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2.3: Os Axiomas Lógicos


Deixe uma linguagem de primeira ordem ( mathcal {L} ) ser fornecida. Além disso, poderíamos, em princípio, projetar um programa de computador que seria capaz de decidir a participação em ( Lambda ) em um período de tempo finito.

Depois de estabelecermos o conjunto de axiomas lógicos ( Lambda ) e desejarmos começar a fazer matemática, desejaremos adicionar axiomas adicionais que são projetados para nos permitir deduzir afirmações sobre qualquer sistema matemático que possamos ter em mente. Estes constituirão a coleção de axiomas não lógicos, ( Sigma ). Por exemplo, se estamos trabalhando na teoria dos números, usando a linguagem ( mathcal {L} _ {NT} ), junto com os axiomas lógicos ( Lambda ), também queremos usar outros axiomas que dizem respeito ao propriedades de adição e a relação de ordenação denotada pelo símbolo (<). Esses axiomas adicionais são as fórmulas que colocaremos em ( Sigma ). Então, a partir desse conjunto expandido de axiomas ( Lambda cup Sigma ), tentaremos escrever deduções de fórmulas que fazem declarações de interesse da teoria dos números. Para reiterar: ( Lambda ), o conjunto de axiomas lógicos, será fixado, assim como a coleção de regras de inferência. Mas o conjunto de axiomas não lógicos deve ser especificado para cada dedução. Na seção atual, estabelecemos apenas os axiomas lógicos, lidando com as regras de inferência na Seção 2.4, e adiando nossa discussão dos axiomas não lógicos até a Seção 2.8.

Axiomas de igualdade

Tomamos o caminho de assumir que o símbolo de igualdade, (= ), é uma parte da linguagem ( mathcal {L} ). Existem três grupos de axiomas projetados para este símbolo. O primeiro apenas diz que qualquer objeto é igual a si mesmo:

[x = x : text {para cada variável} : x. tag {E1} ]

Para o segundo grupo de axiomas, assuma que (x_1, x_2, ldots, x_n ) são variáveis, (y_1, y_2, ldots, y_n ) são variáveis ​​e (f ) é um (n ) - símbolo de função ária.

[ left [ left (x_1 = y_1 right) land left (x_2 = y_2 right) land cdots land left (x_n = y_n right) right] rightarrow left (f esquerda (x_1, x_2, ldots, x_n direita) = f esquerda (y_1, y_2, ldots, y_n direita) direita). tag {E2} ]

As suposições para o terceiro grupo de axiomas são as mesmas do segundo grupo, exceto que (R ) é assumido como um símbolo de relação (n )-ária ( (R ) pode ser o símbolo de igualdade, que é visto como um símbolo de relação binária).

[ left [ left (x_1 = y_1 right) land left (x_2 = y_2 right) land cdots land left (x_n = y_n right) right] rightarrow left (R left (x_1, x_2, ldots, x_n right) rightarrow R rightarrow R left (y_1, y_2, ldots, y_n right) right). tag {E3} ]

Axiomas (E2) e (E3) são axiomas projetados para permitir a substituição de iguais por iguais. Nada mais sofisticado do que isso.

Axiomas quantificadores

Os axiomas quantificadores são projetados para permitir um tipo muito razoável de entrada em uma dedução. Suponha que saibamos ( forall x P left (x right) ). Então, se (t ) é qualquer termo da linguagem, devemos ser capazes de afirmar (P left (t right) ). Para evitar problemas do tipo descrito no início da Seção 1.8, exigiremos que o termo (t ) seja substituível pela variável (x ).

[ left ( forall x phi right) rightarrow phi_t ^ x, : text {if} : t : text {é substituível por} : x : text {in} : phi. tag {Q1} ]

[ phi_t ^ x rightarrow left ( exists x phi right), : text {if} : t : text {é substituível por} : x : text {in} : phi. tag {Q2} ]

Em muitos textos de lógica, o axioma (Q1) seria chamado de instanciação universal, enquanto (Q2) seria conhecido como generalização existencial. Vamos evitar essa linguagem impressionante e ficar com as mais mundanas (Q1) e (Q2).

Recapitular

Apenas para reunir todos os axiomas lógicos em um só lugar, vamos declará-los mais uma vez. O conjunto ( Lambda ) de axiomas lógicos é a coleção de todas as fórmulas que se enquadram em uma das seguintes categorias:

[x = x : text {para cada variável} : x. tag {E1} ]

[ left [ left (x_1 = y_1 right) land left (x_2 = y_2 right) land cdots land left (x_n = y_n right) right] rightarrow left (f left (x_1, x_2, ldots, x_n right) = f left (y_1, y_2, ldots, y_n right) right). tag {E2} ]

[ left [ left (x_1 = y_1 right) land left (x_2 = y_2 right) land cdots land left (x_n = y_n right) right] rightarrow left (R left (x_1, x_2, ldots, x_n right) rightarrow R left (y_1, y_2, ldots, y_n right) right). tag {E3} ]

[ left ( forall x phi right) rightarrow phi_t ^ x, : text {if} : t : text {é substituível por} : x : text {in} : phi. tag {Q2} ]

Observe que ( Lambda ) é decidível. Poderíamos escrever um programa de computação que, dada uma fórmula ( phi ), pode decidir em uma quantidade finita de tempo se ( phi ) é ou não um elemento de ( Lambda ).


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