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5.4: Produtos Cartesianos - Matemática


PREVIEW ACTIVITY ( PageIndex {1} ): Uma Equação com Duas Variáveis

Na Seção 2.3, introduzimos o conceito de conjunto de verdade de uma frase aberta com uma variável. Este foi definido como o conjunto de todos os elementos do conjunto universal que podem ser substituídos pela variável para tornar a frase aberta uma afirmação verdadeira.

Em cursos anteriores de matemática, também tivemos experiência com frases abertas com duas variáveis. Por exemplo, se assumirmos que x e y representam números reais, então a equação

(2x + 3y = 12 )

é uma frase aberta com duas variáveis. Um elemento do conjunto verdade desta frase aberta (também chamada de solução da equação) é um par ordenado ( (a ), (b )) de números reais de modo que quando (a ) é substituído por (x ) e (b ) é substituído por (y ), a frase aberta torna-se uma afirmação verdadeira (uma equação verdadeira neste caso). Por exemplo, vemos que o par ordenado (6, 0) está na verdade definido para esta frase aberta, uma vez que

(2 cdot 6 + 3 = 12 )

é uma afirmação verdadeira. Por outro lado, o par ordenado (4, 1) não está na verdade definida para esta frase aberta, uma vez que

(2 cdot 4 + 3 cdot 1 = 12 )

é uma declaração falsa.

Nota importante: A ordem dos dois números no par ordenado é muito importante. Estamos usando a convenção de que o primeiro número deve ser substituído por (x ) e o segundo número deve ser substituído por (y ). Com esta convenção, (3, 2) é uma solução da equação (2x + 3y = 12 ), mas (2, 3) não é uma solução desta equação.

  1. Liste seis elementos diferentes do conjunto verdade (geralmente chamado de conjunto solução) da frase aberta com duas variáveis ​​ (2x + 3y = 12 ).
  2. De cursos anteriores de matemática, sabemos que o gráfico da equação (2x + 3y = 12 ) é uma linha reta. Esboce o gráfico da equação (2x + 3y = 12 ) no plano de coordenadas (xy ). O que mostra o gráfico da equação (2x + 3y = 12 )?
  3. Escreva uma descrição do conjunto de solução (S ) da equação (2x + 3y = 12 ) usando a notação de construtor de conjunto.

VISUALIZAR ATIVIDADE ( PageIndex {1} ): O produto cartesiano de dois conjuntos

Em Preview Activity ( PageIndex {1} ), trabalhamos com pares ordenados sem fornecer uma definição formal de um par ordenado. Em vez disso, confiamos em seu trabalho anterior com pares ordenados, principalmente em equações gráficas com duas variáveis. A seguir está uma definição formal de um par ordenado.

Definição: par ordenado

Sejam (A ) e (B ) conjuntos. Um par ordenado (com o primeiro elemento de (A ) e o segundo elemento de (B )) é um único par de objetos, denotado por ( (a ), (b )), com (a em A ) e (b in B ) e uma ordem implícita. Isso significa que, para dois pares ordenados serem iguais, eles devem conter exatamente os mesmos objetos na mesma ordem. Ou seja, se (a, c in A ) e (b, d in B ), então

( (a ), (b )) = ( (c ), (d )) se e somente se (a = c ) e (b = d ).

Os objetos no par ordenado são chamados de coordenadas do par ordenado. No par ordenado ( (a ), (b )), (a ) é o primeira coordenada e (b ) é o segunda coordenada.

Vamos agora introduzir uma nova operação de conjunto que fornece uma maneira de combinar elementos de dois conjuntos dados para formar pares ordenados. A ideia básica é que iremos criar um conjunto de pares ordenados.

Definição: produto cartesiano

Se (A ) e (B ) são conjuntos, então o produto cartesiano, (A vezes B ), de (A ) e (B ) é o conjunto de todos os pares ordenados ( (x ), (y )) onde (x em A ) e (y em B ). Usamos a notação (A vezes B ) para o produto cartesiano de (A ) e (B ), e usando a notação de construtor de conjunto, podemos escrever

(A vezes B = {(x, y) | x em A text {e} y em B } ).

Freqüentemente lemos (A vezes B ) como " (A ) cruzado (B )." No caso em que os dois conjuntos são iguais, escreveremos (A ^ 2 ) para (A vezes A ). Isso é,

(A ^ 2 = A vezes A = {(a, b) | a em A text {e} b em A } ).

Seja (A = ) {1, 2, 3} e (B = ) { (a ), (b )}.

  1. O par ordenado (3, (a )) está no produto cartesiano (A vezes B )? Explique.
  2. O par ordenado (3, (a )) está no produto cartesiano (A vezes A )? Explique.
  3. O par pedido (3, 1) está no produto cartesiano (A vezes A )? Explique.
  4. Usando o método de lista para especificar todos os elementos de (A times B ). (Lembre-se de que os elementos de (A vezes B ) serão pares ordenados.
  5. Use o método de escala para especificar todos os elementos do conjunto (A vezes A = A ^ 2 ).
  6. Para quaisquer conjuntos (C ) e (D ), explique cuidadosamente o que significa dizer que o par ordenado ( (x ), (y )) não está no produto cartesiano (C vezes D ).

Produtos Cartesianos

Ao trabalhar com produtos cartesianos, é importante lembrar que o produto cartesiano de dois conjuntos é ele próprio um conjunto. Nesse caso, os elementos de um produto cartesiano são pares ordenados. Devemos pensar em um par ordenado como um único objeto que consiste em dois outros objetos em uma ordem especificada. Por exemplo,

  • Se (a ne 1 ), então o par ordenado (1, (a )) não é igual ao par ordenado ( (a ), 1). Ou seja, (1, (a )) ( ne ) ( (a ), 1).
  • Se (A = ) {1, 2, 3} e (B = ) { (a ), (b )}, então o par ordenado (3, (a )) é um elemento do conjunto (A vezes B ). Ou seja, (3, (a )) ( em A vezes B ).
  • Se (A = ) {1, 2, 3} e (B = ) { (a ), (b )}, então o par ordenado (5, (a )) não é um elemento do conjunto (A vezes B ) desde (5 não em A ). Ou seja, ((5, a) notin A vezes B ).

Na Seção 5.3, estudamos certas propriedades de união de conjuntos, interseção de conjuntos e complementos de conjuntos, que chamamos de álgebra de conjuntos. Agora começaremos algo semelhante para os produtos cartesianos. Começamos examinando alguns exemplos específicos na Verificação de Progresso 5.23 e um pouco mais tarde na Verificação de Progresso 5.24.

verificação de progresso 5.23 (relações entre produtos cartesianos)

Seja (A = ) {1, 2, 3}, (T = ) {a, b} e (C = ) {a, c}. Podemos então formar novos conjuntos a partir de todas as operações de conjunto que estudamos. Por exemplo, (B cap C = ) { (a )}, e assim

(A vezes (B cap C) = {(1, a), (2, a), (3, a) }. )

  1. Use o método de lista para listar todos os elementos (pares ordenados) em cada um dos seguintes conjuntos:

    (a) (A vezes B )
    (b) (T vezes B )
    (c) (A vezes C )
    (d) (A vezes (B cap C) )
    (e) ((A vezes B) cap (A vezes C) )
    (f) (A vezes (B xícara C) )
    (g) ((A vezes B) xícara (A vezes C) )
    (h) (A vezes (B - C) )
    (i) ((A vezes B) - (A vezes C) )
    (j) (B vezes A )

  2. Liste todas as relações entre os conjuntos na Parte (1) que você observar.
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O Plano Cartesiano

Em Preview Activity ( PageIndex {1} ), esboçamos o gráfico da equação (2x + 3y = 12 ) no plano (xy ). Este (xy ) - plano, com o qual você está familiarizado, é uma representação do conjunto ( mathbb {R} times mathbb {R} ) ou ( mathbb {R} ^ 2 ). Este plano é chamado de plano cartesiano.

A ideia básica é que cada par ordenado de números reais corresponde a um ponto no plano, e cada ponto no plano corresponde a um par ordenado de números reais. Esta representação geométrica de ( mathbb {R} ^ 2 ) é uma extensão da representação geométrica de ( mathbb {R} ) como uma linha reta cujos pontos correspondem a números reais.

Uma vez que o produto cartesiano ( mathbb {R} ^ 2 ) corresponde ao plano cartesiano, o produto cartesiano de dois subconjuntos de ( mathbb {R} ) corresponde a um subconjunto do plano cartesiano. Por exemplo, se (A ) é o intervalo [1, 3], e (B ) é o intervalo [2, 5], então

(A vezes B = {(x, y) in mathbb {R} ^ 2 | 1 le x le 3 text {e} 2 le y le 5 }. )

Um gráfico do conjunto (A vezes B ) pode então ser desenhado no plano cartesiano, conforme mostrado na Figura 5.6.

Isso ilustra que o gráfico de um produto cartesiano de dois intervalos de comprimento finito em ( mathbb {R} ) corresponde ao interior de um retângulo e possivelmente alguns ou todos os seus limites. A linha sólida para o limite na Figura 5.6 indica que o limite está incluído. Nesse caso, o produto cartesiano continha todos os limites do retângulo. Quando o gráfico não contém uma parte do limite, geralmente desenhamos essa parte do limite com uma linha pontilhada.

Nota: um cuidado sobre notação. A notação padrão para um intervalo aberto em ( mathbb {R} ) é a mesma que a notação para um par ordenado, que é um elemento de ( mathbb {R} times mathbb {R} ). Precisamos usar o contexto no qual a notação é usada para determinar qual interpretação é pretendida. Por exemplo,

  • Se escrevermos ( (sqrt 2 ), 7) ( in mathbb {R} times mathbb {R} ), então estamos usando ( (sqrt 2 ), 7) para representar um par de números reais.
  • Se escrevermos (1, 2) ( times ) {4}, então estamos interpretando (1, 2) como um intervalo aberto. Poderíamos escrever

(1, 2) ( vezes ) {4} = {( (x ), 4) | 1 < (x ) <2}.

A seguinte verificação de progresso explora algumas das mesmas idéias exploradas na Verificação de Progresso 5.23, exceto que intervalos de números reais são usados ​​para os conjuntos.

Verificação de progresso 5.24: Produtos cartesianos de intervalos

Usaremos os seguintes intervalos que são subconjuntos de ( mathbb {R} ).

(A = ) [0, 2] (T = ) (1, 2) (B = ) [2, 4) (C = ) (3, 5]

  1. Desenhe um gráfico de cada um dos seguintes subconjuntos do plano cartesiano e escreva cada subconjunto usando a notação de construtor de conjunto.

    (a) (A vezes B )
    (b) (T vezes B )
    (c) (A vezes C )
    (d) (A vezes (B cap C) )
    (e) ((A vezes B) cap (A vezes C) )
    (f) (A vezes (B xícara C) )
    (g) ((A vezes B) xícara (A vezes C) )
    (h) (A vezes (B - C) )
    (i) ((A vezes B) - (A vezes C) )
    (j) (B vezes A )

  2. Liste todas as relações entre os conjuntos na Parte (1) que você observar.
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Um dos objetivos do trabalho nas Verificações de Progresso 5.23 e 5.24 era indicar a plausibilidade de muitos dos resultados contidos no próximo teorema.

Teorema 5,25

Let (A ), (B ). e (C ) são conjuntos. Então

  1. (A vezes (B cap C) = (A vezes B) cap (A vezes C) )
  2. (A vezes (B xícara C) = (A vezes B) xícara (A vezes C) )
  3. ((A cap B) vezes C = (A vezes C) cap (B vezes C) )
  4. ((A xícara B) vezes C = (A vezes C) xícara (B vezes C) )
  5. (A vezes (B - C) = (A vezes B) - (A vezes C) )
  6. ((A - B) vezes C = (A vezes C) - (B vezes C) )
  7. Se (T subseteq A ), então (T vezes B subseteq A vezes B ).
  8. Se (T subseteq B ), então (A vezes Y subseteq A vezes B ).

Não provaremos todos esses resultados; em vez disso, provaremos a Parte (2) do Teorema 5.25 e deixaremos parte do restante para os exercícios. Ao construir essas provas, precisamos ter em mente que os produtos cartesianos são conjuntos e, portanto, seguimos muitos dos mesmos princípios para provar relacionamentos de conjuntos que foram introduzidos nas Seções 5.2 e 5.3.

Outra coisa a lembrar é que os elementos de um produto cartesiano são pares ordenados. Portanto, quando iniciamos uma prova de um resultado como a Parte (2) do Teorema 5.25, o objetivo principal é provar que os dois conjuntos são iguais. Faremos isso provando que cada um é um subconjunto do outro. Portanto, se quisermos provar que (A vezes (B xícara C) subseteq (A vezes B) xícara (A vezes C) ), podemos começar escolhendo um elemento arbitrário de (A vezes (B xícara C) ). O objetivo é então mostrar que este elemento deve estar em ((A vezes B) xícara (A vezes C) ). Quando começamos escolhendo um elemento arbitrário de (A times (B cup C) ), poderíamos dar um nome a esse elemento. Por exemplo, podemos começar deixando

[u text {ser um elemento de} A vezes (B cup C). ]

Podemos então usar a definição de "par ordenado" para concluir que

[ text {existe} x em A text {e sai} y em B cup C text {tal que} u = (x, y). ]

Para provar que (A vezes (B xícara C) subseteq (A vezes B) xícara (A vezes C) ), devemos agora mostrar que o par ordenado (u ) de ( 5.4.1) está em (A vezes (B xícara C) subseteq (A vezes B) xícara (A vezes C) ). Para fazer isso, podemos usar a definição de união de conjuntos e provar que

[u in (A vezes B) text {ou} u in (A vezes C). ]

Uma vez que (u = (x, y) ), podemos provar (5.4.3) provando que

[(x em A text {e} y em B) text {ou} (x em A text {e} y em C). ]

Se olharmos para as sentenças em (5.4.2) e (5.4.4), parece que estamos muito perto de provar que (A vezes (B xícara C) subseteq (A vezes B) xícara (A vezes C) ). A seguir está uma prova da Parte (2) do Teorema 5.25.

Teorema 5.25 (Parte (2)).

Let (A ), (B ). Então

(A vezes (B xícara C) = (A vezes B) xícara (A vezes C) )

Prova

Let (A ), (B ). Vamos provar que (A vezes (B xícara C) ) é igual a ((A vezes B) xícara (A vezes C) ) provando que cada conjunto é um subconjunto do outro conjunto .

Para provar que (A vezes (B xícara C) subseteq (A vezes B) xícara (A vezes C) ), deixamos (u em A vezes (B xícara C) ) Então existe (x em A ) e existe (y em B cup C ) tal que (u = (x, y) ). Como (y in B cup C ), sabemos que (y in B ) ou (y in C ).

No caso em que (y em B ), temos (u = (x, y) ), onde (x em A ) e (y em B ). Portanto, neste caso, (u in A vezes B ) e, portanto, (u in (A vezes B) xícara (A vezes C) ). Da mesma forma, no caso em que (y em C ), temos (u = (x, y) ), onde (x em A ) e (y em C ). Portanto, neste caso, (u em A vezes C ) e, portanto, (u in (A vezes B) xícara (A vezes C) ).

Em ambos os casos, (u in (A vezes B) xícara (A vezes C) ). Portanto, podemos concluir que se (u ) é um elemento de (A vezes (B xícara C) ), então (u in (A vezes B) xícara (A vezes C) ), e isso prova que

[A vezes (B xícara C) subseteq (A vezes B) xícara (A vezes C). ]

Devemos agora provar que ((A vezes B) xícara (A vezes C) subseteq A vezes (B xícara C) ). Então vamos deixar (v in (A vezes B) xícara (A vezes C) ). Então (v in (A vezes B) ) ou (v in (A vezes C) ).

No caso em que (v in (A times B) ), sabemos que existe (s in A ) e existe (t in B ) tal que (v = (s , t) ). Mas porque (t in C ), podemos concluir que (t in B cup C ) e, portanto, (v in A times (B cup C) ).

Em ambos os casos, (v in A times (B cup C) ). Portanto, podemos concluir que se (v in (A vezes B) xícara (A vezes C) ), então (v in A vezes (B xícara C) ), e isso prova que

[(A vezes B) xícara (A vezes C) subseteq A vezes (B xícara C). ]

As relações em (5.4.5) e (5.4.6) provam que (A vezes (B xícara C) = (A vezes B) xícara (A vezes C) ).

Nota final.

A definição de um par ordenado em Atividade de visualização ( PageIndex {2} ) pode ter parecido uma definição extensa, mas em algumas áreas da matemática, uma definição ainda mais formal e precisa de “par ordenado” é necessária. Essa definição é explorada no Exercício (10).

Exercícios para a Seção 5.4

  1. Seja (A = ) {1, 2}, (B = ) { (a ), (b ), (c ), (d )} e (C = ) {1, (a ), (b )}. Use o método de lista para listar todos os elementos de cada um dos seguintes conjuntos:

    (a) (A vezes B )
    (b) (B vezes A )
    (c) (A vezes C )
    (d) (A ^ 2 )
    (e) (A vezes (B cap C) )
    (f) ((A vezes B) cap (A vezes C) )
    (g) (A vezes conjunto vazio )
    (h) (B vezes {2 } )

  2. Esboce um gráfico de cada um dos seguintes produtos cartesianos no plano cartesiano.

    (a) [0, 2] ( vezes ) [1, 3]
    (b) (0, 2) ( vezes ) (1, 3]
    (c) [2, 3] ( vezes ) {1}
    (d) {1} ( vezes ) [2, 3]
    (e) ( mathbb {R} ) ( vezes ) (2, 4)
    (f) (2, 4) ( vezes ) ( mathbb {R} )
    (g) ( mathbb {R} ) ( times ) {-1}
    (h) {-1} ( times ) [1, + ( infty ))

  3. Prove o Teorema 5.25, Parte (1): (A vezes (B cap C) = (A vezes B) cap (A vezes C) ).
  4. Prove o Teorema 5.25, Parte (4): ((A xícara B) vezes C = (A vezes C) xícara (B vezes C) ).
  5. Prove o Teorema 5.25, Parte (5): (A vezes (B - C) = (A vezes B) - (A vezes C) ).
  6. Prove o Teorema 5.25, Parte (7): Se (T subseteq A ), então (T vezes B subseteq A vezes B ).
  7. Seja (A = ) {1}, (B = ) {2} e (C = ) {3}.

    (a) Explique porque (A vezes B ne B vezes A ).
    (b) Explique porque (A vezes B) vezes C ne A vezes (B vezes C) ).

  8. Sejam (A ) e (B ) conjuntos não vazios. Prove que (A vezes B = B vezes A ) se e somente se (A = B ).
  9. A seguinte proposição é verdadeira ou falsa? Justifique sua conclusão.

    Sejam (A ), (B ) e (C ) conjuntos com (A ne emptyset ). Se (A vezes B = A vezes C ), então (B = C ). Explique onde a suposição de que (A ne emptyset ) é necessária.

    Explorações e Atividades

  10. (Uma definição teórica de um par ordenado) Em matemática elementar, a noção de um par ordenado introduzida no início desta seção será suficiente. No entanto, se estamos interessados ​​em um desenvolvimento formal do produto cartesiano de dois conjuntos, precisamos de uma definição mais precisa de par ordenado. A seguir está uma maneira de fazer isso em termos de conjuntos. Esta definição é creditada a Kazimierz Kuratowski (1896 - 1980). Kuratowski foi um famoso matemático polonês cujo trabalho principal foi nas áreas de topologia e teoria dos conjuntos. Ele foi nomeado Diretor da Academia Polonesa de Ciências e ocupou esse cargo por 19 anos.

    Seja (x ) um elemento do conjunto (A ), e seja (y ) um elemento do conjunto (B ). O par ordenado ( (x ), (y )) é definido para ser o conjunto ( { {x }, {x, y } } ). Isso é,
    [(x, y) = { {x }, {x, y } }. ]
    (a) Explique como essa definição nos permite distinguir entre os pares ordenados (3, 5) e (5, 3).

    (b) Sejam (A ) e (B ) conjuntos e sejam (a, c em A ) e (b, d em B ). Use esta definição de um par ordenado e o conceito de igualdade de conjuntos para provar que ((a, b) = (c, d) ) se e somente se (a = c ) e (b = d ) .

    Um triplo ordenado pode ser considerado um único triplo de objetos, denotado por ( (a ), (b ), (c )), com uma ordem implícita. Isso significa que, para que dois triplos ordenados sejam iguais, eles devem conter exatamente os mesmos objetos na mesma ordem. Isso é ((a, b, c) = (p, q, r) ) se e somente se (a = p ), (b = q ) e (c = r ).

    (c) Sejam (A ), (B ) e (C ) conjuntos, e sejam (x em A ), (y em B ) e (z in C ). Escreva uma definição teórica de conjunto do triplo ordenado ((x, y, z) ) semelhante à definição teórica de conjunto de "par ordenado".

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O esquerda direita (horizontal) direção é comumente chamada X.
O cima baixo (vertical) direção é comumente chamada Y.
Coloque-os juntos em um gráfico.

Onde eles se cruzam é ​​o ponto & quot0 & quot,
medimos tudo de lá
.

  • O Eixo X corre horizontalmente em zero
  • O Eixo Y corre verticalmente até zero

Eixo: A linha de referência a partir da qual as distâncias são medidas.

O plural de Axis é Eixos, e é pronunciado ax-eez

Exemplo:

6 unidades em (no x direção), e

4 unidades para cima (no y direção)

Vá ao longo de 6 e, em seguida, suba 4 e, em seguida, & quotplotar o ponto & quot

E você pode lembrar qual eixo é qual por:

x é UMA CRUZ, então x é ATRAVÉS da página.


Tuplas ordenadas n & # 8211

Definição: Sejam $ A_ <1>, A_ <2> $ e $ A_ <3> $ conjuntos não & # 8211 vazios e $ a_ <1> in A_ <1>, a_ <2> in A_ <2> $ e $ a_ <3> em A_ <3> $.

Tripla ordenada dos elementos $ a_ <1>, a_ <2> $ e $ a_ <3> $, denotados por $ (a_ <1>, a_ <2>, a_ <3>) $, é um conjunto

Definição: Vamos $ A_ <1>, ldots, A_$ ser conjuntos não & # 8211 vazios e $ a_ <1> in A_ <1>, ldots, a_ em um_$.

Tupla ordenada n & # 8211 de elementos $ a_ <1>, ldots, a_$, denotado por $ (a_ <1>, ldots, a_) $, é um conjunto


Estruturas Discretas Aplicadas

Sejam (A ) e (B ) conjuntos. O produto cartesiano de (A ) e (B text <,> ) denotado por (A times B text <,> ) é definido como segue: (A times B = <( a, b) mid a in A quad textrm quad b in B > text <,> ) ou seja, (A vezes B ) é o conjunto de todos os pares ordenados possíveis cujo primeiro componente vem de (A ) e cujo segundo componente vem de (B text <.> )

Exemplo 1.3.2. Alguns produtos cartesianos.

A notação em matemática é freqüentemente desenvolvida por boas razões. Neste caso, alguns exemplos deixarão claro porque o símbolo ( times ) é usado para produtos cartesianos.

Seja (A = <1, 2, 3 > ) e (B = <4, 5 > text <.> ) Então (A vezes B = <(1, 4) , (1, 5), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5) > text <.> ) Observe que (| A vezes B | = 6 = lvert A rvert times lvert B rvert text <.> )

Estes dois exemplos ilustram a regra geral de que se (A ) e (B ) são conjuntos finitos, então ( lvert A times B rvert = lvert A rvert times lvert B rvert text <.> )

Podemos definir o produto cartesiano de três (ou mais) conjuntos de forma semelhante. Por exemplo, (A vezes B vezes C = <(a, b, c): a em A, b em B, c em C > texto <.> )

É comum usar expoentes se os conjuntos em um produto cartesiano são os mesmos:

Subseção 1.3.2 Conjuntos de potência

Definição 1.3.3. Conjunto de força.

Se (A ) for qualquer conjunto, o conjunto de potência de (A ) é o conjunto de todos os subconjuntos de (A text <,> ) denotado ( mathcal

(A) text <.> )

Os dois casos extremos, o conjunto vazio e todos de (A text <,> ) estão ambos incluídos em ( mathcal

(A) text <.> )

Exemplo 1.3.4. Alguns conjuntos de energia.

Deixaremos que você adivinhe uma fórmula geral para o número de elementos no conjunto de potência de um conjunto finito. No Capítulo 2, discutiremos as regras de contagem que nos ajudarão a derivar essa fórmula.

Subseção 1.3.3 SageMath Nota: Produtos cartesianos e conjuntos de energia

Aqui está um exemplo simples de um produto cartesiano de dois conjuntos:

Aqui está a cardinalidade do produto cartesiano.

O conjunto de potência de um conjunto é iterável, como você pode ver na saída da próxima célula

Você pode iterar em um conjunto de poderes. Aqui está um exemplo trivial.

Exercícios 1.3.4 Exercícios

Let (A = <0, 2, 3 > text <,> ) (B = <2, 3 > text <,> ) (C = <1, 4 > text <,> ) e deixe o conjunto universal ser (U = <0, 1, 2, 3, 4 > text <.> ) Liste os elementos de

( displaystyle A times B times C )

( displaystyle U times emptyset )

( displaystyle B times mathcal

(B) )

  1. ( displaystyle <(0, 2), (0, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 3) > )
  2. ( displaystyle <(2, 0), (2, 2), (2, 3), (3, 0), (3, 2), (3, 3) > )
  3. ( displaystyle <(0, 2, 1), (0, 2, 4), (0, 3, 1), (0, 3, 4), (2, 2, 1), (2, 2 , 4), (2, 3, 1), (2, 3, 4), (3, 2, 1), (3, 2, 4), (3, 3, 1), (3, 3 , 4) > )
  4. ( displaystyle emptyset )
  5. ( displaystyle <(0, 1), (0, 4), (2, 1), (2, 4), (3, 1), (3, 4) > )
  6. ( displaystyle <(2, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 3) > )
  7. ( displaystyle <(2, 2, 2), (2, 2, 3), (2, 3, 2), (2, 3, 3), (3, 2, 2), (3, 2 , 3), (3, 3, 2), (3, 3, 3) > )
  8. ( displaystyle <(2, emptyset), (2, <2 >), (2, <3 >), (2, <2, 3 >), (3, emptyset ), (3, <2 >), (3, <3 >), (3, <2, 3 >) > )

Suponha que você está prestes a lançar uma moeda e, em seguida, lançar um dado. Let (A = ) e (B = <1, 2, 3, 4, 5, 6 > text <.> )

Como você interpretaria o conjunto (A vezes B )?

Liste todos os conjuntos de dois elementos em ( mathcal

())

Liste todos os conjuntos de três elementos em ( mathcal

() text <.> )

Quantos conjuntos singleton (um elemento) existem em ( mathcal

(A) ) se ( lvert A rvert = n )?

Existem (n ) subconjuntos de singleton, um para cada elemento.

Uma pessoa tem quatro moedas no bolso: um centavo, um centavo, uma moeda de dez centavos e um quarto. Quantas somas diferentes de dinheiro ele pode retirar se remover 3 moedas de uma vez?

Liste os elementos de (A vezes B )

Quantos elementos (A ^ 4 ) e ((A vezes B) ^ 3 ) tem?

( displaystyle 16 textrm 512 )

Liste os elementos de (A vezes B ) e (B vezes A texto <.> ) Os parênteses e a vírgula em um par ordenado não são necessários em casos como este, onde os elementos de cada conjunto são individuais símbolos.

Identifique a interseção de (A vezes B ) e (B vezes A ) para o caso acima e, a seguir, adivinhe uma regra geral para a interseção de (A vezes B ) e (B vezes A text <,> ) onde (A ) e (B ) são dois conjuntos quaisquer.

Sejam (A ) e (B ) conjuntos não vazios. Quando (A vezes B ) e (B vezes A ) são iguais?


Teoria

2.2 DIAGRAMAS DE ARGAND

A representação de números complexos em coordenadas cartesianas é freqüentemente referida no Capítulo 4. Este processo envolve simplesmente traçar a coordenada imaginária do número complexo no eixo y e o componente real no eixo x. A figura resultante é conhecida como diagrama de Argand e um exemplo de um deles é apresentado na Fig. 2.2.1.

Figura 2.2.1. Um exemplo de diagrama de Argand.

Nesta figura, o número complexo 2 + 3i também pode ser expresso como r (cosθ + isinθ), onde r é o módulo. Isso é freqüentemente denominado forma polar ou forma de argumento do módulo. O módulo é o comprimento da hipotenusa e geralmente é expresso como um número entre colchetes, como | 4 | ou | 25 | por exemplo. θ é o ângulo que a hipotenusa faz com o eixo real.


Descrição do livro

A definição e solução de problemas de engenharia dependem da capacidade de representar sistemas e seu comportamento em termos matemáticos.

Matemática para técnicos elétricos 4/5 fornece um guia simples e prático para as habilidades matemáticas fundamentais essenciais para técnicos e engenheiros. Esta segunda edição foi revisada e expandida para cobrir o BTEC Superior - módulo 'Matemática para Engenheiros' para Diplomas e Certificados Nacionais Superiores de Engenharia Elétrica e Eletrônica. Ele também atenderá às necessidades de alunos de graduação do primeiro e segundo ano que estudam engenharia elétrica.


Produtos de Tensor de Módulos e Grupos Abelianos Livres baseados em Produto Cartesiano

Estou lendo o livro & quotA Course in Ring Theory & quot de Donald S. Passmore.

Atualmente, estou focado no Capítulo 9 Produtos Tensor. .

Preciso de ajuda para obter um entendimento completo do grupo abeliano livre envolvido na construção do produto tensorial. .

O texto de Passmore relevante para o grupo abeliano livre envolvido na construção do produto tensorial é o seguinte:


Minha pergunta é sobre a natureza do grupo abeliano livre S cujos elementos são somas finitas da forma.

Portanto, ( displaystyle 3 (a_3, b_5) + 4 (a_7, b_5) ) e ( displaystyle 1 (a_1, b_1) ) são membros de ( displaystyle S ).


Mas como esse grupo funciona'. e como fazemos aritmética (se pudermos?) com os elementos. e como terminamos com elementos como ( displaystyle (a_1 + a_2, b) ) que desempenham um papel na formação do quociente para o produto tensorial. .

(Peço desculpas se eu fiz uma pergunta semelhante antes. Suspeito que a resposta pode ser que podemos apenas formar somas formais e não podemos fazer aritmética com os elementos.)

Para permitir que os membros do MHB estejam cientes do contexto de minha pergunta, estou fornecendo a introdução de Passmore a seu capítulo sobre produtos tensores, que inclui o texto fornecido acima. . do seguinte modo:


Subseção 1.3.1 Produtos Cartesianos

Definição 1.3.1. Produto cartesiano.

Sejam (A ) e (B ) conjuntos. O produto cartesiano de (A ) e (B text <,> ) denotado por (A vezes B text <,> ) é definido da seguinte forma:

ou seja, (A vezes B ) é o conjunto de todos os pares ordenados possíveis cujo primeiro componente vem de (A ) e cujo segundo componente vem de (B text <.> )

Exemplo 1.3.2. Alguns produtos cartesianos.

A notação em matemática é freqüentemente desenvolvida por boas razões. Neste caso, alguns exemplos deixarão claro porque o símbolo ( times ) é usado para produtos cartesianos.

Observe que (| A times B | = 6 = lvert A rvert times lvert B rvert text <.> )

Observe que (| A times A | = 9 = < lvert A rvert> ^ 2 text <.> )

Estes dois exemplos ilustram a regra geral de que se (A ) e (B ) são conjuntos finitos, então ( lvert A times B rvert = lvert A rvert times lvert B rvert text <.> )

Podemos definir o produto cartesiano de três (ou mais) conjuntos de forma semelhante. Este será o conjunto de todas as tuplas (n ) ordenadas onde o primeiro componente vem do primeiro conjunto, o segundo componente vem do segundo conjunto,. e o (n ^

) componente vem do (n ^) definir. Por exemplo,

É comum usar expoentes se os conjuntos em um produto cartesiano são os mesmos:

Subseção 1.3.2 Conjuntos de potência

Definição 1.3.3. Conjunto de força.

Se (A ) for qualquer conjunto, o conjunto de potência de (A ) é o conjunto de todos os subconjuntos de (A text <,> ) denotado ( mathcal

(A) text <.> )

Os dois casos extremos, o conjunto vazio e todos de (A text <,> ) estão ambos incluídos em ( mathcal

(A) text <.> )

Exemplo 1.3.4. Alguns conjuntos de energia.

Deixaremos que você adivinhe uma fórmula geral para o número de elementos no conjunto de potência de um conjunto finito. No Capítulo 2, discutiremos as regras de contagem que nos ajudarão a derivar essa fórmula.

Subseção 1.3.3 SageMath Nota: Produtos cartesianos e conjuntos de energia

A segunda e a quarta células dependem das células que as precedem, avalie de cima para baixo.

Aqui está um exemplo simples de um produto cartesiano de dois conjuntos:

Aqui está a cardinalidade do produto cartesiano.

O conjunto de potência de um conjunto é iterável, como você pode ver na saída da próxima célula

Você pode iterar em um conjunto de poderes. Aqui está um exemplo trivial.

Exercícios 1.3.4 EXERCÍCIOS PARA A SEÇÃO 1.3

Let (A = <0, 2, 3 > text <,> ) (B = <2, 3 > text <,> ) (C = <1, 4 > text <,> ) e deixe o conjunto universal ser (U = <0, 1, 2, 3, 4 > text <.> ) Liste os elementos de


5.4: Produtos Cartesianos - Matemática

O produto cartesiano de um par de conjuntos e, denotado é o conjunto de todos os pares ordenados, com e.

Aqui, o conjunto é considerado como estando ao longo do eixo "horizontal", ou eixo, e o conjunto ao longo do eixo "vertical".

Se temos três conjuntos, e, pensamos nos produtos e como sendo essencialmente os mesmos, então escrevemos apenas e pensamos nisso como o conjunto de todos os triplos ordenados, com, e.

No entanto, não é considerado o mesmo que e nem é o mesmo que.

De forma mais geral, para qualquer um, o produto cartesiano de uma lista ordenada de conjuntos é o conjunto de todas as -tuplas ordenadas,, com, para cada.

Se todos os conjuntos em um produto são iguais, escrevemos para o produto cartesiano dobrado de consigo mesmo (se, colocamos).

Por exemplo, é o conjunto de todos os triplos ordenados com, e em.

Também é possível definir o produto cartesiano de um número infinito de conjuntos, mas aqui é preciso ter cuidado: não é óbvio que tais produtos sejam não vazios, mesmo que todos os elementos do produto sejam não vazios. : na verdade, isso precisa de um Axioma Matemático, chamado Axioma da Escolha, que pode ou não ser aceitável.
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