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8: Outros tópicos em teoria dos números - matemática


Este capítulo discute vários tópicos de profundo interesse na teoria dos números. A seção 1 sobre criptografia é sobre uma aplicação da teoria dos números no campo da decodificação de mensagens, enquanto as outras seções sobre curvas elípticas e a função zeta de Riemann estão profundamente conectadas com a teoria dos números. A seção sobre o último teorema de Fermat está relacionada, através da prova de Wile da conjectura de Fermat sobre a inexistência de soluções inteiras para (x ^ n + y ^ n = z ^ n ) para (n> 2 ), para o campo de curvas elípticas (e, portanto, para a seção 2).

Professor Ramez Maalouf, da Universidade Notre Dame, Líbano, por sua contribuição para o capítulo 8.


Comece a estudar tópicos avançados em teoria dos números

Eu sou um estudante de primeiro ano e tive curso elementar em Teoria dos Números que inclui apenas tópicos introdutórios básicos como: divisibilidade, mdc-lcm, primos, congruências, funções teóricas dos números, etc.
Com base em minha experiência neste assunto, decidi estudar mais por conta própria.
Estou planejando cobrir estes tópicos: raízes primitivas, resíduos quadráticos, formas quadráticas binárias, etc.

Alguém pode me dizer em que sequência devo estudar esses tópicos?
Embora eu tenha visto que, na maioria dos livros, Raízes primitivas vem logo antes de Resíduos quadráticos, seguidos por formas quadráticas binárias, e quais outros tópicos seguem esses três tópicos?

Em segundo lugar, o que eu quero ter é conhecimento no meu campo favorito da matemática, que é a teoria dos números. Minha abordagem para aprender isso é certa? Ou devo primeiro ver qual ramo: Algébrico ou Analítico me interessa mais e estudar apenas esse ramo específico?

E o mais importante, a que livros ou outras referências, como vídeos de palestras, devo me referir, adequados para aprender o material passo a passo com exercícios para trabalhar?
Que opinião vocês têm sobre o livro de David Burton e o livro de Alan Baker?

Peço desculpas se uma pergunta semelhante já foi feita por alguém ou se eu não adicionei as tags apropriadas ou se fiz muitas perguntas em apenas uma postagem.

E, por favor, não recomende livros como: introdução à teoria dos números de Hardy e Wright e outra de Niven, Zuckerman, não são nada adequados para quem está estudando os tópicos pela primeira vez.
Agradecemos antecipadamente a todos.


Major em Matemática

Complete o seguinte:
  • MATEMÁTICA 113 Cálculo I (4 créditos) (ou 108 e 109)
  • MATH 114 Calculus II (4 créditos)
  • Cálculo multivariável MATH 200 (4 créditos)
  • MATH 210 Introdução a Sistemas e Equações Diferenciais (4 créditos)
  • Álgebra Linear MATH 240 (4 créditos)
  • MATH 301 Abstract Algebra I (4 créditos)
  • Análise Real MATH 317 (4 créditos)

Requisito aliado

  • CISC 130 Introdução à Programação e Solução de Problemas nas Ciências (4 créditos)
    ou CISC 131 Introdução à Programação e Solução de Problemas (4 créditos)

Observação: CISC 130 é recomendado para este principal

Mais uma das faixas de matemática abaixo:

Faixa de Matemática Pura

Oito créditos do seguinte:
  • MATH 302 Abstract Algebra II (4 créditos)
  • Variáveis ​​Complexas MATH 419 (4 créditos)
  • Topologia MATH 420 (4 créditos)

Curso de Matemática Aplicada

  • MATH 315 Matemática Aplicada e Modelagem I (4 créditos)
  • MATH 316 Matemática Aplicada e Modelagem II (4 créditos)
Mais oito créditos do seguinte:
  • Equações diferenciais avançadas MATH 300 (4 créditos)
  • MATH 302 Abstract Algebra II (4 créditos)
  • MATH 303 Statistics for the Applied Sciences (4 créditos)
  • Probabilidade MATH 313 (4 créditos)
  • STAT 314 Estatística Matemática (4 créditos)
  • MATH 385 Métodos Matemáticos de Análise Numérica (4 créditos)
  • MATH 400 Sistemas Dinâmicos e Caos (4 créditos)
  • Variáveis ​​Complexas MATH 419 (4 créditos)
  • Topologia MATH 420 (4 créditos)

Trilha de estatísticas

  • Probabilidade MATH 313 (4 créditos)
  • STAT 314 Estatística Matemática (4 créditos)
  • STAT 333 Métodos Estatísticos Aplicados: Regressão, Séries Temporais, Previsão (4 créditos)
  • MATH 385 Métodos Matemáticos de Análise Numérica (4 créditos)

Trilha de Educação Matemática

  • Geometria MATH 325 (4 créditos)
  • MATH 450 Matemática Avançada: Exploração e Exposição (4 créditos)

Um teórico de números que conecta a matemática a outras atividades criativas

Jordan Ellenberg trabalha nas margens do Lago Mendota, que faz fronteira com o campus da Universidade de Wisconsin, Madison.

Steve Nadis

“Existem muitos caminhos diferentes para a matemática”, disse Jordan Ellenberg, um matemático da Universidade de Wisconsin, Madison. “Existe o estereótipo de que o interesse pela matemática se manifesta desde cedo. Isso definitivamente não é verdade em geral. Não é a história universal - mas é a minha história. ”

Essa conta foi apoiada por um bioestatístico da Universidade da Pensilvânia - sua mãe, Susan Ellenberg. “Jordan reconheceu os números antes de poder andar”, disse ela. “Estaríamos indo a algum lugar com ele, e ele começaria a ligar para números, e seu pai e eu teríamos que descobrir onde ele os estava vendo. Cada noite, ele me pedia para lhe ensinar algo novo sobre matemática. " Quando ele estava na segunda série, um professor local começou a conduzi-lo através do currículo de matemática do ensino médio. Desde então, ele tem se preocupado com a matemática - embora não exclusivamente.

Depois de se formar na Harvard University em 1993, Ellenberg completou um programa de mestrado de um ano em escrita de ficção na Johns Hopkins University, onde escreveu um romance que foi publicado uma década depois, intitulado O rei gafanhoto. Mas ele sempre sentiu que acabaria voltando à matemática e, em 1994, entrou em um programa de doutorado em Harvard, desenvolvendo pesquisas sob a supervisão de Barry Mazur, um teórico dos números.

“Barry foi um grande conselheiro e um cara muito culto”, disse Ellenberg. “Uma das coisas que ele me mostrou é que não há problema em se interessar por outras coisas além da matemática. Por meio dele, vi que estar em uma universidade não é apenas estar no departamento de matemática, mas sim fazer parte de todo um mundo de bolsas de estudo. ”

Ellenberg levou essa visão a sério, encontrando matemática para explorar em tudo, desde modismos da internet até o direito de voto. Ele interagiu e até colaborou com colegas de muitos campos e departamentos diferentes, enquanto mantinha sua redação - artigos acadêmicos para periódicos de matemática e artigos populares para jornais e revistas. Em 2001, ele começou a escrever uma coluna para Ardósia chamado “Faça a matemática”. Muitas entradas não são típicas de matemáticos, como "Álgebra para adúlteros", "Cozinhando os livros sobre a virgindade" e "O que os musicais da Broadway nos dizem sobre criatividade".

Seu último livro, Forma, tem tudo a ver com geometria - embora, como você pode esperar, se afaste significativamente da geometria tradicional de seus tempos de colégio. Provar a congruência de triângulos e coisas semelhantes, disse ele, tem pouca semelhança com o trabalho da geometria moderna. Na introdução do livro, Ellenberg confessa que foi um assunto curioso para ele ter abordado: “Leitor, deixe-me ser franco com você sobre geometria: no começo eu não liguei para isso”.

Quanta conversou com Ellenberg no início deste mês sobre geometria, matemática eleitoral e criatividade. A entrevista foi condensada e editada para maior clareza.


  • Contorno matemático discreto
  • Lista de tópicos de cálculo
  • Lista de tópicos de geometria
    • Contorno de geometria
    • Lista de tópicos trigonométricos
      • O contorno da trigonometria
      • Lista de identidades trigonométricas

      Consulte também os campos Matemática e Glossário da matemática.

      Como um guia aproximado, a lista é dividida em partes puras e aplicadas, embora na realidade esses ramos estejam sobrepostos e interligados.

      Matemática pura

      Álgebra

      • Esboço de álgebra
      • Lista de tópicos de álgebra abstrata
      • Lista de estruturas algébricas
      • Lista de tópicos algébricos booleanos
      • Lista de tópicos da teoria da categoria
      • Lista de tópicos algébricos comutativos
      • Lista de tópicos algébricos homólogos
      • Lista de tópicos do grupo
      • Lista de teorias da teoria da representação
      • Lista de tópicos algébricos lineares
      • Lista legal mútua
      • Glossário de teoria de campo
      • Glossário da teoria dos grupos
      • Glossário de álgebra linear
      • Lista de teorias do anel
      • Lista de teorias de cohomologia

      Cálculo e análise

      • Uma lista de tópicos analíticos complexos
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        • Lista de tópicos da curva
        • Lista de tópicos triangulares
        • Lista de tópicos do círculo
          • Lista de tópicos relacionados a pi
          • Lista de superfícies algébricas
          • Lista de teorias de cohomologia

          Combinatoria

          Lógica

          • Lista de tópicos algébricos booleanos
          • Lista de teorias de primeira ordem
          • Lista das principais propriedades cardeais
          • Lista de tópicos de lógica matemática
          • Lista de teorias de sequência
          • Lista de tópicos da teoria dos conjuntos

          Teoria dos Números

          • Lista de números de tópicos da teoria da álgebra
          • Lista de tópicos da teoria dos números
          • Lista de tópicos recreativos da teoria dos números
          • Os termos da aritmética e geometria diofantina
          • Lista de primos - não apenas tabelas, mas listas de vários tipos primos (cada um com uma tabela de acompanhamento)
          • Lista de funções zeta Matemática aplicada

          Sistema dinâmico e equações diferenciais

          Equações diferenciais são equações que envolvem funções desconhecidas e suas derivadas.

          • Lista de tópicos de sistema dinâmico e equações diferenciais
          • Lista de tópicos de equação diferencial parcial
          • Lista de equações diferenciais parciais não lineares

          Física matemática

          • Lista de tópicos matemáticos em mecânica clássica
          • Lista de tópicos matemáticos na teoria quântica
          • Lista de tópicos matemáticos da relatividade
          • Lista de tópicos da teoria das cordas
          • Índice de artigos da onda

          Informática

          • Lista de tópicos algorítmicos comuns
          • Lista de tópicos de computabilidade e complexidade Lista
          • para tópicos de computação em geometria e gráficos
            • Lista de tópicos de geometria comparativa combinatória
            • Lista de gráficos de computador e tópicos descritivos de geometria
            • Lista de tópicos de geometria de computação numérica

            A teoria da informação é um ramo da matemática aplicada e da engenharia elétrica que envolve a quantificação de informações. Historicamente, a teoria da informação foi desenvolvida para encontrar limites fundamentais na compactação e comunicação de dados de maneira confiável.


            8: Outros tópicos em teoria dos números - matemática

            Instrutor: I. Laba. Escritório: Math Bldg 239. Telefone: 822 2450. E-mail: ilaba (at) math.ubc.ca.

            Neste semestre, nos reunimos às quartas-feiras, das 16h às 17h (observe a mudança de horário), no MATX 1118. Clique aqui para ver a programação das reuniões.

            O plano é discutir um certo grupo de problemas na interface da teoria dos números analítica e combinatória, análise harmônica, combinatória, teoria ergódica, com ideias de outros campos da matemática também misturadas. Todos esses são tópicos de pesquisa quentes - portanto, podemos muitas vezes desejam progredir o mais rápido possível para a leitura de artigos de pesquisa atuais, alguns ainda não publicados em periódicos. Problemas de pesquisa, de vários níveis de dificuldade, serão sugeridos e discutidos.

            Tópicos:

            • Análise de Fourier: critérios de "aleatoriedade" para conjuntos, encontrando estrutura em conjuntos que não são aleatórios.
            • abordagem combinatória: o lema de regularidade de Szemeredi, suas extensões e aplicações,
            • abordagem ergódico-teórica: contexto, teorema de recorrência múltipla, generalizações do teorema de Szemeredi,
            • resultados quantitativos para progressões aritméticas de 3 termos,
            • o trabalho recente de Green e Tao sobre progressões aritméticas em primos,
            • outros resultados relacionados, por exemplo encontrar padrões em subconjuntos da rede inteira.
            • O problema de Kakeya: os aspectos teóricos dos números. (Os aspectos analíticos de Fourier requerem um bom conhecimento em análise harmônica e, esperançosamente, serão incluídos em um curso de tópicos separados em algum momento no futuro.)
            • Soma vs. produtos: se A é um conjunto de n números, deve pelo menos um dos conjuntos e tem cardinalidade (quase) n 2?
            • Problemas de definição de distância (exemplo: qual é o número mínimo de distâncias distintas entre n pontos no plano?).
            • E muitos outros de sabor semelhante: fáceis de declarar, difíceis de resolver, muitas vezes requerem a combinação de métodos e ideias aparentemente não relacionados.

            Cronograma e formato:

            As reuniões serão menos estruturadas do que na maioria dos cursos de pós-graduação, com ênfase na discussão, troca de idéias e solução de problemas, em vez de palestras formais. Grande parte do aprendizado deve ocorrer durante as reuniões, em tempo real. Eu gostaria que cada reunião fosse presidida por uma pessoa designada (não necessariamente eu), que será solicitada a ler o material atual com antecedência, apresentar uma breve introdução, responder a perguntas e moderar a discussão de outra forma. Todos são encorajados a participar.

            O curso completo (2 semestres) vale 4 créditos se você se inscrever. No entanto, você não precisa se inscrever para participar. (Como este é um curso de leitura, não há um número mínimo de alunos exigido.)


            Teoria dos Números

            Mostramos que um número de raiz ortogonal de um parâmetro L temperado se decompõe como o produto de dois outros números: o número de raiz ortogonal do parâmetro principal e o valor em uma certa involução do caractere central de Langlands para o parâmetro. A fórmula resolve uma conjectura de Gross e Reeder e calcula os números das raízes das representações de Weil-Deligne que surgem no trabalho de Hiraga, Ichino e Ikeda na medida de Plancherel.

            Dados inteiros positivos de coprime $ d ', d' '$, o Lema de B ' ezout nos diz que existem inteiros $ u, v $ de modo que $ d'u-d''v = 1 $. Mostramos que, trocando $ d '$ e $ d' '$ se necessário, podemos escolher $ u $ e $ v $ como números loeschianos, ou seja, da forma $ | alpha | ^ 2 $, onde $ alpha in mathbb[j] $, o anel de inteiros do campo numérico $ mathbb(j) $, onde $ j ^ 2 + j + 1 = 0 $. Fazemos isso usando elementos de Atkin-Lehner em algumas álgebras de quaternion $ mathcal$. Usamos este fato para contar o número de classes de conjugação de elementos de ordem 3 em uma ordem $ mathcal subset mathcal$.

            Em 1975, Don Zagier obteve uma nova versão da fórmula do limite de Kronecker para um campo quadrático real que envolvia uma função interessante $ F (x) $ que agora é conhecida como emph. Conforme demonstrado por Zagier, e muito recentemente por Radchenko e Zagier, $ F (x) $ satisfaz belas propriedades que são de interesse tanto na teoria algébrica dos números quanto na teoria analítica dos números. Neste artigo, estudamos $ mathscr_(x) $, uma extensão da função Herglotz que também inclui emph de Vlasenko e Zagier. Nós o chamamos de emph. Está intimamente ligado a uma certa série generalizada de Lambert. Derivamos dois tipos diferentes de equações funcionais satisfeitas por $ mathscr_(x) $. Radchenko e Zagier deram uma bela relação entre o integral $ displaystyle int_ <0> ^ <1> frac < log (1 + t ^ x)> <1 + t> , dt $ e $ F (x) $ e o usou para avaliar esta integral em vários argumentos racionais e irracionais. Obtemos uma relação entre $ mathscr_(x) $ e uma generalização da integral acima envolvendo polilogaritmo. As expansões assintóticas de $ mathscr_(x) $ e algumas séries generalizadas de Lambert também são obtidas junto com outros resultados suplementares.

            As formas normais de Jordan servem como excelentes representantes de classes de conjugação de matrizes sobre campos fechados. Uma vez que conhecemos as formas normais, podemos calcular funções de matrizes, seu invariante principal, etc. A situação é muito mais complicada se procurarmos por formas normais para classes de conjugação sobre campos que não são fechados e especialmente para anéis.
            Neste artigo estudamos classes de conjugação PGL (2, Z) de matrizes GL (2, Z). Para o anel de inteiros, a abordagem de Jordan tem várias limitações e, na verdade, não é eficaz. As formas normais das classes de conjugação de matrizes GL (2, Z) são fornecidas pela teoria alternativa, conhecida como Teoria da Redução de Gauss. Apresentamos uma nova técnica para calcular formas reduzidas na Teoria da Redução de Gauss em termos dos elementos de certas frações contínuas. A abordagem atual é baseada no progresso recente na geometria dos números. A técnica proposta fornece um cálculo explícito de períodos de frações contínuas para as inclinações de autovetores.

            Dados inteiros positivos $ j, k $, com $ j geq 2 $, mostramos que existem inteiros positivos $ d, e $ tais que $ sqrt$ continuou a expansão de fração $ sqrt= [e, overline] $, ​​com o período $ j $, se e somente se $ k $ for par ou $ 3 nmid j $, caso em que fornecemos fórmulas fechadas para encontrar todos esses $ d, e $, bem como a menor solução em inteiros positivos à equação de Fermat-Pell $ X ^ 2-dY ^ 2 = (- 1) ^ j $.

            Lista cruzada para Quarta, 7 de Julho de 21

            Seja $ ell $ um primo, $ k $ um campo finitamente gerado de característica diferente de $ ell $, e $ X $ uma curva suave geometricamente conectada sobre $ k $. Digamos uma representação semi-simples de $ pi_1 ^ < mathrm> (X _ < bar k>) $ é aritmético se se estende a um subgrupo de índice finito de $ pi_1 ^ < mathrm> (X) $. Mostramos que existe uma constante efetiva $ N = N (X, ell) $ tal que qualquer representação aritmética semi-simples de $ pi_1 ^ < mathrm> (X _ < bar k>) $ em $ mathrm_n ( overline < mathbb_ ell>) $, que é o mod trivial $ ell ^ N $, é de fato trivial. Isso estende um resultado anterior do segundo autor da característica zero para todas as características. A prova se baseia em uma nova versão não comutativa do teorema de linearização de Siegel e na forma $ ell $ -adic do teorema de Baker sobre formas lineares em logaritmos.

            O objetivo deste artigo é apresentar os polinômios de Laguerre generalizados degenerados como a versão degenerada dos polinômios de Laguerre generalizados e derivar algumas propriedades relacionadas a esses polinômios e números de Lah, incluindo uma expressão explícita, uma fórmula do tipo de Rodrigues e expressões para os derivados .
            A novidade do presente artigo é que ele é o primeiro artigo sobre versões degeneradas de polinômios ortogonais.

            Estabelecemos convergência média para médias ergódicas múltiplas com iterações dadas por potências fracionárias distintas de primos e resultados de recorrência múltipla relacionados. Uma consequência do nosso resultado principal é que cada conjunto de inteiros com densidade superior positiva contém padrões da forma $ $, onde $ a, b $ são não-inteiros positivos e $ p_n $ denota o $ n $ -ésimo primo, uma propriedade que falha se $ a $ ou $ b $ é um número natural. Nossa abordagem é baseada em um critério recente de ergodicidade conjunta de coleções de sequências e a maior parte da prova é dedicada à obtenção de boas estimativas seminormicas para as médias ergódicas múltiplas relacionadas. Os dados de entrada necessários da teoria dos números são os limites superiores para o número de $ k $ -tuplos primos que seguem das estimativas da teoria da peneira elementar e dos resultados da equidistribuição de potências fracionárias dos primos no círculo.

            Neste artigo, provamos que se $ < varphi_i (x) = lambda x + t_i > $ é um sistema de função iterada equicontrativa e $ b $ é um número inteiro positivo que satisfaz $ frac < log b> < log | lambda |> notin mathbb, $ então quase todo $ x $ é normal na base $ b $ para qualquer medida auto-similar não atômica de $ < varphi_i > $.


            8: Outros tópicos em teoria dos números - matemática

            • Editora: CRC Press
            • Ano: 2016
            • ISBN: 9781498717496 (capa dura)
            • 414 pp
            • O livro inclui: website

            Descrição Introdução à Teoria dos Números é um texto testado em sala de aula, amigável ao aluno que cobre uma variedade de tópicos da teoria dos números, desde o antigo algoritmo euclidiano para encontrar o maior divisor comum de dois inteiros até desenvolvimentos recentes, como criptografia, a teoria da elíptica curvas, e a solução negativa do décimo problema de Hilbert. Os autores ilustram as conexões entre a teoria dos números e outras áreas da matemática, incluindo álgebra, análise e combinatória. Eles também descrevem aplicações da teoria dos números para problemas do mundo real, como congruências no sistema ISBN, aritmética modular e teorema de Euler na criptografia RSA e resíduos quadráticos na construção de torneios.

            Ideal para um curso de graduação de um ou dois semestres, esta segunda edição:

            Apresenta uma estrutura mais flexível que oferece uma gama maior de opções para o design do curso
            Adiciona novas seções nas representações de inteiros e o teorema do resto chinês
            Expande conjuntos de exercícios para abranger uma ampla variedade de problemas, muitos dos quais relacionam a teoria dos números a campos fora da matemática (por exemplo, música)
            Fornece cálculos para experimentação computacional usando SageMath, um sistema de software de matemática de código aberto gratuito, bem como Mathematica e Maple , online por meio de um site robusto mantido pelo autor
            Inclui um manual de soluções com a adoção do curso de qualificação

            Ao abordar assuntos fundamentais e avançados & # 8213 e usar exemplos trabalhados, vários exercícios e pacotes de software populares para garantir uma compreensão prática & # 8213Introdução à Teoria dos Números, a Segunda Edição instila uma base sólida de conhecimento da teoria dos números. Recursos adicionais Tópicos relacionados ao site complementar Teoria dos números


            Tópicos em Teoria dos Números (WI21)

            Informações do curso:

            • Palestras: Segunda, quarta, sexta-feira, bloco F (14h35 - 15h40 EST)
            • Tipo de curso: Remoto com componentes síncronos (RSC)
            • período x: Quinta-feira, bloco FX (13h40 - 14h30 EST)
            • Datas: 7 de janeiro de 2021 - 10 de março de 2021
            • Link de zoom: Use a barra de navegação. Envie-me um e-mail se tiver algum problema.
            • Instrutor: John Voight
            • E-mail:[email protected]
            • Horário comercial: durante as horas x, ou marque uma consulta por e-mail!
            • Página do curso na web:https://canvas.dartmouth.edu/courses/44283 (ou http://www.math.dartmouth.edu/
            • Pré-requisitos: Math 101 ou equivalente, mas um apetite matemático saudável é suficiente. O curso é projetado para ter vários pontos de entrada, dependendo do seu histórico.
            • Textos Recomendados:
              • James E. Humphreys, Linear Algebraic Groups, 1981.
              • BANHEIRO. Waterhouse, Introduction to Affine Group Schemes, 1979.
              • Gunter Malle e Donna Testerman, Linear Algebraic Groups and Finite Groups of Lie Type, 2011.
              • T.A. Springer, Linear Algebraic Groups, 2ª ed., 1998.
              • Willem Adriaan de Graaf, Computation with Linear Algebraic Groups, 2017.

              Descrição:

              Um grupo algébrico linear é um subgrupo de matrizes invertíveis definidas por equações polinomiais (nas entradas da matriz e o inverso do determinante). Grupos algébricos lineares sustentam toda a matemática e, neste curso, iremos estudá-los de uma perspectiva abstrata. Nosso ponto de vista: busque toda a graça da álgebra linear e da teoria dos grupos, mas do ponto de vista da geometria algébrica. Em particular, buscaremos a notável classificação dos grupos redutivos, os grupos algébricos lineares mais importantes na prática.

              Resultados de aprendizagem:

              Ao final deste curso, você será capaz de compreender as estruturas básicas dos grupos algébricos lineares: definir termos, explicar seu significado e aplicá-los no contexto.

              Páginas Adicionais:

              A página do programa mostra uma visão orientada a tabela da programação do curso e os fundamentos da classificação do curso. Você pode adicionar qualquer outro comentário, nota ou opinião que tiver sobre a estrutura do curso, as políticas do curso ou qualquer outra coisa.


              8: Outros tópicos em teoria dos números - matemática

              O ensino de matemática nas escolas Waldorf é baseado em uma forma de realismo, que Steiner também designou como monismo (Steiner GA 1, capítulo 6 'O modo de cognição de Goethe ' (Edição alemã de 1987, p. 129) - e Steiner GA 4, capítulo 7 _ Existem limites de reconhecimento? (Edição alemã de 1995, p. 124)). A importância disso é que os conceitos, ativos na mente, estão diretamente envolvidos na construção da realidade, em oposição a serem generalidades abstraídas de instâncias múltiplas à maneira do nominalismo. Na recente filosofia da matemática, tais posições estão sendo apresentadas mais uma vez em uma série de variantes (ver Wilholt 2004)

              De acordo com Steiner, o conhecimento surge através da combinação de conceitos apropriados com uma experiência sensorial ou psicológica particular. Isso necessariamente implica que o processo de formação de conceitos matemáticos também envolve imbuir algum elemento da experiência com conteúdo conceitual e, assim, elevá-lo ao reino do pensamento puro. Na medida em que a matemática pode ser baseada na experiência sensorial, em relação à formação de conceitos, a área primária em questão é a do Atividades dos sentidos de equilíbrio e movimento (o sentido cinestésico). Estes estão principalmente preocupados em ordenar os movimentos do corpo em relação ao espaço e, como tal, são autoativados em vez de envolvidos na transmissão de informações de fora (Steiner GA 21, ‘5. Sobre a base real dos relacionamentos intencionais ' (Edição alemã de 1983, p. 143ss.)) Schuberth, 2012). Seguindo o curso do desenvolvimento infantil, então, o caminho leva gradualmente do cultivo dos sentidos em conexão com os números ao pensamento puro em conceitos matemáticos, conforme vividamente descrito de forma exemplar por Alexander Israel Wittenberg (Wittenberg 1968, 1990). Portanto, os conceitos matemáticos não são adquiridos por meio da abstração da experiência dos sentidos externos. Em termos de conteúdo, eles são supra-empíricos. Embora possam ser aplicados ao mundo exterior, sua beleza e flexibilidade vão além dessa aplicação prática. Na busca pela matemática, o ser humano habita um mundo objetivo de ideias, além de simpatias, antipatias e meras opiniões. Todos os que se apegam a um determinado conceito com seu pensamento entram na mesma esfera espiritual. (Locher-Ernst 1954).

              Diante de tudo isso, a matemática não pode ser apenas uma questão de aprender definições, teoremas, provas e estratégias de resolução de problemas, nem de estudar os produtos do pensamento nominalista (cf. Bourbaki 1957: p. 8 Field 1980). Qualquer ensino de matemática que se preze deve proporcionar aos alunos encontros autênticos com fenômenos matemáticos - na escola primária, é claro, em associação com ações concretas e tipos apropriados de perguntas. “Objetos” matemáticos não podem, é claro, ser apresentados da mesma forma que, digamos, experimentos em física. Eles surgem na mente quando os alunos criam uma imagem mental por meio de um processo ativo, muitas vezes por meio de movimento ou uma transformação desse movimento (por exemplo, Bernhard 1984 1999: Ulin 1987 e, mais recentemente, por exemplo, Weber 2009). A experiência dos fenômenos matemáticos, portanto, anda de mãos dadas com a atividade interna produtiva, permitindo que os alunos se envolvam na dinâmica do desenvolvimento de conceitos matemáticos.

              Só então os fenômenos são colocados em ordem sistemática e, finalmente, nas discussões de classe, suas implicações e consequências mais amplas para a formação de outros conceitos considerados (Steiner GA 302, 14.06.1921 (edição alemã 1986, p 42ss.) Sigler 2010)) . Isso permite que os alunos aprendam a praticar a comunicação e a argumentação matemática. Desse modo, fazer matemática continua sendo um processo aberto, que estimula a imaginação, o senso estético e o desejo de saber mais. O objetivo é chegar a uma compreensão genuína dos fenômenos e suas inter-relações, e não apenas um recurso formal para garantir o conhecimento. Isso é conseguido através da adaptação do conteúdo e métodos à capacidade de evolução gradual dos alunos para formar julgamentos, de modo que as aulas promovam um desenvolvimento saudável de sua capacidade geral de julgar.

              Este é um plano sistemático e de longo prazo, que dá suporte ao processo delineado acima, no qual o desenvolvimento de conceitos matemáticos é organizado em diferentes níveis. À medida que cada uma se desdobra, seu conteúdo é colocado em um novo contexto e, assim, suas implicações se estendem. Um exemplo notável de tal processo cumulativo de desenvolvimento de habilidades é o teorema de Pitágoras:

              Classe / grau 5: primeira sugestão do teorema de Pitágoras através da derivação de dois quadrados congruentes de um quadrado

              Classe / 6ª série: abordagem orientada para a prática do teorema de Pitágoras, especialmente no triângulo retângulo isósceles

              Aula / 7ª série: prova intuitiva do teorema de Pitágoras ao adicionar e dividir áreas de provas visuais alternativas

              Classe / série 8: provas por meio de transformações de cisalhamento

              Classe / 9ª série: Pitagóricas triplas raízes quadradas

              Classe / série 10: interpretação geométrica do teorema do cosseno como uma generalização do teorema de Pitágoras

              Passos adicionais podem ser encontrados na geometria das esferas ou - mais geralmente - na geometria das superfícies curvas (Steiner GA 300c, 30.04.1924 (Edição Alemã 1975, p. 155)).

              Tais sequências formam agrupamentos temáticos (Wittenberg 1990: p. 122ff.), Que eventualmente se encontram e se mesclam de tal forma que os "processos de formação de conceito característicos de cada um deles" (Wiegand 2014: p. 114) levam à criação de "viver ( flexíveis) ”(Steiner GA 293, 30.08.1919 (edição alemã 1992, p. -140), que são suscetíveis de extensão e crescimento.

              Outra perspectiva importante é a relação da matemática com a vida cotidiana. Vez após vez, oportunidades serão aproveitadas para demonstrar relevância prática, como, por exemplo, na lição principal do ensino médio sobre levantamento topográfico, onde a trigonometria encontra sua aplicação prática, ou nos métodos geométricos de desenho técnico usados ​​em arquitetura e projeto de máquinas, ou na aplicação da teoria da álgebra e das funções a cálculos no mundo dos negócios e das finanças.

              Já nos primeiros anos da escola primária, no entanto, os números e as operações são definidos em relação a situações simples do dia-a-dia ou descrições imaginativas. Na 3ª série, a aritmética simples é introduzida em conexão com a medição nas lições principais de construção e agricultura. As frações envolvem abordar uma variedade de sentidos em uma ampla gama de atividades. A álgebra começa trabalhando com fórmulas comerciais (cálculo de juros), e a abordagem das equações também envolve o foco em muitos exemplos úteis e práticos. “Todo ensino deve instruir na arte de viver.” (Steiner GA 192, 11.05.1919 (Edição Alemã 1991, p. 98)). Hoje em dia, esta injunção de Steiner é cada vez mais considerada relevante para todos os tipos do ensino da matemática (cf. Maass 2011). É importante, entretanto, distinguir entre o que é chamado de “modelagem” nas discussões educacionais atuais, e o que Steiner quis dizer com “instrução na arte de viver”. O primeiro é baseado no pressuposto de que as formas matemáticas de pensamento só podem ser modelos da realidade. Sendo este o caso, os modelos matemáticos podem ser legitimamente aplicados a todas as áreas da vida igualmente. Seu grau de relevância em cada área é discutido posteriormente. Este último, em contraste, representa a visão de que a matemática só é aplicável às áreas que são inerentemente matemáticas de qualquer maneira, ou onde sua relevância prática para a vida cotidiana é facilmente demonstrável para os alunos.

              Tudo isso de forma alguma implica, entretanto, que não haja razões puramente matemáticas para abrir novos tópicos. A teoria dos números e, mais particularmente, a geometria geram ampla motivação para buscar matemática por amor à sua clareza intrínseca e legalidade objetiva.

              Em todas as escolas, além das disciplinas normalmente cobertas de aritmética, álgebra, análise e estatística, a geometria constitui um segundo ramo principal do currículo. Geometria elementar, geometria sólida - ambas frequentemente um elemento das aulas de arte no colégio - e geometria projetiva juntas constituem os pilares centrais do que é, na verdade, um currículo em seu próprio direito. Eles são tratados independentemente da tendência, em última análise, mais algébrica dos tópicos em oferta. Somente na aula 11, em geometria analítica, esses dois aspectos do currículo se encontram. Isso ocorre principalmente com o objetivo de criar oportunidades de praticar essas duas formas de pensar e avaliar seus respectivos méritos.

              O método empregado aqui visa o desenvolvimento de diferentes modos de pensamento. Accordingly, from the first year of school onward – for instance, with the very first introduction of numbers – a beginning is made in approaching things from the whole to the parts (analytical thinking). This is subsequently paralleled, as Steiner says, by synthetic thinking, in which the whole is understood as the co-operative interaction of the parts. This can be continued in all succeeding classes and subjects (Steiner GA 294, 21.08.1919 (German edition 1974, p. 13)) Schubert 2012 p. 38ff.). It is confidently assumed that the mutual effects of such modes of thinking, intrinsic as they are to certain subjects, will rub off on other realms of knowledge and also upon the students’ life of feeling and will (GA 301, 05.05.1920 (German edition 1977, p. 152 ff.)) Schubert 1990).

              Mathematics is given in the form of main lesson blocks all the way through the school. From around class 6 two running lessons are added in. During the class-teacher period (from classes 1 to 8) the organisation and timing of the main lessons is basically at the discretion of the class-teacher. The original intention was – and this was the practice of the first Waldorf school in Stuttgart – that there should be 12 weeks of mathematics per year in the first five years, 10 in each of the next three years (classes 6 – 8), and then 8 weeks in each of the high school years (9 – 12). Of course, these times are by no means fixed, and can be varied according to the particular school’s requirements.

              The running lessons are mainly there to give opportunities for acquiring and practising certain abilities and skills, so that the necessary mathematical procedures and techniques can be mastered. To this end the work is centred around problems, involving practice in the application of heuristic strategies and in this way finding approaches to a solution (Götte, Loebell and Maurer 2009 p. 280 Ulin 1987: p. 26ff.). This requires a store of graded exercises, capable of being fitted to individual needs, which enables the students to observe, document and gradually take responsibility for their own progress in learning.

              The guiding principle for the use of electronic aids such as various kinds of calculators or of “dynamic geometry” software is the extent to which they encourage active engagement with the mathematic phenomena concerned and thus promote genuine skills development. As a rule this leads to computer aids being used in very consciously controlled doses from class 9 or 10 onwards.