para estudar mais exemplos.

Exemplo ( PageIndex {4} label {eg: directpf-04} )

Mostre que o quadrado de um inteiro ímpar é ímpar.

Solução

Seja (n ) um número inteiro ímpar. Então (n = 2t + 1 ) para algum inteiro (t ), e [n ^ 2 = (2t + 1) ^ 2 = 4t ^ 2 + 4t + 1 = 2 (2t ^ 2 + 2t) +1, ] onde (2t ^ 2 + 2t ) é um número inteiro. Portanto, (n ^ 2 ) é ímpar.

exercício prático ( PageIndex {1} label {he: directpf-01} )

Seja (n ) um número inteiro. Mostre que se (n ) for ímpar, então (n ^ 3 ) é ímpar.

Exemplo ( PageIndex {5} label {eg: directpf-05} )

Mostre que o produto de dois inteiros ímpares é ímpar.

Solução

Sejam (x ) e (y ) dois inteiros ímpares. Queremos provar que (xy ) é estranho. Então (x = 2s + 1 ) e (y = 2t + 1 ) para alguns inteiros (s ) e (t ), e [xy = (2s + 1) (2t + 1) = 4st + 2s + 2t + 1 = 2 (2st + s + t) +1, ] onde (2st + s + t ) é um número inteiro. Portanto, (xy ) é ímpar.

Nesta prova, precisamos usar duas quantidades diferentes (s ) e (t ) para descrever (x ) e (y ) porque elas não precisam ser iguais. Se escrevermos (x = 2s + 1 ) e (y = 2s + 1 ), estamos na verdade dizendo que (x = y ). Devemos enfatizar que (s ) e (t ) são inteiros, porque apenas dizer (x = 2s + 1 ) e (y = 2t + 1 ) não garante (x ) e (y ) são ímpares. Por exemplo, o número par 4 pode ser escrito como (2 cdot frac {3} {2} +1 ), que tem a forma (2s + 1 ). É óbvio que 4 não é estranho. Mesmo que possamos escrever um número na forma (2s + 1 ), isso não significa necessariamente que o número deve ser ímpar, a não ser que sabemos com certeza que (s ) é um número inteiro. Este exemplo ilustra a importância de prestar atenção aos detalhes em nossa escrita.

.

Exemplo ( PageIndex {6} label {directpf-06} )

Mostre que se (x ^ 3-7x ^ 2 + x-7 = 0 ), então (x = 7 ).

Solução

Suponha que (x ^ 3-7x ^ 2 + x-7 = 0 ). Uma vez que [x ^ 3-7x ^ 2 + x-7 = x ^ 2 (x-7) + (x-7) = (x ^ 2 + 1) (x-7), ] se for igual a zero, precisamos de (x ^ 2 + 1 = 0 ) ou (x-7 = 0 ). Como (x ^ 2 + 1 ) nunca pode ser zero, devemos ter (x-7 = 0 ); portanto, (x = 7 ).

exercício prático ( PageIndex {2} label {he: directpf-02} )

Mostre que se (x ^ 3 + 6x ^ 2 + 12x + 8 = 0 ), então (x = -2 ).

O último exemplo demonstra uma técnica chamada prova por casos. Existem duas possibilidades, a saber, (i) (x ^ 2 + 1 = 0 ) ou (ii) (x-7 = 0 ). A conclusão final é tirada depois de estudarmos esses dois casos separadamente.

Exemplo ( PageIndex {7} label {eg: directpf-07} )

Mostre que se um inteiro (n ) não for divisível por 3, então (n ^ 2-1 ) deve ser um múltiplo de 3.

Observação

A letra (n ) foi usada para identificar o inteiro de interesse para nós, e ela aparece na hipótese da implicação que queremos provar. No entanto, muitos autores iniciariam suas provas com a frase familiar “Let (n ) be….”

Responder

Seja (n ) um número inteiro que não é divisível por 3. Quando é dividido por 3, o resto é 1 ou 2. Portanto, (n = 3q + 1 ) ou (n = 3q + 2 ) para algum inteiro (q ).

Caso 1: If (n = 3q + 1 ) para algum inteiro (q ), então [n ^ 2-1 = 9q ^ 2 + 6q = 3 (3q ^ 2 + 2q), ] onde (3q ^ 2 + 2q ) é um número inteiro.

Caso 2: If (n = 3q + 2 ) para algum inteiro (q ), então [n ^ 2-1 = 9q ^ 2 + 12q + 3 = 3 (3q ^ 2 + 4q + 1), ] em que (3q ^ 2 + 4q + 1 ) é um número inteiro.

Em ambos os casos, mostramos que (n ^ 2-1 ) é um 3 múltiplo.

exercício prático ( PageIndex {3} label {he: directpf-03} )

Mostre que (n ^ 3 + n ) é par para todos (n in mathbb {N} ).

exercício prático ( PageIndex {4} label {he: directpf-04} )

Mostre que (n (n + 1) (2n + 1) ) é divisível por 6 para todos (n in mathbb {N} ).

Dica

Um dos dois inteiros (n ) e (n + 1 ) deve ser par, então já sabemos que o produto (n (n + 1) (2n + 1) ) é um múltiplo de 2. Portanto, resta mostrar que também é um múltiplo de 3. Considere três casos: (n = 3q ), (n = 3q + 1 ), ou (n = 3q + 2 ), onde (q ) é um número inteiro.

Encerramos nossa discussão com duas falácias comuns (erros lógicos). O primeiro é o falácia do inverso ou o negação do antecedente: [ begin {array} {cl} & p Rightarrow q & overline {p} hline portanto & overline {q} end {array} ] Isso na verdade prova o inverso ( overline {p} Rightarrow overline {q} ), que sabemos que é não logicamente equivalente à implicação original. Portanto, este é um método incorreto para provar uma implicação.

.

Exemplo ( PageIndex {8} label {ex: directpf-08} )

É o seguinte argumento

Os dicionários são valiosos.
Este livro não é um dicionário.
(portanto)Este livro não tem valor.

válido? Por quê?

Outro erro comum é conhecido como falácia do inverso ou o afirmação da conseqüência: [ begin {array} {cl} & p Rightarrow q & q hline portanto & p end {array} ] Isso só prova o inverso (q Rightarrow p ). Já que o inverso é não logicamente equivalente à implicação original, essa é uma maneira incorreta de provar uma implicação.

.

Exemplo ( PageIndex {9} label {eg: directpf-09} )

É este argumento

Nenhum remédio tem gosto bom.
Esta bebida tem um gosto ruim.
(portanto)Isso deve ser um remédio.

um argumento válido? Por quê?

  • Para provar uma implicação (p Rightarrow q ), comece assumindo que (p ) é verdadeiro. Use as informações dessa suposição, juntamente com quaisquer outros resultados conhecidos, para mostrar que (q ) também deve ser verdadeiro.
  • Se necessário, você pode dividir (p ) em vários casos (p_1, p_2, ldots , ) e provar cada implicação (p_i Rightarrow q ) (separadamente, um de cada vez) como indicado acima .
  • Certifique-se de escrever as expressões matemáticas com clareza. Use variáveis ​​diferentes se as quantidades envolvidas podem não ser as mesmas.
  • Para começar, anote as informações fornecidas, a suposição e o que você deseja provar.
  • Na próxima etapa, use a definição se necessário e reescreva as informações em notações matemáticas. A questão é: tente obter algumas equações matemáticas ou afirmações lógicas que possamos manipular.

.

Exercício ( PageIndex {1} label {ex: directpf-01} )

Prove ou refute: (2 ^ n + 1 ) é primo para todos os inteiros não negativos (n ).

Exercício ( PageIndex {2} label {ex: directpf-02} )

Mostre que para qualquer inteiro (n geq5 ), os inteiros (n ), (n + 2 ) e (n + 4 ) não podem ser todos primos.

Dica

Se (n ) é um múltiplo de 3, então o próprio (n ) é composto e a prova será completa. Portanto, podemos assumir que (n ) não é divisível por 3. Então, como seria (n ) e, o que você pode dizer sobre (n + 2 ) e (n + 4 )?

Exercício ( PageIndex {3} label {ex: directpf-03} )

Seja (n ) um número inteiro.

  1. Mostre que se (n ) for ímpar, então (n ^ 2 ) também é ímpar.
  2. Mostre que se (n ) for ímpar, então (n ^ 4 ) também é ímpar.
  3. UMA corolário é um resultado que pode ser derivado facilmente de outro resultado. Derive (b) como um corolário de (a).
  4. Mostre que se (m ) e (n ) são ímpares, então (mn ) também o é.
  5. Mostre que se (m ) é par e (n ) é ímpar, então (mn ) é par.

Exercício ( PageIndex {4} label {ex: directpf-04} )

Prove que, para qualquer número inteiro ímpar (n ), o número (2n ^ 2 + 5n + 4 ) deve ser ímpar.

Exercício ( PageIndex {5} label {ex: directpf-05} )

Seja (n ) um número inteiro.

  1. Prove que se (n ) é um múltiplo de 3, então (n ^ 2 ) também é um múltiplo de 3.
  2. Prove que se (n ) é um múltiplo de 7, então (n ^ 3 ) também é um múltiplo de 7.

Exercício ( PageIndex {6} label {ex: directpf-06} )

Prove que se (n ) não é um múltiplo de 3, então (n ^ 2 ) também não é um múltiplo de 3.

Dica

Se (n ) não for um múltiplo de 3, então (n = 3q + 1 ) ou (n = 3q + 2 ) para algum inteiro (q ).

Exercício ( PageIndex {7} label {ex: directpf-07} )

Use os fatos que

( sqrt {2} ) é irracional, e

se (x ) é irracional, então ( sqrt {x} ) também é irracional,

para provar que ( sqrt [8] {2} ) é irracional.

Exercício ( PageIndex {8} label {ex: directpf-08} )

Lembre-se de que podemos usar um contra-exemplo para refutar uma implicação. Mostre que as seguintes afirmações são falsas:

  1. Se (x ) e (y ) forem inteiros tais que (x ^ 2> y ^ 2 ), então (x> y ).
  2. Se (n ) for um número inteiro positivo, então (n ^ 2 + n + 41 ) é primo.

Exercício ( PageIndex {9} label {ex: directpf-09} )

Explique por que os seguintes argumentos são inválidos:

  1. Seja (n ) um número inteiro. Se (n ^ 2 ) for ímpar, então (n ) é ímpar. Portanto, (n ) deve ser ímpar.
  2. Seja (n ) um número inteiro. Se (n ) for par, então (n ^ 2 ) também é par. Como um número inteiro, (n ^ 2 ) pode ser ímpar. Portanto, (n ) não pode ser igual. Portanto, (n ) deve ser ímpar.

Exercício ( PageIndex {10} label {ex: directpf-10} )

Analise o seguinte raciocínio:

  1. Seja (S ) um conjunto de números reais. Se (x ) está em (S ), então (x ^ 2 ) está em (S ). Mas (x ) não está em (S ), portanto, (x ^ 2 ) não está em (S ).
  2. Seja (S ) um conjunto de números reais. Portanto, se (x ^ 2 ) está em (S ), então (x ) está em (S ).

Método de prova: prova direta

Em minha primeira postagem em minha jornada para melhorar meu rigor matemático, eu disse que passaria por algumas técnicas diferentes para conduzir provas.

O primeiro que quero abordar são as provas diretas. Este é o método & # 8220simplas & # 8221 e às vezes pode parecer que a prova não está lá de jeito nenhum.

Frequentemente será algo como & # 8220 se a então b & # 8221. Assim, usando alguma definição de a, podemos mostrar que b segue como uma consequência direta por meio de uma linha ininterrupta de argumentos lógicos, tais que

Vamos experimentar em alguns exemplos de problemas


3.2: Provas Diretas

Uc @ `$ -lj8i6ngC.> 8 b) JL: / 2W + rlXZ * gd # Z + PT) = R"? M6 $ d8cel4Ls $ lgSU $ "p * -LUhk] $ ntZX! XT +> XRVF # '@ A`Wm30YP -P) _Ukg-s- $ h4B ^ lKG / "PFbIm = 0kkA> [n-M4h, P3Q / X? 972POmZkkBXrEfu2G.Vo1 ^ XY.WTFu6), ^ + 6, ME (! L! E7E rX / `X? Y] FHNUCVts7 + A = mS4 '^ * g + Q0 # AO: 1JlI.DFq *> inuJNZTr7 + (@" - @ VY? 2Tb8Tb1) P`R JR / (JWu "5ae>', r ( IsYUDV (9f: N / 'i2C (7 #, H? DWc4Q_4j - / -, O UJB8nJoo 4! T @ s + J0OO = coAXARN (F93keeMI) 5r + uiQM aPkFRmc% F2D = DQ! MaH? C * Tso H = LJeWH8 N! H> W ^ ql2t'l lSc4rXp $ 2 (>, i4cf! (5R: .1SnGrUM = u, / E) C6? 4 # G% c ^ T! _0 "[3 (kcbu) Ctg (, fF- R! BoOG + NVFFj oY, A! Pu (CRmjp_eIYWhd? P _,) 4] 40 / _j0q5li) hLr0QXAFYG? GC / 1_pPEKK = O? & # = ('4W, l

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Prob. 3, Seç. 3.2 na Análise Funcional de Kreyszig & # 39s: Como dar uma prova direta da integridade deste subespaço?

Aqui está o Prob. 2 segundos. 3.2, no livro Análise funcional introdutória com aplicativos por Erwine Kreyszig:

Seja $ X $ o espaço de produto interno que consiste no polinômio zero e todos os polinômios reais em $ t $, de grau não superior a $ 2 $, considerado para $ t em [a, b] $ real, com produto interno definido por $ langle x, y rangle colon = int_a ^ bx (t) y (t) mathrm t qquad forall x, y in X. $ Mostre que $ X $ está completo.

Se $ x em X $, então $ x $ é uma função de valor real com o domínio $ [a, b] $ definido por uma fórmula da forma $ x (t) = alpha + beta t + gamma t ^ 2 qquad forall t in [a, b], $ para alguns números reais $ alpha $, $ beta $ e $ gamma $.

Deixe $ left (x_n right) _> $ seja uma sequência de Cauchy no espaço interno do produto $ X $. Então, para cada número real $ varepsilon & gt 0 $, existe um número natural $ N $ tal que $ d left (x_m, x_n right) & lt varepsilon qquad mbox m, n & gt N . $ Aqui $ d $ é a métrica induzida pelo produto interno em $ X $, ou seja, $ d (x, y) = sqrt < int_a ^ b left (x (t) - y (t) right ) ^ 2 mathrmt> qquad forall x, y in X. $

Para cada $ n in mathbb$, como $ x_n em X $, então $ x_n dois pontos [a, b] rightarrow mathbb$ é uma função definida por uma fórmula da forma $ x_n (t) dois pontos = alpha_n + beta_n t + gamma_n t ^ n qquad forall t in [a, b], $ para alguns números reais $ alpha_n $, $ beta_n $ e $ gamma_n $.

Desta forma, obtemos sequências $ left ( alpha_n right) _> $, $ left ( beta_n right) _> $, e $ left ( gamma_n right) _> $ de números reais. Mostramos que cada uma dessas sequências é Cauchy.

Para qualquer $ m, n in mathbb$, vemos que começar & amp d left (x_m, x_n right) & amp = sqrt < int_a ^ b left [x_m (t) - x_n (t) right] ^ 2 mathrmt> & amp = sqrt < int_a ^ b left [ left ( alpha_m - alpha_n right) + left ( beta_m - beta_n right) t + left ( gamma_m - gamma_n direita) t ^ 2 direita] ^ 2 mathrmt> & amp = sqrt < int_a ^ b left [ left ( alpha_m - alpha_n right) ^ 2 + 2 left ( alpha_m - alpha_n right) left ( beta_m - beta_n right) t + left (2 left ( alpha_m - alpha_n right) left ( gamma_m - gamma_n right) + left ( beta_m - beta_n right) ^ 2 right) t ^ 2 + 2 left ( beta_m - beta_n right) left ( gamma_m - gamma_n right) t ^ 3 + left ( gamma_m - gamma_n right) ^ 2 t ^ 4 right] mathrmt> & amp = sqrt < left ( alpha_m - alpha_n right) ^ 2 (ba) + left ( alpha_m - alpha_n right) left ( beta_m - beta_n right) left (b ^ 2 - a ^ 2 right) + frac <1> <3> left (2 left ( alpha_m - alpha_n right) left ( gamma_m - gamma_n right) + left ( beta_m - beta_n right) ^ 2 right) left (b ^ 3 - a ^ 3 right) + frac <1> <2> left ( beta_m - beta_n right) left ( gamma_m - gamma_n right) left (b ^ 4 - a ^ 4 right) + frac <1> <5> left ( gamma_m - gamma_n right) ^ 2 left (b ^ 5 - a ^ 5 direita)>. fim

Este cálculo está correto? Se sim, o que vem a seguir? Como proceder a partir deste ponto?

Eu sei que qualquer espaço normando de dimensão finita é um espaço de Banach, mas gostaria de dar um direto prova da integridade deste espaço particular.


Conteúdo

Em 370 aC, o Parmênides de Platão pode ter contido um dos primeiros exemplos de uma prova indutiva implícita. [6] Uma técnica iterativa oposta, contando baixa em vez de para cima, é encontrado no paradoxo dos sorites, onde argumentou-se que se 1.000.000 de grãos de areia formaram uma pilha, e remover um grão de uma pilha deixou uma pilha, então um único grão de areia (ou mesmo nenhum grão) se forma uma pilha. [7]

Na Índia, as primeiras provas implícitas por indução matemática aparecem no "método cíclico" de Bhaskara, [8] e no al-Fakhri escrito por al-Karaji por volta de 1000 DC, que o aplicou a sequências aritméticas para provar o teorema binomial e as propriedades do triângulo de Pascal. [9] [10]

Nenhum desses matemáticos antigos, entretanto, afirmou explicitamente a hipótese de indução. Outro caso semelhante (ao contrário do que Vacca escreveu, como Freudenthal cuidadosamente mostrou) [11] foi o de Francesco Maurolico em seu Arithmeticorum libri duo (1575), que utilizou a técnica para provar que a soma do primeiro n inteiros ímpares são n 2 .

O primeiro uso rigoroso da indução foi por Gersonides (1288–1344). [12] [13] A primeira formulação explícita do princípio de indução foi dada por Pascal em seu Traité du triangle arithmétique (1665). Outro francês, Fermat, fez amplo uso de um princípio relacionado: prova indireta por descendência infinita.

A hipótese da indução também foi empregada pelo suíço Jakob Bernoulli, e a partir de então se tornou bem conhecida. O tratamento formal moderno do princípio veio apenas no século 19, com George Boole, [14] Augustus de Morgan, Charles Sanders Peirce, [15] [16] Giuseppe Peano e Richard Dedekind. [8]

A forma mais simples e comum de indução matemática infere que uma afirmação envolvendo um número natural n (ou seja, um inteiro n ≥ 0 ou 1) vale para todos os valores de n. A prova consiste em duas etapas:

  1. O inicial ou caso base: provar que a afirmação vale para 0 ou 1.
  2. O passo de indução, passo indutivo, ou caso de etapa: prove que para cada n, se a afirmação vale para n, então vale para n + 1. Em outras palavras, assuma que a afirmação vale para algum número natural arbitrário n, e prove que a afirmação vale para n + 1 .

A hipótese na etapa indutiva, de que a afirmação é válida para um n particular, é chamada de hipótese de indução ou hipótese indutiva. Para provar a etapa indutiva, assume-se a hipótese de indução para ne então usa esta suposição para provar que a afirmação vale para n + 1 .

Autores que preferem definir números naturais para começar em 0 usam esse valor no caso base, aqueles que definem números naturais para começar em 1 usam esse valor.

Soma de números naturais consecutivos Editar

A indução matemática pode ser usada para provar a seguinte afirmação P(n) para todos os números naturais n.

Isso estabelece uma fórmula geral para a soma dos números naturais menores ou iguais a um determinado número, na verdade, uma sequência infinita de declarações: 0 = (0) (0 + 1) 2 < displaystyle 0 = < tfrac <(0 ) (0 + 1)> <2> >>, 0 + 1 = (1) (1 + 1) 2 < displaystyle 0 + 1 = < tfrac <(1)(1+1)> <2>> >, 0 + 1 + 2 = (2) (2 + 1) 2 < displaystyle 0 + 1 + 2 = < tfrac <(2)(2+1)> <2> >>, etc.

Caso base: Mostre que a afirmação vale para o menor número natural n = 0.

Passo indutivo: Mostre isso para qualquer k ≥ 0, se P(k) detém, então P(k+1) também é válido.

Assuma a hipótese de indução de que para um determinado k, o único caso n = k segura, significando P(k) é verdade:

Algebricamente, o lado direito é simplificado como:

Equacionando os lados direito e esquerdo extremos, deduzimos que:

Ou seja, a declaração P(k +1) também é verdadeiro, estabelecendo a etapa indutiva.

Conclusão: Uma vez que o caso base e a etapa indutiva foram provados como verdadeiros, por indução matemática a declaração P(n) vale para cada número natural n. ∎

Uma desigualdade trigonométrica Editar

A desigualdade entre as quantidades extremas à esquerda e à direita mostra que P (k + 1) < displaystyle P (k <+> 1)> é verdadeiro, o que completa a etapa indutiva.

Na prática, as provas por indução costumam ser estruturadas de forma diferente, dependendo da natureza exata da propriedade a ser comprovada. Todas as variantes de indução são casos especiais de indução transfinita, ver abaixo.

Base de indução diferente de 0 ou 1 edição

Se alguém deseja provar uma afirmação, não para todos os números naturais, mas apenas para todos os números n maiores ou iguais a um certo número b, então a prova por indução consiste no seguinte:

  1. Mostrando que a afirmação é válida quando n = b .
  2. Mostrando que se a afirmação vale para um número arbitrário nb , então a mesma afirmação também vale para n + 1 .

Isso pode ser usado, por exemplo, para mostrar que 2 nn + 5 para n ≥ 3 .

Desta forma, pode-se provar que alguma afirmação P(n) vale para todos n ≥ 1, ou mesmo para todos n ≥ −5. Esta forma de indução matemática é na verdade um caso especial da forma anterior, porque se a afirmação a ser provada é P(n), então provar isso com essas duas regras é equivalente a provar P(n + b) para todos os números naturais n com um caso base de indução 0. [17]

Exemplo: formação de valores em dólares por moedas Editar

Suponha um suprimento infinito de moedas de 4 e 5 dólares. A indução pode ser usada para provar que qualquer quantia total de dólares maior ou igual a 12 pode ser formada por uma combinação dessas moedas. Deixar S(k) denotam a declaração " k dólares podem ser formados por uma combinação de moedas de 4 e 5 dólares". A prova de que S(k) é verdade para todos k ≥ 12 pode então ser alcançado por indução em k da seguinte forma:

Caso base: Mostrando isso S(k) detém para k = 12 é simples: pegue três moedas de 4 dólares.

Etapa de indução: Dado que S(k) vale para algum valor de k ≥ 12 (hipótese de indução), prove isso S(k + 1) retém também:

Presumir S(k) é verdade para alguns k ≥ 12. Se houver uma solução para k dólares que inclua pelo menos uma moeda de 4 dólares, substitua-a por uma moeda de 5 dólares para fazer k + 1 dólares. Caso contrário, se apenas moedas de 5 dólares forem usadas, k deve ser um múltiplo de 5 e, portanto, pelo menos 15, mas então podemos substituir três moedas de 5 dólares por quatro moedas de 4 dólares para fazer k + 1 dólares. Em cada caso, S(k + 1) é verdade.

Portanto, pelo princípio da indução, S(k) vale para todos k ≥ 12, e a prova está completa.

Indução em mais de um contador Editar

Às vezes, é desejável provar uma afirmação envolvendo dois números naturais, n e m, iterando o processo de indução. Ou seja, prova-se um caso base e uma etapa indutiva para n, e em cada um desses prova um caso básico e uma etapa indutiva para m. Veja, por exemplo, a prova de comutatividade que acompanha adição de números naturais. Argumentos mais complicados envolvendo três ou mais contadores também são possíveis.

Descida infinita Editar

O método da descida infinita é uma variação da indução matemática usada por Pierre de Fermat. É usado para mostrar que alguma declaração Q(n) é falso para todos os números naturais n. Sua forma tradicional consiste em mostrar que se Q(n) é verdade para algum número natural n, também é válido para alguns números naturais estritamente menores m. Como não existem sequências decrescentes infinitas de números naturais, esta situação seria impossível, mostrando assim (por contradição) que Q(n) não pode ser verdade para qualquer n.

A validade deste método pode ser verificada a partir do princípio usual de indução matemática. Usando a indução matemática na declaração P(n) definido como "Q(m) é falso para todos os números naturais m menos que ou igual a n", segue que P(n) vale para todos n, o que significa que Q(n) é falso para cada número natural n.

Edição de indução de prefixo

A forma mais comum de prova por indução matemática requer provar na etapa indutiva que

após o que o princípio de indução "automatiza" n aplicações desta etapa para obter de P(0) a P(n) Isso poderia ser chamado de "indução predecessora" porque cada etapa prova algo sobre um número a partir de algo sobre o predecessor desse número.

Uma variante de interesse na complexidade computacional é a "indução de prefixo", em que se prova a seguinte afirmação na etapa indutiva:

∀ k (P (k) → P (2 k) ∧ P (2 k + 1))

O princípio de indução então "automatiza" o registro n aplicações desta inferência na obtenção de P(0) a P(n) Na verdade, é chamada de "indução de prefixo" porque cada etapa prova algo sobre um número a partir de algo sobre o "prefixo" desse número - como formado pelo truncamento do bit inferior de sua representação binária. Também pode ser visto como uma aplicação da indução tradicional no comprimento dessa representação binária.

Se a indução predecessora tradicional for interpretada computacionalmente como um n- loop de passos, então a indução do prefixo corresponderia a um log-n-step loop. Por causa disso, as provas usando indução de prefixo são "mais viáveis ​​construtivas" do que as provas usando indução predecessora.

A indução do predecessor pode simular trivialmente a indução do prefixo na mesma instrução. A indução do prefixo pode simular a indução do predecessor, mas apenas ao custo de tornar a declaração mais sintaticamente complexa (adicionando um quantificador universal limitado), de modo que os resultados interessantes relacionados à indução do prefixo à computação em tempo polinomial dependem da exclusão de quantificadores ilimitados inteiramente e da limitação da alternância de quantificadores universais e existenciais limitados permitidos na declaração. [18]

Pode-se levar a ideia um passo adiante: é preciso provar

após o que o princípio de indução "automatiza" o log de log n aplicações desta inferência na obtenção de P(0) a P(n) Esta forma de indução tem sido usada, analogamente, para estudar computação paralela log-tempo. [ citação necessária ]

Edição de indução completa (forte)

Exemplo: Edição de números de Fibonacci

A indução completa é mais útil quando várias instâncias da hipótese indutiva são necessárias para cada etapa indutiva. Por exemplo, a indução completa pode ser usada para mostrar que

Exemplo: Edição de fatoração primária

Exemplo: valores em dólares revisitados Editar

Devemos tentar provar o mesmo exemplo acima, desta vez com forte indução. A afirmação continua a mesma:

No entanto, haverá pequenas diferenças na estrutura e nas suposições da prova, começando com o caso de base estendido:

Passo indutivo: Prove que S (j) < displaystyle S (j)> é válido.

Edição de indução para frente e para trás

A etapa indutiva deve ser provada para todos os valores de n. Para ilustrar isso, Joel E. Cohen propôs o seguinte argumento, que pretende provar por indução matemática que todos os cavalos são da mesma cor: [21]

  • Caso base: em um conjunto de apenas 1 cavalo, só existe uma cor.
  • Etapa indutiva: assuma como hipótese de indução que dentro de qualquer conjunto de n < displaystyle n> cavalos, há apenas uma cor. Agora observe qualquer conjunto de n + 1 < displaystyle n + 1> cavalos. Numere-os: 1, 2, 3,…, n, n + 1 < displaystyle 1, 2, 3, dotsc, n, n + 1>. Considere os conjuntos <1, 2, 3,…, n> < textstyle left <1, 2, 3, dotsc, n right >> e <2, 3, 4,…, n + 1> < textstyle left <2, 3, 4, dotsc, n + 1 right >>. Cada um é um conjunto de apenas n < displaystyle n> cavalos, portanto, dentro de cada um, há apenas uma cor. Mas os dois conjuntos se sobrepõem, então deve haver apenas uma cor entre todos os n + 1 < displaystyle n + 1> cavalos.

Em lógica de segunda ordem, pode-se escrever o "axioma de indução" da seguinte forma:

Onde P(.) é uma variável para predicados envolvendo um número natural e k e n são variáveis ​​para números naturais.

Em palavras, o caso básico P(0) e a etapa indutiva (ou seja, que a hipótese de indução P(k) implica P(k + 1)) juntos implicam que P(n) para qualquer número natural n. O axioma da indução afirma a validade de inferir que P(n) vale para qualquer número natural n do caso base e da etapa indutiva.

O primeiro quantificador no axioma varia predicados em vez de números individuais. Este é um quantificador de segunda ordem, o que significa que este axioma é declarado na lógica de segunda ordem. A axiomatização da indução aritmética na lógica de primeira ordem requer um esquema de axioma contendo um axioma separado para cada predicado possível. O artigo axiomas de Peano contém uma discussão mais aprofundada sobre esse assunto.

O axioma de indução estrutural para os números naturais foi formulado pela primeira vez por Peano, que o usou para especificar os números naturais junto com os quatro outros axiomas a seguir:

  1. 0 é um número natural.
  2. A função sucessora de cada número natural produz um número natural (s(x) = x + 1) .
  3. A função sucessora é injetiva.
  4. 0 não está no intervalo de s.

Em teoria dos conjuntos ZFC de primeira ordem, a quantificação sobre predicados não é permitida, mas ainda se pode expressar a indução por quantificação sobre conjuntos:

A pode ser lido como um conjunto que representa uma proposição e contém números naturais, para os quais a proposição é válida. Este não é um axioma, mas um teorema, visto que os números naturais são definidos na linguagem da teoria dos conjuntos ZFC por axiomas, análogos aos de Peano.

O princípio da indução completa não é válido apenas para afirmações sobre números naturais, mas para afirmações sobre elementos de qualquer conjunto bem fundado, isto é, um conjunto com uma relação irreflexiva & lt que não contém cadeias descendentes infinitas. Qualquer conjunto de números cardinais é bem fundamentado, o que inclui o conjunto de números naturais.

Aplicado a um conjunto bem fundamentado, pode ser formulado como uma única etapa:

  1. Mostre que se alguma afirmação vale para todos m & lt n , então a mesma afirmação também vale para n.

Esta forma de indução, quando aplicada a um conjunto de ordinais (que formam uma classe bem ordenada e, portanto, bem fundada), é chamada indução transfinita. É uma técnica de prova importante na teoria dos conjuntos, topologia e outros campos.

Provas por indução transfinita normalmente distinguem três casos:

  1. quando n é um elemento mínimo, ou seja, não há nenhum elemento menor que n
  2. quando n tem um predecessor direto, ou seja, o conjunto de elementos que são menores que n tem um elemento maior
  3. quando n não tem predecessor direto, ou seja, n é um chamado limite ordinal.

A rigor, não é necessário na indução transfinita provar um caso base, porque é um caso especial vazio da proposição que se P é verdade para tudo n & lt m , então P é verdade sobre m. É vacuamente verdadeiro precisamente porque não há valores de n & lt m que podem servir como contra-exemplos. Portanto, os casos especiais são casos especiais do caso geral.

O princípio da indução matemática é geralmente declarado como um axioma dos números naturais, ver axiomas de Peano. É estritamente mais forte do que o princípio de boa ordem no contexto dos outros axiomas de Peano. Suponha o seguinte:

  • O axioma da tricotomia: para qualquer número natural n e m, n é menor ou igual a m se e apenas se m não é menos que n.
  • Para qualquer número natural n, n + 1 é maior que n .
  • Para qualquer número natural n, nenhum número natural está entre n e n + 1 .
  • Nenhum número natural é menor que zero.

Pode-se então provar que a indução, dados os axiomas listados acima, implica o princípio de boa ordenação. A prova a seguir usa indução completa e o primeiro e o quarto axiomas.

Prova. Suponha que exista um conjunto não vazio, S, de números naturais que não têm o menor elemento. Deixar P(n) ser a afirmação de que n não está em S. Então P(0) é verdadeiro, pois se fosse falso, então 0 é o menor elemento de S. Além disso, deixe n seja um número natural, e suponha P(m) é verdadeiro para todos os números naturais m Menor que n + 1. Então se P(n + 1) é falso n + 1 está em S, sendo, portanto, um elemento mínimo em S, uma contradição. Desse modo P(n + 1) é verdade. Portanto, pelo princípio de indução completa, P(n) vale para todos os números naturais n assim S está vazio, uma contradição. Q.E.D.

Por outro lado, o conjunto <(0, n): n ∈ ℕ> ∪ <(1, n): n ∈ ℕ>, mostrado na imagem, está bem ordenado [22]: 35lf pela ordem lexicográfica. Moreover, except for the induction axiom, it satisfies all Peano axioms, where Peano's constant 0 is interpreted as the pair (0,0), and Peano's successor function is defined on pairs by succ(x, n) = (x, n + 1) for all x∈ <0,1>and n∈ℕ. As an example for the violation of the induction axiom, define the predicate P(x, n) as (x, n) = (0, 0) or (x, n) = (succ(y, m)) for some y∈ <0,1>and m∈ℕ. Then the base case P(0,0) is trivially true, and so is the step case: if P(x, n) , then P(succ(x, n)) . However, P is not true for all pairs in the set.

Peano's axioms with the induction principle uniquely model the natural numbers. Replacing the induction principle with the well-ordering principle allows for more exotic models that fulfill all the axioms. [22]

It is mistakenly printed in several books [22] and sources that the well-ordering principle is equivalent to the induction axiom. In the context of the other Peano axioms, this is not the case, but in the context of other axioms, they are equivalent [22] specifically, the well-ordering principle implies the induction axiom in the context of the first two above listed axioms and

The common mistake in many erroneous proofs is to assume that n − 1 is a unique and well-defined natural number, a property which is not implied by the other Peano axioms. [22]


Recursos

  • Proof Strategies encourage students to plan what is needed to present a proof of the result in question.
  • Proof Analysis segments appear after presentations of proofs and discuss key details considered for the creation of each proof.
  • Chapter 0, Communicating Mathematics provides a valuable reference for students as the course progresses. This chapter prepares students to write effective and clear exposition by emphasizing the correct usage of mathematical symbols, mathematical expressions, and key mathematical terminology.
  • Early introduction of Sets (Chapter 1) prepares students for the coverage of logic that follows.
  • Early introduction of Logic (Chapter 2) presents the needed prerequisites to get into proofs as quickly as possible. Much of the chapter’s emphasis is on statements, implications, and an introduction to qualified statements.
  • Proof by Contradiction receives an entire chapter, with sections covering counterexamples, existence proofs, and uniqueness.
  • A wide variety of exercises is provided in the text.
    • Difficulty ranges from routine to medium to moderately challenging
    • True/False exercises present statements and ask students to determine whether they are correct, asking for justification as part of the process.
    • Proposed proofs of statements ask students if an argument is valid.
    • Proofs without a statement ask students to supply a statement of what has been proved.
    • Finally, there are exercises that call upon students to ask questions of their own and to provide answers.

    Novo nesta edição

    • New Exercises: More than 250 exercises have been added, including many challenging exercises at the end of exercise sets. New exercises include some dealing with making conjectures to give students practice with this important aspect of advanced mathematics.
    • New and Revised Examples: Examples have been added and heavily revised with new proofs, adding support for the material to give students better understanding and helping them to solve new exercises.
    • Additional sections: Chapter 13 has been expanded to include coverage of cosets and Lagrange’s theorem. The important topic of quantified statements is now introduced in Section 2.10 and reviewed in Section 7.2 in reinforce the student’s understanding.

    Okay, so a proof by contraposition, which is sometimes called a proof by contrapositive, flips the script. Instead of assuming the hypothesis to be true and the proving that the conclusion is also true, we instead, assumes that the conclusion to be false and prove that the hypothesis is also false.

    Remember, we know from our study of equivalence that the conditional statement of “if p then q” has the same truth value of “if not q then not p.” Therefore, a proof by contraposition says, let’s assume “not q” is true and let’s prove “not p.” And consequently, if we can show “not q then not p” to be true, then the statement “if p then q” must be true also as noted by the State University of New York.

    Example #1

    Contraposition Inequality Proof

    Now I want to draw your attention to the critical word “or” in the claim above. Here’s a BIG hint…

    …whenever you are given an “or” statement, you will always use proof by contraposition.

    Because trying to prove an “or” statement is extremely tricky, therefore, when we use contraposition, we negate the “or” statement and apply De Morgan’s law, which turns the “or” into an “and” which made our proof-job easier!

    Example #2

    Let’s look at another problem.

    Contrapositive Proof — Even and Odd Integers

    Notice that by using contraposition, we could use one of our basic definitions, namely the definition of even integers, to help us prove our claim, which, once again, made our job so much easier.


    Explosion-proof solenoid valves

    . In Type, Terminal Box As Per Is 13947 Explosion-Prova With Junction Box As Per Is 2148 Group I, Iia, Iib And Iic Explosion-Prova With Junction Box As Per Atex, Inmetro, .

    Temperature: -20 °C - 80 °C
    Pressure: 0 bar - 400 bar

    . Connection: 1/2" | 1/4" MOC: SS316 Solenoid: Weather Prova | Explosion Prova Media:Air | Free Flowing Liquid | Fuel | Inert Gas | LPG | Oil | Vaccum | Water Application: .

    Temperature: -30 °C - 75 °C
    Pressure: 0 bar - 150 bar

    . Aluminium | Brass | SS 316 Solenoid: Weather Prova | Explosion Prova | Intrinsically Safe Media:Air | Fuel | Intert gas | Liquid | LPG | Oil | Vacuum .

    Temperature: -25 °C - 80 °C
    Pressure: 0 bar - 10 bar
    DN: 3 mm

    Direct solenoid actuated poppet valves ITEM: 9500300000000000 •Working from 0 bar upwards •Short switching times •Suited for fine vacuum 1,33·10-3 mbar •Assembled oil and grease-free •For a.c. solenoid .

    Temperature: -25 °C - 80 °C
    Pressure: 0 bar - 10 bar
    DN: 2 mm

    Direct solenoid actuated poppet valves ITEM: 9600210000000000 •Working from 0 bar up •Short switching times •Suited for fine vacuum down to 1,33·10-3 mbar •Assembled oil and grease-free •For a.c. .

    Temperature: -25 °C - 80 °C
    Pressure: 0 bar - 14 bar
    DN: 3 mm

    Direct solenoid actuated poppet valves ITEM: 9600340000000000 •Working from 0 bar up •Short switching times •Suited for fine vacuum down to 1,33·10-3 mbar •Assembled oil and grease-free •For a.c. .

    Temperature: -10 °C - 160 °C
    Pressure: 0 bar - 16 bar
    DN: 0.125 in - 2 in

    . S73 is a series of coil explosion proof solenoid valves . Operation direct acting or pilot operated depends on the model .All solenoid valve .

    Temperature: -40 °C - 60 °C
    Voltage: 24 V - 220 V

    QLight QEB solenoid valve box is explosion proof. It has aluminium housing and cover, which ensures high resistance to corrosion and a long service life. The box is waterproof. .

    Temperature: -25 °C - 50 °C
    Pressure: 1.5 bar - 10 bar
    DN: 8 mm

    Series of valves with NAMUR interface in stainless steel AISI 316L, especially suitable for food, chemical, pharmaceutical, OIL&GAS and mining industry. Conforming to 2014/34/EU Directive, certified II 2Gc IIB T5 / II .

    Temperature: 80 °C
    Pressure: 16 bar
    DN: 65 mm - 300 mm

    . DN300 Material body in aluminum, brass, galvanized steel Temperature up to 80°C Degree of protection IP65 Atex Ex II 3G - II 3D These solenoid valvesare constructed to ensure the gas interception .

    Temperature: -20 °C - 50 °C
    Pressure: 2 bar - 10 bar
    DN: 7 mm

    Our In-Line solenoid valves are suitable for the central installation in a control box or assembly on linear actuators, lift drives or gate valves. Suitable for: Zone 2, Zone 22 II .

    Temperature: -40 °C - 180 °C
    Pressure: 0 bar - 40 bar
    DN: 6, 12 mm

    . combination with a plug in accordance with DIN EN 175301-803 Form A, the valves satisfy protection class IP65. Stainless steel valves satisfy NEMA 4X. Servo-assisted and compact piston valve .

    Pressure: 10.3 bar
    DN: 0.75, 1 in
    Voltage: 24, 48, 115 V

    . to 150 PSIG Operating EnvironmentHazardous Features Valves can be mounted in any position Explosion proof operators, intended for use in potentially explosive areas, according to .

    Temperature: -30 °C - 180 °C
    DN: 0.375 in - 1 in
    Voltage: 24 V - 230 V

    . anti-corrosive 221G Solenoid Valves is the most resistant solution for fluid control in even the harshest environments. The 221G stainless steel valves offer unrivalled resistance .

    Products conforming to the International Guidelines for Explosion-proofing (IEC standards). Compatible with explosion-proof structure Exd2BT4.

    Temperature: -50 °C - 100 °C
    DN: 15 mm - 100 mm
    Voltage: 220, 24 V

    . Additional valve trim status sensor Designed for solenoid valve disc status determination (open/close). Valve status sensor circuit s housed within explosion-proof .

    Temperature: -15 °C - 50 °C

    3009M Ex m 94/9/CE ATEX AMISCO has completed the EVI7 S9 solenoid system with a special coil for pneumatic applications in potentially explosive ambient (group II), that fullfills the requirements .

    Temperature: -10 °C - 50 °C
    Pressure: 0 bar - 8 bar
    DN: 0.6 mm

    3/2 NC Manifold mounting >Compact design >In excess of 100 millions cycle rate Low power consumption >Certification: ATEX,IECEx

    Descrição Solenoid valve, explosion-proof solenoid valve

    Stainless Steel Explosion-Prova Solenoid Valve Body Material: Stainless Steel Coil: Explosion-proof coil Fluid temperature: -10 .

    Temperature: -60 °C - 80 °C
    Pressure: 0 bar - 40 bar
    DN: 15 mm - 50 mm

    Description 2/2-Way solenoid valve, piston design Impulse without differential pressure Body Stainless Steel

    Temperature: -20 °C - 80 °C
    Pressure: 40 bar
    DN: 2.5 mm - 5.5 mm

    . 1/8, G 1/4, 1/4 NPT Type: Explosion Prova Solenoid Valves ATEX Flow Kv (l/min): 3,2, 4, 5, 9 Applications: Air, Chemical, Industrial automation, Medical, .


    Valve 6014 is a direct-acting plunger valve. The stopper and plunger guide tube are welded together to enhance pressure resistance and leak-tightness. Various seal material combinations are available depending on the application. A Bürkert-specific flange design (SFB) enables space-saving arrangement of valves on a manifold. The coils are moulded with polyamide or with chemically resistant epoxy. Pulse coils are available for the reduction of electrical power consumption during operation. Optional manual actuation enables quick commissioning and easy maintenance. In combination with a plug in accordance with DIN EN 175301-803 Form A, the valves satisfy protection class IP65. Stainless steel valves satisfy NEMA 4X.

    • Direct-acting, compact valve with diameter of up to DN 2.5
    • Vibration-proof, bolted coil system
    • Banjo threaded connection for direct mounting on pneumatic valves
    • Service-friendly manual override
    • Energy-saving pulse versions

    For selecting the correct product please refer to the technical data, images and notes for proper use according to the data sheet.


    Proof by Induction

    Proof by induction is a more advanced method of proving things, and to be honest, something that took me a while to really grasp. This method is used to show that all elements in an infinite set have a certain property. For example, we may want to prove that 1 + 2 + 3 + … + n = n (n + 1)/2.

    In a proof by induction, we generally have 2 parts, a basisand the inductive step. The basis is the simplest version of the problem, In our case, the basis is,

    The next part of the proof is the inductive step. The inductive step is the part where to generalize your basis and take it a step further.

    Suppose our theorem is true for some n = k ≥ 1, that is:

    1 + 2 + 3 + . . . + k = k(k + 1)/2.

    Prove that our theorem is true for n = k + 1, meaning:

    1 + 2 + 3 + . . . + k + (k + 1) = (k + 1)(k + 2) 2 .

    This is the core of the inductive step. We take our theorem, generalize it and take it to the next step. We added in the (k + 1) on the left side of the equals sign and we changed the k on the right side of the equals sign to (k + 1)(k + 2). We finally finish off our proof with

    And with that, we’re done. We’ve followed a logical progression from the basis or the base case, to the inductive step, all the way through to the final part of the proof.


    Assista o vídeo: Questão 10: Regra de Três Composta (Outubro 2021).